BAB 5. LIMIT - · PDF fileMATEMATIKA DASAR Ilham Saifudin Outline 1 Limit Deﬁnisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

Outline

BAB 5. LIMIT

Jurusan Manajemen Informatika

Fakultas TeknikUniversitas Muhammadiyah Jember

7th November 2016

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

Outline 1 Limit

Definisi Limit

Limit -limit satu sisi

Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga

Limit fungsi trigonometri

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga

Limit fungsitrigonometri

MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Definisi

Makna limit secara intuisiUntuk mengatakan bahwa

limx→c

f (x) = L

berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan dari c, maka f (x) dekat

dengan L.

Contoh :Carilah

limx→3

(4x − 5)

danlimx→3

(x2 − x − 6)

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Definisi


limx→c

f (x) = L


dengan L.

Contoh :Carilah

limx→3

(4x − 5)

danlimx→3

(x2 − x − 6)

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Definisi


limx→c

f (x) = L


dengan L.

Contoh :Carilah

limx→3

(4x − 5)

danlimx→3

(x2 − x − 6)

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga



Definisi limit kiri dan limit kananbahwa

limx→c+

f (x) = L

berarti bahwa ketika x dekat tetapi sebelah kanan c, maka f (x) dekatdengan L. Demikian pula bahwa

limx→c−

f (x) = L

berarti x dekat tapi pada sebelah kiri c, maka f ()x dekat dengan L.

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga



Teorema A

limx→c

f (x)

jika dan hanya jikalim

x→c+

f (x) = L

danlim

x→c−f (x) = L

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Definisi


limx→c

f (x) = L

berarti untuk tiap ε > 0 yang diberikan , terdapat δ > 0 yang berpadanan

sedemikian rupa sehingga |f (x) − L| < ε asalkan 0 < |x − c| < δ yakni

0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.

contohcontoh yaitu buktikan bahwa

limx→4

(3x − 7) = 5

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Definisi


limx→c

f (x) = L



0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.


limx→4

(3x − 7) = 5

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Definisi


limx→c

f (x) = L



0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.


limx→4

(3x − 7) = 5

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

k = k

2limx→c

x = c

3limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x)

4limx→c

[f (x) + g(x)] = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5limx→c

[f (x) − g(x)] = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

k = k

2limx→c

x = c

3limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x)

4limx→c

[f (x) + g(x)] = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5limx→c

[f (x) − g(x)] = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

k = k

2limx→c

x = c

3limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x)

4limx→c

[f (x) + g(x)] = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5limx→c

[f (x) − g(x)] = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

k = k

2limx→c

x = c

3limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x)

4limx→c

[f (x) + g(x)] = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5limx→c

[f (x) − g(x)] = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

k = k

2limx→c

x = c

3limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x)

4limx→c

[f (x) + g(x)] = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5limx→c

[f (x) − g(x)] = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

k = k

2limx→c

x = c

3limx→c

kf (x) = k limx→c

f (x)

4limx→c

[f (x) + g(x)] = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5limx→c

[f (x) − g(x)] = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c

[f (x).g(x)] = limx→c

f (x). limx→c

g(x)

2

limx→c

f (x)

g(x)=

limx→c f (x)

limx→c g(x)

3limx→c

[f (x)]n = [ limx→c

f (x)]n

4

limx→c

np

[f (x)] = n

qlimx→c

f (x)

asalkanlimx→c

f (x) > 0

ketika n genap

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c


f (x). limx→c

g(x)

2

limx→c

f (x)

g(x)=

limx→c f (x)

limx→c g(x)

3limx→c


f (x)]n

4

limx→c

np

[f (x)] = n

qlimx→c

f (x)

asalkanlimx→c

f (x) > 0

ketika n genap

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c


f (x). limx→c

g(x)

2

limx→c

f (x)

g(x)=

limx→c f (x)

limx→c g(x)

3limx→c


f (x)]n

4

limx→c

np

[f (x)] = n

qlimx→c

f (x)

asalkanlimx→c

f (x) > 0

ketika n genap

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c


f (x). limx→c

g(x)

2

limx→c

f (x)

g(x)=

limx→c f (x)

limx→c g(x)

3limx→c


f (x)]n

4

limx→c

np

[f (x)] = n

qlimx→c

f (x)

asalkanlimx→c

f (x) > 0

ketika n genap

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema limit utama

1limx→c


f (x). limx→c

g(x)

2

limx→c

f (x)

g(x)=

limx→c f (x)

limx→c g(x)

3limx→c


f (x)]n

4

limx→c

np

[f (x)] = n

qlimx→c

f (x)

asalkanlimx→c

f (x) > 0

ketika n genap

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

ContohCarilah

1limx→3

2x4

2limx→3

(3x2 − 2x)

3

limx→4

√x2 + 9

x

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

ContohCarilah

1limx→3

2x4

2limx→3

(3x2 − 2x)

3

limx→4

√x2 + 9

x

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

ContohCarilah

1limx→3

2x4

2limx→3

(3x2 − 2x)

3

limx→4

√x2 + 9

x

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

ContohCarilah

1limx→3

2x4

2limx→3

(3x2 − 2x)

3

limx→4

√x2 + 9

x

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit

Teorema subtitusiJika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka

limx→c

f (x) = f (c)

asalkan f (c) terdefinisi, nilai penyebut pada c tidak nol

ContohCarilah

limx→1

x3 + 3x + 7x2 − 2x + 1

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit


limx→c

f (x) = f (c)


ContohCarilah

limx→1

x3 + 3x + 7x2 − 2x + 1

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Teorema limit


limx→c

f (x) = f (c)


ContohCarilah

limx→1

x3 + 3x + 7x2 − 2x + 1

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit

1. Cara langsung

A. bila diperoleh bentuk tentu

1

limx→2

x2 + 3xx2 − 6

2

limx→2

x + 4x2 − 4

B. bila diperoleh bentuk tak tentu, maka diarahkan ke bentuk tentu

menggunakan cara lain.

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit

1. Cara langsung


1

limx→2

x2 + 3xx2 − 6

2

limx→2

x + 4x2 − 4



MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit

1. Cara langsung


1

limx→2

x2 + 3xx2 − 6

2

limx→2

x + 4x2 − 4



MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit

1. Cara langsung


1

limx→2

x2 + 3xx2 − 6

2

limx→2

x + 4x2 − 4



MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit

1. Cara langsung


1

limx→2

x2 + 3xx2 − 6

2

limx→2

x + 4x2 − 4



MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit

2. Cara tidak langsung

A. Dengan faktorisasi : bila bentuknya dapat difaktorkan

limx→3

x2 − 5x + 6x2 − 15x + 36

B. Dengan metode turunan : bila diperoleh bentuk tak tentu.

limx→c

f (x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g′(x)

Contoh:

limx→3

x3 − 27x2 − 3x

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit



limx→3

x2 − 5x + 6x2 − 15x + 36


limx→c

f (x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g′(x)

Contoh:

limx→3

x3 − 27x2 − 3x

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit



limx→3

x2 − 5x + 6x2 − 15x + 36


limx→c

f (x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g′(x)

Contoh:

limx→3

x3 − 27x2 − 3x

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Penyelesaian limit


C. Dengan perkalian bentuk sekawan : bentuk (√

a −√

b) sekawandengan bentuk (

√a +

√b). Contoh :

limx→3

√5x + 1 −

√3x + 7

6x − 18

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Limit tak hingga

Bentuk

limx→∼

f (x)

g(x)

dimana k∼

= 0 dan ∼

k =∼ A. Dapat dikatakan :

limx→∼

axm + bxm−1 + ...

pxn + qxn−1 + ...

dengan :

1 ap bila m = n

2 ∼, bila m > n

3 0, bila m < n

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Limit tak hingga

Bentuk

limx→∼

f (x)

g(x)

dimana k∼

= 0 dan ∼


limx→∼

axm + bxm−1 + ...

pxn + qxn−1 + ...

dengan :

1 ap bila m = n

2 ∼, bila m > n

3 0, bila m < n

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Limit tak hingga

Bentuk

limx→∼

f (x)

g(x)

dimana k∼

= 0 dan ∼


limx→∼

axm + bxm−1 + ...

pxn + qxn−1 + ...

dengan :

1 ap bila m = n

2 ∼, bila m > n

3 0, bila m < n

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Limit tak hingga

Bentuk

limx→∼

f (x)

g(x)

dimana k∼

= 0 dan ∼


limx→∼

axm + bxm−1 + ...

pxn + qxn−1 + ...

dengan :

1 ap bila m = n

2 ∼, bila m > n

3 0, bila m < n

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKA DASAR

1 Limit

Definisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga



Dapat dengan cara :

1 Penjabaran rumus trigonometri

2 Dengan derivatif

3 Dengan bentuk sudut mendekati 0

limx→0

sinxx

= 1 , limx→0

tgxx

= 1, dan 1 − cos2x = 2(sinx)2

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga



Dapat dengan cara :


2 Dengan derivatif


limx→0

sinxx

= 1 , limx→0

tgxx

= 1, dan 1 − cos2x = 2(sinx)2

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga



Dapat dengan cara :


2 Dengan derivatif


limx→0

sinxx

= 1 , limx→0

tgxx

= 1, dan 1 − cos2x = 2(sinx)2

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga



Dapat dengan cara :


2 Dengan derivatif


limx→0

sinxx

= 1 , limx→0

tgxx

= 1, dan 1 − cos2x = 2(sinx)2

MATEMATIKADASAR

IlhamSaifudin

LimitDefinisi Limit


Presisi limit

Teorema limit

Penyelesaian limit

Limit tak hingga


Thank You

Documents

BAB 5. LIMIT - · PDF fileMATEMATIKA DASAR Ilham Saifudin Outline 1 Limit Deﬁnisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit