Bab 3. Kasus 2 Dimensi

1

Bab 3. Kasus 2 Dimensi

2

Bab 3. Kasus 2 Dimensi

3

Bab 3. Kasus 2 Dimensi

4

Bab 3. Kasus 2 Dimensi

5

Bab 3. Kasus 2 Dimensi

6

Bab 3. Kasus 2 Dimensi

7

Bab 3. Kasus 2 Dimensi

8

Bab 3. Kasus 2 Dimensi

9

Bab 3. Kasus 2 Dimensi

10

Bab 3. Kasus 2 Dimensi

11

Contoh 3.1

12

Contoh 3.1

13

MEH Untuk 2D

14

MEH Untuk 2D

15

MEH Untuk 2D

16

MEH Untuk 2D

17

MEH Untuk 2D

18

MEH Untuk 2D

19

MEH Untuk 2D

20

MEH Untuk 2D

21

MEH Untuk 2D

22

MEH Untuk 2D

23

MEH Untuk 2D

24

MEH Untuk 2D

25

MEH Untuk 2D

26

MEH Untuk 2D

27

MEH Untuk 2D

28

MEH Untuk 2D

29

MEH Untuk 2D

30

MEH Untuk 2D

31

MEH Untuk 2D

32

MEH Untuk 2D

33

MEH Untuk 2D

34

MEH Untuk 2D

35

ELEMEN SEGITIGA 3 NODE

2

u33

u2

v2

v3

u1

v1

1x

y- Elemen 2 Dimensi

- 3 Node

- Tiap Node memiliki 2

displacement dalam bentuk

Translasi (u, v)

1. MEMILIH FUNGSI PENDEKATAN

UTK DISPLACEMENT ARAH u

u1 = a1 + a2 x1 + a3 y1

u2 = a1 + a2 x2 + a3 y2

u3 = a1 + a2 x3 + a3 y3

3

2

1

33

22

11

3

2

1

1

1

1

a

a

a

yx

yx

yx

u

u

u

DALAM BENTUK MATRIK

SETELAH DILAKUKAN INVERS

3

2

1

321

321

321

3

2

1

det

1

u

u

u

a

a

a

1 = x2 y3 – x3 y2

1 = y2 – y3

1 = x3 – x2

2 = x3 y1 – x1 y3 ; 3 = x1 y2 – x2 y1

2 = y3 – y1 ; 3 = y1 – y2

2 = x1 – x3 ; 3 = x2 – x1

FUNGSI INTERPOLASI LINEAR : u = a1 + a2 x + a3 y …. (1)

v = a1 + a2 x + a3 y …. (2)

SHAPE FUNCTION : N1 = 1/det ( 1 + x 1 + y 1 )

N2 = 1/det (2 + x 2 + y 2 )

N3 = 1/det (3 + x 3 + y 3 )

v

u

321

321

000

000

NNN

NNN

3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u

u = N1 u1 + N2 u2 + N3 u3

Untuk Perpindahan arah v juga sama, sehingga :

v = N1 v1 + N2 v2 + N3 v3

Konstanta a1, a2 dan a3 dimasukkan ke persamaan (1)

MATRIK B

qN

xy

y

x

v

u

xy

y

x

xy

y

x

0

0

0

0

211213313223

123123

211332

000

000

det

1

yyxxyyxxyyxx

xxxxxx

yyyyyy

3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u

det = x2 y3 – x3 y2 + x1 (y2 – y3) + y1 (x3 – x2)

qB

[k] = matrik kekakuan elemen

h = tebal struktur

[B] = matrik hub. regangan & perpindahan.

[C] = matrik hub. tegangan dan regangan.

2. MENURUNKAN PERS. MATRIK K

dA[B][C][B]Thk

Utk Kasus Plane Stress :

Dari Prinsip Energi Regangan

3. MENGHITUNG MATRIK BEBAN TOTAL

R = QNF + QBF + QT

QNF = beban pada konsentrasi nodal

QBF = beban body force (akibat beban sendiri)

QT = beban traksi (surface traction)

4. ASSEMBLY ELEMEN

[K]. {q} = {R}

[K] = matrik kekakuan elemen GLOBAL.

{q} = vektor perpindahan simpul.

{R} = matrik beban total.

k1.1 q1 + k1.2 q2 + ....................... + k1.n qn = R1

k2.1 q1 + k2.2 q2 + ....................... + k2.n qn = R2

……….

kn.1 q1 + kn.2 q2 + ....................... + kn.n qn = Rn

5. MENDAPATKAN OUTPUT UTAMA BERUPA PERPINDAHAN

{q} = [K]-1 {R}

Syarat batas dimasukkan pada perpindahan simpul (q) dimana syarat batas memberikan informasi bagaimana struktur ditopang dalam ruang, dengan memasukkan nilai perpindahan yang telah ditetapkan sesuai kondisi pada struktur.

6. OUTPUT SEKUNDER BERUPA REGANGAN DAN TEGANGAN

xy

y

x

2

xy

y

x

2

v100

01v

0v1

)v1(

Eσ

σ

PLANE STRESS PLANE STRAIN

xy

y

x

xy

y

x

2

v2100

0v1v

0vv1

)v21)(v1(

Eσ

σ

{ }= [C] {}

{} = [ B] {q}

{} = [C] [B] {q}

2

(6, 5)3

(2, 1)

(6, 2)1

x

y

T = W (lb/in2)

CONTOH KASUS (1)

Diketahui : v = 0.3 dan E = 30 x 106 psi

tebal h

x y

2 1

6 2

6 5

[K]. {q} = {R}

[K]. {q} = QNF + QT + QBF

S y

xT

y

x

y

x

A

dST

TNh

F

F

F

F

qdAh

0

0

[B][C][B]2

2

1

1

T

2

100

01

01

)1( 2v

v

v

v

EC

Diketahui : v = 0.3

E = 30 x 106 psi

2

3.0100

013.0

03.01

)3.01(

)10(302

6

C

det = x2 y3 – x3 y2 + x1 (y2 – y3) + y1 (x3 – x2) = 12

211213313223

123123

211332

000

000

det

1

yyxxyyxxyyxx

xxxxxx

yyyyyy

B

Dengan memasukkan koordinat x dan y masing-masing node maka :

12

1

3

1

4

1

3

1

4

10

3

10

3

1000

012

10

4

10

4

1

B

212625625266

260620660

021025052

12

1B

AhdAhkA

[B][C][B] [B][C][B]][ TT

Area = 0.5 det = 6

4.16

6.26.6

4.178.66.21

2.66.94.106.21

05.12.42.42.415.3

6.336.31209

)10(374.1][ 6

simetri

hk

SS y

xT

T dyW

N

N

N

N

N

N

hdST

TNhQ

0

0

0

0

0

0

0

3

3

2

2

1

1

QT = Beban Traksi

(Surface Traction)

0

0

0

3

2

1

dyN

dyN

dyN

Wh

0

0

0

3

2

1

dyN

dyN

dyN

WhQT

0

1

0

1

0

0

2

3Wh

23))4)(()4)(6(4(

12

1)(

det

15

2

22

5

2

22 dyydyyxdyNS

23))4)(()1)(6(2(

12

1)(

det

15

2

33

5

2

33 dyydyyxdyNS

0))0)(()3)(6(18(12

1)(

det

15

2

11

5

2

11 dyydyyxdyNS

0

1

0

1

0

0

2

3

0

0

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

WhF

F

F

F

v

u

v

u

v

u

y

x

y

x

4.16

6.26.6

4.178.66.21

2.66.94.106.21

05.12.42.42.415.3

6.336.31209

)10(374.1 6

simetri

h

[K]. {q} = {R}

Dg memasukkan kondisi batas yaitu di node 1 dan 2 yang dikenai

tumpuan sendi shg u1 = v1 = u2 = v2 = 0, maka :

4.16

6.26.6

4.178.66.21

2.66.94.106.21

05.12.42.42.415.3

6.336.31209

)10(374.1 6

simetri

h

02

3

23

0

0

0

0

2

2

1

1

3

3 Wh

F

WhF

F

F

v

uy

x

y

x

PARTISIONING UKURAN MATRIK

u3 = 1.76 (10-7)W psi dan v3 = 2.8 (10-8)W psi

02

3

4.166.2

6.26.6)10(374.1

3

36 Wh

v

uh

UTK MENDAPATKAN HARGA u3 DAN v3 DILAKUKAN TEKNIK

PARTISIONING SHG UKURAN MATRIKNYA HANYA 2X2

4.16

6.26.6

4.178.66.21

2.66.94.106.21

05.12.42.42.415.3

6.336.31209

)10(374.1 6

simetri

h

02

3

23

0

0

0

0

2

2

1

1

3

3 Wh

F

WhF

F

F

v

uy

x

y

x

2 4

1x

y CONTOH KASUS (2) - PR

Diketahui : v = 0.5 dan E = 30 x 106 psi

tebal h

3

1000 lb

1000 lb

1

2

1000

0

0

1000

2

2

1

1

y

x

y

x

NF

F

F

F

F

Q

4

4

3

3

0

0

0

0

v

u

v

uq

88x

K

MEH Untuk 2D

56

MEH Untuk 2D

57

MEH Untuk 2D

58

MEH Untuk 2D

59

MEH Untuk 2D

60

MEH Untuk 2D

61

MEH Untuk 2D

62

MEH Untuk 2D

63

MEH Untuk 2D

64

MEH Untuk 2D

65

MEH Untuk 2D

66