11

BAB II

LANDASAN TEORI

Antrian terdapat di mana mana, misalnya pembeli yang menunggu giliran,

para penonton film yang antri untuk membeli karcis, para mahasiswa yang

menunggu giliran pendaftaran dan lain sebagainya.

Sebuah problem antrian terjadi, apabila orang-orang atau obyek-obyek

datang pada suatu tempat untuk dilayani tetapi kemudian menghadapi

keterlambatan di sebabkan oleh karena mekanisme pelayanan mengalami

kesibukan (Winardi, 1999).

Problem antrian terdapat pada seluruh sistem “managerial” pada sebuah

konsepsi arus (flow) dan sistem managerial pada dasarnya merupakan suatu

sistem arus bertahap (sequential flow system ) yang mencakupi input, proses,

output, di mana setiap fase merupakan output dari fase yang mendahului dan

input dari fase yang lain (Winardi, 1999).

2.1. Pengertian Antrian (Queue)

Kata antrian dalam bahasa inggris ialah queueing atau waiting line.

Dalam kehidupan manusia terutama mereka yang hidup di kota tak akan terlepas

dari kegiatan antrian. Kegiatan antrian timbul karena jumlah fasilitas pelayanan

jasa lebih sedikit dibandingkan dengan jumlah orang yang memerlukan

pelayanan bersangkutan (Taha, 1996). Orang terpaksa melakukan antian untuk

memnuhi kebutuhan. Misalnya mobil antri membeli bahan bakar minyak (BBM),

orang antri untuk membeli tiket pesawat, orang antri membeli karcis kereta api,

dan sebagainya. Jadi, kegiatan antrian merupakan bagian dari berbagai aspek

kehidupan manusia yang bertujuan memenuhi kebutuhannya.

12

Masalah yang berkaitan dengan antri adalah waktu menunggu dan

panjang antrian. Khususnya masalah waktu menunggu tentunya harus jangan

sampai terlalu lama, agar tidak boros waktu dan melelahkan. Sedangkan

masalah panjang antrian berkaitan dengan tempat (space) untuk menunggu.

Masalah ini hanya dapat di pecahkan dengan model antrian (Taha, 2001).

Teori antrian di kenal dalam dunia ilmiah sebagai queueing theory atau

waiting line theory, yaitu teori yang membahas tentang seluk beluk antri yang

dilakukan oleh orang atau benda atas kehendak manusia. Di sadari atau tidak

nampaknya masalah antrian merupakan bagian yang tidak dapat di hindari dari

kehidupan manusia masa kini. Mendengar kata antri, berarti akan terbayang

orang berdiri berderet dalam satu barisan. Atau mobil berderet dalam satu

barisan dan memanjang. Lalu kita berfikir alangkah kita lelah atau kesalnya

menunggu. Dikarenakan factor kelelahah menunggu itulah maka para pakar

mencoba mengutak-atik masalah antrian dengan matematika. Untuk apa? Tentu

saja untuk “kesejahteraan” kita semua, dalam arti bagaimana cara agar factor

kelelahan menunggu dapat dikurangi (Taha,2001).

Sebagai ilustrasi mari kita Perhatikan antrian calon pembeli di sebuah

warung. Pada jam jam tertentu pembeli yang datang sangat sedikit dan dapat

langsung di layani. Namun pada jam jam makan, calon calon pembeli akan

berdatangan dan akan membentuk antrian. Setiap kali ada calon pembeli yang

dating (menambah elemen), maka ia harus menempati posisi palingbelakang

dalam barisan antrian yang ada. Petugas warung hanya akan melayani calon

pembeli yang paling depan dari antrian. Jika sudah di layani, maka pembli tadi

akan meninggalkan antrian (mengurangi elemen), dan orang-orang di

belakangnya akan bergerak maju. Yang berada paling depan dalam antrian itu.

13

Pada kasus di atas penambahan elemen hanya dapat di lakukan di ujung

belakang antrian, sedangkan penghapusan elemenhanya dapat di lakukan di

ujung depan antrian. Keadaan tersebut biasa di sebut Queue (antrian) atau FIFO

– First In First Out (Iskandar, 2005)

Perhatikan beberapa situasi berikut ini:

Kendaraan berhenti berderet deret menunggu di traffic light

Pesawat menunggu lepas landas di bandara

Mesin rusak antri untuk di perbaiki di sebuah bengkel

Surat antri untuk di ketik oleh sekertaris

Program menunggu di proses oleh computer digital

Apa yang ada dalam situasi tersebut adalah fenomena menunggu. Suka

atau tidak suka, menunggu adalah bagian dari kehidupan kita sehari hari.

Fenomena menunggu merupakan hasil dari keacakan dalam operasional

pelayanan fasilitas. Secara umum, kedatangan customer dan waktu pelayanan

tidak di ketahui untuk waktu selanjutnya. Sebaiknya fasilitas operasional dapat di

atur sehingga dapat mengurangi antrian (Purwirosentono, 2003).

2.2. Disiplin Antrian

Antrian adalah berdiri berderet dalam suatu barisan memanjang dari

depan ke belakang (Purnomo, 2003). Dalam hal ini disiplin yang harus di taati

oleh para peserta antri tersebut adalah bahwa orang yang datang lebih dulu akan

memperoleh pelayanan lebih dahulu. Artinya, yang belakangan datang tidak

boleh menyerobot dan mendahului yang didepannya. Itulah sebabnya di dalam

teori antrian berlaku suatu disiplin first come, first served, artinya yang dating

lebih dahulu, harus lebih dahulu menerima pelayanan. Pelanggaran terhadap

disiplin dapat merusak sistem yang disepakati. Artinya teori antrian hanya

14

berjalan baik apabila disiplin tersebut dilaksanakan oleh seluruh peserta dalam

sistem.

2.3. Tujuan Dasar Teori Antrian

Tujuan kita mempelajari bab ini adalah untuk mengetahui beberapa

parameter yang mempengaruhi kinerja dari sistem antrian. Sebagai contoh,

ukuran kinerja adalah beberapa lama kostumer harus menunggu sebelum di

layani. Ukuran yang lain adalah persentase waktu fasilitas pelayanan tidak di

gunakan atau menganggur karena tidak ada kostumer. Ukuran ini menyatakan

tingkat kegunaan fasilitas layanan. Secara intuitif kita dapat melihat bahwa

semakin lama waktu tunggu costumer maka semakin kecil pula waktu

menganggur fasilitas pelayanan yang tersis, begitu juga sebaliknya (Winardi,

1999).

Pelopor penyusun teori antrian adalah A.K. Erlang, seorang insinyur

Denmark pada tahun 1909. Ia bekerja di sebuah perusahaan telepon dan

melakukan percobaan yang melibatkan flukuasi permintaan sambungan telepon

serta pengaruhnya pada peralatan telepon switching. Sebelum perang dunia II

studi awal sdah berkembang di lingkungan antrian yang lebih umum

Pada bab ini akan di pelajari model model antrian yang pada dasarnya

merupakan aplikasi dari teori probabilitas dan proses stokastik. Tujuan utama

pemecahan model adalah untuk menentukan karakteristik karakteristik yang

mengukur kinerja sistem sehingga sistem pelayanan dapat bekerja secara

optimal.

15

2.4. Sifat Dasar Antrian

Dalam teori antrian selain mengikuti disiplin “yang dating lebih dahulu,

memperoleh pelayanan lebih dahulpu” dengan pola atau bentuk antrean seperti

diterangkan di atas (Prawirosentono, 2003), secara umum antrian di pengaruhi

beberapa sifat dasar berikut:

1. Pola kedatangan (the arrival patern)

2. Pola pelayanan (the service pattern)

3. Intensitas lalu lintas atau kegunaan (the traffic intensity or utilization)

4. Jumlah jalur pelayanan (the number of service channel )

5. Disiplin antrian (the queue discipline)

2.4.1. Pola Kedatangan

Orang , kapal, atau pesawat terbang harus antri untuk menerima suatu

pelayanan, datangnya bias dengan berbagai cara dan bentuk. Mereka datang

secara berkelompok dalam jumlah besar atau kecil bahkan sendiri-sendiri.

Demikian pula, keadaan datangnya bisa teratur atau tidak teratur, dalam arti

interval waktu kedatangannya secara sembarang ataupun tetap. Dalam hal ini

pola kedatangan (arivvalarrival patern atau arrival rate) dalam suatu antrian

sangat bervariasi dan berbeda satu sama lain (Taha, 1996).

Untuk pola kedatangan random maka bentuk distribusi poisson. Tingkat

kedatangan dalam satuan waktu dinyatakan dalam lamda ( ), dan menurut

statistik dapat dibuktikan bahwa tingkat kedatangan mengikuti distribusi poisson

rata-rata jarak antara (interval kedatangan ) yaitu 1/

2.4.2. Pola Pelayanan

Simbol abjad Yunani lain yang digunakan untuk rata-rata tingkat

pelayanan dalam model antrian adalah µ (myu) yang merupakan lamanya

16

pelayanan dalam satuan waktu (Stalling, 1998). Tingkat pelayanan mengikuti

suatu distribusi eksponensial. Jika rata-rata pelayanan µ maka penyebaran

(distribusi) waktu pelayanan mengikuti suatu distribusi eksponensial yang negatif,

dengan waktu pelayanan adalah 1/µ (satu per myu). Mengingat pola kedatangan

mengikuti distribusi poisson, namun distribusi pola pelayanan tidak jelas

sehingga untuk menyederhanakan pemecahan masalah dianggap saja pola

pelayanan mengikuti distribusi eksponensial.

Secara umum, kondisi atau asaumsi yang berlaku untuk model antrian adalah:

a. Tingkat kedatangan menurut distribusi poisson (poisson arrival rate)

b. Waktu pelayanan diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial

(eksponential service time)

c. Disiplin, yang dating lebih dahulu harus memperoleh pelayanan lebih

dahulu.

d. Tingkat rata-rata pelayanan µ lebih besar daripada rata-rata tingkat

kedatangan atau µ > .

2.5. Sitem Antrian

Suatu antrean merupakan formasi baris baris penungguan dari pelanggan

(satuan) yang memerlukan pelayanan dari satu atau lebih pelayanan dari satu

atau lebih fasilitas pelayanan (Aminudin, 2005). Peristiwa antrian merupakan

fenomena yang bias terjadi bila kebutuhan akan pelayanan melebihi kemampuan

(fasilitas) pelayanan, sehingga pelanggan yang tiba tidak dapat segera

mendapatkan pelayanan dan membentuk suatu formasi baris baris penungguan.

Untuk mengurangi antrian dan mencegah timbulnya antrian, maka sering

kali di lakukan penambahan fasilitas pelayanan, yang menjadi permasalahan

dengan melakukan penambahan fasilitas maka di perlukan biaya yang lebih

17

besar, dan hal itu akan mengurangi keuntungan. Sebaliknya atrian yang panjang

juga akan menimbulkan biaya, baik berupah biaya sosial, kehilangan pelanggan

ataupun pengangguran pekerja. Dengan demikian, yang menjadi tujuan utama

teori antrian adalah mengusahakan keseimbangannya antara pelayanan dengan

ongkos yang di sebabkan oleh adanya waktu menunggu tersebut. Proses yang

terjadi pada model antrean dapat di gambarkan sebagai berikut.

Proses kedatangan

masukFasilitaspelayanan keluar

populasi

Gambar 2. Komponen Utama dalam Sistem Antrian

Sumber : Aminudin, 2005.

Pada gambar di atas, unit-unit (langganan) dari sumber input memerlukan

Pelayanan yang terlibat dalam suatu antrian. Dalam waktu waktu tertentu antrin

ini ini di pilih untuk mendapatkan pelayanan. Pemilihan di dasarkan pada aturan

yang di sebut dengan disiplin pelayanan. Untuk melakukan pelayanan ini di

perlukan suatu mekanisme pelayanan tertentu. Setelah mendapatkan pelayanan,

unit unit (langgan) meninggalkan sistem antrian.

Dari uraian di atas terdapat tiga faktor dalam sebuah sistem antrian, yaitu

1. Kedatangan/masukan sistem

2. Proses Antrian

3. fasilitas pelayanan

18

2.5.1. Kedatangan/Masukan Sistem

Ukuran populasi kedatangan (calling population) dapat terbatas (finite)

atau tak terbatas (infinite). Banyak kasus antrian mengasumsikan adanya ukuran

populasi yang tak terbatas jumlahnya, sebagai contoh, mobil yang memasuki

gerbang tol, orang yang belanja di suatu pasar, atau nasabah yang datang

melakukan transaksi di suatu bank. Baik mobil, orang yang belanja, maupun

nasabah bank, tidak terbatas jumlahnya, siapapun pengendara mobil bis masuk

ke tol tersebut, setiap orang juga dapat berbelanja di pasar, maupun menjadi

nasabah di suatu bank (Aminudin, 2005).

Di sisi lain, populasi bisa terbatas jumlahnya, misalnya jumlah kendaraan

yang di miliki suatu kantor yang secara periodik mendapat perawatan, atau

mesin-mesin dalam suatu pabrik yang di jadwalkan secara berkala mendapat

perawatan anggota. Atau kelas yang sudah tertentu jumlah mahasiswanya

merupakan contoh lain dari calling population yang terbatas (Stalling, 1998).

Subyek populasi kedatangan bisa tiba pada fasilitas pelayanan dalam

beberapa pola tertentu, bisa juga secara acak, kita harus tahu probabilitas

melalui waktu antar kedatangan. Analisis riset operasi telah mendapati bahwa

kedatangan acak paling cocok di uraikan menurut distribusi poisson. tentu saja

tidak semua kedatangan memiliki distribusi ini dan kita perlu memastikan terlebih

dahulu sebelum kita menggunakannya (Stalling, 1988).

Bagaimana mengetahui kedatangan berdistribusi poisson dalam

kehidupan sehari hari. Berikut ini syarat syarat kedatangan berdistribusi poisson:

1. Pastikan bahwa proses kedatangan bersifat acak, jika hal ini terpenuhi

maka kemunkinan besar pola kedatangan mengikuti distribusi

kedatangan poisson.

19

2. Rata-rata jumlah kedatangan per interval waktu sudah di ketahui dari

pengamatan sebelumnya.

3. Bila kita bagi interval waktu ke dalam interval yang lebih kecil, maka

pernyataan-pernyataan ini harus di penuhi:

Probabilitas tepat satu kedatangan adalah sangat kecil dan

konstan

Probabilitas dua kedatangan atau lebih selama interval waktu

tersebut angkanya sangat kecil sekali, sehingga bias di katakana

sama dengan nol

Jumlah kedatangan pada interval waktu tersebut tidak tergantung

pada kedatangan di interval waktu sebelum dan sesudahnya

Pernyataan pernyataan tersebut menggeneralisir kondisi kondisi itu dan

menggunakannya dalam proses lain yang di perlukan pihak manajemen. Bila

proses tersebut pada kondisi yang sama, maka distribusi poisson bisa di

terapkan untuk menggambarkannya.

Probabilitas tepat terjadinya x kedatangan dalam distribusi poisson dapat

diketahui dengan menggunakan rumus :

Di mana:

= rata-rata jumlah terjadinya x per interval waktu

x = variable acak diskrit yang menyatakan banyaknya kedatangan per interval

waktu.

P ( X ) = ! .....( 1 )

20

Jika pola kedatangan mengikuti distribusi poisson maka waktu antar

kedatangan atau intervarrival time adalah acak dan mengikuti distribusi

eksponensial.

Ada tiga hal istilah yang bisa digunakan dalam antrian untuk

menggambarkan tingkah laku pemanggilan populasi

Tidak mengikuti (range), yakni bila seseorang bergabung dalam antrian

dan kemudian meninggalkannya

Menolafk (balking), berarti serta merta tidak mau bergabung

Merebut (bulk), menunjukan kondisi di mana kedatangan terjadi secara

bersama sama ketika memasuki sistem seorang berebut menyerobot ke

depen

Terlepas dari apakah anda setuju atau tidak, banyak model antrian

mengamsumsikan bahwa subyek pemanggilan atau kedatangan cenderung

sabar dan bersedia menunggu.

2.5.1.1. Distribusi Poisson

Kita dapat menghitung distribusi probabilitas binomial untuk percobaan

dengan probabilitas sukses (p) kurang dari 0,05. Namun perhitungan tersebut

akan sangat tidak efektif dan akurat (khususnya untuk niliai n yang sangat besar,

misalnya 100 atau lebih). Oleh sebab itu, dikembangkan satu bentuk distribusi

binomal yang mampu mengkalkulasikan distribusi probabilitas dengan

kemungkinan sukses (p) sangat kecildan jumlah eksperimen (n) sangat besar,

yang disebut distribusi poisson ( Supianto. J, 2001).

Karena distribusi poisson biasanya melibatkan jumlah n yang besar,

dengan p kecil, distribusi ini biasanya digunakan untuk menghitung nilai

probabilitas suatu kejadian dalam suatu selang waktu dan daerah tertentu.

21

Misalnya banyaknya dering telpon dalam satu jam di suatu kantor, banyaknya

kesalahan ketik dalam suatu halaman laporan dan sebagainya..

Rumus untuk menyelesaikan distribusi poisson adalah sebagai berikut.

2.5.1.2. Karakteristik dan Proses Distribusi Poisson

Untuk lebih jelasnya, marilah kita lihat pada contoh distribusi kendaraan

yang melalui jalan bebas hambatan jagorawi pada waktu jam-jam sibuk seperti:

1. Rata-rata hitung kendaraan yang lewat pada jam-jam sibuk dapat

diketahui dari data lalu lintas terdahulu.

2. Kalau jam-jam sibuk bagi dalam detik, maka kita akan peroleh:

a. Kemungkinan secara tepat sebuah kendaraan akan lewat setiap

satu detik, dan begitu seterusnya selang satu detik.

b. Kemungkinan dua atau lebih kendaraan akan lewat setiap satu

detik (jumlah ini kecil sekali) sehingga kita anggap sebagai nilai

nol.

c. Banyaknya kendaraan yang lewat pada suatu detik tertentu tidak

ada hubungannya dengan banyaknya kendaraan yang lewat pada

setiap detik saat jam jam sibuk.

d. Banyaknya kendaraan yang lewat pada suatu detik tidak

tergantung terhadap banyaknya kendaraan yang lewat pada detik

yang lain.

( ) = !Dimana = rata-rata distribusi .....(2)

= 0, 1, 2, 3, . . . (menuju tak hingga)e = konstanta 2,71828

22

Apabila = rata-rata distribusi = E(X) = np = .. = 2 (secara

rata-rata dapat diharapkan dua orang pembaca yang menanyakan keadaan

mobil), maka setelah dilakukan perhitungan, kita akan memperoleh tabel berikut

Tabel 2. distribusi poisson

X ( ) = !0 p(0) = 0, 1352

1 p(1) = 0,2707

2 p(2) = 0,2707

3 p(3) = 0,1804

4 p(4) = 0,0902

5 p(5) = 0,0361

6 p(6) = 0,0120

7 p(7) = 0,0034

8 p(8) = 0,0009

9 p(9)= 0,0002

Sumber : Supianto. J, 2001.

Distribusi poisson juga dapat digunakan untuk menghitung probabilitas

dari x “sukses” dan n eksperimen, yang terjadi dalam satuan luas tertentu, satuan

isi tertentu, satuan interval waktu tertentu, atau satuan panjang tertentu, misalnya

sebagai berikut.

a) Banyaknya bakteri dalam satu tetes air

b) Banyaknya rumah terbakar dari 10.000 rumah yang asuransikaan

selama bulan januari.

c) Banyaknya kecelakaan mobil yang terjadi di depan istana

merdeka selama minggu pertama bulan agustus

d) Banyaknya pengguna telepon per menit

23

e) Banyaknya kesalahan ketik per halaman laporan tahunan, dan

f) Banyaknya pesanan yang masuk per minggu.

2.5.1.3. Distribusi Poisson pada Fasilitas Pelayanan

Berdasarkan contoh di atas, ternyata distribusi poisson sangat erat

kaitannya dengan variable acak/sembarang (random variable) apabila X (huruf

besar) dianggap mewakili suatu variable sembarang dan merupakan bilangan

bulat, maka kejadian x (huruf kecil) dalam distribusi poisson dapat dihitung

sebagai berikut.

= rata-rata hitung suatu kejadian dengan selang waktu tertentu,

e = bilangan napier = 2,7182

P(X = x) = ( ) = probabilitas terjadinya suatu kejadian (peristiwa)

x! = x factorial = x(x – 1)(x – 2) . . . .1.

Pola kedatangan pada suatu fasilitas pelayanan dapat teratur maupun

tidak teratur (acak). Mesin yang di-overhaul (diperiksa secara teliti) bias di

jadwalkan secara teratur bergantian setiap 3 jam, atau mahasiswa dapat

menggunakan fasilitas computer secara bergantian setiap 1 jam. Pola

kedatangan di sebut acak jika mereka tidak tergantung satu sama lain, misalnya

orang yang masuk ke kantor pos untuk suatu urusan, atau pelanggan yang

memasuki suatu restaurant (Suprianto. J, 2001).

Dalam masalah antrian, jumlah kedatangan perunit waktu dapat

diestimasi dengan suatu distribusi probabilitas yang di sebut distribusi poisson.

Untuk setiap tingkat rata-rata kedatangan

P(X = x) = ( ) = ! , = 0, 1, 2, … .....( 3 )

24

Distribusi poisson dengan = 2 dan = 4. Dapat dilihat bila rata-rata

tingkat kedatangan pelanggan 2 orang per jam, probabilitas tidak adanya

pelanggan yang datang setiap jam acak ialah 14% probabilitas 1 pelanggan yang

dating 27%, 2 pelanggan datang 27%, dan kemungkinan terdapat lebih dari 9

pelanggan yang datang adalah nol. Sementara, dengan = 4, probabilitas tidak

ada pelanggan yang datang ialah 2%.satu pelanggan datang ialah 2%, 1

pelanggan datang 15%, dan seterusnya.

2.5.1.4. Distribusi Poisson pada Kedatangan Saluran Tunggal

Distribusi poisson untuk kedatangan n buah( mobil) selama interval waktu

T, di mana adalah kemungkinan satu kedatangan dinyatakan sebagai berikut

Bila interval waktu T adalah 1, maka bentuk distribusi poisson menjadi

Sebaliknya kalau ditinjau persoalan pelayanan, bila µ adalah kemungkinan

selesainya satu pelayanan (mobil) maka rumus poisson untuk pelayanan adalah

sebagai berikut:

Dalam hal ini, kemungkinan pelayanan pada satu satuan yang dilayani pada

waktu T untuk distribusi eksponal adalah:

f ( , , ) = ( ) . ( )! .....( 4 )

f( , ) =. ! .....( 5 )

g( , μ, ) = ( ) . ( )! .....( 6 )

25

Distribusi waktu pelayanan yang berbentuk fungsi eksponsial dapat di buktikan

dengan pemakaiannya pada tes statistik dari data yang dikumpulkan.

2..5.1.5. Kedatangan pada Saluran Tunggal dengan Pelayanan Eksponsial

Dalam masalah ini, unit pelayanan adalah tunggal dan dengan input yang

mempunyai kedatangan poisson.

Di sini masih ada juga asumsi, bahwa laju kecepatan pelayanan yang

eksponsial tidak terpengaruh oleh banyaknya yang akan dilayani mempunyai

rata-rata , laju kecepatan pelayanan dinyatakan dengan µ di mana notasi notasi

yang akan digunakan ditetapkan sebagai berikut:

n = jumlah yang perlu dilayani pada saat T( ) = kemungkinana adanya n satuan yang perlu dilayani dalam sistem pada

saat t.∆t = kemungkinan adanya satu satuan yang memasuki sistem untuk dilayani

pada saat t.

1- ∆ t = kemungkinan tidak adanya yang memasuki sistem pada saat t.

Kemungkinan adanya n satuan dalam sistem pada saat + ∆t dapat diturunkan

sebagai berikut:

1. Ada n satuan dalam sistem, tidak ada yang datang antara interval t dan t

+ ∆t, tidak ada yang selesai diservis pada interval yang bersangkutan.

2. Ada n + 1 satuan dalam sistem pada saat t, tidak ada yang datang tetapi

selesai satu dilayani antara interval t + ∆t

3. Ada n – 1 satuan dalam sistem pada saat t, tiba satu satuan dan tidak

ada yang selesai pada interval t + ∆t.

g ( , μ) = μ .....( 7 )

26

4. Ada n satuan dalam sistem pada saat t, tiba satu satuan tapi selesai pula

satu satuan antara interval t + ∆t.

2.5.2. Proses Antrian

Proses antrian merupakan kombinasi dari sifat sifat sistem antrian, di

mana tingkah laku dari sistem dapat di jelaskan sebagai berikut.

Sumber input adalah jumlah total unit yang akan melakukan pelayanan, di

mana sumber ini bersifat terbatas atau tidak terbatas. Proses masukan adalah

proses pembentukan suatu antrian sebagai akibat kedatangan jumlah unit h

Proses antrian secara umum di kategorikan menjadi empat struktur dasar

menurut fasilitas pelayanan (Winardi, 1999).

Single channel single phase

Single channel multiple phase

Multiple channel single phase

Multiple channel multiple phase

Jumlah saluran dalam proses antrian menyatakan jumlah fasilitas

pelayanan (server) secara paralel untuk melayani konsumen yang datang. Di lain

pihak jumlah tahapan (phase) menyatakan banyaknya tahapan pelayanan yang

harus dilalui sampai pelayanan selesai atau lengkap. Contoh untuk single

channel single phase adalah sebuah kantor pos yang hanya mepunyai satu loket

pelayanan dengan satu jalur antrian. Kantor pos yang mempunyai beberapa loket

dengan satu jalur antrian merupakan contoh dari multiple channel single phase

(Taha, 2001).

27

Single Channel, Single Phase

Jalur antrian server

Gambar 3. antrian tunggal pelayanan tunggal (single channel single phase)

Sumber : Taha, 2001.

Fasilitas layanan tunggal (single-channel facility), yaitu hanya terdapat

satu server. Contoh sistem ini ialah anjungan tunai mandiri (ATM) bank, yang

hanya bisa di operasikan secara bergantian. Contoh lain ialah kantor pos keliling

yang dilayani oleh seorang petugas, atau loket karcis tunggal dalam suatu

bioskop.

Single Channel, Multiple Phase

Jalur antrian server

Gambar 4. antrian tunggal, pelayanan ganda sejajar

(single channel multiple phase)

Sumber : Taha, 2001.

Fasilitas layanan lebih dari satu (multi-channel facility), terdapat

beberapa server, parallel, dan identik, baik dalam satu jalur (seperti di bank) atau

dalam beberapa jalur (seperti di stasiun pompa bensin atau pasar swalayan).

28

Multiple Channel, Singel Phase

Jalur antrian

Server

Gambar 5. antrian tunggal, pelayanan ganda

(multiple channel single phase)

Sumber : Taha, 2001.

Fasilitas pelayanan ganda (multiple chanel-fasility), pelayanan ganda

menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurut

(dalam fase-fase) contoh : tempat pencuncian, tukang cat mobil dan proses

produksi manufacture seperti perakitan kendaraan.

Multiple Channel, Multiple Phase

Jalur antrian

server

Gambar 6.. antrian ganda, pelayanan ganda

(multiple channel, multiple phase)

Sumber : Taha, 2001.

Fasilitas antrian ganda dan pelayanan ganda (multiple phase chnnel-

fasility), sistem ini memiliki beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap,

29

sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada waktu yang bersamaan.

Pada umumnya jaringan ini terlalu kompleks, sehingga lebih mudah dianalisis

dengan model simulasi. Contoh registrasi para mahasiswa di universitas,

pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pembayaran, diagnosa

penyembuhan sampai pembayaran.

2.5.2.1. Model Antrian

Antrian Server Tunggal

Sistem antrian yang paling sederhana pada gambar 3. elemen utama

sistem tersebut adalah sebuah server, yang menyediakan beberapa layanan

kepada item item dari populasi tiba di sistem untuk di layani. Bila server sedang

idle, maka item akan di layani dengan segera. Sedangkan bila sedang tidak idle,

maka item yang tiba akan bergabung dengan antrian tunggu. Bila server telah

selesai melayani sebuah item, maka item akan segera meninggalkan server.

Sedangkan bila terdapat item yang sedan menunggu di dalam antrian, maka satu

item akan segera di kirim ke server.

Bila kita mengamsumsi bahwa kapasitas antrian tidak terbatas, maka

tidak ada item yang hilang dari sistem. Item-item itu hanya akan di delay kan saja

sampai dapat di layani. Di bawah kondisi seperti ini, laju keberangkatan akan

sama dengan laju kedatangan. Dengan semakin bertambahnya laju kedatangan,

yang merupakan laju lalu lintas yang melintasi sistem, maka utilitaspun akan

meningkat dan akan terjadi kemacetan antrian akan menjadi semakin panjang.

Maka yang akan memperlama waktu tunggu (Iskandar, 2005).

Akan tetapi, antrian akan semakin membesar di saat sistem mendekati

jenuh, membesar tanpa batas pada saat = 1. Peritmbangan-pertimbangan

praktis, misalnya persyaratan waktu respons atau ukuran buffer, biasanya akan

30

membatasi laju input server tunggal sebesar 70-90% dari nilai teoritas

maksimum.

Untuk melanjutkannya, kita perlu membuat beberapa asumsi terhadap model

Populasi Item

Umumnya, kita mengumsikan populasi tak terhingga. Ini artinya bahwa

laju kedatangan tidak di pengaruhi oleh hilangnya populasi. Bila populasi

terhingga, maka populasi yang tersedia untuk kedatangan akan

berkurang sebesar jumlah item yang saat itu berada di dalam sistem, hal

ini umumnuya akan mengurangi laju kedatangan secara proporsional.

Ukuran Antrian

Umumnya, kita mengamsumsi ukuran antrian yang tak terhingga. Jadi

antrian tunggu dapat membesar dapat membesar tanpa batas. Di dalam

antrian terhingga. Umumnya hal ini tidak akan menimbulkan perbedaan

terhadap analisis.

Disiplin Pengiriman

Pada saat server berada dalam keadaan bebas, dan bila terdapat dari

satuitem yang sedang menunggu, maka harus di buat keputusan tentang

item mana yang berikutnya akan di kirim. Pendekatan yang paling

sederhana adalah first-in-first-out, disiplin ini adalah sebuah disiplin yang

biasanya di implikasikan bila istilah antrian digunakan. Kemungkinan

lainnya adalah last-in-last-out.

Untuk memudahkan pembedaan antara model antrian satu dengan yang

lain, DG kendall telah mengembangkan suatu sistem notasi seperti yang di

tunjukan dalam tabel 3.

31

Tabel 3. Notasi yang di gunakan dalam sistem antrian

Item Nilai Notasi

Proses kedatangan Poisson M

Konstan D

Proses pelayanan Eksponensial M

Konstan D

Jumlah server Satu atau lebih S

Aturan antrian Sesuai urutan

kedatangan

FCFS

Ada aturan prioritas PRI

Panjang antrian Tidak terbatas ∞

Terbatas N

Ukuran popolasi kedatangan Tidak terbatas ∞

Terbatas N

Jumlah kedatangan Rata-rata per periode

waktu

Jumlah item Rata-rata per periode

waktu

µ

Sumber: Supianto, J, 2001.

Notasi model antrian biasanya terdiri dari dua set di pisahkan dengan

spasi, dengan urutan:

Di mana:

a = proses kedatangan

b = proses pelayanan

a/b/c d/e/f

32

c = jumlah server

d = aturan antrian

e = panjang antrian

f = ukuran populasi kedatangan.

Asumsi yang di pergunakan :

1) Kedatangan di asumsikan mengikuti distribusi probabilitas poisson dan

berasal dari populasi yang tak terbatas

2) Kedatangan pelanggan satu dan lain tidak saling tergantung, tetapi rata-

rata kedatangan tidak mengalami perubahan dengan waktu

3) Waktu layanan mengikuti distribusi probabilitas eksponensial negative

4) Waktu layanan bervariasi antara satu dengan yang lain, tetapi tidak saling

tergantung

5) Rata-rata tingkat pelayanan lebih besar daripada rata-rata tingkat

kedatangan

6) Pelayanan di dasarkan pada aturan FIFO

Tidak ada balking maupun reneging

Persamaan antrian:

Rata-rata jumlah pelanggan atau unit dalam sistem, yaitu jumlah dalam

antrian di tambah jumlah yang sedang di layani

Rata-rata waktu yang digunakan oleh pelanggan dalam sistem, yaitu

waktu yang di habiskan selama menunggu di tambah waktu pelayanan

= .....( 8 )

= ......( 9 )

33

Rata-rata jumlah pelanggan antrian

Rata-rata yang dihabiskan pelanggan menunggu dalam antrian

Faktor utilisasi yang dihabiskan pelanggan menunggu dalam antrian

Persentase waktu kosong, yaitu probabilitas tidak ada orang dalam

system

Probabilitas jumlah orang dalam sistem lebih besar dari k

Model Antrian Jalur Ganda

Model antrian ini menunjukan suatu generalisai model sederhana, yang

semuanya berbagi – pakai sebuah antrian. Bila sebuah item tiba dan sedikitnya

ada sebuah server tersebut. Diasumsikan semua server identik. Jadi, jika

terdapat lebih dari satu server dapat digunakan, maka tidak aka nada perbedaan

= ( ) .....( 10 )

= ( ) ....( 11 )

= .....( 12 )

P 1 − .....( 13 )

= .....( 14 )

34

bila sever manapun yang di pilih untuk item tersebut. Bila semua server sibuk,

maka antrian akan mulai terbentuk. Begitu satu server bebas, maka sebuah item

akan segera dikirimkan dari antrian yang menggunakan disiplin pengiriman dan

kitadapat mengambil Np sebagai utilitas sistem secara keseluruhan, suku

terakhir ini sering disebut sebagai intensitas lalulintas µ. Jadi utilitas teoritis

maksimum adalah N X 100%.

Karakteristik penting yang umumnya di pilih antrian ganda berkaitan

dengan karakteristik untuk antrian server tunggal. Yaitu, kita mengamsumsikan

suatu populasi tak terhingga, dengan sebuah antrian tak terhingga yang dibagi –

pakai oleh semua sever. Bila tidak di tentukan sebelumnya, maka disiplin

pengiriman yang digunakan adalah FIFO. Bagi kasus multiserver, bila server di

asumsikan sebagai identik, maka pemilihan server tertentu untuk penantian

sebuah item tidak memiliki efek terhadap waktu pelayanan (Dimiyati, 1999).

Berikut adalah rumus rumus untuk model antrian jalur ganda.

Persamaan antrian:

Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem (untuk Sµ > )

Rata-rata jumlah pelanggan atau unit dalam sistem

= 1λn! λμ + 1S! = λμ SμSμ − λ … . . ( 15)

= ( )!( ) + ......(16 )

35

Rata-rata waktu yang di habiskan dalam antrian atau di layani (dalam

sistem)

Rata-rata jumlah pelanggan atau unit dalam antrian menunggu untuk

dilayani

Rata-rata waktu pelanggan atau unit di habiskan dalam antrian menunggu

untuk di layani

Model Antrian Pelayanan Konstan

Beberapa sistem layanan memiliki waktu layanan yang tetap ( konstan),

seperti misalnya cuci mobil otomatis atau komedi putar. Karena tingkat layanan

yang konstan maka nilai , , dan W selalu lebih kecil di bandingkan model-

model sebelumnya yang memiliki waktu layanan bervariasi. Dalam

kenyataannya, rata-rata panjang antrian dan waktu tunggu menjadi separuhnya.

Rumus-rumus untuk model waktu layanan yang konstan.

Rata-rata panjang antrian

W = ( )!( ) + = .....( 17 )

= − .....( 18 )

= − = .....( 19 )

= ( ) .....( 20 )

36

Rata-rata waktu tunggu dalam antrian

Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian

2.5.3. Fasilitas Pelayanan

Karakteristik lain dalam sistem antrian ialah aturan pelayanan. Pada

umumnya dalam suatu antrian berlaku sistem first-in-first-out (FIFO). Pelanggan

yang lebin dulu mengantri akan mendapat layana lebih dulu. Namun bisa saja hal

ini tidak berlaku, misalnya dalam suatu pasar swalayan terdapat jalur khusus

untuk mereka yang berbelanja kurang dari 10 item, atau dalam rumah sakit,

pertolongan prioritas dapat di berikan kepada pasien yang berada dalam suatu

situasi darurat (Purnomo, 2003).

2.5.3.1. Karakteristik Fasilitas Pelayanan

Fasilitas pelayanan dapat di bedakan dalam dua karakteristik yaitu

konfigurasi fasilitas layanan dan pola waktu layanan. Sistem layanan biasanya

dikelompokan dalam jumlah jalur (channel ). Atau jumlah pemberi pemberi

layanan (server), dan jumlah tahapan (phase, jumlah pelanggan berhenti untuk

menerima suatu layanan) yang harus di lakukan (Purnomo, 2003).

= ( ) .....( 21 )

L = + .....( 22)

37

2.5.3.2. Disiplin PelayananKebiasaan ataupun kebijakan dalam suatu sistem antrian dimana para

pelanggan dipilih untuk dapat dilayani oleh server, disebut disiplin pelayanan.

Ada 3 (tiga) bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan dalam praktek, yaitu

First Come First-served (FCFS)

Disiplin pelayanan FCFS yang biasa juga disebut FIFO adalah

pelayanan yang mengutamakan pelayanan pada pelanggan yang tiba

terlebih dahulu. Pelayanan ini paling banyak digunakan sebab asumsi ini

digunakan bila pada disiplin pelayanan tanpa keterangan dan dapat

digunakan baik itu pada pelayanan dengan single server maupun multi

server.

Last Come First-served (LCFS)

Disiplin pelayanan LCFS yang biasa juga disebut LIFO adalah

pelayanan yang melayani pelanggan yang tiba terakhir pertama dilayani

server. Pelayanan ini sangat jarang digunakan karenan pelayanan ini

diberlakukan pada barang yang sangat sensitif dan utama misalnya

bahan pangan, ikan segar dan lain sebagainya.

Service In Random Order (SIRO)

Disiplin pelayanan SIRO biasa juga disebut disiplin pelayanan

random atau pelayanan secara acak. Pelayanan ini sangat jarang

digunakan karena sistem yang diberikan tidak menjanjikan bahwa

pelayanan dapat dilakukan tepat waktu.

Ketiga disiplin pelayanan ini adalah paling kita kenal dalam model antrian

dan paling sering digunakan, tapi tidak menutup kemungkinan dalam suatu

sistem pelayanan disiplin pelayanan tidak digunakan, contoh paling jelas yaitu

38

pada sistem antrian pada ruang operasi rumah sakit, mereka selalu

mendahulukan yang gawat artinya ketiga disiplin tersebut tidak dapat diterapkan,

disiplin pelayanan itu biasa disebut Priority Service artinya pelayanan diutamakan

kepada pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi.

Rumus teori antrian memberikan informasi yang berguna untuk memdesain

dan menganalisa sistem tempat tunggu. Distribusi dari waktu menunggu dan

waktu menunggu rata-rata dari pelanggan yang datang, penting untuk

memperkirakan cukup atau tidak keseluruhan dari sistem dalam fungsinya untuk

dapat melayani pelanggan (Purnomo, 2003).

Ada beberapa kriteria antrian yang harus ditentukan untuk memperkirakan

kinerja, yaitu :

1. Distribusi jarak antara kedatangan pelanggan yang mungkin saja

merata (dengan jarak kedatangan kostan) atau dengan mengikuti

pola kedatangan poisson atau acak atau pola lainnya.

2. Distribusi waktu pelayanan

3. Jumlak server pelayanan

4. Disiplin antrian yang akan menentukan urutan dimana satuan

pelanggan yang tiba akan dilayani. Dalam model transportasi

biasanya berlaku First Come First Served (FCFS).

39

2.5.3.3. Hubungan Pelayanan dengan Tingkah Laku Biaya

Hubungan antara elemen yang terlibat dalam persoalan antian

gambarkan kita tunjukan hubungan antara tngkat pelayanan yang di berikan dan

biaya waktu menunggu. Nampak bahwa tingkat pelayanan yang di berikan dan

biaya waktu menunggu akan berkurang (Dimiyati, 1999).

hubungan antara tingkat pelayanan dan biaya pengadaan pelayanan

meningkat maka biaya pengadaan pelayanan juga meningkat. Penggabungan

dua biaya input dalam keputusan antrian. Di sini biaya waktu yang di butuhkan

untuk menunggu telah di tambahkan pada biaya pengadaan pelayanan sehingga

membentuk total biaya yang di harapkan untuk operasi fasilitas yang

bersangkutan. Tujuannya adalah hendak meminimumkan total biaya pengadaan

fasilitas dan waktu tunggu pelayanan tersebut. Meskipun secara konseptual

Nampak sederhana, kemungkinan pola kedatangan dan pelayanan ternyata

begitu banyak sehingga sebenarnya persoalan ini cukup rumit.

Misalkan kita mengetahui biaya tunggu (waiting cost) yang melekat pada

seorang individu menganggur dalam sistem pelayanan sebesar Cw dan rata-rata

individu yang menunggu dalam suatu sistem sebesar n1 maka total biaya tunggu

yang diharapkan per periode waktu adalah :

Diketahui biaya menunggu (mencakupi biaya menganggurnya para

karyawan, kehilangan penjualan, kehilangan kepercayaan dalam manajemen)

adalah $2 per jam. Bila jumlah rata-rata individu dalam sistem ada lima orang,

maka total biaya tunggu yang di harapkan sebesar:

E(Cw) = n1 x Cw .....( 23 )

40

E( ) =

= 5(2)

= $10 /jam

Walaupun biaya menunggu bisa dikurangi dengan menambahkan fasilitas

pelayanan, tetapi di sisi lain biaya penyediaan pelayanan akan naik juga.

Dengan asumsi biaya penambahan fasilitas pelayanan adalah linier ( ) dan

jumlah fasilitas pelayanan adalah “s” maka dapat dihitung total biaya pelayanan

yang di harapkan per periode adalah

Bila biaya per periode waktu per fasilitas pelayanan adalah $12 per jam

dan jumlah fasilitas pelayanan adalah 3 unit, maka total biaya pelayanan yang di

harapkan adalah sebesar:

E( ) = s x

= 3(12)

= $36/jam

Jika kedua biaya di atas digabungkan maka akan di peroleh total biaya

yang di harapkan per periode waktu yaitu:

Sehingga untuk kasus di atas total biaya yang diharapkan adalah sebesar

$36 per jam. Parameter hanya valid untuk sistem dengan 3 fasilitas saja, bila

ada penambahan atau pengurangan maka perlu dihitung kembali yang baru.

E( ) .....( 24 )

E( ) = E( ) + E(C) .....( 25 )

41