BAB II METODE DISTRIBUSI MOMEN - pada yahun 1930-an yang mana merupakan sumbangan penting yang pernah diberikan dalam analisis struktur balok menerus ... metode distribusi momen

Embed Size (px)

Text of BAB II METODE DISTRIBUSI MOMEN - pada yahun 1930-an yang mana merupakan sumbangan penting yang...

  • II-1

    BAB II

    METODE DISTRIBUSI MOMEN

    2.1 Pendahuluan

    Metode distribusi momen diperkenalkan pertama kali oleh Prof. Hardy

    Cross pada yahun 1930-an yang mana merupakan sumbangan penting yang

    pernah diberikan dalam analisis struktur balok menerus (continuous beam)

    dan portal (rigid frame). Dalam analisis permulaan (preliminary analyzes)

    dan perancangan suatu struktur sederhana atau bagian dari suatu struktur

    yang besar, metode ini merupakan metode yang sangat memuaskan untuk

    memudahkan dalam memberikan gambaran tentang repons struktur berupa

    gaya dan perubahan bentuk (deformation).

    2.2 Konsep Dasar

    Jika suatu struktur balok menerus menerima beban kerja atau penurunan

    pada tumpuan, rotasi pada sumbu batang yang tidak diketahui (unknown

    member-axis rotation) tidak terjadi dalam respon perubahan bentuknya.

    Akan tetapi, titi buhul portal dapat atau mungkin tidak mempunyai

    kebebasan dari jumlah translasi yang tidak diketahui. Meskipun metode

    distribusi momen dapat digunakan untuk untuk menganalisis portal dengan

    translasi yang tidak diketahui, namun diperlukan proses bertahap untuk

    menyelesaikannya. Oleh karena itu, berikut ini diberikan konsep dasar

    tentang dasar pemikiran bahwa suatu struktur tidak mempunyai rotasi

    sumbu batang yang tidak ketahui.

    Respon perubahan bentuk dari suatu balok menerus atau portal tanpa

    translasi titik buhul yang tidak diketahui dinyatakan dengan rotasi titik

    buhul yang belum diketahui yaitu B, C, dan D seperti ditunjukkan pada

    Gambar 2.1(a) dan (c). Secara fisika, hal ini dapat dimungkinkan bahwa

    momen pengunci (locking moment) dapat dikerjakan pada titik buhul B, C

  • II-2

    dan D untuk membuat kemiringannya relatif datar seperti ditunjukkan pada

    Gambar 2.1(b) dan (d). Pada kenyataannya, besar dan arah dari momen

    pengunci ini diketahui dari beban yang bekerja atau penurunan tumpuan.

    Jika momen pengunci pada salah satu titik buhul dilepas, maka titik buhul

    akan berotasi. Rotasi ini menyebabkan perubahan tidak hanya pada momen

    diujung batang dekat titik buhul yang dilepasm tetapi juga pada momen

    pengunci pada titik buhul bersebelahan dikedua ujung titik buhul yang

    dilepas tersebut. Jika masing-masing titik buhul dilepas secara berurutan

    dan dikunci kembali dan kemudian proses ini diulangi, suatu saat akan

    dicapai dimana setiap titik buhul mencapai suatu respon perubahan bentuk

    akhir yang tetap. Momen pengunci ini selanjutnya akan didistribusikan ke

    seluruh struktur pada masing-masing jumlah rotasi titik buhulnya, sehingga

    metode ini dinamakan sebagai distribusi momen.

    (a)

    (b)

    (c)

    (d) Gambar 2.1 Kondisi jepit dalam metode distribusi momen

    B C DA

    B C D

    E

    A B C D

    E

    A

    B

    C D

    E

    B

    A

    B

    C D

    E

    B

    C DB

  • II-3

    2.3 Angka Kekakuan dan Induksi (Stiffness and Carry-Over Factors)

    Untuk mengembangkan detail tentang prosedur metode distribusi momen,

    perlu diketahui beberapa hal yang akan dikemukakan berikut ini.

    Jika momen MA dikerjakan pada ujung sendi dari suatu balok yang

    memiliki momen inersia seragam, dimana menumpu pada sendi pada salah

    jungnya dan jepit di ujung lainnya seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2(a),

    maka pada ujung sendi akan terjadi rotasi sebesar A dan momen MB pada

    ujung jepitnya.

    (a)

    (b)

    (c) Gambar 2. 2 Penentuan angka kekakuan dan angka induksi ujung jepit

    Diagram momen lentur balok tersebut dapat diuraikan menjadi seperti

    ditunjukkan pada Gambar 2.2(b) dan (c). Berdasarkan teorema balok

    konjugasi, besarnya B1 dan B2 dapat ditentukan dan B sama dengan nol.

    B = B1 B2 = EI3LM

    EI6LM BA = 0

    diperoleh :

    A MA

    MB A

    B

    L

    EI = konstan

    MA

    A1 B1EI3LM A

    EI6LM A

    MB

    A2 B2

    EI3LM B

    EI6LM B

  • II-4

    MB = AM21 (2.1)

    Selanjutnya dengan teorema balok konjugasi pula :

    A = A1 + A2 = EI6LM

    EI3LM BA + = 0

    Substitusi persamaan 2.1 ke dalam persamaan di atas akan diperoleh :

    MA = ALEI4

    (2.2)

    Jika selanjutnya ujung jauh jepit pada balok Gambar 2.2(a) diganti

    dengan ujunng sendi seperti pada hambar 2.3, dimana MB = 0 maka :

    MA = ALEI3

    (2.3)

    Gambar 2. 3 Angka kekakuan ujung sendi

    Selanjutnya, nilai dalam kurung dalam persamaan 2.2 dan 2.3 adalah

    angka kekakuan (stiffness factor) masing-masing untuk ujung jepit dan

    ujung sendi. Angka kekakuan ini didefinisikan sebagai momen di dekat

    ujung jauh (far-end moment) untuk menyebabkan satu unit rotasi di dekat

    ujung jauh. Kemudian nilai 21

    + dalam persaman 2.1 adalah angka induksi

    (carry-over factor) yang mana didefinisikan sebagai perbandingan momen

    pada ujung jauh jepit terhadap momen pada ujunng dekat yang mengalami

    rotasi.

    A MA A

    B

    L

    EI = konstan

    B

  • II-5

    2.4 Angka Distribusi (Distribution Factors)

    Angka distribusi dapat didefinsikan sebagai hasil bagi dari kekakuan suatu

    batang terhadap jumlah kekakuan batang-batang lainnya pada titik buhul

    yang bersangkutan.

    Jika terdapat beberapa batang suatu struktur pada titik buhul tertentu

    (gambar 2.4), akibat adanya rotaasi ujung-ujung batangnya akibat beban

    yang bekerja, momen pengunci (Mo) yang bekerja harus didistribusikan

    secara proporsional ke masing-masing batang sesuai dengan angka

    kekakuannya.

    Gambar 2. 4 Angka distribusi pada suatu struktur

    Persyaratan keseimbangan pada titik buhul A adalah :

    MAB + MAC + MAD Mo = 0

    Dimana momen-momen di titik A adalah :

    MAB = ( )

    AAB

    AB

    LEI4

    MAC = ( )

    AAC

    AC

    LEI4

    Mo

    A

    B

    C

    D

    A

    A

  • II-6

    MAD = ( )

    AAD

    AD

    LEI4

    Jika bahan struktur tersebut adalah sama, maka momen pengunci, Mo, dapat

    ditulis :

    Mo = 4EA

    ++

    AD

    AD

    AC

    AC

    AB

    AB

    LI

    LI

    LI

    Jika diambil bahwa LI = K, maka persamaan di atas dapat ditulis :

    Mo = 4EAK

    Atau :

    KM o = 4EA

    Sehingga momen ujung masing-masing batang yang melalui titik buhul A

    adalah :

    MAB = oAB MKK

    = (DF)AB Mo

    MAC = oABC MK

    K

    = (DF)AC Mo (2.4)

    MAD = oAD MKK

    = (DF)AD Mo

    Nilai KK,

    KK

    ,K

    K ADACAB selanjutnya disebut dengan angka distribusi

    (distribution factor/DF) masing-masing untuk batang AB, AC dan AD.

    Untuk memenuhi persyaratan keseimbangan pada titik buhul, jumlah angka

    distribusi pada suatu titik buhul adalah harus sama dengan satu.

    (DF)AB + (DF)AC + (DF)AD = 1

    2.5 Momen Ujung Jepit (Fixed End Moment)

    Jika suatu balok yang tumpuannya adalah jepit-jepit untuk melawan rotasi

    atau translasi menerima beban luar arah transversal, maka balok tersebut

  • II-7

    dinamakan dengan balok ujung jepit (fixed-end beam). Momen yang bekerja

    akibat beban luar ini disebut dengan momen ujung jepit (fixed-end moment).

    Beberapa nilai momen ujung jepit untuk balok prismatis diberikan pada

    Tabel 2.1.

    Tabel 2. 1 Beberapa momen ujungjepit (FEM)

    FEMAB Pembebanan FEMBA

    2

    2

    LPab

    - 22

    LbPa

    12wL2

    -12

    wL2

    30wL2

    -30

    wL2

    + 2

    22

    La3

    La86

    12wL

    -

    La34

    12wL2

    La35

    L60wa3

    -

    + 2

    22

    La3

    La1016

    60wa

    96wL5 2

    -96wL5 2

    - ( ) 2LMba2b

    - ( ) 2LMab2a

    ( )aLL

    Pa

    - ( )aLL

    Pa

    P

    La bA B

    w

    LA B

    w

    LA B

    w

    (L a)A Ba

    w

    (L a)A Ba

    w

    (L/2)A B(L/2)

    Ma

    A Bb

    L

    P

    L 2aa aA B

    P

  • II-8

    Tabel 2. 1 Beberapa momen ujungjepit (FEM) (Lanjutan)

    FEMAB Pembebanan FEMBA

    ( )

    2

    22

    L2bLPb

    8wL2

    128wL9 2

    128wL7 2

    2.6 Aplikasi Analisis Struktur Statis Tak Tentu Dengan Metode Distribusi Momen

    2.6.1 Struktur balok menerus

    Contoh 1. Tentukan diagram momen lentur dan gaya lintang dari struktur

    balok menerus seperti pada Gambar 2.5.

    Gambar 2.5 Contoh aplikasi metode distribusi momen untuk struktur balok menerus

    Prosedur analisis struktur balok dengan metode distribusi momen meliputi

    menentukan momen ujung jepit (FEM), angka kekakuan dan angka

    distribusi.

    Momen Ujung Jepit

    B

    P

    La bA B

    w

    LA

    w

    L/2A L/2

    w

    L/2A

    L/2

    24 t 3 t/m

    20 m 10 m 10 m

    C

    B

    A (3EI) (2EI)

  • II-9

    FEMAB = + ( )2203121

    = 100 t.m (berlawanan arah jarum jam)

    FEMBA = - ( )2203121

    = 100 t.m (searah jarum jam)

    FEMBC = + ( ) ( )222 1020202

    1024

    = 90 t.m (berlawanan arah jarum jam)

    FEMCB = 0(sendi)

    Angka Kekakuan

    Untuk memudahkan dalam penghitungan angka kekakuan dapat dilakukan

    dengan cara membandingkan relative antara angka kekakuan satu batang

    dengan batang-batang lainnya, sehingga disebut juga angka kekakuan

    relative. Dalam hal ini cukup hanya menghitung angka kekakuan dari

    batang-batang yang bertemu pada satu titik buhul.

    SFBA