Upload
dhear-reff-adhela
View
230
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
1/19
Bupkling (Tekuk)
BAB X
BUPKLING (TEKUK)
10.1. Pendahuluan
Suatu struktur menerima beban tekan dinamis, struktur ini dapat
berkedudukan mendatar, miring maupun tegak. Untuk struktur yang tegak
(vertikal) dinamakan kolom. Jika sebuah kolom menerima beban tekan maka pada
batang akan terjadi tegangan tekan yang besamya.
σ = F/
!engan, σ " #egangan tekan ($%a) & F " 'aya tekan ()
" uas penampang batang (mm* )
%ada kolom pendek apabila gaya yang diberikan ditambah sedikit demi sedikit
kolom akan han+ur dan bila kolomnya panjang batang tidak akan han+ur
melainkan akan menekuk (buckling).
eberapa +ontoh batang yang menerima beban tekan
*-
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
2/19
Bupkling (Tekuk)
Gambar 10.1 Beberapa conoh baan! mener"ma beban e#an
Sumber" yars, .F& Snyder, 0. ! dan %lants, 1., ngineering me+hani+s o2
!e2ornable odies
3ita tinjau tiga keadaan yang ekivalen dengan kolom yang menerima beban aksial
-. Stabil
ola berada dalam pipa (-) bila bola didorong
sampai bergerak (*) dan jika gaya dorong
ditiadakan maka bola akan kembali ke posisi
semula () kejadian demikian diketahui bah4a
bola stabil.
*-5
Gambar 10.$ Bola dalam p"pa
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
3/19
Bupkling (Tekuk)
*. $eta stabil
ola berada di atas plat rata (-) bila bola didorong
sampai bergerak (*) dan jika gaya dorong
ditiadakan maka bola tidak akan kembali seperti
semula tapi berada di posisi (). 3ejadian demikian
dikatakan bah4a bola dalam keadaan meta stabil
Gambar 10.% Bola d" aa& pla raa
. abil (tak stabil)
ola berada di atas pipa (-) bila bola
didorong sampai bergerak (*) dan jika gaya
dorong ditiadakan maka bola akan menjauh
dari posisi semula () kejadian demikian
dikatakan bah4a bola tersebut labil.
Gambar 10.' Bola d" aa& p"pa
3eadaan ini analog (sama) dengan batang/balok yang dibebanl deh gaya tekan %.
Gambar 10. Baan! mener"ma beban P dan
• %ada gambar (-6.7.a) batang ditekan oleh beban % (% 8 %2 ) dan beban
diberikan di tengah9tengah batang, jika beban F dihilangkan, maka batang aka
kembali seperti semula. 3ejadian demikian dikatakan bah4a batang dalam
keadaan stabil.
*-7
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
4/19
Bupkling (Tekuk)
• %ada gambar (-6.7.b) batang ditekan oleh beban % (% = %2 ) dan beban
diberikan di tengah9tengah batang, jika beban F dihilangkan maka batangtidak kembali seperti semula tetapi berada pada posisi (). 3ejadian demikia :
dikatakan bah4a batang dalam keadaan meta stabil.
• %ada gambar (-6.7.+) batang ditekan oleh beban % (% ; % 2 ) dan beban F+
tengah9tengah batang, jika beban F dihilangkan batang akan melentur makii
lama makin besar dan akhirnya batang patah. 3ejadian demikian disebu
batang menekuk ( Buckling ), gaya tekan yang menyebabkan batang menekul
disebut gaya tekuk (Critical load ) " %+r " %+riti+al
ngka kerampingan ( slenderness Ratio).
λ = e / r .
!engan, λ = 0atio kerampingan batang
e = %anjang tekuk (panjang e2ekti2) (mm)
r = Jari9jari girasi = l/ (mm)
< = $omen inersia batang (mm
'
) = uas penampang (mm*)
Untuk menentukan suatu batang yang menerima beban tekan apakah terjadi tekuk
(Buckling) atau tidak berdasarkan pada 2aktor kerampingan (λ).
λ 8 6 (disebut kolom pendek) & 6 ≤ λ ≤ -66 (disebut kolom sedang) & λ ≥ -66
(disebut kolom panjang)
Gambar 10.* Kond"&" #olom unu# ba+a berda&ar#an ra"o #eramp"n!an
*-
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
5/19
Lendutan
10.$ K olom pan+an! den!an rumu& euler
nalisis teoritis beban kritis kolom panjang dibuat oleh seorang
matematika4an S4iss yaitu eonhard uler pada tahun :>7>, analisisnya
berdasarkan persamaan de2erensial kurva elasitis " l (d* y / d?*) = $.
eliau mengatakan kolom panjang apabila kolom dengan angka kerampingan (λ)
-66.
$a+am9ma+am kondisi euler.
3ondisi euler metiputi"
kedua ujung batang diberi engsel (engsel9engsel)&
salah satu ujung batang dijepit sedang ujung yang lain babas (jepit 9 babas)&
kedua ujung batang dijepit (jepit9jepit)&
salah satu ujung batang dijepit dan yang lain diberi engsel (jepit 9 engsel).
Kond"&" baan! en!&el , en!&el
suatu kolom apabila kedua ujungnya diberi engsel dan menerima beban kritis %,
maka akan terjadi lendutan seperti pada gambar -6.>. endutan maksimum δ
sangat ke+il sehingga tidak ada perbedaan berarti antara panjang asli kolom dan
proyeksinya pada bidang tegak. !engan kondisi ini, kemiringan dy/d? sangat
ke+il sehingga dapat digunakan pendekatan persamaan de2erensial kurva elastis
batang l (d* y / d?*) = $.
kita tinjau potongan sejauh ?, maka $? = 9 %.@& $? berhar+ja negati2 karena
lendutan y negati2, bila kolom melendut dalam arah berla4anan, maka y positi2
sedang $ masih negati2 karena konversi tanda disesuaikan dengan konversi
momen lentur (lihat persamaan momen)
*->
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
6/19
Lendutan
Gambar 10.-. Kond"&" baan! en!&el,en!&el
!engan demikian, persamaannya menjadi " l (d* y / d?*) = $? = $ 9 % . y.
l yA B % . y = 6
yC B (%/l). y = 6 & (%/l) dimisalkan
yA B k * . y = 6
%ersamaan (a) merupakan ja4aban persamaan di2erensial (%!) turunan ke dua
dari persamaan.
y = +os k ? B sin k ?
%embuktian "
y = +os k ? B sin k ?
y: = 9 . k ?. sin k? B .k +os k ?
y: = 9.k *. +os k ? 9 .k *. sin k ?
yA = 9 k * ( +os k ? B sin k ? )
y: = 9 k * . y
y: B k * y 9 6 (terbukti).
Syarat batas dari persamaan (b) " y " +os k? B b sin k?
• Untuk " ? = 6 & maka " y = 6 & sehingga = 6
persamaan (b) menjadi " y = sin k ?
• Untuk " ? = maka y = 6, sehingga persamaan (+) menjadi 6 = sin k .
*-D
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
7/19
Lendutan
= 6 & sin k. = 6 atau k = n.n & (n = 6, -, *, ...) ambil k = π & maka =
k =)π . k * = %/l (π/)* & maka " % =
*
*
)l.π
%+r =( ) *
*
)e
l.π & e =
!engan,
%+r = gaya tekuk
e = panjang e2ekti2 untuk kondisi sendi9sendi
l = kekakuan lentur
Kond"&" baan! +ep" beba&
3olom dengan panjang salah satu ujungnya dijepit sedang ujung yang lain
bebas, apabila kolom menerima beban kritis % maka kolom akan mengalami
lendutan seperti pada gambar -6.D.
3ita tinjau potongan sejauh ?, momen di titik
x : Mx = P (a-) persa!aan lendutan :
El =*
*
d?
yd = El y" = Mx = P.a - P.y'
"l # $ P . = P . a
y: B %/l . y =l
%.y& %/l = k *
(misal) yA B k * . y = k * . a
Gambar 10.. Kond"&" baan! +ep" beba&
%ersamaan (a) merupakan ja4aban persamaan di2erensial turunan ke dua dari
persamaan "
= +os k? B sin ? B a
E = 9 .k sin k? B k +os k.?
= 9 .k * +os k.? 9 . k * sin k?
= 9 k * ( +os k.? B sin k()
= 9 k * (y9a)
A B k * y = k * a (terbukti)
*-G
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
8/19
Lendutan
Syarat dari konstruksi "
dari persamaan (b) "
untuk ? = 6 & y ∅ & maka " ∅ = B a & sehingga " = 9a
dari persamaan (+)
untuk ? = 6 & y: = 6 & maka " 6 = .k & sehingga " = 6
3ita substitusikan persamaan (b) menjadi "
= 9a +os k ? B 6 B a = a (- H +os k.?)
dari persamaan (d) "
untuk ? = & y = a& sehingga " a = a (-9+os k.) = a9a +os k.
6 = 9a +os k. & maka +os k = ∅ atau k = π/*& π/*& 7π/*& ...
diambil " k = π/* k = π/*-& 3 * = (π/*.)* *
*
5.)
I
l
%=
Jadi, %er =( ) ( )
&)e
l.I
)e
l.I
).5
l.I*
*
*
*
*
*
== e = *
!engan, %er = 'aya tekuk
e = %anjang e2ekti2 untuk kondisi jepit 9 bebas
l = 3ekakuan lentur
Kond"&" baan! +ep" , +ep"
3olom dengan panjang yang kedua ujung batangnya dijepit, setelah
menerima beban % kolom mengalami lendutan seperti diperlihatkan pada gambar
3ita tinjau potongan sejauh ? untuk batang yang dijepit
pada ujungnya akan terdapat momen jepit yang
disebabkan oleh beban yang besamya kita sebut $o.
esarnya momen di ? = $? = $o 9 %. y.
Gambar 10./. Kond"&" baan! +ep",+ep"
**6
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
9/19
Lendutan
%ersamaan lendutan " l =*
*
d?
yd= $? = $o H % . y
yC Bl
%&
l
$
l.
y.% o? = = k * (misal)
yC B k *y =%
$o
%ersamaan (a) merupakan ja4aban umum persamaan di2erensial turunan ke dua
dari persamaan "
y = +os k? B sin k? B $o/%
y: = Hk sin k? B .k +os k ?
syarat batas konstruksi "
• dari persamaan (b) "
untuk ? = 6& y = 6& maka " 6 = B $6/%& sehingga " = 9 $o/%
• dari persamaan (+) "
untuk ? = 6& y: = 6& maka " 6 " .k & sehingga = 6
3ita substitusikan persamaan (b) menjadi "
y = 9 $o/% +os k ? B ∅ B $o/%
y = $o/% (- 9 +os k?)
• dari persamaan (d) "
untuk ? = & y = 6 & maka " 6 = $o/% (- 9 +os k.)& 6 = - 9 +os k.
+os k = atau k. = 6, *π, 5π,
diambil paling ke+il yang harganya tidak sama dengan not yaitu" *π
k = *π k = *π/*
k * = (*π/)* = 5 π* / ?
% / l = 5 π*/*
Jadi, %+r =( ) ( ) *e
*
*
*
)
l.I
)/*
l.I= & e = /*
dengan"
%+r = 'aya tekuk
e = %anjang e2ekti2 untuk kondisi jepit9jepit
**-
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
10/19
Lendutan
l = 3ekakuan lentur
Kond"&" baan! +ep" en!&el
3ita perhitungkan kolom dengan panjang , dijepit di dan diberi engsel di
. Setelah menerima beban akan mengatami lendutan seperti pada gambar -6.-6.
3ita tinjau potongan sejauh ? $omen di ?
karena beban dan reaksi normal.
$? = 1 ( 9 ?) H% . y
%ersamaan lendutan " l y: = $?
ly: = 1 ( 9 ?) H% . y
Gambar 10.10. Kond"&" baan! +ep",en!&el
l yC B % . y = 1 ( H ?)& %/l = k * (misal)
yC B k *y =( )
%
?) 1 −
%ersamaan (a) merupakan ja4aban umum persamaan di2erensial (%.!) turunan
kedua dari persamaan "
y = +os k ? B sin k ? B( )
%
?) 1 −
yK = 9 . k sin k ? B .k +os k ? H 1/p
syarat batas konstruksi "
• dari persamaan (b) "
untuk ? = 6& y = 6& maka " 6 = B 1. /p & sehingga = 9 1./%
• dari persamaan (+) "
untuk ? = 6& y: = 6& maka " 6 = .k 9 1/% sehingga " = 1 / (k.%)
3ita substitusikan persamaan (b) menjadi "
y =%
).1− +os k ? B
p.k
1sin k ? B
( )
%
?) 1 −
• dari persamaan (d) "
***
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
11/19
Lendutan
untuk " ? = & y = 6
maka 6 = 9 (1. / %) +os k. B (1 / k.%) sin k. B( )
%
?) 1 −
(1. / %) +os k. = (1 / k.F) sin k. B 6 ⇒ tan k. = k.
Jika dihitung sudut dalam radian diperoleh k = 5,5G radian, dibulatkan
= k = 5,7 radian.
k = 57 /
k * =*
*
*
*
)
I.*
)
*6,*
)
5,7==
l
%=
*
*
)
I.*
Jadi, %+r =( ) *e
*
*
*
*
*
)
l.I
*/)
l.I
)
l.I.*== & e = *
*
)
dengan"
%+r = 'aya tekuk
e = %anjang e2ekti2 untuk kondisi jepit9jepit
l = 3ekakuan lentur
Contoh soal 1
Suatu batang penyangga yang panjangnya *,7 m dan berdiameter pm, salah satu
ujungnya dapat bergerak melalui engsel, sedang ujung lainnya dipakukan.
#entukan beban tekan yang diperbolehkan dengan menggunakan rumus ulerL
Jika 2aktor keamanan ,7 dan modulus elastisitas *,-.-6 kg/+m*.
Penele&a"an
%anjang e2ekti2 "
e = /* *
= (*,7/*) . * = -,>D m
= ->,D +m.
'ambar -6.-- Montoh soal -
**
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
12/19
Lendutan
$omen =,D.7,
=,=*l.-6.*,-.
)e.O
l. =*
*
*π π
==%
P cr
= *5--6,* kg
Jadi, beban tekan yang paling aman maksimum *5,- ton.
Contoh soal 2
#entukan perbandingan antara kekuatan kolom baja pejal dan kolom baja
berongga yang luas penampangnya sama, yang diameter dalamnya sama dengan
setengah kali diameter luarnya. %anjang kedua kolom sama dan kedua ujungnya
adalah sendi.
Penele&a"an
Untuk kolom - (pejal)"
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
13/19
Lendutan
*
-
+r*
+r-
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
14/19
Lendutan
σ4 =( )
SF
Q
M+*
R - yp*
*
−
FS adalah 2aktor keamanan yang diberikan oleh persamaan "
FS =( )
M+D
R
M+D
R
7−+
!engan,
σ4 = #egangan kerja ($%a)
λ = 0atio kerampingan (slenderness ratio)
M+ = 0atio kerampingan menurut < S MFs = Faktor keamanan
%ada gambar -6.- ditunjukkan berbagai kolompok baja untuk kolom menurut <
S M.
Gambar 10.1%. Te!an!an boleh unu# #olom an! d"beban" &ecara #on&enr"& per &pe&"2"#a&"
AI3
Contoh soal 3
Suatu batang baja berbentuk lingkaran me"idapat gaya tekan sebesar -6 3,
panjang = -, m & O = - & = *,*. -67 $%a.
1itung garis tengahnya bila k "dua ujungnya diberi engselL
**
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
15/19
Lendutan
Penyelesaian
uler = F+r =( ) *
*
+r iNin*
e
*
)O.l.I
OF F&
).l.I == e =
$omen inersia " l =( )
*,*.
-6-6
-6.*,*.
-=66-6.-=.-=
.
).F.O*
*5
7*
*5
*π π π
== "
= 6-D*7,G mm5
l = π/5 . d5 = 6-D*7,G
d =I
6-D*=7,G.=5
I
l.=5 55= = DD, mm
ngka kerampingan = λ = /r r =5
- = d/5
λ = /(d/5) = 5/d = 5.(-66/DD,) = >*,>
karena λ ≤ G6, jadi menurut uler perhitungan ini adalah tidak tepat, tetapi yang
rnemenuhi syarat adalah rumus Tet!aer.
#egangan kritis baja"
σ = 6 H -,57 . λ
σ = (6 H -,57 5/d)
Untuk baja pejal bentuk lingkaran
FiNin =( )
O
d.I/5)/d5.-,576
O
.Q *+r −=
6/5 . π . d* H -,57 π . . d (Fijin . O) = 6
6/5 . π . d* H -,57 . π . -6 . d -6666 . - = 6
maka d = -G6 mm& jadi diameter batang baja maksimum yang dibolehkan -G6mm.
Contoh soal 4
#entukan panjang terpendek sebuah tiang baja berujung pasak yang mempunyai
penampang 6 ? -6 mm, dan rumus uler berlaku, bila = *66 '%a dan anggap
batas proporsional *76 $%a.
**>
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
16/19
Lendutan
Penelesaian
lmin = ( ) ( )-*6=,6-,6
-*h=
= = -,D . -69 m5
lmin =( ) ( ) =
=*
+r
**9=
min
-6.*76
-6.*66.I
Q
.IR &
R
.I
6,-6,6=
-6.-D
l==== = D66 . π*
σ+r = =
=*
+r
**
-6.*76
-6.*66.I
Q
.IR &
R
.I== = D66 . π*
λ = /r = λ . r = D66 π* . 6,6-> = -,75 m
Jadi, panjang batang
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
17/19
Lendutan
!engan "
2 a = #egangan aksial aktual.
= F/ ($%a)
2 b = #egangan lentur desak boleh bila momen lentur saja yang ada.
= % . e/N ($%a)
Fa = #egangan aksial yang dihitung
Fa =( )
( )$%as.F
S.
M+*
)/r -
yp
*
*
−
F b = #egangan Montoh soal 7
onoh &oal
Sebuah kolom baja S#$ berbentuk T 6 ? -6 yang panjangnya G m
mendapat beban tekan sebesar %- = *6 k dan %* = 6 k seperti pada gambar,
bila kondisi kolom engsel9engsel dan = *.-67 $%a. #entukan jarak (e) antara
sumbu dengan pusat %*L
Penele&a"an 5
3olom berbentuk T 6 ? -
= -7*6 mm* N = **6. -6 mm
r min = G,G mm
/r = G666/G,G = G7,D7
M+ =*76
-6.*.I*
y
.I* 7**
=
/r 8 M+ (#etmayer)
Gambar 10.1 onoh &oal
F . S 6 7/ B /D (/r) / (D.M+) 9 (/r) / (D.M+)
= 7/( )
( )( )
( )G,-
==,-*7D
D7,G7
==,-*7D
D7,G7
=−
**G
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
18/19
Lendutan
σ4 =
( ) ( )
( )
−
=
−
G,-
==,-*7*
D7,G7-
.*
/-
*
*
*
*
p
*)
Cc
r L
σ . *76 = G, $%a
σma? =U
e.F
FF -*- ++
σma? =( )
-6.**=6
.=6
-=7*6
-6*=6=6+
+ = >,7 B 6,-7G . e
Supaya kolom aman, σma? ≤ σ4
G, ≥ >,7 B 6,-7G e
e ≤ 6,-7G
7,>,G − e ≤ 76,D mm
Mek
2a/Fa B 2b/Fb ≤ -
2a =
FF *- + = >,7 $%a
2b =U
e.F* = 6,-7G . 76,D = 77,>D $%a
*76
>D,77
G,
>,7+ ≤ -
6,5* B 6,>* ≤ - 6,>>5 ≤ -
Jadi, jarak antara sumbu dengan pusat beban %* adalah 76,D mm
Contoh soal 6
Suatu baja pro2it T6 ? -*7 dari bahan S#$ yang panjangnya -6 m
mendapat beban maksimum % sedang e 66 m (seperti pada gambar) blia kondisi
kolom jepit 9 babas. #entukan besarnya gaya % supaya pro2it mampu menahannyaL
Penele&a"an
*6
8/18/2019 Bab 10 Tekuk
19/19
Lendutan
%ro2il " T 6 ? -*7
= -7G56 mm* & r = >,> mm
= =,>
-6666.*
r
)= = *6,D
λ ≥ M+ (U0)
σT =( ) ( ) *
7*
*
e
*
*=6,D*
-6.*.I.-*
/)*
.I.-*=
r = -7,-5 $%a
$ = % . e = 66 p (mm)
σT = %/ B $/N -7,-5 = %/-7G56 B 66 %/*-56.-6
% = >56G,G = >5,- 3
Mek
2a / Fa B 2b / Fb ≤ -
2a = %/ = >56G,G / -7G56 = 5,D- $%a
2b = $/ = -6.*-56
66.G,>5=6G = -6,5 $%a
2a = σT = -7,-5 $%a
2b = 6, σy = . *76 = -76 $%a
-76
5=,-6
-5,-7
=D-,5+ ≤ -
6,6G B 6,6G> ≤ - 6,>G ≤ - (ok)
*-