Bab 9 analisis keadaan tunak sinusoidal

Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal

BAB 9

ANALISIS KEADAAN TUNAK SINUSOIDAL

Setelah mempelajari Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal, Anda diharapkan:

1. Memahami konsep bilangan kompleks dan berbagai representasinya, yakni

representasi Cartesian dan polar.

2. Memahami konsep solusi keadaan tunak sinusoidal (sinusoidal steady-state).

3. Memahami konsep phasor.

4. Memahami konsep impedansi.

5. Mampu mencari solusi keadaan tunak sinusoidal dengan menggunakan phasor

dan mengubahnya ke solusi pada domain waktu.

6. Memahami konsep fungsi rangkaian keadan tunak sinusoidal (network function).

7. Memahami aplikasi teorema superposisi untuk mencari solusi keadaan tunak

sinusoidal.

8. Memahami aplikasi teorema Thevenin untuk mencari solusi keadaan tunak

sinusoidal.

9. Memahami aplikasi teorema Norton untuk mencari solusi keadaan tunak

sinusoidal.

10. Memahami rangkaian resonansi.

11. Memahami konsep energi dan daya (daya rata-rata, daya reaktif, dan daya sesaat)

pada keadaan tunak sinusoidal.

12. Memahami teorema transfer daya maksimum

13. Mengenal rangkaian tiga fasa.

Diktat Pendukung Teori Rangkaian 212

http://rumah-belajar.org


1. Untuk rangkaian pada P9.1a. a. Tulis sebuah persamaan diferensial orde dua dalam variabel vo. b. Gunakan phasor untuk memperoleh solusi keadaan tunak sinusoidal

(sinusoidal steady-state) untuk vo(t) dan iL(t).

Ω1

Li

Ci

H1

+

−ovF

21( )°+= 45tcos)t(is

P9.1a

Solusi

a. Dari hukum KCL diperoleh oLscLs v21iiiii

•

+=⇔+= ...(1)

Dari hukum KVL diperoleh oL

LoLR vdt

diivvv =+⇔=+ ...(2)

Manipulasi persamaan (1) dan (2) menghasilkan ...(3)

+=++

••••

ssooo ii2v2vv

b. Dalam bentuk representasi phasor dapat ditulis

[ ] ( )omomo

tjoo VjexpVVdenganeVRe)t(v ∠== ω ,

[ ]tjss eIRei ω= , dan [ ]tj

ss eIjRe ω•

ω=i dengan ( )°∠= 45jexpsI dan ω = 1. Substitusi representasi phasor ini ke persamaan (3) menghasilkan

( ) ( )[ ] [ so2 Ij12V2jj ω+=+ω+ω ] atau ( ) °

°

=+

+= 45j

45j

o e2j1ej12V ...(4)

Representasi phasor Vo pada persamaan (4) dapat diubah ke domain waktu menjadi [ ] [ ] ( )°ω +===

°

45tcos2ee2ReeVRe)t(v jt45jtjoo




Representasi phasor dari persamaan (1) adalah osL Vj21II ω−= sehingga

[ ] ( )tcos2e2Re)t(i2jeeI jt

L45j45j

L ==⇔=−=°°

2. Ulangi pertanyaan 1 untuk rangkaian pada P9.2a.

Ω2 H1

Ω1 F1+

−ov( )°+= 30t2cos)t(vs

Li

P9.2a

Solusi

a. Persamaan diferensial v sooo vv3v3 =++•••

b. dan ( )°−= 46,69t2cos164,0)t(vo ( )°−= 025,6t2cos367,0)t(Li

3. Untuk rangkaian pada P9.3a.

a. Tentukan driving-point impedance Z(jω). b. Hitung nilai impedansi pada saat ω = 0 dan ω = 1 rad/detik. Nyatakan

impedansi ini dalam bentuk amplitudo dan fasa. c. Jelaskan dengan penalaran fisik nilai impedansi untuk ω = 0 dan ω = ∞.

Ω1

Ω4

F21

H2

i

v

−

+

Z

P9.3a




Solusi

a. Mula-mula, cari terlebih dahulu impedansi paralel antara resistor 1Ω dan kapasitor dan impedansi paralel resistor 4Ω dan induktor. Z(jω) merupakan impedansi seri dari kedua impedansi tersebut.

( ) ( )ω+ω+

=ω⇔ω+

ω+

ω+=

++

ω+=ω

ω j2j42jZ

j2j4

j221

j11jZ

j21

41

21

...(1)

b. Dari persamaan (1) tampak Z(j0°) = 1∠0° dan ( ) °∠=+

+= 87,362

j2j421jZ

c. Pada saat ω = 0, kapasitor menjadi open-circuit dan induktor menjadi short-circuit sehingga Z(j0) = 1 Ω. Pada saat ω = ∞, kapasitor menjadi short-circuit dan induktor menjadi open-circuit sehingga Z(j∞) = 4 Ω. Anda juga akan memperoleh hasil yang sama dari persamaan (1).

4. Bila sebuah sumber arus t2costcos1)t(is ++= diberikan ke one-port pada P9.4a, tentukan tegangan port pada keadaan tunak.

−

+

i

v

Z

Ω= 1R1 H1L1 =

Ω=1R 2

F1C1 =

P9.4a Solusi

Solusi ini akan lebih mudah diperoleh bila kita bekerja menggunakan representasi phasor. Cari terlebih dahulu Zeq untuk one-port tersebut dan kemudian nilai tegangan keadaan tunak dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan

(Perhatikan bahwa I = Iseq I)j(ZV ω= s)

ω++ω+=ω⇔++==

j111)j(Z)R//X(XR

IVZ eq21C1L1eq atau




1

2j)j(Z 2

23

eq +ω+ω+ω

=ω ...(1)

Perhatikan bahwa sumber arus i terdiri dari tiga komponen. Cari terlebih dahulu tanggapan tegangan terhadap masing-masing komponen arus.

201.2I.ZV2)0j(Z0,1i 1s11s =°∠==⇔=⇔=ω=

°=°∠

+

=⇔+

=⇔=ω= 43,18j22s e

21001.

2j3V

2j3)1j(Z1,tcosi

°=°∠

+

=⇔+

=⇔=ω= 13,53j33s e201.

5j86V

5j86)2j(Z2,t2cosi

Berdasarkan teorema superposisi, tegangan one-port kedaaan tunak V merupakan penjumlahan dari V1, V2, dan V3.

[ ] V)13,53t2cos(2)43,18tcos(2102VRe)t(veVeVVV t2j

3jt

21 °++°++==⇔++=

5. Untuk rangkaian pada P9.5a, hitung tegangan keadaan tunak v sebagai

fungsi waktu.

tsin H21

Ω1 Ω2

t3cos+

−

F1v

P9.5a

Solusi

Gunakan prinsip superposisi untuk mencari nilai v. Perhatikan bahwa kedua sumber memiliki frekuensi yang berbeda. • Mula-mula, set i (lihat P9.5b). Perhatikan bahwa pada rangkaian P9.5b,

nilai ω = 3 rad/detik. 0s=




s/rad3dengan,j1//j

211Z1 =ω

ω

ω+= sehingga diperoleh

j671

j31

21

Z1+

−=

°−∠=⇔°∠+

= 35,72188,0V01.2Z

ZV 11

11

[ ] ( )°−== 35,72t3cos188,0eVRe)t(v t3j

11 ...(1)

H21

Ω1 Ω2

°∠01

+

−

F1

1Z

1v °−∠ 901 H21

Ω1 Ω2

+

−

F12v

21

P9.5b P9.5c

• Kemudian, set (lihat P9.5c). Perhatikan bahwa pada rangkaian P9.5c nilai ω = 1 rad/detik. (mengapa fasa sumber arus adalah -90°?)

0vs =

Hukum KCL di titik 1: °−∠=ω

+− 901jE2

)EE( 121 ...(2)

Hukum KCL di titik 2: 0Ej2

E)EE( 22

12 =ω++− ...(3)

Penyelesaikan persamaan (2) dan (3) menghasilkan °−∠= 34,51312,02E .

Dari P9.5c tampak °−∠== 34,51312,0EV 22 sehingga

[ ] )34,51tcos(312,0eVRe)t(v jt

22 °−== Berdasarkan teorema superposisi, maka

[ ] )t(v)t(vVRe)t(veVeVV 21jt

2t3j

1 +==⇔+=

Jadi )34,51tcos(132,0)35,72t3cos(188,0)t(v)t(v)t(v 21 °−+°−=+=

6. Rangkaian yang ditunjukkan pada P9.6a berada pada keadaan tunak sinusoidal, es(t) = 9cos10t dan is(t) = 2cos[10t – (π/3)]. Untuk rangkaian yang berada di sebelah kiri terminal 1 dan 1’, cari




a. Rangkaian pengganti Thevenin. b. Rangkaian pengganti Norton. c. Hitung nilai v untuk R = 1 Ω dan R = 10 Ω (Nyatakan jawaban Anda

sebagai sebuah fungsi nilai nyata dari waktu).

1

'1

Ω1

)t(es)t(is F1,0

H2,0

R

+

−

)t(v

P9.6a

Solusi

a. Gunakan representasi phasor untuk menyelesaikan soal ini.

Ω1

°∠09 °−∠ 602 j−

j2

+

−

OCV

Ω1

+

−

I

V

j2

j−

P9.6b P9.6c • Mula-mula, cari terlebih dahulu tegangan open-circuit VOC (lihat P9.6b)

Dengan menggunakan teorema superposisi diperoleh

( ) °−∠=⇔−π

−∠−

+°∠−−

= 83,5418,7Vj).3

2.j1

1(09.j1jV OCOC

[ ] )83,54t10cos(18,7eVRe)t(v t10jOCoc °−==

• Cari impedansi pengganti Thevenin (lihat P9.6c, perhatikan bahwa es(t) = 0

dan is(t) = 0).




°∠=+==⇔+−== 56,7158,1j23

21Zj2)j//1(

IVZ THTH

Jadi rangkaian pengganti Thevenin adalah V (lihat P9.6d)

°° −∠+∠= 83,5418,7I56,7158,1

+

−

eqZ

°∠ 56,7158,1

OCV °−∠ 83,5418,7

I

V

+

−

V

I

SCI eqY

°−∠ 39,12654,4°−∠ 56,7163,0

OCV

eqZ

R

+

−

V

P9.6d P9.6e P9.6f b. Dari rangkaian pengganti Thevenin diperoleh

sceqeq

OC

eqOCeq IVG

ZV

ZVIVZ.IV +=

−+=⇔+=

Jadi rangkaian pengganti Norton adalah °° −∠−−∠= 39,12654,4V56,71633,0I

(lihat P9.6e)

c. Dengan menggunakan rangkaian pengganti Thevenin, rangkaian P9.6a digambar kembali seperti pada P9.6f.

OCeq

VZR

RV+

=

[ ] ( )°−==⇔°−∠=Ω= 83,99t10cos38,3VeRe)t(v83,9988,3V,1R t10j

[ ] ( )°−==⇔°−∠=Ω= 96,62t10cos77,6VeRe)t(v96,6277,6V,10R t10j

7. Rangkaian linier tak-berubah waktu (linear time-invariant) pada P9.7a

berada pada keadaan tunak. Untuk menentukan arus keadaan tunak induktor i, gunakan teorema Thevenin untuk a. Tentukan tegangan open-circuit voc pada terminal 1 dan 1’ ketika

induktor di-open-circuit. b. Tentukan Zeq, impedansi pengganti/ ekivalen yang dilihat oleh induktor. c. Tentukan arus kedaan tunak i.




i

H1A1)t(is =

1v2

Ω1

+

−

1v

F1

tcosvs =

1

'1 P9.7a

Solusi

a. Gunakan teorema superposisi untuk mencari tegangan open-circuit VOC.

Tegangan open circuit akibat is adalah V3V 1OC =

Tegangan open-circuit akibat vs adalah °∠= 452

32OCV

Jadi [ ] ( )°++=+ 45tcos2

233eVV jt2OC1OCoc = Rev

b. Impedansi pengganti ( )

=ω−

=ω=

ω+=ω

1untuk j123

0untuk 3

j13)j(eqZ

c. Pasang induktor 1 H ke rangkaian pengganti Thevenin. Dengan teorema

superposisi diperoleh • Untuk 3Z,0 eq ==ω

[ ] 1IRe)t(iA103

3XZ

VI 11

Leq

1OC1 ==⇔=

+=

+=

Perhatikan, kita hanya mengambil komponen VOC untuk ω = 0 ( VOC1)




• Untuk )j1(23Z,1 eq −==ω

[ ] ( )°+==⇔°∠=+−

°∠=

+= 43,63tcos342,1eIRe)t(i43,63342,1

j)ji(23

45223

j1)j1(ZV

I jt22

eq

2OC2

Berdasarkan teorema superposisi, ( )°++=+= 43,63tcos342,11)t(i)t(i)t(i 21

8. Gunakan teorema Thevenin untuk mencari arus keadaan tunak i sebagai

fungsi nyata dari waktu untuk rangkaian pada P9.8a.

t20cos10 '11

H1L =

Ω= 20R

F2001C1 =

F2001C2 =

iΩ5

a

b

P9.8a Solusi • Tegangan phasor open-circuit VOC pada terminal 1-1’ (lepaskan resistor 5 Ω)

j551010.j2020

20010.XR

REL

1 −=°∠+

=∠+

= °

5010.j10j10

j10010.XX

XE

1C2C

2C'1 =°∠

−−−

=∠+

= °

sehingga °−∠=−=−= 905j5EEV '11OC • Impedansi pengganti Thevenin ( ) ( )2C1CLeq X//XR//XZ += . Perhatikan

bahwa karena tegangan di-short-circuit maka tegangan di titik a dan b adalah sama.

Impedansi pengganti Thevenin ( ) ( ) °∠=−−+= 57,2618,11j10//j1020//j20Zeq




eqZ

OCV Ω5

+

−

V

I

°−∠ 905

°∠ 57,2618,11

'1

1

• Arus phasor °−∠=+

= 43,108316,05Z

VI

eq

OC

atau dalam representasi domain waktu

[ ] ( )°−== 43,108t20cos316,0IeRe)t(i t20j

P9.8b

9. Perhatikan rangkaian terkopel yang ditunjukkan pada P9.9a. Tentukan a. Driving point impedance, V1/ I1. b. Impedansi transfer (transfer impedance) V2/I1. c. Rasio tegangan transfer (transfer voltage ratio) V2/V1.

H1xv2 Ω1

+

−

2v

1i

1v

+

−

Ω1+

−

xv F1H2 H1

xv2 Ω1

+

−

2v

4i3i1 21i

1v

+

−

Ω1+

−

xv F1H2

H1M = H1M =

P9.9a P9.9b

Solusi

a. Rangkaian pada P9.9a digambar kembali seperti pada P9.9b. Dari P9.9b tampak

KCL di titik 1: 3111311

1 IVjVIIj/1

V1V

+ω+=⇔+ω

+=I

KCL di titik 2: 2412

4x VIV21

VIV +=⇔+=2

Karakteristik induktor terkopel dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut

ω−

ω

ωω−

=

⇔

ωω

ωω=

2

1

4

3

4

3

2

1

V

Vj2j

jj

I

I

I

I

jj

jj2

V

V




Manipulasi persamaan-persamaan di atas menghasilkan ( )ω−ω+−ωω−ω

= 32

2

1

1

j13j2

IV

b. Impedansi transfer ( )ω−ω+−ωω−ω

= 32

2

1

2

j13j2

IV

c. Rasio tegangan transfer j2j2

VV

1

2

−ω−ω

=

10. Untuk rangkaian resonansi pada P9.10a,

a. Hitung frekuensi resonansi ωo dan nilai Q. b. Hitung driving-point impedance Z(jω). c. Plot |Z(jω)| dan ∠ Z(jω) terhadap ω/ωo.

1i

1v

+

−

pF870 Ωk2 mH14.0

( )ωjZ

1i

1v

+

−

pF870 Ωk2 mH14.0

( )ωjZ

1

Ci RiLi

P9.10a P9.10b Solusi

a. Rangkaian pada P9.10a digambar kembali seperti pada P9.10b. Dari KCL di titik 1 diperoleh

dtdiLvmanadiii

Rv

dtdvCiiii L

LLLL

LRC ==++⇔=++

Manipulasi persamaan di atas menghasilkan LC ...(1) iiiGLi LLL =++•••

Persamaan diferensial orde dua dapat ditulis dalam bentuk standar

)t(uxx2x s2o =ω+α+

•••

...(2) di mana ωo adalah frekuensi resonansi. Dengan membandingkan persamaan (1) dan (2) diperoleh




ikdet/rad10.87,210.870.10.14,0

1LC1 6

123o ===ω−−

Anda juga dapat mencari frekuensi resonansi denagn menggunakan admitansi

rangkaian. ( )

ω−ω+=

ω+ω+=ω

L1CjG

Lj1CjGjY ...(3)

Resonansi terjadi pada frekuensi ωo, yakni ketika suku imajiner admitansi menjadi nol. Dari persamaan (3) diperoleh

ikdet/rad10.87,210.870.10.14,0

1LC1 6

123o ===ω−−

Dari definisi RCC/G2

Q ooo ω=

ω=

αω

=

Jadi Q 598,4)10.870)(10.2.(10.87,2RC 1236

o ≈≈=ω= −

b. Dari persamaan (3) diperoleh GLj

1Cj)j( +ω

+ω=ωY . Karena Z(jω) = 1/ Y(jω)

maka diperoleh Lj)LC1(R

RLj

Lj1

R1Cj

1j1)j(Z 2 ω+ω−

ω=

ω++ω

=ω

=ω

( ))10.14,0(j10.44,210.2

jjZ 32103 ω+ω−ω

=ω −− ...(4)

c. Persamaan (4) dapat ditulis kembali dalam bentuk

ω

ω−

ωω

+=ω

o

o

jQ1

R)j(Z dengan 5Q,ikdet/rad10.87,2,10.2R 6o

3 ==ωΩ=

Plot Z(jω) dan ∠Z(jω) masing-masing tampak pada P9.10c dan P9.10d.



Bab 9 Analisis Keadaan Tunak Sinusoidal )(),j(Z °ω∠)10(),j(Z 3ω

0 1 2 3 40

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

1 . 4

1 . 6

1 . 8

2

0 1 2 3 4- 1 0 0

- 8 0

- 6 0

- 4 0

- 2 0

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

oωω

oωω

P9.10c P9.10d 11. Untuk kurva resonansi dari rangkaian paralel RLC yang ditunjukkan pada

P9.11a, a. Tentukan nilai R, L, dan C b. Perilaku resonansi yang sama tetap ingin dipertahankan, namun pusat

frekuensi sekarang berada pada 20 kHz. Nilai maksimum |Z(jω)| adalah 0,1 MΩ. Tentukan nilai R, L, dan C yang baru.

)(|)j(Z| Ωω

10

10

9,9 1,10

07,7

ikdet/rad,ω

P9.11a

Solusi

a. R = 10 Ω, C = 0,5 F, dan L = 20 mH b. Perhatikan bahwa nilai Q adalah sama. R = 0,1 MΩ, C = 3,98 nF, dan

L = 15,91 mH.




12. Untuk rangkaian pada P9.12a, a. Hitung tanggapan keadaan tunak sinusoidal i untuk es = sin ωt untuk nilai

ω = 2 dan ω = 2,02, dan ω = 2,04 rad/detik. Nyatakan hasil tersebut sebagai fungsi waktu.

b. Hitung energi yang tersimpan dalam kapasitor dan induktor sebagai fungsi waktu untuk ω = 2, ω = 2,02, dan ω = 2,04 rad/detik.

c. Hitung daya rata-rata yang terdisipasi pada resistor untuk ω = 2 dan ω = 2,02, dan ω = 2,02 rad/detik.

)t(es

iH1 Ω04,0 F25,0

)t(es

iH1 Ω04,0 F25,0

( )ωjZ

+ −)t(vC+

−

v

P9.12a P9.12b Solusi

a. Rangkaian P9.12a digambar kembali seperti pada P9.12b.

Dari P9.12b tampak ( )

ω−ω+=ω

4j04,0jZ dan ( ) ( ) ( )ω−

=ω

−∠=

ω=

°

jZj

jZ90.1

jZE

I s

Perhatikan bahwa sesuai dengan konvensi representasi phasor yang menggunakan

bagian nyata (real) suatu bilangan kompleks, maka sumber es = sin ωt harus

diubah ke bentuk kosinus , yakni es = cos (ωt – 90).

[ ] ( )°−==⇔−

==ω 90t2cos25IeRe)t(i04,0jI;2 t2j

[ ] ( )°−==⇔+−

==ω 135t02,2cos67,17IeRe)t(ij04,004,0

jI;02,2 t02,2j

[ ] ( )°−==⇔+−

==ω 43,153t04,2cos18,11IeRe)t(ij08,004,0

jI;04,2 t04,2j




b. Dalam representasi phasor, ω

−=

ω

=I4j

Cj1IVc

Energi yang tersimpan pada kapasitor )t(Cv21)t( 2

cC =ε

Energi yang tersimpan pada induktor )t(Li21)t( 2

LL =ε

Energi yang tersimpan pada kapasitor dan induktor untuk berbagai frekuensi dirangkum pada T9.12a.

ω (rad/s) ε (t) L εC(t) Pav (W)

2 ( )t4cos125,156 − ( )t4cos125,156 + 12,5

2,02 ( )t04,4sin106,78 − ( )t4sin156,76 + 6,24

2,04 ( )[ ]86,306t08,4cos125,31 −+

( )[ ]13,233t08,4cos103,30 ++ 2,5

T9.12a

c. Daya rata-rata yang terdisipasi pada resistor dapat dihitung dengan persamaan

RI21P 2

mav = . Nilai Pav untuk berbagai ω tanpak pada tabel T9.12a.

13. Sebuah transmitter telepon dengan resistansi keluaran Ro = 600 Ω dipasang ke sebuah transmission line yang dimodelkan dengan rangkaian ladder yang tak berhingga seperti pada P9.13a. Tentukan nilai R untuk transfer daya maksimum.

sv

oR R R

R

R

R eqR

eqR

R

P9.13a P9.13b

Solusi Mula-mula cari impedansi pengganti Zeq rangkaian ladder tak berhingga tersebut.

Menurut teorema transfer daya maksimum, bila oeq ZZ = maka transfer daya




maksimum dari vs ke Zeq akan terjadi. Untuk impedansi yang hanya mengandung

komponen nyata saja, maka kondisi tersebut dapat ditulis menjadi Req = Ro (dalam

rangkaian ini, resistansi sumber Zo hanya berisi komponen nyata, yakni Ro).

Resistansi pengganti resistansi ladder yang tak berhingga tersebut dapat dicari dengan metode (lihat P9.13b)

0RRRRRR

RRRR 2

eq2eq

eq

eqeq =−−⇔

++= ...(1)

Apakah Anda melihat kemiripan metode pencarian resistansi pengganti pada

persamaan (1) dengan metode penjumlahan ........77777 +++++=x

yang dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan x7x += ). Bila hanya nilai resistansi positif yang diizinkan, maka akar persamaan kuadrat

dari persamaan (1) adalah ( ) R62,1512RR eq =+= .

Agar terjadi transfer daya maksimum, maka

Ω=Ω

=⇔Ω=⇔Ω== 82,37062,1

600R600R62,1600RR oeq

14. Sebuah beban Z di-supply oleh dua sumber energi seperti pada P9.14a.

Tentukan nilai Z yang akan menyerap daya rata-rata maksimum, dan tentukan daya rata-rata yang diserap oleh nilai Z tersebut.

Ω10

( )t10cos200 4

mH1

Z F10µ

π

+2

t10cos10 4

P9.14a




Solusi

Cari terlebih dahulu rangkaian pengganti Thevenin yang dilihat oleh Z, yakni V = ZeqI + VOC. Transfer daya maksimum akan terjadi untuk eqZZ = Zeq = 10 – 10j dan ( )°−= 45t10cos2100)t(v 4

OC Jadi j1010Zeq +=Z =

Daya rata-rata yang diserap Z adalah W250Pav =

15. Untuk rangkaian yang ditunjukkan paad P9.15a, resistansi RL sama dengan

RG/2. a. Tentukan daya yang ditransfer ke RL bila terkoneksi langsung ke

generator. b. Untuk meningkatkan transfer daya, rangkaian kopling pada P9.15a

digunakan sebagai sebuah divais impedance matching. Tentukan hubungan L1, L2, dan L3 yang harus dipenuhi agar terjadi transfer daya maksimum.

c. Misalkan Anda mengganti two-port pada (b) dengan sebuah transformator ideal, tentukan perbandingan jumlah lilitan pada transformator untuk memaksimumkan transfer daya rata-rata maksimum.

Gv

GR

LR

GR

Gv LR

1L 2L

3L

LI

P9.15a P9.15b

Solusi a. Bila RL terkoneksi langsung ke generator, rangkaian tampak pada P9.15b.

LG

GL RR

VI+

= ...(1). Substitusi persamaan (1) dan syarat ke

persamaan daya rata-rata

2/RR GL =

L2Lav RI

21

=P menghasilkan

G

2G

2LG

2G

Lav R9V

)RR(V

.R.21P =

+=




b. Impedansi pengganti/ ekivalen yang dilihat oleh RL adalah (lihat P9.15c )

1L 2L

3L

GR

eqZ

Gv

GR

LR

eqZ

+

−

i

v

21 n:n

P9.15c P9.15d

( )[ ] ( )[ ]31G23L1LG2Leq Lj//LjRLjX//XRXZ ωω++ω=++=

1G3

2eq

LjR1

Lj1

1LjZ

ω++

ω

+ω=

Dari teorema transfer daya maksimum, bila beban RL adalah nyata, maka transfer daya maksimum terjadi bila RL = eqZ , jadi

[ ] 21

231

22G

232

2G

2231312

4

eqL )LL(R)LL(RLL)LL(L

ZR

+ω++ω+++ω

==

c. Bila two-port diganti dengan sebuah transformator ideal, rangkaian tampak

pada P9.15d.

Impedansi ekivalen yang dilihat oleh RL (lihat P9.15d) adalah

2

1

2Geq n

nRZiv

== (lihat kembali solusi pada pertanyaan 12 Bab 5)

Agar terjadi transfer daya maksimum, maka harus dipenuhi syarat

22

nn

2R

RnnRZR

1

2GL

2

1

2GeqL =⇔==

⇔=




16. Sebuah beban yang terdiri dari tiga buah impedansi identik Z = 10∠-45° Ω yang tersambung secara ∆ disambungkan ke sebuah sumber tiga fasa 220 V (P9.16a). Tentukan arus line Ia, Ib, dan Ic, dan arus yang melalui setiap impedansi Z.

Z

bI

aI

cI

ab

c

abI

bcI

caI

P9.16a

Solusi

Dengan mengambil Va-b sebagai referensi, yakni °=∠ − 0V ba , maka

°∠= 0220Vab dan A452245100220

ZVI ab

ab °∠=°−∠

°∠==

°−∠= 120220Vbc dan A75224510120220

ZVbc

bc °−∠=°−∠

°I −∠==

°−∠= 240220Vca dan A195224510240220

ZVI ca

ca °−∠=°−∠

°−∠==

KCL di titik a: A15322195224522III caaba °∠=°−°−°∠=−=

KCL di titik b: A10532245227522II abbcb °−∠=°∠−°−∠=−=I

KCL di titik c: A225322752219522III bccac °−∠=°−∠−°−∠=−=




17. Tiga buah impedansi identik Z = 10∠45° Ω tersambung secara Y pada sebuah sumber tiga fasa 220 V ditunjukkan pada P9.17a. Tentukan tegangan fasa Van, Vbn, Vcn, dan arus line Ia, Ib, dan Ic. Tentukan pula daya total yang diberikan ke ketiga impedansi tersebut.

Z

c

ab

n

bI

aI

cI P9.17a Solusi

V303

220Van °−∠= dan I A757,12a °−∠= .

V1503

220Vbn −∠= dan A1957,12Ib °−∠= .

V2703

220Vcn °−∠= dan A3157,12Ic °−∠= .

Daya total adalah 3420 W.



Documents

Bab 9 analisis keadaan tunak sinusoidal