BAB III (Pemodelan Matematis Sistem Fisik)

BAB 2

74

IIIPEMODELAN MATEMATIS SISTEM FISIKDeskripsi : Bab ini memberikan gambaran tentang pemodelan matematis, fungsi alih, diagram blok, grafik aliran sinyal yang berguna dalam pemodelan sistem kendali Objektif : Memahami bab ini akan mempermudah pembaca untuk memahami prinsip-prinsip pemodelan matematis sistem fisik dari sistem kendali.

3.1 PendahuluanUntuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harus dibuat model fisisnya. Model fisis ini harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis sistem tersebut secara memadai. Dari model fisis ini dapat diturunkan model matematis. Model matematis diartikan sebagai hubungan matematik yang menghubungkan keluaran sistem dengan masukannya. Model matematis ini diperoleh dari hukum-hukum fisis sistem yang bersangkutan seperti dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum Newton, dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum Kirchoff, ohm dll. Model-model matematis digunakan untuk memperkirakan bagaimana sistem akan memberikan tanggapan pada kondisi-kondisi spesifik yang pasti tanpa menguji sistem fisik yang sebenarnya. Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalu menggambarkan model fisis yang sama (misal: analogi sistem mekanis dengan sistem elektrik). Beberapa contoh model matematis untuk sistem tradisional satu input satu output (SISO) diantaranya :3.2 Model Matematis

3.2.1 Model Matematis Untuk Sistem Listrik

Contoh 3.1 : Tentukan persamaan dinamis untuk rangkaian listrik R-L-C seri berikut ini :

Gambar 3.1 Rangkaian Listrik R-L-C seriJawab : Hukum Fisis : Hukum Kirchoff .

Persamaan dinamis sistem/ persamaan differensial :

(3.1)

(3.2)

Contoh 3.2 : Tentukan persamaan dinamis untuk rangkaian listrik R-L-C Paralel berikut ini

Gambar 3.2 Rangkaian Elektrik R-L-C Paralel Jawab :

Hukum Fisis : Hukum Kirchoff Persamaan dinamis sistem/ persamaan differensial :

(3.3)

(3.4)

(3.5)

3.2.2 Model Matematis Untuk Sistem Mekanis

Contoh 3.3 : Tentukan persamaan dinamis untuk sistem gerak mekanik gerobak

Gambar 3.3 Gerak Mekanis Gerobak Tipe 1Dimana

: Massa (kg) ,

: Percepatan ,

: Gaya

Jawab : Hukum Fisis : Hukum Gerak Newton II

(3.6)

dengan beberapa asumsi

-Pada saat sistem tidak bergerak dan gerobak digerakan dengan kecepatan konstan -Input : dengan bersifat konstan

- Output: merupakan gerak relatif terhadap tanah


(3.7)

(3.8)

Contoh 3.4 : Tentukan persamaan dinamis untuk sistem gerak mekanik gerobak berikut ini :

Gambar 3.4 Gerak Mekanis Gerobak TipeDimana

: Massa (kg) ,

: Percepatan ,

: Gaya

Jawab : Hukum Fisis : Hukum Gerak Newton II

(3.9)dengan beberapa asumsi - Input :

- Output: merupakan gerak relatif terhadap tanah


(3.10)

3.2.3 Model Matematis Untuk Sistem Ketinggian Air

Contoh 3.5 : Tentukan persamaan dinamis untuk untuk sistem ketinggian air berikut ini :

Gambar 3.5 Sistem Ketinggian Air Tipe 1Jawab : dengan beberapa asumsi

- Input :

- Output:

- Semua kondisi awal bernilai nol


Untuk tangki 1 :

(3.11)

Dimana

(3.12)

Sehingga

(3.13)

Untuk tangki 2 :

(3.14)

Dimana

(3.15)

(3.16)

Sehingga

(3.17)

Dengan mengeliminasi diperoleh :

(3.18)Contoh 3.6 : Tentukan persamaan dinamis untuk sistem ketinggian air berikut ini :

Gambar 3.6 Sistem Ketinggian Air Tipe 2Jawab :

Dengan beberapa asumsi

- Input :

- Output :

- Semua kondisi awal bernilai nol Persamaan dinamis sistem/ persamaan differensial :

Untuk tangki 1 :

(3.19)

dan

(3.20)

(3.21)

Untuk tangki 2 :

(3.22)

Dimana

(3.23)

(3.24)

Sehingga

(3.25)Dari persamaan (3.22) dan persamaan (3.25) diperoleh :

(3.26)3.3 Fungsi Alih

Dalam teori kendali, fungsi yang disebut fungsi alih seringkali digunakan untuk mencirikan hubungan masukan dan keluaran dari sistem linier parameter konstan. Konsep fungsi alih ini hanya digunakan pada sistem linier parameter konstan. Fungsi alih sistem linier parameter konstan didefinisikan sebagai perbandingan dari transformasi Laplace keluaran dan transformasi Laplace masukan dengan anggapan bahwa semua syarat awal adalah nol.

Sistem linier parameter konstan dinyatakan dengan persamaan linier diferensial berikut :

(3.27)

Dimana adalah keluaran sistem dan adalah masukan sistem. Fungsi alih dari sistem ini diperoleh dengan mencari transformasi Laplace dari kedua persamaan (3.2) dengan asumsi semua kondisi awal bernilai nol.

Fungsi alih :

(3.28)

Contoh 3.7 : Tentukan fungsi alih dari rangkaian listrik R-C berikut ini :

Gambar 3.7 Rangkaian Listrik R-C Paralel

Jawab : Persamaan rangkaian :

(3.29)

(3.30)

(3.31)

Bentuk transformasi Laplace ( asumsi semua kondisi awal bernilai nol) :

(3.32)

(3.33)

(3.34)

Fungsi alih :

(3.35)

(3.36)Contoh 3.8 : Tentukan fungsi alih dari sistem rotasi mekanis berikut ini :

Gambar 3.8 Sistem Rotasi Mekanis

:Momen Putar masukan

:Penyimpangan sudut keluaran

: Gesekan

Jawab : Berdasarkan hukum Newton dan hukum Hooke, dalam keadaan seimbang :

(3.37)

Transformasi Laplace untuk persamaan diferensial di atas adalah :

(3.38)

Fungsi alih

(3.39)Contoh 3.9 : Tentukan fungsi alih dari sistem translasi mekanis berikut ini :

Gambar 3.9 Gerak Mekanis GerobakDimana

: Massa (kg) ,

: Percepatan ,

: Gaya

Jawab :

Hukum Fisis : Hukum Gerak Newton II

(3.40)

dengan masukan sistem dan keluaran sistem yang merupakan gerak relatif terhadap tanah. Persamaan dinamis sistem/ persamaan differensial :

(3.41)

Transformasi Laplace untuk persamaan diferensial (3.41) adalah :

(3.42)Fungsi Alih

(3.43)Contoh 3.10 : Tentukan fungsi alih dari sistem ketinggian air berikut ini :

Gambar 3.10 Sistem Ketinggian Air

Jawab :

(3.44)Asumsi pada saat perubahan aliran masuk berubah dari menjadi . Perubahan aliran masuk ini menyebabkan perubahan ketinggian dari menjadi . Hal ini menyebabkan perubahan aliran keluar dari menjadi sehingga persamaan sistem menjadi :

(3.45)Dimana

adalah kapasitansi dari tangki yang didefinisikan :

(3.46)Dalam keadaan mantap berlaku serta maka

(3.47)Dimana

(3.48)

(3.49)dimana

(3.50)

(3.51)Sehingga

(3.52)Karena dan maka

(3.53)atau

(3.54)Dengan asumsi sebagai masukan, sebagai keluaran dan asumsi semua kondisi awal bernilai nol . Dengan menggunakan transformasi Laplace diperoleh

(3.55)Fungsi alih :

(3.56)

3.4 Diagram Blok

Diagram blok suatu sistem adalah suatu penyajian bergambar dari fungsi yang dilakukan oleh tiap komponen dan aliran sinyalnya. Dalam suatu diagram blok, semua variabel sistem saling dihubungkan dengan menggunakan blok fungsional. Blok fungsional atau biasa disebut blok adalah suatu simbol operasi matematik pada sinyal masukan blok yang menghasilkan keluaran. Fungsi alih dari komponen biasanya ditulis di dalam blok yang dihubungkan dengan anak panah untuk menunjukkan arah aliran sinyal. Gambar 3.11 menunjukkan suatu elemen diagram blok . Anak panah yang menuju ke blok menunjukkan masukan dan anak panah yang meninggalkan blok menyatakan keluaran. Anah panah semacam ini dianggap sebagai sinyal.

Gambar 3.11 Elemen Diagram Blok

Diagram blok mengandung informasi perilaku dinamik tetapi tidak mengandung informasi mengenai konstruksi fisik dari sistem. Oleh karena itu, beberapa sistem yang berbeda dan tidak mempuyai relasi satu sama lain dapat dinyatakan dengan diagram blok yang sama. Selain itu dalam suatu diagram blok sumber energi utamanya tidak ditunjukkan secara eksplisit dan juga bahwa diagram blok suatu sistem adalah tidak unik.

Detektor Kesalahan. Detektor kesalahan menghasilkan suatu sinyal yang merupakan selisih antara sinyal masukan acuan dengan sinyal umpan balik dari sistem kontrol. Penyajian diagram blok dari detektor kesalahan ditunjukkan pada Gambar 3.12 berikut

Gambar 3.12 Diagram Blok Suatu Detektor KesalahanPerhatikan bahwa lingkaran dengan tanda silang adalah simbol yang menunjukkan suatu operasi penjumlahan. Tanda positif atau negatif pada setiap anak panah menunjukkan operasi yang harus dikenakan pada sinyal tersebut, ditmabahkan atau dikurangkan. Besaran-besaran yang ditambahkan atau dikurangkan mempuyai dimensi dan satuan yang sama

Diagram blok sistem lingkar tertutup. Gambar 3.13 menunjukkan suatu contoh digram blok sistem lingkar tertutup. Keluaran diumpan-balikkan ke titik penjumlahan untuk dibandingkan dengan masukan acuan . Keluaran blok dalam hal ini diperoleh dengan mengalikan fungsi alih dengan masukan blok .

Gambar 3.13 Diagram Blok Suatu Sistem Lingkar Tertutup

Setiap sistem kontrol linier dapat dinyatakan dengan suatu digram blok yang terdiri dari beberapa blok, titik penjumlahan dan titik cabang. Titik cabang adalah titik tempat sinyal keluaran blok secara bersamaan menuju ke blok lain. Jika keluaran diumpan-balik ke titik penjumlahan untuk dibandingkan dengan masukan, maka perlu mengubah bentuk sinyal keluaran agar sama dengan bentuk sinyal masukan. Peranan penting umpan balik adalah memodifikasi keluaran sebelum dibandingkan dengan masukan. Pada Gambar 3.14 sinyal umpan balik yang diumpan-balikkan ke titik penjumlahan untuk dibandingkan dengan sinyal masukan adalah .

Gambar 3.14 Sistem Lingkar Tertutup Perbandingan antara sinyal umpan-balik dengan sinyal kesalahan penggerak disebut fungsi alih lingkar terbuka yang dinyatakan

(3.57)

Perbandingan antara keluaran dengan sinyal kesalahan penggerak disebut fungsi alih umpan maju sehingga

(3.58)

Untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar 3.14, keluaran dan masukan dihubungkan sebagai berikut :

(3.59)

(3.60)

(3.61)

Sehingga

(3.62)

Fungsi alih yang merelasikan dengan disebut fungsi alih lingkar tertutup. Fungsi alih ini meghubungkan dinamika sistem lingkar tertutup dengan dinamika elemen umpan maju dan elemen umpan balik. Dari persamaan (3.60) , diberikan oleh

(3.63)

Dari persamaan (3.63) ini terlihat bahwa keluaran sistem lingkar tertutup bergantung pada fungsi alih lingkar tertutup dan sifat dari masukan

Prosedur penggambaran diagram blok. Untuk menggambar diagram blok suatu sistem, pertama kali tulis persamaan yang menggambarkan perilaku dinamik tiap komponen, kemudian persamaan ini dirubah ke dalam transformasi Laplace dengan asumsi semua syarat awal nol dan gambarkan masing-masing persamaan dalam bentuk transformasi Laplace ini dalam suatu blok. Akhirnya, susunan elemen-elemen ini menjadi suatu diagram blok lengkap. Contoh 3.11 : Rangkaian RC yang ditunjukkan pada Gambar 3.15 Persamaan untuk rangkaian ini adalah :

(3.64)

(3.65)

Transformasi Laplace dari persamaan (3.64) dan (3.65) dengan syarat awal nol diperoleh :

(3.66)

(3.67)

Gambar 3.15 Rangkaian RC

Gambar 3.16 Diagram Blok Dari Persamaan (3.66)

Gambar 3.17 Diagram Blok Dari Persamaan (3.67)

Gambar 3.18 Diagram Blok Rangkaian RC

Persamaan (3.66) menyatakan operasi penjumlahan sedangkan diagram bloknya ditunjukkan pada Gambar 3.16. Persamaan (3.67) dapat dinyatakan dengan blok diagram pada Gambar 3.17 dengan mengabungkan dua elemen maka diperoleh diagram blok keseluruhan sistem seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.18Penyederhanaan diagram blok. Diagram blok kompleks yang melibatkan beberapa lingkar berumpan-balik dapat disederhanakan dengan penyusunan kembali selangkah demi selangkah dengan menggunakan aturan aljbar diagram blok. Penyederhanaan diagram blok dengan cara penyusunan kembali dan substitusi sangat meringankan tugas yang diperlukan untuk analisis matematik berikutnya. Dalam menyederhanakan diagram blok, beberapa hal yang perlu diingat adalah :

1. Hasil kali fungsi alih pada arah umpan maju harus tetap sama

2. Hasil kali fungsi alih pada pengelilingan lingkar tertutup harus tetap sama

Suatu aturan umum untuk menyederhanakan diagram blok adalah memindahkan titik cabang dan titik penjumlahan, saling menukar titik penjumlahan dan kemudian menyederhanakan lingkar umpan balik di dalamnya. Beberapa aturan penyederhanaan diagram blok diperlihatkan pada Tabel 3.1 berikut : Tabel 3.1 Beberapa Aturan Penyederhanaan Diagram Blok

Contoh 3.12 : Sederhanakan diagram blok berikut ini

Jawab :

Didapatkan fungsi alih berikut :

(3.68)Contoh 3.13 : Gambarkan dan sederhanakan diagram blok dari sistem ketinggian air berikut ini

Gambar 3.19 Sistem Ketinggian Air

Jawab :

Kemudian digabungkan menjadi :

Didapatkan fungsi alih berikut :

(3.69)

3.5Grafik Aliran Sinyal Grafik aliran sinyal. Grafik aliran sinyal adalah suatu diagram yang menggambarkan seperangkat persamaan linear diferensial simultan. Untuk menggunakan metoda grafik aliran sinyal pada sistem kontrol terlebih dahulu harus mentransformasi persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar dalam s. Grafik aliran sinyal terdiri dari suatu jaringan cabang-cabang berarah yang menghubungkan simpul-simpul. Tiap simpul menyatakan suatu variabel sistem dan tiap cabang yang menghubungkan dua buah simpul berfungsi sebagai pengali sinyal. Grafik aliran sinyal menggambarkan aliran sinyal dari suatu titik pada sistem ke titik yang lain serta memberikan hubungan antara sinyal-sinyal tersebut. Grafik aliran sinyal pada dasarnya mengandung informasi yang sama seperti halnya diagram blok. Keunggulan penggunaan grafik aliran sinyal dalam menggambarkan suatu sistem kontrol adalah adanya rumus penguatan yang disebut rumus penguatan mason yang memberikan hubungan antar variabel sistem tanpa memerlukan penyederhaan grafik Definisi-definisi. Beberapa istilah yang perlu didefinisikan dalam grafik aliran sinyal :

Simpul. Simpul adalah suatu titik yang menyatakan suatu variabel atau sinyal

Transmitansi. Transmitansi adalah penguatan antara dua buah simpul

Cabang. Cabang adalah segmen garis berarah yang menghubungkan dua buah simpul Simpul Masukan. Simpul masukan adalah simpul yang hanya mempuyai cabang mempuyai cabang berarah keluar. Simpul ini melambangkan variabel bebas

Simpul Keluaran. Simpul keluaran adalah simpul yang hanya mempuyai cabang berarah masuk. Simpul ini melambangkan variabel yang bergantungan.

Simpul Campur. Simpul campur adalah simpul yang mempuyai baik cabang berarah masuk maupun keluar

Lintasan. Lintasan adalah jalan yang dilewati oleh cabang-cabang yang berhubungan pada arah yang ditunjukkan oleh anak panah cabang

Lup. Lup adalan lintasan tertutup

Penguatan Lup. Penguatan lup adalah hasil kali transmitansi-transmitansi cabang pada lup tersebut

Lup lup tidak bersentuhan. Lup-lup disebut tidak bersentuhanc jika tidak mempuyai simpul bersama

Lintasan Maju. Lintasan maju adalah lintasan dari simpul masukan ke simpul keluaran yang melewati setiap simpul hanya sekali.

Penguatan Lintasan Maju. Penguatan lintasan maju adalah hasil kali transmitansi-transmitansi cabang lintasan maju Sifat-sifat grafik aliran sinyal. Beberapa sifat penting grafik aliran sinyal adalah sebagai berikut :

1. Cabang menunjukkan ketergantungan fungsional suatu sinyal terhadap yang lain . Sinyal hanya lewat pada arah yang ditentukan oleh anak panah cabang

2. Simpul menjumlah sinyal dari semua cabang masuk dan mentransmisi hasil penjumlahan ini ke seluruh cabang ke luar

3. Simpul campur, yang mempuyai baik cabang masuk maupun cabang keluar, dapat dianggap sebagai simpul keluaran dengan menambah satu cabang ke luar yang mempuyai transmitansi satu.

4. Untuk setiap sistem, grafik aliran sinyalnya adalah tidak unik. Beberapa grafik aliran yang berbeda dapat digambarkan untuk suatu sistem dengan menuliskan persamaan-persamaan sistem dengan cara yang berlainan

Aljabar grafik aliran sinyal. Grafik aliran sinyal suatu sistem linier dapat digambarkan dengan menggunakan definisi-definisi yang sudah diberikan sebelumnya. Dalam mengerjakannya, biasanya simpul masukan di sebelah kiri dan simpul keluaran di sebelah kanan. Variabel bebas dan bergantungan dari persamaan, masing-masing menjadi simpul masukan dan simpul keluaran. Transmitansi cabang dapat diperoleh dari koefesien-koefesien persamaan.Penyederhanaan Diagram Blok dan Sinyal Flowgraph. Seringkali dijumpai diagram blok maupun sinyal flowgraph dari suatu sistem masih terlalu rumit untuk dianalisis secara langsung. Untuk memudahkan analisis, diagram blok maupun sinyal flowgraph harus disederhanakan lebih dahulu. Contoh-contoh dari penyederhanaan dapat dilihat berikut.1. Rangkaian seri.

2. Rangkaian paralel

3. Pergeseran summing point di belakang blok.

4. Pergeseran summing point di muka blok.

5. Pergeseran pick-off point di belakang blok

6. Pergeseran pick-off point di muka blok

EMBED Visio.Drawing.11 7. Rangkaian umpan balik

Rumus penguatan mason untuk grafik aliran sinyal. Untuk menghitung penguatan sistem lup tertutup secara keseluruhan (over all transmittance) dari sebuah sinyal flowgraph dipakai dalil Mason, sebagai berikut :

(3.70)

dengan

:Fungsi alih (transmittance) dari arah maju ke-n dimana n = 1, 2, 3,

( :Determinan dari flowgraph, ditentukan sebagai berikut

(3.71)

:Transmittance dari sebuah lintasan tertutup

:Jumlah transmittance dari sebuah lintasan tertutup .

:Perkalian transmittance dari dua lintasan tertutup yang tidak saling menyinggung (( tidak mempunyai titik persekutuan).

:Jumlah semua perkalian transmittance dari dua lintasan tertutup yang tidak saling menyinggung.

:Perkalian transmittance dari tiga lintasan tertutup yang tidak saling menyinggung. dan seterusnya.

:Kofaktor dari Tn (Determinan dari flowgraph yang tertinggal setelah arah maju (forward path) yang menghasilkan Tn dihilangkan, termasuk lintasan tertutup yang menyinggungnya.Contoh 3.14 : Tentukan C(s) dari diagram blok berikut ini :

Jawab :

Untuk menentukan dalam sistem masukan banyak dilakukan dengan cara superposisi yaitu membuat satu masukan aktif untuk satu saat tertentu, sedang yang lain dibuat sama dengan 0. Dari contoh ini, maka Diasumsikan hanya ada dan maka

Diperoleh

(3.72)

(3.73) Asumsikan hanya ada dan maka

(3.74)

(3.75)

(3.76)

(3.77)

(3.78)Contoh 3.15 : Tentukan fungsi alih untuk gambar berikut.

Jawab :

(3.79)

(3.80)

(3.81)

(3.82)

(3.83)

(3.84)

(3.85)

(3.86)

(3.87)

(3.88)

(3.89)

(3.90)

(3.91)

(3.92)

(3.93)

(3.94)

(3.95)

(3.96)

(3.97)

3.6 Rangkuman Deskripsi matematik dari karakteristik dinamik suatu sistem disebut model matematik. Langkah pertama dan analis dalam analisis suatu sistem dinamik adalah menurunkan modelnya. Model dapat disajikan dalam beberapa bentuk yang berbeda, bergantung pada sistem dan keliling yang ditinjau. Fungsi alih adalah suatu ekspresi yang merelasikan keluaran dan masukan suatu sistem linier parameter konstan dalam bentuk parameter sistem dan merupakan sifat dari sistem itu sendiri, tidak bergantung pada fungsi masukan atau penggerak. Fungsi alih mencakup satuan-satuan yang diperlukan untuk merelasikan masukan dengan keluaran meskipun demikian fungsi alih tidak memberikan informasi mengenai struktur fisik dari sistem. Diagram blok suatu sistem adalah suatu penyajian bergambar dari fungsi yang dilakukan oleh tiap komponen dan aliran sinyalnya. Diagram semcam ini melukiskan hubungan timbal balik yang ada antara berbagai komponen. Berbeda dengan penyajian matematis yang bersifat abstrak belaka, diagram blok mempuyai keunggulan dalam menunjukkan aliran sinyal yang lebih nyata pada sistem yang sebenarnya.

Grafik aliran sinyal adalah suatu diagram yang menggambarkan seperangkat persamaan diferensial linier simultan. Penerapan grafik aliran sinyal biasanya adalah pada penggambaran diagram sistem. Rumus penguatan Mason dapat digunakan untuk menentukan hubungan antara suatu masukan dan suatu keluaran. Rumus penguatan Mason sangat berguna terutama dalam menyederhanakan diagram sistem yang besar dan kompleks dalam satu langkah tanpa memerlukan penyederhanaan selangkah demi selangkah. 3.7 Contoh Soal dan Jawab

Soal A-3-1. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem mekanik berikut

Gambar 3.20 Sistem MekanisJawab :

Hukum Fisis : Hukum Newton


(3.98)

(3.99)

Soal A-3-2. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem rangkaian listrik berikut ini :

Gambar 3.21 Sistem Rangkaian Listrik R-L-CJawab : Hukum Fisis : Hukum Kirchoff


(3.100)

(3.101)

(3.102)

(3.103)Soal A-3-3. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem ketinggian air berikut

Gambar 3.22 Sistem Ketinggian Air Dua Masukan Jawab :

Persamaan dinamis sistem :

(3.104)

(3.105)

(3.106)

(3.107)Eliminasi persamaan (3.104) ke persamaan (3.105) diperoleh :

(3.108)Eliminasi dan pada persamaan (3.106) dengan menggunakan persamaan (3.105) dan (3.107)

(3.109)Soal A-3-4. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem mekanis berikut :

Gambar 3.23 Sistem Mekanis KombinasiJawab :

Persamaan dinamis sistem :

(3.110)

(3.111)

(3.112)Soal A-3-5. Untuk rangkaian motor DC berikut

Gambar 3.24 Rangkaian Motor DCJawab :

Persamaan tegangan untuk rangkaian armature :

(3.113)

Persamaan torsi untuk rangkaian armature :

(3.114)diperoleh persamaan kecepatan motor :

(3.115)dan juga diperoleh persamaan posisi motor :

(3.116)

Soal A-3-6. Untuk sistem mekanik berikut

Gambar 3.25 Sistem Mekanis Horizontal

Tentukan fungsi alih dari rangkaian mekanik diatas dengan sebagai keluaran dan sebagai masukan . Asumsi semua kondisi awal bernilai nol dengan , dan

Jawab :

Persamaan linear diferensial dari sisem mekanik :

(3.117)

(3.118)

(3.119)

(3.120)Dengan mencari transformasi Laplace kedua ruas persamaan tersebut diperoleh :

(3.121)Dengan substitusi nilai-nilai yang diketahui dan syarat awal sama dengan nol diperoleh :

(3.122)Fungsi alih

(3.123)Soal A-3-7. Untuk rangkaian listrik berikut

Gambar 3.26 Sistem Rangkaianc Listrik R-L-CTentukan fungsi alih dari rangkaian listrik diatas dengan sebagai keluaran dan sebagai masukan serta simulasikan fungsi alih yang didapatkan dengan menggunakan Matlab. Asumsi semua kondisi awal bernilai nol dengan , dan

Jawab :

Persamaan linear diferensial dari rangkaian listrik :

(3.124)

(3.125)Dengan kondisi awal dan

(3.126)

Dengan mencari transformasi Laplace kedua ruas persamaan tersebut diperoleh :

(3.127)

(3.128)

dari persamaan (3.128) diperoleh :

(3.129)

Persamaan (3.129) disubstitusi ke persamaan (3.128) diperoleh :

(3.130)

(3.131)

Dengan substitusi nilai-nilai yang diketahui dan syarat awal sama dengan nol diperoleh :

(3.132)Fungsi alih

(3.133)Soal A-3-8. Untuk sistem pengaturan ketinggian air dengan sistem lingkar tertutup sebagai berikut ini :

Tentukan fungsi alih dari sistem ketinggian air diatas dengan sebagai keluaran dan sebagai masukan serta simulasikan fungsi alih yang didapatkan dengan menggunakan Matlab. Asumsi semua kondisi awal bernilai nol

Jawab : Persamaan linear diferensial dari sistem ketinggian air :

(3.134)

(3.135)Dimana

dan

(3.136)Sehingga diperoleh :


(3.138)Dengan substitusi nilai-nilai yang diketahui dan syarat awal sama dengan nol diperoleh fungsi alih lingkar terbuka :

(3.139)Adapun untuk fungsi alih lingkar tertutup diperoleh

(3.140)

(3.141)

(3.142)Dimana

: konstanta pengukuran

: penguat konstan dari alat pengukuran

:konstanta kendali valve

:Sinyal referensi

Sehingga diperoleh fungsi alih lingkar tertutup :

(3.143)Soal A-3-9. Untuk sistem mekanik berikut ini :

Gambar 3.27 Sistem Mekanis

Tentukan fungsi alih dari sistem mekanik diatas dengan sebagai keluaran dan sebagai masukan serta simulasikan fungsi alih yang didapatkan dengan menggunakan Matlab. Asumsi semua kondisi awal bernilai nol dengan dan .Jawab :

Persamaan linear diferensial dari sistem mekanik :

(3.144)


(3.146)

(3.147)Eliminasi pada kedua persamaan diperoleh :

(3.148)atau

(3.149)

Dengan substitusi nilai-nilai yang diketahui dan syarat awal sama dengan nol diperoleh :

(3.150)Soal A-3-10. Untuk rangkaian motor DC berikut

Gambar 3.28 Sistem Rangkaian Motor DCTentukan fungsi alih dari sistem rangkaian motor DC diatas dengan sebagai keluaran dan sebagai masukan serta simulasikan fungsi alih yang didapatkan dengan menggunakan Matlab. Dengan beberapa asumsi sebagai berikut :

1. Semua kondisi awal bernilai nol

2. Hubungan fluks magnetik antara stator dan rotor dinyatakan dengan persamaan :

(3.151)3. Torsi mekanik motor dinyatakan dengan persamaan :

(3.152)4. Nilai dan merupakan suatu konstanta

Jawab : Persamaan linear diferensial dari sistem rangkaian motor DC adalah :

(3.153)

(3.154)

(3.155)Subsitusi persamaan (3.155) ke persamaan (3.154) diperoleh :

(3.156)Dengan mencari transformasi Laplace diperoleh :

(3.157)Dengan substitusi nilai-nilai yang diketahui dan syarat awal sama dengan nol diperoleh :

(3.158)

(3.159)Soal A-3-11. Untuk rangkaian listrik berikut ini :

Gambar 3.29 Sistem Rangkaian Listrik R-L-CTentukan :

a. Persamaan linear diferensial untuk rangkaian listrik diatas

b. Buat diagram blok untuk rangkaian listrik diatas.c. Tentukan fungsi alih dari rangkaian listrik diatas dengan reduksi diagram blok pada soal b.

Jawab :

a. Persamaan linear diferensial rangkaian listrik diatas :

Untuk loop 1 :

(3.160)Untuk loop 2 :

(3.161)

(3.162) Dengan mencari transformasi Laplace diperoleh :

(3.163)

(3.164)

(3.165)b. Diagram blok untuk rangkaian listrik diatas.

c. Fungsi alih dari rangkaian listrik diperoleh :

(3.166)

(3.167)Soal A-3-12. Tentukan fungsi alih dari rangkaian di bawah ini

Jawab :

Langkah 1 :

Langkah 2 :

Langkah 3 :

Fungsi alih :

(3.168)Soal A-3-13. Reduksi diagram blok di bawah ini :

Jawab :

Langkah 1 :

Langkah 2 :

Langkah 3 :

Langkah 4 :

Soal A-3-14. Reduksi diagram blok berikut ini

Jawab : Langkah 1 :

Langkah 2 :

Langkah 3 :

Langkah 4 :

Langkah 5:

Langkah 6:

Soal A-3-15. Reduksi diagram blok berikut ini

Jawab : Langkah 1 :

Langkah 2 :

Langkah 3 :

Langkah 4 :

Soal A-3-16. Untuk sistem berikut ini :

Dengan menggunakan formula Mason tentukan fungsi alih dari diagram blok diatas Jawab :

Diagram blok dirubah menjadi :

Lintasan maju :

(3.169)

(3.170)Bati lintasan :

(3.171)

(3.172)

(3.173)

(3.174)

(3.175)Fungsi alih :

(3.176)

(3.177)Soal A-3-17. Untuk rangkaian listrik berikut ini

Gambar 3.30 Sistem Rangkaian ListrikDengan menggunakan formula Mason tentukan fungsi alih dari rangkaian diatas

Jawab :

Pada rangkaian listrik berlaku persamaan berikut :

(3.178)

(3.179)

(3.180)

(3.181)Dari persamaan (3.178) s/d (3.181) diperoleh diagram berikut :

Lintasan maju

(3.182)Bati lintasan

(3.183)

(3.184)

(3.185)

(3.186)

(3.187)


(3.189)Soal A-3-18. Untuk sistem berikut ini :

Dengan menggunakan formula Mason tentukan fungsi alih dari sistem tersebut.

Jawab :

Lintasan maju :

(3.190)

(3.191)

(3.192)Bati Lintasan :

(3.193)

(3.194)

(3.195)

(3.196)

(3.197)

(3.198)

(3.199)

(3.200)

(3.201)

(3.202)


(3.204)

(3.205)

Dimana

(3.206)Soal A-3-19. Untuk sistem berikut ini :

Tentukan fungsi alih dari sistem tersebut dengan menggunakan :

a. Grafik aliran sinyal b. Formula Mason

Jawab :

a. Grafik aliran sinyal Langkah 1 :

Dari langkah 1 didapatkan :

(3.207)

(3.208)

(3.209)Langkah 2 :

Langkah 3 :

Langkah 4 :

Didapatkan fungsi alih :

(3.210)

(3.211)b. Formula Mason

Lintasan maju :

(3.212)

(3.213)Bati Lintasan :

(3.214)

(3.215)

(3.216)

(3.217)

(3.218)

(3.219)

(3.220)

(3.221)

(3.222)

(3.223)

(3.224)

(3.225)Diperoleh

(3.226)Soal A-3-20. Untuk diagram blok berikut ini :

Tentukan fungsi alih dari rangkaian diatas dengan menggunakan Signal Flow GraphJawab : Langkah 1 :

Langkah 2 :

Langkah 3:

Langkah 5:

Fungsi alih :

(3.227)3.8Soal Soal

Soal B-3-1. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem-sistem mekanik berikut ini :

Soal B-3-2. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem-sistem listrik berikut ini :

Soal B-3-3. Tentukan persamaan dinamis untuk sistem-sistem ketinggian air berikut ini :

Soal B-3-4. Tentukan fungsi alih untuk sistem-sistem rangkaian listrik berikut ini :

Soal B-3-5. Tentukan fungsi alih untuk sistem-sistem mekanik berikut ini :

Soal B-3-6. Tentukan fungsi alih untuk sistem-sistem ketinggian air berikut ini :

Soal B-3-7. Tentukan fungsi alih untuk sistem-sistem berikut ini dengan menggunakan metoda grafik aliran sinyal :

Soal B-3-8. Tentukan fungsi alih untuk sistem-sistem berikut ini dengan menggunakan formula Mason :

EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11 Soal B-3-9. Untuk sistem pengendalian motor DC dengan menggunakan stator berikut ini :

Tentukan : a. Persamaan diferensial motor DC tersebut

b. Fungsi alih motor DC

c. Blok diagram motor DC d. Penyederhanaan blok diagram motor DC dengan menggunakan metoda grafik aliran sinyal

e. Fungsi alih motor DC dengan menggunakan formula Mason

Soal B-3-10. Untuk sistem mekanik berikut :

Asumsi : sebagai keluaran dan sebagai masukan Tentukan :

a. Persamaan diferensial sistem mekanik tersebut

b. Fungsi alih sistem mekanik

c. Blok diagram sistem mekanik

d. Penyederhanaan blok diagram sistem mekanik dengan menggunakan metoda grafik aliran sinyal

e. Fungsi alih sistem mekanik dengan menggunakan formula Mason

3.9 Studi Kasus 1. Cari masing-masing 1 buah sistem kendali elektrik, sistem kendali mekanik, sistem kendali ketinggian air dan sistem kendali termal beserta parameter-parameternya serta :

a. Tentukan model matematis setiap sistem

b. Tentukan persamaan linear diferensial dari setiap sistem

c. Tentukan fungsi alih dari model matematis setiap sistem

d. Tentukan solusi persamaan linear diferensial dari setiap sistem dengan menggunakan transformasi Laplace dan metoda klasik

e. Buat diagram blok dari model setiap sistem

f. Buat grafik aliran sinyal dari model setiap sistemg. Tentukan fungsi alih setiap sistem dengan menggunakan formula Mason

h. Simulasikan 1.c s/d 1.d untuk setiap kasus dengan menggunakan Matlab

2 Buat laporan hasil studi kasus yang dilakukan

3. Buat materi presentasi studi kasus yang dilakukan dengan menggunakan Microsoft Power Point atau Macromedia Flash

4. Presetasikan hasil studi kasus yang dengan jadwal yang ditentukan kemudian

5. Kriterai penilaian :

Nilaia-bc-de-fg-h234

90 s/d 100

80 s/d 89

70 s/d 79

60 s/d 69

50 s/d 59

40 s/d 49

30 s/d 39

< 29

Catatan : Model sistem kendali yang dicari tidak boleh sama dengan model tugas yang sebelumnya. Jika ada yang sama maka tugas dalam bab ini dianggap gagal

EMBED Visio.Drawing.11

_1329216087.vsdL2

R

L1

C

eo(t)

i2(t)

i1(t)

e(t)

_1330370042.unknown

_1331406587.unknown

_1331407175.unknown

_1331407449.unknown

_1331407626.unknown

_1331407671.unknown

_1331407694.unknown

_1331407727.unknown

_1331407757.unknown

_1331407772.unknown

_1331407746.unknown

_1331407714.unknown

_1331407692.unknown

_1331407649.unknown

_1331407661.unknown

_1331407636.unknown

_1331407500.unknown

_1331407535.unknown

_1331407553.unknown

_1331407513.unknown

_1331407480.unknown

_1331407491.unknown

_1331407461.unknown

_1331407319.unknown

_1331407366.unknown

_1331407419.unknown

_1331407431.unknown

_1331407377.unknown

_1331407345.unknown

_1331407355.unknown

_1331407335.unknown

_1331407273.unknown

_1331407298.unknown

_1331407309.unknown

_1331407288.unknown

_1331407208.unknown

_1331407234.unknown

_1331407262.unknown

_1331407188.unknown

_1331406953.unknown

_1331407055.unknown

_1331407122.unknown

_1331407151.unknown

_1331407164.unknown

_1331407139.unknown

_1331407084.unknown

_1331407101.unknown

_1331407069.unknown

_1331407000.unknown

_1331407025.unknown

_1331407041.unknown

_1331407010.unknown

_1331406976.unknown

_1331406988.unknown

_1331406968.unknown

_1331406780.unknown

_1331406861.unknown

_1331406897.unknown

_1331406911.unknown

_1331406872.unknown

_1331406805.unknown

_1331406846.unknown

_1331406793.unknown

_1331406728.unknown

_1331406755.unknown

_1331406767.unknown

_1331406740.unknown

_1331406700.unknown

_1331406708.unknown

_1331406648.unknown

_1331035906.unknown

_1331406419.unknown

_1331406517.unknown

_1331406555.unknown

_1331406570.unknown

_1331406529.unknown

_1331406444.unknown

_1331406505.unknown

_1331406432.unknown

_1331036126.unknown

_1331037855.unknown

_1331037933.unknown

_1331406390.unknown

_1331406406.unknown

_1331038390.unknown

_1331406132.unknown

_1331038402.unknown

_1331038082.unknown

_1331037888.unknown

_1331037899.unknown

_1331037865.unknown

_1331037813.unknown

_1331037816.unknown

_1331036254.unknown

_1331036069.unknown

_1331036093.unknown

_1331036110.unknown

_1331036078.unknown

_1331035956.unknown

_1331036056.unknown

_1331035943.unknown

_1330509552.unknown

_1331035713.unknown

_1331035794.unknown

_1331035828.unknown

_1331035895.unknown

_1331035817.unknown

_1331035736.unknown

_1331035749.unknown

_1331035724.unknown

_1330795635.unknown

_1330795832.unknown

_1331028528.unknown

_1331035681.unknown

_1331028527.unknown

_1330795815.unknown

_1330540580.unknown

_1330795622.unknown

_1330509655.unknown

_1330509691.unknown

_1330509709.unknown

_1330509667.unknown

_1330509639.unknown

_1330456877.unknown

_1330456936.unknown

_1330504271.unknown

_1330509536.unknown

_1330504192.unknown

_1330456971.unknown

_1330456905.unknown

_1330456932.unknown

_1330456934.unknown

_1330456918.unknown

_1330456891.unknown

_1330371512.unknown

_1330456849.unknown

_1330456861.unknown

_1330447280.unknown

_1330447297.unknown

_1330371522.unknown

_1330370066.unknown

_1330371497.unknown

_1330370056.unknown

_1329409502.vsdI1(s)

I1(s)-I2(s)

Ei(s)

C1(s)

R1

_1329543476.vsdG1

G3

G4

G2

H2

H1

H3

R(s)

C(s)

+

+

+

+

-

-

_1329543748.vsd+

-

R2

R1

R1

C

A

B

ei

eo

_1329544023.vsd+

-

L

R

i

v

Input voltage

B

J

Shaft angel

_1329544148.vsd

_1329544172.vsd

_1329544212.vsd

_1329544240.vsdh1

h2

h3

_1329544259.vsd

_1329544184.vsd

_1329544159.vsd

_1329544047.vsdm

m

K

B1

B2

f(t)

y(t)

_1329544105.vsdM

m

k1

k2

b

x1

x2

x3

_1329544120.vsd+

-

if(t)

Rf

Lf

ia(t)=ia

(t)

Tm,Jm,Bm, m, m

_1329544134.vsdM2 = 1 kg

M1 = 1 kg

K1= 1N/m

K2= 1N/m

_1329544059.vsdm2

m1

_1329544036.vsdM1

b1

b2

xi

xo

_1329543805.vsdG1(s)

G2(s)

F(s)

+

+

+

+

R(s)

Y(s)

_1329543844.vsdT12

T23

T34

x1

x2

x3

x4

_1329543947.vsdx1

x2

x3

x4

x5

x6

T12

T23

T32

T34

T25

T43

T45

T56

T54

_1329543989.vsdr

y

l

G1

G2

G3

G4

G5

-F1

-- l

_1329544003.vsdr

y

l

G1

G2

G3

G4

G5

-F1

-F2

_1329543966.vsdr

y

l

l

G1

G2

G3

G4

-F1

-F2

-F3

_1329543923.vsdx1

x2

x3

x4

x5

T12

T23

T32

T34

T24

T43

T45

_1329543825.vsdG1(s)

F1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

F2(s)

F2(s)

+

+

+

-

-

-

R(s)

Y(s)

_1329543783.vsdG1(s)

G2(s)

G4(s)

G3(s)

G5(s)

+

+

-

+

R(s)

Y(s)

_1329543795.vsd

G1(s)

G2(s)

F1(s)

F2(s)

F3(s)

F4(s)

R(s)

Y(s)

+

+

+

+

+

-

_1329543764.vsd+

-

ei

e0

R1

R2

e

C

i1

i3

i2

_1329543617.vsdm

K

u

B

y

_1329543681.vsdR1

R2

C2

+

+

-

-

u(t)

y(t)

C1

_1329543708.vsdR1

C1

R2

C2

ei

eo

_1329543724.vsd+

-

+

-

R1

R3

R2

R4

R5

R6

C1

C2

Ei(s)

Eo(s)

E(s)

Z1

Z2

_1329543694.vsd+

-

u(t)

+

-

y(t)

C1

C2

R2

R1

_1329543650.vsdL1

L2

L3

R1

R3

R2

v1(t)

v3(t)

v2(t)

+

+

+

-

-

-

C1

C2

_1329543668.vsdR1

R2

C

+

+

-

-

u(t)

y(t)

_1329543635.vsdv2(t)

v1(t)

R1

R2

C1

C2

L

+

+

-

-

_1329543542.vsdm

k

No Friction

x (output)

u(t)(input force)

_1329543574.vsdm

k1

No Friction

x (output)

u(t)(input force)

k2

_1329543596.vsdO

y

x

y

x

G

x

M

u

l

l

_1329543558.vsdM1

M2

K1

K2

U1

U2

b1

y1

y2

_1329543518.vsdG1

R

+

-

H3

C(s)

_1329543528.vsdR(s)

C(s)

_1329543501.vsdG1

G2

H3

R

C(s)

+

+

-

-

_1329447897.vsdR

H1

C

G2+G3

_1329499708.vsdH1

C

R

_1329505153.vsdRs

G1

G2

G3

G4

G5

H2

H4

H3

G6

Ys

_1329543425.vsd

G4 G2 G5 G3

H2(G4+G5)

I(s)

O(s)

_1329543440.vsd1

5

3

6

4

G1

G2

G4

G3

G5

G6

H3

H2

_1329507026.vsdG2

G4

G4

G4

H2

G5

O(s)

I(s)

o

I

N

G3

_1329509593.vsdG5

G4

I(s)

O(s)

G3

G2

G4

G4

H2

_1329500804.vsdG1

G4

G2

H1

H2

G2

C

R

_1329502771.vsdR2

R1

R4

R3

V

i1(t)

+

i2(t)

-

v1

v2

_1329500092.vsdC

R

G2+G3

H1

_1329454196.vsdC

G2+G3

H2

R

_1329498815.vsd2

1

R

C

G1G4

G2+G3

H1

H2

2

1

_1329499181.vsd2

1

2

1

R

C

G1G4(G2+G3)

H1

H2

_1329495615.vsdC

R

H2

_1329449756.vsd=

G4

G1

G1G4

_1329450158.vsdG2+G3

=

G2

G3

_1329449386.vsdG4

G1

G2

G3

H1

H2

R

C

_1329414625.vsdG1

G2

C(s)

X(s)

R(s)

_1329425304.vsdG1G4

G2+G3

H1

H2

R

C

2

1

_1329447544.vsdR

H1

C

_1329447820.vsdR

H1

C

G2G3

_1329426066.vsdH2

G1G4(G2+G3)

H1

1

2

C

2

1

R

_1329415020.vsdR(s)

C(s)

G1

G2

_1329415190.vsdR(s)

C(s)

G1G2+G2+1

_1329414997.vsdR(s)

C(s)

G1+ 1

G2

_1329412445.vsdC1(s)

Ei(s)

I2(s)

Eo(s)

1C2(s)

I1(s)-I2(s)

C1(s)

R1

1C1(s)

C2(s)

_1329413079.vsdEo(s)

Ei(s)

R1C2S

_1329413904.vsdEi(s)

Eo(s)

_1329412783.vsdEi(s)

Eo(s)

1C2(s)

C1(s)

R1

R1

1C1(s)

C1(s)

C2(s)

_1329410038.vsdI2(s)

Eo(s)

1C2(s)

_1329411823.vsdI2(s)

Eo(s)

1C2(s)

1C1(s)

I1(s)-I2(s)

Ei(s)

C1(s)

R1

_1329409897.vsdI2(s)

I1(s)-I2(s)

1C1(s)

_1329321447.vsdQ2(s)

H2(s)

Q1(s)

1C2S

_1329324403.vsd+

R1

L

-

C

R2

Vo

I1

I2

V

+

-

_1329398471.vsdR2

v(t)

i1(t)

+

R1

L

C

-

i2(t)

iL(t)

vc(t)

+

-

_1329407275.vsdRf

Lf

Vf(t)

+

-

(t)

ia(t) = Ia

Tm.Jm.Bm.m.m

_1329409300.vsdR1

i1

R2

C1

C2

eo

e1

i2

_1329399492.vsd

P(s)

R(s)

Kv

Ka

Kf

Q1(s)

Y(s)

E(s)

Valve

System

_1329394217.vsdC

R

_1329396154.vsdim

en

Rm

Lm

em

T

m

Fixed field

_1329329993.vsdQ + q1

R2

R1

C1

_1329321563.vsdQ(s)

Q2(s)

_1329322168.vsdG1(s)

CD(s)

D(s)

G2(s)

_1329322950.vsdB2

B1

M1

k2

xb

k1

xa

M2

B3

_1329321964.vsdCR(s)

Q1(s)

R(s)

G1(s)G2(s)

_1329321505.vsdQ(s)

Q1(s)

1C1S

Q2(s)

1C2S

1R1

1R2

R2C1S

_1329321533.vsdR2C1S

Q(s)

Q2(s)

_1329321475.vsd

1R2

1R1

H1(s)

Q(s)

1C1S

Q2(s)

H2(s)

Q1(s)

1C2S

_1329242799.vsdI(s)

E0(s)

Ei(s)

1R

1Cs

_1329309282.vsdC

R

_1329311090.vsdQ1(s)

H2(s)

H1(s)

1R1

_1329311404.vsdQ2(s)

H2(s)

1R2

_1329309522.vsdQ + q1

R2

R1

C1

Tank 2

C2

Q + q2

Q + q

Tank 1

_1329249352.vsdC

R

G1

G2

G3

H1

H2G1

_1329308128.vsdC

R

G3

H2G1

_1329248437.vsdG2

C

R

G1

G3

H1

H2

_1329235279.vsdQ0=Q + q0

Qi=Q + qi

_1329242733.vsdE0(s)

1R

Ei(s)

I(s)

_1329242774.vsd

1Cs

I(s)

E0(s)

_1329236098.vsdR

c

ei

eo

i

_1329230237.vsdR2

R1

q1

C1

Tank 2

C2

R2

Q + q2

Q + q

_1329234608.vsdTank 1

R2

R1

Q + q1

C1

Tank 2

C2

Q + q2

Q + q

_1329224845.vsdb

m

y

k

u

output

input

_1328843277.unknown

_1329116742.unknown

_1329133106.unknown

_1329143870.unknown

_1329145204.unknown

_1329145367.unknown

_1329145651.unknown

_1329152459.unknown

_1329157109.unknown

_1329157130.unknown

_1329152975.unknown

_1329145692.unknown

_1329145741.unknown

_1329146065.unknown

_1329145700.unknown

_1329145672.unknown

_1329145418.unknown

_1329145524.unknown

_1329145389.unknown

_1329145311.unknown

_1329145336.unknown

_1329145281.unknown

_1329144627.unknown

_1329145174.unknown

_1329144804.unknown

_1329144951.unknown

_1329144469.unknown

_1329144561.unknown

_1329144339.unknown

_1329133408.unknown

_1329133571.unknown

_1329133694.unknown

_1329133536.unknown

_1329133331.unknown

_1329133362.unknown

_1329133150.unknown

_1329123456.unknown

_1329132883.unknown

_1329132984.unknown

_1329133044.unknown

_1329132934.unknown

_1329132765.unknown

_1329132785.unknown

_1329132675.unknown

_1329117374.unknown

_1329117503.unknown

_1329117523.unknown

_1329123225.unknown

_1329117390.unknown

_1329116911.unknown

_1329117075.unknown

_1329117283.unknown

_1329116784.unknown

_1328857541.unknown

_1329105018.unknown

_1329107433.unknown

_1329115903.unknown

_1329116668.unknown

_1329116701.unknown

_1329116633.unknown

_1329115948.unknown

_1329115988.unknown

_1329116043.unknown

_1329115930.unknown

_1329114577.unknown

_1329114655.unknown

_1329115210.unknown

_1329115811.unknown

_1329114624.unknown

_1329109214.unknown

_1329114536.unknown

_1329107604.unknown

_1329107244.unknown

_1329107317.unknown

_1329107412.unknown

_1329107274.unknown

_1329107162.unknown

_1329107203.unknown

_1329105039.unknown

_1329083096.unknown

_1329083513.unknown

_1329104659.unknown

_1329104720.unknown

_1329083648.unknown

_1329083330.unknown

_1329083420.unknown

_1329083207.unknown

_1329082765.unknown

_1329082918.unknown

_1329082942.unknown

_1329082863.unknown

_1329082489.unknown

_1329082509.unknown

_1328858781.unknown

_1328853796.unknown

_1328854429.unknown

_1328857259.unknown

_1328857352.unknown

_1328857419.unknown

_1328857293.unknown

_1328855411.unknown

_1328856151.unknown

_1328856988.unknown

_1328857177.unknown

_1328856080.unknown

_1328855385.unknown

_1328854084.unknown

_1328854179.unknown

_1328853927.unknown

_1328845847.unknown

_1328853423.unknown

_1328853691.unknown

_1328846314.unknown

_1328845469.unknown

_1328845523.unknown

_1328845417.unknown

_1308642581.vsdProcess

G

x

2

x

1

x

2

_1328595090.unknown

_1328677570.unknown

_1328840911.unknown

_1328842668.unknown

_1328842920.unknown

_1328842432.unknown

_1328755744.unknown

_1328756504.unknown

_1328756908.unknown

_1328756987.unknown

_1328757126.unknown

_1328809978.unknown

_1328757031.unknown

_1328756956.unknown

_1328756676.unknown

_1328756726.unknown

_1328755980.unknown

_1328756098.unknown

_1328755779.unknown

_1328755338.unknown

_1328755468.unknown

_1328755622.unknown

_1328755360.unknown

_1328677985.unknown

_1328678050.unknown

_1328677736.unknown

_1328676410.unknown

_1328676520.unknown

_1328677282.unknown

_1328677467.unknown

_1328676557.unknown

_1328677278.unknown

_1328676432.unknown

_1328641254.unknown

_1328595413.unknown

_1328594091.unknown

_1328594704.unknown

_1328595024.unknown

_1328595073.unknown

_1328594774.unknown

_1328594427.unknown

_1328594463.unknown

_1328594273.unknown


+1

1

G

x

x

1

2

_1317357203.unknown

_1328584658.unknown

_1328432770.unknown


x

1

G

x

2

1

G

x

1

_1308642754.vsd G

G

x

x

1

1

2


x

1

x

2

_1308642925.vsdG

1

1

H

x

1

x

2

_1308642935.vsd

x

1

x

2


G

+

e

x

2

H

x

1


x

1

x

2

G

G

x

2


G

1

x

1

x

2

G

G

2

_1308642100.vsdG

1

1

3

x

x

1

x

2

_1308642270.vsd x

1

G

x

2

1

3

x

1

G

_1308642494.vsd x

1

G

x

2

1

-1

_1308642508.vsd x

1

G

x

2

1

1

G

-


x

1

x

2

G

x

1


x

1

x

2

3

x

+

G

1

G

_1308642252.vsd x

1

G

x

2

1

1

3

x


x

1

x

2

G

3

x

+

_1308641931.vsd G

x

2

x

1

G

2

1


x

1

x

2

G

G

3

x

+

_1308642084.vsd G

x

2

1

3

x

G

x

1


G

+

e

x

1

x

2


x

1

x

2

G

2

G

1

_1308641916.vsdG

1

1

1

x

1

x

2

G

G

2

_1308641762.vsd G

G

1

2

x

1

x

2

_1303732192.vsd

R1

R2

C1

C2

i1

i2

_1308641282.vsd-

+

R(s)

E(s)

G(s)

C(s)

H(s)

B(s)


G

1

G

2

x

2

x

1

_1308641542.vsdG

1

G

2

x

2

x

1


G

G

1

2

x

1

x

2

_1308640586.vsdFungsi Alih G(s)

_1308641091.vsd-

+

R(s)

E(s)

G(s)

C(s)

Titik Penjumlahan

Titik Percabangan

_1308640389.vsd-

+

a

b

a - b

_1301854740.unknown

_1302061038.unknown

_1302113954.unknown

_1302492834.unknown

_1302492950.unknown

_1302493027.unknown

_1302492917.unknown

_1302492791.unknown

_1302113744.unknown

_1302059751.unknown

_1302060781.unknown

_1301856685.unknown

_1283369176.unknown

_1301854711.unknown

_1261190195.unknown

_1278162915.unknown

_1278650849.unknown

_1278650894.unknown

_1272971261.unknown

_1272971573.unknown

_1272972089.unknown

_1272970230.unknown

_1129562919.vsd

_1260730903.unknown

_1260760850.unknown

_1260846784.unknown

_1260730917.unknown

_1260730433.unknown

_1197684446.vsdm

f(t)

y(t)

B

K

_1129562911.vsd

_1129562914.vsd

_1129562780.vsd

Documents

BAB III (Pemodelan Matematis Sistem Fisik)