Bab dedfsafsafsfafsafsafsasdffdsdfsa

7/28/2019 Bab dedfsafsafsfafsafsafsasdffdsdfsa

1/79

DND-2006

http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif
http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gifhttp://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gifhttp://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gifhttp://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif


2/79

DND-2006

Apakah astrofisika itu ?

Penerapan ilmu fisika pada alam semesta/benda-benda langit

Informasi yang diterima Cahaya (gelombangelektromagnet)

Pancaran gelombang elektromagnet dapat dibagi dalambeberapa jenis, bergantung pada panjang gelombangnya()1. Pancaran gelombang radio, dengan antara

beberapa milimeter sampai 20 meter2. Pancaran gelombang inframerah, dengan 7500

hingga sekitar 1 mm (1 = 1 Angstrom = 10-8 cm)
http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif


3/79

DND-2006

3. Pancaran gelombang optik atau pancaran kasatmata

dengan sekitar 3 800 sampai 7 500

merah oranye : 6 000 6 300

oranye

: 5 900

6 000 kuning : 5 700 5 900 kuning hijau : 5 500 5 700 hijau : 5 100 5 500 hijau biru : 4 800 5 100 biru : 4 500 4 800 biru ungu : 4 200 4 500 ungu : 3 800 4 200

Panjang gelombang optik terbagi dlm beraneka warna: merah : 6 300 7 500


4/79

DND-2006

4. Pancaran gelombang ultraviolet, sinar X dan sinar

mempunyai < 3 500

http://www.astro.uiuc.edu/~kaler/sow/spectra.html

Pancaran gelombang elektromagnet mulai dari sinarGamma sampai dengan pancaran radio
http://www.astro.uiuc.edu/~kaler/sow/spectra.htmlhttp://www.astro.uiuc.edu/~kaler/sow/spectra.html


5/79

DND-2006

Ketingg

ian

Sinar-X Sinar GammaUV

KasatMataInfra-merahGel.MikroRadio

Permukaan Laut

ozon (O3)

molekul (H2O, CO2)

molekul ,atom, inti atom

teleskop optik

satelit balon, satelitbalon, satelitteleskop radio

http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.html

Jendela Optik

Jendela Radio

Pancaran gelombang yang dapat menembus atmosfer Bumi adalahpanjang gelombang kasatmata dan panjang gelombang radio
http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.htmlhttp://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.html


6/79

DND-2006

Dengan mengamati pancaran gelombang elektromagnet

kita dapat mempelajari beberapa hal yaitu, Arah pancaran. Dari pengamatan kita dapat meng-

amati letak dan gerak benda yang memancarkannya

Kuantitas pancaran. Kita bisa mengukur kuat atau ke-

cerahan pancaran Kualitas pancaran. Dalam hal ini kita bisa mempe-

lajari warna, spektrum maupun polarisasinya


7/79DND-2006


8/79DND-2006

Buah durian jatuh

ke bumi

Antara durian dan

bumi terjadi gayatarik gravitasi

Bulan bergerak

mengedari bumi

Antara bumi dan

bulan terjadi gayatarik gravitasi

Hukum Gravitasi Newton

Sebagai hukum yang mengaturgerak dalam alam semesta

Apakah adakesamaan

?

ada !


9/79DND-2006

F F

Menurut Newton,Antara dua benda yang massanya masing-masing m1 dan m2 dan jarak antara

keduanya adalah dakan terjadi gaya tarik

gravitasi yang besarnya,

dG = tetapan gravitasi

= 6,67 x 10-8 dyne cm2/g2

bersifat tarik menarik

gayam1 m2

Hukum Gravitasi Newton

. . . . . . . . . (1-1)G m1m2F= d2

Sir Isaac Newton(1643 1727)
http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_newton


10/79

DND-2006

Menentukan massa Bumi

Semua benda yang dijatuhkan dekat permukaan Bumiakan bergerak dengan percepatan g= 980,6 cm/s2

Jadi pada benda akan bekerja gaya sebesar,

F=m

g percepatanmassa bendagaya gravitasi

Dari persamaan (1-1) :

. . . . . . . . . . . . . . . . . (1-2)

. . . . . . . (1-3)

radius Bumi

massa Bumi

G m1m2F=

d2F=

G Mm

R2


11/79

DND-2006

Dari pers. (1-2) :

R2

G Mg=dan pers. (1-3) :

F= mg

G MmF= R

2. . . (1-4)

Radius bumi di ekuator : a = 6378,2 km

Radius bumi di kutub : b = 6356,8 km

ab

R

Jika bumi berbentuk bundar sempurna makavolume Bumi adalah,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-5)

. . . . . . . . . (1-6)

4

3Volume bumi = (a2b)

4

3V = R3


12/79

DND-2006

Dari pers. (1-5) :

= 6371,1 km = 6,37 x 108 cm

R

= (a2b)1/3

4

3V = (a2b)

4 3

V = R3Dari pers. (1-6) :

R = [(6378,2 )2

(6356,8)]1/3

Radius bumi rata rata :

Masukan harga g, G dan R ke pers (1-4) :

G

g R2

M =(980,6)(6,37 x 108)2

(6,67 x 10-8)= = 5,98 x 1027 gr

R2

G Mg=

diperoleh,


13/79

DND-2006

Dari pers. (1-6) :

dan massa jenis bumi rata-rata adalah,

M

V = =

5,98 x 1027

1,08 x 1027= 5,52 gr/cm3

V = (6,37 x 108)3

4

3= 1,08 x 1027 cm3

diperoleh volume Bumi,

4

3V = R

3


14/79

DND-2006

Gerak Bulan Mengedari Bumi

Mengikuti hukumNewtonBumiBulan

Karena M 1/100 M, maka massa bulan dapatdiabaikan. Percepatan bulan terhadap bumi adalah,

da

vjarak Bumi - Bulan

. . . . . . . . . . . . . (1-7)d2

G Ma =


15/79

DND-2006

Apabila periode orbit Bulan mengelilingi bumi adalah Pmaka,

Andaikan orbit Bulan berupa lingkaran dengan radius d,

dan dengan kecepatan melingkar v yang tetap, makapercepatan sentripetal yang dialami Bulan adalah,

a = v2/d . . . . . . . . . . . . . . . (1-8)

Subtitusikan pers. (1-8), ke pers. (1-7) :d2

G M

a =

G M

d=

d2

v2diperoleh, . . . . . . . . . . . . . . . (1-9)

. . . . . . . . . . . . . . . (1-10)P

2dv=


16/79

DND-2006

Selanjutnya subtitusikan pers.(1-9) :

ke pers. (1-10) :

diperoleh, . . . . . . . . . . . . . (1-11)

d2

G M

d=

v2

P2d

v=

d3

P2

G M

42

=

Dari pengamatan diketahui bahwa periode Bulanmengelilingi Bumi adalah,

P= 27,3 hari = 2,36 x 106 detik

Jarak Bumi-Bulan adalah,

d= 384 000 km = 3,84 x 1010 cm


17/79

DND-2006

Apabila periode bulan dan jarak bumi bulan dimasukan

ke pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,M 6,02 x 1027 gr

Hasil ini hampir sama dengan yang ditentukanberdasarkan benda yang jatuh dipermukaan Bumi, yaitu

M 5,98 x 1027 gr

Buah durian jatuh ke bumi

Bulan bergerak mengedari bumi

Kesimpulan :

Disebabkan oleh gaya yangsama yaitu gaya gravitasi


18/79

DND-2006

Dari pers (1-7) dapat ditentukan percepatan Bulanterhadap Bumi akibat gaya gravitasi yaitu,

jarak Bumi Bulan = 3,84 x 1010 cm

Percepatan Bulan terhadap Bumi

(6,67 x 10-8)(5,97 x 1027)

(3,84 x 1010)d2a = = = 0,27 cm/s2

G M


19/79

DND-2006

Massa bulan = 0,0123 kali massa Bumi

Dengan menggunakan persamaan (1-4) untuk Bulan,maka gaya gravitasi dipermukaan Bulan dapat

ditentukan yaitu,massa bulan

radius bulan

= 0,17 kali gaya gravitasi dipermukaan Bumi

Diameter Bulan = 0,27 kali diameter Bumi

Gaya gravitasi di permukaan Bulan

G M

R2

g=

= 165,72 cm/s2(6,67 x 10-8

)( 0,0123 x 5,98 x 1027

)g= (0,27 x 6,37 x 108)2


20/79

DND-2006

ObjekMassa

(Bumi = 1)Diameter(Bumi = 1)

Gravitasi(Bumi = 1)

Bulan 0,0123 0,27 0,17

Venus 0,81 0,95 0,91

Mars 0,11 0,53 0,38

Jupiter 317,9 11,20 2,54

Matahari 333 000 109,00 28,10

Gaya gravitasi di permukaan beberapa benda langit


21/79

DND-2006

Berat benda di permukaan Bumi

massa benda

Contoh :

Berat sebuah benda di permukaan Bumi adalah 100 N,berapakah berat benda tersebut pada ketinggian 25 000km di atas permukaan bumi ?

berat benda (gaya gravitasi yangdirasakan oleh benda) weight

G Mm

R2

W=

Berat benda di permukaan bumi dapat ditentukandengan menggunakan persamaan berikut,


22/79

DND-2006

Misalkan berat benda di permukaan bumi adalah W1 =100 N, maka

Apabila W2 adalah berat benda pada ketinggian 25 000km (= 2,5 x 109 cm) di atas permukaan bumi, maka

Jawab :

. . . . . . . . . . . . . . . . ()W1 =G Mm

R2

(R+ 2,5 x 109)2W

2=

G Mm . . . . . . . . . . . . ()


23/79

DND-2006

Jika harga R= 6,37 x 108cm, dan harga W1 = 100 Ndimasukan ke pers () maka akan diperoleh,

Dari pers () dan () diperoleh,

(R + 2,5 x 109)2

W2 =W1R

2

(6,37 x 108 + 2,5 x 109)2

W2 =(100)(6,37 x 108) 2

4 N

. . . . . . . . . . . . . . ()


24/79

DND-2006

Hukum Kuadrat Kebalikan

Untuk menentukan besarnya gravitasi di suatu tempatdapat kita gunakan hukum kuadrat kebalikan

F= - mg

Dari pers. (1-1) :

Dari pers. (1-2) :

. . . . . . . (1-12)

G mMF=

d 2d2

G Mg=

d12

G Mg1 =

d22

G Mg2 =

d1

g2 = d2g1

2Untuk g1 :

Untuk g2 :


25/79

DND-2006

Contoh :

1. Percepatan gravitasi dipermukaan bumi (di permuka-an laut) adalah 980 cm/s2. Tentukanlah percepatan diketinggian 25 000 km di atas permukaan Bumi.

Jawab :

g1 = gravitasi dipermukaan bumi = 980 cm/s2

d2

d1g2 = g1

2

d1 = radius bumi= R= 6,37 x 108 cm

Misalkan g2 adalah gravitasi pada ketinggian 25 000km, maka

d2 = R+ 25 000 km = 3,14 x 109 cm


26/79

DND-2006

Jadi,

d1

d2g

2= g

1

2

3,14 x 109

6,37 x 108= (980)

2

= 40,41 cm/s2

2. Pesawat ruang angkasa Galileo berada pada jarak100 000 km dari pusat planet Jupiter, sedangkanpesawat pengorbitnya berada pada ketinggian 300000 km. Tentukanlah besarnya percepatan gravitasipesawat ruang angkasa Galileo dinyatakan dalampercepatan gravitasi pengorbitnya.


27/79

DND-2006

Jawab :

Misalkan :g1 = percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo

d1 = ketinggian pesawat ruang angkasa Galileo= 100 000 km

g2 = percepatan gravitasi pesawat pengorbit

d2 = ketinggian pesawat pengorbit = 300 000 km

d1

d2g1 = g2

2

100 000

300 000= g2

2

= 9 g2maka


28/79

DND-2006

Satuan Gaya

F= mg

Jika massa (m) dinyatakan dalam kg dan percepatan (g)dinyatakan dalam m/s2, maka gaya (F) dinyatakandalam,

F= (kg)(m/s2) = kg m/s2 = Newton (N)

Jika massa (m) dinyatakan dalam gr dan percepatan (g)

dinyatakan dalam cm/s2, maka gaya (F) dinyatakan

dalam,F= (gr)(cm/s2) = gr cm/s2 = dyne

1 Newton = 105 dyne

Dari pers. (1-2) :


29/79

DND-2006

Massa sebuah benda adalah 75 kg, berapakah gayayang dirasakan oleh benda tersebut (berat benda) dipermukaan Bumi, Bulan dan Planet Jupiter ?

Jawab : F= mg

gdi Bumi = 9,8 m/s2

gdi Bulan = 0,17 x gdi Bumi = 0,17 x 9,8 = 1,67 m/s2

gdi Jupiter = 2,54 x gdi Bumi = 2,54 x 9,8 = 24,89 m/s2

Jadi :

Fdi Bumi = (75)(9,8) = 735 kg m/s2 = 735 N

Contoh :

Fdi Bulan = (75)(1,67) = 125,25 kg m/s2 = 125,25 N

Fdi Jupiter = (75)(24,89) = 1 866,75 kg m/s2= 1 866,75 N


30/79

DND-2006

m2(x2, y2, z2)

m1(x1, y1, z1)

Tinjau dua benda dengan massa benda kesatu adalahm1 dan massa benda kedua adalah m2.

Berdasarkan Hukum Newton,pada benda ke-1 akan bekerjagaya :

m1 = Gd

2

rdt2

m1m2r2

x

y

z

. . (1-13)

r

Koordinat kartesius kedua benda masing-masing adalah(x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) dan jarak kedua benda adalah r

Hukum Gerak Dua Benda


31/79

DND-2006

d2x1m1 = Gm1m2

dt2

x1x2

r3. . . . . (1-14a)

d2y1m1 = Gm1m2dt2

y1y2

r3 . . . . . (1-14b)

d2z1m1 = Gm1m2

dt2

z1z2

r3. . . . . (1-14c)

Gaya ini dapat diuraikan dalam komponen arah sumbu

x, y, dan z, yaitu :


32/79

DND-2006

dalam arahx, y, z, diperoleh :

d2x2m2 = Gm1m2

dt2

x2x1r3

. . . . . . (1-16a)

d2y3m2 = Gm1m2

dt2

y2y1

r3

. . . . . . (1-16b)

d2z2m2 = Gm1m2

dt2

z2z1

r3. . . . . . (1-16c)

Hal yang sama juga berlaku untuk benda kedua, yaitu

dengan menguraikan gaya :m2 = G

d2r

dt2

m1m2

r2. . . . . . . . . . (1-15)


33/79

DND-2006

Keenam persamaan diferensial tersebut merupakan

persamaan gerak benda.

kedudukan benda setiap saat dapat ditentukan.

Jika keenam persamaan diferensial tersebut dapatdipecahkan, koordinat kedua benda (x1,y1,z1) dan(x2,y2,z2) sebagai fungsi waktu tdapat ditentukan.

Keenam persamaan gerak benda di atas adalahpersamaan diferensial orde ke-2,

terdapat 12 tetapan integrasi.


34/79

DND-2006

Ke-12 tetapan integrasi tersebut, dapat ditentukan dari

dari keadaan awal kedua benda tersebut yaitu, 6 koordinat kedudukan awal (3 koordinatx, y, zuntuk

masing-masing benda yaitux1, y1, z1 danx2, y2, z2)

6 komponen kecepatan awal (3 komponen untuk

masing-masing benda, yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2,z2).


35/79

DND-2006

tiga koordinat kedudukan awal tiga komponen kecepatan awal benda yang

bergerak

m1

m2(x, y, z)

xy

z

Sekarang dapat dituliskan :

x=x2x1 . . . . . . . . . (1-17a)

y= y2y1 . . . . . . . . . (1-17b)

z= z2z1 . . . . . . . . . (1-17c)

dan definisikan,

M= m1 + m2 . . . . . . . . . (1-18)

Persoalan ini dapat disederhanakan dengan meng-

anggap benda pertama diam dan dianggap sebagaipusat koordinat Jadi sekarang hanya diperlukan enam tetapan, yaitu


36/79

DND-2006

Dengan menggunakan definisi (1-17) dan (1-18) padapers. (1-14a) dan (1-16a), diperoleh

. . . . . . . . . . (1-19a)

Dengan cara yang sama diperoleh komponen padaarah ydan z, yaitu

. . . . . . . . . . (1-19b)

d2z= GM

dt2

z

r3. . . . . . . . . . (1-19c)

d2x= GM

dt2

x

r3

d2y= GM

dt2

y

r3


37/79

DND-2006

x y = 0d2y

dt2d2x

dt2

d2yx = GMdt2

xy

r3

Selanjutnya, kalikan pers. (1-19a) dengan y dan pers.(1-19b) denganxdan kurangkan keduanya.

d2x= GM

dt2

x

r3Pers. (1-19a) :

d2y= GM

dt2

y

r3Pers. (1-19b) :

x y

xx

d2xy = GM

dt2

xy

r3

. . . . . . (1-20)


38/79

DND-2006

Pers. (1-20) dapat dituliskan sebagai,

x y = 0dy

dtdxdt

ddt

. . . . . . . . . . (1-21)

Integrasikan persamaan (1-21), akan diperoleh,

x y = a1

dy

dt

dx

dt. . . . . . . . . . (1-22a)

tetapan integrasi

Dengan cara yang sama diperoleh,

y z = a2dz

dt

dy

dt. . . . . . . . . . (1-22b)

z x = a3dx

dt

dz

dt. . . . . . . . . . . (1-22c)


39/79

DND-2006

Pers. (1-22a) : x zx y = a1dy

dt

dx

dt

Pers. (1-22b) : xxy z = a2dz

dt

dy

dt

Pers. (1-22c) : x yz x = a3dx

dt

dz

dt

Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudianjumlahkan

xz yz = a1zdy

d

t

dx

d

t

xy xz = a2xdz

dt

dy

dt

yz xy = a3ydx

dt

dz

dt


40/79

DND-2006

xz yz = a1zdy

dt

dx

dt

xy xz = a2xdz

dt

dy

dt

yz xy = a3y

dx

dt

dz

dt

Ini adalah persamaan sebuah bidang datar

Orbit benda, terletak pada sebuah bidang datar.

a1z+ a2x + a3y= 0 . . . . . . . . . . . (1-23)+


41/79

DND-2006

Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudianjumlahkan hasilnya

d2y= GM

dt2

y

r3Pers. (1-19b) : x

dy2

dt

2d2x

= GMdt2

xr3

Pers. (1-19a) : xdxdt

d2x= GM

dt2

x

r3dx

2dt

dx2

dt

d2y= GM

dt2

y

r3dy

2dt

dy2

dt

d2z= GMdt2

zr3

Pers. (1-19c) : xdt

dz2

d2z= GM

dt2

z

r3

dz2

dt

dz2

dt


42/79

DND-2006

d2x= GM

dt2

x

r3

dx2

dt

dx2

dtd2y

= GMdt2

y

r3dy

2dt

dy2

dt

d2z

= GM

dt2

z

r3

dz

2 dt

dz2

dt+

2GM

r3x +y + z

dx

dt

dy

dt

dz

dt2 + + =

d2x

dt2

dx

dt

d2y

dt2

dy

dt

d2z

dt2

dz

dt


43/79

DND-2006

2GMr3

x +y + zdxdt

dydt

dzdt

+ + =ddt

dxdt

2 dydt

2 dxdt

2

atau

. . . . . (1-24)

Jarak antara kedua benda dinyatakan oleh,r2 =x2 + y2 + z2

. . . . . . . . . . (1-26)r = x + y + zdxdt

dydt

dzdt

drdt

. . . . . . . . . . . . . (1-25)

Apabila pers. (1-25) diturunkan, akan diperoleh,


44/79

DND-2006

v2 = + +dxdt

2dydt

2dxdt

2

. . . . . . . . . (1-27)

Kecepatan benda dinyatakan oleh,

Subtitusikan pers. (1-26) :

dan (1-27) ke pers. (1-24) :

r = x + y + zdx

dt

dy

dt

dz

dt

dr

dt

2GM

r3x +y + z

dx

dt

dy

dt

dz

dt+ + =

d

dt

dx

dt

2 dy

dt

2 dx

dt

2

diperoleh, 2GM

r2

dr

dt=

dv2

dt. . . . . . . . . . . (1-28)


45/79

DND-2006

Integrasikan pers. (1-28),

v2 = + h2GMr

. . . . . . . . . . . . (1-29)

tetapan integrasi

dt= dv2

dt

2GM

r2

dr

dt 0

v

0

r

diperoleh,

Misalkan energi potensial gravitasi benda kedua adalah

G m2M

rV= . . . . . . . . . . . . (1-30)

dt


46/79

DND-2006

dan energi kinetiknya adalah,

. . . . . . . . . . . . (1-31)T = m2v212

Subtitusikan pers. (1-29) :

T= m2 + h = + m2h12

2GM

r12

Gm2M

r. . (1-32)

ke pers. (1-31), diperoleh

v2 = + h2GM

r


47/79

DND-2006

Pers. (1-30) :

Pers. (1-32) :

Gm

2M

rV=

T= + m2h12

Gm2 M

r

T + V = + m2h 12

Gm2M

rGm2M

r12

= m2h

= h . . . . . . . . . . . . . . . . (1-33)Persamaan ini mengatakan bahwa energi total bendakedua selalu tetap selama mengorbit benda pertama.

+

Jumlahkan pers. (1-30) dengan pers. (1-32),


48/79

DND-2006

Hukum Kepler

I. Orbit planet mengelilingi matahari tidakberbentuk lingkaran tetapi berbentukelips dengan matahari di titik fokusnya

aphelion perihelion

Matahari

PlanetJohannes Kepler(1571 1630)
http://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler


49/79

DND-2006

II. Vektor radius (garis hubung matahari planet) dalamselang waktu yang sama akan menyapu luas daerahyang sama.

MatahariPlanet

d

dt

dt

r

d

dtr2 = c(konstan)

Hukum Luas


50/79

DND-2006

III. Kuadrat periode planet mengitari matahari sebandingdengan pangkat tiga setengah sumbu besar elips

1 Periode = peredaranplanet mulai dari titikAsampai kembali lagi ke

titikA

P2 a3Setengahsumbu panjang

Matahari

Planet a

b

A


51/79

DND-2006

Sebagai penyederhanaan, ambil bidang gerak (bidang

orbit) dalam bidang (x, y).

Hukum Kepler adalah hukum empiris, tapi bisadibuktikan dengan hukum Gravitasi Newton.

Gerak benda hanya ditentukan oleh dua persamaanyang mengandung variabelxdan y, yaitu,

d2x= GMdt2

x

r3Pers. (1-19a) :

d2y= GM

dt2

y

r3Pers. (1-19b) :

dan

Bukti :

Bukti Hukum Kepler


52/79

DND-2006

Sama seperti di bagian yang lalu, persamaan (1.19a)dikalikan dengan y dan persamaan (1.19b) dengan x,kemudian kurangkan, Hasilnya adalah,

Selanjutnya integrasikan pers. (1-21), maka diperoleh :

x y = 0dy

dt

dx

dt

d

dtPers. (1-21) :

x y = cdy

dt

dx

dtPer. (1-22a) :

tetapan integrasi

Langkah selanjutnya adalah, lakukan perkalian berikut,


53/79

DND-2006

d2y= GM

dt2

y

r3Pers. (1-19b) :

dy2

dt

2d2x

= GM

dt2

x

r3

Pers. (1-19a) : dx

d

t

d2x

= GM

dt2

x

r3

dx

2 dt

dx2

dt

d2y= GM

dt2

y

r3dy

2dt

dy2

dt

2GMr3

x +ydxdt

dydt

2 + =d2x

dt2dxdt

d2ydt2

dydt


54/79

DND-2006

atau . . (1-34)d

dt

2GM

r3

x +ydx

dt

dy

dt

+ =dx

dt

2 dy

dt

2

Jarak antara kedua benda adalah,

r2 =x2 + y2 . . . . . . . . . . . . (1-35)

Turunkan persamaan (1.35) diperoleh,r = x + y

dx

dt

dy

dt

dr

dt. . . . . . . . . . . (1-36)

Selanjutnya integrasikan persamaan (1.34),

rdr

d t

d

dt2 x +y

dx

dt

dy

dt+ =

dx

dt

2 dy

dt

2

r3

GM


55/79

DND-2006

diperoleh, + 2 = hdx

dt

2 dy

dt

2

r

GM. . . . . . . . . . (1-37)

tetapan integrasi

Sekarang ubah sistem koordinat kartesius ke sistemkoordinat polar dengan mendefinisikan

x= rcos = cos rsin dxdt

drdt

ddt

y= rsin = sin + rcos dydt

drdt

ddt

Masukkan definisi ini ke persamaan (1-22a),


56/79

DND-2006

x y = cdy

dt

dx

dtPer. (1-22a) :

rcos

= cos - rsin drdt

ddt

rsin

sin + rcos =drdt

ddt

diperoleh r2

= cddt

atau =1dt

1d

cr2

. . . . . . . . . . . (1-39)

. . . . . . . . . . . . . (1-38)


57/79

DND-2006

Dengan cara yang sama kita lakukan ke pers. (1.37),dan hasilnya,

. . . . . . . (1-40)

dengan, = G M . . . . . . . . . . . . (1-41)

+ r2 = + h2r

drdt

2 ddt

2

ke pers. (1-40), diperoleh

Masukan pers. (1-39) : =1dt

1d

cr2

drd

1r4

1r2

2c2 r

2+ = 0

h

c2. . . . . (1-42)


58/79

DND-2006

Jika kita definisikan :

Kemudian dimasukkan ke

u= c2

1r

+ = 0drd

1r4

1r2

2c2 r

2 h

c2Pers. (1-42) :

maka diperoleh, + u2= H2drd2 . . . . . . . . . . . (1-43)

dengan H2 = + =tetapanh

c2

2

c4. . . . . . . (1-44)

Pemecahan persamaan (1-43) adalah :

u = Hcos (- ) .. . . . . . . . . . . (1-45)

tetapan integrasi


59/79

DND-2006

Masukkan harga u (pers. 1-45) dan H (pers. 1-44) kepers. (1-43),

= 1 + 1 + cos ()c2

1r

hc22

+ u2= H2drd

2Pers. (1-43) :

H2 = + = tetapanh

c2

2

c4Pers. (1-44) :

u = Hcos (- )Pers. (1-45) :

diperoleh,

c2

/r=

1 + 1 + cos ()hc22

atau . . . . . (1-47)

. . (1-46)


60/79

DND-2006

Kita didefinisikan :

1/2

e = 1 + hc

c2

p = . . . . . . . . . . . . . (1-48)

. . . . . . . . . . . (1-49)

= () . . . . . . . . . . . . . (1-50)

Jika ketiga pers. ini kita subtitusikan ke

Pers. (1-47) :

akan diperoleh,

c2/r=

1 + 1 + cos ()hc22

1 + e cos

pr= . . . . . . . (1-51)

Persamaan irisan kerucut


61/79

DND-2006

Suatu irisan kerucut dapat berupa lingkaran, elips,parabola atau hiperbola.

Karena elips adalah suatu irisan kerucut, maka hasilini merupakan pembuktian Hukum KeplerI

Dengan demikian, pembuktian Hukum Kepler I

berdasarkan pada persamaan (1-51), yaitu persamaanirisan kerucut.

Parameterp disebut parameter kerucut Parametere disebut eksentrisitas

Parameterdisebut anomali benar

1 + e cos

pr=


62/79

DND-2006

Arti geometri dari parameter ini diperlihatkan padagambar berikut

A

B

m1

m2

a

Garis potong bidang

orbit dan bidang langit

Setengah jarak AB disebut setengah sumbu besar,dituliskan a yang harganya diberikan oleh :

p = a (1 e 2) . . . . . . . . . . . (1-52)

(Apfokus)

(Perifokus)


63/79

DND-2006

Perhatikan :

Benda pusat terletak pada titik fokus orbit Sudut menunjukkan kedudukan titik perifokus

terhadap suatu garis acuan tertentu (dalam hal inigaris potong bidang orbit dengan bidang langit)

A

B

m1

m2

a

Garis potong bidang


(Apfokus)

(Perifokus)


64/79

DND-2006

jika e < 1 orbit berupa elips

1 + e cos

pr=Dari pers. (1-51) :

jika e = 1 orbit berupa parabola

jika e > 1 orbit berupa hiperbola

p = a (1 e 2)karena (pers. 1-52) :

Titik perifokus dicapai apabila = 0o r = a (1 e)

Titik apfokus dicapai apabila = 180o r = a (I + e)

maka,


65/79

DND-2006

Aphelion

Perihelion

Apabila m1 adalah Matahari dan m2 adalah planet, maka

titik terjauh dari Matahari disebut Aphelion

titik terdekat disebut Perihelion

A

B

m1

m2

a

Garis potong bidang



66/79

DND-2006

Apastron

Periastron

Apabila sistem ini adalah sistem bintang ganda denganm

1 adalah bintang ke-1 danm

2 adalah bintang ke-2,maka

titik terjauh dari bintang ke-1 disebut Apastron

titik terdekat disebut Periastron

A

B

m1

m2

a

Garis potong bidang



67/79

DND-2006

Dari persamaan (1-38) :

Jika kedua ruas dikalikan dengan , maka diperoleh :

r2 = cddt

r2 = cd

dt

1

2

1

2

. . . . . . . . . . . . (1-53)

luas segitiga yg disapuoleh vektor radius rdlmwaktu dt

Bukti Hukum Kepler II


68/79

DND-2006

Integrasikan persamaan (1-53) : r2 = cd

dt

1

2

1

2

A = a2 (1 e2)1/2 r2d= c dt12

12

0

P Periode Orbit

Luas elips

Dengan demikian :

c P= a2

(1

e2

)1/2

a2 (1 e2)1/2 = c P12

= 2a3/2 a1/2(1 e2)1/2atau

. . . . . . . (1-54)


69/79

DND-2006

Masukkanp = a (1 e2) ke

c P= 2a3/2

a1/2

(1

e2

)1/2

pers. (1-54) :c P= 2a3/2 p1/2diperoleh, . . . . . . . . . . (1-55)

Selanjutnya masukan pers. p = c2/ ke pers. (1-55),

diperoleh,c P= 2a3/2

c1/2

P= 2a3/211/2

P2= 42a3

Kuadratkan pers. di atas akan diperoleh,

=a3

P2

42. . . (1-56)


70/79

DND-2006

M= m1 + m2

= G Mdan pers. (1-41) :

Masukkan pers. (1-18) :

ke pers. (1-56) : =a3

P2

42

diperoleh, = (m1 + m2)a3

P2

G

42

. . . . . . . . (1-57)

Dalam kasus planet mengelilingi Matahari, m1 adalah massa matahari (M)

m2 adalah massa planet

Karena m2


71/79

DND-2006

=M

a3

P2

G

42

Bukti Hukum Kepler III

. . . . . . . . . . . . . . (1-58)

Bumi dengan satelit-satelit buatan

Planet dengan satelit-satelitnya

Sistem bintang ganda

Hukum Kepler bukan hanya berlaku untuk planet dalammengedari matahari saja tetapi juga berlaku untuk :

dan lainnya


72/79

DND-2006

1. Sebuah satelit buatan mengorbit Bumi dalam orbityang hampir berupa lingkaran. Apabila radiusorbitnya adalah 96 000 km, tentukanlah periode orbitsatelit tersebut.

Contoh :

Jawab :

Karena massa bumi jauh lebih besar daripada massasatelit maka menurut Hk Kepler III

a3

P2 42

G M=

42 a3

G MP =

0,5

Diketahui,M= 5,98 x 1027 gr, a = 9,6 x 109 cm dan

G = 6,67 x 10-8 dyne cm2/gr2


73/79

DND-2006

Jadi

(6,67 x 10-8) (5,98 x 1027)

42 (9,6 x109)3P =

0,5

= 295 919,24 det = 3,42 hari


74/79

DND-2006

Jawab :

2. Tentukanlah periode orbit Bumi jika massa matahari8 kali lebih besar dari massa sekarang dan radiusorbit Bumi dua kali daripada radius sekarang(andaikan orbit Bumi berupa lingkaran)

Misalkan :M1= massa matahari sekarangM2 = 8 M1

a1 = radius orbit bumi sekaranga2 = 2 a1

Karena M>> M maka42G M=a

3

P2


75/79

DND-2006

Jadi periodenya sama dengan periode sekarang

P12

a13

42

G M1=

a23

P22 42

G M2=

M18M1

0,5

8P2 =P1

a12a1

1,5

= 21,5 P11

0,5

M2M1P2 = P1

a1a2

0,5 1,5

= (2,83)(0,3535) P1 = P1


76/79

DND-2006

1. Stasiun ruang angkasa Rusia Mir mengorbit bumisetiap 90 menit sekali pada ketinggian 250 km.Stasiun ruang angkasa ini diluncurkan pada tanggal20 Februari 1986. Setelah beberapa tahun di ruangangkasa, stasiun ruang angkasa ini ditinggalkan dansecara perlahan-lahan jatuh ke Bumi pada tanggal10 Maret 2001.a. Berapakalikah stasiun ruang angkasa ini

mengelilingi Bumi sebelum jatuh ke Bumi?

b. Berapakah jarak yang ditempuh stasiun ruangangkasa ini ? (Ketinggian Mir diabaikan relatifterhadap radius Bumi)

Soal Latihan :


77/79

DND-2006

2. Berapakalikah gaya gravitasi yang disebabkan olehMatahari terhadap pesawat ruang angkasa Ulysses

yang berjarak 2,3 AU dari Matahari dibandingkandengan percepatan gravitasi yang disebabkan olehMatahari terhadap planet Jupiter yang berjarak 5,2

AU dari Matahari?

3. Teleskop ruang angkasa Hubble mengorbit Bumisetiap 1,5 jam sekali pada ketinggian 220 km, Jikakamu akan menempatkan satelit komunikasi di ruangangkasa, pada ketinggian berapakah satelit tersebut

harus ditempatkan supaya satelit bisa mengedariBumi setiap 24 jam sekali? (Satelit semacam inidisebut satelit Geosyncronous karena satelit selaluberada di suatu titik yang tetap di atas Bumi)


78/79

DND-2006

5. Jika Io yang berjarak 422 000 km dari Jupitermemerlukan waktu 1,8 hari untuk melakukan satu

putaran mengelilingi Jupiter, berapakah waktuyang diperlukan oleh Europa (satelit Jupiter yanglain) yang berjarak 671 000 km dari Jupiter untukmelakukan satu putaran mengelilingi Jupiter?

4. Salah satu satelit Jupiter yaitu Io mempunyaimassa yang sama dengan Bulan (satelit Bumi),

dan juga Io mengorbit Jupiter pada jarak yangsama dengan Bulan mengorbit Bumi. Akan tetapiIo mengelilingi Jupiter dalam satu putaran lamanya1,8 hari, sedangkan Bulan mengelilingi Bumi

dalam waktu 27,3 hari. Dapatkah kamumenjelaskan mengapa terjadi perbedaan ini?


79/79

Lanjut ke Bab II

Kembali ke Daftar Materi
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/Final-1/Bab%20II.ppthttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/Final-1/Daftar%20Materi.ppthttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/Final-1/Daftar%20Materi.ppthttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/Final-1/Daftar%20Materi.ppthttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/Final-1/Bab%20II.ppthttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/Final-1/Bab%20II.ppt

Documents

Bab dedfsafsafsfafsafsafsasdffdsdfsa