BAB 11 DIFERENSIASI PARSIAL II
Differensiasi Parsial 2
a. z = x sin y
b. z = (x + y) In (xy)
soal-soal laju-perubahan
Marilah kita perhatikan silinder dengan radius r dan tinggi h
seperti sebelumnya. Maka volumenya diberikan oleh
V h
rkarena V merupakan fungsi r dan h, kita juga mengetahui
bahwa
sekarang bagilah kedua sisinya dengan
maka jika
0, , tetapi turunan parsialnya, yang tidak berisi suku, tetap
tidak berubah
jadi hasilnya, sekarang menjadi
Hasil ini adalah kunci untuk jenis soal-soal yang kita pelajari.
Jika kita mengetahui laju perubahan r dan h, kita sekarang dapat
mencari laju perubahan V yang berkorespons.
Seperti ini:
Contoh 1
Radius silinder meningkat dengan laju 0,2 cm/detik sementara
tingginya turun dengan laju 0,5 cm/detik. Carilah laju perubahan
volume pada saat r = 8 cm dan h = 12 cm.
Perhatian : kecendrungan pertama ialah menggambar suatu diagram
dan menuliskan nilai-nilai yang di ketahui untuk
dimensi-dimensinya, yaitu r = 8 cm dan h = 12 cm.ini TIDAK boleh
kita lakukan, karena radius dan tinggi ini sedang mengalami
perubahan dan nilai-nilai yang diketahui itu hanya merupakan nilai
sesaat. Oleh sebab itu pada diagram tersebut kita pertahankan
symbol r dan h untuk mengingatkan kta bahwa kedua symbol ini adalah
variable.
Maka beginilah caranya
V h
r
sekarang kita perhatikan :
r = 8, h = 12, (minus karena h ini menurun)
jadi sekarang anda dapat mensubitusikan nilai-nilai ini kedalam
pernyataan terakhir dan menyelesaikan perhitungan tersebut, yang
memberikan :
GUSTARA IQBAL 09 0404 081
Karena =
=
=
= = 20,1 cm3/detik
Sekarang satu contoh lagi.
Contoh 2
Pada segitiga siku-siku yang diberikan, x menigkat dengan laju
2cm/detik sementara y menurun dengan laju 3 cm/detik. Hitunglah
laju perubahan z ketika x=5 cm dan y = 3 cm.
Hal yang pertama kita lakukan tentu saja menyatakan z dalam
suku-suku x dan y. Hal ini tidaklah sulit.
= (x2 - y2)1/2
Dalam hal ini :
Contoh soal :
Nilai-nilai numeric untuk x=5, y=3, =2, =-3
Penyelesaian :
Siai z ini meningkat dengan laju 4,75 cm/s
Contoh 3
Luas permukaan total S suatu kerucut dengan radius alas r dan
tinggi tegaklurusnya h diberikan oleh
Jika r dan h masing-masing meningkat dengan laju 0,25 cm/s,
carilah laju kenaikan S ketika r=3 cm dan h=4 cm
Penyelesaian :
Juga diketahui bahwa dr/dt = 0,25dan dh/dt = 0,25
EVIROZA INDAH SAVITRI (09 0404 084)
Tetapi
Contoh 2
Contoh 3
Carilah pernyataan untuk apabila x tan y = y sin x. kerjakan
soal ini sendiri
Contoh 4
Mia Karlina Mierza (09 0404 096)
= -
= Begitulahcaramengerjakannya. Tetapisekarangmasihadasatu proses
lagi yang harusandaketahuibagaimanacaramengatasinya.
Jadilanjukanke Frame 24
PerubahanVariabel
Jika z merupakanfungsi x dan y, yaitu z = f (x, y), dan x dan y
itusendirimerupakanfungsidaridua variable lainnya u dan v, maka z
jugamerupakanfungsi u dan v. Olehsebabituktaperlumencaridan .
Bagaimanakahkitamemperolehnya?
z = f (x, y) ,z = x + y
Bagilahkeduasisidenganu :
=Jika v dipertahankankonstanuntuksementara, makaketikau 0
menjadidanmenjadi .
Carilahkeduanya
Dan
Frame berikutnyaInilahcontohuntukpekerjaanini
Jika z = x2 + y2, di mana x = r cosdan y = r sin 2, carilah
dan
Dan Sekarang = 2x
= 2x cos + 2y sin 2
Dan = -r sin = 2r cos 2 = 2x(-r sin ) + 2y(2r cos 2)
= 4yr cos 2 2xr sin Dan padakeduhasilini, simbol x dan y
dapatdigantikanmasing-masingoleh r cos dan r sin 2
Satucontohlagi :
Jika z = dengan x = In (u + v) dan y = sin (u v), carilah Kita
peroleh. = Dan = Sekaranglanjutkanlahke Frame
27BerikutsatucontohlagiuntukAndakerjakansendiri.Apa yang
perludilakukandalamcontohiniialahmencariberbagaiturunanparsialdanmensubtitusikanturunaninikedalamhasil
hasil yang diperoleh :
Jadiandakerjakancontoh yang satuini :
Jika z = sin (x + y), dengan x = u2 + v2dan y = 2uv,
carilahMetodenyasamasepertisebelumnya
Setelahandamenyelesaikannya, periksalahhasil yang
andaperolehpada Frame 28
Z = sin (x + y); x = u2 + v2 , y = 2uv
= 2u
= cos (x + y). 2u + cos (x + y).2v
= 2(u + v) cos (x + y)
M. RIZKY 09 0404 007
Juga = 2 (u+v)cos(x+y)
Anda sekarang telah sampai pada akhir program ini dan mengetahui
banyak tentang diferensial parsial.kita telah menetap sejumlah
hasil penting dalam program ini,jadi marilah sekali lagi kita
tuliskan hasil-hasil tersebut.
1. Pertambahan kecil
Z= f (x,y) (a)2. Laju perubahan
= (b)
3. Fungsi implisit
(c)
4. Perubahan variabel
(d)
Yang tersisa sekarang ialah ceklist dapatkah anda? Dan latihan
ujian ,jadi lanjutkan ke frama 30 dan 31 dan kerjakanlah secara
cermat semampu anda.
GUNAWAN SYAHPUTRA (090404044)
Latihan Ujian 11
1. (a)
= 3 2
0 = + (3 2
= ,
cos y = e y sin x cos y -
cos y - cos x = (-sin y) ey sin x
= 0
0 = cos y - cos x) + = (c)sin2x 5 sin x cos y + tan y = 0
= 2sin x cos x 5 cos x cos y
= 5 sin x sin y + sec2y
0 = 2sin x cos x 5 cos x cos y + (5 sin x sin y + sec2y) = M.
RIZKY 09 0404 007
3a. Jika z=2xy 3xy dan x naik dengan laju 2cm/detik ,tentukanlah
dengan laju berapakah y harus berubah agar z tidak naik dan juga
tidak turun pada saat x=3 cm dan y=1cm
Penyelesaian;
= (2y -6xy) X =3 y =1 0=(2-18) 2+ (6-27) GUNAWAN SYAHPUTRA
(090404044)4. Jika z = x4 + 2x2y + y3 dan x = r cos dan y = r sin ,
carilah dan dalam bentuk-bentuknya yang paling sederhana.
Penyelesaian!!!
z = x4 + 2x2y + y3 = 4x3 + 4xy
= 2x2 + 3y2
x = r cos dan y = r sin = cos
= - r sin = sin
= r cos = . = (4x3 + 4xy) cos = . + .
= (4x3 + 4xy) (- r sin ) + (2x2 + 3y2) (r cos )
= r (4 + 4xy) sin (Khairun Nazli 09-059)
Soal-soal lanjutan 11
1. Jika F = f (x,y) dengan x = cos v dan y = sin v , tunjukanlah
bahwa = x + y dan = -y + x
Penyelesaian :
F=f(x,y)x = cos v dan y = sin v
2. Diketahui bahwa z = x3 + y3 dan x2 + y2 = 1, Tentukanlah
suatu pernytaan untuk dalam suku-suku x dan y
Penyelesain
Mia Karlina Mierza (09 0404 096)
4 Jika u = (x2 y2) f(A) dimana A = xy dan f menyatakan suatu
fungsi sembarang, buktikanlah bahwa = (x2 y2) . Jawab : u = (x2 y2)
. f(A)
u = (x2 y2) . f(xy)
= -2y f(xy) + = -2y f (xy) . y + (3x2 y2) . f (xy) + (x3 xy2) f
(xy)y
= -2y2 f (xy) + (3x2 y2) f (xy) + xy (x2 y2) f (xy)
= (3x2 y2 2y2) f (xy) + xy (x2 y2) f (xy)
= (x2 y2) . (EVIROZA INDAH SAVITRI (09 0404 084))
5b. jika V = dan x = r cos tunjukkan bahwa:
Jadi ;
V = =
Dan,
= = 0sGUNAWAN SYAHPUTRA (090404044)6. U = F (x,y)dengan x = Y =
2rs
Buktikan :
r s . = 2 () r . . s = 2 ()r .(2r) s . (-2s) = 2 ()2 + 2 = 2 ()2
() = 2 ()(terbukti)
M. RIZKY 09 0404 007
7) jika f = F (x, y) dan x = r dan y = r , buktikanlah bahwa
:
2 x = r + dan 2y = r - Jawab : = - + . = . + . = r e + r = x + y
= . + . = . r + ( -r )
= x - y r + = 2 x dan r - = 2y 8. Jika z = x ln (x2 + y2) 2y
tan-1 buktikanlah bahwa x + y = z + 2x
z = x ln (x2 + y2) 2y tan-1 = ln (x2 +y2) + x. 2x = ln (x2 + y2)
+ + = ln (x2 + y2) + 2 = ln (x2 + y2) + 2
= x . . 2y + 2y . = - 2 tan-1 - = - 2 tan-1 x . + y . = x + y =
x . ln (x2 + y2) + 2x 2y tan-1 = +2x
= z + 2x ( terbukti )(NURUL IKA PUTRI 06 0404 100)
9. Dengan bantuan differensiasi parsial, tentukanlah dalam
soal-soal berikut :
(a) xy 2y x = 4
Penyelesaian
(b) Penyelesaian
(c) Mia Karlina Mierza (09 0404 096) dan (Khairun Nazli
09-059)10. Jika z= 3xy - + , buktikan bahwa :
(a) = dan (b) . =
Penyelesaian :
z= 3xy - +
(EVIROZA INDAH SAVITRI 09 0404 084)
11.
(GUSTARA IQBAL(09-081)
13) jika z = ,di mana K merupakan konstanta, dan r2= x2+y2
,buktikanlah :
a. 2 + 2 + 2zk = 0
jawab :a. u = r-x
= - x
Z = = . = keku = kz = ke ku = kz .2 + 2 = k2z2 k2z2 = k z =
-2k2z2 = -2k z2 + 2 +2k z= 0
TerbuktiEVIROZA INDAH SAVITRI (09 0404 084)
14. Jika z = f(x 2y) + F(3x + y), di mana f dan F adalah suatu
fungsi sembarang, dan jika
+ a + b = 0, carilah nilai-nilai a dan b.
15. jika z = ,buktikan bahwa Penyelesaian;
= = = = = = = = = = = = Maka; GUNAWAN SYAHPUTRA (090404044)16.
sin2 x 5 sin x cos y + tg y = 0
Misal z = sin2 x 5 sin x cos y + tg y = 0
(GUSTARA IQBAL(09-081)
17) carilah dengan di ferensiasi parsial , apabila x tan y = y
sin x
Jawab :Z= x tan y y sin x
= 0 jadi dz= 0
dz = dx + dy
dy = dx
= - = tan y y cos x
= = (M FAKHRU ROZI 09 062)
18. Jika V = tan-1 , buktikanlah bahwa :
a.
b.
19) buktikanlah bahwa, jika z = 2xy + x-fmaka x + y = z +
2xy
Jawab :Z = 2xy + xf (u) u= = 2 xy + xf (u) y fI (u)
= 2 - y fI (u)
= 2x + xfI (u) y = 2 xy + y fI (u)
x + y = z- y fI (u) + 2 xy + yfI (u)
= z + 2 xy(JOSTAR MARANATHA 09 087)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
_1385620868.unknown
_1385620879.unknown
_1385623898.unknown
_1385624755.unknown
_1385625028.unknown
_1385625204.unknown
_1385625296.unknown
_1385625135.unknown
_1385624894.unknown
_1385624600.unknown
_1385624675.unknown
_1385624436.unknown
_1385620884.unknown
_1385620886.unknown
_1385620887.unknown
_1385620885.unknown
_1385620882.unknown
_1385620883.unknown
_1385620880.unknown
_1385620872.unknown
_1385620877.unknown
_1385620878.unknown
_1385620874.unknown
_1385620876.unknown
_1385620875.unknown
_1385620873.unknown
_1385620870.unknown
_1385620871.unknown
_1385620869.unknown
_1106519920.unknown
_1106522445.unknown
_1106523220.unknown
_1106523692.unknown
_1106523762.unknown
_1106523804.unknown
_1106523291.unknown
_1106522851.unknown
_1106522980.unknown
_1106522847.unknown
_1106520107.unknown
_1106520394.unknown
_1106520019.unknown
_1106519115.unknown
_1106519849.unknown
_1106519805.unknown
_1106518827.unknown
_1106518959.unknown
_1106518710.unknown
_1106518673.unknown
