BAB 3MATRIKS

Standar Kompetensi

Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan

masalah.

Kompetensi Dasar Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk

menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan

invers dari matriks persegi lain.

Menentukan determinan dan invers matriks 2 × 2.

Menggunakan determinan dan invers dalam

menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.

MATRIKS

Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi

panjang yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom.

Contoh:

1. Kelompok bilangan

merupakan matriks, sebab susunannya berbentuk persegi dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom.

2. Kelompok bilangan

bukan matriks, sebab susunannya tidak berbentuk persegi maupun persegi panjang, tetapi berbentuk segitiga.

BEBERAPA ISTILAH DALAM MATRIKS

1. Baris

2. Kolom

3. Elemen/unsur

4. Ordo

Baris, Kolom, dan Elemen

Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horisontal dalam matriks.

Kolom dari suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks.

Elemen atau unsur suatu matriks adalah bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu.

Contoh:

Ordo dan Banyak Elemen Matriks

Ordo atau ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolom dari matriks itu.

Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks ditentukan oleh hasil kali banyak baris dengan banyak kolom dari matriks itu.

Contoh:

Matriks A dikatakan berordo atau berukuran 2 × 3

Notasi :

Banyak elemen dalam matriks A ditentukan oleh 2 × 3 = 6

• Matriks Baris• Matriks Kolom atau Matriks

Lajur• Matriks Persegi• Matriks Segitiga• Matriks Diagonal• Matriks Identitas• Matriks Datar• Matriks Tegak

Jenis Matriks

Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks berordo 1 × n terdiri atas satu baris dan memuat n elemen disebut matriks baris.

Matriks berordo m × 1 terdiri atas satu kolom dan memuat m elemen disebut matriks kolom atau matriks lajur.

Contoh:

Matriks Persegi dan Matriks Segitiga

Misalkan suatu matriks berordo m × n dengan nilai m = n, sehingga diperoleh matriks berordo n × n disingkat matriks

berordo n disebut matriks persegi berordo n.

Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah diagonal utama atau di atas diagonal

utama semuanya bernilai nol disebut matriks segitiga.

Contoh:

• Matriks Persegi

• Matriks Segitiga

Matriks Diagonal dan Matriks Identitas

Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah dan di atas diagonal utama semuanya

bernilai nol disebut matriks diagonal.

Matriks diagonal berordo n dengan elemen-elemen pada diagonal utama semuanya bernilai 1 disebut matriks

identitas atau matriks satuan.

Contoh:

• Matriks Diagonal

• Matriks Identitas

Matriks Datar dan Matriks Tegak

Matriks berordo m × n dengan m < n, berarti banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan banyak baris disebut

matriks datar.

Matriks berordo m × n dengan m > n, berati banyak baris lebih banyak dibandingkan dengan banyak kolom, sehingga susunan elemen-elemennya membentuk persegi panjang

tegak disebut matriks tegak.

Contoh:

Transpos Matriks

Transpos dari matriks A berordo m × n adalah sebuah matriks A′ berordo n × m yang disusun dengan proses sebagai berikut:

Baris pertama matriks A ditulis menjadi kolom pertama dalam matriks A′,

Baris kedua matriks A ditulis menjadi kolom kedua dalam matriks A′,

Baris ketiga matriks A ditulis menjadi kolom ketiga dalam matriks A′, …, demikian seterusnya

Baris ke-m matriks A ditulis menjadi kolom ke-m dalam matriks A′.

NOTASI

Contoh:

Matriks Simetris

Misalkan matriks A adalah matriks persegi berordo n. Matriks A disebut matriks simetris atau matriks setangkup jika dan hanya jika elemen-elemen yang letaknya simetris terhadap diagonal utama bernilai sama, ditulis:

dengan i ≠ j.

Kesamaan Dua Matriks

Contoh:

Penjumlahan Dua Matriks

Contoh:

Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks

Misalkan A, B, C, dan O adalah matriks-matriks yang berordo sama, maka dalam penjumlahan matriks:

1. Bersifat komutatif : A + B = B + A

2. Bersifat asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C)

3. Terdapat sebuah matriks identitas, yaitu matriks O yang

bersifat:

A + O = O + A = A

4. Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif –A yang

bersifat:

A + (–A) = O

Matriks –A disebut invers aditif atau invers penjumlahan

bagi matriks A.

Pengurangan Dua Matriks

atau

Contoh:

Perkalian suatu Bilangan Real Terhadap Matriks

Contoh:

Sifat-Sifat:

PERKALIAN DUA MATRIKS

1. Perkalian Matriks Berordo 1 x n terhadap Matriks Berordo n x 1

Contoh:

2. Perkalian Matriks Berordo m x n terhadap Matriks Berordo n x m

Contoh:

3. Perkalian Matriks Berordo m x n terhadap Matriks Berordo n x p

Sifat-Sifat Perkalian Dua Matriks

INVERS MATRIKS

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, jelas bahwa berlaku hubungan AB = BA = I. Jadi, matriks A dan matriks B adalah dua matriks yang saling invers.

Contoh:

Determinan Matriks Persegi Berordo 2x2

Notasi

Menentukan Invers Matriks

Algoritma Menentukan Invers Matriks

Sifat Invers dari Perkalian Matriks Dua Persegi Berordo 2

Sifat Transpos Suatu Matriks Persegi Berordo 2

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Langkah-langkah penyelesaian:

Langkah 1

Nyatakan SPLDV itu dalam bentuk persamaan matriks.

Langkah 2

Tentukan matriks koefisiennya.

Langkah 3

Tentukan invers dari matriks koefisiennya.

Langkah 4

Kalikan matriks yang diperoleh pada Langkah 1 dengan invers matriks koefisiennya.

Langkah 5

Tetapkan nilai x dan nilai y dengan mengacu pada persamaan matriks yang diperoleh pada Langkah 4.

Contoh:Tentukan penyelesaian SPLDV di bawah ini dengan menggunakan metode invers matriks.

Jawab:

Langkah 1

Langkah 2

Langkah 3

Langkah 4

Langkah 5

Jadi, penyelesaian dari SPLDV adalah x = –2 dan y = 5 atau himpunan penyelesaiannya adalah {(–2, 5)}.

Hubungan Determinan dengan Banyaknya Penyelesaian Suatu SPLDV