BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Matriks

2.1.1 Definisi Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (elemen-elemen) yang disusun

menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, di mana

panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris.

Matriks pada dasarnya merupakan alat yang ampuh di dalam pemecahan

persoalan-persoalan yang terdiri dari lebih dari dua persamaan dengan beberapa

variabel dan memudahkan di dalam pembuatan analisis-analisis yang mencakup

hubungan antara variabel-variabel.

Pada awalnya matriks ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh

seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-

1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan

transformasi linier awal dari semua ini matriks dianggap sebagai sebuah

permainan karena matriks dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925

matriks digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matriks

digunakan dalam berbagai bidang. Di dalam memecahkan persoalan operation

research atau linier programming, matriks memegang peranan penting terutama

sebagai landasan yang kuat untuk memahami pengertian-pengertian pemecahan

dasar, metode simpleks dan lain sebagainya.

Sebuah matriks dinotasikan dengan simbol huruf besar seperti atau

dan sebagainya. Apabila suatu matriks A terdiri dari m baris dan n kolom, maka

matriks A bisa ditulis sebagai berikut:

Universitas Sumatera Utara

9

Keterangan :

A = , i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n.

merupakan elemen matriks A dari baris i dan kolom j, i dan j dinamakan

indeks (subcript), yaitu petunjuk letak (posisi) bagi setiap elemen. Elemen-

elemen: , , ..., , ..., disebut diagonal pokok (main diagonal).

Matriks tereduksi adalah matriks yang tiap kolom dan tiap barisnya

mengandung atau memiliki paling sedikit satu buah angka 0 dan elemen-elemen

lainnya bernilai non-negatif. Untuk mendapatkan matriks tereduksi, maka tiap

baris atau kolom yang belum mengandung angka 0 dikurangi dengan nilai terkecil

pada baris atau kolom tersebut.

2.1.2 Jenis-jenis Matriks

Beberapa jenis matriks sebagai berikut:

1. Matriks kuadrat

Matriks kuadrat adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama

banyak. Dalam suatu matriks kuadrat, elemen-elemen disebut

elemen diagonal utama.


10

2. Matriks diagonal

Matriks kuadrat dinamakan matriks diagonal jika semua elemen di

luar diagonal utama adalah nol, untuk dan paling tidak satu

elemen pada diagonal pokok untuk . Jumlah elemen-elemen

diagonal utama suatu matriks kuadrat disebut trace ditulis .

3. Matriks Identitas

Matriks disebut matriks identitas dan biasa diberi symbol

4. Matriks singular

Matriks kuadrat dikatakan singular jika semua elemen pada salah

satu baris atau kolom adalah nol atau jika semua kofaktor dari elemen suatu

baris atau kolom sama dengan nol. Untuk melihat kesingularan suatu matriks

adalah dengan menghitung determinan matriks tersebut. Apabila

determinannya sama dengan nol maka matriks tersebut singular.

5. Matriks orthogonal

Matriks kuadrat dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal

jika terdapat matriks orthogonal sehingga berlaku . Matriks

orthogonal didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan

transposenya, sehingga dan adalah matriks orthogonal.

2.1.3 Operasi Matriks


11

Ada beberapa operasi dalam matriks, yaitu :

1. Perkalian matriks dengan skalar

Jika adalah matriks dan adalah suatu skalar, maka hasil kali

dengan adalah matriks

dengan .

2. Perkalian matriks dengan matriks

Jika adalah matriks dan adalah matriks maka

hasil kali dari matriks dan matriks ditulis dengan adalah matriks

.

3. Penjumlahan matriks

Jika adalah matriks dan adalah matriks maka

penjumlahan matriks dan matriks yang ditulis dengan dengan:

(2.1)

4. Transpose matriks

Jika adalah matriks maka matriks dengan dan

disebut dengan transpose dari matriks

Matriks yang umum dapat ditulis:

(2.1)


12

5. Invers matriks

Jika matriks disebut non singular apabila terdapat matriks maka

Matriks disebut invers dari matriks . Jika tidak terdapat

matriks maka matriks disebut singular. Secara umum invers matriks

adalah:

Sifat-sifat invers:

a. Jika matriks non singular, maka adalah non singular dan

b. Jika dan adalah matriks non singular, maka adalah non singular dan

c. Jika adalah matriks non singular, maka .

2.2 Program Linier

Pemrograman linier adalah salah satu model yang umum digunakan dalam

masalah pengalokasian sumber daya secara optimal. Pemrograman linier meliputi

kegiatan untuk mencapai hasil yang optimal dari antara alternatif-alternatif yang

mungkin menggunakan model matematis berbentuk fungsi linier. Program linier

disusun oleh George B. Dantzig tahun 1947 pada saat memimpin Air Force

Statistical Control’s Combat Analysis Branch di Pentagon. Saat Dantzig

menganalisis masalah perencanaan Air Force dia menyadari dapat merumuskan

sistem ketidaksamaan linier. Hal di atas merupakan awal pemberian nama untuk

teknik “program dan struktur linier” yang belakangan ini disederhanakan menjadi

program linier (Taylor, 2001).

(2.2)


13

Program linier merupakan model matematika untuk mendapatkan alternatif

penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linier digunakan

untuk menunjukkan fungsi-fungsi matematika yang digunakan dalam bentuk linier

dalam arti hubungan langsung dan proporsional. Program menyatakan

penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi, program linier adalah suatu teknik

perencanaan yang bersifat analitis menggunakan model matematis dengan tujuan

menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan optimum terhadap

persoalan (Aminuddin, 2005).

Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu

problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan

(memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam

model matematik persamaan linier. Program linier sering digunakan dalam

penyelesaian problema-problema alokasi sumber daya, seperti dalam bidang

manufacturing, pemasaran, keuangan, personalia, administrasi, dan lain

sebagainya (Parlin Sitorus, 1997).

Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan

pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang

bersaing, dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan. Pokok pikiran utama

dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas

dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah

terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menerjemahkan masalah ke

dalam bentuk model matematika (P. Siagian, 2006).

Program linier berkaitan dengan maksimalisasi atau minimalisasi fungsi

tujuan linier dengan beberapa variabel yang memiliki kesamaan dan ketaksamaan

fungsi kendala. Program linier menggunakan model matematis untuk menjelaskan

persoalan yang dihadapinya. Sifat “linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi

matematis dalam model merupakan fungsi yang linier, demikian kata program

merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian program linier adalah

perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum,

yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara alternatif yang layak

(Dantzig & Thapa, 1997).


14

2.2.1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier

Syarat-syarat yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema keputusan

ke dalam model matematik persamaan linier adalah sebagai berikut (Parlin

Sitorus, 1997):

1. Tujuan

Apa yang menjadi tujuan permsasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan

dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi

tujuan.

2. Alternatif Perbandingan

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan,

misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu

terlambat dan biaya terendah.

3. Sumber Daya

Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas.

4. Perumusan Kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif sesuai

dengan yang disebut dalam model matematika.

5. Keterkaitan Peubah

Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus

memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.


15

2.2.2 Model Umum Matematik Program Linier

Model umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematik

sebagai berikut (Parlin Sitorus, 1997):

Dengan kendala:

dan

Keterangan:

= Fungsi tujuan

= Variabel keputusan

= Nilai kontribusi dari variabel keputusan

= Koefisien teknologi dari variabel keputusan dalam kendala ke-

= Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-

2.2.3 Karakteristik Program Linier

Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk

memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematik, yaitu

(Siswanto, 2006):

1. Variabel Keputusan

(2.4)

(2.3)


16

Variabel keputusan adalah variabel yang secara lengkap menguraikan

keputusan-keputusan yang akan dibuat.

2. Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang

berupa fungsi maksimum atau minimum.

3. Fungsi Kendala

Fungsi kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian program linier

yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam persamaan dan

pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan

yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu masalah.

2.2.4 Asumsi dalam Program Linier

Dalam membangun model dari formulasi suatu persoalan akan digunakan

karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier,

yaitu (Syahputra, 2012):

1. Linieritas (Linierity)

Fungsi tujuan (objective function) dan fungsi kendala (constraint) dibuat dalam

fungsi linier. Sifat linieritas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan

beberapa cara, misalnya dengan menggunakan grafik.

2. Kesetaraan (Propotionality)

a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah

sebanding dengan nilai variabel keputusan.

b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas

juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.

3. Penambahan (Addivity)

Sifat penambahan mengasumsikan bahwa tidak terdapat bentuk perkalian

silang pada model, baik bagi fungsi tujuan maupun fungsi kendala.

4. Pembagian (Divisibility)

Solusi dapat berupa bilangan bulat (integer) atau bilangan pecahan.

5. Ketidaknegatifan (Nonnegativity)


17

Nilai variabel keputusan harus lebih besar atau sama dengan nol.

6. Kepastian (Certainty)

Koefisien pada fungsi tujuan ataupun fungsi kendala merupakan suatu nilai

pasti, bukan merupakan suatu nilai dengan peluang tertentu.

Asumsi-asumsi tersebut harus dipenuhi apabila ingin menyelesaikan

masalah model program linier. Jika asumsi-asumsi tersebut tidak dapat

terpenuhi, persoalan dapat diselesaikan dengan program matematika lain

seperti integer programming nonlinier programming, goal programming dan

dynamic programming.

Suatu masalah dapat mempunyai banyak algoritma penyelesaian.

Algoritma yang digunakan tidak saja harus benar tetapi harus efisien. Efisiensi

suatu algoritma dari waktu eksekusi algoritma dan kebutuhan ruang memori.

Algoritma yang efisien adalah algoritma yang meminimumkan kebutuhan waktu

dan ruang. Dengan menganalisis beberapa algoritma untuk suatu masalah, dapat

diidentifikasi satu algoritma yang paling efisien. Besaran yang digunakan untuk

menjelaskan model pengukuran waktu dan ruang ini adalah kompleksitas

algoritma.

Kompleksitas dari suatu algoritma merupakan ukuran seberapa banyak

komputasi yang dibutuhkan algoritma tersebut untuk menyelesaikan masalah.

Secara informal, algoritma yang dapat menyelesaikan suatu permasalahan dalam

waktu yang singkat memiliki kompleksitas yang rendah, sementara algoritma yang

membutuhkan waktu yang lama untuk menyelesaikan masalahnya mempunyai

kompleksitas yang tinggi. Kompleksitas algoritma terdiri dari dua macam yaitu

kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang. Beberapa metode yang dipakai untuk

mengurangi tingkat kompleksitas adalah metode algoritma titik interior yang

dikembangkan oleh N. Karmarkar pada tahun 1984. Algoritma titik interior

memiliki tingkat komplekitas yang sama dengan metode simpleks, maka masalah

program linier dapat diselesaikan dengan waktu yang lebih singkat.


18

2.3 Metode Grafik

Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk

memecahkan permasalahan program linier. Metode ini menggunakan pendekatan

grafik dalam pengambilan keputusan dengan seluruh fungsi kendala dibuat dalam

satu bagian gambar kemudian diambil keputusan melalui grafik tersebut untuk

menentukan nilai variabel keputusan yang optimum. Metode ini hanya dapat

menyelesaikan dua variabel keputusan, apabila memiliki lebih dari dua variabel

keputusan maka metode ini tidak dapat digunakan (Parlin Sitorus, 1997).

Langkah-langkah metode grafik (Andi wijaya 2012):

1. Mengidentifikasi variabel keputusan dan memformulasikan dalam simbol

matematis.

2. Mengidentifikasikan tujuan yang akan dicapai dan kendala-kendala.

3. Memformulasikan tujuan dan kendala ke dalam fungsi matematik.

4. Membuat grafik untuk kendala-kendala yang ada dalam satu bagian. Untuk

membuat grafik fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan ( dan

diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk persamaan (

5. Menentukan daerah layak pada grafik. Daerah layak dapat dilihat dari

pertidaksamaan pada kendala. Apabila kendala berbentuk maka daerah

arsiran terjadi pada bagian kiri atau bawah atau kiri bawah, tetapi apabila

kendala berbentuk , maka daerah arsiran dilakukan di kanan atau kanan atas.

Apabila berbentuk persamaan ( maka daerah layak terjadi di sepanjang

grafik atau garis.

6. Menentukan titik-titik variabel keputusan pada daerah layak.

Contoh 2.1

Sebuah perusahaan memiliki pabrik yang akan memproduksi dua jenis produk

yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan

bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum

penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan

tenaga kerja 40 jam per hari. Tentukan nilai optimal untuk mencapai suatu


19

keuntungan. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja

dapat dilihat dalam tabel berikut:

Tabel 2.1 Kebutuhan Bahan Baku, Waktu Tenaga Kerja dan Maksimum

Penyediaan.

Jenis bahan baku

dan tenaga kerja

Bahan baku dan waktu

tenaga kerja Maksimum

penyediaan Kain

sutera Kain wol

Benang sutera 2 3 60 kg

Benang wol - 2 30 kg

Tenaga kerja 2 1 40 jam

Langkah-langkah dalam pengerjaan metode grafik:

1. Variabel keputusan

a. kain sutera

b. kain wol

2. Fungsi tujuan

3. Fungsi Kendala

a.

b.

c.

4. Membuat grafik

a.


20

,

b.

c.

,

Gambar 2.1 Fungsi Kendala

5. Menentukan daerah layak pada grafik.

Gambar 2.2 Daerah Layak

6. Menentukan titik-titik variabel keputusan pada daerah layak.


21

Gambar 2.3 Himpunan Penyelesaian

a. Titik A:

b. Titik B:

c. Titik C:

d. Titik D:


22

e. Titik E:

Hasil perhitungan disajikan dalam Tabel 2.2 sebagai berikut:

Tabel 2.2 Hasil Perhitungan

Titik

A(0,0) 0 0 0

B(20,0) 800 0 800

C(15,10) 600 300 900

D(7.5,15) 300 450 750

E(0,15) 0 450 450

Jadi berdasarkan hasil perhitungan pada tabel 2.2 diperoleh nilai

berada pada titik C dengan dan

2.4 Metode Simpleks

Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang secara

sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke pemecahan dasar

fisibel lainnnya, dilakukan secara berulang-ulang sehingga tercapai suatu

pemecahan dasar yang optimum dan setiap langkah menghasilkan suatu nilai dari

fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari iterasi sebelumnya (Parlin

Sitorus, 1997).

Cara yang paling sederhana untuk menyelesaikan permasalahan program

linier adalah dengan pendekatan grafikal. Cara tersebut hanya bisa diterapkan

untuk program linier dengan dua variabel keputusan. Pada kenyataannya sebagian

besar permasalahan program linier mempunyai lebih dari dua variabel keputusan.

Hal ini tentu sulit untuk menerapkan pendekatan grafikal untuk memperoleh

penyelesaian dari permasalahan tersebut. Pada tahun 1947 George Dantzig


23

mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan program

linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur

aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari

titik ekstrim pada daerah feasible (ruang sousi) menuju titik ekstrem yang

optimum (Aminuddin 2005).

Dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode

simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah merupakan bentuk standar, yaitu

bentuk formulasi yang memenuhi ketentuan berikut ini (Mustafa dan Parkhan,

1999).

1. Seluruh pembatas linier harus berbentuk persamaan dengan ruas kanan yang

nonnegatif.

2. Seluruh peubah keputusan harus merupakan peubah nonnegatif.

3. Fungsi tujuannya dapat berupa maksimasi atau minimasi.

Beberapa hal yang dapat dilakukan untuk mengubah bentuk permasalahan

program linier yang belum standar ke dalam bentuk standar permasalahan

program linier sesuai dengan ketentuan Pembatas linier (linier constraint) yang

terdiri dari:

a. Pembatas linier bertanda ”≤” dapat dijadikan suatu persamaan ”=”

dengan cara menambahkan ruas kiri dari pembatas linier itu dengan slack

variable (peubah penambah). Slack variabel pada umumnya digunakan

untuk mewakili jumlah kelebihan ruas kanan pembatas linier

dibandingkan dengan ruas kirinya. Pada pembatas linier bertanda ”≤”, ruas

kanan umumnya mewakili batas ketersediaan sumber daya sedangkan ruas

kiri umumnya mewakili penggunaan sumber daya tersebut yang dibatasi oleh

berbagai kegiatan yang berbeda (peubah) dari suatu model program linier

sehingga slack variable dapat diartikan untuk mewakili jumlah sumber daya

yang tidak dipergunakan.

b. Pembatas linier bertanda ”≥” dapat dijadikan suatu persamaan ”=”

dengan cara mengurangkan ruas kiri dari pembatas linier itu dengan surplus

variabel (peubah penambah negatif). Pada pembatas linier bertanda ”≥”,


24

ruas kanan umumnya mewakili penetapan persyaratan spesifikasi minimum,

sehingga surplus variabel dapat diartikan untuk mewakili jumlah kelebihan

sesuatu dibandingkan spesifikasi minimumnya.

c. Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan

cara mengalikan kedua ruas dengan -1.

d. Arah pertidaksamaan berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan -1.

e. Pembatas linier dengan pertidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda

mutlak dapat diubah menjadi dua pertidaksamaan.

Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program

linier dengan metode simpleks (Handayani, 2014):

1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.

Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah

kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan

dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan

(artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada

setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:

a. Untuk batasan bernotasi diubah ke dalam bentuk persamaan dengan

menambahkan variabel slack.

b. Untuk batasan bernotasi atau diselesaikan dengan menambahkan

variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan

ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat

suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangan besar) sebagai

harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus

maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk

kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara

pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).

2. Susun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks


25

Tabel 2.3 Bentuk Tabel Simpleks

...

Basis

Variabel Basis Harga Basis

...

...

...

...

3. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai yang paling

positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai yang paling

negatif untuk kasus minimasi.

4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah

perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,

5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan

baris kunci.

6. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris

variabel-variabel slack baru.

a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan

elemen cell.

b. Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara:

Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru)

c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.

7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris sudah

tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak


26

ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal.

Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.

2.5 Algoritma Titik Interior

Titik interior merupakan titik-titik yang beradadi dalam daerah layak. ada dua

langkah yang diperlukan dari metode titik interior, yaitu mencarik arah layak yang

memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik tertentu dari setiap iterasi dan

menentukan besar langkah yang menghasilkan titik baru yang berada pada daerah

layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran. Algoritma titik interior di bagi

dalam empat kelas utama yaitu, affine scaling methods, metode proyektif atau

dikenal dengan metode Karmarkar, path following methods dan potential

reduction methods.

Algoritma titik interior pertama kali diperkenalkan oleh Narendra

Karmarkar (1984) dari Laboratorium AT & T mengenai algoritma baru untuk

menyelesaikan masalah-masalah pemrograman linier yang besar. Algoritma titik

interior merupakan metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier

yang memotong atau menembus interior dari daerah fisibel untuk mencapai suatu

solusi optimal. Titik interior merupakan titik-titik yang berada di dalam daerah

fisibel (Hillier & Lieberman, 1990). Dasar teori algoritma ini menggunakan

konsep gradien dan proyeksi.

Algoritma titik interior dalam menyelesaikan persoalan program linier

secara fundamental berbeda dari metode simpleks. Langkah awal dalam algoritma

titik interior yaitu menentukan titik awal pemecahan masalah. Titik awal algoritma

titik interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal.

Algoritma titik interior berhenti menemukan solusi yang memiliki nilai fungsi

tujuan lebih kecil atau sama dengan nilai berhenti yang telah ditentukan pertama

kali. Gagasan dasar dari algoritma titik interior dapat dilihat dalam permasalahan

program linier berikut:

Maksimumkan

dengan kendala


27

Agar masalah program linier menjadi bentuk standar, maka ditambahkan variabel

pengetat pada masalah program linier di atas, sehingga menjadi:

Maksimumkan

dengan kendala

dengan adalah variabel slack.

Gambar 3.1 Permasalahan untuk Memaksimalkan Nilai

Gambar 3.1 menggambarkan permasalahan untuk memaksimalkan nilai .

Ruang pemecahan diketahui dengan ruas dan arah kenaikan adalah arah

postif . Iterasi dimulai dari titik interior C dalam ruang penyelesaian (garis AB).

gradien fungsi tujuan ( di C adalah arah yang membuat fungsi tujan

meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang

gradien itu dan kemudian memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang

penyelesaian (garis ), maka diperoleh titik baru . Dari sudut pandang nilai ,

titik yang baru ini lebih baik dari titik awal .

Perbaikan seperti ini diperoleh dengan bergerak dalam arah yang

merupakan gradien garis hasil proyeksi atau disebut sebagai gradien terproyeksi.

Jika prosedur yang sama ini diulang di , maka akan ditemukan satu titik baru di


28

yang lebih dekat dengan titik optimum. Dapat diperkirakan jika bergerak

dengan sangat hati-hati dalam arah gradien terproyeksikan, maka akan dicapai

titik optimum . Langkah-langkah yang dihasilkan di sepanjang gradien

terproyeksi tidak akan meleset dari titik optimum di dan dalam kasus dimensi

pada umumnya. Arah yang diciptakan oleh gradien terproyeksi tidak akan

menyebabkan terjebaknya algoritma tersebut di titik yang bukan optimum.

Prosedur gradien yang diproyeksikan akan menjauh dari titik ke arah optimum

di (

Penggunaan algoritma titik interior untuk menyelesaikan masalah program

linier harus diubah terlebih dahulu kedalam bentuk kanonik karmarkar dan

memenuhi beberapa asumsi metode karmarkar (Bazaraa, 2010). Bentuk kanonik

dari karmarkar adalah:

Minimumkan (2.4)

Kendala

(2.5)

Keterangan:

= variabel keputusan

= matriks m x n

= koefisien variabel fungsi tujuan

= vector kolom berukuran m dari 0

Semua batasan kendala merupakan persamaan homogen kecuali untuk

kendala 1 yang merupakan kendala untuk mendefinisikan sebuah

simpleks n dimensi. Algoritma titik interior memiliki konsep atau pemikiran dasar

sebagai berikut:

1. Bergerak melalui daerah fisibel menuju suatu penyelesaian optimal.

2. Bergerak dalam arah yang meningkatkan nilai fungsi tujuan dengan tingkat

kecepatan yang paling tinggi.


29

3. Mengubah daerah layak tersebut untuk menempatkan penyelesaian percobaan

yang sedekat mungkin pada titik pusatnya dan dengan demikian

memungkunkan peningkatan yang besar bilamana melaksanakan konsep yang

pertama.

2.6 Langkah-langkah Algoritma Titik Interior

Langkah–langkah pengerjaan algoritma titik interior:

1. Mengidentifikasi variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi kendala.

2. Memformulasikan variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi kendala ke

dalam bentuk program linier.

3. Diubah dalam bentuk maximize (diperluas) dengan menambahkan variabel

slack pada fungsi kendala.

4. Jika program linier sudah dalam bentuk minimize (diperluas), maka

permasalahan dapat diselesaikan dengan algoritma titik interior dengan langkah

sebagai berikut:

Langkah 1: Diketahui penyelesaian percobaan awal ( yang

di ambil dari fungsi kendala D adalah matriks diagonal dari

percobaan awal.

Langkah 2: Hitung nilai


Langkah 4: Hitung nilai ,


Langkah 6: Tentukan komponen negatif yang mempunyai nilai absolut

terbesar dan tetapkan V sama dengan nilai absolut tersebut.


30

Langkah 7: Hitung ,

Langkah 8: Hitung , jika penyelesaian percobaan ini tidak berubah

dari percobaan sebelumnya maka algoritma telah memuat suatu

penyelesaian optimal.

Keterangan:

= Matriks koefisien kendala

= Perkalian antara matriks kofisien kendala dan matriks diagonal dari

percobaan awal

= Vektor kolom dari koefisien fungsi tujuan

= Tingkat kemiringan

= Matriks proyeksi

= Tingkat kemiringan yang diproyeksikan

= Penyelesaian percobaan awal baru

Kenaikan dalam nilai adalah proporsional terhadap , nilai

mengukur proporsi jarak yang dapat ditempuh sebelum meninggalkan daerah

layak. Suatu nilai yang mendekati batas atas 1 adalah baik sebagai langkah berarti

ke arah optimalitas dalam proses iterasi. Narendra Karmarkar mengemukakan

untuk algoritma titik interior nilai sebesar (Hiller and Lieberman, 1990).


Documents

BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks