Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 10

BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER

3.1. Permasalahan Persamaan Non Linier

Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier.Dimana akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.

Gambar 3.1. Penyelesaian persamaan non linier

Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan :

mx + c = 0

x = -mc

Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.

aacbbx

242

12−±−

=

Beberapa persamaan polynomial yang sederhana dapat diselesaikan theorema sisa.Sehingga tidak memerlukan metode numeric dalam menyelesaikannya, karena metode analitik dapat dilakukan.Tetapi bagaimana menyelesaikan persamaan x– e-x= 0 Tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan non linier merupakan metode pencarian akar secara berulang-ulang.

akar persamaan sebagai penyelesaian

Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 11

Theorema 3.1. Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0 Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai berikut:

Gambar 3. Penentuan akar persamaan

Secara sederhana, untuk menyelesaikan persamaan non linier dapat dilakukan dengan menggunakan metode table atau pembagian area.Dimana untuk x = [ ]ba, atau x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing-masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel :

X f(x) x0=a f(a) x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3)

…… …… xn=b f(b)

Dari tabel ini, bila ditemukan f(xk)=0 atau mendekati nol maka dikatakan

bahwa xk adalah penyelesaian persamaan f(xk)=0.Bila tidak ada f(xk) yang sama dengan nol, maka dicari nilai f(xk) dan f(xk+1) yang berlawanan tanda, bila tidak ditemukan maka

Xba

f(a)

f(b)

Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x=[a,b] terdapat akar.

Xba

f(a)

f(b)

Karena f(a).f(b)>0 maka pada range x=[a,b] tidak dapat dikatakan terdapat akar.

Xba

f(a)

f(b)

Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 12

dikatakan tidak mempunyai akar untuk x = [ ],,ba dan bila ditemukan maka ada 2 pendapat untuk menentukan akar persamaan, yaitu :

1. Akar persamaan ditentukan oleh nilai mana yang lebih dekat, bila |f(xk)| ≤ |f(xk+1)| maka akarnya xk, dan bila |f(xk+1)|<|f(xk)| maka akarnya xk+1.

2. Akarnya perlu di cari lagi, dengan range x = [ ]1, +kk xx . Secara grafis, metode table ini dapat dijelaskan untuk x = [ ]ba, , fungsi f(x) dibagi menjadi N bagian seperti gambar berikut :

Gambar 3.3. Metode Tabel

Gambar di atas menjelaskan bahwa penyelesaian diperoleh dengan membagi x = [ ]ba, sebanyak-banyaknya hingga diperoleh suatu garis yang melalui akar persamaan dan nilai x dari garis tersebut adalah penyelesaian dari persamaan F(x) = 0. Contoh 3.1: Selesaikan persamaan : x+ex = 0 dengan range x = [ ]0,1− Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = [ ]0,1− dibagi menjadi 10 bagian sehingga diperoleh :

X f(x) -1,0 -0,63212-0,9 -0,49343-0,8 -0,35067-0,7 -0,20341-0,6 -0,05119-0,5 0,10653 -0,4 0,27032 -0,3 0,44082 -0,2 0,61873 -0,1 0,80484 0,0 1,00000

Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi 13

Dari table diperoleh penyelesaian berada di antara –0,6 dan –0,5 dengan nilai f(x) masing-masing -0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x = 0,6.Bila pada range x = [ ]5,0,6,0 −− dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x = -0,57 dengan F(x) = 0,00447 Contoh 3. 2: Selesaikan persamaan xe-x +1 = 0. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, hal pertama yang harus dilakukan adalah menaksir range yang tepat, dengan cara menggambarkan. Dari gambar di atas terlihat bahwa akar persamaan berada pada range [ ]5.0,6.0 −− .Dari range ini dibuat table dengan membagi range menjadi 10 bagian sehingga diperoleh :

x f(x) -0,60 -0,09327-0,59 -0,06435-0,58 -0,03590-0,57 -0,00791-0,56 0,01962 -0,55 0,04671 -0,54 0,07336 -0,53 0,09957 -0,52 0,12535 -0,51 0,15070 -0,50 0,17564

Dari table tersebut dapat dikatakan bahwa akar persamaan berada antara –0,57 dan –0,56, atau dengan menggunakan selisih terkecil maka dapat dikatakan bahwa akar persamaan terletak di x = -0,57 dengan F(x) = -0,00791.

Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier, Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran awal mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian.

1

Persamaan Non-Linear

Penyelesaian persamaan non-linear adalah menghitung

akar suatu persamaan non-linear dengan satu variabel x,

f(x), atau secara umum dituliskan :

f(x) = 0

Contoh:

1. 012945)( 532 xxxxxf

2. 01252

12945)(

532

x

xxxxxf

3. 0)( xexxf

Metode numerik yang dapat digunakan untuk memperoleh

solusi dari persamaan non-linear antara lain:

1. Metode Biseksi (Bisection)

2. Metode Regula Falsi (False Position)

3. Metode Newton-Raphson

4. Metode Secant

5. Metode Iterasi Tetap (Fixed Point Iteration)

2

Algoritma Metode Biseksi

Algoritma Metode Regula Falsi = Algoritma Metode

Biseksi hanya tinggal mengganti rumus 2

1 nnmid

xxx

menjadi

)()()(

1

1*

nn

nnnn

xfxf

xxxfxx

.

3

Representasi Grafis Metode Regula Falsi

Perhatikan kesebangunan 2 segitiga Pcb dan PQR, maka

diperoleh

)()()(

)()(0)(

afbf

abbfbc

ab

afbf

cb

bf

RQ

PR

bc

Pb

4

Grafik Metode Regula Falsi

Grafik Metode Biseksi

5

Metode Biseksi

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam metode biseksi

Fungsi harus kontinu pada interval xn dan xn+1.

Menentukan xn dan xn+1 dapat diperoleh dengan membuat

grafik fungsinya.

Nilai toleransi (error) dapat ditentukan oleh pengguna ataupun

didasarkan pada bidang ilmu dari permasalahan yang

diselesaikan.

Kelebihan Metode Biseksi

Selalu berhasil menemukan akar (solusi) yang dicari, atau

dengan kata lain selalu konvergen.

Kekurangan Metode Biseksi

Metode biseksi hanya dapat dilakukan apabila ada akar

persamaan pada interval yang diberikan.

Jika ada beberapa akar pada interval yang diberikan maka

hanya satu akar saja yang dapat ditemukan.

Memiliki proses iterasi yang banyak sehingga memperlama

proses penyelesaian. Tidak memandang bahwa sebenarnya

akar atau solusi yang dicari dekat sekali dengan batas interval

yang digunakan.

6

Contoh:

Tentukan solusi dari persamaan non-linier:

y = x3 – 7x + 1

dengan error 0.005.

Penyelesaian:

- Dengan Metode Biseksi

Langkah 1 : Membuat grafik dari y = x3 – 7x + 1 untuk

memperoleh batas interval xn dan xn+1.

Dengan program Maple diperoleh grafik y = x3 – 7x + 1 sebagai

berikut:

Terlihat dari grafik di atas bahwa solusi dari y = x3 – 7x + 1 ada

pada interval 2.5 dan 2.6, maka digunakan xn = 2.5 dan xn+1 = 2.6.

Solusi eksak

xn xn + 1

7

Langkah 2 : Hitung nilai f (xn), f (xn+1), 2

1 nnmid

xxx

dan f (xmid).

Tabel 1

No xn xn+1 f (xn) f (xn+1) xmid f (xmid)

1. 2.5 2.6 -0.875 0.376 2.55 -0.269

269.01)55.2(7)55.2()55.2()(

55.22

6.25.2

376.01)6.2(7)6.2()6.2()(

875.01)5.2(7)5.2()5.2()(

17)(

3

3

1

3

3

fxf

x

fxf

fxf

xxxf

mid

mid

n

n

-0.875

0.376

8

Langkah 3 : Apakah f (xn) dan f (xmid) sama tanda? Jika

sama tanda maka xmid menggantikan xn, sedangkan jika

berbeda tanda maka xmid menggantikan xn+1.

Terlihat dari tabel 1, f (xn) = -0.875 dan f (xmid) = -0.269

sama tanda, maka xmid = 2.55 menggantikan xn = 2.5.

Tabel 2

No xn xn+1 f (xn) f (xn+1) xmid f (xmid)

1. 2.5 2.6 -0.875 0.376 2.55 -0.269

2. 2.55 2.6 -0.269 0.376

Langkah 4 : Apakah | f (xmid)| ≤ 0.005? Jika ya, maka xmid =

2.55 merupakan solusi dari persamaan non linier tersebut,

jika tidak, ulangi langkah 2 dengan xn = 2.55 dan xn+1 =

2.6.

Dikarenakan | f (xmid)| = 0.269 > 0.005 maka ulangi

langkah 2 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

sama tanda

9

Tabel 3

No xn xn+1 f (xn) f (xn+1) xmid f (xmid)

1. 2.5 2.6 -0.875 0.376 2.55 -0.269

2. 2.55 2.6 -0.269 0.376 2.575 0.049

3. 2.55 2.575 -0.269 0.049 2.562 -0.117

4. 2.562 2.575 -0.117 0.049 2.568 -0.041

5. 2.568 2.575 -0.041 0.049 2.572 0.010

6. 2.568 2.572 -0.041 0.010 2.570 -0.015

7. 2.570 2.572 -0.041 0.010 2.571 -0.003

| f (xmid)| = 0.003 ≤ 0.005 maka iterasi dihentikan dan

diperoleh solusi persamaan non linier yang diinginkan

yaitu x = 2.571.

sama tanda

beda tanda

sama tanda

sama tanda

| f (xmid)|

= 0.269 >

0.005

| f (xmid)|

= 0.041 >

0.005

| f (xmid)|

= 0.049 >

0.005

| f (xmid)|

= 0.117 >

0.005

beda tanda

sama tanda

| f (xmid)|

= 0.010 >

0.005

| f (xmid)|

= 0.015 >

0.005

10

Contoh:

Tentukan solusi dari persamaan non-linier:

y = x3 – 7x + 1

dengan error 0.005.

penyelesaian :

- Dengan Metode Regula Falsi

Langkah 1 : Membuat grafik dari y = x3 – 7x + 1 untuk

memperoleh batas interval xn dan xn+1.

Dengan program Maple diperoleh grafik y = x3 – 7x + 1 sebagai

berikut:

Terlihat dari grafik di atas bahwa solusi dari y = x3 – 7x + 1 ada

pada interval 2.5 dan 2.6, maka digunakan xn = 2.5 dan xn+1 = 2.6.

Solusi eksak

xn xn + 1

11

Langkah 2 : Hitung nilai f (xn), f (xn+1),

)()()(

1

1*

nn

nnnn

xfxf

xxxfxx

dan f (x*).

Tabel 1

No xn xn+1 f (xn) f (xn+1) x* f (x

*)

1. 2.5 2.6 -0.875 0.376 2.57 -0.015

015.01)57.2(7)57.2()57.2()(

57.2)875.0(376.0

5.26.2).875.0(5.2

376.01)6.2(7)6.2()6.2()(

875.01)5.2(7)5.2()5.2()(

17)(

3*

*

3

1

3

3

fxf

x

fxf

fxf

xxxf

n

n

Langkah 3 : Apakah f (xn) dan f (x*) sama tanda? Jika sama tanda

maka x* menggantikan xn, sedangkan jika berbeda tanda maka x

*

menggantikan xn+1.

Terlihat dari tabel 1, f (xn) = -0.875 dan f (x*) = -0.015 sama tanda,

maka x* = 2.57 menggantikan xn = 2.5.

12

Tabel 2

No xn xn+1 f (xn) f (xn+1) x* f (x

*)

1. 2.5 2.6 -0.875 0.376 2.57 -0.015

2. 2.57 2.6 -0.015 0.376

Langkah 4 : Apakah | f (x*)| ≤ 0.005? Jika ya, maka

x* = 2.57 merupakan solusi dari persamaan non linier tersebut,

jika tidak, ulangi langkah 2 dengan xn = 2.57 dan xn+1 = 2.6.

Dikarenakan | f (xmid)| = 0.015 > 0.005 maka ulangi langkah 2

sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

Tabel 3

No xn xn+1 f (xn) f (xn+1) x* f (x

*)

1. 2.5 2.6 -0.875 0.376 2.57 -0.015

2. 2.57 2.6 -0.015 0.376 2.571 0.003

| f (xmid)| = 0.003 ≤ 0.005 maka iterasi dihentikan dan

diperoleh solusi persamaan non linier yang diinginkan

yaitu x = 2.571.

sama tanda

sama tanda

| f (xmid)|

= 0.015 >

0.005

13

Metode Newton-Raphson

Algoritma Newton-Raphson

Kelebihan:

Konvergensi yang dihasilkan lebih cepat.

Kelemahan:

Tidak selalu menemukan akar (divergen).

Kemungkinan sulit dalam mencari f’(xn).

Penetapan harga awal (xn) yang sulit.

14

Contoh:

Tentukan solusi dari persamaan non-linier:

y = x3 – 7x + 1

dengan error 0.03.

Penyelesaian :

Langkah 1 : Menentukan nilai awal, xn.

Misalkan dipilih xn = 2.5.

Langkah 2 : Hitung xn + 1, f (xn+1), dan

)(

)(1

n

nnn

xf

xfxx .

Tabel 1

No xn xn+1 f (xn) f (xn+1)

1. 2.5 2.574 -0.875 0.04

04.01)574.2(7)574.2()574.2()(

574.275.11

875.05.2

)(

)(

75.117)5.2(3)(

875.01)5.2(7)5.2()5.2()(

73)(

17)(

3

1

1

2

3

2

3

fxf

xf

xfxx

xf

fxf

xxf

xxxf

n

n

nnn

n

15

Langkah 3 : Apakah | f (xn+1)| ≤ 0.03? Jika ya, maka

xn+1 = 2.574 merupakan solusi dari persamaan non linier

tersebut, jika tidak, ulangi langkah 2 dengan xn = 2.574.

Dikarenakan | f (xn+1)| = 0.04 > 0.03 maka ulangi langkah 2

sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

Tabel 2

No xn xn+1 f (xn) f (xn+1)

1. 2.5 2.574 -0.875 0.04

2. 2.574 2.573 0.04 0.02

| f (xn+1)| = 0.02 < 0.03 maka iterasi

dihentikan dan diperoleh solusi persamaan

non linier yang diinginkan yaitu x = 2.573.

Tugas

Tentukan solusi dari persamaan non-linier berikut sampai iterasi ke-3

dengan menggunakan metode biseksi, regula falsi, dan newton-raphson.

1. x3 + 5x – 1, dengan xn = 0 dan xn + 1 = 0.5.

2. - ⅓ x3 - x - 9, dengan xn = -3 dan xn + 1 = -2.5

3. -x3 - 7x + 3, dengan xn = 0 dan xn + 1 = 0.5.

4. -3x3 - 7x + 3, dengan xn = 0 dan xn + 1 = 0.5.

5. ½ x3 - x - 9, dengan xn = 2.5 dan xn + 1 = 3.

6. 4x3 + 7x + 3, dengan xn = -0.5 dan xn + 1 = 0.

7. -3x3 - 5x -9, dengan xn = -1.5 dan xn + 1 = -1.

| f (xn+1)| = 0.04 > 0.03

16

Metode Secant

Disebut juga Metode Interpolasi Linear

Dalam prosesnya tidak dilakukan penjepitan akar

[x0, x1] tidak harus mengandung akar yang akan

dicari, sehingga f(x0) dan f(x1) bisa bertanda

sama.

Mencari x2 , yaitu

Untuk iterasi berikutnya akan diperoleh interval

baru [x0, x1] dengan cara pergeseran: x0 x1 , x1

x2

Iterasi berlangsung sampai batas maksimum atau

sampai dipenuhinya batas Toleransi (T).

)()(

))((

10

10112

xfxf

xxxfxx

17

Contoh:

Tentukan solusi dari persamaan non-linier:

y = x3 – 7x + 1

dengan error 0.03.

Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan x1 dan x0.

Misalkan dipilih x1 = 2,5 dan x0 =2.3

Langkah 2 : Hitung f (x0), f (x1),

)()(

))((

10

10112

xfxf

xxxfxx

, dan f (x2).

Tabel 1

No x0 x1 f (x0) f (x1) x2 f(x2)

1. 2.3 2.5 -0.875

18.01)585.2(7)585.2()585.2()(

585.2)875.0(933.2

)5.23.2)(875.0(5.2

)()(

))((

875.01)5.2(7)5.2()5.2()(

.933.21)3.2(7)3.2()3.2()(

17)(

3

2

10

10112

3

1

3

0

3

fxf

xfxf

xxxfxx

fxf

fxf

xxxf

18

Langkah 3 : Apakah | f (x2)| ≤ 0.03? Jika ya, maka

x2 = 2.585 merupakan solusi dari persamaan non linier

tersebut, jika tidak, ulangi langkah 2 dengan x1 menjadi

x0 dan x2 menjadi x1.

Dikarenakan | f (x2)| = 0.18 > 0.03 maka ulangi langkah 2

sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

Tabel 2

No x0 x1 f (x0) f (x1) x2 f (x2)

1. 2.3 2.5 -2.933 -0.875 2.585 0.18

2. 2.5 2.585 -0.875 0.18 2.57 -0.015

| f (x2)| = 0.015 ≤ 0.03 maka iterasi dihentikan dan

diperoleh solusi persamaan non linier yang

diinginkan yaitu x = 2.57.

| f (x2)| =

0.18 >

0.03

19

20

Fixed Point Iteration (Iterasi Titik Tetap)

Metode iterasi titik tetap adalah metode yang

memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga

diperoleh : x = g(x) atau dalam bentuk persamaan

iterasi,

xi + 1 = g(xi)

misal:

x2 - 2x + 3 = 0 x = (x2 + 3)/2

sin(x) = 0 x = sin(x) + x

Algoritma Metode Iterasi Titik Tetap

1. Definisikan F(x) dan g(x).

2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum

(n).

3. Tentukan pendekatan awal x0

4. Untuk iterasi = 1 s/d n atau F(x [iterasi]) ≥ e :

xi = g(xi – 1) dan hitung F(xi)

5. Akar adalah x terakhir yang diperoleh.

21

Contoh:

Selesaikan x + ex = 0, maka persamaan diubah

menjadi x = ex atau g(x) = ex.

Penyelesaian:

Ambil titik awal di x0 = -1, maka

Iterasi 1 : x = -e-1= -0.3679 dan F(x) = 0,3243

Iterasi 2 : x = -e-0,3679 = -0,6922 dan

F(x) = -0,19173

Iterasi 3 : x = -e-0,6922 = -0,50047 dan

F(x) = 0,10577

Iterasi 4 : x = -e-0,50047 = -0,60624 dan

F(x) = -0,06085

Iterasi 5 : x = -e-0,60624 = -0,5454 dan

F(x) = 0,034217

Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0,56843 dan

F(x) = 0,034217.

22

f(x) = e-x

- x

akar

y1(x) = x

y2(x) = e-x

akar

v