Bab 3 - 1 - Variabel Terregional - Deterministik.pdf

3. Variabel Terregional - Deterministik 3.1. Medan dan fungsi dari skalar dan vektor o Contoh medan skalar: head, kadar, konsentrasi, berat jenis, SG, topografi,

roof & floor batubara, permeabilitas, modulus elastisitas, nilai kalori, kadar abu, panas, tekanan udara, tekanan air, tegangan listrik dll.

o Contoh medan vektor: gradien medan skalar, misalnya: gradien head, gradien konsentrasi, gradien panas, gradien gaya (medan tegangan) dll.

o Fungsi skalar dan vektor: cara menyatakan distribusi skalar dan vektor di suatu garis, permukaan dan ruang

o Fungsi skalar: y = (x) z = (x , y) u = (x, y, z) z = ( x(t), y(t) )

o Fungsi vektor : ( ) [ ] k)t(vj)t(vi)t(v)t(v),t(v),t(,vtv 321321 ++== ( ) [ ] k)t(zj)t(yi)t(x)t(z),t(y),t(xtv ++==

[ ]k)z,y,x(vj)z,y,x(vi)z,y,x(v

)z,y,x(v),z,y,x(v),z,y,x(v)z,y,x(v

321

321

++==

3.2. Kalkulus skalar dan kalkulus vektor

)t(v ,

)tt(v + )t(v

f(x)

f(x)

f(x) f(x + x)

x x + x x

Gambar 3.1: Turunan Fungsi Vektor (kiri) dan Fungsi Skalar (kanan)

Catatan Kuliah Dr.Ir. Lilik Eko Widodo, MS

3-1

o Contoh : fungsi vektor posisi : parameterisasi fungsi [ ])t(),t(),t()t( 321 = atau [ ])t(z),t(y),t(x)t(r =

z )(r t

x

y

Gambar 3.2: Vektor Posisi

o Contoh : parametarisasi persamaan garis

z

a

x

y

b

Gambar 3.3 : Parameterisasi Garis

tba)t(r += , [ ] posisivektor:a,a,aa 321= [ ] (satuan)arahvektor:b,b,bb 321=


3-2

3.3. Contoh medan dan fungsi Contoh 1

Diketahui medan skalar berupa medan konsentrasi dengan fungsi sbb:

z = f(x, y ) = 9x2 + 4y2 dan garis y = x + 1

konsentrasi dititik ( 2, 4) f(2, 4) =( 9).(4) + (4).(16) = 100 Sketsa garis iso-konsentrasi digambarkan pada Gambar 4.5.

z = (x , y) = 9x2 + 4y2 = 36 1

3y

2x1

9y

4x 2222 =

+

=+

z = (x , y) = (9x2 + 4y2) (4) = 36 (4) 1

6y

4x1

36y

16x 2222 =

+

=+

Region antara konsentrasi 36 dan 144 terletak antara ellips 9x2 + 4y2 = 36 dan ellips 36x2 + 16y2 = 144. Nilai z pada garis y = x + 1 dinyatakan dengan

z = f(x) = 13 x2 + 8 x + 5

9x2 + 4y2 = 36

36x2 + 16y2 = 144 6

4

y

2 3 x x

Gambar 3.4 : Kurva Iso-Konsentrasi


3-3

Contoh 2

Diketahui kurva iso-therm dengan fungsi T (x, y) = xy

T (x , y) = xy = 1 y = x1 x = 0 , y = ~

y = 0, x = ~

T (x , y) = xy = -1 y = x1 x = 0 , y = - ~

y = 0, x = - ~

Gambar 3.5 : Kurva Iso-Termal

y

x

Contoh 3

Diketahui medan vektor dengan fungsi ji += Gambar medan vektor

)3()ji(,)3()ji()2()ji(,)2()ji()1()ji(,)1()ji(

++++++

= Gambar 3.6 : Medan Vektor

y x

j i i j


3-4

3.4. Kalkulus skalar variabel majemuk o Aturan rantai

Aturan rantai pada fungsi medan skalar terhadap variabel sembarang :

))v,u(z),v,u(y),v,u(x(fW =

vz

zw

vy

yw

vx

xw

vw

uz

zw

uy

yw

ux

xw

uw

+

+

=

+

+

=

(3-1)

Aturan rantai pada fungsi medan skalar terhadap ruang dan waktu :

))t(z),t(y),t(x(fW =

+

+

=

tz

zw

ty

yw

tx

xw

tw (3-2)

zw)t('z

yw)t(y

xw)t(x

tw

+

+=

(3-3)

o Variasi terhadap ruang

zzwy

ywx

xww

++

=

dzzwdy

ywdx

xwdw

++

=

zzwy

ywx

xww

++

= (3-4) o Teori nilai rata-rata dalam kalkulus (linierisasi)


3-5

Gambar 3.7: Teorema Rata-rata (Liniearisasi)

x(x)-x)(x

fflim)x('f

0x

+=

xfh)x(f)hx(f

h)x(f)hfff

xf

oo

o

=+

+=+= ox(

x(x)-x)x(

y

f(x)

f(x) f(x +

D

(Xo,Yo)

(Xo+h , Yo+k) x)

x x

x + x

x

untuk fungsi majemuk berlaku:

zf

yfk

xfh)z,y,x(f)z,ky,hx(f oooooo

++

=+++ ll

zf

yfk

xfh)z,y,x(fd

++

= l (3-5) atau

dzzfdy

yfdx

xffd

++

= (3-6)

df merupakan variasi terhadap ruang. Persamaan (3-4), (3-5) dan persamaan (3-6) digolongkan sebagai persaman-persamaan yang identik.


3-6

o Contoh : ekspreksi untuk kecepatan benda bergerak yang

merupakan fungsi dari ruang (posisi) dan waktu

v = v ( x,y,z,t)

Variasi kecepatan terhadap ruang dan waktu dinyatakan sebagai berikut :

dttvdz

zvdy

yvdx

xvdv

++

+= (3-7)

tv

zvv

yvv

xvv

DtDv

zyx +

++

= (3-8)

3.5. Gradien medan skalar (variasi spasial atau thdp ruang)

kzfj

yfi

xf

zf,

yf,

xffgrad

++

=

= (3-9)

=

zf,

yf,

xff

kz

jy

ixz

,y

,x

++

=

= (3-

10)

o Turunan berarah (directional derivative)

Gambar 3.8: Turunan berarah

X)x(f)xx(f

xf lim

0x

+=

: dalam arah x

S)s(f)ss(f

sf lim

0s

+=

: dalam arah s

S)P(f)Q(flim

0s =

(3-11)

P

Q C S

b


3-7

S)P(f)Q(f

sffD lim

0sb

==

(3-12)

Persamaan garis dengan parameter

tba)t(r += atau k)t(zj)t(yi)t(x)t(r ++= sba)s(r += atau k)s(zj)s(yi)s(x)s(r ++=

Untuk kasus seperti pada Gambar 3.8, maka sbPO)s(r += (3-13)

k)s(zj)s(yi)s(x)s(r ++= (3-14) PO adalah vektor posisi, yang dibentuk antara titik P dan titik O (titik referensi). Persamaan (3-13) dan (3-14) ekivalen dan sama, sehingga

k)s(zj)s(yi)s(xsbPO)s(r ++=+= (3-15) k)s('zj)s('yi)s('xb)s('r ++== (3-16)

Berdasar persamaan (3-2), (3-6) dan (3-12) didapatkan ekspresi sebagai berikut :

)s('zzf)s('y

yf)s(x

xf

sz

zf

sy

yf

sx

xf

sf

+

+=

+

+

=

(3-17)

[ ] b f.)s(r.f)s(z),s(y),s(x.zf,

yf,

xf ==

=

fgrad.bf.bfDsf

fgrad.bf.b

b ===

== (3-18)

Pada Gambar 3.8, b adalah vektor arah satuan. Untuk c vektor sembarang, maka turunan berarah (directional derivative) di arah c dinyatakan sebagai berikut :

f.c.c1

sffDc == (3-19)

dari persamaan (3-18) nilai skalar perkalian vektor didapatkan sebagai berikut:

cosf.bfDb = (3-20)


3-8

Db maksimum jika = 0, arti fisik persamaan (3-20) dapat dijelaskan sebagai berikut. Berdasar persamaan (3-6), jika diketahui medan skalar , maka variasi terhadap ruang dinyatakan sebagai berikut :

dzz

dyy

dxx

d +

+=

[ ]dz,dy,dx.z

,y

,x

=

cosrddr. ==

+ + 2

d

b

c

Gambar 3.9: Arti Fisik Turunan Berarah

akan berharga maksimum jika berimpit dengan rd atau b atau c o Gradien sebagai vektor normal dari garis (bidang) singgung

r )t('r

)t(r

)t(r

)t(u


3-9(0,0,0)

Gambar 3.10: Gradien Sebagai Vektor Normal

n

3 rd

2 1

d

Gambar 3.11: Vektor Normal pada Iso-Line

Bukti : Fungsi skalar dinyatakan dengan persamaan berikut ini :

)z,y,x( atau ))t(z),t(y),t(x( (3-21) Persamaan parametrik kurva, permukaan dan ruang adalah

k)t(zj)t(yi)t(x)t(r ++= (umum) k)t(zj)t(yi)t(x)t( ++= (3-

22) k)t('zj)t('yi)t('x)t(' ++=

Berdasar persamaan (3-6) didapatkan persamaan berikut :

z.z

y.y

x.x

dzz

dyy

dxx

d +

+=

++

=

[ ] [ ]z,y,x.z

,y

,x

dz,dy,dx.z

,y

,x

=

=

'r.dr. == 0)90(cosr.)90(cosrd.d === (3-23)


3-10

Jadi =N atau dengan demikian, maka : = .

1n (3-24)

Contoh : 1) Hitung gradien (x,y,z) = 3x2 9y2 4xy + 2z + 7 dititik (1, 0, -1) dan

tentukan nilai skalarnya. Jawab :

[ ]2),x4y18(),y4x6(z

,y

,x

=

=

[ ]2,4,6)1,0,1( = 483.7)1,0,1( =

2) Diketahui : (x,y,z) = 3x2 9y2 4xy + 2z + 7. Hitung turunan pada arah

vektor [ 56,57/8,57/7a = ] dititik (1, 0, -1). Jawab :

[ ]2,4,6)1,0,1( = [ ] [ 2,4,6.56,57/8,57/7

571.fDb == a ]

140.257122 ==

3) Berikan vektor normal satuan bidang ( x, y , z) = 2x + 3y + 6z + 10

Jawab :

[ ]6,3,2)10z6y3x2( =+++= [ ]6,3,2N =

[ ]6,3,271N.

N1n ==

Sifat sifat gradien :


3-11

o Gradien medan skalar searah dengan normalnya o Gradien mengarah ke penambahan nilai medan yang membesar o Harga skalar (modulus) gradien sama dengan harga maksimum dari turunan

berarah di suatu titik di dalam medan skalar ybs

3.6. Divergensi medan vektor (hasil: skalar)

[ ]321 v,v,vv = v.v

zv

yv

xdiv 321 =

++

= (3-25)

[ ]321 v,v,v.z,y,x

=

Bandingkan :

fz

,y

,x

ffgrad

==

Operator Laplace ( 2)

( ) ( ) === z,y,x.z,y,x..div 2 2

2

2

2

2

2

zyxz,

y,

x.

z,

y,

x +

+=

= (3-26)

3.7. Curl medan vektor (hasil: vektor)

[ ]321 v,v,vv =

kyv

xv

jxv

zv

izv

yv

vvvzyx

kji

vxvCurl

12

31

23

321

+

+

=

== (3-27)

0xgradCurl == (3-28)


3-12

3. Variabel Terregional - Deterministik

Documents

Bab 3 - 1 - Variabel Terregional - Deterministik.pdf