TEORI PROBABILITASTEORI PROBABILITAS

TEORI PROBABILITASTEORI PROBABILITAS

Untuk menggambarkan konsep dasar teori probabilitas kita akan menggunakan beberapa ide dari teori himpunan yang didefinisikan sebagai gabungan atau kumpulan objek.

ISTILAH YG DIGUNAKAN DLM TEORI ISTILAH YG DIGUNAKAN DLM TEORI PROBABILITASPROBABILITAS

EKSPERIMEN : adalah suatu aktivitas atau proses yang menghasilkan keluaran yang dapat diamati

SAMPEL SPACE (SEMESTA) : adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistik dan dinyatakan dengan lambang S

SAMPEL POINT (TITIK SAMPEL) : adalah elemen atau anggota sampel space

Untuk mendapatkan list / daftar elemen dari semesta secara bersistem dapat dibantu melalui diagram pohon (tree diagram)

ContohContoh

1. Suatu eksperimen melempar dadu, jika sebagai keluaran eksperimen adalah cacah titik pada sisi dadu yang menghadap ke atas, maka :S ={1,2,3,4,5,6}

2. Suatu eksperimen dilakukan sebagai berikut; yaitu melemparkan sebuah mata-uang, keluarannya adalah gambar (G) dan angka (A). Bila keluarannya adalah G maka pelemparan matauang diulangi lagi; tetapi bila keluarannya A maka sebuah dadu dilemparkan dengan keluarannya cacah titik pada sisi dadu yang menghadap ke atas, tentukan semesta dari eksperimen tersebut !

Ruang Sampel & KejadianRuang Sampel & Kejadian

Himpunan (set) adalah kumpulan objek. Himpunan semua outcome yang mungkin muncul

dalam suatu percobaan/pengamatan disebut dengan himpunan semesta sampel (sample space)

Masing-masing outcome disebut dengan elemen atau titik sampel

Fakta bahwa a anggota (elemen) himpunan (semesta) A dapat dituliskan dalam simbol a € A

Jika tiap anggota himpunan A1 juga merupakan anggota dari himpunan A2, maka himpunan A1 disebut dengan himpunan bagian dari himpunan A2 atau dapat dituliskan dalam bentuk simbol A1 A2

Jika himpunan A tidak memiliki anggota maka A disebut dengan himpunan kosong dan dituliskan sebagai A = ∅.

Ruang Sampel & KejadianRuang Sampel & Kejadian

Himpunan dari semua elemen yang setidaknya menjadi anggota salah satu dari himpunan A1 dan himpunan A2 disebut union dari A1 dan A2. Union ini disimbolkan dengan A1 A2

Himpunan dari semua elemen yang termasuk dalam himpunan A1 dan juga dalam himpunan A2 disebut dengan interseksi dari A1 dan A2. Interseksi A1 dan A2 disimbolkan dengan A1 ∩ A2.

Ruang Sampel & KejadianRuang Sampel & Kejadian

Himpunan yang terdiri atas elemen yang bukan elemen A disebut dengan komplemen A (mengacu pada A) dan disimbolkan dengan A*.

Dua buah himpunan dikatakan saling bebas (mutually exclusive) atau disjoint, jika interseksi keduanya adalah himpunan kosong. Himpunan A dikatakan mutually exclusive terhadap himpunan B jika A ∩ B = ∅

Ruang Sampel & KejadianRuang Sampel & Kejadian

Ruang sample atau set kejadian adalah set dari semua hasil yang mungkin ada dari sebuah percobaancontoh: pelemparan dadu S = (1,2,3,4,5,6)

Kejadian adalah kumpulan dari hasil dengan karakteristik yang sama (himpunan bagian dari ruang sampel)Contoh: muncul sisi genap A = (2,4,6)

Kejadian A terjadi jika sebuah hasil dalam set A terjadi

Probabilitas sebuah kejadian Jumlah probabilitas dari setiap hasil yang muncul

P(A) = P(2) + P(4) + P(6)

KejadianKejadian

Hukum Probabilitas dlm Teori Hukum Probabilitas dlm Teori HimpunanHimpunan

Identity laws (A∩S=A, A∩∅=∅), Complement law (A A’=S, A∩A’=∅) Commutative law (A B=B A, A∩B=B∩A) Associative law A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ; A (B C)=(A B) C Distributive law A∩(B C)= (A∩B) (A∩C)

Konsep Kombinatorial (1)Konsep Kombinatorial (1)

Percobaan sebuah dadu 6 sisi, ada 6 hasil yang mungkin dari pelemparan pertama, yaitu (1,2,3,4,5,6) dan 6 hasil yang mungkin dari pelemparan kedua (1,2,3,4,5,6). Secara bersama-sama ada 6*6=36 hasil yang mungkin dari dua kali pelemparan.

Umumnya, jika ada n kejadian dan kejadian i dapat terjadi dalam Ni cara yang mungkin, maka jumlah caradimana urutan dari n kejadian akan muncul adalah N1N2...Nn.

Ambil 5 kartu dari tumpukan lengkap – dengan pengembalian 52*52*52*52*52=525 …… 380,204,032 hasil yang mungkin

Ambil 5 kartu dari tumpukan lengkap – tanpa pengembalian 52*51*50*49*48 =311,875,200 hasil yang mungkin

Konsep Kombinatorial (2) Konsep Kombinatorial (2) Diagram Pohon (Tree Diagram)Diagram Pohon (Tree Diagram)

MENGHITUNG SAMPEL POINTMENGHITUNG SAMPEL POINT

ATURAN PERKALIAN : jika suatu operasi dapat ditangani dua tahap; tahap ke-1 ditangani dengan n1 cara dan tahap ke-2 dengan n2 cara, maka operasi tersebut dapat ditangani dengan n1 x n2 cara

CONTOH : Berapa banyaknya titik sampel bila dua buah mata uang dilempar

serentak dan peristiwa yang mungkin Jawab: - ruang sampel : (A,G), (A,A), (G,A), (G,G) - Titik sampel : G (gambar), A (angka) - peristiwa : A dg A, A dg G, dan G dg G

Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan.Jika terdapat 7 orang calon yaitu A,B,C,D,E,F,G. Perusahaan akan memutuskan untuk menerima dari salah satu dari 7 calon tersebut, tentukan :

probabilitas B diterima jadi karyawanProbabilitas C atau D diterima jadi karyawan

Jawab:P(B) = 1/7 = 0,143P(C atau D) = 1/7 + 1/7 = 0,286

PERMUTASIPERMUTASI

SUATU SUSUNAN YANG DAPAT DIBENTUK DARI SATU KUMPULAN OBYEK YANG DIAMBIL SEBAGIAN ATAU SELURUHNYA

PERMUTASI DARI n OBYEK YANG BERBEDA DIAMBIL SELURUHNYA SEKALIGUS DIHITUNG DENGAN :

n x .... x 3 x 2 x 1 faktorialn n!

obyek banyaknya

permutasi

:keterangan

!nPnn

n

P

PERMUTASI KE-1- BANYAKNYA PERMUTASI DARI n OBYEK YANG BERBEDA

ADALAH :n! = (n . (n-1). (n-2). …. .1)

- PERMUTASI KE-2 SEDANGKAN PERMUTASI DARI N OBYEK YANG DIAMBIL R OBYEK SETIAP

KALI TANPA DIULANGI DIHITUNG DENGAN :

npengambila kali setiap banyaknya r

obyek banyaknya

permutasi

:keterangan

r)! -(n

!nPn

r

n

P

TEOREMA PERMUTASITEOREMA PERMUTASI

PERMUTASI KE-3/PERMUTASI MELINGKAR : Banyaknya permutasi n oyek yg disusun melingkar : (n -1 )!

PERMUTASI KE-4 : Banyaknya permutasi yang berlainan dari n obyek bila n1

diantaranya berjenis ke-1, n2 berjenis ke-2,…, nk berjenis ke-k, dihitung dengan :

k-keobyek banyaknya nk

2-keobyek banyaknya n2

1-keobyek banyaknya n1

permutasi P

:keterangann2!...nk!n1!

!nP

TEOREMA PERMUTASITEOREMA PERMUTASI

KOMBINASIKOMBINASI

BANYAKNYA KOMBINASI DARI n OBYEK YANG BERLAINAN BILA DIAMBIL SEBANYAK r SEKALIGUS, DIHITUNG DENGAN :

npengambila kali setiap banyaknya r

obyek banyaknya

kombinasi

:keterangan

r)! -(n r!

!n

nr

nr

n

C

r

nC

Contoh :Contoh :

Panitia karya wisata mahasiswa terdiri dari 4 orang mahasiswa angkatan 2000 dan 3 orang mahasiswa angkatan 2001. carilah banyaknya panitia 3 orang mahasiswa yang dapat disusun yang beranggotakan 2 orang mhs angkt 2000 dan 1 orang mhs angkt 2001?

Banyaknya cara memilih 2 orang mhs angk 2000 :

Banyaknya cara memilih 1 orang mhs angk 2001 :

Sehingga : n1.n2 = 6 x 3 = 18

62)! - (42!

!4

2

442

C

31)! - (31!

!3

1

331

C

PROBABILITASPROBABILITAS

Sebuah ukuran ketidak-pastian.

Sebuah ukuran tingkat keyakinan terjadinya sebuah kejadian yang tidak pasti (uncertain event).

Sebuah ukuran tingkat peluang (likelihood of occurrence) dari sebuah kejadian yang tidak pasti (uncertain event).

Diukur dengan nilai antara 0 sampai 1 (atau antara 0% sampai 100%).

PELUANG SUATU KEJADIAN A, adalah jumlah bobot peluang semua elemen dalam A → P(A)

Probabilitas suatu kejadian dapat dibatasi sebagai perbandingan frekuensi kejadian itu dengan kejadian seluruhnya.

SIFAT-SIFAT PROBABILITAS :1. 0 P(A) 12. P(Ø) = 03. P(S) =1

PROBABILITASPROBABILITAS

Jika, dalam N percobaan, ada x sukses, maka akan ada (N – x) kegagalan, sehingga :

1)()(

)A( ditulis sehingga (A)komplemen merupakan A)(bukan

1 A)(bukan P (A) P

A)(bukan )()()(,

1

)(

APAP

PgagalPN

xNdanAPsuksesP

N

xtetapi

N

xN

N

x

NxNx

PROBABILITASPROBABILITAS

Pokok utama :Pokok utama :

Probabiltas empiris dari munculnya suatu kejadian A adalah banyaknya, x, sukses yang dialami dalam N percobaan sebelumnya dibagi dengan N, yaitu P(A)=x / N

Banyaknya sukses E yang diharapkan dalam suatu sampel dari m percobaan adalah E = m x P(A) yaitu Harapan = (banyaknya percobaan) x (probabilitas sukses pd suatu percobaan tertentu)

Contoh :Contoh :

Diketahui bahwa pengalaman sebelumnya 8% cetakan plastik adalah cacat. Hitunglah : Probabilitas cetakan (i) cacat; (ii) dapat

diterima Banyaknya cetakan dapat diterima

kemungkinan besar dapat ditemukan dalam tumpukan sampel berukuran 4500

Solusi :Solusi :

(i) P(A) = 8/100 = 2/25; (ii) P(B) = 92/100 = 23/25E = m x P(B) = 4500 x (23/25) =

4140Perhatikan bahwa P(A) + P(B) = 1

HUBUNGAN ANTAR PERISTIWAHUBUNGAN ANTAR PERISTIWA

SALING MENIADAKAN/TERPISAH (MUTUALLY EXCLUSIVE) adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi secara serentak / bersamaan

CONTOH : Pada pelemparan mata uang logam, muncul sisi G (gambar) tidak mungkin bersamaan terjadinya dengan munculnya sisi A (angka).

Hal ini berarti bahwa (G) dan (A) saling meniadakan/terpisah

PASTI TERWAKILI (COLLECTIVELY EXHAUSTIVE) adalah peristiwa yang sekurang-kurangnya salah satu diantaranya pasti terjadi.

Contoh : pada pelemparan uang logam, salah satu dari kedua sisinya pasti akan muncul.

Hal ini berarti (A) dan (G) pasti terwakili

HUBUNGAN ANTAR PERISTIWAHUBUNGAN ANTAR PERISTIWA

SALING BEBAS (INDEPENDENT) adalah peristiwa2 yg terjadi diantara peristiwa2 itu tidak mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa yang lainnya.

Contoh : pada 2 kali pelemparan mata uang logam, munculnya sisi G pada pelemparan pertama tidak mempengaruhi peluang munculnya sisi A pada pelemparan kedua

Hal ini berarti bahwa (G1) dan (A2) saling bebas

HUBUNGAN ANTAR PERISTIWAHUBUNGAN ANTAR PERISTIWA

NOTASI PELUANGNOTASI PELUANG

serentak secara B peristiwadan A

peristiwa kedua a terjadinypeluang

B)dan P(A B)P(A

B peristiwaatau A peristiwa

darisatu salah a terjadinypeluang

B)atau P(A B)P(A

A peristiwa a terjadinypeluang P(A)

30

Contoh : Pada pelemparan mata Contoh : Pada pelemparan mata uang logamuang logam

0belakangdan muka sisi munculnyaA)P(G

10

belakangatau muka sisi munculnya )P(G

belakang sisi munculnya P(A)

muka uang sisi munculnya P(G)

21

21

21

21

A

RUMUS PELUANGRUMUS PELUANG

P(A).P(B) B)P(A

maka nt)(independe

bebas saling Bdan A Jika 3.

P(B) P(A) B)P(A

0 B)P(A

: maka exclusive)(mutually

an terpisahksaling Bdan A Jika 2.

B)P(A - P(B) P(A) B)P(A .1

Contoh : Pada pelemparan sebuah Contoh : Pada pelemparan sebuah dadudadu

61

65

21

21

T)P(G

)2( tigamaksimaldan

genap bernilai sisi munculnyaT)(G

T)P(G

)(1,2,3,4,6 tigamaksimalatau

genap bernilai sisi munculnya T)(G

P(T) ; (1,2,3)

tigamaksimal bernilai sisi munculnya (T)

P(G)

(2,4,6)genap bernilai sisi munculnya (G)

PELUANG BERSYARAT PELUANG BERSYARAT (CONDITIONAL PROBABILITY)(CONDITIONAL PROBABILITY)

0P(B) ,P(B)

B)P(ABAP

0P(A) ,P(A)

B)P(AABP

apabila

apabila

CONTOH:CONTOH:

Hasil penelitian terhadap 500 orang laki-laki tentang hubungan kebiasaan merokok (R) dan penyakit kanker (K) adalah :

Kebiasaan merokok

Penyakit Kanker jumlah

Ya Tidak

Ya 30 (6%) 170 (34%) 200 (40%)

Tidak 20 (4%) 280 (56%) 300 (60%)

Jumlah 50 (10%) 450 (90%) 500 (100%)

Apabila pada suatu saat ditemukan sorang laki-laki perokok, berapa peluang laki-laki tsb penderita kanker ?

Apabila ada penderita kanker, berapa peluang bahwa dia seorang perokok?

15,00,4

0,06

P(R)

R)P(KRKP

6,00,1

0,06

P(K)

K)P(RKRP

JAWAB:JAWAB:

TEORI JUMLAH PELUANGTEORI JUMLAH PELUANG

Bila kejadian B1, B2, …, Bn membentuk partisi suatu sampel space S sehingga :P(Bi) ≠0, untuk i = 1, 2, 3, …, k , maka untuk kejadian A dalam S berlaku :

k

i

k

iiii BAPBPABPAP

1 1

)().()()(

Contoh :Contoh :

Intersection / irisan kejadian A dengan kejadian B1, B2, B3, …, Bk yang merupakan partisi atau penyekatan S.

Jadi :

B2B1

B3Bk B4

A

k

ii ABPAP

1

)()(

TEOREMA BAYESTEOREMA BAYES

B a terjadinypeluang P(B)

A a terjadinypeluang P(A)

serentak secara Bdan A a terjadinypeluangB)P(A

0P(A) bila A,syarat dg B a terjadinypeluangABP

0P(B) bila B,syarat dgA a terjadinypeluang BAP

,...,3,2,1;)().(

)().(

)P(B

)P(BABP

1

k

1ii

rr

krBAPBP

BAPBP

A

A

i

k

ii

rr

Teorema Bayes memungkinkan untuk mengetahui probabilitas B bersyarat A jika diketahui probabilitas A bersyarat B.Menggunakan definisi probabilitas bersyarat dan hukum probabilitas total.

Tiga orang anggota senat PT dicalonkan menjadi Rektor, peluang A terpilih sbg rektor 0,3. Peluang B terpilih sbg rektor 0,5. Dan peluang C terpilih sbg rektor 0,2. Jika A terpilih, maka peluang kenaikan SPP sebesar 0,8. Tetapi jika B atau C menang, maka peluang kenaikan SPP sebesar 0,1 dan 0,4.

a. Berapa peluang SPP naikb. Bila seorang mhs merencanakan masuk PT tsb dan

tahu SPP naik, berapa peluang C terpilih sbg rektor?

Contoh :Contoh :

Jika kejadian : A : orang terpilih menaikan SPP B1 : A terpilih sbg Rektor B2 : B terpilih sbg Rektor B3 : C terpilih sbg Rektor

Maka peluang SPP naik :

P(B1) = 0,3 B1 P(A|B1) = 0,8 P(B1)P(A|B1) = (0,3)(0,8) = 0,24

P(B2) = 0,5 B2 P(A|B2) = 0,1 P(B2)P(A|B2) = (0,5)(0,1) = 0,05

P(B3) = 0,2 B3 P(A|B3) = 0,4 P(B3)P(A|B3) = (0,2)(0,4) = 0,08 +

A

A

A P(A) = 0,37

Sedangkan peluang C yang terpilih sebagai Rektor adalah :

0,22 0,37

0,08

BA).PP(BBA).PP(BBA).PP(B

BA).PP(BABP

332211

333