BAB 2 DASAR TEORI FFT-IFFT - digilib.itb.ac.id · Desain dan Implementasi 2k Pipeline FFT-IFFT Core untuk DVB-T | 11 domain waktu dan pada akhirnya akan didapatkan DFT utuh pada domain

BAB 2

DASAR TEORI FFT-IFFT

Pada Bab ini dibahas tentang hubungan antara Discrete Fourier Transform (DFT) dan

algoritma Fast Fourier Transform (FFT), dan hubungan antara algoritma FFT dan

IFFT. Dua tipe algoritma FFT dibahas yaitu Decimation in Frequency dan Decima-

tion in Time. Kedua tipe algoritma ini dapat diimplementasikan kedalam beberapa

algoritma FFT seperti Cooley-Tukey dan Sande-Tukey. Pembahasan berlanjut men-

genai perbandingan algoritma radix yang umum digunakan juga dibahas yaitu algo-

ritma Radix-2, Radix-4, dan Radix-8. Selain itu juga dibahas tetang konstanta twiddle

factor dan bagaimana cara membangkitkannya. Pada bagian akhir dibahas tentang

penggunaan algoritma FFT dan IFFT dalam sistem OFDM baik dalam sistem pengi-

rim maupun penerima.

2.1 DFT dan FFT FFT adalah algoritma yang efisien untuk melakukan komputasi DFT. DFT sendiri

adalah nama untuk transformasi matematis untuk suatu sinyal waktu diskrit, sedang-

kan FFT lebih merujuk kepada algoritma untuk melakukan komputasi tersebut. Algo-

ritma FFT dan inverse-nya (IFFT), menfasilitasi proses transformasi yang cepat dan

efisien antara domain frekuensi da ain waktn dom u dan sebaliknya.

DFT untuk N-point sekuens data dengan 0,1, . . , 1 didefinisikan pada

persamaan (2.1).

(2.1)

Dengan 0,1, … , 1 dan . Nilai sering pula disebut sebagai pan-

jang transformasi (N-point) dan indeks dan adalah indeks domain waktu dan do-

main frekuensi.

8

Kebalikann

didefinisik

Untuk 0Dari (2.1

tak pada d

)

u

nensial unt

digunakan

1. Me

2. Me

Modifikasi

pat diguna

Persamaan

lukan impl

kan

tasi untuk

untuk men

tima yang

mengekspl

dan algorit

form (FFT

Transform

nya, inverse

kan pada per

0,1, … , 1dan (2.2) te

ua hal, yaitu

tuk . Kar

n pula untuk

embalik inpu

embagi outp

i ini ditunju

akan sebagai

n (2.1) dan (

lementasi pe1 penjum

N-point DF

ngurangi kom

dapat meng

loitasi karak

tma komput

T) dan algo

m (IFFT).

Desain dan

e DFT untu

rsamaan (2.2

1 .

erlihat bahw

u adanya fak

rena kemirip

menghitung

ut dan outpu

put dari FFT

ukkan oleh G

i FFT Core d

Gambar 2-

(2.2) merup

erangkat ker

mlahan dan

FT adalah

mpleksitas p

gurangi kom

kteristik sime

tasi DFT lai

oritma komp

n Implementas

uk sekuens

2).

1wa perbedaan

ktor skala 1⁄pan ini, algo

g IFFT deng

ut FFT Core

T Core denga

Gambar 2-1.

dan IFFT Co

-1 IFFT Core b

akan kompu

ras yang bes1 pe

. Oleh

perhitungan.

mpleksitas k

etri dari kom

nnya kemud

putasi IDFT

si 2k Pipeline F

data

n antara kom⁄ pada IDF

oritma dan ar

an dua mod

e an ilatara n i

an 1⁄ .

Dengan dem

ore[3].

berbasis FFT C

utasi yang s

sar. Komput

erkalian. Se

h karena itu

. Coley-Tuk

komputasi m

mputasi DFT

dian disebut

T disebut de

FFT-IFFT Co

dengan

mputasi DFT

FT dan tand

rsitektur dar

ifikasi kecil

i real dan im

mikian sebu

Core

angat komp

tasi DFT dan

hingga kom

diperlukan

key memberi

menjadi

T[4]. Algorit

t dengan Fas

engan Inver

ore untuk DVBB-T | 9

0,1, … , 1

(2.2)

T dan IDFT

da pangkat e

ri FFT Core

sebagai ber

terle-

ekspo-

dapat

rikut,

majiner.

uah FFT Corre da-

pleks dan m

n IDFT mem

mpleksitas ko

algoritma k

ikan solusi a

de

tma Coley-T

st Fourier T

rse Fast Fo

emer-

merlu-

ompu-

khusus

algor-

engan

Tukey

Trans-

ourier

Desain dan Implementasi 2k Pipeline FFT-IFFT Core untuk DVB-T | 10

Gambar 2-2 Perbandingan kompleksitas komputasi antara DFT dan FFT

2.2 Algoritma FFT Desain prosesor FFT, sangat tergantung kepada komputasi matematis yang digunakan

pada algoritma yang dipilih. Pemilihan algoritma tepat akan mempengaruhi kecepatan

komputasi, kompleksitas perangkat keras, dan konsumsi daya yang diperlukan.

2.2.1 Algoritma Cooley-Tukey

Algortima FFT didasarkan pada prinsip yang disebut dengan divide-and-conquer un-

tuk mengurangi jumlah komputasi (penjumlahan atau perkalian) untuk mendapatkan

hasil yang sama dengan DFT. Teknik ini secara rekursif membagi DFT yang besar

menjadi beberapa komputasi DFT yang lebih kecil. Tiap-tiap DFT kemudian dikerja-

kan secara independen dan hasilnya digabungkan untuk mendapatkan DFT keseluru-

han[5].

Cooley dan Tukey mendemonstrasikan keunggulan metode ini dengan menggunakan

algoritma yang kemudian disebut dengan algoritma radix-2. Algoritma ini secara

efektif membagi komputasi DFT menjadi 2 pada setiap tahap rekursi sehingga pada

akhirnya didapatkan 2-point DFT. Karena panjang data harus dibagi menjadi dua pa-

da setiap tahap rekursi, maka DFT awal harus merupakan bilangan pangkat dari dua.

DFT dengan panjang bukan bilangan pangkat dua harus dilakukan penambahan den-

gan nilai nol (zero padding).

Tipe algoritma seperti yang digunakan oleh Coley-Tukey disebut sebagai Decimation

in Time (DIT). Hal ini karena algoritma ini menghitung setiap blok kecil DFT pada


domain waktu dan pada akhirnya akan didapatkan DFT utuh pada domain frekuensi.

Algoritma ini memiliki persyaratan dalam implementasi ke perangkat keras yaitu in-

put dari DIT memiliki indeks bit-reversed. Sebagai contoh untuk 8-point DFT, input

data pertama adalah tetap indeks ke-0, tetapi input data kedua adalah indeks ke-4 ka-

rena bit-reversed dari indeks “001” adalah “100” dan seterusnya.

Gambar 2-3 Radix-2 butterfly untuk algoritma Cooley-Tukey

2.2.2 Algoritma Sande-Tukey

Input data bit-reversed tidak terlalu disukai untuk implementasi. Oleh karena itu, di-

gunakan tipe algoritma lain yang disebut dengan Decimation in Frequency (DIF).

Tipe algoritma ini merupakan kebalikan dari DIT karena ukuran komputasi DFT pada

tahap berikutnya selalu lebih kecil dibanding tahapan sebelumnya. DIF mensyaratkan

output dari FFT memiliki indeks bit-reversed sedangkan inputnya indeksnya tetap.

Gambar 2-4 Radix-2 butterfly untuk algoritma Sande-Tukey

Algoritma Sande-Tukey memiliki kompleksitas komputasi yang sama dengan Coley-

Tukey. Namun, algoritma ini dan DIF pada umumnya, lebih disukai daripada DIT

untuk diimplementasikan ke perangkat keras. Struktur butterfly dari DIF yang mela-

kukan komputasi perkalian dengan twiddle factor dan pemotongan bit (bit-truncation)

setelah penjumlahan butterfly memberikan nilai SNR yang lebih baik dibanding DIT

yang melakukan hal sebaliknya[6].


2.3 Algoritma Mode Decimation in Frequency

2.3.1 Algoritma Radix-2

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, algoritma Sande-Tukey adalah algoritma FFT

Radix-2 bertipe DIF. Algoritma Radix-2 membagi data menjadi dua sama besar. Se-

tiap kombinasi data akan dieksekusi dengan operasi yang disebut dengan butterfly.

Butterfly adalah unit terkecil FFT [7]. Gambar 2-3 dan Gambar 2-4 memperlihatkan

satu unit butterfly Radix-2 bertipe DIT dan DIF. Seluruh komputasi FFT dapat ditun-

jukkan/digambarkan dengan menggambar unit radix secara repetitif untuk setiap out-

put radix tahap sebelumn a. y

Pada algoritma Radix-2, dan , pada Gambar 2-4 merupakan data dengan indeks

yang terpisah 2⁄ . Maka apabila memiliki indeks maka memiliki indeks 2⁄ . Demikian pula dengan dan , mereka juga memiliki indeks dengan

pola yang sama sehingga implementasi pada perangkat keras menjadi lebih sederha-

na. Pengalamantan data yang sama antara input dan output ini disebut dengan pola in-

place addressing karena data output dapat menempati posisi yang sama dengan yang

digunakan oleh input. Proses ini diulangi terus menerus hingga tahap terakhir.

Gambar 2-5 menunjukkan contoh signal flowgraph dari 8-point DFT yang dikompu-

tasi dengan menggunakan 3 tahap Radix-2 FFT. Tahap pertama membagi data men-

jadi 2 blok dengan panjang masing-masing 4. Tahap kedua membagi output dari ta-

hap pertama menjadi 2 lagi dengan panjang 2 dan tahap terikhir merupakan satu unit

Radix-2 FFT.

Gambar 2-5 Contoh signal flowgraph untuk 8-point DFT


Pada perkembangannya, disadari bahwa proses faktorisasi tidak harus dengan nilai 2,

setiap DFT dapat pula difaktorisasi dengan nilai lain asalkan tetap memenuhi syarat

bahwa perkalian seluruh nilai faktor adalah besar DFT itu sendiri. Misalnya, 64-point

DFT dapat dipecah menjadi 6 tahap 2-point DFT atau 3 tahap 4-point DFT atau 2 ta-

hap 8-point DFT. Bahkan beberapa kombinasi DFT dapat digunakan, misalnya

menggunakan radix-2 diteruskan dengan radix-4 dan radix-8 untuk menyusun 64-

point DFT tersebut. Selain algoritma radix-2, terdapat dua tipe radix yang biasa digu-

nakan yaitu radix-4 dan radix-8.


Algoritma Radix-4 membagi data menjadi 4 blok data. Dengan demikian setiap tahap

komputasi akan membagi tahap sebelumnya menjadi 4. Pada kenyataannya, Radix-4

merupakan dua tahap Radix-2 FFT untuk 4-point DFT. Oleh karena Radix-4 hanya

merupakan generalisasi dari Radix-2, maka seluruh sifat dari Radix-2 juga dimiliki

oleh Radix-4 termasuk struktur yang regular, in-place addressing, dan pipelining.

Gambar 2-6 Radix-4 node

Gambar 2-7 Signal flow graph Radix-4 butterfly

Keunggulan Radix-4 dibandingkan dengan Radix-2 adalah adanya trivial twiddle fac-

tor yang dapat dikeluarkan dari daftar multiplikasi twiddle factor. Trivial twiddle fac-

tor adalah nilai twiddle factor yang tidak memerlukan multiplikasi untuk diimplemen-


tasikan. Algoritma Radix-4 dapat mengeluarkan nilai twiddle untuk dan yang

masing-masing bernilai – dan . Jika data kompleks dikalikan dengan – ,

maka yang perlu dilakukan hanya menjadikan nilai sebagai data real dan – seba-

gai data imajiner sehingga didapatkan . Demikian pula dengan perkalian

dengan . Maka yang perlu dilakukan hanya menjadikan nilai sebagai data

imajiner dan nilai – sebagai nilai realnya sehingga didapatkan – . Dengan

demikian salah satu keuntungaan adalah, presisi dapat ditingkatkan dibanding perka-

lian dengan nilai – dan dengan nilai bit-precission.

Radix-4 memerlukan 4 input pada setiap tahapnya, oleh karenanya, panjang FFT

yang dikalkulasi haruslah merupakanbilangan pangkat dari 4. Maka terdapat beberapa

nilai FFT yang dapat dikerjakan dengan Radix-2 namun tidak dapat dengan Radix-4.

Salah satu metode untuk mengatasi hal ini adalah dengan menggabungkan komputasi

Radix-4 dengan Radix-2 untuk menghasilkan FFT mixed-radix.


Algoritma Radix-8 membagi data menjadi 8 blok data. Dengan demikian setiap tahap

perhitungan akan membagi data tahap sebelumnya menjadi 8. Seperti halnya Radix-4,

Radix-8 juga merupakan turunan dari Radix-2. Pada kenyatannya, gambar flowgraph

Radix-8 merupakan 3 tahap Radix-2 FFT untuk 8-point DFT.

Gambar 2-8 Radix-8 node


Gambar 2-9 Signal flow graph Radix-8 butterfly

Algoritma Radix-8 menambahkan dua buah trivial twiddle factor yang dapat dikelua-

rkan dari daftar multiplikasi twiddle factor. Nilai trivial twiddle factor tersebut adalah 1 √2⁄ dan 1 √2⁄ . Karena terdapat faktor pembagian dengan √2 maka

diperlukan unit scaling. Unit ini dapat diimplementasikan dengan menggunakan sir-

kuit shift-and-add nilai konstan yang tidak memerlukan kebutuhan perangkat keras

yang tinggi. Selain itu nilai presisi untuk kedua twiddle factor ini dapat ditingkatkan

dengan menambahkan level sirkuit shift-and-add.

2.4 Twiddle Factor Twiddle factor adalah konstanta trigonometri yang akan dikalikan dengan data pada

algoritma FFT. Dari persamaan (2.1) konstanta twiddle factor adalah , sehingga

2048-point FFT memerlukan 2048 nilai konstanta kompleks twiddle factor. Nilai

konstanta ini dapat diperoleh dengan melakukan sampling satu siklus nilai cosinus

dan nilai sinus untuk twiddle factor real dan twiddle factor imajiner seperti yang di-

tunjukkan oleh (2.3).

cos 22048 sin 22048

(2.3)


Untuk menyimpan seluruh nilai twiddle factor ini memerlukan ROM yang besar.

Oleh karena itu tidak seluruh nilai twiddle factor disimpan. Gambar 2-10 menunjuk-

kan bahwa hanya 1 8⁄ nilai twiddle factor awal saja yang perlu disimpan (dari indeks 0 sampai dengan 256), sedangkan nilai twiddle factor lainnya dapat dihasil-

kan dari nilai ini[8].

Gambar 2-10 Seperdelapan siklus nilai cosinus (kiri) dan sinus (kanan)

2.5 FFT-IFFT dalam OFDM Ortogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) merupakan teknik multiplexing

dengan cara membagi sebuah kanal lebar menjadi beberapa kanal sempit, yang dapat

mengirimkan informasi secara parallel pada waktu yang bersamaan. Keunggulan

OFDM dibandingkan dengan teknik modulasi lainnya adalah kemampuannya untuk

mengatasi multipath. Pengiriman data secara parallel memungkinkan tiap bit dikirim-

kan dengan rate yang lebih kecil. Rate yang lebih kecil berarti perioda simbol yang

lebih panjang. Jika delay spread yang terjadi akibat multipath cukup kecil jika diban-

dingkan dengan perioda simbol, maka efek dari multipath tidak akan terlalu signifi-

kan lagi[9].

Perbedaan antara OFDM dengan FDM (Frequency Division Multiplexing) adalah

bentuk spektrumnya yang berupa sin ⁄ diatur sedemikian rupa sehingga sinyal-

sinyal carrier yang ada secara matematis bersifat ortogonal sehingga spektrum-

spektrum dari subcarrier dimungkinkan tumpang tindih tanpa saling mengganggu.

Suatu siny

Dengan

dan adal

DFT mem

ini algoritm

dan algorit

demodulas

diimpleme

Sedangkan

dulator bas

yal disebut or

merupaka

lah periode s

iliki sifat ort

ma IFFT) un

tma FFT unt

si kembali.

entasikan de

n OFDM dem

seband.

Desain dan I

Gambar 2

rtogonal jika

an kompleks

simbol OFD

togonal. Ole

ntuk memba

tuk mengem

Dengan de

engan meng

modulator d

Implementasi

2-11 Spektrum

a memenuhi

s konjugat d

DM.

eh karena itu

angkitkan sin

mbalikan tran

mikian, sec

ggunakan sa

diimplement

2k Pipeline F

m Sinyal OFDM

i persamaan

, jika p0, jika pdari ,

u OFDM me

nyal ortogon

nsformasi ke

cara sederha

atu IFFT cor

tasikan deng

FFT-IFFT Cor

M[9]

n (2.4).

qq

adalah kon

enggunakan

nal yang aka

e domain fre

ana OFDM

re dan mod

gan satu FFT

re untuk DVB-T | 17 -

(2.4)

stanta bukann nol,

IDFT (dala

an ditransmis

ekuensi, untu

modulator

dulator base

T core dan d

am hal

sikan,

uk di-

dapat

eband.

demo-


Gambar 2-12 Sistem OFDM berbasis IFFT dan FFT

Proses pembangkitan sinyal OFDM pada umumnya menggunakan IFFT dengan pan-

jang yang lebih besar dibanding jumlah subcarrier yang digunakan. Sebagai contoh,

untuk modulasi OFDM yang digunakan pada DVB-T, dari 2048 subcarrier yang

mungkin digunakan hanya 1705 subcarrier yang dipakai, sedangkan sisanya diberi

nilai nol (zero padding). Hal ini bermanfaat untuk menghindari terjadinya efek alias-

ing pada saat sinyal OFDM diubah ke bentuk analog dengan DAC. Selain itu, input 0

juga diberikan pada masukan dari IFFT pada frekuensi 0, yang berguna untuk meng-

hilangkan komponen DC pada sinyal OFDM.

Input IFFT berasal dari blok frame adaptation (Gambar 1-1). Blok frame adaptation

menerima data dari modulator (QPSK, 16-QAM, atau 64-QAM) dan menambahkan

data pilot dan TPS carrier untuk dibentuk menjadi simbol OFDM. Masing-masing

modulator memiliki range output yang berbeda-beda yang ditunjukkan pada Tabel

2-1. Dari tabel tersebut, 64-QAM memiliki range yang terbesar. Untuk mengkode-

kannya dalam format fixed point maka paling tidak diperlukan satu buah sign bit, satu

buah integer bit, dan bit sisanya untuk mengkodekan nilai pecahan. Dari persamaan

(2.2), diperoleh bahwa range output dari IFFT akan sama dengan range inputnya se-

hingga sistem pengkodean yang sama dapat diterapkan pada output IFFT.


Tabel 2-1 Nilai output dari tiap tipe modulasi

Modulasi MAX MIN N . orm Range Output

QPSK 1 -1 √2 0.707 s.d -0.707

16-QAM 3 -3 √10 0.949 s.d -0.949

64-QAM 7 -7 √42 1.080 s.d -1.080

Pada kenyatannya, untuk input berupa simbol OFDM, apabila IFFT dilakukan dengan

menggunakan faktor normalisasi 1⁄ seperti yang ditunjukkan dengan persamaan

(2.2) maka output akan memiliki amplitudo yang sangat kecil. Sehingga beberapa

faktor normalisasi lain diperkenalkan seperti menggunakan faktor normalisasi gain

tetap 1 √⁄ , automatic data scaling[10][11], dan sebagainya. Implikasinya, IFFT

yang terjadi menjadi tidak standar lagi. Untuk mengurangi kompleksitas rancangan

dan tetap menjaga standarisasi komputasi, maka 2k FFT-IFFT Core yang dirancang

akan menggunakan sistem pengaturan gain manual. Faktor normalisasi dapat diatur

secara manual dengan nilai standar adalah gain standar (1⁄ ).

Input FFT berasal dari data hasil digitalisasi ADC. Data ini terlebih dahulu harus me-

lalui tahap Automatic Gain Control untuk menghilangkan penguatan yang diperoleh

sinyal dari kanal. Dengan demikian sinyal yang diterima oleh FFT dianggap tidak

mendapat penguatan oleh kanal. Output dari FFT akan di-demodulasi menggunakan

demodulator yang sesuai dengan modulator pengirim. Oleh karena itu sinyal output

FFT akan memiliki range yang sama dengan input IFFT. Sehingga, lebar bit dan

pengkodean bit yang sama dapat dipergunakan.

Pengaturan gain yang sama dengan IFFT juga harus digunakan agar simbol OFDM

dapat ditransformasi dengan sempurna. Karena FFT dan IFFT adalah sistem linier,

maka penguatan di satu domain dapat dihilangkan dengan membagi output transfor-

masi dengan nilai yang sama. Dengan demikian, apabila pada output IFFT dilakukan

penguatan sebesar , maka output dari FFT harus dikalikan dengan 1⁄ .

Documents

BAB 2 DASAR TEORI FFT-IFFT - digilib.itb.ac.id · Desain dan Implementasi 2k Pipeline FFT-IFFT Core untuk DVB-T | 11 domain waktu dan pada akhirnya akan didapatkan DFT utuh pada domain