Bab 5 Root Locus

Bab 5: Root Locus EL303: Sistem Kendali

__________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5-1

ROOT LOCUS

Ì Pendahuluan

Ì Dasar Root Locus

Ì Plot Root Locus

Ì Aturan-Aturan Penggambaran Root Locus

Ì Root Locus Melalui MATLAB

Ì Kasus Khusus

Ì Analisis Sistem Kendali Melalui Root Locus

Ì Root Locus untuk Sistem dengan

Transport Lag



Ì PENDAHULUAN

n Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop tertutupnya).

n Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga

berubah. n Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole

dalam bidang s. n Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih

K sehingga pole-pole terletak ditempat yang diinginkan.

n Desain sistem kendali melalui kompensasi: memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui pole-zero cancellation.

n Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel. (Alternatif: gunakan MATLAB ?!)

n W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi : metoda Root Locus.

n Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga.

n Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole-pole terhadap perubahan K, terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.



Ì DASAR ROOT LOCUS

Persamaan Karakteristik: s2 + 2s + K =0

Akar-akar Persamaan Karakteristik :

sK

K=− ± −

= − ± −2 4 4

21 1

K s1 s2

0 0 -2 1 -1 -1 2 -1+j1 -1+j1

10 -1+j3 -1+j3 101 -1+j10 -1+j10



n Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu

nyata.

n Root Locus bermula dari pole-pole G(s)H(s) (untuk K=0) dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) (untuk K→∞) termasuk zero-zero pada titik takhingga.

n Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem

kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka mana yang harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem dapat dipenuhi.

n Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok

diterapkan untuk memperoleh hasil secara cepat.

n Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1 parameter untuk diatur masih dapat menggunakan pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1 parameter pada satu saat.

n Root Locus sangat memudahkan pengamatan

pengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letak pole-pole.

n Sketsa Root Locus secara manual tetap dibutuhkan

untuk dapat memahaminya dan untuk memperoleh idea dasar secara cepat, meskipun MATLAB dapat melakukannya secara cepat dan akurat.

n Spesifikasi transient (koefisien redaman) dapat

ditentukan dengan mengatur nilai K melalui Root Locus.



Ì PLOT ROOT LOCUS

Persamaan Karakteristik: 1 + G(s)H(s) = 0 Atau: G(s)H(s) = -1,

Sehingga: ⊃G(s)H(s) = ! 1800(2k+1); (syarat sudut)

k = 0, 1, 2, ….

| G(s)H(s)| = 1 (syarat magnitude)



Ì PROSEDUR PENGGAMBARAN ROOT LOCUS

1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada bidang s.

2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.

• Syarat Sudut: ⊃G(s)H(s) = ! 1800(2k+1); k = 0, 1, 2, ….

• Ambil titik test : bila jumlah total pole dan zero dikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root Locus.

3. Tentukan asimtot Root Locus:

• Banyaknya asimtot = n – m n = banyaknya pole loop terbuka m= banyaknya zero loop terbuka

• Sudut-sudut asimtot = mn

1)(2k1800

−+±

k=0, 1, 2, …

• Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata:

( ) ( )mn

berhinggazeroletakberhinggapoleletak

−

−= ∑∑

aσ



4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in:

Untuk Persamaan Karakteristik: B(s) + KA(s) = 0, Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan memenuhi persamaan:

0)(

)()()()(2

''

=−

−=sA

sAsBsAsB

ds

dK

5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat

untuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan. • Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 1800 –

(jumlah sudut vektor-vektor dari pole-pole lain ke pole kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari zero-zero ke pole kompleks tsb).

• Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 1800 – (jumlah sudut vektor-vektor dari zero-zero lain ke zero kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari pole-pole ke zero kompleks tsb).



6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K):

• Melalui Kriteria Routh Hurwitz. • Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = jz

7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerah-

daerah selain sumbu nyata dan asimtot.

8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang memenuhi syarat magnitude. Sebalikya, bila letak pole-pole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang memenuhi dapat dihitung secara grafis atau secara analitis:

Secara grafis:

zero-zero ke s titik dari garis-garis panjangperkalian

pole-pole ke s titik dari garis-garis panjangperkalian K =



CONTOH : Gambarkan Root Locus sistem balikan satuan dengan

)2)(1()(

++=

sss

KsG

Tentukan juga nilai K agar koefisien redaman pole-pole kompleks sekawan loop

tertutup dominannya bernilai 0,5.

Solusi :

1. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.

Untuk titik uji 1 :

Syarat sudut : 0000 0000)2()1( =++=+∠−+∠−∠− sss (tak terpenuhi).

Untuk titik uji 2 :

Syarat sudut : 0000 18000180)2()1( −=−−−=+∠−+∠−∠− sss (terpenuhi).

2. Penentuan asimtot Root Locus

Banyaknya asimtot = banyaknya pole (n) – banyaknya zero (m) = 3 - 0 = 3

Sudut asimtot = 0000

60dan180;60)2,1,0k(;3

)1k2(180−==

+±

Titik potong asimtot pada sumbu nyata :

103

0)210(−=

−−−−

=−

−= ∑ ∑

mn

zpσ

3. Penentuan titik pencar diperoleh dari persamaan : 0=dsdK

Persamaan karakteristik sistem adalah :

σ

jω

0 -1 -2 • •

Titik uji 1 Titik uji 2



01)2)(1(

=+++ sss

K atau )23( 23 sssK ++−= , sehingga:

0)263( 2 =++−= ssdsdK

Diperoleh 4226,0s1 −= (memenuhi) dan 5774,1s2 −= (tak memenuhi)

4. Penentuan batas kestabilan sistem menggunakan kriteria Routh Hurwitz.

K

3

K6K 3

2 1

0

1

2

3

−

s

s

s

s

Syarat stabil tercapai bila 0 < K < 6. Bila dihitung, perpotongan Root Locus

dengan sumbu khayal ini terjadi pada : 2js ±= .

Cara lain untuk mengetahui titik potong ini adalah secara analisis: s = jω (pada

sumbu khayal).

5. Tentukan beberapa titik uji dekat titik pencar yang memenuhi syarat sudut Root

Locus agar diperoleh plot Root Locus secara akurat.



6. Gambar Root Locus nya:

7. Penentuan letak pole-pole kompleks sekawan dominan yang memiliki koefisien

redaman 0,5. Anggap pole kompleks sekawan 2nn 1js ζ−ω±ζω−= . Dengan

memperhatikan gambar dibawah ini, maka terlihat bahwa β=ζ cos . Untuk

,5,0=ζ maka 060=β . Dengan menggunakan cara analitis akan diperoleh pole-

pole dominan tersebut adalah : s = -0,3337 + j0,5780, dengan nilai K adalah:

0383,1)2)((5780,03337,0

=++=+−= js

sssK



Ì BEBERAPA CATATAN

• Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat mengubah total bentuk Root Locus.

• Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di ‘hilang’kan (cancelled) oleh zero-zero H(s)







Ì ROOT LOCUS MELALUI MATLAB Root Locus = persamaan karakteristiknya, dalam MATLAB:

0den

numK1 =+

n211n

n21n

n21

m211m

m21m

m21

ppps)ppp(s

)ps()ps)(ps(den

zzzs)zzz(s

)zs()zs)(zs(num

LLL

L

LLL

L

++++++=

+++=+++++=

+++=

−

−

Perintah MATLAB untuk menggambar Root Locus (Konsep

Fungsi Alih):

rlocus(num, den)

Untuk konsep ruang waktu:

rlocus (A, B, C, D)

Pada kedua perintah tersebut, penguatan lup terbuka sistem K

secara otomatis ditentukan.

Apabila pole-pole lup tertutup untuk beberapa nilai K ingin

dihitung, maka perintah berikut ini dapat digunakan :

rlocus(num,den,K), atau

rlocus(A,B,C,D,K)

K = vektor yang berisi semua nilai penguatan dimana pole-pole

lup tertutup ingin dihitung.



Cara lain penggambaran Root Locus adalah dengan

menggunakan arguman berikut ini :

[r,K] = rlocus(num,den)

[r,K] = rlocus(num,den,K)

[r,K] = rlocus(A,B,C,D)

[r,K] = rlocus(A,B,C,D,K)

Pada layar akan tampil matriks r dan vektor penguatan K.

Perintah :

r=rlocus(num,den)

plot(r,'o') atau, plot(r,'x')

dapat digunakan untuk menggambar Root Locus dengan tanda

o′ atau ,x` ′

Mengingat vektor penguatan ditentukan secara otomatis,

maka plot Root Locus berikut ini :

)3s)(2s(s

)1s(K200)s(H)s(G

)3s)(2s(s

)1s(K10)s(H)s(G

)3s)(2s(s

)1s(K)s(H)s(G

+++

=

+++

=

+++

=

adalah sama, dengan :

num = [ 0 0 1 1 ]

den = [ 1 5 6 0 ]



Contoh :

Plot Root Locus menggunakan MATLAB suatu sistem kendali

balikan satuan:

)1s4,1s)(6s)(4s(s

)4s2s(K)s(G

2

2

++++++

=

Solusi :

Perintah konvolusi dapat digunakan untuk memperoleh bentuk

polinomial.

Definisikan :

]14.11[c:1s4.1sc

]61[b:6sb

]041[a:s4s)4s(sa

2

2

=++=

=+==+=+=

Selanjutnya gunakan perintah :

d = conv(a,b);

e = conv(c,d)

Hasil yang diperoleh e = [1 11.4 39 43.6 24 0]



Program MATLAB nya:

%------Root-Locus -------

num = [0 0 0 1 2 4];

den = [1 11.4 39 43.6 24 0];

rlocus(num,den)

Warning:Divide by zero

v = [-10 10 -10 10]; axis(v)

grid

title(‘Root-Locus Plot of G(s) = K(s^2 + 2s +4)/[s(s + 4)(s + 6)(s^2 + 1.4s + 1)]’)



Ì KASUS KHUSUS ] Parameter K bukan penguatan loop terbuka. ] Umpanbalik positif.

] Parameter K bukan Penguatan Loop Terbuka.





] Umpanbalik Positif.

• Modifikasi Aturan

2. Bila jumlah total pole dan zero dikanan titik test, maka titik tsb berada di Root Locus.

3. Sudut-sudut asimtot = mn

036 0

−± k

; k=0, 1, 2, …

5. Sudut datang dan sudut pergi : 1800 diganti dengan 00.



Contoh:

Gambarkan Root Locus untuk sistem umpan-balik positif G(s)H(s).

Solusi:

1. Plot pole-pole lup terbuka (s = -1 + j1, s = -1 - j1, s = -3) dan zero (s = -2) pada

bidang kompleks. Dengan naiknya nilai K dari 0 hingga ∞, pole-pole lup tertutup

akan bergerak dari pole-pole lup terbuka dan berakhir pada zero-zero lup terbuka

(baik zero berhingga maupun tak berhingga), sebagaimana terjadi pada sistem

umpan-balik negatif.

2. Tentukan root locus pada sumbu nyata . Root locus akan berada pada penggal

garis antara -2 dan +∞ dan antara -3 dan -∞.

3. Tentukan asimtot-asimtot root locus. Sudut-sudut asimtot = ± k. 3600 / (3 - 1) =

±1800. (Kedua asimtot terletak pada sumbu nyata.)

4. Tentukan titik-titik pencar dan masuk.

K = [(s + 3)(s2 + 2s + 2)]/(s + 2).

dK/ds = 0, diperoleh: 2s3 + 11 s2 + 20 s + 10 = 0, atau

2(s + 0,8)(s + 2,35 + j0,77)( s + 2,35 - j0,77), sehingga titik masuk s = -0,8

5. Tentukan sudut berangkat root locus dari pole-pole kompleks. Untuk pole pada s

= -1 + j1, sudut berangkatnya adalah: θ = 0 - 270 - 900 + 450 = -720

6. Tentukan titik-titk uji disekitar sumbu imajiner dan titik asal untuk

menggambarkan root locus pada daerah ini secara lebih teliti.



Sistem tidak stabil untuk K > 3 (Gunakan metoda Root Hurwitz untuk

menghitungnya!). Sistem harus distabilkan dengan umpanbalik negatif diluarnya.

2) K(s 2) 2s 3)(s (s

2) K(s

)(

)(2 +−+++

+=

sR

sC





Ì ANALISIS SISTEM KENDALI • Ortogonalitas dan locus dengan penguatan konstan • Sistem stabil kondisional • Sistem fasa non-minimum

• Ortogonalitas dan Locus dengan Penguatan Konstan

Root locus dan lokus dengan penguatan konstan merupakan pemetaan konformal lokus ∠G(s)H(s)= ±1800(2k+1) dan |G(s)H(s)| = konstan dalam bidang G(s)H(s)



• Sistem Stabil Kondisional

• Sistem stabil untuk 0 < K < 14 dan 64<K <195 • Prakteknya stabil kondisional tak diinginkan, karena

sistem mudah menjadi tak stabil.

• Stabil kondisional dapat etrjadi pada sisetm dengan lintasan maju tak stabil (karena ada minor loop).

• Stabil kondisional dapat dihindari melalui

kompensasi yang sesuai (penambahan zero).



• Sistem Fasa Non-Minimum (Pergeseran fasa bila diberi input sinus)

• Sistem fasa minimum: bila semua pole dan zero

sistem loop terbuka terletak disebelah kiri bidang-s.

• Sistem fasa non-minimum: bila sedikitnya ada satu pole atau zero sistem loop terbuka terletak disebelah kanan bidang-s.

= ±1800 (2k+1); k= 0, 1, 2, …

Sehingga: 0

0)1(

)1(=

+−

∠Tss

sTK a



Ì ROOT LOCUS DENGAN

TRANSPORT LAG

• Transport lag / Dead Time: keterlambatan pengukuran akibat sifat kelembaman sistem fisis.

• Elapse time: T = L/v detik, • Sehingga : y(t) = x(t-T) • Fungsi Alih:



Contoh:



Mengingat sudut kontribusi dari e-Ts adalah nol untuk ω=0, maka sumbu nyata dari -1

hingga -∞ merupakan bagian dari root locus. Asumsikan suatu nilai ω1 untuk ω, dan

hitung 57.3o ω1T. Pada titik -1 disumbu nyata negatif, gambar suatu garislurus yang

membuat sudut 180o - 57.3o ω1T terhadap sumbu nyata. Tentukan titik potong garis

ini dengan garis mendatar ω = ω1. Titik potong P ini sebagaimana terlihat pada

gambar kiri memenuhi persamaan root locus, sehingga titik tersebut berada pada root

locus. Dengan mengulangi prosedure diatas, maka akan diperoleh root locus seperti

terlihat pada gambar kanan.

Perlu juga diingat bahwa bila s mendekati -∞, maka fungsi alih lup terbuka :

−∞=−=+

=+

∞+

−

−∞=∞=

Ts

sKTe

KK

K

1] d/ds[s

]e [ dsd

1 s

e lim

karena ,- mendekatiakan 1 s

e

Ts-Ts-

-s

-Ts

Dengan demikian, s= -∞ adalah suatu pole lup terbuka. Jadi root locus

bermula dari s = -1 atau s = -∞ dan berakhir pada s = ∞, sesuai dengan membesarnya

K dari nol hingga tak hingga. Mengingat syarat sudut fasa untuk root locus memiliki

tak terhingga nilai (ingat k = 0, 1, 2, …), maka akan ada tak terhingga root locus pula.

Untuk k = 1, maka syarat sudut berubah menjadi:

(radian) T - 3

(derajat) 3.57540 1 00

ωω

Π±=−±=+∠ Ts



Dead Time menyebabkan ketidakstabilan sistem, sekalipun untuk sistem orde-1



Pendekatan Transport Lag • Bila T kecil sekali dan fungsi f(t) pada elemen tsb

kontinyu dan smooth:

• Pendekatan Lain:

Documents

Bab 5 Root Locus