Upload
vuongkhanh
View
268
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
BAB 2 Sistem Bilangan Riil
Bilangan Riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional
Himpunan bilangan rasional, Q = {x|x = , p dan
q Z, dengan q 0} contoh : Himpunan-himpunan berikut ada di dalam himpunan
bilangan rasional : * Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….} * Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}
p
q
1 4 57, ,
3 9 1
Himpunan bilangan irasional,
iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk } contoh : , e, log 5, Teorema : “Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional” Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama : contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000…. 13/11 =1.1818181818… Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya contoh : x = 0.136136136…. y = 0.271271271….. Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional Representasi bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya, contoh : 0.101001000100001….
p
q2
Bilangan Riil
Gambar
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
N :
1,2,3,….
Z :
…,-2,-1,0,1,2,..
0,,, bZbab
aq
Q :
IrasionalQR
,3,2
Contoh Bil Irasional
Sifat-Sifat Bilangan Riil
Untuk sebarang R berlaku sifat-sifatnsebagai berikut:
1. Sifat komutatif 2. Sifat asosiatif 3. Sifat distibutif perkalian terhadap
penjumlahan 4. (i).
(ii). (iii).
5. (i). (ii). (iii). 6. (i). , untuk setiap bilangan (ii). tak terdefinisikan (iii). untuk setiap bilangan 7. Hukum Kanselasi (i). Jika dan maka (ii). Jika maka 8. Sifat pembagi nol jika maka atau
abba
abba
..).ii(
).i(
cbacbacba
cbacbacba
......).ii(
).i(
).().().( cabacba
0,1
. bb
ab
a
0,0,.
).().(
db
db
cbda
d
c
b
a
0,0,.
.. db
db
ca
d
c
b
a
).().().( bababa
baba .)).((
aa )(
00
a0a
0
a
1a
a 0a
cbca .. 0c ba
0, cbb
a
cb
ca
.
.
0. ba 0a 0b
Sifat-sifat urutan : Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z → x < z
Penambahan
Jika x < y ↔ x + z < y + z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif, x < y ↔ xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, x < y ↔ xz > yz
Sifat-Sifat Bilangan Riil
Latihan 1
Ubahlah masing-masing desimal berulang menjadi hasil bagi dua bilangan bulat.
a. 0,123123123...
b. 2,56565656...
Selang (Interval)
Selang adalah himpunan bagian dari bilangan riil yang mempunyai sifat relasi tertentu.
Contoh dari bermacam-macam selang dapat dilihat pada tabel berikut ini.
Pertidaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda < , > , ≤ atau ≥.
Contoh Pertidaksamaan:
1. 2x – 7 < 4x – 2
2. –5 ≤ 2x + 6 < 4
3. x2 – x – 6 < 0
4. 3x2 – x – 2 > 0
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan
Bentuk umum pertidaksamaan :
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
xE
xD
xB
xA
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan cara : 0)(
)(
xQ
xP
Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
53213 x
352313 x
8216 x
48 x
84 x
8,4Hp =
4 8
1.
8462 x
248 x
248 x
842 x
22
1 x
2,
2
1
2 2
1
Hp
2.
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
3,
2
1
0352 2 xx
0312 xx
Titik Pemecah (TP) : 2
1x dan 3x
3
++ ++ --
21
3.
Hp =
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
637642 xxx
xx 7642 6376 xxdan
4672 xx dan 6637 xx
4.
109 x 010 xdan
9
10x 010 xdan
9
10x dan 0x
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
Hp =
,0
9
10,
0 9
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp =
9
10,0
0
131
3
xx
x
13
2
1
1
xx
013
2
1
1
xx
0131
2213
xx
xx
5.
TP : -1, 3
1, 3
3
++ ++ --
-1
--
31
Hp =
3,
3
11,
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
x
x
x
x
32
1
032
1
x
x
x
x
032
231
xx
xxxx
0
32
322 2
xx
xx
6.
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
Untuk pembilang 322 2 xx mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
-3 2
-- ++ --
,23,Hp =
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.
Definisi nilai mutlak :
0,
0,
xx
xxx
Pertidaksamaan nilai mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
y
x
y
x
2xx
axaaax 0,
axaax 0, atau ax
yx 22 yx
1.
2.
3.
4.
5.
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
41 x
Contoh :
352 x
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3523 x
53235 x
822 x
Hp = 4,11 4
1.
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
0422 xx
352 x2.
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
9522 x
016204 2 xx925204 2 xx
08102 2 xx
TP : 1, 4
1 4
++ -- ++
Hp = 4,1
5432 xx3.
Kita bisa menggunakan sifat 4
225432 xx
2540169124 22 xxxx
0162812 2 xx
0473 2 xx
3
4TP : , -1
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
Hp = ]1,3/4[
Jika digambar pada garis bilangan :
-1 3
4
++ -- ++
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
272
x
272
x
272
x
52
x
92
x
10 x 18x
18,,10
4.
atau
atau
atau
Hp =
-18 -10
Soal Latihan
372 x
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
732 xx
1.
2.
3.
2472 xx
4.
4625 x
5.
25
3
x