BAB 5 ROTASI KINEMATIKA ROTASI

• Bila terjadi perubahan sudut dalam selang waktu tertentu, didefinisikan kecepatan sudut rata-rata sebagai :

12

12

tt

• Bila terjadi perubahan kecepatan sudut dalam selang waktu tertentu, didefinisikan percepatan sudut rata-rata sebagai :

12

12

tt

= Sudut [radian] = Kecepatan sudut [radian/s] = Percepatan sudut

[radian/s2 ] t = Waktu [s]

• Persamaan-persamaan kinematika rotasi :

)(2

2

12

12

22

2

2

oo

o

oo

oo

o

tt

tt

t

t

• Kecepatan dan percepatan sudut sesaat :

dt

d

t

dt

d

t

t

t

0

0

lim

lim

Contoh Soal 5.1Sebuah roda gila (grindstone wheel) berputar dengan percepatan konstan sebesar 0,35 rad/s2. Roda ini mulai berputar dari keadaan diam (o = 0) dan sudut mula-mulanya o = 0.Berapa sudut dan kecepatan sudutnya pada saat t=18 s ?

Jawab :

putaranrad

tt

o

o

932007,56

)18)(35,0(2

1)18(0

2

1

2

2

sputaranssrad

srad

t

o

o

/1/360/3,6

/3,6)18)(35,0(0

radian2360putaran1 o

Contoh Soal 5.2Dalam suatu analisis mesin helikopter diperoleh informasi bahwa kecepatan rotornya berubah dari 320 rpm menjadi 225 rpm dalam waktu 1,5 menit ketika mesinnya dihentikan.a). Berapa percepatan sudut rata-ratanya ?a). Berapa lama baling-balingnya berhenti ?b). Berapa kali baling-balingnya berputar sampai berhenti ?

Jawab :

putaranc

menittb

sputarant

a

o

o

809)3,63(2

3200

2).

1,53,63

3200).

/3,635,1

320225).

222

2

• Hubungan antara kecepatan linier dan kecepatan sudut

rrdt

dv

dt

dsvrs

• Hubungan antara percepatan linier dan percepatan sudut

rr

r

r

v

rrdt

d

dt

rd

dt

dva

r

t

222 )(

• Momen Inersia (rotasi) massa (translasi)

Untuk sistem partikel energi kinetiknya :

22

2222

2

12

1)(

2

1

2

1

IKrmI

rmrmvmK

ii

iiiiii

I disebut momen inersia dari sistem partikel

Untuk benda tegar momen inersianya dapat dihitung dari :

dmrI 2

Contoh Soal 5.3Suatu sistem terdiri dari dua buah benda bermassa sama m yang dihubungkan dengan sebuah batang kaku sepanjang L dengan massa yang dapat diabaikan. a). Bila sistem tersebut berputar dengan sumbu ditengah batang tentukan momen inersianyab). Tentukan momen inersianya bila berputar dengan sumbu pada ujung batang

Jawab :

2222

222

2

0).

2

1

22).

mLLmmrmIb

mLL

mL

mrmIa

ii

ii

DINAMIKA ROTASI

Sebuah benda berputar pada suatu sumbu disebabkan karena adanya momen gaya atau torka/torsi (torque)

Fr

FrFrrFrFt

)sin(sin

Hukum Newton II untuk rotasi :

maFI

KERJA DAN DAYA ROTASI

f

i

f

i

x

x

tt

FdxWdW

ddWdrFrdFdsFdW

)(

FvPdt

d

dt

dWP

Contoh Soal 5.4 Sebuah batang homogen bermassa 1,5 kg sepanjang 2 m dapat

berputar pada salah satu ujungnya. Mula-mula batang ini berada dalam keadaan diam dan membuat sudut 40o terhadap horisontal seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Hitung :

a). Percepatan sudut pada saat dilepaskan b). Kecepatan sudut pada posisi horisontal disebelah kiri

Mg40o

R

Jawab :

Mg40o

R

2ML3

1I

s/rad08,345,9

)0)(8,9)(5,1()2(2

140sin)2)(5,0)(8,9)(5,1()0)(2(

2

1

0h40sinL5,0hMghI2

1MghI

2

1).b

s/rad63,52

26,11

226,11)40cos)2(5,0)(8,9)(5,1(RMgRFI

kgm2)2)(5,1(3

1ML

3

1I).a

22

22

o

2o

12221

21

2

o

222

Contoh Soal 5.5.

Sebuah batang homogen bermassa 0,5 kg sepanjang 80 cm dapat berputar pada salah satu ujungnya. Mula-mula batang ini berada dalam keadaan horisontal seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Bila diberi kecepatan sudut awal sebesar 5 rad/s, tentukan :

a). Momen inersia batang tersebut, Ib). Momen gaya yang dialami pada saat horisontal, o

c). Percepatan sudut awal, o d). Kecepatan sudut pada posisi vertikal,

o

mg

ho

h = 0

L/2Jawab :

s/rad851,70535,0

2975,32975,396,13375,10535,0

)0)(8,9)(5,0()107,0(2

1)4,0)(8,9)(5,0()5()107,0(

2

1

mghI2

1mghI

2

1)d

s/rad318,18107,0

96,1

II)c

Nm96,1)4,0)(8,9)(5,0(2

Lmg)b

m.kg107,0)8,0)(5,0(3

1mL

3

1I)a

2

22

2o

2o

2oooo

o

222

• Momentum Sudut

Momentum sudut didefinisikan sebagai perkalian antara momen inersia dan kecepatan sudut

vmpIL Hukum Newton II :

madt

dmv

dt

dpFI

dt

dI

dt

dL

Hukum kekekalan momentum sudut :

tankonsLL0 fi

Contoh Soal 5.6

Sebuah cakram (disk) dengan momen inersia I1 berputar dengan kecepatan sudut I terhadap poros yang licin. Cakram ini jatuh mengenai cakram lain dengan momen inersia I2 yang sedang diam. Akibat gesekan pada permukaannya cakram lain ini ikut berputar sampai akhirnya mempunyai kecepatan sudut yang sama. Tentukan kecepatan sudut akhir ini.

Jawab :

i2i

if

f212i1

fi

II

I

)II()0(II

LL

Contoh Soal 5.7

Sebuah komedi putar mempunyai jari-jari 2 m dan momen inersia sebesar 500 kgm2. Seorang anak bermassa 25 kg berlari sepanjang garis yang tangensial terhadap tepi komedi putar yang semula diam dengan kecepatan 2,5 m/s dan melompat seperti terlihat pada gambar. Akibatnya komedi putar bersama-sama dengan anak tersebut ini berputar. Hitung kecepatan sudut komedi putar tersebut.

Jawab :

s/rad208,0600

125

)500100()2)(5,2(25

)II(mvrLL

kgm100)2(25mrI

f

f

fkpanakfi

222anak

• Gerak Menggelinding

Sebuah bola menggelinding di atas bidang datar tanpa slip

Titik kontak antara bola dan bidang datar bergerak sejauh s

Pusat massa terletak di atas titik kontak juga bergerak sejauh s

dt

d

dt

dR

dt

dsVpm

Kondisi menggelinding :

RAdt

d

dt

dR

dt

dV

RV

pm

pm

pm

• Bola bergerak translasi dengan kecepatan v tanpa rotasi,sehingga baik titik kontak maupun titik puncak mempunyai kecepatan yang sama dengan kecepatan pusat massa.

• Bola berputar dengan kecepatan sudut tanpa translasi, sehingga kecepatan pusat massa nol sedangkan kecepatan titik kontak dan titik puncak mempunyai kecepatan yang sama tetapi berlawanan arah sebesar R

• Bola menggelinding (translasi dan rotasi dengan v = R), sehingga kecepatan titik kontak nol, kecepatan pusat masa v dan kecepatan titik puncak 2v

• Tidak ada gerakan relatip antara bola dan bidang datar, gaya gesekan statik, karena diam tidak ada energi yang hilang

Contoh Soal 5.7

Sebuah bola berjari-jari 12 cm dan bermassa 30 kg sedang menggelinding tanpa slip pada sebuah lantai horisontal dengan kecepatan 2 m/s. Berapa energi kinetiknya ?

Jawab :

J

mvmvmv

R

vmRmv

mRIImvKKK rotasitranslasi

84)2)(30(10

710

7

5

1

2

1

5

2

2

1

2

1

5

2

2

1

2

1

2

222

222

222

Contoh Soal 5.8

Sebuah bola bermassa M dan berjari-jari R dilemparkan sedemikian rupa sehingga saat menyentuh lantai ia bergerak secara horisontal dengan kecepatan 5 m/s dan tidak berputar. Koefisien gesekan kinetik antara bola dan lantai adalah 0,3.

a). Berapa lama bola meluncur sebelum menggelinding ?

b). Berapa lama jauh meluncur sebelum menggelinding ?

Jawab :

Kinematika dan dinamika selama meluncur :

R

g

MR

RMg

IMRIRMgRf

tgvatvvgM

faMgNf oo

2

5

525

2

2

2

a). Pada saat kondisi menggelinding tercapai :

sg

vtvgt

gtRtR

gRtgvv

tR

gtRv

oo

o

485,0)8,9)(3,0(7

)5(22

2

72

5

2

52

5

b). Pada saat kondisi menggelinding tercapai :

mgttvx o 08,2)485,0)(8,9)(3,0(2

1)485,0(5

2

1 22