BAB 2. RELASI · Relasi Deﬁnisi Relasi Representasi Relasi Sifat-sifat Relasi Biner Operasi Relasi Binary Relasi n-ary Deﬁnisi 1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah

Outline

BAB 2. RELASI

Jurusan Teknik Informatika

Fakultas TeknikUniversitas Muhammadiyah Jember

November 8, 2018

Ilham Saifudin MATEMATIKA DISKRIT

Outline

1 RelasiDefinisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary


Relasi

Definisi RelasiRepresentasi RelasiSifat-sifat Relasi BinerOperasi Relasi BinaryRelasi n-ary

MATEMATIKA DISKRIT



Relasi


Definisi

Adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yanglain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasanganterurut diperoleh dari perkalian kartesian.


Relasi


Definisi

1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dariX × Y .

2 Notasi:R ⊆ (X × Y ).3 x R y adalah notasi untuk (x , y) ∈ R yang artinya x dihubungkan

dengan y oleh R.4 x 6 R y adalah notasi untuk (x , y) 6∈ R yang artinya x tidak dihubungkan

dengan y oleh R.5 Himpunan X disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan Y

disebut daerah hasil (range) dari R.


Relasi


Definisi







Relasi


Definisi







Relasi


Definisi







Relasi


Definisi







Relasi


Definisi







Relasi


Contoh

Misalnya variabel x dan y adalah bilangan real dalam interval tertutup [x1, x2]

dan [y1, y2], sehingga : X = [x1, x2] dan Y = [y1, y2]

maka:X × Y = {(x1, y1), (x1, y2), (x2, y1), (x2, y2)}Y × X = {(y1, x1), (y1, x2), (y2, x1), (y2, x2)}X × X = {(x1, x1), (x1, x2), (x2, x1), (x2, x2)}Y × Y = {(y1, y1), (y1, y2), (y2, y1), (y2, y2)}maka relasi R antara elemen-elemen dalam himpunan X danY adalah R ⊆ X × Y . Pasangan - pasanan elemen dalam Rmenggambarkan relasi, karena ada 2 himpunan yang terlibatdalam relasi, maka relasi demikian disebut relasi binary.


Relasi


MATEMATIKA DISKRIT



Relasi


1. Pemetaan

Pemetaan adalah paparan visual relasi dengan menghubungkan anggotassuatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain, sebagai contoh :


Relasi


2. Koordinat

Relasi dapat dipaparkan menggunakan koordinat sebagai contoh :R = {(Microsoft ,Windows), (IBM,Os/2), (Macintosh,MacOS)}


Relasi


3. MatriksRelasi dapat dipaparkan melalui sebuah matriks yaitu dengan nilai 1 apabilaada relasi antara 2 elemen pasangan terurut, atau 0 apabila tidak ada relasiantara 2 elemen pasangan terurut, sebagai contoh :


Relasi


4. Graf berarah

1 Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafisdengan graf berarah (directed graph atau digraph)

2 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi darisuatu himpunan ke himpunan lain

3 Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut jugasimpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan denganbusur (arc)

4 Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul bdisebut simpultujuan (terminal vertex)

5 Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul akesimpul asendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop)


Relasi


4. Graf berarah







Relasi


4. Graf berarah







Relasi


4. Graf berarah







Relasi


4. Graf berarah







Relasi


4. Graf berarah







Relasi


4. Graf berarahMisalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d , b)} adalahrelasi pada himpunan {a, b, c, d}. R direpresentasikan dengan graf berarahsbb:


Relasi


MATEMATIKA DISKRIT



Relasi


1. Refleksif reflexive

a Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiapa ∈ A

b Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikiansehingga (a, a) 6∈ R.

contoh : Misalkan A = {1,2,3,4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:X RelasiR = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4)}bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk(a,a), yaitu (1,1), (2,2), (3,3),dan(4,4)X Relasi R = {(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidakbersifat refleksif karena (3,3) 6∈ R.


Relasi







Relasi







Relasi







Relasi







Relasi


2. Menghantar Transitive

Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) ∈ R dan(b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

a Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus padamatriks representasinya

b Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busurdari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c

contoh : Misalkan A = {1,2,3,4}, dan relasi R di bawah inididefinisikan pada himpunan A, maka:


Relasi








Relasi








Relasi








Relasi








Relasi


2. Menghantar Transitivecontoh 1 :

X R = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} bersifatmenghantar. Lihat tabel berikut:


Relasi





Relasi





Relasi



contoh 1 :

X R = {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak manghantar karena(2,4) dan (4,2) ∈ R, tetapi (2,2) 6∈ R, begitu juga (4,2) dan(2,3) ∈ R, tetapi (4,3) 6∈ R.X Relasi R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} jelas menghantar.X Relasi R = {(1,2), (3,4)} menghantar karena tidak ada(a,b) ∈ R dan (b, c) ∈ R sedemikian sehingga (a, c) ∈ R


Relasi


3. Setangkup Symmetric dan Tolak Setangkupantisymmetric

1 Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) ∈ R, maka(b, a) ∈ R untuk a, b ∈ A.

2 Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) ∈ R sedemikiansehingga (b, a) 6∈ R

3 Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan(b, a) ∈ R hanya jika a = b untuk a, b ∈ A disebut tolaksetangkup

4 Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemenberbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R


Relasi








Relasi








Relasi








Relasi








Relasi



ContohMisalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan padahimpunan A, maka

1 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} bersifatsetangkup karena jika (a, b) ∈ R maka (b, a) juga ∈ R. Di sini (1, 2)dan (2, 1) ∈ R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈ R.

2 Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2)} tidak setangkup karena(2, 3) ∈ R, tetapi (3, 2) 6∈ R.

3 Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} tolak-setangkup karena 1 = 1 dan(1, 1) ∈ R, 2 = 2 dan (2, 2) ∈ R, dan 3 = 3 dan (3, 3) ∈ R. Perhatikanbahwa R juga setangkup

4 Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} tolak-setangkup karena(1, 1) ∈ R dan 1 = 1 dan, (2, 2) ∈ R dan 2 = 2.


Relasi









Relasi









Relasi









Relasi









Relasi



Sifat1 Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang

elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan darielemen-elemen di atas diagonal utama.

2 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikanoleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

3 Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika mij = 1dengan i 6= j , maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasitolak-setangkup adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bilai 6= j

4 Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak setangkupdicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalamarah berlawanan antara dua simpul berbeda.


Relasi









Relasi









Relasi









Relasi









Relasi


MATEMATIKA DISKRIT



Relasi


1. Relasi Inversi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasiR, dilambangkan dengan R−1 , adalah relasi dari B ke A yang didefinisikanoleh

R−1 = {(a,b)|(a,b) ∈ R}Contoh: Misalkan P = {2,3,4} dan Q = {2,4,8,9,15}. Jikakita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p,q) ∈ R jika phabis membagi q maka kita perolehR = {(2,2), (2,4), (4,4), (2,8), (4,8), (3,9), (3,15)}R−1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan(q,p) ∈ R−1 jika q adalah kelipatan dari p, maka diperoleh:


Relasi


1. Relasi InversiJika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R

M =

1 1 1 0 00 0 0 1 11 1 1 0 0

maka matriks yang merepresentasikan relasi R−1, misalkan N,diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M

M =

1 0 11 0 11 0 10 1 00 1 0


Relasi


2. Mengkombinasikan Relasi

Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasihimpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara duarelasi atau lebih juga berlaku.

Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B,maka R1 ∩R2, R1 ∪R2, R1−R2 , dan R1⊕R2 juga adalah relasi dari A ke B.


Relasi



Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasihimpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara duarelasi atau lebih juga berlaku.

Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B,maka R1 ∩R2, R1 ∪R2, R1−R2 , dan R1⊕R2 juga adalah relasi dari A ke B.


Relasi



ContohMisalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}

Relasi R1 = {(a,a), (b,b), (c, c)}Relasi R2 = {(a,a), (a,b), (a, c), (a,d)}R1 ∩ R2 = {(a,a)}R1 ∪ R2 = {(a,a), (b,b), (c, c), (a,b), (a, c), (a,d)}R1 − R2 = {(b,b), (c, c)}R2 − R1 = {(a,b), (a, c), (a,d)}R1 ⊕ R2 = {(b,b), (c, c), (a,b), (a, c), (a,d)}


Relasi


3. Komposisi RelasiContohMisalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalahrelasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikandengan S ◦ R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S ◦ R = {(a, c)|a ∈ A, c ∈ C, dan untuk beberapab ∈ B, (a,b) ∈ R dan (b, c) ∈ S }Contoh:Misalkan R = {(1,2), (1,6), (2,4), (3,4), (3,6), (3,8)} adalahrelasi dari himpunan {1,2,3} ke himpunan {2,4,6,8} danS = {(2,u), (4, s), (4, t), (6, t), (8,u)} adalah relasi darihimpunan {2,4,6,8} ke himpunan {s, t ,u}Maka komposisi relasi R dan S adalahS ◦ R = {(1,u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3,u)}.


Relasi


3. Komposisi RelasiContohKomposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagrampanah:


Relasi


3. Komposisi Relasi

ContohMisalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

R1 =

1 0 11 1 00 0 0

dan R2 =

0 1 00 0 11 0 1


Relasi


3. Komposisi Relasi

Contohmaka matriks yang menyatakan R2 ◦ R1 adalah

MR2◦R1 = MR1 ·MR2

=

1 1 10 1 10 0 0


Relasi


MATEMATIKA DISKRIT



Relasi


Relasi n-ary

Contoh1 Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.2 Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah

himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener)3 Misalkan A1,A2, ...,An adalah himpunan. Relasi n-ary R pada

himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dariA1 × A2 × ...× An , atau dengan notasi R ⊆ A1 × A2 × ...× An .Himpunan A1,A2, ...,An disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat.


Relasi


Relasi n-ary





Relasi


Relasi n-ary





Relasi


Relasi n-ary





Relasi


Relasi n-ary

Contoh:MisalkanNIM= {13598011,13598014,13598015,13598019,

13598021,13598025}Nama= {Amir ,Santi , Irwan,Ahmad ,Cecep,Hamdan}MatKul= {MatematikaDiskrit ,Algoritma,StrukturData,

ArsitekturKomputer}Nilai= {A,B,C,D,E}Relasi MHS terdiri dari 5-tupel (NIM, Nama, MatKul, Nilai):MHS ⊆ NIM × Nama×MatKul × Nilai


Relasi


Relasi n-aryBeberapa keterangan

1 Basisdata (database) adalah kumpulan tabel2 Salah satu model basisdata adalah model basisdata

relasional(relational database). Model basisdata ini didasarkan padakonsep relasi n-ary.

3 Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiapkolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalahhimpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.

4 Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagaisebuah file.

5 Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiapatribut menyatakan sebuah field.

6 Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalahkumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field.


Relasi










Relasi










Relasi










Relasi










Relasi










Relasi










Relasi


Relasi n-ary

Beberapa keterangan

1 Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemenrelasi disebut kunci(key).

2 Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintahpertanyaan yang disebut query.

3 Contoh query: ”tampilkan semua mahasiswa yang mengambil matakuliah Matematika Diskrit” ”tampilkan daftar nilai mahasiswa denganNIM = 13598015” ”tampilkan daftar mahasiswa yang terdiri atas NIMdan mata kuliah yang diambil”

4 Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrakdengan operasi pada relasi n-ary.

5 Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalahseleksi, proyeksi, dan join.


Relasi


Relasi n-ary

Beberapa keterangan







Relasi


Relasi n-ary

Beberapa keterangan







Relasi


Relasi n-ary

Beberapa keterangan







Relasi


Relasi n-ary

Beberapa keterangan







Relasi


Relasi n-ary

Beberapa keterangan







Relasi


Relasi n-ary

Beberapa contoh operasi

1 Seleksi : Operasi seleksi σ memilih baris tertentu dari suatu tabel yangmemenuhi persyaratan tertentu. Misalkan untuk relasi MHS kita inginmenampilkan daftar mahasiswa yang mengambil mata kuliahMatematik Diskrit. Operasi seleksinya adalah σ Matkul=”MatematikaDiskrit” (MHS) Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan(13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)

2 Proyeksi : Operasi proyeksi Π memilih kolom tertentu dari suatu tabel.Jika ada beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satukali.

3 Join : Operasi join Γ menggabungkan dua buah tabel menjadi satu bilakedua tabel mempunyai atribut yang sama.


Relasi


Relasi n-ary






Relasi


Relasi n-ary






Relasi


Relasi n-ary






Relasi


Thank You


Documents

BAB 2. RELASI · Relasi Deﬁnisi Relasi Representasi Relasi Sifat-sifat Relasi Biner Operasi Relasi Binary Relasi n-ary Deﬁnisi 1 Relasi biner R antara himpunan X dan Y adalah