Upload
andry-thepary
View
77
Download
12
Embed Size (px)
Citation preview
SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIK
(Dosen Pengampu: Dr. Rijal Abdullah, MT.)
Dalam bagian ini akan dijelaskan bagaimana kita dapat menyelesaikan atau
memecahkan sistem persamaan linier dengan menggunakan metoda matrik.
Diharapkan mahasiswa mampu menyelesaikan atau memecahkan soal-soal
sistem persamaan linier (SPL) dengan metoda matrik tersebut.
Semesta pembicaraan tentang persamaan linier dan matrik meliputi sistem
persamaan linier, matrik, eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss Jordan, operasi hitung
matrik, matrik transpos dan matrik invers, determinan, serta ekspansi kofaktor dan
aturan Cramer.
A. Sistem Persamaan Linear
Dalam ilmu matematika kita mengenal berbagai jenis persamaan. Bentuk
persamaan:
Y = 2 X3 + 4 X2 + 2 X -- Y = f (X)
disebut dengan persamaan pangkat tiga. Pemecahannya dapat menggunakan limit
atau differensial. Sedangkan bentuk persamaan X2 - 4X + 4 = 0 disebut dengan
persamaan kuadrat. Pemecahannya dapat menggunakan pemfaktoran atau
dengan rumus ABC.
Secara aljabar, sebuah garis yang berada pada bidang xy dapat dinyatakan
dalam bentuk
a1x + a2y = b
Persamaan seperti ini dinamakan persamaan linier dengan variabel
(peubah) x dan y.
Selanjutnya secara umum didefinisikan persamaan linier dalam n variabel,
(x1, x2, .......xn ) seperti a1x1 + a2x2 + ...........+anxn = b dimana a1, a2 .......an dan b
adalah konstanta-konstanta ril
Contoh 1
Beberapa persamaan linier:
x + 3y = 7 x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7
y = ½ x + 3z + 1 x1 + x2 + ........+ xn = 1
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 1
Dapat kita lihat bahwa persamaan linier tidak melibatkan hasil kali atau
akar variable, tidak juga melibatkan variabel fungsi trigonometrik, fungsi
logaritma, atau fungsi eksponensial.
Beberapa persamaan berikut bukanlah persamaan linier
X + 3y2 = 9 3x – 2y + z + xy = 8
X + sin x = 0 √x1 + 2x2 + x3 = 7
Bentuk persamaan-persamaan berikut:
2X + 3Y + 7Z = 48
3X - Y + 5 Z = 28
3X + 2Y + 5Z = 37
disebut dengan sistem persamaan linear simultan. Penyelesaian persamaan
jenis ini dapat dilakukan dengan metode substitusi, matriks, eliminasi, invers,
dan determinan. Setiap metode itu akan memberikan hasil yang sama untuk
setiap variabel. Pada bab ini pembahasan difokuskan pada penyelesaian
persamaan simultan dengan metode matriks dan determinan
B. Matrik
Matrik adalah sederetan bilangan berbentuk segi empat yang dibatasi oleh
sepasang kurung, yang biasanya merupakan ungkapan koefisien dari satu atau
beberapa persamaan linear atau sistem persamaan linier (SPL). Matrik
diungkapkan dengan huruf kapital, seperti [A].
Sistem Persamaan Linier di atas dapat diungkapkan dalam bentuk matrik
sebagai berikut:
2 3 7 X 48
3 -1 5 Y = 28
3 2 5 Z 37
[ A ] [ V ] [ H ]
[A] adalah matrik koefisien variable atau disebut juga matrik yang diperbesar
dari variable peubah SPL, [V] adalah matrik variable dan [H] matrik hasil SPL.
Angka-angka yang ada dalam matrik tersebut dinamakan entri atau elemen.
Ukuran suatu matrik selalu diucapkan dalam bentuk m x n, dimana m
adalah jumlah baris dan n adalah banyaknya kolom. Jika m = n maka berarti
matrik itu adalah matrik bujur sangkar (n x n).
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 2
Matrik digunakan untuk menyelesaikan SPL dengan penerapan operasi
baris elementer (OBE) atau eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss Jordan. Tetapi
jika SPL yang ada hanya terdiri dari dua baris persamaan linier, maka pemecahan
yang paling sederhana adalah dengan eliminasi dan subtitusi.
Contoh 2.
Tentukan pemecahan dari SPL berikut.
2X + 3Y = 13
3X - Y = 3
Untuk eliminasi sederhana ini, dilakukan dengan mengalikan salah satu
persamaan dengan suatu angka tertentu, sehingga salah satu variabelnya dapat
saling menghilangkan dan selanjutnya dilakukan subtitusi secara bergantian.
Untuk jelasnya perhatikan sebagai berikut.
2X + 3Y = 13 x 3 6X + 9Y = 39
3X - Y = 3 x 2 6X – 2Y = 6 (-)
11Y= 33
Berarti Y = 3
Dengan mensubtitusikan nilai Y = 3 ke sembarang persamaan di atas,
misalnya:
2X + 3Y = 13 2X + 3 . 3 = 13 2X = 4 atau didapat harga X = 2.
C. Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah OBE untuk mendapatkan suatu matrik eselon
terreduksi (MER), dimana elemen-elemen diagonal dari kiri atas ke kanan bawah
bernilai 1 (satu) dan pivot bawah (elemen segitiga bawah) bernilai 0 (nol).
Setelah didapatkan MER tersebut dilakukan penyulihan dari belakang.
Contoh 3
Tentukanlah harga X1, X2, dan X3 dari SPL berikut dengan cara eliminasi
Gauss!
X1 + X2 + 2X3 = 9
2X1 + 4X2 - 3X3 = 1
3X1 + 6X2 - 5X3 = 0
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 3
Penyelesaian:
1. Buat matrik lengkap dari SPL tersebut.
1 1 2 9
2 4 -3 1
3 6 -5 0
2. Lakukan OBE untuk mendapatkan MER.
1 1 2 9 s.ulang b1 1 1 2 9 s.ulang b1
2 4 -3 1 b2 – 2b1 0 2 -7 -17 b2 x
3 6 -5 0 b3 – 3b1 0 3 -11 -27 s.ulang b3
1 1 2 9 s.ulang b1 1 1 2 9 s.ulang b1
0 1 -7/2 -17/2 s.ulang b2 0 1 -7/2 -17/2 s.ulang b2
0 3 -11 -27 b3-3b2 0 0 -1/2 -3/2 b3 x (-2)
1 1 2 9 (*)
0 1 -7/2 -17/2
0 0 1 3
Dari keadaan (matrik*) di atas sudah dapat ditentukan harga masing-
masing variable (anu), yang mana pada keadaan ini dilakukan penyulihan dari
belakang.
Dari baris ketiga didapatkan harga X3 = 3. Dari baris kedua dapat dibuat
persamaan: X2 – 7/2 X3 = -17/2, dengan memasukkan harga X3 = 3 diperoleh
harga X2 = 2.
Dari baris kesatu dibuat persamaan: X1 + X2 + 2X3 = 9, dengan
memasukkan harga X2 = 2 dan harga X3 = 3 didapatkan harga X1 = 1.
Jadi hasil eliminasi Gauss menunjukkan bahwa harga X1 = 1, harga, X2
= 2, dan harga X3 = 3.
D. Eliminasi Gauss Jordan
Jika terhadap matrik* di atas dilakukan lagi operasi baris elementer (OBE),
sehingga didapat MER dengan bentuk entri diagonal kiri atas ke kanan bawah
bernilai 1 (satu) dan pivot atas bernilai 0 (nol), maka metoda ini dinamakan
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 4
eliminasi Gauss Jordan. Pemecahan SPL sudah langsung dapat diperoleh dari
MER tersebut.
Contoh 4
1 1 2 9 b1-2b3 1 1 0 3 b1-b2
0 1 -7/2 -17/2 b2 +7/2b3 0 1 0 2 s.ulang b2
0 0 1 3 s.ulang b3 0 0 1 3 s.ulang b3
1 0 0 1 (**)
0 1 0 2
0 0 1 3
Dari keadaan (matrik**) di atas langsung dapat diperoleh nilai variable:
X1 = 1, X2 = 2, dan X3 = 3.
Soal-soal:
1. Pecahkanlah sistem persamaan linier (SPL) berikut dengan metoda
Eliminasi Gauss!
a. - X – 2Y + 3Z = 1 b. X1 + 2X2 + 3X3 = 5
X + Y + 2Z = 8 2X1 + 5X2 + 3X3 = 3
3X - 7Y + 2Z = 6 X1 + 8X3 = 17
c. P + Q + 2R = 8 3P – 7Q + 2R = 6 P – 2Q + 3R = 7 2. Pecahkan sistem persamaan linier (SPL) pada soal 1 di atas dengan
metoda eliminasi Gauss Jordan!
E. Operasi Hitung Matrik
1. Macam-macam matrik
a. Matrik Sama, A = B jika dan hanya jika elemen-elemen yang seletak dan
pangkatnya sama. Atau dengan kata lain jika matrik yang satu merupakan
duplikat dari matrik yang lainnya.
Contoh 5
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 5
1 2 3 1 2 3
A = 2 4 6 B = 2 4 6
3 4 7 3 4 7
dikatakan bahwa A = B.
b. Matrik Nol adalah matrik yang semua entrinya nol.
c. Matrik Satuan = Matrik Identitas = Matrik I, jika entri-entri diagonal kiri
atas ke kanan bawah bernilai 1 (satu) dan entri lain bernilai 0.
Contoh 6
1 0 0 Pivot atas
1 0 0 1 0 Diagonal
0 1 0 0 1
Pivot bawah
Catatan:
Perkalian sembarang matrik dengan matrik I dalam pangkat yang sama
adalah = perkalian dengan angka 1 atau menghasilkan matrik itu juga.
d. Matrik Skalar, adalah matrik yang pivot atas dan bawahnya = 0 tetapi
diagonalnya ≠ 1
Contoh 7
2 0 0
Matrik B = 0 3 0 adalah matrik skalar.
0 0 4
2. Operasi-operasi hitung dalam matrik
Operasi hitung yang dapat diterapkan dalam matrik adalah
pertambahan, perkurangan, dan perkalian.
a. Pertambahan dan Perkurangan
Jika A = [aij], B = [bij] adalah matrik m x n, maka jumlah A dan B
atau A + B = jumlah elemen-elemen yang seletak.
Contoh 8
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 6
1 2 3 2 3 0
A = 0 2 4 B = -1 2 5
3 5 3
A + B = -1 4 9
Catatan:
Dua matrik yang pangkatnya atau ukurannya berbeda tidak dapat
dijumlahkan atau dikurangkan.
Kaedah penjumlahan berlaku pula bagi pengurangan, dimana A – B
akan sama dengan A + (-B).
1 2 3 2 3 0
Contoh 9 A = 0 2 4 B = -1 2 5
-1 -1 3
A - B = 1 0 -1
Jika k (skalar) dikalikan dengan A, maka hasil kalinya adalah suatu
matrik dimana setiap elemennya dikalikan dengan k.
Contoh 10
k = 3
-1 -2 -1 -2 -3 -6 A = 2 3 k.A = 3.A = 3 2 3 = 6 9
Nilainya juga akan sama dengan A + A + A.
Jika A, B, dan C bersesuaian, maka berlaku hukum:
1) Komutatif A + B = B + A
2) Assosiatif A + (B + C) = (A + B) + C
3) Perkalian skalar k (A + B) = k A + k B = (A + B) k
Soal-soal
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 7
1. Jika diketahui matrik
1 2 -1 0 3 -4 1 2 A = 4 0 2 1 B = 1 5 0 3 2 -5 1 2 2 -2 3 -1
Tentukan:
a. A + B b. A – B c. Jika k = -2 hitung kB d. Buktikan hukum komutatif 1 4 -2 3 e. Buktikan hukum assosiatif jika C = 4 0 2 2 4 6 3 3
b. Perkalian matrik
Operasinya: Jumlah (Baris x Kolom)
1 Contoh 11 2 3 4 -1 = 7 2 1x3 3x1 = 1x1
Contoh 12 2 3 4 2 5 5 6 7 -5 = 8 4
2x3 3x1 = 2x1
Pola dasar perkalian matrik adalah sebagai berikut:
a11 a12 a13 b11 b12 b13
A = a21 a22 a23 B = b21 b22 b23
a31 a32 a33 b31 b32 b33
a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 a11b13 + a12b23 + a13 b33
AB = a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32 a21b13 + a22b23 + a23 b33
a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12 + a32b22 + a33b32 a31b13 + a32b23 + a33 b33
Dari contoh 11 dan 12 di atas dapat terlihat bahwa dua matrik yang dapat
diperkalikan adalah jika jumlah kolom matrik yang dikalikan sama dengan
jumlah baris matrik pengali dan tidak harus jumlah baris matrik yang dikali sama
dengan jumlah kolom matrik pengali. Secara lebih tegas dikatakan bahwa A x B
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 8
terdefinisi bila banyak kolom A = banyak baris B, tetapi B tidak perlu
bersesuaian dengan A.
c. Hukum perkalian
1. Distributif 1 -- A ( B + C ) = AB + AC
2. Distributif 2 -- ( A + B ) C = AC + BC
3. Assosiatif -- A ( BC ) = ( AB ) C
Tetapi AB BA (secara umum)
AB = 0 tidak perlu A = 0 atau B = 0
AB = AC tidak perlu B = C
IA = AI = IAI = A (perkalian dengan matrik I).
4. Jika AB = BA, maka dikatakan bahwa A dan B saling bertukaran
atau komutatif.
a b c d Contoh 13 A = b a B = d c , disini AB = BA (buktikanlah!)
Soal-soal
Hitung perkalian matrik berikut!
1 2 1. 1 2 1 4 7 6 3
1 2 1 3 -4 2 4 0 2 1 5 -2 2
2 4 7 4 6 9 3. 3 5 8 3 5 8 4 6 9 2 4 7
4. Hitung AB dan BC dan buktikan hukum distributif 1 dan 2 serta hukum assosiatif dari matrik berikut. Apakah AB = BA ? 1 2 3 4 3 2 1 6 3
A = 4 0 3 B = 1 7 2 C = 7 3 3 2 1 4 4 3 6 4 4 3
5. Pecahkanlah persamaan matrik berikut untuk a, b, c, dan d
a - b b + c 8 1 3d + c 2a – 4d = 7 6
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 9
F. Matrik Transpose
Matrik transpose (lambangnya AT) adalah suatu matrik yang diperoleh dari
pertukaran baris dengan kolomnya.
Contoh 14
1 2 3 1 4 2 A = 4 0 3 AT = 2 0 1 2 1 4 3 3 4
Sifat-sifat Transpose: 1. ( AT )T = A 2. ( k A )T = k AT
3. ( A + B )T = AT + BT
4. ( AB )T = BT AT
Pembuktian dari sifat-sifat matrik transpos di atas diharapkan sebagai
tugas latihan saudara, yakni: Tentukan dua matrik sembarangan dan satu skalar,
lalu uji keempat sifat transpose di atas!.
G. Matrik Invers
Jika A dan B masing-masing adalah matrik bujur sangkar
sedemikian rupa, sehingga AB = BA = I, maka B disebut balikan
A dan A balikan B (ditulis B = A-1 atau A = B-1).
Contoh 15:
1 2 3 6 -2 -3 A = 1 3 3 B = -1 1 0 1 2 4 -1 0 1
1 0 0 AB = BA = I = 0 1 0 0 0 1
Sifat Invers: A.A-1 = I A-1.A = I
A-n = A-1. A-1. A-1…… A-1 (Factor n).
1. Invers matrik 2 x 2
a b 1 d -b A = c d A-1 = ad – bc -c a
Catatan: ad – bc dinamakan determinan.
Contoh 16
1 2
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 10
A = 3 4 determinan A = | A | = 1.4 – 3.2 = -2
4 -2 -2 1
A-1 = 1/-2 -3 1 = 3/2 -1/2
2. Invers matrik 3 x 3
Matrik invers dari suatu matrik yang diberikan dapat ditentukan
dengan jalan menggandengkan matrik yang akan dicari inversnya dengan
matrik I dalam ukuran yang sama, lalu lakukan OBE, sehingga didapatkan
matrik I berada di sebelah kiri. Matrik yang berada di sebelah kanan
otomatis sebagai matrik invers dari matrik tersebut.
Contoh 17
Carilah invers dari
1 2 3 A = 2 5 3 1 0 8 Penyelesaian:
1 2 3 1 0 0 t.ulang b1 1 2 3 1 0 0 t.ulang b1
2 5 3 0 1 0 b2-2b1 0 1 -3 -2 1 0 t.ulang b2
1 0 8 0 0 1 b3-b1 0 -2 5 -1 0 1 b3+2b2
1 2 3 1 0 0 t.ulang b1 1 2 3 1 0 0 b1-3b3 0 1 -3 -2 1 0 t.ulang b2 0 1 -3 -2 1 0 b2-3b3 0 0 -1 -5 2 1 b3x (-1) 0 0 1 5 -2 -1 t.ulang b3
1 2 0 -14 6 3 b1–2b2 1 0 0 -40 16 9 (***) 0 1 0 13 -5 -3 t.ulang b2 0 1 0 13 -5 -3 0 0 1 5 -2 -1 t.ulang b3 0 0 1 5 -2 -1
Dari matrik (***) di atas terlihat bahwa invers dari A atau
-40 16 9
A-1 = 13 -5 -3 5 2 -1
Catatan:
Jika dalam OBE didapatkan baris yang bernilai 0 0 0, maka tidak ada
invers.
Contoh 18
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 11
1 6 4 A = 2 4 -1 Tentukanlah A-1
-1 2 5
1. Pemakaian Invers untuk Memecahkan SPL
Jika A adalah matrik n x n dapat dibalik, maka untuk setiap matrik B
dengan n x 1, sistem persamaan AX = B mempunyai satu pemecahan, yakni
X = A-1 . B.
Contoh 19
Pecahkan SPL berikut dengan menerapkan rumus:
X = A-1 . B X1 + 2X2 + 3X3 = 5 2X1 + 5X2 + 3X3 = 3 X1 + 8X3 = 17
Penyelesaian:
1 2 3 X1 5 A = 2 5 3 X = X2 B = 3 1 0 8 X3 17
Karena matrik A = matrik yang terdapat pada contoh 17 di atas, maka berarti:
-40 16 9 A-1 = 13 -5 -3 5 -2 -1
-40 16 9 5 1
Rumus: X = A-1 x B = 13 -5 -3 3 = -1
5 -2 -1 17 2
Jadi diperoleh: X1 = 1 X2 = -1 X3 = 2
Rumus: X = A-1 x B dapat dilakukan untuk sederet SPL yang mempunyai A
sebagai matrik koefisiennya.
Soal-soal
Pecahkan SPL-SPL berikut dengan penerapan rumus: X = A-1 x B
a. X1 + 2X2 + 3X3 = 4 b. X1 + 2X2 + 3X3 = 1 2X1 + 5X2 + 3X3 = 5 2X1 + 5X2 + 3X3 = 6 X1 + 8X3 = 9 X1 + 8X3 = -6
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 12
c. X + Y + 2Z = 9 d. P + 2Q + 2R = -1 2X + 4Y - 3Z = 1 P + 3Q + R = 4 3X + 6Y - 5Z = 0 P + 3Q + 2R = 3
H. Determinan Matrik
Determinan adalah jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari suatu
matrik. Determinan A ditulis det (A) atau |A|
Penentuan determinan suatu matrik dapat dilakukan dengan cara Sarrus dan
Ekspansi Kofaktor Sepanjang Baris atau Kolom.
1. Cara Sarrus
Untuk Matrik 2 x 2
a11 a12
a21 a22
Determinan matrik 2 x 2 di atas adalah (a11.a22) – (a21.a12)
Untuk Matrik 3 x 3
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Determinan matrik 3 x 3 di atas adalah:
(a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a32) – (a13.a22.a31+a11.a23.a32+a12.a21.a33)
Contoh 20. Hitunglah determinan matrik berikut!
1 2 3
A = 3 1 B = -4 5 6
4 -2 7 -8 9
Penyelesaian:
3 1 1 2 3 1 2
4 -2 B = -4 5 6 -4 5
7 -8 9 7 -8
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 13
|A| = {3 . (-2)} – {4 . 1} = - 6 – 4 = -10
|B| = {1 . 5 . 9 + 2 . 6 . 7+ 3 . (-4) . –8} – {3 . 5 . 7 + 1 . 6 .(-8) + 2 . (-4) . 9}
|B| = {45 + 84 + 96} – {105 – 48 – 72}
|B| = 225 + 15
|B| = 240.
2. Cara Ekspansi Baris atau Kolom
Ekspansi baris dalam menentukan determinan adalah menjumlahkan
hasil kali elemen baris atau kolom yang dipilih dengan masing-masing
minornya (elemen yang tidak termasuk dalam baris dan kolomnya).
Dalam penerapan cara ekspansi baris atau kolom ini harus diperhatikan
tanda posisi elemen tersebut. Dalam perjanjian tanda yang ada secara
internasional posisi tanda elemen tersebut adalah sebagai berikut:
+ - + - + - + - +
Contoh 21.
Tentukanlah determinan matrik berikut!
1 2 3 -4 5 6 7 -8 9
Penyelesaian: Dengan melakukan ekspansi sepanjang baris pertama,
5 6 -4 6 -4 5 |B| = 1 -8 9 - 2 7 9 + 3 7 -8
|B| = 1 {5.9-(-8).6} - 2{(-4).9-7.6} + 3{(-4).(-8)-7.5}|B| = 1 { 45 + 48 } – 2{ -36 – 42 } + 3 { 32 –35 }|B| = 1 . 93 – 2 . (-78) + 3 . (-3) |B| = 93 + 156 – 9|B| = 249 – 9|B| = 240 (cocokkan dengan cara Sarrus)
Jika ekspansi dilakukan dengan mengambil kolom pertama, hasilnya adalah:
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 14
5 6 2 3 2 3
|B| = 1 -8 9 - (-4) -8 9 + 7 5 6
|B| = 1 {5.9-(-8).6} + 4{2.9-(-8).3} + 7{2.6-5.3}|B| = 1 { 45 + 48 } + 4 { 18 + 24} + 7 {12 – 15}|B| = 1 . 93 + 4 . 42 + 7 . (-3) |B| = 93 + 168 – 21|B| = 261 – 21
|B| = 240 (cocok dengan cara ekspansi sepanjang baris pertama)
Demikian selanjutnya bahwa untuk mencari determinan dapat
dilakukan ekspansi sepanjang kolom atau baris mana saja dan akan
memberikan hasil yang sama. Buktikan sendiri!
3. Sifat-sifat Determinan
Jika A adalah sembarang matrik kuadrat, determinan A = determinan
AT. Karena hasil ini, maka hampir setiap determinan yang mengandung
perkataan baris dalam pernyataannya akan benar juga bila kata kolom
disubtitusikan untuk baris. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita
hanya perlu mentranspos (memindahkan) matrik yang ditinjau.
Contoh 22.
Buktikan det A = det AT
1 2 3
A = 4 5 6
7 8 9
Jawab:
1 4 7 AT = 2 5 8 3 6 9
Det A = 1 (45 - 48) – 2 (36 - 42) + 3 (32 - 35) Det A = - 3 + 12 – 9Det A = 0
Det AT = 1 (45 – 48) – 4 (18 – 24) + 7 (12 – 15)Det AT = - 3 + 24 – 21Det AT = 0 (Terbukti).
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 15
Determinan dapat dihitung dengan menggunakan OBE untuk
mereduksi A pada eselon baris. Sebaliknya kita dapat menaruh A pada
bentuk pivot bawah dalam beberapa langkah reduksi.
Contoh 23
Tentukan determinan matrik A berikut dengan reduksi.
1 0 0 3 2 7 0 6 0 6 3 0 7 3 1 -5
Jawab: Dengan menambahkan -3 kali kolom pertama pada kolom keempat,
kita dapatkan matrik:
1 0 0 0 2 7 0 0 0 6 3 0 7 3 1 -26
Selanjutnya nilai determinannya adalah perkalian angka-angka yang terdapat
sepanjang diagonal utama, yakni:
Det A = (1) (7) (3) (-26) = -546.
Contoh 23 di atas memperlihatkan bahwa adalah merupakan hal yang paling
tepat untuk selalu jeli memperhatikan operasi kolom dimana memungkinkan
guna meringkas perhitungan.
Jika A adalah matrik n x n dan k adalah skalar, maka det (kA) = kn det A.
Untuk membuktikan hal ini perhatikan contoh berikut.
Contoh 24
Hitunglah determinan matrik 5A, jika:
3 1 A = 2 2
Jawab: kA = 5 3 1 = 15 5 2 2 10 10
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 16
Det A = 6 – 2 = 4 Det kA = kn det A 150 – 50 = 52 . 4 100 = 100 (terbukti)
Jika A, A’, dan A” adalah matrik n x n yang hanya berbeda dalam
baris tunggal, misalnya baris ke r, dan anggaplah bahwa baris ke r dari A”
dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam
baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari A”, Maka det (A”) = det (A) + det
(A’)
Contoh 25
Hitunglah det (A”), jika
1 7 5 A” = 2 0 3 1+0 4+1 7+(-1)
Jawab: det (A”) = det (A) + det (A’)
1 7 5 1 7 5 1 7 5 det 2 0 3 = det 2 0 3 + det 2 0 3 1+0 4+1 7+(-1) 1 4 7 0 1 -1
1 7 5 1 7 5 1 7 5 det 2 0 3 = det 2 0 3 + det 2 0 3 1 5 6 1 4 7 0 1 -1
1(-15) – 7(9) + 5(10) = 1(-12) – 7(11) + 5(8) + 1(-3) – 7(-2) + 5(2) -15 – 63 + 50 = -12 – 77 + 40 + -3 + 14 + 10 - 28 = - 49 + 21 - 28 = - 28 (terbukti).
Sebuah matrik yang mempunyai determinan = 0, tidak mempunyai invers.
Soal-soal
1. Tentukan |A|, |B|, dan |C| dari matrik berikut!
2 7 8 4 8 12 0 1 5 A = 3 2 4 B = 0 1 4 C = 3 -6 9 2 7 8 1 2 1 2 6 1
2. Buktikan bahwa det (AB) = det (A) det (B) bila:
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 17
2 1 0 1 -1 3 A = 3 4 0 B = 7 1 2 0 0 2 5 0 1
3. Buktikanlah bahwa det (A) = det (AT) untuk
1 2 7 1 -1 3 A = -1 0 6 B = 7 1 2 3 2 8 5 0 1
I. Ekspansi Kofaktor
Jika A adalah suatu matrik kuadrat, maka minor entri aij didefinisikan
menjadi determinan submatrik yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j
dicoret dari A.
Bilangan (-1) I+j .Mij dinyatakan dengan Cij dan dinamakan kofaktor
entri aij.
Contoh 26
3 1 -4 A = 2 5 6 1 4 8
Minor entri a11 adalah M11 = 5 6 = 16
4 8
Kofaktor a11 adalah C11 = (-1)1+1.M11 = M11 = 16
3 -4
Demikian juga minor entri a32 = 2 6 = 26
Kofaktor a32 adalah C32 = = (-1)3+2.M32 = -M11 = -26
Definisi: Jika A adalah sembarang matrik n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka
matrik :
C11 C12 …. C1n
C21 C22 …. C2n
Cn1 Cn2 …. Cnn
dinamakan matrik kofaktor A. Transpos matrik ini dinamakan
adjoin A dinyatakan dengan adj(A).
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 18
Contoh 27
3 2 -1
A = 1 6 3
2 -4 0
Kofaktor A adalah: C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
Sehingga matrik kofaktornya adalah:
12 6 -16 12 4 12
4 2 16 dan Adj (A) = 6 2 -10
12 -10 16 -16 16 16
Selanjutnya matrik Adj(A) dapat kita gunakan untuk menentukan invers A
Jika A adalah matrik yang dapat dibalik maka A-1 = 1/|A| x Adj(A)
Contoh 28
3 2 -1
Tentukanlah A-1 dari A = 1 6 3
2 -4 0
Jawab: |A| = 3 (12) – 2 (-6) –1 (-16) = 36 + 12 + 16 = 64
12 4 12
A-1 = 1/|A| x Adj(A) = 1/64 6 2 -10
-16 16 16
12/64 4/64 12/64
A-1 = 6/64 2/64 -10/64
-16/64 16/64 16/64
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 19
J. Aturan Cramer
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n
bilangan tak diketahui, sehingga det A 0, maka sistem tersebut mempunyai
pemecahan yang unik sebagai berikut:
X1 = |A1|/|A|, X2 = |A2|/|A|, Xn = |An|/|A| dimana A1, A2, ..An adalah matrik
yang kita dapatkan dengan mengganti entri-entri kolomnya dengan entri hasil
sistem persamaan linearnya.
Contoh 29. Pecahkanlah SPL berikut dengan Aturan Cramer!
X1 + + 2X3 = 6
-3X1 + 4X2 + 6X3 = 30
- X1 – 2X2 + 3X3 = 8
1 0 2
Penyelesaian: A = -3 4 6 |A| = 44
-1 -2 3
6 0 2
A1= 30 4 6 |A1| = -40
8 -2 3
1 6 2
A2 = -3 30 6 |A2| = 72
-1 8 3
1 0 6
A3 = -3 4 30 |A3| = 152
-1 -2 8
Maka dengan demikian diperoleh:
X1 = -40/44 = - 10/11
X2 = 72/44 = 18/11
X3 = 152/44 = 38/11
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 20
Soal - soal
1. Dengan menerapkan Adjoin matrik tentukanlah invers dari matrik berikut:
0 1 2 1 0 1
A = 2 4 3 B = -1 3 0
3 7 6 1 0 2
2. Selesaikan SPL berikut dengan Aturan Cramer
a. 4X + 5Y = 2 b. P - 3Q + R = 4
11X + Y + 2Z = 3 2P – Q =-2
X + 5Y + 2Z = 1 4P - 3R = 0
c. 2A – B + C = 8 d. 2X1 – X2 + X3 – 4X4 = -32
4A + 3B + C = 7 7X1 + 2X2 + 9X3 – X4 = 14
6A + 2B + 2C = 15 3X1 – X2 + X3 + X4 = 11
X1 + X2 – 4X3 – 2X4 = -4
Soal-soal Rangkuman
1. Carilah matrik diperbesar dari SPL berikut.
a. X – 2Y = 0 b. X1 + X3 = 1
3X + 4Y = -1 -X1 + 2X2 - X3 = 3
2X - Y = 3
c. A + C = 1 d. X1 = 1
2B - C + E = 2 X2 = 2
2C + D = 3
2. Carilah persamaan linier atau sistem persamaan linier yang bersesuaian dengan
masing-masing matrik diperbesar berikut.
1 0 0 1 0 0
a. 0 1 0 b. 0 1 0
0 -1 2 1 -1 1
1 2 3 4 5 1 0 0 0 1
c. 5 4 3 2 1 d. 0 1 0 0 2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 21
3. Pecahkanlah SPL berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
a. X1 + 3X2 - 2X3 + 2X5 = 0
2X1 + 6X2 - 5X3 - 2X4 + 4X5 - 3X6 = -1
5X3 + 10X4 + 15X6 = 5
2X1 + 6X2 + 8X4 + 4X5 + 18X6 = 6
b. - X – 2Y + 3Z = 1 c. X1 + 2X2 + 3X3 = 5
2X + 2Y + 4Z = 16 2X1 + 5X2 + 3X3 = 3
3X - 7Y + 2Z = 6 X1 + 8X3 = 17
4. Carilah invers dari matrik-matrik berikut:
a. 3 4 -1 b. 3 1 5 c. 1 0 1
1 0 3 2 4 1 0 1 1
2 5 -4 -4 2 -9 1 1 0
d. 2 6 6 e. 1 0 1 f. 1/5 1/5 1/5
2 7 6 -1 1 1 1/5 1/5 -4/5
2 7 7 0 1 0 -2/5 2/10 1/10
5. Dengan menggunakan rumus X = A-1 B pecahkan SPL berikut.
a. X1 + 2X2 = 7 b. 3X1 - 6X2 = 8
2X1 + 5X2 = -3 2X1 + 5X2 = 1
c. X1 + 2X2 + 2X3 = -1 d. 2X1 + X2 + X3 = 7
X1 + 3X2 + X3 = 4 3X1 + 2X2 + X3 = -3
X1 + 3X2 + 2X3 = 3 X2 + X3 = 5
6. Gunakan aturan Cramer untuk penyelesaian SPL berikut.
a. X1 + 2X2 = 7 b. 3X1 - 6X2 = 8
2X1 + 5X2 = -3 2X1 + 5X2 = 1
c. X1 + 2X2 + 2X3 = -1 d. 2X1 + X2 + X3 = 7
X1 + 3X2 + X3 = 4 3X1 + 2X2 + X3 = -3
X1 + 3X2 + 2X3 = 3 X2 + X3 = 5
f. 4X + Y + Z + W = 6
3X + 7Y - Z + W = 1
7X + 3Y - 5Z + 8W = -3
X + Y + Z + 2W = 3
REFERENSI
Rijal Abdullah: Matrik dan Vektor 2011 22