BAB I

BILANGAN

I. SKEMA HIERARKIS BILANGAN

Bilangan non prima

Bilangan asli

Bilangan prima

Bilangan Bulat

Rasional

Bilangan Real Bilangan Cacah Bilangan Bulat

Bilangan Kompleks Irasional Bilangan Nul ( Nol )

Bilangan Imajiner

II. PENGERTIAN BILANGAN-BILANGAN

Bilangan kompleks : Sub total dari seluruh bilangan yang terdiri dari

bilanganReal dan imajiner

Bilangan Real : Bilangan yang nyata .. (0.02, -V3) macam-macam

bilangan

Bilangan Imajiner : Adalah bilangan khayal yang mempunyai akar

negative

Contoh : V-2, V-0,05, V-3

Simbolnya (xi)

Bilangan Rasional : Bilangan yang terbentuk dalam p/q

(Dimana P & Q adalah bilangan bulat), dan

bilangan desimalnya selalu berulang misalnya

1 = 0,3333 (berulang)

Bilangan Irasional : Bilangan yang akar bilangan rasional yang

hasilnya tidak rasional

Misalnya : V2

V3 Tak berulang

V

Atau disebut juga bilangan berbentuk akar

Bilangan Bulat : terdiri dari B.B + & B.B –

Misal : -3, -2, -1, 0 ,1 ,2 ,3

Bilangan Cacah : disebut juga sebagai bilangan bulat positif

Bilangan Asli : yang terdiri 1,2,3 dst

Bilangan Prima : bilangan yang hanya dapat dibagi dengan 1 dan

bilangan itu sendiri

Bilangan Non Prima : bilangan yang bukan bilangan prima

III. OPERASI HITUNG PADA REAL & TURUNANNYA

1) Penjumlahan = (+) 2+3

2) Penguranngan = (-) 2-3

3) Perkalian = (X 3 . ) 2*2*2 = 2+1+1 = 23

4) Pembagian = (: ; . . .) 24 = 2 4-1 = 2 3

2

Hukum-hukum operasi pada Bilangan Real Aturannya :

1. Hukum Komulatif

2.3 = 3.2 ; 2+3 = 3+2

Tapi 2-3 # 3-2

2. Hukum Asosiatif

(2+3) +4 = 2+ (3+4)

(2.3) . 4 = (2.3) . 4

3. Hukum Distributif

2 (3+4) = (2.3) + (2.4)

2 (3-4) = (2.3) – (2.4)

A. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, & PERKALIAN BILANGAN IRASIONAL

PENJUMLAHAN

i) Va + Va = 2 Va

Contoh :

1. V3 + V3 = 2 V3

2. V7 + V7 = 2 V7

ii) Va + Vb = Va + Vb ( Tetap karena bilangan pokoknya berbeda )

Contoh :

V2 + V3 = V2 + V3

iii) a Vb + c Vb = (a+c) Vb

Contoh :

3 V5 + 2 V5 = (3+2 V5 = 5 V5 Irasional Irasional

PENGURANGAN

i) Va – Va = 0

Note : Va – Va = (1-1) Va

= 0 Va = 0

Contoh :

1. V2 – V2 = 0

2. V5 – V5 = 0

ii) Va – Vb = Va – Vb

Contoh :

1. V3 – V5 = V3 – V5

2. V7 – V3 = V7 – V3

iii) aVb – cVb = (a-c) Vb

contoh :

1. 5V7 – 2V7 = (5-2) V7

Kesimpulan : Penjumlahan dan Pengurangan irasional hasilnya selalu irasional

PERKALIAN

i) Va x Va = a Note : Va x Va

Contoh : = Va.a = Va2

V2 x V2 = 2 = (a2) ½

V5 x V5 = 5 = a 2/2 = a1 = a

ii) Va x Vb = Vab

Contoh :

1. V3 . V5 = V15

2. V5 . V7 = V35

iii) aVb x cVb = (a.x) Vb b

= (ac) (b2) ½

= (ac) b 2/2

= acb atau abc

Kesimpulannya : pengoperasian bilangan irasional dikali dengan irasional hasilnya bias

rasional/irsaional.

PEMBAGIAN

I) a (Penyebutnya harus dijadikan bilangan irasional)

Vb

Note :

a = a x vb

vb vb vb

= a vb = a vb

b b

contoh :

1. 1 = 1 x V2

V2 V2 V2

= 1 V2 = 1 V2

2 2

2. V3 = V3 x V5

V5 V2 V2

= V15 = 1 V15

5 5

II) 1 = 1 x Va + Vb

Va + Vb Va+Vb Va – Vb

= 1 ( Va – Vb )

( Va + Vb ) ( Va – Vb )

= 1 ( Va – Vb )

a ( Vab + V ab )

= Va = Vb ( Sudah Rasional )

a – b

contoh :

1 = 1 x V3 + V5

Va + Vb V3+V5 V4 – V5

= V3 + V5

V3 . V3 – V5 V5

MENYEDERHANAKAN ANGKA

1. V20 = V4 . V5 = 2 V5

2. V32 = V16 . V2 = 4 V2

3. V200 = V100 . V2 = 10 V2

Contoh soal :

1. 2 V2 + V8 + V32 + 2 V3 + V12

= 2 V2 + 2V2 + 4 V2 + 2 V4 + 2 V3

= (2+2+4) V2 + (2+2) V3

= 8 V2 + 4 V3

2. (1+3+V2) = (4-V50) + V243

= 1 + 3V2 – (4-5 V2) + 9 V3

= 1 – 4 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3

= -3 + 3 V2 + 5 V2 + 9 V3

= -3 + 8 V2 + 9 V3

3. V11 – V13 = V11 – V13 x V11 – V13

= V11 – V13 x V11 – V13

= (V11 – V13) (V11 – V13)

= (V11 + V13) (V11 – V13)

= 11 – V143 + V143 + 13

11 – V143 – V143 – 13

= 11 – V143 – V143 + 3

11 – 3

= 11 – 2 V143 + 13 = 24 – 2 V143 = 24 – 2 V14

11 – 13 11 – 13 -2

= -12 + 2 V143

4. 3 V2 – 2 V3 = 3 V2 – 2 V3 x 2 V3 + 3 V2

2 V3 – 3V2 2 V3 – 3 v2 2 V3 + 3 V2

= 6 V6 + 9 V4 – 4 V9 – 6 V6

4 V9 – 9 V4

= 9 V4 – 9 V9 = 9.2 – 4.3

4 V9 – 9 V4 4.3 – 9.2

= 18 – 12

12 – 18

= 6/-6 = .1

5. (V10 – V8)2

= (V10 – V8) (V10 – V8)

= 10 – V80 – V80 + 8

= 18 – 2 V180

B. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN DAN PERKALIAN PADA ALJABAR

Ditulis : a x b ; a + b atau ab (maksudnya a kali b) biasanya berbentuk symbol

huruf (a … z) jika satu factor dalam sebuah perkalian adalah bilangan dan

symbol bilangan lain disebut koefisien dari symbol.

Contoh : 5 koef x dari 5x

Tetapi sering juga koefisien terdiri dari symbol juga

Contoh : 5q adalah koefisien x3 dari 5 qx3

Penjumlahan pada aljabar :

Contoh = (a+b+c) + (a+b+c)

= (a+b) + (b+b) + (c+)

Atau

A + b + c

A + b + c

2a + 2b +2c

Pengurangan pada aljabar

Contoh :

(-a – b + c) – (a + b – c) = samakan variable yang sama

Perkalian pada bilangan aljabar

Hitunglah :

a.b2 x a2b3 = a1+2b2+3 = a3b5 (lihat sifat pada bilangan eksponen)

latihan :

1. Hitunglah 2a – 3b + 4c +2 (a-b)

2. Sederhanakanlah 3 (2-3 (2a + 4)) – 4a

3. Hitunglah : 22 . b2 aVb : untuk a = 2 : b 3

C. OPERASI HITUNG PADA PECAHAN

Pecahan

1 & 3 dinamakan pembilang

4 dinamakan penyebut

Berbentuk a semakin besar penyebut

b semakin kecil nilai pecahan itu

pecahan-pecahan yang senilai

1 = 5 didepan 1 x 5 = 5

2 10 2 x 5 = 10

3 = 9 3 x 3 = 9

4 12 4 x 3 = 12

Membandingkan 2 pecahan

7 dengan 6

8 8

Caranya samakan penyebut dulu

7 x 7 6 x 8

8 x 7 7 x 8

49 > 48

56 56

7 < 6

8 7

Pecahan campuran

Ubahlah pecahan barikut dalam bentu campuran

5 = 5 + 1 = 1 1

5 5 5 5

7 = 4 + 6 = 1 3

4 4 4 4

Hanya pecahan yang nilainya >1

Mencari bilangan antara dua pecahan

Tentukan bilangan antara 2/5 dan 5/11

Jawab : 2 dan 5 2 x 4 … … … 5 x 5 = 22 . 33 . 25 . 25

5 11 5 x 11 11 x 1 55 55 55 15

Penjumlahan :

a. 5 + 1 = 5 + 1 = 6 bukan 6

2 2 2 2 4

b. 3 + 1 samakan penyebut 9 + 4 = 13

4 3 x 4 12 12 12

Pengurangan

a. 5 – 1 = 5 – 1 = 4

2 2 2 2

b. 3 x 3 – 1 samakan penyebut 9 – 4 = 5

4 x 3 3 12 12 12

Perkalian

2 x 1 = 2 x 1 = 2

5 3 5 x 3 15

5 x 1 = 5 x 1 = 5

3 1 x 3 3

2 x -1 = 2 x -1 = -2

3 1 x 2 -2

2 x 1 = 2 x -1 = 2 = 1

2 1 x 2 2

Pembagian

a. 1 : 1 = 1 x (kebalikan dari 1 = 2)

2 2 1

= 1 x 2

1

= 1 x 2 = 2

b. 2 : 1 = 2 x 2

4 2 4 1

c. 1 : 1 = 1 x 9 = 9 = 3

3 9 3 1 3

Pecahan Desimal

Berasal dari kata decimus (bahasa latin) yang berarti persepuluh milsanya :

= 1 = 0,1 : 1 = 0,01

10 100

Setiap pecahan dapat dirubah ke dalam pesilam Contoh :

2 / 5 ubahlah pecahan berikut dalam decimal

2 = 2 x 2 = 4 = 0,4

5 5 2 10

4 = 4 x 125 = 29 375 = 0,375

8 8 x 125 = 40 1000

Kuncilnya : Penyebutnya harus dibuat kelipatan 10

Pecahan persen

Cirinya : Pecahan yang penyebutnya berbentuk 100

Conoh : 25 / 100 : 25%

Pecahan dapat diubat dalam bentuk persen begitu juga sebaliknya

Contoh :

4 persen = 4 : 4 = 1 x 100 = 50%

8 8 : 4 2

2 persen = 2 x 100 = 200%

7 7 1

35% pecahan biasa (sama juga dengan menyederhanakan bilangan)

35% : 5 = 7

100 : 5 10

Pecahan campuran pada bilangan persen contoh = 22 (1) % = 25 x 1 1

2 2 100

= 25 /100

D. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT

1. Penjumlahan

a. 5 + 1 = 6

b. 2 + 3 = 5

c. -2 + 3 = 1

d. -3 + 4 = 1

2. Pengurangan

a. 8 – 3 = 5

b. 7 – 3 = 10

c. 6 – 7 = -1

d. 7 + (-10) = 7 – 10 = 3

e. -6 – 3 = -9

f. -6 – (-3) = -6 + 3 = -3

3. Perkalian

a. 2 x 3 = 6 - x - = +

b. -2 x -3 = 6 - x - = -

c. 2 x -3 = -6 - x + = -

d. -2 x 3 = -6

4. Pembagian

a. 10 : 5 : 10/2 = 2

b. -10 : 5 – 10/5 = -2

c. 10 – 2 10/5 = -10/5 = -2

I. PERBANDINGAN (RATIO)

Do tandai dengan bentuk pembagian atau pecahan

Contoh : dari 25 orang crew kapal 10 orang adalah perwira. Berapa

perbandingan banyaknya perwira dari seluru crew?

Perbandingan ditulis : 10 : 25 atau 10/25

II. PROPORSI

Adalah sebuah bentuk persamaan dari pasangan ratio. Dapat juga dikatakan

bahwa pasangan ratio sama dengan pasangan yang lain. Proporti disebut

dengan double titik dua (::)

Contoh : ratio 5 : 10 = ratio 20 : 40

5 : 10 :: 20 : 40

Atau

5 : 10 = 20 : 40

5 = 20

10 40

A. INVERSE PROPORSI (BERBALIK HARGA)

Ditulis : a/b = c/d

Artinya : jia nilai objek a bertambah maka nilai objek c berkurang begitu juga

sebaliknya

Contoh 1 :

25 orang bekerja dikapal selama 54 hari berapa harikah jika pekerjaan itu

diselesaikan oleh 18 orang

Jawab :

Jika orangnya banyak waktu pekerjaan jadi lebih cepat (“kecil”)

Banyaknya pekerja lama mengerjarkan (hari)

25 54

18 x

25/18 = x/54

X = 125 hari (catatan : VARIABEL yang dinyatakan sebagai pembilang)

B. DIRECT PROPORSI

10 : 20 = 25 : 50 = ½

a/b = c/d

artinya : semakin besar nilai objek a semakin besar pula nilai c begitu sebaliknya

contoh 2 :

Seorang pekerja setiap 4 jam memperoleh upah Rp. 17.000 berapa upah yang

diterima jika bekerja 7 jam.

Jawab :

Semakin banyak jam bekerja semakin besar upahnya (senilai)

Banyaknya jam bekerja besarnya upah (Rp)

4 17.000

7 x

4 = 17000

7 x

4.x = 17000 x 7

4

Catatan : VARIABEL yang dinyatakan diletakan sebagai penyebut

Contoh 3 :

Jika ada 8 pekerja mampu merakit 2 mesin dalam 18 jam. Berapa lama waktu

yang dapat diambil oleh 12 orang bekerja dengan jalur yang sama untuk merakit

5 mesin

Jawab :

Banyaknya pekerja banyaknya mesin yang dirakit banyaknya

hari

8 2 18

12 5 ?

Pertama-tama kita buat proposi banyaknya pekerja dengan banyaknya mesin

yang dapat dirakit (direct proporsi) kemudian dengan banyaknya hari

(inverseproportion)

8 . 5 = x

12 2 10

40 = x

24 18

24.x = 40 . 18

X = ….. hari

III. VARIASI

Adalah tahapan selanjutnya dari bentuk ratio lalu proporsi. Dapat dijelaskan

sebagai berikut, saat suatu pertambahan quantitas tergantung pada pertambahan

quantitas yang lain saling ketergantungan itu disebut direct variasi. Sebaliknya jika

suatu pertambahan quantitas dapat menyebabkan berkurangnya quantitas yang lain

maka variasi itu disebut : inverse viarisi : notasi untuk variasi adalah ( : = )

A = B

A = Konstant

B Direct Proporsi

A1 = A2

B1 B2

A = 1

B

A1B1 = A2B2 Inverse proporsi

Contoh :

Resistance suatu tali sebanding dengan panjang tali tersebut dan berbanding

terbalik dengan luasnya. Sebuah tali panjangnya 100m dengan luas 1 mm memiliki

2 ohm. Berapakah resistan suatu tali dengan bahan yang sama yang panjangnya

250 m dan luasnya 0,5 mm ?

Jawab :

R adalah resistan tali R1 = 2 ohm

L adalah luas tali L1 = 0,0001 m L2 = 0,00005 m

P adalah panjang tali P1 = 100 m P2 = 250 m

Ditanya R2

Penyelesaiannya :

Karena :

1) R sebanding dengan panjang tali, maka R : = L

R1 = R2

L1 L2

2) R berbanding terbalik dengan luasnya, maka :

R = 1/P

R1P1 = R2P2

L1 L2

Coba anda cari nila R2

Bentuk baku Notasi Ilmiah

Perhatikan bentuk decimal

0, 1 : 0,0 : 0 , 000 0. 1 = 1 10-1

1. 10 – 1 1. 10-2 1 x 10-4 10

1/a = _ a-n

Banyaknya bilangan dibelakang koma

0,0075 = 75 x 10-4

: : : = 7,5 x 10-3

123

Pertidak samaan bilangan

“ ditandai dengan tanda pertidaksamaan

Contoh :

Symbol-symbol pertidaksamaan

<, >, <, >

A & b adalah dua bilangan bulat

A = b a sama dengan b

A > b dibaca a lebih dari b

A < b dibaca a kurang dari b

Sedangkan :

A > b dibaca a lebih dari satu sama dengan b

A < b dibaca a kurang dari atau sama dengan b

Contoh 1 :

2 < 2 -4 < 0

-1 > -3

1. Carilah nilai x yang memenuhi

X + 2 < 3 x anggota bilangan real

Jawab :

X < = 3 – 2

X < 1

Hp = (1,2,3….)

Contoh 2 :

I. Pertidaksamaan linear

( pangkat terendah x1 )

3x > 5

3x – 5 > 5

3 x > 5

X > 5/3

Garis bilangan

Hp ( X > 5/3 )

Apabila x > 5/3

Maka garis bilangannya

HP { x > 5/3 }

1. -2x + 5 > 0

-2x > -5 x (-)

2x < 5

X < 5/2

HP { x < 5/2 }

II. Pertidaksamaan Irasional

1. V5x + 2 > 4

Syarat Va > 0

Solusi V5 x + 2 > 4 (dikali 2)

= 5x + 2 > 42

= 5x + 2 > 16

= 5x > 14

= x > 14/5

= x > 2 4/5

Syarat Va > 0

= V5x + 2 > 0

5x + 2 > 0

5x > -2

X > -2/5

Garis bilangan

Hp { x > 2 2/4 }

2. V7x + 3 < v3 + 7

Va Vb

= (7x + 3) < (3x + 7)

7x – 3x < 7 – 3

4x < 4

X < 1

Syarat

Va > 0

V7x + 3 > 0

7x + 3 > 0

7x > -3/7

X > -3/7

Vb > 0

V3x + 7 > 0

3x + 7 > 0

3x > -7

3 > -3/7

Garis bilangan

__________________

Hp {-3/7 < x < 1}

Notes dalam penulisan Hp :

1 > x > -3/7

7/3 > x salah x

-2 < x

3. Pertidaksamaan nasional dan irasionak

15x + 3 < 0 dan V7x + 5 > 0

15x < -3 7x + 5 > 0

X < -3/15 7x > -5

X > -5/7

III. PERBANDINGAN FUNGSI KUADRAD

1. –x2 + 5x + 14 > 0 ( - )

Menjadi :

X2 – 5x -14 < 0

(x + 2) (x – 7) <

X1 = -2

X2 = 7

HP {-2 < x < 7}

2. X2 – 3x < 4 dan x2 – 2x > 8

X2 – 3x – 4 <0 x2 – 2x – 8 > 0

(x + 2) (x – 4) (x + 2) (x – 4)

X1 = 1 x3 = -2

X2 = 4 x4 = 4

Hp {x < -2 atau -1 < x atau x > 4}

3. (x – 2) (x2 + 3x – 18) >

X2 – 25

(x – 2) (x – 3) (x + 6) > 0

(x + 5) (x – 5)

X1 = 2 x4 = -5

X2 = 3 x5 = 5

X3 = 06

HP {-6 < x < -5 atau x > 5}

4. X2 < 81

X2 – 81 < 0

(x +9) (x-9)

X1 = -9 HP (-9 < x < 9)

X2 = 9

X = -10 x = 10

(-10 + 9) 10 + 9

= -1 = 19

= 10 – 9 10 – 9

= -19 = 1

-19 * -1 19 * 1

=19 = 19

IV. NILAI MUTLAK

| X | < a -a < x < a

| X | > a x < -a atau x > a

(x + 1) > 3

X + 1 < -3 x + 1 > 3

X < -3 – x > 2

X < - 4

Absolut : membuat hal-hal menjadi +

Contoh :

1. |x| < 5 -2 < x – 3 < 2

2. |x – 3| < 3 -2 < x – 3 < 2

= -2 + 3 < x < 2 + 3

= -1 < x < 5

3. |x| > 5/2 x < - 5/2 atau x > 5/2

Nilai absolut (x + 1) > 3

X + 1 < -3 / x + 1 > 3

4. |2x – 5| < 1

(dikuadratkan karena ada koefisiennnya 3)

= (2x – 5)2 < 12

= (1x – 5)2 – 12 < 0

= ( (2x -5) - 1) (2x -5) + 1)< 0

Font note :

(2x -5)2 +(2x -5) – (2x) -5) -12

= (2x – 6) (2x -4) < 0

X1 < -3 x = <-2

X1 = 3 x2 = 2

Hp {2 < x < 3}

5. (3x -2) > 4

(3x – 2)2 > 42

((3x – 2) – 4) ((3x – 2) + 4 ) > 0

(3x -6) (3x + 2) > 0

X1 = 2 x2 = -2/3

Hp {x < -2/3 atau x > 2}

(x2 – 4) (x2 – 2 x -2) < 0

(x + 2) (x – 2) (x + 1) (x – 3) < 0

X1 = -2 x3 = -1

X2 = 2 x4 = 3

Hp {(-2 < x < -1) atau (2 < x < 3)}

X = -3 x -2 -3 + 1

X + 2 -3 – 2 – 2

3 + 2 -5 – 3 – 3

-1 -6

= 5 =12

0

X = -1 1/2 -1 ½ - 2 -1 ½ + 1 -1 ½ -3

-1 ½ + 2 = -3 ½ = - ½ = -4 ½

0 = ½

Aritmatika

Dalam bentuk social

Contoh :

Pada suatu ruang muatan yang terdiri dari mobil-mobil yang akan

dikirim ke daerah A jika mobil itu dibeli dengan harga Rp. 100.000.000

dan pemilik menghendaki untung Rp. 800.000 berapa harga jualnya ?

Jawab :

Harga beli Rp. 100.000.000

Untung Rp. 800.000

Harga jual Rp. ?

U = J – B

800.000 = J – 100.000.000

100.000.000 + 800.000 = 100.800.000

Harga spare part tipe A Rp. 210.000 dan dijual oleh si empunya Rp.

250.000 berapakah % keutungannya ?

Jawab :

Harga beli Rp. 210.000

Harga jual Rp. 250.000

Laba (untung) Rp. 250.000 – Rp. 210.000 Rp. 40.000

Persen keuntungan = 40.000/250.000 x 100% = 10%

Untuk jika J > B

Rugi jika J > B

Limpas jika J = B

Untung jika J – B

Rugi kita B – J

Persen keuntungan = U/B x 100%

Persen kerugian = R/B x 100%

Persen keuntungan dari harga jual = U/J x 100%

Latihan BAB I

Hitunglah

1. X4 . x2 . x3 =

2. 2a . -5a3 . 3a4 =

3. -4 . 3xy . 2x 3y5 =

4. 3x5 y . 15 x 2y =

-9x 3y

5. a. 3V2 + V12 – V72 + V50

b. 1 / V23 . 1/V2+3

c. V2 + V3 / V2 – V3

d. (22 – V5)2

6. 18 – (-15) – 3

7. (18 – 8 ) – 4

8. 20 – (4 – 3)

9. 13 – (8 – 4)

10. Pada musim dingin disebuah kota A suhu siang hari (pkl. 12.00) =

180C 15 suhu pada malam hari (23.00) adalah -30C, berapa derajat

penurunan suhu

11. – 108 : 9

12. 4 – x + -2 . 8

11 – (-5)

Sederhanakanlah

13. 4/6 =

14. 12/18 =

15. 7/35 =

16. 36/56 =

Gunakan tanda > , < atau =

17. 6/5 … 6/4

18. 3/15 … 4/22

19. 3/16 ,,, 1/5