BAB 4

LIMIT DAN TURUNAN FUNGSIPenerbit Erlangga

KOMPETENSIDASAR

Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga.

Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.

Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi.

Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah.

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.

A. LIMIT FUNGSI

1. Pendekatan LimitJika x adalah variabel pada himpunan bilangan asli { x। x < 4} maka kita daapt dengan mudah menyebut anggota terbesar himpunan tersebut, yaitu 3.

Jika x adalah variabel bilangan real, maka akan sulit bagi kita untuk menentukan dan memastikan bilangan real sebelum bilangan 4, bisa saja bilangan tersebut adalah 3,9999 atau 3,99999 dan seterusnya.

Untuk itu, kita dapat menyebutkannya dalam bentuk fungsi limit.

Kunjungilah situs http://www.mathnstuff.com/math/spoken/here/2class/420/limit.htm#thelimit. Berbagai limit beserta grafiknya pada situs ini dapat membantu untuk lebih memahami konsep limit.

2. Pengertian Limit FungsiPerhatikan fungsi f(x) = 2x + 1, dengan x elemen R. Kita akan menentukan f(x) dengan x bergerak mendekati 3. Hasilnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini:

untuk x mendekati 3 dari arah kanan dan arah kiri, ternyata nilai f(x) semakin mendekati 7.

Dalam kondisi limit, ditulis sebagai berikut:

Limit kanan = Limit kiri

=

=

x .... 2,98 2,99 3 3,01 3,02 ....

f(x) = 2x +1 .... 6,96 6,98 ... 7,02 7,04 ....

Secara formal, limit didefinisikan sebagai:

, jika untuk sembarang bilangan kecil

ε, terdapat bilangan positif β sedemikian sehingga

untuk yang memenuhi berlaku

.

Kunjungilah situs http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/limcondirectory/LimitConstant.html. Banyak soal-soal tentang limit menuju suatu konstanta yang tersedia di situs ini. Tidak hanya itu, kamu juga dapat mengklik solusi dari soal-soal yang ada.

3. Limit Fungsi AljabarLimit fungsi berbentuk

Jika variabel x mendekati c dengan c elemen R, maka cara penyelesaiannya:

a. Langsung disubstitusikan, asalkan hasilnya bukan bilangan tak tentu.

b. Jika telah disubstitusikan menghasilkan bilangan tak tentu, maka langkah selanjutnya adalah difaktorkan, disederhanakan kemudian disubstitusikan

CONTOH

1. Hitunglah:

a.

b.

Jawab:

a.

b.

2. Hitunglah:

Jawab:

Limit fungsi berbentuk

Untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar yang

variabelnya mendekati , maka caranya adalah

pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel

pangkat tertinggi.

Untuk , nilai limit dapat ditentukan dengan cara:

a. Jika pangkat tertinggi f(x) = pangkat tertinggi g(x), maka

b. Jika pangkat tertinggi f(x) > pangkat tertinggi g(x), maka

c. Jika pangkat tertinggi f(x) < pangkat tertinggi g(x), maka

d. Untuk berbentuk , kalikan

f(x)-g(x) dengan sekawannya, yaitu f(x) + g(x)

CONTOH

Hitunglah:

a.

b.

Jawab:

a.

b.

Pembilang dan penyebut dibagi x

4. Teorema Limit4.1. Teorema Limit Utama

Andaikan n adalah bilangan bulat positif, k suatu konstanta, serta f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka:

T-1

T-2

T-3

T-4

, dengan

dengan , jika n genap, atau

jika n ganjil.

T-5

T-7

T-6

T-8

T-9

CONTOH

Hitunglah nilai limit di bawah ini:

a.

b.

c.

Jawab:

a.

b.

c.

Teorema Limit tak Hingga

Andaikan n adalah bilangan positif, k adalah suatu konstanta, dan f serta g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka:

1

2

3

4

5

Kunjungilah situs http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/grenx/grenx.html#fehler. Klik “What is a fault? A tale that makes you smile”. Lihat apa yang salah dari proses pelimitan itu dan jangan sampai kamu menjawab soal serupa dengan jawaban seperti itu.

6

7

8

9

10

dengan , jika n genap, atau

jika n ganjil.

11

5. Limit Fungsi TrigonometriJika Variabelnya Mendekati Sudut Tertentu

Jika variabelnya mendekati sudut tertentu misalkan x → cara penyelesaiannya langsung disubstitusikanApabila hasilnya bilangan tak tentu, maka harus disederhanakan, difaktorkan, kemudian disubstitusikan.

Jika Variabelnya Mendekati Nol Jika variabel mendekati nol, misalkan x → 0, limit fungsi

trigonometri diubah ke dalam bentuk umum sebagai berikut.

1.

2.

3.

4.

Beberapa identitas fungsi trigonometri yang mendukung penyelesaian soal-soal limit adalah:

1.

2.

3.

4.

CONTOHHitunglah:

a.

b.

Jawab:

a.

b.

B. TURUNAN FUNGSI

1. Pengertian Turunan FungsiJika suatu fungsi dinyatakan dengan y=f(x), maka laju perubahan nilai fungsi dinyatakan dengan:

Laju perubahan nilai fungsi ini disebut fungsi turunan yang dilambangkan f’(x) (dibaca f aksen x). Jadi,

Untuk a < x < b memiliki nilai maka dikatakan bahwa fungsi f(x) mempunyai turunan dalam interval a < x < b.

Proses mencari f’(x) dari f(x) disebut penurunan atau pendiferensialan.

Notasi lain untuk turunan fungsi adalah y’, , .

CONTOH

Carilah turunan fungsi f yang dinyatakan dengan

f(x) = 2x + 3 pada x = 5.

Jawab:

f(x) = 2x + 3

f(5) = 2(5) + 3 = 13

f(5+h) = 2 (5 + h) + 3 = 10 + 2h +3

f’ (x) =

f’ (5) =

2. Rumus Turunan FungsiTurunan Fungsi Aljabar

Turunan Fungsi Khusus

Aturan Rantai

Jika f(x) = [u(x)]n dengan u(x) adalah fungsi dari x yang mempunyai turunan u’(x) dan n adalah bilangan real, maka:

CONTOH

Carilah turunan dari:

a.

b.

Jawab

a. Misalkan u(x) = x3 + 4, sehingga u’(x) = 3x2 ,

diperoleh:

b.

3. Turunan Hasil Operasi Fungsi

CONTOH

Tentukan turunan dari:

Jawab:

Misalkan:

Maka,

4. Turunan Fungsi Trigonometri

CONTOH

Selesaikan turunan dari fungsi trigonometri berikut ini:

a. y = x2 sin x

b. y = sin 5x + cos 6x – sin 3x

Jawab:

a. Misalkan u = x2 → u’ = 2x

v = sin x → v’ = cos x

maka, y’ = u’v + uv’

= (2x)(sin x) + (x2)(cos x)

= 2x sin x + x2 cos x

b. y = sin 5x + cos 6x ― sin 3x

y’ = (5) cos 5x + (6)(-sin 6x) ― (3)(cos 3x)

y’ = 5 cos 5x ― 6 sin 6x ― 3 cos 3x

C. TAFSIRAN GEOMETRI DARI TURUNAN

1. Gradien Garis Singgung

<insert gambar 4.2, hal 158>

Apakah arti turunan f’(x) secara geometris?

Perhatikan grafik y = f(x). Titik P(x,f(x)) dan Q(x+h, f(x+h)) yang terletak di grafik y = f(x) membentuk gradien tali busur PQ yang dinyatakan sebagai:

Jika h mendekati nol maka titik Q mendekati titik P sehingga tali busur PQ menjadi gradien garis singgung di titik (x, f(x)) pada titik y = f(x). Dengan demikian gradien garis singgung di titik P adalah sebagai berikut:

Dengan kata lain, gradien garis singgung di titik (x,y) pada grafik y = f(x) dapat dinotasikan sebagai m, yaitu:

2. Persamaan Garis SinggungJika titik P(x1,y1) terletak pada kurva y = f(x), maka persamaan garis singgung kurva yang melalui titik tersebut adalah:

dimana m adalah gradien (kemiringan) garis, dengan m = f’(x) = y’. Jika terdapat dua potong garis yang mempunyai gradien masing-masing m1 dan m2 maka kedua garis akan:

1. saling sejajar, jika m1 = m2

2. saling tegak lurus, jika m1 . m2 = -1

3. Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai StasionerFungsi Naik dan Fungsi Turun

<insert gambar 4.3 di hal 161>

Terlihat bahwa parabola f(x) turun dari arah kiri hingga x = a dan naik mulai dari x = a ke arah kanan, sehingga dapat dikatakan bahwa:

f(x) adalah fungsi naik untuk x > a f(x) adalah fungsi turun untuk x < a

Pada x = a, grafik fungsi tidak naik dan tidak turun, maka dikatakan titik (a, f(a)) adalah titik stasioner dan f(a) adalah nilai stasioner.

Pengertian fungsi naik dan fungsi turun dapat didefinisikan sebagai berikut:

1. Fungsi f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I, jika tiap bilangan x1 dan x2 dalam I dan x1 < x2 maka berlaku hubungan f(x1) < f(x2).

2. Fungsi f(x) dikatakan fungsi turun dalam interval I, jika tiap bilangan x1 dan x2 dalam I dan x1 > x2 maka berlaku hubungan f(x1) > f(x2).

<insert gambar 4.4, 4.5 di hal 162>

Tanda-tanda +,―, dan nol pada gambar di atas menunjukkan tanda nilai-nilai dari turunannya atau gradiennya.

Untuk menentukan interval dimana fungsi f(x) naik atau turun dan stasioner, dapat dilakukan atas dasar nilai f’(x) yaitu:

Jika f’(x) > 0 maka f(x) fungsi naik.Jika f’(x) < 0 maka f(x) fungsi turun.

Jika f’(x) = 0 maka f(x) stasioner.

4. Nilai Stasioner3 jenis nilai stasioner:

1. Nilai balik maksimum, jika f’(x) berubah tanda dari positif menjadi negatif melalui nol.

2. Nilai balik minimum, jika f’(x) berubah tanda dari negatif menjadi positif melalui nol.

3. Nilai belok horizontal, jika f’(x) tidak mengalami perubahan tanda.

Notes:Nilai stasioner juga disebut nilai ekstrem fungsi.

Cara lain untuk menentukan jenis-jenis nilai ekstrim suatu fungsi f(x), yaitu dengan cara mengamati turunan kedua fungsi tersebut pada titik-titik stasionernya, disebut sebagai Uji Turunan Kedua.

Jika f’’(a) > 0 maka f(a) adalah nilai balik minimum fungsi f.

Jika f”(a) < 0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum fungsi f.

Jika f”(a) = 0 maka nilai stasioner f(a) belum dapat ditetapkan.

D. PENERAPAN TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)

Contoh:1. Suatu benda bergerak menempuh jarak s meter

dalam waktu t detik dengan persamaan s = t3 – 3t2 + 3t +5.

Hitunglah:

a. kecepatan benda tersebut setelah 3 menit,

b. percepatan benda setelah 2 menit,

c. waktu (t) yang diperlukan agar kecepatannya nol.

Kunjungilah situs http://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcl/derivativeinterp.aspx. Pelajari contoh soal tentang volume air dalam tangki yang menggunakan konsep turunan yang ada di situs tersebut..

Jawab:

s = t3 – 3t2 + 3t + 5

Kecepatan (v) = = 3t2 - 6t + 3

Percepatan (a) = = = 6t – 6

a. pada t = 3 → v = 3(3)2 – 6(3) + 3 = 12 m/detik

b. pada t = 2 → a = 6(2) – 6 = 6 m/detik2

c. = 0 → 3t2 – 6t + 3 = 0 (3t – 3) (t – 1) = 0

t1= 1 atau t2 = 1

Jadi, t1 = t2 = 1 detik kecepatan benda tersebut sama dengan nol.