6

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Konsep

Menurut Rosser (Dahar, 1996) konsep adalah suatu abstraksi yang

mewakili satu kelas objek, kejadian, kegiatan atau hubungan, yang mempunyai

atribut-atribut yang sama. Woodruff (Amin, 1987) menjelaskan pengertian

konsep menjadi 3 yaitu: 1) Konsep dapat didefinisikan sebagai suatu

gagasan/ide yang relatif sempurna dan bermakna, 2) Konsep merupakan suatu

pengertian tentang suatu objek, 3) Konsep adalah produk subjektif yang berasal

dari cara seseorang membuat pengertian terhadap objek-objek atau benda-

benda melalui pengalamannya (setelah melakukan persepsi terhadap

objek/benda).

Hudoyo (2004) mengartikan konsep sebagai gagasan atau pemahaman

dasar seseorang dimana seseorang dapat mengelompokkan benda, peristiwa,

atau simbol berdasarkan sifat-sifat atau ciri khas yang dimiliki dan dapat diberi

nama. Menurut Wayan (2000), mendefinisikan konsep sebagai suatu ide atau

gagasan yang digeneralisasi dari pengalaman manusia dengan beberapa

peristiwa benda dan fakta. Sedangkan menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia

(2008) konsep adalah gambaran mental suatu objek, proses, atau apapun yang

berada diluar bahasa yang dulu digunakan oleh akal budi untuk memahami

masalah lainnya. Menurut Berg (1991) Konsep adalah benda-benda, kajadian-

kejadian, situasi-situasi, atau cirri-ciri yang memiliki ciri-ciri khas dan yang

terwakili dalam setiap budaya oleh suatu tanda atau simbol.

Dengan melihat pengertian konsep, maka dapat disimpulkan bahwa

konsep adalah gagasan atau pemahaman dasar seseorang dimana seseorang

dapat mengelompokkan benda, peristiwa, atau simbol berdasarkan sifat-sifat

atau ciri khas yang dimiliki dan dapat diberi nama.

7

B. Konsepsi

Tafsiran perorangan terhadap banyak konsep berbeda-beda. Misalnya

penafsiran konsep “ibu” atau “cinta” atau “keadilan” berbeda untuk setiap

orang. Tafsiran perorangan mengenai suatu konsep ini disebut konsepsi.

Walaupun dalam matematika kebanyakan konsep mempunyai arti yang jelas,

yang sudah disepakati oleh para tokoh matematika, tetapi konsepsi

siswa/mahasiswa berbeda-beda. Tafsiran siswa/mahasiswa (konsepsi

siswa/mahasiswa) mengenai konsep integral berbeda dari tafsiran dosen atau

buku.

Pengertian konsepsi dikemukakan oleh Berg (1991) dalam Dewi (2011)

adalah pengertian atau penafsiran seseorang terhadap suatu konsep tertentu

dalam kerangka pengetahuan yang sudah ada dalam pikirannya dan setiap

konsep baru didapatkan dan diproses dengan konsep-konsep yang telah dimiliki.

Menurut Handjojo (2004) konsepsi adalah konsep yang dimiliki seseorang

melalui penalaran, intuisi, budaya, pengalaman hidup atau yang lain. Terdapat

banyak konsepsi-konsepsi dalam matematika antara lain: konsepsi jajargenjang

yaitu segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang

serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

Dengan melihat pengertian konsepsi di atas maka dapat disimpulkan

bahwa konsepsi merupakan seseorang terhadap suatu konsep tertentu yang

sudah ada dalam pikirannya.

C. Pemahaman dan Kesalahan Konsep

1. Proses Pemahaman Konsep

Pemahaman konsep merupakan salah satu aspek dari tiga aspek yang

didalam penilaian matematika. Penilaian pada aspek konsep bertujuan untuk

mengetahui sejauh mana siswa mampu menerima dan mamahami konsep

matematika yang telah diterima oleh siswa.

8

Menurut Sudjana (1990:24) pemahaman konsep adalah tingkat

kemampuan yang mengharapkan siswa/mahasiswa mampu memahami arti dari

konsep, situasi, serta fakta yang diketahuinya. Dalam hal ini siswa tidak hanya

hafal secara verbalitas, tetapi memahami konsep dari masalah atau fakta yang

ditanyakan. Menurut Jatmiko (Dewi, 2011) Kemampuan ini dapat dibagi menjadi

3 tipe pemahaman, yaitu:

a. Menerapkan sesuatu dengan kata-kata sendiri.

b. Mengenali sesuatu dengan menggunakan kata-kata yang berbeda

dengan yang ada dibuku.

c. Menginterprestasikan atau menarik kesimpulan yang benar dan ilmiah.

Pemahaman konsep dapat diaplikasikan dalam sebuah soal, misalkan

tuliskan kembali perkalian 3 X 4 dalam penjumlahan berulang!

Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa

pemahaman konsep adalah suatu proses untuk memahami dan

menanamkannya pada memori otak kita tentang suatu pengertian dan makna

yang sedang disimpankan.

2. Kesalahan Terhadap Konsep dan Faktor-faktor yang Mempengaruhi

Terjadinya Kesalahan

Sriati (1994:8-9) dalam penelitiannya menemukan beberapa jenis

kesalahan yang dilakukan yaitu :

1. Kesalahan strategi, yaitu kesalahan yang terjadi jika mahasiswa memilih

jalan yang tidak tepat yang mengarahkan ke jalan buntu.

2. Kesalahan terjemahan, yaitu kesalahan dalam mengubah informasi ke

ungkapan matematik atau kesalahan memberi makna suatu ungkapan

matematika.

3. Kesalahan sistematik, yaitu kesalahan yang berkenaan dengan pilihan

yang salah atas teknik ekstrapolasi.

9

4. Kesalahan konsep, yaitu kesalahan dalam memahami gagasan abstrak.

5. Kesalahan tanda, yaitu kesalahan dalam memberikan atau menuliskan

tanda operasi matematika.

6. Kesalahan tanpa pola, yaitu kesalahan dimana mahasiswa dalam

mengerjakan soal secara sembarangan.

7. Kesalahan hitung, yaitu kesalahan dalam melakukan operasi hitung

dalam matematika, seperti menjumlah, mengurangkan, mengalikan,

dan membagi.

Lerner (Mulyono, 1999) mengemukakan berbagai kesalahan umum yang

dilakukan oleh anak dalam mengerjakan tugas-tugas matematika, yaitu

kurangnya pengetahuan tentang simbol, kurangnya pemahaman tentang nilai

tempat, penggunaan proses yang keliru, kesalahan perhitungan, dan tulisan

yang tidak dapat dibaca sehingga mahasiswa melakukan kekeliruan karena tidak

mampu lagi membaca tulisannya sendiri.

Adapun beberapa faktor yang menjadi penyebab kesalahan dalam

menyelesaikan masalah dapat diuraikan seperti berikut:

a. Faktor penyebab letak kesalahan

b. Faktor Penyebab Jenis Kesalahan

c. Faktor–faktor penyebab jenis kesalahan konsep

d. Faktor–faktor penyebab jenis kesalahan operasi yang dimiliki

e. Faktor–faktor penyebab jenis kesalahan prinsip

Hidayat (2004)

Banyak faktor yang menjadi penyebabkan kesalahan dalam

menyelesaikan soal matematika. Faktor-faktor tersebut bisa jadi berasal dari

objek dasar matematika yang belum sepenuhnya dikuasai. Menurut Soejadi

(2000:13) ada empat objek dasar yang dipelajari dalam matematika meliputi:

10

a. Fakta (abstrak)

Fakta berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol-simbol

tertentu.

b. Konsep

Adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau

mengklasifikasi sekumpulan objek. Konsep berhubungan erat dengan

definisi. Definisi adalah ungkapkan yang membatasi suatu konsep.

Dengan adanya definisi, orang dapat membuat ilustrasi atau gambaran

atau lambing dari konsep yang didefinisikan. Sehingga semakin jelas apa

yang dimaksud dengan konsep tertentu.

c. Operasi (abstrak)

Adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan

matematika yang lain. Seringkali operasi juga disebut dengan “skill”, bila

yang ditekakan adalah keterampilannya.

d. Prinsip (abstrak)

Adalah objek matematika yang komplek, dapat terdiri atas beberapa

fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi maupun

operasi. Secara sederhana dapat dikatakan bahwa prinsip adalah

hubungan antara berbagai objek dasar matematika.

Jadi dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa ada banyak faktor

yang mempengaruhi proses dan hasil belajar, yang juga berpengaruh terhadap

bentuk kesalahan yang dilakukan mahasiswa dalam menyelesaikan soal

matematika.

3. Jenis Tipe-tipe Kesalahan

Matematika tersusun secara hirarki maka kurangnya penguasaan materi

terhadap suatu pokok bahasan akan mempengaruhi penguasaan pada pokok

bahasan selanjutnya. Apapun kesalahan yang dilakukan oleh mahasiswa, hal ini

11

perlu dilakukan agar dapat ditentukan tindak lanjut terhadap kesalahan yang

ada.

Menurut Subanji dan Mulyono dalam Pramudya (2011) tentang jenis-

jenis kesalahan yang dilakukan dalam menyelesaikan soal-soal matematika

antara lain:

1. Kesalahan interprestasi bahasa

Mahasiswa sering melakukan kesalahan dalam menyatakan bahasa

sehari-hari dalam bahasa matematika. Hal tersebut dikarenakan

banyaknya simbol-simbol, grafik dan tabel sehingga membuat

mahasiswa melakukan kesalahan dalam menginterprestasikan simbol-

simbol, grafik, tabel kedalam bahasa matematika.

2. Kesalahan teknis

Mahasiswa sering melakukan kesalahan-kesalahan perhitungan atau

komputasi dalam mengerjakan soal-soal.

3. Kesalahan konsep

Seringkali mahasiswa melakukan kesalahan dalam menentukan atau

menerapkan rumus untuk menjawab suatu masalah. Mahasiswa

melakukan kesalahan penggunaan teorema atau rumus yang tidak

sesuai dengan kondisi prasyarat yang tidak sesuai dengan kondisi

prasyarat berlakunya rumus tersebut atau tidak menuliskan teorema.

Sedangkan penelitian (Pramudya, 2011) tipe-tipe kesalahan menurut

Newman (Clement, 1980) kesalahan-kesalahan dapat dikelompokkan sebagai

berikut:

1. Kesalahan karena kecerobohan atau kurang cermat

Mahasiswa dalam menggunakan kaidah atau aturan sudah benar, tetapi

melakukan kesalahan dalam perhitungan.

12

2. Kesalahan dalam keterampilan proses

Dalam menyelesaikan soal matematika sering dijumpai kesalahan dalam

proses penyelesaian.

3. Kesalahan dalam memahami soal

Mahasiswa sebenarnya sudah dapat memahami soal, tetapi belum

menangkap informasi yang terkandung dalam pernyataan, sehingga

mahasiswa tidak dapat memproses lebih lanjut solusi permasalahan.

4. Kesalahan dalam penggunaan notasi

Dalam hal ini mahasiswa melakukan kesalahan dalam penggunaan

notasi yang benar.

5. Kesalahan konsep

Sering kali mahasiswa melakukan kesalahan dalam menentukan atau

menerapkan rumus untuk menjawab suatu masalah. Mahasiswa

melakukan kesalahan penggunaan teorema atau rumus yang tidak

sesuai dengan kondisi prasyarat berlakunya rumus tersebut atau tidak

menulis teorema.

Menurut Watson dalam Dewi (2011) terdapat 8 kategori kesalahan yang

dilakukan siswa/mahasiswa dalam mengerjakan soal, yaitu:

1. Data tidak tepat (inappropriate data/ id)

Dalam kasus ini siswa/mahasiswa berusaha mengoperasi pada level

yang tepat pada suatu masalah, tetapi memilih sebuah informasi atau

data yang tidak tepat.

2. Prosedur tidak tepat (inappropriate procedure/ ip)

Pada kasus ini siswa/mahasiswa berusaha mengoperasikan pada level

yang tepat pada suatu masalah, tetapi dia menggunakan prosedur atau

cara yang tidak tepat.

13

3. Data hilang (omitted data/ od)

Gejala data hilang yaitu kehilangan satu data atau lebih dari respon

siswa/mahasiswa. Dengan demikian penyelesaian menjadi tidak benar.

Mungkin respon mahasiswa tidak menemukan informasi yang tepat,

namun mahasiswa masih berusaha mengoperasi pada level yang tepat.

4. Kesimpulan hilang (omitted conclusion/ oc)

Gejala kesimpulan hilang adalah siswa/mahasiswa menunjukkan alasan

pada level yang tepat kemudian gagal menyimpulkan.

5. Konflik level respon (respon level conflict/ rlc)

Gejala yang terkait dengan respon kesimpulan hilang adalah konflik level

respon. Pada situasi ini siswa/mahasiswa menunjukkan suatu kompetisi

operasi pada level tertentu dan kemudian menurunkan operasi yang

lebih rendah, biasanya untuk kesimpulan.

6. Manipulasi tidak langsung (undirected manipulation/ um)

Alasan tidak urut tetapi kesimpulan didapat dan secara umum semua

data digunakan. Suatu jawaban benar diperoleh dengan menggunakan

alasan-alasan yang sederhana dan penuangan tidak logis atau acak.

Gejala diamati sebagai manipulasi tidak langsung.

7. Masalah hirarkhi keterampilan (skills hierarchy problem/ shp)

Banyak pertanyaan matematika memerlukan beberapa keterampilan

untuk dapat menyelesaikan seperti keterampilan yang melibatkan

kemampuan menggunakan ide aljabar dan keterampilan memanipulasi

numerik. Jika keterampilan siswa/mahasiswa dalam aljabar atau

memanipulas numerik tidak muncul, terjadi masalah hirarki

keterampilan. Ekspresi masalah hirarki keterampilan ditunjukkan antara

lain siswa/mahasiswa tidak dapat menyelesaikan permasalahan karena

kurang atau tidak nampaknya kemampuan keterampilan.

14

8. Selain ketujuh kategori di atas (above other/ ao)

Kesalahan siswa/mahasiswa yang tidak termasuk pada ketujuh kategori

diatas dikelompokkan dalam kategori ini. Kesalahan yang termasuk

dalam kategori ini diantaranya pengopian data yang salah dan tidak

merespon.

Tabel 1

Indikator Tipe-tipe Kesalahan Menurut Klasifikasi Watson Jenis Tipe-tipe Kesalahan Indikator

1. Data tidak tepat (inappropriate data/ id)

a. Siswa/Mahasiswa berusaha mengoperasi pada level yang tepat pada suatu masalah, tetapi memilih sebuah informasi atau data yang tidak tepat.

2. Prosedur tidak tepat (inappropriate procedure/ ip)

a. Siswa/Mahasiswa berusaha mengoperasikan pada level yang tepat pada suatu masalah, tetapi dia menggunakan prosedur atau cara yang tidak tepat

3. Data hilang (omitted data/ od)

a. Gejala data hilang yaitu kehilangan satu data atau lebih dari respon Siswa/Mahasiswa, sehingga penyelesaian menjadi tidak benar.

b. Respon Siswa/Mahasiswa tidak menemukan informasi yang tepat, namun siswa/mahasiswa masih berusaha mengoperasi pada level yang tepat.

4. Kesimpulan hilang (omitted conclusion/ oc)

a. Siswa/Mahasiswa menunjukkan alasan pada level yang tepat kemudian gagal menyimpulkan.

5. Konflik level respon (respon level conflict/ rlc)

a. Siswa/Mahasiswa menunjukkan suatu kompetisi operasi pada level tertentu dan kemudian menurunkan operasi yang lebih rendah, biasanya untuk kesimpulan.

6. Manipulasi tidak langsung (undirected manipulation/ um)

a. Siswa/Mahasiswa menggunakan alasan tidak urut tetapi kesimpulan didapat dan secara umum semua data digunakan.

b. Jawaban siswa/mahasiswa yang benar diperoleh dengan menggunakkan alasan-alasan yang sederhana dan penuangan tidak logis atau acak.

7. Masalah hirarkhi keterampilan (skills hierarchy problem/ shp)

a. Keterampilan Siswa/Mahasiswa dalam aljabar atau memanipulas numeric tidak muncul, sehingga terjadi masalah hirarki keterampilan.

b. Siswa/Mahasiswa tidak dapat menyelesaikan permasalahan karena kurang atau tidak nampaknya kemampuan keterampilan.

15

8. Selain ketujuh kategori di atas (above other/ ao)

a. Kesalahan Siswa/Mahasiswa dalam kategori ini diantaranya pengopian data yang salah dan tidak merespon.

Dalam penelitian ini peneliti menggunakan tipe-tipe kesalahan seperti

yang diungkapkan Slamet (2004) dalam penelitiannya, terdapat 4 jenis

kesalahan yang dilakukan mahasiswa:

1. Kesalahan dalam pemindahan ruas,

2. Kesalahan memanipulasi bentuk-bentuk pecahan,

3. Kesalahan memanipulasi bentuk pangkat,

4. Kesalahan memanipulasi bentuk trigonometri.

Tabel 2

Indikator Tipe Kesalahan Menurut Slamet Jenis Tipe-tipe Kesalahan Indikator

1. Kesalahan dalam pemindahan ruas.

a. Apabila suatu besaran dipindahkan dari ruas kanan ke ruas kiri ( atau sebaliknya) maka tanda dari besaran tersebut berubah dari positif menjadi negatif (sebaliknya).

b. Dalam menggunakan identitas trigonometri mahasiswa melakukan kesalahan dalam pemindahan ruas.

2. Kesalahan manipulasi bentuk-bentuk pecahan.

a. Mahasiswa kurang menguasai operasi pecahan (penjumlahan, perkalian, pembagian pada pecahan).

3. Kesalahan manipulasi bentuk pangkat, akar atau logaritma.

a. Mahasiswa kurang menguasai operasi hitung. b. Mahasiswa lupa rumus (

) dalam mengkuadratkan, sehingga akar yag dikuadratkan akarnya hilang.

c. Mahasiswa kurang menguasai perpangkat di atas 2.

d. Mahasiswa kurang menguasai cara memfaktoran persamaan kuadrat.

4. Kesalahan manipulasi bentuk Trigonometri.

a. Mahasiswa kurang menguasai bentuk-bentuk/sifat-sifat trigonometri.

b. Kesalahan mahasiswa dalam memahami bentuk-bentuk phytagoras.

16

4. Kesalahan-Kesalahan dalam Memanipulasi Bentuk Aljabar

Rekomendasi National Council of Teacher of Mathematics (NCTM) 2000

(carpenter, et al. 2005) mengusulkan aljabar harus diajarkan diseluruh kelas di

awal sekolah dasar. Hal tersebut terjadi juga di Indonesia yaitu dengan

masuknya aspek bilangan sebagai salah satu ruang lingkup mata pelajaran

matematika pada satuan pendidikan SD/MI. Dalam belajar aljabar beberapa

peneliti mengatakan bahwa siswa mengalami banyak kesulitan. Seperti yang

dikatakan Analucia, 2003 (Saputro, 2012) berkaitan dengan penalaran aljabar

siswa lemah pada 1) keterbatasan dalam menginterprestasikan tanda sama

dengan (Booth, 1984, 1988; Kieran, 1985; Vergnaud, 1985), 2) kesalahan

tentang arti huruf untuk variabel (Kieren, 1985; Kuchemann, 1981; Vergnaud,

1985), 3) menolak untuk menerima ekspresi seperti “3a+7” sebagai jawaban

dari masalah (sfard dan Linchevski, 1994), 4) kesulitan dalam menyelesaikan

persamaan dengan variabel pada kedua sisi tanda sama dengan (Filloy dan

Rojano, 1989; Herscovics dan Linchevski, 1994). Subramaniam dan Beneejee

(2004:122) membenarkan pernyataan itu. Dia mengatakan banyak siswa

kesulitan di dalam pelajaran aljabar, mungkin karena mereka mempunyai

pemahaman yang lemah dari dua konsep penting yaitu variabel dan ekspresi

aljabar.

Linchevski dan Livneh (Subramaniam dan Benerjee, 2004:121)

menambahkan bahwa siswa yang membuat kesalahan dalam memanipulasi

ekspresi aljabar mengulangi beberapa kesalahan ketika berhadapan dengan

ekspresi aritmatika. Chiklin dan Lesgold (Subramaniam dan Benerjee, 2004:121)

juga mengatakan banyak siswa yang memiliki kelemahan sense dari struktur

ekspresi aritmatika dan tidak dapat menilai kesetaraan ekspresi seperti 685 –

492 + 947 dan 947 – 492 + 685 tanpa bantuan perhitungan.

Hal serupa juga terjadi pada siswa-siswi Indonesia. Dari hasil pengkajian

tehadap kesulitan yang dihadapi oleh guru matematika dan siswa SMP pada 5

17

propinsi yag diselenggarakan oleh PPPG Matematika tahun 2002 menunjukan

bahwa hampir semua propinsi menghadapi kendala berupa pemahaman yang

rendah dari siswa tentang konsep-konsep yang berkaitan dengan operasi

bentuk aljabar dan skill yang rendah dalam menyelesaikan operasi bentuk

aljabar (Wardhani, 2004). Wardhani (2004) menambahkan bahwa hal itu

diperkut oleh hasil analisis terhadap uji kemampuan dasar matematika siswa

SMP yang diselenggarakan oleh PPPG matematika berturut-turut tahun 2001,

2002, dan 2003 pada hampir semua propinsi di Indonesia. Hasil analisis itu

antara lain menunjukkan bahwa masih banyak siswa yang sulit membedakan

antara suku sejenis dan tidak sejenis, makna koefisien, sehingga tidak mampu

menyelesaikan operasi bentuk aljabar dengan baik.

Manipulasi aljabar terhadap integral seringkali diperlukan sebelum

menggunakan teknik integral tertentu. Beberapa teknik manipulasi aljabar : 1)

melengkapi kuadrat, 2) Menambahkan “0”, 3) Mengalikan “1”, 4) Subtitusi

rasional (Dep. Metematika-IPB, 2012).

D. Miskonsepsi

Miskonsepsi yang terjadi pada seseorang sulit diperbaiki apabila

miskonsepsi tersebut dapat membantu seseorang dalam memecahkan

permasalahannya. Novak (1984) menyatakan bahwa miskonsepsi merupakan

suatu interpretasi konsep-konsep dalam suatu pernyataan yang tidak diterima.

Sedangkan Breg (1991) mengungkapkan jika konsepsi bertentangan dengan

konsep para ahli, maka hal tersebut dinamakan miskonsepsi. Miskonsepsi

menunjukkan pada suatu konsep yang tidak sesuai dengan pengertian yang

diterima para pakar dalam bidang itu.

Miskonsepsi adalah pengertian yang tidak akurat akan konsep,

penggunaan konsep yang salah, klasifikasi contoh-contoh yang salah, kekacauan

konsep-konsep yang berbeda dan hubungan hierarkis konsep-konsep yang tidak

18

benar (Suparno, 1998). Sementara itu, Brown (1989) menyatakan bahwa

miskonsepsi merupakan penjelasan yang salah dan suatu gagasan yang tidak

sesuai dengan pengertian ilmiah yang diterima para ahli. Secara rinci,

miskonsepsi dapat merupakan pengertian yang tidak akurat tentang konsep,

penggunaan konsep yang salah, klasifikasi contoh-contoh yang salah tentang

penerapan konsep, pemaknaan konsep yang berbeda, kekacauan konsep-

konsep yang berbeda, dan hubungan hirarkis konsep-konsep yang tidak benar.

Berdasarkan uraian dan pengertian di atas miskonsepsi yang menjadi

dasar penelitian ini adalah miskonsepsi menurut Suparno (1998) yang

mengartikan miskonsepsi sebagai pengertian yang tidak akurat akan konsep,

penggunaan konsep yang salah, klasifikasi contoh-contoh yang salah, kekacauan

konsep-konsep yang berbeda dan hubungan hierarkis konsep-konsep yang tidak

benar.

E. Konsep Integral

1. Pengertian Integral

Konsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai kebalikan operasi

pendiferensial, yaitu sebagai bentuk yang paling umum dari anti turunan.

Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi dari yang

diketahui? Menentukan fungsi dari , berarti menentukan antiturunan

dari . Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau

operasi invers terhadap diferensial.

Jika adalah fungsi umum yang bersifat

merupakan antiturunan atau integral dari . Pengintegralan fungsi

tehadap dinotasikan sebagai berikut: , dengan:

Notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang

matematikawan Jerman)

Fungsi integran

19

Fungsi integral umum yang bersifat

Konstanta pengintegralan

Berdasarkan pengertian di atas integral dibagi atas 2 bagian yaitu

integral tak tentu adalah integral yang mana nilai dari fungsi tidak disebutkan

sehingga dapat menghasilkan nilai dari fungsi tersebut yang banyak dan integral

tertentu adalah integral yang mana nilai dari fungsi telah ditentukan, sehingga

nilai dari fungsi integral tersebut terbatas pada nilai yang telah ditetapkan

tersebut. Berikut ini langkah-langkah menyelesaikan soal integral tak tentu

secara umum menurut Stewart (2003):

a. Menganalisis soal terlebih dahulu

b. Menentukan teknik pengintegralan apa yang akan digunakan misalkan,

i. Menggunakan Teknik Subtitusi Integral

Untuk menyelesaikan soal tipe subtitusi integral pertama

memisalkan fungsi yang kalau diturunkan menjadi fungsi lainnya

misalkan menjadi fungsi , kemudian menurunkan fungsi

menggunakan notasi Leibniz , lalu menyatakan bentuk turunan ke

bentuk dan Subtitusikan pemisalan tadi ke integral semula.

ii. Menggunakan Teknik Integral Parsial

Pada dasarnya integral parsial merupakan teknik subtitusi ganda.

Banyak digunakan pada pengintegralan yang melibatkan fungsi

transenden (logaritma, eksponensial, trigonometri beserta inversnya).

Jika dan adalah 2 buah fungsi yang dideferensialbel maka:

, jika diintegralkan menjadi:

atau menjadi: .

20

iii. Menggunakan Teknik Dekomposis Integral Parsial (Teknik

Rumus Reduksi)

Dalam integral tak tentu, terdapat banyak kasus yang

penyelesaiannya menggunakan metode integral parsial lebih dari

satu kali misalkan

Setelah metode parsial integral digunakan pertama kali, kita harus

menghitung integral yang kedua dengan metode yang sama tetapi

pangkat dari x yang lebih kecil. Jadi disini pangkat dari x direduksi

agar semakin kecil, sehingga masalah dapat diselesaikan. Bentuk

umumnya:

iv. Menggunakan Integral Subtitusi Trigonometri

Untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar kuadrat

diperlukan subtitusi trigonometri agar bentuk akarnya hilang.

Setelah peubahnya diganti dengan fungsi-fungsi trigonometri

yang sesuai, maka bentuknya menjadi integral fungsi trigonometri

yang kemudian aka diselesaikan dengan rumus reduksi atau

rumus sebelumnya:

(Aturan Sinus) Jika fungsi yang akan diintegralkan

memuat bentuk gunakan

pengganti yang akan menghasilkan

.

(Aturan Tangen) Jika fungsi yang akan diintegralkan

memuat bentuk gunakan

pengganti yang akan menghasilkan

.

21

(Aturan Secan) Jika fungsi yang akan diintegralkan

memuat bentuk

gunakan pengganti:

dengan

yang akan menghasilkan .

2. Tinjauan Materi Integral

Peta konsep merupakan alat yang digunakan untuk menggunakan

skema pemikiran maupun kerangka pemikiran seseorang akan suatu hal.

Menurut Novak dan Gowin (1984) peta konsep adalah suatu bagan skematik

untuk menggambarkan suatu pengertian konseptual seseorang dalam suatu

rangkaian pernyataan. Peta konsep menggambarkan hubungan antara konsep-

konsep dan terdiri atas kumpulan konsep-konsep serta pernyataan-pernyataan.

Adapun materi yang diberikan pada mahasiswa pendidikan matematika

untuk pokok bahasan Integral dapat ditunjukan dengan peta materi dibawah ini.

22

Pengggunaan Integral Tentu: Luas, Volume, Pusat Massa, Kerja, Tekanan Zat Cair

Limit

Turunan

Anti Turunan

Integral Tak Tentu

Limit Jumlah

Integral Tentu

Integral Tak Wajar

Sifat-sifat Integral Tak

Tentu

Teknik Pengintegralan, Metode Subtitusi,

Parsial, Integral Fungsi Rasional

Invers Trigo-nometri, Fungsi Hiperbolik dan

Inversnya

Teorema Dasar Kalkulus

Fungsi ln x dan

Fingsi

Turunan dan Limit

Sifat-sifat

Integral Tentu

Hampiran Integral Tentu

Galat Hampiran Integral Tentu

Penggunaan Integral Tentu Dalam Penyelesaian Pers.

Diferensial

Penggunaan Persamaan Diferensial dalam Masalah

Nyata

Konsep Teorema/Metode

Bagan 1 Peta Konsep Materi Integral menurut Martono

F. Penelitian yang Relevan

Untuk mendukung penelitian ini, ada beberapa penelitian yang telah

dilakukan terkait terhadap analisis kesalahan yang dilakukan mahasiswa dalam

memanipulasi bentuk aljabar pada soal-soal integral adalah:

Penelitian yang dilakukan oleh Dewi (2011) menyatakan masih terdapat

kesalahan pada siswa kelas X SMK Negeri 2 Salatiga dalam menyelesaikan soal-

23

soal aljabar pokok bahasan operasi hitung bilangan berpangkat dan bilangan

dalam bentuk akar (bilangan irasional). Berdasarkan tes diagnostik yng

dilakukan ditemukan kesalahan-kesalahan pada pokok bahasan tersebut.

Prosentase tipe kesalahan 1) kesalahan konsep pada kelas B sebesar 31,41% dan

kelas A sebesar 38,68%, 2) kesalahan menggunakan data pada kelas B sebesar

10,05% dan kelas A sebesar 10,64%, 3) kesalahan teknis pada kelas B sebesar

53,52% dan kelas A sebesar 42,17%, 4) kesalahan penarikan kesimpulan pada

kelas B sebesar 5,02% dan kelas A sebesar 8,51%.

Penelitian dari Slamet (2004) menyatakan masih banyak mahasiswa

Jurusan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Surakarta yang

mengalami kesalahan dalam memanipulasi bentuk aljabar. Berdasarkan tes

diagnostik yang dilakukan ditemukan kesalahan-kesalahan pada pokok bahasan

tersebut. Prosentase tipe kesalahan yang dilakukan mahasiswa: 1) kesalahan

dalam pemindahan ruas, 3 kasus sebanyak 18 % 2) kesalahan memanipulasi

bentuk-bentuk pecahan, 25 kasus sebanyak 30% 3) kesalahan memanipulasi

bentuk pangkat, 29 kasus sebanyak 30% 4) kesalahan memanipulasi bentuk

trigonometri, 10 kasus sebanyak 22%.

G. Kerangka Berpikir

Salah satu cara untuk mengetahui kesalahan yang dilakukan mahasiswa

adalah dengan melakukan analisis terhadap hasil pekerjaan yaitu dengan

menggunakan instrumen berupa tes diagostik untuk mengetahui kelemahan

mahasiswa sehingga berdasarkan kelemahan-kelemahan tersebut dapat

dilakukan pemberian perlakuan yang tepat. Dari hasil itu akan diperoleh

jawaban penyebab kesalahan dan jalan keluarnya sehingga mahasiswa tidak lagi

mengulangi kesalahannya.

Penelitian ini mengambil materi tentang integral. Berdasarkan informasi

dari mahasiswa, banyak dari mereka yang mengalami kesulitan dalam

24

menyelesaikan soal. Dalam mempelajari materi integral banyak konsep yang

harus dikuasai oleh mahasiswa. Kebanyakan mahasiswa mengeluhkan sulitnya

menguasai konsep integral pada khususnya. sehingga adanya kesalahan-

kesalahan yang terjadi.

Sementara itu, dosen yang mengajar materi tersebut mengatakan telah

melakukan upaya untuk membantu mahasiswa dalam memahami materi

integral ini dengan mengadakan kelas tambahan (kelas asistensi), dan

memberikan tugas rumah, tetapi masih saja hasil yang diperoleh mahasiswa

masih rendah dalam menyelesaikan soal integral pada hal materi integral ini

sebagai mata kuliah prasyarat untuk mengambil mata kuliah Persamaan

Diferensial. Oleh karena ini peneliti ingin melakukan penelitian dengan ingin

melihat teknik-teknik integrasi untuk semua fungsi yang digunakan mahasiswa.

Bagan 2

Kerangka Berpikir

Kurikulum

Dosen Menjelaskan Materi Pembelajaran Konvensional

Dosen Memberikan Tes

Hasil Tes Mahasiswa Rendah

Analisis Tipe-tipe kesalahan