54
BAB III ~ Barisan dan Deret 99 BARISAN DAN DERET III BAB Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri, 2. merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret, 3. menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya. Gambar 3.1 Perumahan Jika Anda punya tabungan, maka Anda ingin mengetahui berapa besar tabungan Anda pada akhir tahun. Juga apabila orang tua Anda mengambil kredit untuk perumahan atau kendaraan, tentunya Anda ingin mengetahui berapa besar angsuran dan sisa kredit setelah selama waktu tertentu. Agar Anda dapat menyelesaikan persoalan-persoalan di atas, maka Anda harus memahami isi dari bab ini dengan baik. Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat memahami sifat-sifat barisan dan deret aritmetika serta barisan dan deret geometri, yang selanjutnya dapat merumuskan masalah-masalah nyata yang model matematikanya berbentuk deret, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh. Pengantar Sumber: serpong.files.wordpress

BAB BARISAN DAN DERET - Tulus memberi , ihlas berbagi · BAB Tujuan Pembelajaran ˘ ˇ˘ ˘ ˆ ... 4 ˘˘ ˘ˇ ˝ ˘ ˇ 000ˇ˘ ˙ ˘ ˘ ˘ˇ ˝ ˘ ˇ ˜ˇ

  • Upload
    dothuan

  • View
    216

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

�������� ��� ���������������� 99

BARISAN DANDERET���

BAB

Tujuan Pembelajaran

�������������� ����� �� ���� ������������� ������������

�� ���������� ������������ ��������� ������� ������� ��� � ����������������� ��

�� � ������� ����������������� �������� ����� �� ���������������� ���

� ��������������������������� �� �������� ����� �� ���������������� ��� ���

����!�� ������

�������������������

"��������������������������������������������������� �������� ���������

����� ����� ��� � ������ "���� �������� � ���� ����������������� � ����� �����

�� ��������������� ������������������������������������ �������� ������ ��

���� ����� � ����� ������� ������#����� �� ���������� ������ ������������������

�� ��������� �������������������������� �������������� ����������������������

�������������� �� ���� ������������� ����������������� ��!�����!��

�� ����������� ���� ���������� ����� ����������� �������� �������������������������

� ������������������������������������������������� ��������� ���

�����������������������������!�� ������������������ ����

Pengantar������������������������������

������������� !� �"�����#$$�%�������100

$������������������������� ������� �� ��������� ������������������ ���� ����

���������� �� �� ����� ��� ����� ����� �� ����� ���� �� ���� �� ����� � ��������� �� ��

� �������������� ������� ���������� ����� �������� ����������� �������� ������������

������� ��������������������������� ��������������������������� ���� ��������

������� �� ���� ����������� ���������� ������� ��������� ��������������� ���

���� ��� ��!�����!������

3.1 Pengertian Barisan dan Deret��������������� ����� ������������������������������������������� ��� ���

�������� ������������������������������������������������������������ �� ������� �

������ ����� ���� �� ����������� ����� ����� ����� ����� ������ %�������� �� ������ ����

�� �� ����������������������������� ���������������� �

&������� ������ ����� ����� �� ��������������� �������� ��������������� ����

���������� ��������������������������������� � ������ ���������������� �

��� ������������� ��� ������ ������������� ������������� ���� �������

������ ��� ��������������� ���������'�� ���� ��� �����������������������

��������������������������������� ��� ��� ��� �� ������� "�������� ���������� �

��� � ����������������������������������������#����� ��� ������������

��� �������������������(����� ���������������)���������� �������&�������������

�� ������������������������ ��������������������������������������

�&�������������� ���� ������������ ������ !�������������������� ���������

��������������������� ( )� � ������� ������������������������������ *������+

�� ������������������ ���� ( )� �

����� � �

,������������������������������������������������!�������������� �

������������������������������������� �����������������������������

�� ��� �

&������ ����� ������ �� ����� ��������� ���� ������ �������� ��������� ���� ����

������������ ������ ����� �������"�������� ���������������������������������!�����

�� �� !���������

���� ������ �������������!������������� ����������������� �����

( )f ⋅ ��� →� � �&�����������'�(�)� ��*��

$����� ��-����→����*�+�)� �⋅���.���-�(��)����→����*�+�-� �⋅���.���-�/��)� ��→����* +�)� �⋅� �*���-��0�

��)����→����*�+�)����*���

"�������������-������� �������������������������������������!�������'�(&��'�(&��' (&������'�(&����

�����������������(��/���0��������* ��.��+��������$����������������������������������!�������'�(&

�'�(&��' (&�����&��'�(&��������� �������������������������������&��

�&��

&�����&��

����������������������������

������ ������������� �������� ������$������� �������� �����������������#������

��������������-�(�������������������

��-�/���������� ��������

�-��0�������������������������

-� ��.���

�������� ��� ���������������� 101

1� ���������� ����������������������� ���� �������� ������ ���� �� �����

�� 2�������� ���������������!�� ����� ����������� ������������� ��������

���������� ������� �������� ������� �������� ��������� ����� */�� ���� �3�� �4�� � �� ���+

�������� ������������������������������*(��.� +�������������� �����*������(��5�����+

�������� ���������������������������������6��

�� 2������������������������������������ ���������������������� ���� ��������

����������������������� �����* ��3��/��4�����+��������������������������*��+���������

-����.��������������������������������*���.��+�

� 2����������������������������� �������������� ��������������������*��.��+

�������������������!�������� ����������� ������������������������������� ����

���������7������������� ���������*��+���������

��-�����

��-���������

�.��-��

��.��

���������

��≥����"������������������������ ������!�� ��� �����7�����������������������������

�������*��������� ��3�����+��&�������������������������������������� �������������

����� ������� ����� ������� ������������ ������� ������� �� ���� ���������

������������

8� ������������� ������ ������ �������!��������������������������!�����

�������������������� �����

����� � �

&����� ������*��+�����*+

�+���������������������������������*�

�+�-�*+

�+��������

��)�+

���������������������������

$������� ���������������*��+��������������� �������������� �����������

�� ���� ���������������*��+�

���.��

��.��

�.�����.��

��.����

����� � �

"����*��+�� ��������������� �������������� ����������������

���.��

��.��

�.�����.��

��.����

���������������������� ���%�������������������������������� ���� ����������������

���-��

��.��

��.��

�.�����.��

�������� ������������������� ��������� ���� ���

$��������������� ������� ����������� ��� ��������������� ����� ���

���� ��������� ������������ ����������� ���

!����� � � �

"�������� ���������������������������

� � �

�� � � � �

� �

� �

�������������������������� ��������� ��������������������*���������+������

��� ����������������� ������������������������� ����������

������������� !� �"�����#$$�%�������102

� � �

� �

+ + + + +� �

�������������� �������������������������������������

������ ���������������

�� ����������

���-�

� � �

� �

+ + + +�

"������������� ����������� �������������3�������

�3

������������3������������ ���

������

��3�-�

� � �

� �3

+ + + +�

!����� � � �

"�������� ����� ������������������ ��� 6��� ��� 6��� ��� 6��� ���� �� ����� ����������������� ���

� ��������� �������������������.�*6�+�.���.�*6�+�.���.�*6�+�.�������������������� ������

�������������������������������������������������6�������������������������������

�� ����������0����������������������������������

!����� � � �

1�������� ����� ����� ����� �� �� ������� �� ����� ��������� ����� �� ����� ����� �������

��������� ��������������

�� 3��/��4����� �����������0���00��9 �������� � �

� � �

� ( )

:������������

�� 1���� ������� ���������� �� �� ����� �� ������ ���������� � �� �3�� ���������� ���

�������������������������-����.� �

�� 1���� ����� �� �������� ������ �� ����� �� ������ ������ ��000�� �0�000�� �00�000�

���������� �����������������������������-��0

��6���

�� 1����������� ���������������� ������� ������������

� � �

� �

5 �0 �������������� ���

�������������������������-�

���

!����� � � "

1�������������������� ������ ���� ������������������� ���������������� ���������

�� ���-� ��.�� ��������

��-��

��6�� ��������

��-��*��.��+

:������������

�� &�����������-� ��.������������ ����

���-� *�+�.���-�(���

��-� *�+�.���-�/�������

�-� * +�.���-��0�

�� &������������-��

��6������������ ����

���-�*�+

��6���-�0���

��-�*�+

��6���-� �������

�-�* +

��6���-�5�

�� &������������-��*��.��+���������� ����

���-��*��.��+�-�����

��-��*��.��+�-�)�������

�-� * �.��+�-����

�������� ��� ���������������� 103

!����� � � #

;���������������� ���������� ��������������-��

��6����

�� 1�������� ����� ������� �������

�� %��������(5�� ���������������������� ���<

:������������

�� &������������-��

��6������������� ����

���-�*�+

��6��*�+�-���6���-���

���-�*�+

��6��*�+�-�(�6�(�-��0

� �-�* +

��6��* +�-�4�6�)�-��

�� &�����������-�(5���� � ����

��6����-�(5�������

��6����6�(5�-�0��&�������� ����!���� ��

���� ����*��.�5+�*��6�)+�-�0��=����� � ������-�65��������-�)��8� ��������������������������

�������� ������-�)�

"�����(5���������������)�

�� 1�������������������� ���������� ���� ���������������� ����� ����

�� 3���3���3�� 3����� �� ��� ��3��5���������

�� �30����3���00��/3����� �� ���(��4���3�����

�� ���6������6������ !� ������(��5���)�����

�� 1�������������������� ���������� ���� �����7����������� ����� ����

�� ��3��5��� ����� �� 3���0���3���3�����

�� 0�������������� �� ���/��4���)�����

�� ���6���0��6������ !� 63��3��0��3�����

� 1�������� ���������������� ���� ������� ���������

�� )�������)��������� �� ���3���0���/�����

�� 0�����)��������� ��

� � � �

� � � �

� ( 5 �)

�� (��5�������)����� !� 0�����0��������

(� &���������� ������������ �����������������������-��

��.����.���

�� 1������������� ������� �������

�� %���������00�� ���������������������� ������ ���� ������� �����<

3� &���������� ������������ �����������������������-�

��6���

�� 1������������� ������� �������

�� %���������( �� ���������������������� ������ ���� ������� �����<

)� &� ���� ��������������������� ���������������� ������������������������

�0�������

���

�� ���-�(��.� �� �

��-��

�.�

�� ���-�3��6� �� �

��-�

�� ���-��

��6� � !� �

��-�

* �+

Latihan 3.1

������������� !� �"�����#$$�%�������104

/� &���������� ������������ �����������������������-���

�����)��

�� 1������������� ������� �������

�� ���������� ��������������������<

�� 1�������������

�������

3��*=�������

��-��

��.��

��.��

�.�����.��

�+

5� &���������� ������������ �����������������������-��

����6� ��

�� 1������������� ������� �������

�� 2������������ ������� ����������������������<

�� 1�������������

�������

3�

4� &����������������������������� ������������������,-.���� ������������������

���������������00��� ���� �������������������������������������������

��

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠8���������������������������00�������� ����

�0� >������������� ������������������,-.���������������������� �����

� �

∈⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� �

������������������������������������������������������≥������ �����-��≤�0�000��

3.2 Barisan Aritmetika&������� ������� ���������� ��������������������� ������� ����������� ���

���� ���������������������� ��������������������!�����!�������������������

����������������� ������ ��������

����� � "

�������� ����������

����

���������

���������������������������������������������

��6��

��-

� �6��

��-��

(�6��

�-�����-��

��6��

����-������������������������������������������*�+��� ���� ����

� ���������� � �����-����6��

����

&������������������� ������ ���������������� ��������������������������

������� �������������� �� ����������������� � ����� �������%� ������ �������� �� ���

�������������������������%� ������������� ��������� ������������ ������ �������

������ ������������������ ������ ��������

!����� � � �

%� ��������(��)��5������� ��������� ������ ���������� �������6��

��-��

�6��

��-��

(�6��

�-����

������������ ���-����6��

��-���� �%� �������3����0����3����0�� ���� � ������ ��������� ����

� ������������������������-���0�6���3�-�63���1��������� ���������0�����0�������������� ������

�� ������ ���������� ���� ����6��

��-�6���������������������

�6��

��-�����&����������

�� ������������(��/������������������� ������ ���������� ��������6��

��-��������������������

� �6��

��-���

�������� ��� ���������������� 105

%� ���� ������!������������������������-��������������������� ���������� ����

� ���������������������� ��������

���-��

���-����.��

� �-����.���

�(�-���.� �

��

���������-���.�*�6�+�

���������������������������-���.�*���+����8� �������-��

����������������������������

������

���-��

��.�*��6��+�

������������������������� ����������������������������������!�����!������������

������� ������ ������������ ��������������������������� ������������������������

�������*���.��+����������������������������������������������������������������������

����������������

���-��

��.���-��

��.����-�

�*�

��.��

���.��+

���������� ����� ������� �������� ����������� ������� �������������� ����������

���������������������������������������������������������������� ������������

���.��

���-��

��.��

���6���-�9�-��

��.��

��.��

%� ������������� ��������� �������������������������������� ������ �������

��������������������� ����������������

!����� � � �

1����������������3���� ���� ������ ���������6 �����3��4�������

:������������

&� ���� ������ ����������������� ����������������#������-���-�6 ���������-���6�*6 +�-

(�����������3������������������������������ �����

�30�-��

��.�*3��6��+�(�-�6 �.��00�-��4/

!����� � � �

&��� ����� ������ �� ����� � ��������� ��)�� ��0�� ��(�� ���� �� � ����� ����� ��� �� �����

� �������������������<

:������������

&� ���� �������������� ������������������-���)���������-���0�6���)�-�6)���"������������

���-�0����������� ����

����������-�0 ⇔����

��.�*�6�+��-�0

⇔�����)�.�*�6�+*6)+�-�0

⇔ ��)�6�)��.�)�-�0⇔ )��-�� �

⇔ ��-�� �

)

�-���

"��������������������������������������������-�0�

������������� !� �"�����#$$�%�������106

!����� � � "

&� �� �������� ������ �������������������� ��������������������������#���3� -� �5�

���-��(������������������ ��� ��������)��1�������������������������� ������� ������

:������������

8� ���� ������� �������� ������������ ������� �������������� �����������������

*���.��+����������������� ��� ���������������������������������.��

�-���.��������������

�������������������������������-���.��������������������� ��������������������

��.�������-��)

���.�������-��5�?

���������������������������������������������������������������6� ������������-�6�

&��� �������-������������������� ����3�-��5������� �������.�(��-��5����������������(��-��5

6������������-�(���8��������� �����.����-��(�������� �������.�(��-��(����������-� ���"�����������

������� ���� ������� ��������������@� �.���-�/�������� ������� ������������

���)���0���(���5�������)

!����� � � #

&�������� ��#�� ����� ����������������� ����� ������� ������ �� ������ �� ����

� ���������"���������������������� �������������(������������������((0��1�������

������������������ ����

:������������

2���������������������������������������6��&��&���.���

&� �����������������

*�+ *��6��+�.���.�*��.��+ -��( ⇔��� � -��(

⇔������ -�5

*��+ *��6��+�*�+�*��.��+ -�((0 ⇔����*���6��

�+ �-�((0

⇔ 5�*)(�6���+ �-�((0

⇔ )(�6��� �-�33

⇔ ���6�4 �-�0

⇔ *��6� +*��.� + �-�0⇔�����-� ����������-�6

$��������-�5���������-� ������ ������ ������ ��������3��5�����������

$��������-�5���������-�6 ������ ������ ������ ������������5��3�������

:����A����� ���3��������������������������������������������������������.��������.����

��������� �������������������������� ��������������������������6���������.���*�������

������������������������+������������������������������������������� �����������

-��/������0����������������������������������������� ������������������ ���������

&� ������������������������ �����#�����������������������������&������������ ����

� ��������������� ���������-���.�����&�������� �����������������������������������������+�

���������� ������ �������� ������� ����� ���.���-� ��.�+� *%��������������������

������������+�

Tugas Kelompok

�������� ��� ���������������� 107

�� ������������������� ������� ���������� ��������� ������ �������������������*�� ����

����������+�

�� ��� ��3��/����� �� ���0�����0�����

�� (��/���0��� ����� �� ���(��4���)�����

�� 30��(0�� 0���0����� !� 63��6��� ��/�����

�� 1��������������� ���� ������ ���������� ����� ����

�� (��4���(���4����� �� /3���00����3���30�����

�� 65��63��6��������� ��

� �

� � � 0�

( � (

�� 3�����6 ��6/����� !� ������� ���(������

� 1�������� ������������������� ���� ������ ����������������������������������

(� 1�����������������0��������������3��� ���������������� ������ ���������� �����

�� /���0��� ���)����� ��

� �

0� � � �

( � (

�� 63��6 ��6��������� �� ���3���/���4������

�� �3���0��3��0����� !� ��.�1����.� 1����.�31����.�/1�����

3� &� �� �������� ����� � ����������������� ��#�� ��������5� ������ �3����� ����������

������(3��1��������������� ��������������� ���� ������� �����������������������

������� ��������

)� &� �� �������� ����� � ����������������� ��#�� ��������3� ������ ������ ���������0

����������1�����������������0��� ���� ������ ���������� ������

/� &�������� ��#�� ����� ����������������� ����� ������� ������ �� ������ �� ����

� ���������"���������������������� ������������)0������������������/�300��1�������

������������������ ����

5� ��������3��� ���������� ������ ���������������)������������������� ������������

����1��������������������������0��� ���� ������� ������

4� 1��������-����������������������������� ������������� �������� ������ ��������

�� -�6����-�.��������3- �� �-��.���� -

��6��������3-

��6�-�.�

�� -�6���� -�.��������(-�6

�0� &������������ ������ ��������������������-� ���

��-�5/�������

)�.��

/�-� 4��1������������

*�+����������30�

3.3 Deret Aritmetika&�������������� ���������� ������������������������� ���� ����������� ���

������������������� ������ ���������:����������������������������� ���� �������

������� ����������������������� ������������&������� ���� ������������� ����

����� �� �� �������� ��� � ��������� �������� ����� �������������� ������� ����

�� ��������

Latihan 3.2

������������� !� �"�����#$$�%�������108

����� � #

"���������

����

��������

�������� ��������� ������ ����������������������

��.��

��.��

�.���������

.����.���������������� ���� ���������"���������������� ���� ����� �����������������

����������������

��-��

��.��

��.��

�.�����.��

��

"����������� ��������-�������������� ���� ���� ���������� ��������-��

��6��

������

����������������������������

�����-���������������������.����.�������������.����.������������.�������.���.�*�6�+����.����.�*�6�+�

���� �����-����.*�6�+����.����.�*�6�+���.����.�*�6 +���.������.���.���������������.���

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666� � .

����-�����.�*���+��.����.�*���+��.����.�*���+��.�������.����.�*���+��.����.�*�6�+�

�������-����B���.�*�6�+�C

"����

���-� { }* �+

� � � �+ + − �����������-� { }

��

� �+

&�������� ������ ��������������������� ����

�����-��

��.��

��.��

�.�����.��

����.��

�����-��

��.��

��.��

�.�����.��

���

"������������������������#�

���6��

����-��

!����� � � �

1�����������������)��������������)��� ���� ���� ���������� �����

�3�.�5�.����.��(�.����

:������������

&� ���� ���� ���������� �����������������#����-�3����-�5�6�3�-� ��������-��)���������

���� ������)�-���.�*�)��+��-�3�.��3* +�-�3�.�/3�-�50�

����������

��)�-� { }� �)

�)

� �+ �-�� *3�.�50+�-�� *53+�-����03

!����� � � �

1���������������������������������������� ��30�����300������������������)�

:������������

%������������������� �������������3(��)0��))��/���������(4���(45�

"������������������������������-�3(�.�)0�.�))�.�/��.�����.�(4��.�(45�

&� ���� ������������ ����������� ���������-�3(�����-�(45�������������-�)0�6�3(�-�)�

&� ������������� -��� .� *�6�+������� ����(45�-� 3(�.� *�6�+)������)�� -� (30�� �������

�����������������������-�/3�

"����

�/3�-�

/3

*3( (45+

+ �-�/3*�/)+�-��0�/00

�������� ��� ���������������� 109

!����� � � �

&������������ ��� � �������������������#�� �������� � ���������� ����� ����

���3��������/������� 0��1��������������0������������� ����

:������������

&� ��������������������� ������������

������������ �-��� ⇔��������.����-��� ⇔���������.��(����-�(�

������������3�.��

/�-� 0 ⇔�����*��.�(�+�.�*��.�)�+�-� 0����⇔ ����.��0��-� 0���6

���������6)��-�������������-�6�

����������������� ������.����-�����������-����.�(�-��3�

"����������������������� ����������

��0�-�*�0+B�3�.��3�.�*�0�6��+*6�+C�-�3*30�6��5+�-�3* �+�-��)0

!����� � � "

�� A� ��������������������������� ���������00������������������4�

�� A� �������������������������������� ���������00������������������������4�

:������������

�� %�������������������������� ���������00������������������4�������

4���5���/��������44

%����������������� �������������� ����� � ������������ �����������������

��������������� ���� ���������&������������������������-�4����-�4���������-�44�

���������� ����� �� ��� ��D�������� ����� ������� �� ��������������������

����������������

:� ���������#��

����-��44����⇔ ��.�*��6��+���-�44

⇔ 4�.�*��6��+4�-�44 ⇔ ����������������4���-�44 ⇔ ��������������-���

"���������������������������� ���������00������������������4����������

���������������������������� ������������������ ��������� ����

����-� { }��

4 44

+ �-�*��+*3(+�-�34(

"��������� ����4�.��5�.��/�.�����.�44�-�34(�

�� "������������������������������� ���������00������������������������4�������

���-�*��.� �.�(�.�����.�44+�6�*4�.��5�.��/�.�����.�44+

8����������������������������*�+���#��

4�.��5�.��/�.�����.�44�-�34(

���� �������������� .� � .� (� .� ���� .� 44� -���� :� ���������#�� ������� �� �����

� ��������� ���� ���������������������� �������������������������� ��� �44�

"������ ���� ����� ������������

����� -��

���*��.��

�+

-��

��⋅�45�*��.�44+

-��*(4+�*�0�+

-��(�4(4

"������������������������������������� ���������00������������������������4�������

���-�*��.� �.�(�.�����.�44+�6�*4�.��5�.��/�.�����.�44+�-�(�4(4�6�34(�-�(� 33

������������� !� �"�����#$$�%�������110

�����

�� ������������ ����������� ���� ��������� �������!����������� ��� ������������

������� ����������� ���� ��������� �������!���������� ����� �����E��� ���������

������������ ���������� �����

�������-����.�*�6�+�

-�����.�*�6�+ � �������!����������� ��� ���

���

�������-���B�

��.��

�C

������-���B��.����.�*�6�+C

������-������.�*�6�+� � �������!���������� ����� ���

�� ��������������������� ����� ����������� ������� !������ ����� ��� ��������

�� ����� ����� ��������� ������ ��������

����$

8� ��������������� �������!����������� ��� ���������������������������������

������������-����.�1�������

��6���-��*��6��+�.�1��������������

��6��

��6���-����"��������������������

������� � ����� ������ ���������������� =��� �� � ���� �� ������� ��������� ��

� �����������������������-���

� ������������������������ �������!���������� ����� ����������������������

���������������������� �������� ��������� ���� ��������

����$

8� �������� �������!���������� ����� ��������������������������������������

������������������������������������

���-���

��.�1���������������

��6���-��*��6��+

��.�1*��6��+��-��*�

��6����.��+�.�1��6�1

����������

���6��

��6���-���

��.�1��6���

��.�����6���6�1��.�1��-�����.�*1�6��+

:���������6��

����-��

��

"��������� �������!����������� ��� ����������� ���� ���������������������������

�������������#���� ������� ��������� ��� � ��������

�� 2������������ ��������� ���� ���������� ���� ����� ��������<

�� ��.���.� �.���� �� ��.���.���.���.����

�� ���.��

��.�

��.���� �� ��.�

(�.�

��.�

(�.����

�� ��.�3�.�5�.���� !� ��.�*6�+�.���.�*6�+�.����

�� 1�������� �������������� ���� ���������� ����� ����

�� ��.� �.�3�.�/�.�����.�(� �� /��(�����6������ �������0�����

�� 3�.��0�.��3�.��0�.�����.�/3 �� 5��� ���5��� ����� �������������

�� 64��6)��6 ��0�� �������� 0 !� ��.���.� �.�(����� ������ 0�����

Latihan 3.3

�������� ��� ���������������� 111

� 1�������������������������������

�� ��.���.� �.�����.���-���0 �� ��.��*6�+�.���.�*6�+�.�����.�*6�+��6��

�-�0

�� ��.�(�.�)�.�����.����-���0 �� 3�.��0�.��3�.��0�.�����.�3��-��50

(� &� �� �������� ��� � �������������������#�� ������� �������������)�� ��������(�

���� ���������)0�

�� 1������������������ ������� ���� ��� � �������� �� ������

�� 1�������� ����� �� ��� ����

�� 1�����������������3�

3� �� %��������!�� ����������������������������� ����� ���00�����300�

�� "������������������������ ������������������������������� ��� ���������<

�� 1��������������� ������ ����� ������

�� 1��������������� ����� ������

�� 1��������������� ��� ��� ����� ������

!� 1������������������ ������� ��� �� ������

�� 1�������� ����������������������� �� ������

)� A� ���� ������� ��

�� ������������������ ���00�������000������������������5

�� ������������������ ���00�������000������������������������5

�� ������������������ ���00�������000����������������������������3

/� &� ���������� ���� ���������������������-��

��.�����E��������

�� ������� ������ ���� ��� �� �����

�� ������� ���� ��� �� �����

�� ������������ ���� ����� �����

�� ���������0��� ���� ����� �����

5� ��� ��������#��� ������� ����� �� ������;�300�000�00� �� � ���������� ������� �����

���������������������������� �;�3�000�00������������������� �����1�������������

�� ����������������������������������������������� ������ ������������������

�������� ������� ��� �� ������

4� �������� ��������� ���������000���������� ���������������� ����������������

�� ����������������� ���������� ������ � �00� ��������� �����E������������ ���

� ���������������������0��������������������������������������� ������������

�0� ����� �� ������

�0� ������ �� ������� ����F������ ������� 3�000� ����� ����F���� ����� ����� �� ����

:� ������� �� ������ ������� ����������������� ������ ������� ������ � 300������

8������� ��������� �������������� �����������<

3.4 Barisan Geometri%� �������������� ����� � ��������������������� ����� ����� ������� ����

��������� ����� ��������������������� ���������� ��

����� � " �

%� ����� ����� �� ������ �� ����� ��������� ����� ���� �� ���� ����� �� � ����

�������� �������%����&� �������'�������������������������

������������� !� �"�����#$$�%�������112

"������ ����������

����

���������

�������� ��������� ���������� ��������� �����

� (

� � �

� � � �

� � � � −

= = = = =� � �(����������

8��������� ���� ����������������������� * ����+��� ���� ��� ����� �� �� ������� ����

���������������������������������

"����������� ���������� ���� �������� �������������������������� �����������

����������� ����

���-���-���

0

�����������-���⋅��

� ⇒ �

��-���⋅���-����

��������� �-���⋅��

� ⇒ �

�-���⋅����-����

���������(�-���⋅��

⇒ �

(�-���⋅�����-���

���������������� ������

"������������������� ���������� ��������

��������������

��9�����

��������

%����������������������� ���� ���������� ��������

���-���

���

�������

������-�����������

�����-�� ����

�����-��������� ���

!����� � " �

&��� ������� ���������� ���(��5���)��������1�������� �����*�+�������������5�*�5+�

:������������

;�����*�+�-��

�-����������������������5��*�5+�-�(�*�+

/�-�(*��5+�-�3���

!����� � " �

&����������#�������������� ���������� ���������� �����������-�3�@��

�����1�������

������� ���� ���������� ������������������������������������/�

:������������

8� �������-�3�@��

��6���������

��6���-�3�@��

��6��������������� �����*�+�-�

−�

�-���

������� ������ ���� �����������������-����-�3�@��

��6���-�3�@���-�3��������������������/��� �

�� ���������� �� ���� ������

�/�-���2��

/�6���-�3�@��

)�-3*)(+�-� �0

!����� � " �

&� �� �������� ���������� �������������#�����������������������

����������

�� �������������(��1�������� ����������� ����� �� ������

:������������

&�����������-���-�(������

(�-�

����������������

�-�

�������(�

�-�

��

�������� ��� ���������������� 113

"������ �-�

5��������-�

����%� ���������� ������������������������(��������

��������

!����� � " "

1������������������ ������������������� ������ ���������� ���������� ���"���

���������������� �� ������ �������5���������� ����� �������������� �� ������ ������3���

1�������� �������������� �� ������

:������������

2�������������������������� �� ������ ������

��������

&� ��������������������� ����

��

���������-�3�����⇔ �� ��-�3��

⇔���� ��-�5

⇔�������-�5

��

��.����.����-��5����� ⇔�

5

��.�5�.�5��-��5

⇔���5�.�5��.�5���-��5�

⇔���5���6��0��.�5�-�0

⇔�������6�3��.���-�0

⇔���*���6��+*��6��+�-�0

⇔ ��-�

���������-��

$�������-�5�������-�

������� �������������������� ������������

�)��5��(

$�������-�5�������-�������� �������������������� ������������

(��5���)

!�����$

:� ���������#�������A����� �(�(�����������������������������������������

���#������������� ��� ����������� ��������������������������������� ����

��������������� ������ ������������������������� ����������������������

��������

&���������������������������� �����#���������������������������.���������

�� ���������� ��������� ��������-��.�*%�������������������

��-�

���+�

������������� !� �"�����#$$�%�������114

!����� � " #

1������������������� ������������6� ����6�����������.����������������������� ������ �

�� ���������� ��

:������������

%����������6 ����6������������.������������� ���������� ��������

��������������������*��6��+��-�*��6� +*���.��+�� ⇔����

��6����.���-���

��6�3��6�

⇔������6� ��6�(�-�0

⇔���*��.��+*��6�(+�-�0

⇔�����-�6���������-�(

$�������-�6������� ������ ���������� ���6(��6���6��������

$�������-�(������ ������ ���������� ������ ��4�������

!����� � " )

�������� ������������������� ������ ���������000�������� ����������������

�� ������� �� ���������������� ���������� ������ � �3G�� %� ������ ���������

� ��������� ��������� �������������������3<

:������������

: �������������� ����-���000������

: ������������������������*��000�.��3G����000+�-���000 �

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠: �������������������������

��000�

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�.��3G�×���000� �

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�-����000

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�-���000

��

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠: �������������������������

��000

��

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�.��3G�×���000

��

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠-����000

��

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

-����000

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠: ������������������������

��000

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�.��3G�×���000

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠-����000

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

-����000

(�

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠%���������� ��������� ��������� ���������������������� ���������� ���������

�� �����

��000����000�

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠����000

��

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠����000

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠����000

(�

(

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�����

�������� ��� ���������������� 115

�� 1������������������ ��������� ���������� ���� ���� ������� �����

�� ���(��5���)����� �� ���

���

(��

5�����

�� ��� ��3��/����� �� 6������6���������

�� ��000���00���0�������� !� ��� � � ��(�� ( � �����

�� 1�������� ��������� ���������������� ���� ���������� ���� ���������

�� ��5��)(�� ����)����� �� ��6)������6�(�����

�� ���6������6������ �� �0���00����000���0�000�����

�� ������

���

(����� !� � �� � ��4 � ���/ � �����

� 1�������� ������� ����� ���������� ���������0��� �� �� ���������� �� ��������������

������������ ���������������� ���������

�� ���-�

��� �

��-�3

6�

�� ���-�3�⋅����6�� �� �

��-��0

��6��

�� ���-�*6�+

�!� �

��-�

�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(� 1������������������ ������������������� ������ ���������� ���������� ���"���

��������������������������) ��������������������������/�5��1�������������������������

�� ������

3� 1��������������-���� ����������������-�.�(�� -�.� ������/-�.����� ������������������� ���

�� ���������� ���������� �����������������������������0��� ���� ������� ������

)� &�������� ��#��������������������� =�������������� ������000� ������ ��0� �����

������� �������������� =��������� �� ����� G��%� ������������������������

=��������������������0�0<

/� ������ ��������� ������ � ;���000�000�00������������ ������ �0G� ������� �����

%� ���������� ���� ��������� �� ������ ��������0� ����<

5� �������� ������������ ������� ������ ������� ��������� ��000������ �� ����

������� ������� ������� �� ������������������ ������ ������� ������ ��0G��:���

���������� �������� ������� �� ������������� ������� �� ������ �� �00�����

�� ���<

3.5 Deret Geometri���� ����������� ��� � ������������ ������ �����������������������������

���������� ������ �����������!�������������� �������� ��������� ����

����� � # �

"���������

����

���������

�������� ��������� ���������� �����������������������

��.

���.��

�.�����.��

��.��������������� �������� ��

Latihan 3.4

������������� !� �"�����#$$�%�������116

8� ������������������ ���������� ����������������������������������������

��������

������������������������������������� �������� ���������������������

��.����.�����.���

�.�����.���

��6���.����

"���������������������� ������ �������� ���������������������������� ���

���������������

���-�

*� +

� �

�� �

− ≠−

�������H��

����

���-�

* �+

� �

�� �

− ≠−

�������I��

�������

��

��������������������� ���

� ���������� ���

� ��� ����

� ������ �����

;���� ����������� ������� ���� �� ���������������� �������� �� �� �������

�� �����

��

-����.����.�����.���

�.�����.���

����.���

���

���

-�����������.�����.���

�.�����.���

����.���

����.���

6666666666666666666666666666666666666666� � 6

���6���

�-��� ���������������6���

*���+��

-���*��6���+

"����

���-�

*� +

� �

�� �

− ≠−

�������������������������������� �����(�

*� +

� �

�� �

− ≠−

������������������6������� ����

���-�

* �+

� �

�� �

− ≠−

!����� � # �

1����������0��� ���� �������� ��� ��)�������(�������

:������������

&� ��������������������� ������#�����-� ����� �������-����"�����0�������� ������ �

�� �������������

��0�-�

�0 *� �+

� �

−− �-� *��0�(�6��+�-� �0)4

!����� � # �

1������������������ ��������� ���������� ��� ����� �������� �����������)3�

"������������������������������3�� ����������������������������� ������

:������������

2���������������������������� �������������&���&������&����������#�����-��3�������.

���.�����-�)3���������������.���

��-�30�������-�

�3

����������������

�3

��.��3��-�30������

��.�� ��-��0�

�������� ��� ���������������� 117

"��������� ������ ������� ���6��0��.� �-�0������* ��6��+*��6� +�-�0��=����� � ������-�

������

��-� �

$�������-�

������� ������ ���������� ����(3���3��3�

$�������-� ������ ������ ���������� ���3���3��(3�

!����� � # �

"������������� ���������� ������������-�3

��6���

�� 1�����������#���� ��� �� ������� ��������� �������� ��

�� 1��������������� ����� ������������������3�

:������������

�� &� �� ������������ ������#��

���-�3

��6������������

��6���-�3

��6���6��

&� �������������-��

��6��

��6�������� ����

���-�*3

��6��+�6�*3

��6���6��+�-�3

��6�3

��6���-�3

��6��*3�6��+�-�(�@�3

��6��

����������

−−

⋅=⋅ �

( 3

( 3

-�3

8� ����

� −�� ���������������������������������� ����� ������� ��������� ��

����� ��

�� ������� ���� ���-�(�@�3

0�-�(�@���-�(�

;����� ����-�

� −�-�3�

��������3� �3�-���

3�6���-�(�@�3

(�-�(�@�)�3�-���300�

!����� � # "

1����������#����������������������������������������� �;���00�000�00��%������ �����

��� ����������������� ��G���������������:������� �����������0���������������

��������%� ����������������� �����<

:������������

$���������������� ��������� ����������

��-��00�000�.��G�@��00�000

-��00�000�*��.�0�0�+

-��00�000�*��0�+

$���������������� �������������������

��-��00�000�*��0�+.��G�@��00�000�*��0�+

-��00�000�*��0�+�*��.�0�0�+

-��00�000�*��0��.���0��+

&�������� ���� �������� ������#������������������� ����������������������

��0-���00�000�*��0��.���0�

��.���0�

�.���0�

(�.�����.���0�

�0+

:� ���������#������������0��.���0���.���0�

�.�����.���0�

�0��� ��������� �������� �

�������������� �������-������� ��������-���0��

������������� !� �"�����#$$�%�������118

Tugas Mandiri

����������

������0-���00�000�

�0��0�*��0� �+

��0� �

−−

-���00�000� ⋅�����)5/�3(� *�������!�� �������������===+

-� �����)�5/��3(

"��������������������������� �����������0�������;�����)�5/��3(�

&���������������������������������������.�������,-.���� ������� �������������

�������������������A����� �3�(�����������#���������������� ����������

�� 1������������������ ��������� �������� ����� ���� ����� �����

�� ��.� �.�4�.����.���� �� ��.�*6�+�.���.�*6�+�.����

�� (�.�5�.��)�.� ��.���� �� ��.���.� �.�(�.����

�� �0�.��00�.���000�.��0�000�.���� !� ��.�

��.�

(�.�

5�.����

�� 1�������� ������������������0��� ���� �������� ���� ���������

�� )(�.��)�.�(�.���.���� �� ��.�

(��.�

�).�

)(�.����

�� ��6� �.�4�6��/�.���� �� ��0��.���0����.���0�

�.����

�� 3�.�3��.�3

�.�3

(�.���� !� ��.�� � �.�(�.�( � �.����

� ������� ���������������������� ���������� �������� ��������5������4��1������������

���5����������5�������� ������ ���� ����� ������

(� ��������(�������������4��� ���������� �������� ��������65������3)��1������������

�� ����� ������������������������������������� ������ ���� ����� ������

3� &� �� �������� �������� �������������#�� ��������� ������� ����������������

����������������� ����������4 ��1����������������5����������5�������� ����

)� &����������#���������������� ������ ���������� ������������-��

��6���

�� %����������#���� ��� �� ������� ��������� �������� ��

�� %� ������������� ����� ������������������5��� ����� ������

/� 1����������#����������E�������������������������������� �;��00�000�00��%������ �����

��� ����������������� � G���������������:������� ����������5������������E����

��������%� ����������������E������� �����<

5� �������� ������������ ������� ������ ������� ��������� ��000������ �� ����

������� ����� �� ������� �� �������������� ���� ����� � ������� ������ � �0G�

%� ������������� ��������� ��������� ������������0� ������� ���<

Latihan 3.5

�������� ��� ���������������� 119

3.6 Deret Geometri Konvergen:� ��������������� ��������� ������� ���������� �� �� ����� ����

�� ������(��5����� � (��������

������

�� ��64���/��65������ (� �00��6�0�����

�0

− �����

� %� �����*�+��������� ���������������������������� ���� ������� ������������

����� �

� %� �����*�+��������� �����*6 +�*�������������� �� ����������� +���������������

�������� �� ������������ ����� �� ������ ����������������� �

� %� �����* +��������� �����

����������������������� ���� ������� ������������

������

� %� ����� *(+��������� �����

�0

− �� �������������� �� ����� ������

�0�� �������

�������������� �������������� ������� ��������������������

%� �����*�+������� �����*�+������������������������������������������� ��������

�������*������ ���������� �� ����� * +� ���� *(+� ����������������� ������������

������������� �����������������*������&� �� ������������ ���� ������ �����������

�������������#����� ��� ���������� ��� ��������� ��������F� ��������������

�������� �� ��������� ����������������

&� ���� ��������F� ��������������������� ������F� �����:������ ������F� ����

����� ����� ����� ������������������ ������� ��� �� �������#�����������������

��������������������� ����������� ��������� �������� ���� �����

��.� �

� � � �

� ( 5 ��−+ + + + +� �

&� ���������������������� �������-������� ��������-�

���"������������� ������ �

�� �������������

���-�

� �

�⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠−

�-��

� �

�⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

&����������#��

��

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�-�

���

��

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�-�

(��

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�-�

5�������

�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�����������������������������

������� ����������� ������������� ��

�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��������0�������������� �����������������

&� �������� �������������������������������*������&� ������ ��������������������

�������������#���������� �������� �������������������������F� ����������J�J�H��

������≠�0��"������ �������� ��������������������F� ��������������

�∞��-��

�−

������������� !� �"�����#$$�%�������120

!����� � ) �

E��������������� ���� �������� ����������F� ������ �����

�� �)�.�5�.�(�.���.���� ������� �6����.�

( 5

4

− +�

:������������

�� &� ���� �������������� ����������������-��)�������-�

��H���

"������������ ���� �������� �������������� ������������

�∞��-��

�− �-�

�)

−�-� �

�� &� ���� �������������� ����������������#����-� �������-��

− �

"������������ ���� �������� �������������� ������������

�∞��-� �

�− �-�

4

� 3�

=⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

!����� � ) �

������� ������ �� �������� �������� �� ���������������� ����� �������������

������ �����������������)��A� ���� ������������������ ������������ �������� �

������������ ������

:������������

&���������∞�-� �

�− �-�)����������-� �������������� ������������

� �− �-�)����⇔ )�6�)��-�

⇔ ��)��-�

⇔ ����-��

"����� ������� ���� �������� �� ���������� �� ������ ������

��� ������������ �������

�����������������

�.�

��.�

(�.�

5�.����

!����� � ) �

;���������������� ���� �������� �����������-� �

�− ��1������������ ���������������

������J�∞�����J�H��0�00��

�������� ��� ���������������� 121

:������������

&� ��������� �����������������-����-���������

��-�

������������� ����������������-�

������������� ��������� ����

�∞�-� �

�− �-�

−�-�

���

���-�

�� �

*� +

���

�� �

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠− ⎝ ⎠=− −

��-��

� �

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

��� ����

J��∞�6���J�-�

�6�

� �

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�-��

� �−⋅

���

��������������������������������J�∞�6���J�H��0�00� �����⇔ �

� �−⋅ �H�

��000

⇔ �

�− �H�

300

⇔ ��6��

�I�300

⇔ ��6���I�3*�� ���� 3�-��( �����

)�-�/�4+

⇔ ��I�)

"��������� ��������� �J�∞�����J�H��0�00��������)�

�� 1��������������� ���� �������� �������������� �������������F� ����������������

��F� ����

�� ��.���.�

��+�

(�+���� �� �)�6�5�.�(�6���.����

�� ��000�.��00�.��0�.���.���� �� �0�.��0��.��0

�.��0

(�.����

�� �.�4�.��/�.�5��.���� !� ��.�� � �.�(�.�( � �.����

�� E���������∞��� ���� �������� �� ������������ �����*��������+������� ���������������

���������������

�� )�.� �.�

��+�

(�+���� �� 4�6� �.���6�

.����

�� ��0��.�*��0�+��.�*��0�+

�.�*��0�+

(�.���� �� ��.���.�

.�

4�.�

�/�.����

�� �03�.��0

(�.��0

�.��0

��.���� !� 0�.��3�.�

/

�+�

(

�.����

Latihan 3.6

������������� !� �"�����#$$�%�������122

� ;���������������� ���������� �������� ������������-� �

3�+ ��1��������������� ����

�������������������������������� ���� �������� ���� ������

(� �������� �������� �� ��������������������������� ������ � �� -�

(����� ����� ���

�� ��������������������)��1��������������� ���������� �������� ���� ������

3� �������� �������� ��������������������������� ����5��������������3���������

1�������� �������������������������� ���� �������� ���� ������

)� ;���������������� ���� �������� �����������-� �

(�− ��1������������ ���������������

������J�∞�����J�H�0�00��

/� ����������������������� ������������� ���������������������������������� �����

�������������������

(��������������������������������������� �������%� ������� ��

�� �������������������� �� �������������� ����<

5� &��������������� �����������������5������������ �����������������������������

������������ ������ ����� �� ����� �� ����� 8�������� ������� �� ����� ������� ������

������������ ������������ ������ ����� �� ����� ������� ������� ���� ������� %� �����

����������������� ����������������<

3.7 Notasi Sigma&���������� ���� ���������� �� ������������ ������������ �� ���� ���

�������������������������������������������������������� ���0�������������������

�� ������������������������������

��.���.� �.�(�.�3�.�)�.�/�.�5�.�4�.��0

"������������������������������������ ��������������� ������������������������������

���������������������������������������������� �������������������00����������

����������������� ����� ������ �!���������� ������� �������$����� ������ ���� ��������

����������������������������������������������������������K���L���������������������

����� ��������������� ��������00��������������� ������� �������������� ��������

�������

��.���.� �.�����.��00

&�������� ����������������������0������������������������ �������������������

��.� �.�3�.�/�.�4�.����.�� �.��3�.��/�.��4

�����������������������

��.� �.�3�.�����.��4

�������� ����������������� ���� ��������� ����� �������� ������������������

�����������������

��.�(�.�)�.�����.��*��6��+�.���

A� �� ��������������������� ���������������� ���� �� ��������� �������������

����������������������������K���L�����������������������������������������������

������1���������������������������� �������K∑L��D������ ����� �������� �!

���� �,�������� ���� �������������K��L������� ������ ������1����� �����������

������������������� ��������� ������������� �������������������!������

�������� ��� ���������������� 123

8����������������������������������������� �����������!�������� �����

=∑ �-��

��.��

��.��

�.�����.��

�������������������K����������������-�����������-��L�

����������������������������������

���������������������� ���

���������������������� ��� ��������������������������������������!

!�����$

�� =�������� ���������������������������� ������������������ ��� �����

����������*������������ �������� �����������+�

�� ������������������������������������������������� �������������

����������� ������� ���������� ���� ������� �� ���� �� ��� ������

�� ��� �

"�������������������������������������������������-�������������������������������

=∑ �-���.���.���.�����.���-���

&���� ��� ����� ����� ����� �� ��������������� ������� ����� ������� �����

���������������������������������

� �

� �= + + + +∑ �

!����� � , �

'������������������������������ ������ ���������������� �����

�� ���.��

��.��

�.�����.��

�00���������.��

��.��

�.��

(�.��

3�.�����.��

�3

�� ��.����.���.���.���.���.���.�� ���������0��.���0���.���0�

�.�����.���0�

�0

:������������

�� ���������� �� �� ���������� �� ������ ���������� ��������� ���� ��� ���� ������

�� ��� ��������00�� "����

���.��

��.��

�.�����.��

�00�-�

=∑�00

�� ������������ �������������� ������������������������ �������������������� ���

������5��"����

��.����.���.���.���.���.���.���-�

=∑5

�� ���������� �� �� ���������� �� ������ ������ ���� ��������� ���� ��� ���� ������

�� ��� ��������3��"����

��.����.��

�.��

(�.��

3�.�����.��

�3�-�

=∑�3

������������� !� �"�����#$$�%�������124

�� ������������ ������������ �� ��������������0���� ��������� ����������� ������

�� ��� ��������0��"����

��0��.���0���.���0�

�.�����.���0�

�0�-�

=∑�0

*��0�+�

!����� � , �

1���������������������� ������������������������������������

��

3

*3 +

=+∑ �������

/

�=∑ �������

�0

��0��

�=∑

:������������

��

3

*3 +

=+∑ -��M3*�+�.� N�.�M3*�+�.� N�.�M3* +�.� N�.�M3*(+�.� N�.�M3*3+�.� N

-��5�.�� �.��5�.�� �.��5

��

/

�=∑ -�

� ( 3 ) /

� � � � � �

+ + + + +

��

�0

��0��

�=∑ -�

� �0

� � � �

��0� ��0� ��0� ��0�

+ + + +�

$��������������� ������ ������ ���������� �� ��� �������� ������� ���

������������� ����"������ ������� ��������� ���� ������������� ����������

������� ����������

���-� ( )

��

� �+

�������������������������� ������ ���� ���� �������� �� ������������� ���������

�� �� �� ��� ����� ������������� ������� ������� ��������� ��� ����� ������� ���

�������������� �������������

���-�

*� +

� �

�� �

− ≠−

���������-�

* �+

� �

�� �

− ≠−

�������������������������� ����������� ������� ������� ���� �������� ���� ������

��� ������������ ������� ��������� �������� ��������������������F� ��������

�����������������������������

�∞�-��

�−

!����� � , �

1���������������������� �������������������������������������������������

��������

��

3�

* �+

=+∑ ��

3�

=∑

��

�3

*� �+

=+∑ ��

��

=∑

�������� ��� ���������������� 125

:������������

��

3�

* �+

=+∑ �-���.�3�.��0�.��/�.��)�-�)0

��

�3

*� �+

=+∑ �-� �.�3�.�/�.�����.�3�

"����������� ��������� ���� ���������������������� ����-� �������-����������

�����-��3�������������� ��� �-�3������������������������� ������������

��3�-� ( )�3

3� �3 �/

+ = ⋅ -�)/3

��

3�

=∑ �-� �.�

��.�

�.�

(

"����������� ��������� �������� �����������-� ����-� ��������-�(��������������

������� �� ������ ������

�4�-��

( * �+

−− �-��

⋅ 50

�-���0

��

��

=∑ �-�

� � �

� � �

+ + +�

"����������� ��������� �������� ���������������������-�

��������-�

����������

����������������� ���� �������� ������������

�∞�-��

�−�-�

��

−�-��

!����� � , "

E��������

��

�0

��

=∑ �������

�0�

��

=∑ �������

�0

��

=∑

:������������

��

�0

��

=∑ �-�

�0*�0 �+

+�-�33

��

�0�

��

=∑ �-�

�0*�0 �+*�0 �+

)

+ +�-� 53

��

�0

��

=∑ �-�

�0

��

=∑ �6��

�-�

��0*�0 �+

+⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�6���-� �0�3�6���-� �0�(

������������� !� �"�����#$$�%�������126

Latihan 3.7

&������ ���������� ��#�� ��� ���� ���������� �� ��!��� ����� �����������

������������������� ����� ������� ��!��� ����� ���� � ���������� ������������� ��!���

��!���

��

� �

� �

� �

� �

�� � �

= ==∑ ∑ �������

� � �

* +

� � �

� � � �

� � �

� � � �

= = =+ = +∑ ∑ ∑

�� '�������� ��������� �������������������������

�� ��.���.� �.�����.�44 �� ��6�(�.�)�6�5�.�����6��00

�� ��.� �.�3�.�����.�44 �� . ��.�.

3�.�.

/�.�����.�.

/4

�� ��.�

��.�

�.�����.�

30!� �*-

�+�.��*-

�+�.��*-

+�.�����.��*-

�0+

�� '��������������� ������� ������������������������������������������ ��������

����� �������������

a.3

*� �+

=−∑ d.

)�

* �+ � �

=−∑

b.)

* �+

=+∑ e. 3

*� 0�0�+3

3=+∑

c.3

��

=

=∑

+f.

)

3

−=∑

� ����������� ����� ����� ����� ������� ��������� ��� � ����������� �������� ��� ����

�� �������������������������������������� ���� ����� ������

a. �0

* �+

=−∑ d.

�0

�=∑

b.5

3�

=∑ e. �

3�

∞+

=∑

c. ��

*� +

=−∑ f.

�0

*��0 +3

3=∑

(� &������������������ �����������������������������������#��

��

=∑ �-���.���.� �.�����.���-�

* �+

� �+

��

=∑ �-��

�.��

�.�

�.�9�.��

�-��

�* �+

� �+⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

���

0

*� +

� �

��� �

� �

�� � �� �� �� �

�=

−= + + + + = ≠∑−

�������� ��� ���������������� 127

3� E��������

��

�0

* +

� �

=−∑

��

�00

*� +

=−∑

��

�0

* �+*� +

� �

=+ +∑

��

�0 �

* � +

� �

=−∑

3.8 Pembuktian dengan Induksi Matematika:���� ������� ���� ����� ����������������� ��� ���������� ������� ���

��������� ����� �� ����� ������� ���� ���� ��� ��������� ����� �� ��������� ������

�������� ��������������������� �����������

��

=∑ �-���.���.� �.�����.���-�

* �+

� �+

���

=∑ �-��

��.��

��.�

��.�����.��

��-�

* �+*� �+

)

� � �+ +

=∑ �-��

�.��

�.�

�.�����.��

�-��

�* �+

� �+⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

$����� ���� ��������������� �������� ����������� ���������������� �����

�����������������������#�� ���� ������������ �������������������-��

������.���������������������������#�������B��C�� ��������� ������� �������

�������������������

*�+ ��� �������� ������������

*��+ ������ ������������������������� ����

��.��

��������������� ������������ ����������������������������

���� ���� ����� ����� ����������� � ������ �������� ��������� �����

���������� ����*�+��$������������������������������������������������ ��������

������

��.��

��.�

��.�����.��

��-�

* �+*� �+

)

� � �+ +

8������ ���������#��

�����

��-�

�*� �+*� �+

)

+ +

� ��������� ����������������� �

���� �����������������#������ ��������� ������������ �� ���������� �����

�����

��.��

��.�

��.�����.��

��-�

* �+*� �+

)

� � �+ +

������������� !� �"�����#$$�%�������128

Latihan 3.8

&������������ �����������������������������#����

��.������������ ��:� ���������#��

������.��

��.�

��.�����.��

���.�*��.��+

���-��

* �+*� �+

)

� � �+ +�.�*��.��+

��-��*��.��+�

�� ) )

)

� � �+ + +

��-��*��.��+�

�� / )

)

� �+ +

��-��

* �+* �+*� +

)

� � �+ + +

"��������.� �

� ��������� �������������������������������� ������ �����������������

�����������������������#����� �������� ������������ ������� �������������

�������

�� &������������������ �����������������������������������#��

�� ��.�(�.�)�.�����.�����-���*��.��+ �� � �.��

�.�

�.�����.��

��-��

�* �+

� �+⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

�� ��.� �.�3�.�����.�*���6��+��-����

�� ��.����.��

�.�����.��

���-���*�

��6��+

�� ��.���.� �.�����.����-��

* �+

� �+!� ��.����.���

��.�����.���

���-��

*� +

�� �

−−

����≠��

�� &������������������ �����������������������������������#��

�� ���6�����������������5�����������������������������

�� 3���6����������������� �����������������������������

�� ��*��.��+�*��.��+��������������)�����������������������������

�� ���*��.��+

���������������(�����������������������������

�� (��6����������������50�����������������������������

� &������������������ �����������������������������������#��

��

*� �+*� �+ � �

� � �==∑

− + +��

* �+* �+ �

� � �==∑

− + +

��

*3 +

*3 �+

� �

=

+− =∑

(� &������������������ �����������������������������������#��

��

� �� �

� �

−−

�-������.��

�����.��

�� ���.�����.���

����.��

���

��

� � � �� �� �

� �

+ +++

�-�����6��

������.��

�������.�����.���

�����.��

��

��

����

����

�αα �-�����α�.����� α�.�����3α�.�����.�����*���6��+�α�

�������� ��� ���������������� 129

3� &������������������ �����������������������������������#��

�� ���≥�������������������������������

�� ���≥��������������������������������

�� ��≥����.��������������������������������

3.9 Aplikasi Deret Aritmetika dan Geometri&���������������������������������� ������ ������������������������

��� ��� �������������������������� ������ ���� ��������������� �������� ��

-����������� �

��� ������ ������������� ���������� ���������� ������;�500�000�00��� �������

������������������������������������������������ �;��0�000�00��1���������������� ��

����������������������������������������������������� ���������������

�� ����� ��� ���<

:��������

:������������ �� �� ������� ��������� ������ ���������������

������� ����� ��-����� -��500�000

���� ����������������-����� -���0�000

���������� ���� ����������������� ����������

500�000�.�5�0�000�.�5�0�000�.�����.540�000

���

��0�-��

�0

�*��@�500�000�.�*�0�6��+��0�000+�-��3*��)00�000�.�40�000+�-��5�(30�000

"����� ����� ����������� �� �� �� ������ ����� ������� ������ �� ���� �����

;�5�(30�000�00�

-����������� ��

:���� �#��� ����� �003�� 1���� ���� : ���#���������� ����� ��� ����� ������

;��0�000�000�00�� ������� �����1��������: ���#��������������������0G��� �� ����

��������� �� ��� ����������� �� ������ ������������� ��������� �� ��� ��%� ���

���� �������������1��������: ���#�������������0�3<

:��������

8���� ���������������������������� ������� ��� � ������������������ �������� �

���������������������������� ������$���������������� �� ��� � ���� ���������������

������ ������� �����

� / � ����� 0������ ��� �����.������

&������������������� ��� ���������� ������������� ��������������

������������ ����� ���� ��#��� ����� �������� ��#��� �� � ������ ���������

1� ���������� ���� ��������� ������������ ����������������� �����������

�������� ����������������������:���E�����������������������:������

������ �;���000�000�00��8�����������������������������������#��������

������:���E������������� ����������������� �;��00�000�00��%� ��������

� ���������������:���E������ ��������������������������������������0

������ �� ���<� 1����� :���E����� � ��������������� �������� ���� ��

��������������� �;���000�000�00�.�;��00�000�00�.�;��00�000�00�.�;��00�000�00

.�����.�;��00�000�00�*�������;��00�000�00�����������0�����+�

������������� !� �"�����#$$�%�������130

��������������������������������������������

������000�000�.�

�0

�00�000

�=∑ ���-���000�000�.��0�@��00�000

�������������������������������������������������-���000�000�.���000�000

�������������������������������������������������-���000�000

:� ���������������������������������� ��������������������������������

��������"���������������������������������������������������������� ����

������� �������#����� �������� �� ������ ����� ���� ���� ������� ���� ���

�������������������� ���������� ������=���,�������������������������

����������� �;���000�000�00��������������������,���������������������������

�G��� ������������������ ��� ��������������������������������������������

�� ��� ��%� �������� ��������������,�������������������������� ���<

�� ��������������������������� ������������������

��000�000�.��G�@���000�000�-���000�000�*��.��G+

�� ��������������������������� ������������������

��000�000�*��.��G+�.��G�@���000�000�*��.��G+�-���000�000�*��.��G+�

� ������� ������������������� ������������������

��000�000�*��.��G+��.��G�@���000�000�*��.��G+

��-���000�000�*��.��G+

� �

�0� ��������0�������� ����������� ������������������

��000�000�*��.��G+4�.��G�@���000�000�*��.��G+

4�-���000�000�*��.��G+

�0

:� �������������� ������ �������������� ��������������������

"����� ������������������������� ��������������� ����� �����������������

�������� ����� ������� �������#����� ��������� �� ��� ������������ ����

������������������������������������

� .�����������.�����0������

%� ������������� ����� ��������������������������������� ����

����������������������� ��������������"����������������� ����

��������������� ����������������������������G������������������

�+ ���������������������� ������������������

��.��00

���-��� �

�00

�⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�+ ���������������������� ������������������

������ �

�00

�⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�.�

�00

�� �

�00

�⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠-�� � �

�00 �00

� �

�⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

-��

�00

�⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ������� �������������� ������������������

���

� �

� �

�00 �00 �00

� � �

� �⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

-��

� �

�00 �00

� �

�⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

-��

�00

�⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

�������� ��� ���������������� 131

��� �������������������������� ������������������

���-� �

�00

��

�⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

"����������������-��00

���������� �����������������������������

���-���*��.��+

$������� ��������*��.� �+��������������������!�� � ���� �����������!�� �=

������� �������������!�� �������� "����������������!�� � ���� ��������

������������������� �� ������ ����� ��������� �������������� ���������

�����������������!�� �����������������������������������������������������

�����%� ������������� ������������� ��������������� ��������������

�� �������������

!����� � / �

����������������� �;�(�000�000�00������������������������������

3G������� ������� ������ ������ %� ������ ���� ��������� ���� ������

�0� ����<

:��������

&� ������� �� �����������������#��

� -�;�(�000�000�00

� -��3G����������������

� -���0�*�� �����0������-��0��� ����������+

!����� ������������!�� � ���� ���

2�������������0������*-��0��� ����������+�������

����������0

-��(�000�000�*��.�0�03+�0

⇔ �������0-������(�000�000�.��0�����*��03+

⇔ �������0-��)�.�����(�.��0�*0�0���+ � *�������!�� � ���� ���+

⇔ �������0-��)�.�0�)0���.�0�(�(0

⇔ �������0-��/�0�)�

⇔ ���0

-� ��0�)�4�(00�3 � *�������!�� � �������� ���+

"��������� �����������������0� �����������;��0�)�0�000�00�

!������ ������������!�� ������

2�������������0������*-��0��� ����������+�������

��0����-��(�000�000�*��.�0�03+

�0

����������-��(�000�000�*��03+�0

����������-��(�000�000�*��)3 �4//�+ *�������!�� ������+

����������-���0�)� ��40�5(

"���������� ������������� ����������������0�������������

;��0�)� ��40�5(�

������������� !� �"�����#$$�%�������132

!����� � / �

����������� ������ �;���000�000�00������������ ������ � ����� ������

�������������������3G������� ������� �������� ������%� �����������

��� �������� �����<

:������������

&� ������� �� �����������������#��

� - ;���000�000�00

� - 3G����������������

� -�

�) �*�� ���� ������ �������-�

�) ��� ����������+

&����������������)��� �������������������������������������!�� �������

���������������

������������������������������

2������� ������������� ������*)��� ����������+�������

�)

-����000�000�*��.�0�03+)

-����000�000�*��03+)

-� ���000�000� *�� (0043)(+ *�������!�� ������+

-���� (0�043�)(

2������� ������������� ������ �������*�

�) ��� ����������+�������

�)

� -���)�.�

�@�3G�@��)

-���� (0�043�)(�.�*0�3+*0�03+*�� (0�043�)(+

-���� (0�043�)(�.� �30�� 4�

-� ��� / �345�0 �

"������������ ������������� ������ �������������;��� / �345�0 ��

!�����$

"��������������������������������������� ��������������G���

�� ������������ ���������� �������#�������������� *�� .� �+��� ����

��������������0�H���H��������

���*��

-�����*��

�@��G�@���

-�����*��.���@��G+

-���*��.��G+��*��.���@��G+

������������� ������G�-� ������������ �� ��� � �����������������

*��.��+��� �����������������

��������*��

�-��*��.��+��*��.���@��+

� .�����������1��������

&� ������������� -��*�� .� �+

��� ����� ��������� ��� ���

������ ��������

�������������� ��������� ������ ��������������� ��� "����� ����� ����������

�#��� ��������� ���� ������� �������#����� �� ��������������� ������ ���

����������������� ��� ������������������������ ��

�������� ��� ���������������� 133

%� ����� �������� ������������� ���������������� ������ ��������������

!����� � / �

�������������������� ����;���000�000�00����������������������� ������

������� �������3������������ �����������;���300�000�00��%� �����

���� �������������� ������<

:������������

&� ������� �� �����������������#��

� -� �;���000�000�00

� -��3

�3

-� �;���300�000�00

&� �� ��������-��*��.��+

������� ����

��300�000��-����000�000�*��.��+3�⇔ �*��.��+

3�-�

��300�000

��000�000

���������⇔ �*��.��+3�-�

3

(

⇔ �3�����*��.��+ -������3�6�����(

⇔ �3�����*��.��+ -��0�)440�6�0�)0��

⇔ �3�����*��.��+ -��0�04)4

⇔ �����*��.��+ -��0�0�4(

⇔ �*��.��+ -����0()

⇔ �� -��0�0()

"��������� ��� �����������������������(�)G��� �������

� .�����2����1�����.������������

"�������� ����������������� ���

���-���*��.��+

��������������������������

�������������"��������������������������������������������������� ���

���� �������� ������������� �������������������� �� �������� �������������

������� ����������� ��������������������������� ����!�� �������

!����� � / "

&������ ���� ������������ ;���000�000�00�������� ;� �)30�000�00

����������� ��������G������)������<

:������������

&� ������� �� �����������������#��

� -� �;���000�000�00

��

-� �;� �)30�000�00

� -���G

&� �� ��������-��*��.��+

������� ����

�)30�000�-����000�000�*��.��G+��⇔ �*��.��G+

���-��

�)30�000

��000�000��-����5�30

������������� !� �"�����#$$�%�������134

"������������������!�� �������������������� 0�H���H� ���"������-� 0������

� 0

-����000�000�*��.��G+ 0

-� ���000�000� *��5�� )�35+

-�� �)���/� ��)

:������������������ -�;� �)30�000�00�� "��������������������;��/��/)�5(

��������������������� �����������������2��������������������-�� ������

�����������-�� ��-� �)���/� ��) ⋅�

�00 �50

-

�-��/��/)�5(

������������ ����-�-�)3�*����������+

"������������� ���������������� ������ 0� ������ ���������)3�� �� ����

�3������)3�� ��

� .�����3���0��

&� �� �������-��*��.��+

������������������

���������������������������

�������������� ����������#�����������������������������

���-��

( )�

�+

&���������������� ��������������� �������� ������������������� ���

��������������������������������� �����������$�����������������������������

���� ����������������������4���������� �����

������������������������

��������� �������� ����������������������������������������������������

������"����� ������������������������ ����������������������

4��-� ( )�

�+����������4

��-�

( )�

��

�+

&������

( )�

���+

����������� �������������������� ����������������������������

��������������!�� �������

%� ����� ���� ���� ����� ������ ��������������������������� ������ �����

�������� ����� ���� � ��������� ����� ������� ���� ������� �������

���������

!����� � / #

A� ���� ������ ������ ������ �������� ������ � ;���000�000�00� ����� � ��

������ � ������� 3� �������������� ��������� ���� ����������� ������ 3G

������� ����<

:������������

&� ������� �� �����������������#��

����-��;���000�000�00

���������������-��3G

��������������-��3

�������������� �������������� �� ������������

����������������������������������������������������4����-��

( )�

��

�+

�������� ��� ���������������� 135

-��3

��000�000

��03

-� ���000�000� @�0�/5 3�)�/

-��/5 �3�)��/

"����������� �������� ���������� ������ �;���000�000�00������� ���������

3��������������������;�/5 �3�)��/�

� / � �����

,���� �������� ������� ������ ������ ����� ������ ��� ���� �

�� ��������������������� �������������������������� ���������������������

��������������E��� ���� �� � ��� �������� �� �� �� ����������������� ������ ������

������������������������������������������������������� �������������

����������� ��������&���� ������� ��������� ����� ����� ������������

��������������$�������� ����������� ������������������������ ������������

�� ����� ����

!����� � / )

:������� ������ �;���000�000�00� ������������������� ������������ �������

�������� �� ���������� � ����� ����� ����������� �������������������

������(G��� � ������1������������ ���� ������������� �� ������

:������������

2������������ ������������������ ��"���������������

�� �������������

������������� ��������

��000�000�*��0(+�6�

�� �������������

������������� ��������

B��000�000*��0(+�6� C�*��0(+�6� �-���000�000�*��0(+��6� *��0(+�6�

�� ����������� �

������������� ��������

�����������B��000�000�*��0(+��6� *��0(+�6��C�*��0(+�6�

�����������-���000�000�*��0(+ �6� *��0(+

��6� *��0(+�6�

�� �����������(�

������������� ��������

�����������B��000�000�*��0(+ �6� *��0(+

��6� *��0(+�6� C�*��0(+�6�

�����������-���000�000�*��0(+(�6� *��0(+

�6� *��0(+

��6� *��0(+�6�

�� �����������3�

������������� ��������

B��000�000�*��0(+(�6� *��0(+

�6� *��0(+

��6� *��0(+�6� C�*��0(+�6�

-���000�000�*��0(+3�6� *��0(+

(�6� *��0(+

�6� *��0(+

��6� *��0(+�6�

:���� ����� �������� ���3��������� ����� ������� �������� ������������� ���

������������"��������� ������������

��000�000�*��0(+3�6� *��0(+

(�6� *��0(+

�6� *��0(+

��6� *��0(+�6� �-�0

⇔ ���000�000�*��0(+3�-� *��0(+

(�.� *��0(+

�.� *��0(+

��.� *��0(+�.�

������������� !� �"�����#$$�%�������136

⇔ ���000�000�-�

( ) ( ) ( ) ( )� ( 3

� � � � �

��0( ��0( ��0( ��0( ��0(

⎧ ⎫⎪ ⎪+ + + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⇔ ���000�000�-�

( )3

��0(�

=∑

⇔ � �-�

( )3

��000�000

��0(�

�=∑

⇔ � �-���000�000�*0���()�/��+ *�������!�� ������+

⇔ � �-���(�)�/���

"����� ���� ������������ ������;���(�)�/����

&��������� �������A����� �4�)������ ������������� ������ ���

������������� �� ���� ���� �������� ������ ��������� � ��������� ����

�������"������������������ ���������������������������������������������������

�� ���� ������ � ������� ����� �� ����� ������ ������� ����� ������ ����

���� ���������������G�-������������ ������������������

�-�

( )�

�=∑

+

!����� � / ,

�������������� ������ �;���000�000�00���������������5� ��������� ����� ����

�������������� �� ���������� � ������� �� �������������� 1�������� ����

������������������������������������ �����(G��� ������

:������������

&� ��������� ���������������

�����-��;���000�000�00

��������-��0�0(

�������-��5

%��� ������������ ������

-��

( )�

�=∑

+

-��

( )5

��000�000

��0(�

�=∑

-� ���000�000� *0��(53�/5 + *�������!�� ������+

-� ��4/�033�))

"����� ���� ������������ ������;��4/�033�))�

�������� ��� ���������������� 137

���� ��� ������������������� �#��� ������� ������������������������� ����

�� �������������������������������������������� ����������8� ���

���� ����������������������������������������� ���� �����������������

&��������������� ������ ��� ����������� ����� �������� ������ ����� ���

���� ��������������������������������������������:����� �������������

����������������������������������������������������������������������

������������� ��:� ���������� ���������������������� �� ������

���������������<

%� ����� �������� ����� �� ������ �� ���� �������������� ������� ��������

2������������ ���������������������������� ������������ ���� �������������

������� �������-��G��"��������������������������������-���������������������������

�����-������������������������������� �-��

���������� �����������

�� :������� �����������*��������������+�

�-����.���������������������-���6��

�� :������� �����������

�-����.��*��6���+�������������������-���6��

��6��

� :������� ��������� �

�-�� �.��*��6��

��6��

�+������������������-���6��

��6��

��6��

���� ���� ������

&� ���� �������� ������������������� ������������

����������.����-��

��.��*��6��

�+�⇔ ��

��.����-��

��.����6���

⇔ ����-��

���6���

⇔ ����-��

��.���

⇔ ����-��

�*��.��+

���

�������������.��*��6��

�+�-��

�.��*��6��

��6��

�+�⇔ ��

��.����6���

��-��

�.����6���

��6���

⇔ ����-��

�6���

⇔ �� �-��

��.���

⇔ �� �-��

�*��.��+

⇔ �� �-��

�*��.��+�*��.��+������� �����

��-��

�*��.��+

⇔ �� �-��

�*��.��+

��

&������ �� �� �� ���������� ���� ��� ���������� ��#�� ������������

����������������

���-��

��6���*��.��+���������������

��-��

�*��.��+���6��

!����� � / 4

����� ������������ �������� ����� ������ � ;���000�000�00� ����� ����

������������������������� ������������������ ���������� � ������� ������

���� �������������������������������� ����� G��������������1��������

�� ���� ���� �������

�� ���� ��������������������������������������4

�� ���� ���� ������������� ������������������4

������������� !� �"�����#$$�%�������138

:������������

�� &� ��������� ���������������

���-��;���000�000�00

������-��0�0

�����-�����

%��� ���������������� ����������� �����������

� ����-��

( )�

�=∑

+

��������-��

( )��

��000�000

� 0�0 �

�=∑

+

���������-����000�000�*0��00()�04+

���������-���00�()��04

"����� ���� ������������ ������;��00�()��04�

�� %�������������������� ����������

������������������-�� G�O���000�000�-� 0�000

:�������������������������������� ����������

��������-�� �6��

�����-���00�()��04�6� 0�000

�����-��/0�()��04

���������������������������������������������4�������

����4���-���

��*��.��+

46�

�����-��/0�()��04�*��0 +5

�����-��/0�()��04�*���))//005+

�����-��54��34��/

"��������� ������������������������������4�������;�54��34��/�

�� $��������� ���������������������������������4������ �����������������

�����������������������0��:���������� ������������������������0� ���

������������������� �������������������0��"������������������� ����� ��

���� ���������������������������������0�

��0��-���

��*��.��+

�06�

�������-��/0�()��04�*��0 +4

�������-��/0�()��04�*�� 0(// �5+

�������-��4��4 /�03

��0��-�� �6��

�0

�������-���00�()��04�6�4��4 /�03

�������-��5�3�3�0(

%����������������������0�*��0+��������������� ���������������������������

���4������������

��0�������-�� G�@�����

�������-��

�00

��0

�����������-��

�00

5�3�3�0(

�������� ��� ���������������� 139

�����������-��5�3�3�0(

�����������-���5(��)5

"������������������������������������4�������;��5(��)5�00�

�� A� ������������� ������������������ �;���000�000�00�����������������������������

�����������#������0���������������� ���������������)G��� ������

�� 2�����;�3�000�000�00����������������������� ��������������� � ������ ������

�0�������������� �������������;�/�300�000�00��%� ������ �����������������<

� ����������������������������������3������������������������������������

)G��� ��������������� "��������� �� �������������;����30�000�00���� ����������

�#�����<

(� 2������������������ ����������� ������3� �������������������������

� G���

�����������������������������������������������������������(G��� �����������

)� ��������� ��������� �� ������������� �;�/�3� �400�00��%� ���������� �����

�#���������������� �� �����<

3� ������������ ������ �;��3�000�000�00��������������(G����������������������������

E������������ ���� ������������������

)� �������������� ������ �;��3�000�000�00� ������������ � ������� �������� �������

%��� ���� �������������;���0�000�00��%� ������ ������������ ����������� �� ����� ����

������������� ����������� G��� �����<

/� �������������� ������ �;��0�000�000�00� ����������������������0� �������� �������

���������� ���������� � ������� �� ������ ������������������ ����� 3G��� � �����

1������������ � ����������������������������������������� ������������5�

�� %� ���������&� ���� �������

�� :���� �����%� ������ �������

%� ����������

����

���������������� ������ ���������������� �������-��

��6��

��6������

������ ������� ��������� �������� �������������� ��������� ����� �� �� �� ����

�� ������

�� ;��������������%� ������ �������

"������� �������������� �������� �����������������������������������

���-���.�*��6��+�

Latihan 3.9

Rangkuman

������������� !� �"�����#$$�%�������140

�� &� ���� �������

"���������

����

������� ��������� ������ ��������������

��.��

��.��

�.��������������� ��

� ���������"������� �������������� �������� ��������������������� ������

�������������� ���������

( )[ ]� �

� � �+ −

�� %� ���������&� ���>���� �

�� :���� �����%� �����>���� �

%� ����������

����

���������������� ���������� ���������� �������-�

� −�����������

������������������������ ������������ �� ��������� ������� �� �� ���������� �

�� ������

�� ;��������������%� �����>���� �

"������� �������������� �������� ������� ����������������������������

���-���

��6��

�� &� ���>���� �

"���������

����

������� ��������� ���������� ��������

��.��

��.���

�.���������������� ��

����� ���"������� �������������� �������� ������� �������������� ������

�������������� ��������

( )−=

� �

�� &� �������� �����������

��� ��������� �������� ���������������F� ���������J�J�H��������������

������

�∞ =

� '����������

� �

���

��

� � � �

== + + +∑

(� ��!�����!���'������ ����

��

.

=∑ �-��.

��

��

=∑ �-�

� �

=∑

�� ( )�

� +�

=+∑ �-�

� �

� �

� �

� �

� +

= =+∑ ∑

�������� ��� ���������������� 141

Math Info

3� : ������ =�������2��������

2������������ ����� ������ �� ����������� ������ ������� ��������� ��������$����

���������������� ����� ���������� �������������������������������������

�� �����

�� &����������������� ���������-���

��� &���������� ��������������� ���������-������������������������� ���������

���� ���������-���.���

%���������������������������������� �������������

���� �� ������3�5���� 2��6�� ��������� 0�7����

.�������� 8������ ��� 2�������� �������

������������� ���������� �������1�������!����7

� �������� ������ ������������ �������!�����

����� ������ �������������F� ������� ��������9���

:�������������������� ��!�����!��� �� �� �� ��� !�����

������������������ ������ ������� ����������� ����

������� ��� �� �� ���� �������������� �� ����� ������

����� ���� ���� �� �� �������������� ��� ���� ����� ��

������� �� ����:��������� ������ ��� ���� �����

������������ �� ���� =�� ���� ������������ �������

��F������� ����� ����������� �����������������

�������������������������������������������

���������������� ���� ����

��������5��"����6����������

���� ����������%��������

������������� !� �"�����#$$�%�������142

�� ������ �������� �� ����� ��������������� �� ��� � � �� ��

� ������� ������ ��������� ���� �

�� &�������� ���������������� ���������� �����������7��-���

�.�3����������)��� �

�� ������� ���������������� �

�� �� &� �3

%� �/ P� 0

A� �5

�� "������������ ������ ������������������������ ���������-�3������������-�6 �

������������5��� ���� ������ ���������� �����������������

�� 6�) &� 6�0

%� 6�( P� 6/

A� 6��

� &���������� ������ ���������������73�-�� �����7

�0�-� ��'������������ ���

����������� ���� ������ ���������� ���������������� �

�� (�����6 &� 6 �����(

%� 6(����� P� �����6(

A� (�����

(� &���������� ������ ��������������� ������� ������� ���������������� -

���6������������5��� ���� ������� �����������������

�� �0 &� 5

%� � P� ((

A� 3�

3� &���������� ������ ���������������75�-�3�����7

�-�6�0��'������������ ���

�� ������� ���������������� �

�� 6�5 &� 6��

%� 6�/ P� 6�0

A� 6�)

)� 1����������������������� ������ �������������������������������������

����������������������� �������������)5����������������� ������������� ����

�������������� �����������������

�� �0 &� 3

%� 5 P�

A� )

/� "���� ������� ���������� ���������� �������� �������������)�������(5)�����

������� ������ ������� ���������������� �

�� ) &�

%� 3 P� �

A� (

Uji Kompetensi

�������� ��� ���������������� 143

5� 1������������������ ������������������� ������ ���������� ���������� ��

"���������������������� ��������������������������������������������� �����

��)�������������������� ���� ���������� �����������������

�� 4 &�

%� ) P� �

A� (

4� 1����������������6� ����6�����������.������������������������ ������ �������

�� ���������� ���"��������������� ������ ���� ������� ���������������� �

�� 5� &� ���

%� 4 P� �5�

A� �

�0� ��������#������������������������������������������������������ �����

�������������%������� ������������;��0�000�00��������������;����000�00

�������������;��(�000�00������ � ���� ������� "���� �������������� ��������0

�����������������������������

�� ;��5�000�00 &� ;��50�000�00

%� ;� 5�000�00 P� ;� 50�000�00

A� ;��40�000�00

��� "���������������#��-0��-

���-

���������-

����������������������������� F���M���N�������

��� �����-�-0�H�-

��H�-

��H�����H�-

��-���������������� �� ( )�

� �

- - −=

−∑ ������������

�� ��.�� &� ��6��

%� � P� ��6��

A� �

��� '������� ���� ����

=∑ �-�

� � �

���

+ + + ������������

��

&� �

%�

�P�

A�

� � ������ �� ������� ������� ������������� ����������� ����� ����

�� ������ ������� ��000�������������������� ������� ������� �� �����

��������� � ���������� ������ � �0G�� %��������� � ������� �� ������

�� ��������������������0�������������������������������

�� ��000�O�*���+�0

&� ��000�O�*���+4

%� ��000�O�*��0�+�0

P� �0�000

A� ��000�0

�(� &���������� �������� �����.�*�-�6�3+�.�*�-�6�3+��.������

'�����-��������������� ��� ����� ���������F� ���������������

�� ��H�-�H� &� (�H�-�H�)

%� ��H�-�H�� P� 6 �H�-�H�6�

A� 6)�H�-�H�6(

������������� !� �"�����#$$�%�������144

�3� 2����������� �;��00�000�000�00�����F��������������������� ������������

������ �5G��� �������'�������� �������� ��������������0������������ � ���

�����

�� *�00�000�000�O���05+4

&� *�00�000�000�O���05+�0

%� �00�000�000�O�*��05+4

P� �00�000�000�O�*��05+�0

A� �00�000�000�O�*��05+��

�� ������ ������� � �� ����� ������!"���� ����� �� �� �#

� �� �� �� ��� ��

�)� ������������������ ������������ �����7��-�3�

�.� �

��.����6�(��>������������

��������������������������,-.�������������������

�� �������������������������00��� ���� ������� �����

�� ������00� ������� ������ ���� ����� �� �����

�/� &���������� ������ ���������������������� ��������������������0������

6�)��1��������

�� ��������������������� ���� ������� �����

�� ������� ������� ������ ���� ����� �� �����

�5� 1��������������� �� ��������� �����

�� ( )�0�

� 3

� �

=+ +∑ �� ( ) ( )

�0

� �

8 - 8 - −=

⎡ ⎤−∑ ⎣ ⎦

�4� �����������F��������������������� �;��00�000�000�00�������������������

����������� ������������������� "����������������� ����������

������ ��0G��� ��������� ���������� ��������������0�����<

�0� :������������������ ������ �;�30�000�000�00���� �������������������

���������������������������������� ������������� 0�����������������������

�� ��������������� ��������������

�� G ��� �������

�� 1������������ ��������� �������������

�� 1������������ ������ �������0�

�� %������ ������ ������������ ��� �� �����������������������������

�������������������������.�������,-.���

�� 2������ �������������,����� ������ �;��00�000�00��2������ ������ �����

����������������������������������;��0�000�00�����������������������

�G��� � �������� �� ����� ������������ %� ���� ����� ������ ����������� ���

��������������� �����<

�� ������3��������� �� ����� ���� ��������������8����&������ ��������� ��

����� ��� :���� ����� �� ��� � �����������������(� ������ ���������� ����

������� ��������������� ������������

(� � ������%� ������ �������������

8����&�����������������(<

Soal Analisis

�������� ��� ���������������� 145

���*���

'�� ����������������������������������������������������� 1������ ������������������������������������������������������������

8���� ���Q== 2��� ��:���� ���%� ���������&� ��

8������ ����������������������������������������������������� ������ �����*���+

8������� ���2������������������������������� ������ �������

1����� ���2���������� ���������������� ������ �������

� ����� �������� 7���������

�� 1���� �!������������������5/3�� (� �������������

�� 2��� �� 3� %���� �������

� >������

� !����9����

�� %��������������������� �� ���� ��(������3����#��

�� 1��������������������������0��������������������������� ������ ��������

� ������������������������������������������ ������ ���� ���� ��������

(� :� �������������� ����� �����������0����������� ���� �������� ������� ���

�� �� �� ����� � ��������

3� $������������������� �������������������������������� ������������� �

! �����

�� &� ��������� ��������������� ������������� ���� ������ ���������������<

�� %� ���������������������������0���������<

Aktivitas Proyek

������������� !� �"�����#$$�%�������146

������ 1������.���

:� ����������� ������#�� ����

%��� ������� ��������������������� ������� �����������������*����.��1����+��� ����� �

�� �������� �������4����� ������� ������������������������������������������������

��� ����� ���� ���� ������������������������������3�

$����� ���� � ������ ������ �� ���������������������������� ����� ���������

������������ ����� �������� �����������������&�������� ������� �������� �����������

����������� ������� ��������%���������������������������������������������������������

�������������������������������� ����������"���������� ������������������� �������

���������������������������������&����������������� ������ ���������*��-�����

-�������������������������+�

��-�

����*��.��

�+

"��������*��.��

�+������������������� ������������� ���

���������� ������� �������������

8� ���������������������� ��������������� �����������������������������������������

�����

����

( )� ���

� �

+�-� ( )��

� �+

&������ ���� ������������������������� ����� ������������ ��� �� ��� ����

��� ������� ��������� ���������������������������� ������� ��������������������

�� ���������������������������� �����������������

���� ������������������������ ������� �������� �����(��� �����

5�������������������)

���������3���������/

(���������4����������

�) ���������

����������0 �����5

�4

�����������3 ������

Teka-Teki Matematika

9�������7�������7�������������5 147

�� ������ �������� �� ����� ������$"������� �� ��� � � �� ��� ����

��� ������ ������ ��� ���� �

�� &���������� ��������������� �����

� � � �

� � � � ���

� 3 �0 �/

;���������������� ���� ������� �����������������

��

��+ &� �

�� −

%�

�+ P� �

� +

A� �

�� +

�� ;���������������� ���� ������6���(��65���)�����������������

�� *6�+�

&� *�+�

%� *6�+��6��

P� 6��

A� *�+6�

� &�������� ���������������� ���������� �����������7��-� �

�.�3�����������0��� �

�� ������� ���������������� �

�� �� &� �3

%� �/ P� 3

A� �5

(� "������������ ������ ������������������������ ���������������-�5������������

��-� ������������������� ���� ������ ���������� �����������������

�� (� &� �0

%� ) P� �5

A�

3� &���������� ������ ���������������73�-�� �����7

�0�-� ��'������������ �������

������� ���� ������ ���������� ���������������� �

�� (�����6 &� 6 �����(

%� 6(����� P� �����6(

A� (�����

)� &���������� ������ ����������������������������� ����������������-� �

��6���

��������5��� ���� ������� �����������������

�� �0 &� 5

%� � P� ((

A� )

Latihan Ulangan Umum Semester 2

������������� !� �"�����#$$�%�������148

/� &���������� ������ �����������������������/�������(�����������������������5�

������� ��������������� ���� ������� �����������������

�� 63����� &� 6 ������)

%� 6������ P� 6 5�����)

A� �����6�

5� ������������ ���� �������� ������������������������������������������"�����

��I��00�

���������������������������������������������

�� ) &� 4

%� / P� �0

A� 5

4� $�������������������������������6� ����6�����������.����������������������� ���

�� ���� ���������� ���������������� ���� ���������� ���� �����������������

�� 6� &� 5�

%� ( P� �(

A� 4

�0� ������������������������ �%��������������� �������������������������

%������������

�� ��������� ������$� �%�������� ���������������������

�� (0 &� �3

%� 3 P� �0

A� 0

��� &� ���������� ������ �������������������������(�������/��������������0������

�3�����������3��� ������ �����������������������

�� ( &� /

%� (0 P� )

A� 4

��� "������������� ������������ ���� �����������������-��

��6��������������0��� �

�� ����� �����������������

�� �3 &� )

%� �) P� 50

A� �/

� � ���������� ������ ��������� ������������������ ������ �� ����� � ��������� "���� ����

� �������(0������������������������������ ���������������������

�� 5 &� �(

%� �) P� �

A� �0

�(� :���������(�.�/�.��0�.������.��3�����������������������������������������������

�� ( )/

0

=+∑ &� ( )

5

=+∑

%� ( )5

0

=+∑ P� ( )

/

0

(

=−∑

A� ( )/

0

3 �

=+∑

9�������7�������7�������������5 149

�3� "������-�-0�H�-

��H�-

��H�����H�-

��-���������������� �� ( )�

� �

- - −=

−∑ ������������

�� ��.�� &� ��6��

%� ��6�� P� �

A� �

�)� '������� �� ( )�

=−∑ ������������

�� �* ����+ &� * ��6��+

%�

( ) �

� �−P�

�−

A� �*��.��+

�/� "�������������

=∑ �-�-�����

3

=∑ �-�/������ ( )

� �

=−∑ �-������

�� �-�6�/ &� -�6�/

%� �-�6��/ P� ��-�6��/

A� -�6��/

�5� ����������������� ��� �������������������������������������� ����������������

������ ��G��� ������������������������������3����������� �������� ����������

������������

�� 3� &� �0�

%� )� P� ���

A� 5�

�4� %������������������ �;���000�000�00�����������������������������������G

�� �������� ����������������������;���000�000�00���� ����� �����������������

�������������� ��G��� ��������������������������� � ���������%���� � ���� � ��������

����

�� ��������� ��� � &� ������������� �

%� ���������� P�

�����

A� ������

�0� '������� ���� ����� � �

� ���

4 �/

+ + + + ������������

��

&� �

%�

�P�

A�

������������� !� �"�����#$$�%�������150

��� "������ ����*6�+�.���.�*6�+�.���.�����.�*6�+�������������

�� ��������������� &� ����������������

%� 6��������������� P� 6����������������

A� 0���������������

��� "���� ( )��

3

� 3

=−∑ ����������������������#�����������������������������

�� ( )5

� �

=−∑ &� ( )

/

� �

=−∑

%� ( )5

=−∑ P� ( )

/

=−∑

A� ( )/

=−∑

� � �������� ��������� ������� ��000� ��������� ��������� ������� �����������

������� ������� �� ���������������� ���������� ������ � �00� ������� �� ����

%���������� ���������������������0���������������������� ���

�� ��000 &� ��500

%� ���00 P� �000

A� ��(00

�(� 1����������#����������;�RS����������������������� ������ �;��00�000�00��%���

�� ��������� ����������������� ������ � �G���������������:������� ������

���5������������;�RS����������%��� ������;�RS�������������

�� ;���)�3/��00 &� ;���4�/ /�00

%� ;���0�5�)�00 P� ;�� (� ��00

A� ;���3�� ��00

�3� 1��������������������������� ���������� ������������������ 0��"��������

�� �������������������������������������������������������������(0�����

������������������ �����������������

�� �0�� 0������40 &� 6�0��(0��������0

%� �0��30������/0 P� 6�0��(0�������00

A� 6�0��30������40

�)� 1���� ����������������������� ���������� �� ����� �������� ������� ����

���������)����������3��� ������� �����������������

�� (� &� 5(

%� (5 P� 4)

A� /�

�/� "���������������#��-0��-

���-

��� ���� ��-

�� ������ ����������������� ���� F��� M���N�������

��� �����-�-0�H�-

��H�-

��H�����H�-

��-����'������� �� ( ) ( )�

� - � - −=

⎡ ⎤−∑ ⎣ ⎦ ������������

�� �*�+�.��*�+ &� �*�+�6��*�+

%� �*�+ P� �*�+�6��*�+

A� �*�+

9�������7�������7�������������5 151

�5� '������� ���� ����

/�

=∑ �-�

� � �

���

/ / /

+ + + �������������

��

/&� �

%�

)P� /

A�

)

/

�4� &���������� �������� �����.�*3-�6�(+�.�*3-�6�(+��.������

'�����-��������������� ��� ����� ���������F� ���������������

��

3

-< < &� ��H�-�H�

%�

3

-− < < P� �H�-�H�3

A�

0

3

-< <

0� 2����������� �;��00�000�000�00�����F��������������������� �������������������

3G��� �������'�������� �������� ��������������������������������� �����

�� *�00�000�000�O���03+��

&� *�00�000�000�O���05+��

%� �00�000�000�O�*��03+��

P� �00�000�000�O�*��05+��

A� �00�000�000�O�*��03+�

�� ������ ������$�� �� ����� ������%"���� ����� �� �� �#� �� �

� �� ��� ��

�� "������������� ������������ ���� ������������������-���

��6����1��������

�� ����������������

�� ������� ����� �� �����

�� ��������(��� ����� �� �����

�� "���������������������������� �������� ������������"�����

��-��30���

��.���-��)0�����

���.��

�-��)3����������� ������� ����� ������

� "���������������� ������ ���� ������������������������������������������50�

"���������������� ���� ������������������!�����������

�� ������� ���

�� ����

�� ������0�������� ������ ��� �� �����

(� E���������������� ��

��

3

3

� ��

�=−∑

+

��

=∑

− +

��0�0

�� � �

������������� !� �"�����#$$�%�������152

3� &����������������������������������������������#��

4��6��

��������������/�����������������������������

)� 2������;�30�000�000�00����������������������� ��������������� �������������

�0������������� �������������;�)0�000�000�00��%� ������ �����������������<

/� %���������F��������������� ������ � ;��00�000�000�00� ��� ������ ����� ����

������������������������������"����������������� �����������������

5G��� ��������� ���������� ���������������������<

5� %����������������������� �;��3�000�000�00��������������������������������

��������������� ���������� ������� ������ )�������� ������������������ �������

������� ��������������/3�G��� �������

�� 1������������ ��������� �������������

�� 1������������ ������ �������0�

�� %������ ������ ������������ ��� �� ������������������������������ ��������

����������������.�������,-.���

4� �������������������� �;��3�000�000�00������������� ���������������� �������

%��� ���� ����� ��������;�3�5�000�00��%� ������ ������������ ����������� �� ����

������������������ �������������/3�G��� �����<

(0� �������������������� �;�30�000�000�00����������������������(5�����������������

���������� ���������� ����������������������������������� �����5G��� ������

1������������ � ����������������������������������������� ���������������