BAB II

BODE PLOT

Fungsi transfer (Vo/Vi) dalam ranah (domain) frekuensi dari suatu rangkaian

listrik/elektronik dapat digambarkan secara grafik yang disebut dengan BODE PLOT. Grafik

fungsi transfer dalam kaitanya dengan frekuensi ini terdiri dari dua grafik: yang pertama

menggambarkan besar relatif tegangan keluaran Vo terhadap tegangan masukan Vin, grafik

kedua menggambarkan sudut geseran fasa relatif antara Vo terhadap Vin.

A. Bode Plot pada Tapis Lulus Bawah

Analisis pada tapis lulus bawah (low pass filter) untuk menggambarkan bode plotnya adalah

sebagai berikut.

Gambar 1. Tapis lulus bawah

Vo/ Vin = ZC / (ZC + ZR)

Catatan : ω dibaca omega

ZC = - j XC → XC = 1 / ω C

ZC = - J / ω C ; dirasionalkan menjadi :

- J2 / ω C . J/J = -J2 / J ; → J2 = (√-1) (√-1) = + 1

Akhirnya - J2 / J ω C = 1 / J ω C ; maka Vo/ Vin menjadi 1/ J ωC

(1/ J ωC)+R

Vo/ Vin = 1/ J ωC

(1/ J ωC)+R.(J ωC )(J ωC )

Vo / Vin = 1 / (1 + J ω R C)

Besar Vo relative terhadap Vin :

Vo / Vin = 1

√ 12/(ω R C)2

Besarnya geseran sudut fasa Vo relative terhadap Vin adalah arc . tan. (ω R C/1)

Seberapa besar nilai besaran keduanya pada harga R dan C yang sudah tertentu bergantung

pada ω; karena ω = 2 πf ; → 2π = 6,28. Akhirnya variabelnya akan bergantung pada

frekuensi. Dengan demikian natinya Bode Plot yang menyatakan Vo/Vin dapat digambarkan

sebagai fungsi ω (omega; radian per detik) atau fungsi f (frekuensi)

Pada ω = 1/ RC ; berdasarkan persamaan Vo / Vin = 1

√ 12/(ω R C)2

Vo/ Vin menjadi = 1

√ 12/( 1RC

. R C)2

Dari persamaan tersebut Vo/ Vin = - arc . tan . ω R C / 1 ; pada ω = 1 /RC ; besar Vo / Vin

menjadi 1

√ 1+(1)2= 1/ √2 = 0, 707

Dalam dB = 20 log 0,707 = - 3 dB

Besar sudut fasa = - arc . tan 1/ 1 = - 45o

Tanda minus (-) di depan arc. Tan disebabkan rangkaian RC pada gambar 1. tersebut,

tegangan pada kapasitor (yang merupakan Vo) tertinggal terhadap arus yang mengalirnya.

Ingat bahwa dalam hubungan deret (seri) hanya ada satu arus yang mengalir sehingga

dipakai sebagai referensi atau acuan.

Pada ω = 0,1 / RC, besar Vo/Vin = 1

√ 12+(0,1)2 adalah 1 / √ 1,001 = 0,9995

Sedangkan 0,9995 dalam satuan dB adalah = - 0.0043 dB

Sudut Vo/ Vin = - arc.tan (0,1) = - 5° 42 . 38,2 ≈ - 6°

Pada ω = 0,01/ RC besar Vo/ Vin = 1

√ 12+(0,1)2 = 0,9995

Dalam dB = 20 log . 0,9995 = - 0.0043 dB

Sudut Vo/ Vin = - arc.tan (0,01) = 0° . 34 . 22,6

Pada ω = 10/ RC ; Vo/ Vin = 1

√ 1+(10)2 = 1/ √101 = 0,0995

Dalam dB = 20 log (0,0995) = -20,043 dB ≈ - 20 dB

Sudut Vo/ Vin = - arc . tan (10 /RC)(RC)

1 = arc. tan 10 = 84° . 17° 21,8

Pada ω = 100/ RC ; Vo/ Vin = 1

√ 12+(100)2 = 1/ √101 = 9,9995 . 10-3

Dalam dB = 20 log (9,9995 . 10-3) = - 40 dB

Sudut Vo/ Vin = - arc . tan (100 /RC)(RC)

1 = arc. tan 100 = - 89° . 25 37,4

Hasil perhitungan diatas ditabulasikan dalam tabel berikut:

Tabel 1. Perbandingan Vo/ Vin sebagai fungsi ω dari rangkaian gambar 1.

ω (radian per detik) Vo/ Vin Sudut relatif Vo/ VinBesar relatif Dalam dB

0,01/ RC 0,99995 - 0,0004 0° . 34 . 22,60,1/ RC 0,9995 - 0,0043 -5° . 42 . 38,21/ RC 0,707 - 3 - 45°10/ RC 0,0995 - 20 dB - 84° . 17 21,8100/ RC 0,009995 - 40 dB - 89° . 25 37,4

Tabel 2. Perbandingan Vo/ Vin hasil pembulatan harga pada tabel 1.

ω (radian per detik) Vo/ Vin Sudut relatif Vo/ VinBesar relatif Dalam dB

0,01/ RC 1 0 0° 0,1/ RC 1 0 -6° 1/ RC 0,707 - 3 - 45°10/ RC 0,1 - 20 dB - 84° 100/ RC 0,01 - 40 dB - 90°

Gambar Bode Plot dan rangkain RC dari tabel diatas adalah seperti gambar dibawah:

Gambar 2. Perbandingan Vo/ Vin

Gambar 3. Sudut fasa Vo/ Vin

Dari gambar 3. terlihat bahwa kemiringan Vo/ Vin = 20 dB/decade pada ω = 1/RC.

Berarti bahwa setiap kenaiakan ω sepuluh kali lipat, grafik Vo/ Vin turun 20 dB. Bode plot pada

titik patah (“break-point”) pada ω = 1/RC terjadi pada – 3 dB.

Dari gambar 3. terlihat bahwa satu decade di bawah ω = 1/RC sudut Vo/ Vin = - 6°; satu

decade diatas ω = 1/RC sudut Vo/ Vin = -84°. Pada ω = 1/RC; sudut Vo/ Vin = 0° ; ini berarti

frekuensi sangat kecil mendekati nol. Pada frekuensi nol, kapasitor merupakan rangkaian yang

terbuka sehingga Vo/ Vin. (0)dB) dan sudut Vo/ Vin = 0°. (tak ada beda fasa antaar Vo dengan

Vin).

B. Bode Plot pada Tapis Lulus Atas

Jika resistor dan kapasitor pada gambar 1. dibawah ditukar tempatnya sehingga

seperti gambar di bawah ini, jadilah tapis lulus atas (High pas filter). Analisis untuk

menggambar Bode plotnya adalah sebagai berikut:

Gambar 4. Tapis lulus atas

Vo/ vin = R

R+1

J ωC

=J ω R C

J ωR C+1

Besarnya Vo relatip Vin = ω R C

√ 12+ (ω RC )2

Besarnya geseran sudut fasa Vo relatif terhadap Vin adalah = 90° - arc .tan ω. RC/ 1.

Komponen 90° minus di depan arc .tan disebabkan oleh arus (bukan tegangan) yang

digunakan sebagai acuan referensi. Pada kapasitor, arus mendahului tegangannya,

sementara tegangan pada resistor (yang merupakan Vo) selalu sefasa dengan arus yang

melewatinya. Pada frekuensi yang sangat tinggi; maka arc. tan ω. RC/ 1 = menjadi arc .

tan = 90°, sehingga geseran fasa Vo/ vin menjadi 90° - 90° = 0°. Dengan kata lain pada

frekuensi yang sangat tinggi, kapasitor merupakan rangkaian yang bersifat hubung singkat

(besar Vo/ vin dengan sudut geseran fasa nol derajat)

Pada ω = 1/ RC ; Vo/ Vin menjadi Vo / Vin

(1/ RC )(RC )

√ 12+( 1RC

. R C)2

= 1 / √1 + 1 = 0,707

Dalam db; 20 log (0,707) = - 3dB

Sudut fasa Vo terhadap Vin menjadi = Vo/ vin = 90° - arc. tan (2/ RC )RC

1

= 90° - arc. tan 1 = 90° - 45° = 45°

Pada ω = 0,1 / RC, besar Vo/ Vin = 0,1

√ 12+(0,1)2 = 0,0995

Dalam dB = 20 log (0,0995) = -20 dB

Sudut Vo/ Vin = 90° - arc. tan 0,1 / 1 = 90° - 5° 42 38, 14 = 84° 17 21, 8

Pada ω = 0,01 / RC, besar Vo/ Vin = 0,01

√ 12+(0,01)2 = 0,0099995

Sudut Vo/ Vin = 90° - arc. tan 0,01 / 1 = 90° - 0° . 34 22,6 = 89° 25 37,4

Pada ω = 10 / RC, besar Vo/ Vin = 10

√ 12+(10)2 = 0,995 ; dalam dB = 20 log 0,995

Sudut Vo/ Vin = 90° - arc. tan 10 = 90° - 84° 17 21,8 = 5° 42 38,2

Pada ω = 100 / RC, besar Vo/ Vin = 100

√ 12+(100)2 = 0,99995

dalam dB = 20 log (0,99995) = 0,0004 dB

Sudut Vo/ Vin = 90° - arc. tan 100 = 90° - 89° 25 37,4 = 0° 34 22,6

Hasil perhitungan diatas ditabulasikan dalam tabel berikut:

Tabel 3. Perbandingan Vo/ Vin sebagai fungsi ω dari rangkaian gambar 4.

ω (radian per detik) Vo/ Vin Sudut relatif Vo/ VinBesar relatif Dalam dB

0,01/ RC 0,0099995 - 40 + 89° 25 37,40,1/ RC 0,09995 - 20 + 84° 17 21, 81/ RC 0,707 - 3 + 45° 0’ 0”10/ RC 0,995 0,0432 + 5° 42 38,2100/ RC 0,99995 0,0004 + 0° 34 22,6

Tabel 4. Perbandingan Vo/ Vin hasil pembulatan harga pada tabel 1.

ω (radian per detik) Vo/ Vin Sudut relatif Vo/ VinBesar relatif Dalam dB

0,01/ RC 0,01 - 40 + 90° 0,1/ RC 0,1 - 20 + 84 ° 1/ RC 0,707 - 3 + 45°10/ RC 1 0 + 6° 100/ RC 1 0 0°

Gambar Bode Plot dan rangkain RC dari tabel diatas adalah seperti gambar dibawah:

Gambar 5. Perbandingan Vo/ Vin

Gambar 6. Sudut fasa Vo/ Vin

C. Pedoman Umum Dalam Menggambar Bode Plot

Dari persamaan ; Vo / Vin = 1 / (1 + J ω R C) yang grafiknya dinyatakan dengan

gambar 2. nampak bahwa mulai ω = 1/R C ; grafik Vo/ Vin turun 20 dB perdekade

(dekade = kelipatan 10 kali) dari ω. Secara matematis, penurunnan inin dinyatakan dengan

– 20 dB/ dekade.

Dari persamaan Vo/ Vin = J ω RC / (J ω RC +1) yang grafiknya dinyatakan dengan

gambar 5. grafik Vo/ Vin naik dengan 20 dB /dekade; secara otomatis dinyatakan dengan

+20 dB/dekade, baru kemudian mendatar (0 dB/dekade) mulai dari ω = 1/RC.

Perhitungan matematis dari gambar 5. tersebut adalah 0 dB/dekade = +20 dB/dekade

-20 dB/dekade. Besaran -20 dB/dekade ini tidak lain adalah dari faktor J ω RC + 1 pada

penyebut. Perhatikan bahwa gambar grafik 2. Dari persamaan Vo/ Vin = 1 / 1 + J ω RC ;

faktor 1 + J ω RC pada penyebut menyebabkan penurunan 20 dB/ dekade, ditulis dengan

tanda minus : -20 dB/dekade.

Dari pengertian diatas dapat diperoleh pedoman umum sebagai berikut: Yang

pertama adalah setiap faktor binomial (1 + J ω RC) pada penyebut akan membuat

penurunan pada Bode Plot sebesar 20 dB/dekade (-20 dB/dekade). Dengan demikian jika

faktor binomial terdapat pada pembilang maka akan terjadi kenaikan Bode Plot sebesar 20

dB/dekade (+ 20 dB/dekade). Arti faktor binomial disini adalah faktor yang terdiri dari dua

unsur, keduanya itu adalah 1 dan J ω RC. Penurunan atau kenaikan Bode Plot terjadai pada

ω = 1/ RC. Yang kedua adalah adanya solitary factor (faktor sendirian) J ω RC. Setiap

faktor sendirian J ω yang terdapat pada pembilang persaman ω = 1/ RC menyebabkan

grafik Bode Plot naik 20 dB/dekade (+20dB/dekade) yang berlaku dimana saja pada harga

ω .Hanya saja yang menentukan di mana kenaikan 20 dB/dekade in berhenti adalah adanya

faktor binomial yang ada. Jika dalam fungsi transfer terdapat beberapa faktor binomial baik

dalam pembilang maupun penyebut, maka penentu berakhirnya kenaikan Bode Plot

+20dB/dekade yang disebabkan oleh adanya solitary factor (faktor sendirian) J ω berakhir

pada faktor binomial dengan adanya solitary factor (faktor sendirian) ω yang paling kecil.

Dari persamaan Vo/ Vin = 1/ 1 + J ω RC ; grafik sudut seperti dinyatakan pada

gambar 3. dimulai dengan sudut 0° ; turun menjadi - 45° pada ω = 1/ RC (faktor binomial)

yang terdapat pada penyebut. Satu dekade dibawahnya (ω = 0,1/ RC) ; sudut turun dari 0°

menjadi – 6°. Satu dekade diatasnya (ω = 10/ RC) sudut turun lagi dari - 45° menjadi - 84°.

Pada (ω = 1/ RC) ; sudut menjadi - 90°.

Dari persamaan fungsi transfer Vo/ Vin = J ω RC / (1 + J ω RC) ; seperti

dinyatakan dengan Bode Plot gambar 6. sudut dimulai dari + 90°. Berarti bahwa faktor

sendirian J ω pada pembilang akan memberikan sumbangan sudut + 90° ; selanjutnya

adanya faktor binomial pada penyebut; sudut berkurang 45° (- 45°) pada ω = 1/ RC ;

tetunya jika faktor binomial muncul pada pembilang, yang terjadi adalah penambahan sudut

45° (+45°).

Soal :

1. Gambarkan Bode Plot dari suatu fungsi transfer berikut: Av = 100(1+ j f /103)

(1+ j f /107)

2. Gambarkan Bode Plot dari suatu fungsi transfer berikut:

Av = 100 j f

(1+ j f /104)¿¿

3. Ganbarkan tanggapan fasa maupun besarnya V2/ V1 dari rangkaian di bawah ini, jika R

= 100 Ω dan L = 159 µH.

4. Dari gambar di bawah ini tentukan gambar Bode Plotnya akibat pengaruh dari kapasitor

emitor; jika RE = 1 KΩ, hfe = 100, hie = 1 KΩ, RC = 4 KΩ, R1 = 200 KΩ, R2 = 50 KΩ

dan RS = 0.

Gambar Bode Plot dari suatu fungsi transfer berikut: Av = 100(1+ j f /103)

(1+ j f /107)

Gambar grafik besarnya funngsi transfer.

Gambar grafik sudutnya.