Bab 12 - Pemodelan Data 2-D dan n-D.pdf

Bab 12

Pemodelan Data Dua dan Multi Dimensi

12.1. Pendahuluan Pemodelan data 2-D merupakan proses representasi data dalam bentuk persamaan bidang dengan 2 peubah bebas dan 1 peubah tak bebas. Pada pemodelan n-D, data direpresentasikan dengan persamaan ruang orde n, dengan (n-1) peubah bebas dan 1 peubah tak bebas. Prinsip-prinsip pemodelan data 1-D yang diberikan di dalam Bab 9 berlaku juga untuk pemodelan dua dan multi. Pemodelan data 2-D banyak digunakan untuk menyatakan data-data dalam bentuk peta. 12.2. Pemodelan Data 2-D dengan Polinomial Secara umum polinomial 2-D derajat tinggi dapat dinyatakan sebagai berikut:

(12-1) .......yxbyxbybxb

yxbybxbybxbbz2ii9i

2i8

3i7

3i6

ii52i4

2i3i2i1oi

++++

++++++=

12.2.1. Model Polinomial 2-D Orde Nol (Bidang Datar) Pemodelan data 2-D yang paling sederhana berdasar persamaan (12-1) adalah model polinomial 2-D orde nol atau model konstan yang dinyatakan sebagai berikut: zbz oi == (12-2) Model konstan juga disebut dengan model rata-rata berupa persamaan bidang datar dalam ruang.

12.2.2. Model Polinomial 2-D Orde Satu (Bidang Miring) Pemodelan data 2-D orde satu berdasar persamaan (12-1) direpresentasikan dengan persamaan linier sebagai berikut:

i2i1oi ybxbbz ++= (12-3)

Persamaan (12-3) digambarkan sebagai bidang miring dalam ruang. Permasalahannya adalah, bidang miring manakah yang dapat memodelkan data 2-D terbaik. Bidang miring terbaik adalah yang menghasilkan jumlah deviasi kuadrat terkecil (least square).

Catatan Kuliah Dr.Ir. Lilik Eko Widodo, MS

XII-1

Dari sudut pandang statistik bidang tersebut menghasilkan sum of squares to deviation (SSD) atau jumlah deviasi kuadrat terkecil dan dapat dinyatakan sebagai berikut:

( )=

=

==ni

1i

2iiD imumminzzSS (12-4)

Penyelesaian masalah nilai optimum akan menghasilkan persamaan normal yang dinyatakan sebagai berikut:

=

=

=

=

=

=

++=ni

1ii2

ni

1ii1o

ni

1ii ybxbnbz (12-5)

=

=

=

=

=

=

=

=

++=ni

1iii2

ni

1i

2i1

ni

1iio

ni

1iii yxbxbxbzx (12-6)

=

=

=

=

=

=

=

=

++=ni

1i

2i2

ni

1iii1

ni

1iio

ni

1iii ybyxbybzy (12-7)

Persamaan (12-5) s.d. (12-7) merupakan persamaan simultan linier dengan bo,b1 dan b2 sebagai nilai yang tidak diketahui, dalam bentuk matrik dinyatakan sebagai berikut:

=

yz

zx

z

bbb

yyxy

yxxx

yxn

2

1

o

2

2 (12-8)

Untuk ilustrasi diberikan contoh data kedalaman dasar batuan berumur kapur berikut ini:

Tabel 12.1: Koordinat Lubang Bor

Serta Kedalaman Batuan Dasar Berumur Kapur pada Lapangan Minyak Anglo-Barren (Davis, 1973)

n x (km) y (km) z (m)

1 10 17 -665 2 21 89 -613 3 33 38 -586 4 35 20 -440 5 47 58 -544 6 60 18 -343 7 65 74 -455 8 82 93 -437 9 89 60 -354

10 97 15 -142


XII-2

Penyelesaian selanjutnya diperoleh hasil-hasil seperti berikut ini.

===

==

===

0.232342yz;0.211098xz;0.4579z

;7.31y;0.482y

0.27xy;9.36x;0.539x2

2

(12-9)

Persamaan (12-9) disubstitusi ke dalam Persamaan (12-8) akan menghasilkan persamaan matrik sebagai berikut:

(12-10)

=

2323420.211098

0.4579

bbb

7.310.270.4820.279.360.5390.4820.53910

2

1

o

Penyelesaian selanjutnya persamaan (12-10) akan menghasilkan bo = -621.0, b1 = 4.8 dan b2 = -2.0, sehingga persamaan bidang miring terbaik didapatkan dengan mensubstitusikan harga bo, b1 dan b2 tersebut ke dalam persamaan (12-3), sehingga diperoleh persamaan berikut ini:

iii y0.2x8.40.621z += (12-11) Perhitungan parameter-parameter statistik dilakukan dengan tabel berikut.

Tabel 12.2: Pengolahan Data untuk Parameter-parameter Statistik Pemodelan Data 2-D dengan Polinomial 2-D Orde Satu

n x y z z ( )2zz ( )2zz

1 10 17 -665 -606.6 3410.6 22111.7 2 21 89 -613 -695.7 6839.3 56548.8 3 33 38 -586 -537.8 2323.2 6384.0 4 35 20 -440 -492.8 2787.8 1218.0 5 47 58 -544 -510.2 1142.4 2735.3 6 60 18 -343 -369.2 686.4 7867.7 7 65 74 -455 -455.5 0.3 5.8 8 82 93 -437 -411.5 650.3 2153.0 9 89 60 -354 -313.0 1681.0 20996.0

10 97 15 -142 -186.1 1944.8 73875.2 x = y = z = ( ) 2zz ( ) 2zz 539 482 -4579 21466.1 193895.5


XII-3

Dengan memperhatikan Tabel 12.2, maka SST, SSR, SSD dan R model bidang miring dapat dinyatakan dan mempunyai harga sebagai berikut:

( ) 5.215324zzzn1zSS

2ni

1ii

2ni

1ii

ni

1i

2iT ==

=

=

=

=

=

=

=

(12-12)

( ) 5.193895zzn

z

zSS2ni

1iii

2ni

1iini

1i

2iR ==

=

=

=

=

==

=

(12-13)

( ) 21429zzSSSSSSni

1i

2iiRTD ===

=

=

(12-14)

90.04.2153245.193895

SSSS

RT

R2 === (12-15)

95.0SS.SS

SSr

SSSS

Ryx

xy

T

R ==== (12-16)

Mengacu pada paremeter-parameter statistik di atas dapat disimpulkan bahwa, model polinomial 2-D orde satu cukup representatif memodelkan data yang dicantumkan pada Tabel 12.1. Berdasar model ini dapat diinterpretasi bahwa, batuan dasar (baserock) berumur kapur di ladang minyak Anglo-Barren tidak mengalami pelipatan. 12.2.3. Model Polinomial 2-D Orde Tinggi (Permukaan) Model polinomial 2-D orde tinggi dinyatakan pada persamaan (12-1). Koefisien-koefisien polinomial ditentukan berdasar persamaan simultan dalam bentuk matrik berikut ini:

=

.

.zx

yzx.

zy.

zx.

yz

zx

z

.

.bbbbbbb

.........

.........

.....x..x

........yx

...yx.y...y

.....x..x

......y.y

...yx...xx

..xyxyxyxn

2

2

2

6

5

4

3

2

1

0

53

342

42

2

22

322

(12-17)


XII-4

12.3. Pemodelan Data 2-D dengan Deret Fourier Model data 2-D dengan deret Fourier merupakan pengembangan model data 1-D dengan metode yang sama dan dapat dinyatakan sebagai berikut:

++=

=

=

=

= 1i 1j1i 1j

2sin

2cos

2cos

2cos

2

j

1

inm

2

j

1

inmij

ymxnymxnz

=

=

=

=

+1i 1j1i 1j

2sin

2sin

2cos

2sin

2

j

1

inm

2

j

1

inm

ymxnymxn

(12-18)

Jika suku dalam cosinus dan sinus dinyatakan sebagai berikut:

21

i

2

j

1

i

mxn

mxn

j*mn

*mn

y2sinS

2sinS

y2cosC

2cosC

==

== (12-19)

maka persamaan (12-18) dapat dimodifikasi menjadi sebagai berikut:

=

=

+++=1i 1j

*mnnm

*mnnm

*mnnm

*mnnmij )SSCSSCCC(z (12-20)

Persamaan (12-20) merupakan sistem persamaan linier simultan yang secara simbolik dapat dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut:

[A] . [] = [C] (12-21) [A] adalah matrik yang elemennya merupakan penjumlahan, [] adalah vektor koefisien Fourier yang dicari dan [C] adalah vektor penjumlahan perkalian silang. Matrik [A] mempunyai elemen sebagai berikut:

[ ]

=

2*mn

*13

*mn

*01

*mn

*00

*mn

*mn

*13

2*13

*01

*13

*00

*13

*mn

*01

*13

*01

2*01

*00

*01

*mn

*00

*13

*00

*01

*00

2*00

*mn

*13

*01

*00

*mn

*13

*01

*00

)S(SSCSSCCSSCCSS

SSSC)S(CCCSCCCSC

SSCCSCCC)C(CCCCCSSCCSCCCCCCC)C(Cnd

SSSCCCCC

SS

SC

CCCC

A

LL

MMMM

LL

MMMM

LL

LL

LL

M

M

(12-22)

Vektor koefisen Fourier yang dicari dan vektor perkalian silang yang diketahui masing-masing mempunyai elemen-elemen sebagai berikut:


XII-5

[ ] [ ]

=

=

*mn

*13

*01

*00

mm

31

10

00

SzS

SzC

CzCCzC

C

M

M

M

Mdan (12-23)

Jika n dan m berharga nol, maka komponen sinus dan cosinus-nya akan mempunyai harga nol dan satu seperti dinyatakan sebagai berikut:

0y)0(2

sinx)02

sin2

==

j1

i( (12-24)

1y)0(2

cosx)02

cos2

==

j1

i( (12-25)

Harga perkalian sinus dan cosinus lengkap secara skematis diberikan sebagai berikut:

Tabel 12.3: Perkalian Sinus dan Cosinus (II) m

n 0 1 2 3 4

cos* sin* cos* sin* cos* sin* cos* sin* cos* sin*

cos 1 C*1 S

*1 C

* 2 S*2 C

*3 S

*3 C

* 4 S *4

0

sin

cos C1 C1C*1 C1S

*1 C1C

*2 C1S

*2 C1C

*3 C1S

*3 C1C

*4 C1S

*4

1 sin S1 S1C

*1 S1S

*1 S1C

*2 S1S

*2 S1C

* 3 S1S*3 S1C

*4 S1S

* 4

cos C2 C2C*1 C2S

*1 C2C

* 2 C2S*2 C2C

*3 C2S

*3 C2C

*4 C2S

*4

2

sin S2 S2C *1 S2S

*1 S2C

*2 S1S

*2 S2C

* 3 S2S*3 S2C

*4 S2S

* 4

cos C3 C3C*1 C3S

*1 C3C

*2 C3S

*2 C3C

*3 C3S

*3 C4C

*4 C3S

*4

3

sin S3 S3C *1 S3S

*1 S3C

*2 S3S

*2 S3C

* 3 S3S*3 S3C

*4 S3S

* 4

cos C4 C4C*1 C4S

*1 C4C

*2 C4S

*2 C4C

*3 C4S

*3 C4C

*4

4

sin S4 S4C *1 S4S

*1 S4C

* 4 S4S *2 S4C

* 3 S4S*3 S4C

*4

n


XII-6

Untuk kasus dua cycle, maka n dan m berharga 0 dan 1, maka persamaan (12-20) dapat dimodifikasi menjadi sebagai berikut:

)SSCSSCCC(

)SSCSSCCC(

)SSCSSCCC(

)SSCSSCCC(z

*1111

*1111

*1111

*1111

*1001

*1001

*1001

*1001

*0110

*0110

*0110

*0110

1i 1j

*0000

*0000

*0000

*0000ij

+++

++++

++++

++++=

=

=

(12-26)

Dengan memperhatikan Tabel 12.3, maka persamaan (12-26) dapat dimodifikasi menjadi sebagai berikut:

*1111

*1111

*1111

*1111

*101

*101110110

1i 1j00ij

SSCSSCCC

SCSCz

+++

+++++=

=

= (12-27)

Persamaan (12-27) mempunyai 9 koefisien Fourier, sehingga persamaan matrik (12-21) akan mempunyai dimensi sebesar 9, seperti ditunjukkan pada persamaan (12-29). Solusi persamaan (12-29) yang merupakan koefisien Fourier kemudian disubstitusi ke dalam persamaan (12-27) menjadi persamaan model data z 2-D untuk n da m berharga 0 dan 1. Pemodelan data 2-D dengan deret Fourier menuntut adanya proses pemrograman komputer, karena melibatkan perhitungan sumasi atu penjumlahan dan operasi matrik skala besar. Jika data terdistribusi dalam interval yang teratur, maka koefisien Fourier dapat ditentukan dengan cara yang lebih mudah, yaitu berdasar formula berikut ini:

= =

= =

= =

= =

=

=

=

=

N

1i

jM

1j

iijnm

N

1i

jM

1j

iijnm

N

1i

jM

1j

iijnm

N

1i

jM

1j

iijnm

Mym2

sinN

xn2sinzNMK

Mym2

cosN

xn2sinzNMK

Mym2

sinN

xn2coszNMK

Mym2

cosN

xn2coszNMK

(12-28)

Koefisien-koefisien Fourier yang dihitung berdasar persamaan (12-2) kemudian disubtitusi ke dalam persamaan (12-20) menghasilkan persamaan model data 2-D berdasar deret Fourier.


XII-7

Keterangan: K = 1, jika n = 0 dan m = 0 K = 2, jika n = 0 atau m = 0, namun tidak keduanya berharga nol K = 4, jika n > 0 dan m > 0 n : jumlah cycle berasosiasi dengan x m : jumlah cycle berasosiasi dengan y N : jumlah grid dalam arah x M : jumlah grid dalam arah y


XII-8

=

*11

*11

*11

*11

1

*1

*1

1

11

11

11

11

10

01

01

10

00

2*1

21

*111

*11

*11

*11

*11

1

*1

*1

211

*11

*11

*11

*111

*1

*11

SzS

CzS

SzC

CzC

zS

zS

zC

zC

z

SS......SSC.SS

........CS

........SC

........CC

........S

........S

........C

.......CC

SSCSSCCCSSCCnd

(12-29)


XII-9

12.4. Pemodelan Data n-D Linier dengan Polinomial Pemodelan data n-D dengan polinomial dikembangkan berdasar pada pemodelan data 1-D seperti yang dinyatakan oleh persamaan (11-1) dan pemodelan data 2-D seperti dinyatakan oleh persamaan (12-1). Pemodelan data n-D linier dengan polinomial dapat dinyatakan sebagai berikut:

=

=

+=++++=ni

1iii0

nnn44332211oi xbbxb...............xbxbxbxbby (12-30)

Koefisien-koefisien bi dihitung seperti sebelumnya melalui persamaan matrik. Sebagai ilustrasi, untuk pemodelan data 3-D linier dengan polinomial, maka persamaan matrik mempunyai skema dan elemen-elemen sebagai berikut:

=

YXYXYX

Y

bbbb

.

XXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXn

3

2

1

3

2

1

0

2323133

3222122

3121211

321

(12-31)

Pemodelan data n-D nonlinier dengan polinomial, misalnya untuk pemodelan data 3-D orde 2 dapat dinyatakan sebagai berikut:

(12-32) 329318217

236

225

214332211oi

xxbxxbxxb

xbxbxbxbxbxbby

++

+++++++=

Persamaan matrik untuk perhitungan koefisien-koefisien yang tercantum dalam persamaan (12-32) mempunyai ekspresi sebagai berikut:

=

yxxyxxyxx

yxyxyxyxyxyx

y

bbbbbbbbbb

.

.........xx

.........xx

.........xx

.........x

.........x

.........x

.........x

.........x

.........xxx.xxx.xx.xn

32

31

21

23

22

21

3

2

1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

32

31

21

23

22

21

3

2

1

322123

2131

(12-33)

Pemodelan data n-D linier atau orde 1 merupakan dasar pemodelan data 2-D dengan moving average atau kriging yang kemudian sering disebut dengan kringing linier.


XII-10

12.5. Pemodelan Data 2-D dengan Moving Average Moving average adalah metode pemodelan data yang didasarkan pada nilai rata-rata sejumlah data di sekitar lokasi data yang dimodelkan. Prinsip nilai rata-rata ini kemudian diaplikasikan di lokasi-lokasi lain, sehingga dinamakan moving average. 12.5.1. Pemodelan Data Titik (Punctual) Pemodelan data titik atau punctual data merupakan dasar formula umum moving average yang dinyatakan sebagai berikut:

(12-34) in

1iik zwz

=

=

wi adalah fungsi bobot yang berharga 1/n untuk prinsip nilai rata-rata dan zi adalah data di sekitar lokasi yang ditinjau ( ). Pada persamaan (12-34) bobot atau pengaruh data sekitar berharga sama. Pada perkembangan selanjutnya nilai bobot dapat ditentukan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak lokasi yang ditinjau terhadap lokasi data di sekitarnya atau dikenal dengan invers squared distance. Pemodelan data titik dengan moving average berdasarkan kriteria invers squared distance dapat dinyatakan sebagai berikut:

kz

=

==n

1i2i

i

n

1i2i

k

d1

zd1

z (12-35)

12.5.2. Pemodelan Data Blok Rata-rata (Block Mean) Pemodelan data blok rata-rata didasarkan pada pemodelan data titik dan umumnya digunakan dalam eksplorasi pertambangan, namun demikian metode ini dapat digunakan untuk kasus-kasus lainnya, padamana data-data terstruktur dalam blok-blok. Prinsip atau permasalahan inti pemodelan data blok rata-rata dengan moving average adalah mendapatkan ekspresi hubungan antara model data blok rata-rata blok yang ditinjau dengan data blok rata-rata eksplorasi di sekitarnya atau dalam daerah tertentu. Prinsip ini kemudian diterapkan pada blok-blok lainya, sehingga disebut moving average. Untuk penjelasan, berikut ini adalah gambaran 9 blok penambangan. Misalkan masing-masing blok mempunyai data eksplorasi, yang jumlah dan lokasinya tidak teratur. Lokasi data rata-rata eksplorasi untuk setiap blok ( iz ) ditentukan di titik tengah masing-masing blok.


XII-11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Gambar 12.1: Blok-blok Penambangan

Data blok rata-rata tidak terpengaruh atau bersifat independen terhadap dimensi blok, sebaliknya varians-nya sangat tergantung oleh dimensi blok. Data blok rata-rata dan varians blok ke i dinyatakan sebagai berikut:

=

=

=mj

1jiji zm

1z (12-36)

=

=

=mj

1j

2iij

2i )zz(1m

1S (12-37)

Indeks i menyatakan blok yang ditinjau, sedang indeks j menyatakan indeks data dalam blok i. Semakin kecil dimensi blok, maka semakin tinggi nilai varians-nya. Varians mempunyai nilai yang stabil pada blok dengan dimensi minimal tertentu. Penaksiran data blok rata-rata dengan cara moving average didasarkan pada formula penaksiran titik seperti pada persamaan (12-34) yang dimodifikasi menjadi sebagai berikut:

==

+++=n

1iii0i

n

1ii0k zzwz (12-38)

kz ,i, iz masing-masing adalah nilai taksiran pada blok k, bobot untuk blok i dan data

blok rata-rata eksplorasi untuk blok i. Bobot dapat ditentukan seperti pada kasus moving average titik, yaitu masing-masing sebesar 1/n atau dengan cara lain, misalnya dengan kriteria invers squared distance. Penaksiran untuk blok diusahakan sedemikian rupa, sehingga blok yang ditaksir berada di tengah-tengah blok-blok lainnya. Pada Gambar 12.1, blok yang ditaksir adalah blok 5. Langkah-langkah penaksiran blok rata-rata dengan metode moving average dilakukan sebagai berikut:


XII-12

1. Tentukan konfigurasi blok desain moving average, misalkan blok 1 sampai blok 9 seperti pada Gambar 12.1.

2. Hitung data blok rata-rata eksplorasi ( iz ) masing-masing blok. 3. Tentukan model data rata-rata blok yang ditinjau. Misalkan blok 5 ditentukan sebagai

blok model dalam desain moving average, sehingga model data rata-rata blok 5 dapat dinyatakan sebagai berikut:

==

+++=9

1iii0

9

1iii05 zzzr (12-39)

4. Langkah 3 selanjutnya diberlakukan pada blok-blok lainnya dengan konfigurasi blok

seperti pada Gambar 12.1, sehingga akan diperoleh pemodelan data dengan moving average yang lengkap. Jika seandainya blok-blok lainnya yang lebih jauh dari konfigurasi blok desain moving average seperti pada Gambar 12.1 akan dilibatkan dalam penaksiran, maka bobot masing-masing blok dapat ditentukan berdasar kriteria invers squared distance. Jumlah bobot total harus sama dengan satu.

Harga koefisen dapat ditentukan sebagai berikut: 0

=

=

=

=ni

1ii

0

zn1z

z.'0

(12-40)

z disebut grand mean atau rata-rata dari data rata-rata eksplorasi ( iz ). Subtitusi

persamaan (12-40) ke dalam persamaan (12-39) akan didapat persamaan penaksir yang baru, yaitu:

=

+=n

1iiik zzz

'0 (12-41)

Metode moving average mempunyai keterbatasan, yaitu akan menghasilkan penaksiran yang kurang teliti, jika digunakan pada blok-blok eksplorasi yang letaknya berjauhan dengan blok-blok desain moving average, demikian juga jika data bersifat sangat eratik atau sangat variatif dalam jarak pendek. Agar diperoleh penaksiran yang teliti sebaiknya desain moving average meliputi blok-blok di sekitarnya saja.


XII-13

Bab 12Pemodelan Data Dua dan Multi DimensiTabel 12.2: Pengolahan Data untuk Parameter-parameter StatisPemodelan Data 2-D dengan Polinomial 2-D Orde Satu

maka persamaan (12-18) dapat dimodifikasi menjadi sebagai beTabel 12.3: Perkalian Sinus dan Cosinus (II)sin12.5.1. Pemodelan Data Titik (Punctual)12.5.2. Pemodelan Data Blok Rata-rata (Block Mean)

Documents

Bab 12 - Pemodelan Data 2-D dan n-D.pdf