Upload
lyhanh
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
25
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dilakukan pembahasan langkah-langkah yang telah
dijelaskan pada bab III untuk memperoleh hasil yang menjadi tujuan penelitian.
IV.1 Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data penggantian oil
filter mobil saat melakukan reparasi berkala dalam waktu pengamatan tahun 2011
hingga 2016. Data dapat dilihat pada lampiran 2. Data tersebut merupakan sampel
klaim-klaim garansi saat kegagalan pertama komponen oil filter dilihat dari umur
𝑋1 (dalam tahun) dan penggunaan 𝑌1 (jarak tempuh dalam 10000 km).
Gambar IV.1. Scatterplot Data 𝑋1 dan 𝑌1
Gambar IV.1 merupakan scatterplot (𝑋1, 𝑌1) dari data umur 𝑋1 dan penggunaan
𝑌1 komponen oil filter saat kegagalan pertama. Histogram masing-masing
marginal ditampilkan sebelah atas (umur) dan kanan (penggunaan) scatterplot
pada Gambar IV.1. Berikut ini ditampilkan statistik deskriptif dari masing-masing
data pada Tabel IV.1.
Tabel IV.1. Statistik Deskriptif Data Marginal 𝑋1 dan 𝑌1
Marg. Mean Var Min 1Q 2Q 3Q Max Skew. Kurt.
𝑋1 0.520 0.057 0.211 0.338 0.500 0.622 1.208 1.041 0.947
𝑌1 1.005 0.158 0.294 0.844 1.008 1.096 2.532 1.845 5.826
26
IV.2 Goodness of Fit Test Distribusi Marginal 𝑿𝟏 dan 𝒀𝟏
Bagian ini diberikan taksiran parameter-parameter (melalui MLE) dan tes
uji kecocokan Kolmogorov Smirnov (p-value) untuk pilihan distribusi-distribusi
marginal (untuk peubah acak kontinu tak negatif) berdasarkan data 𝑋1 dan 𝑌1 yang
ditampilkan pada Tabel IV.2. uji kecocokan Kolmogorov Smirnov didasarkan
pada p-value masing-masing marginal data lebih besar dari 0.05.
Tabel IV.2. Parameter dan Uji Kecocokan Distribusi Marginal Data
Distribusi Parameter KS-Test
Marg. Parameter p-value
Weibull
𝑋1
𝛼1̂ = 2.6446 𝛽1̂ = 0.5663 0.9401
Lognormal 𝜇1̂ = −0.7506 𝜎1̂ = 0.4414 0.8992
Gamma 𝛼1̂ = 4.7878 𝛽1̂ = 0.1086 0.9340
Eksponensial 𝜆1̂ = 1.9226 1.4333 × 10−4
Weibull
𝑌1
𝛼2̂ = 3.1529 𝛽2̂ = 1.0876 0.0603
Lognormal 𝜇2̂ = −0.0636 𝜎2̂ = 0.3761 0.0800
Gamma 𝛼2̂ = 6.3801 𝛽2̂ = 0.1576 0.0376
Eksponensial 𝜆2̂ = 0.9472 2.6289 × 10−5
Berdasarkan Tabel IV.2, keluarga distribusi eksponesial gagal untuk memodelkan
marginal 𝑋1 dan 𝑌1 karena hipotesis 𝐻0 ditolak di tingkat signifikansi 0.05. Begitu
pula distribusi Gamma gagal untuk memodelkan marginal 𝑌1 karena hipotesis 𝐻0
ditolak di tingkat signifikansi 0.05. Dari sini, penulis akan mengestimasi distribusi
bivariat Weibull Lu-Bhattacharyya karena di tingkat signifikansi 0.05, distribusi
Weibull mampu memodelkan marginal 𝑋1 dan 𝑌1. Copula Archimedean (Clayton,
Gumbel, Frank, dan AMH) diestimasi untuk kombinasi marginal 𝑋1: Weibull,
Lognormal, Gamma; dan 𝑌1: Weibull, Lognormal. Untuk tingkat signifikansi
0.05, distribusi-distribusi tersebut mampu memodelkan marginal 𝑋1 dan 𝑌1.
IV.3 Ukuran Keterhubungan Kendall’s Tau dari Data 𝑿𝟏 dan 𝒀𝟏
Keterhubungan Data 𝑋1 dan 𝑌1 dihitung berdasarkan Kendall’s tau.
Kendall’s tau dari data 𝑋1 dan 𝑌1 diberikan pada Tabel IV.3
Tabel IV.3. Ukuran Keterhubungan Kendall’s Tau dari Data 𝑋1 dan 𝑌1
Marginal Kendall’s Tau
𝑋1 dan 𝑌1 𝜏 = 0.0880
27
IV.4 Estimasi Parameter Distribusi Bivariat Weibull Lu-Bhattacharyya
Berdasarkan persamaan (2.26) dan (2.39), dapat dilihat bahwa fungsi
survival bivariat Lu-Bhattacharyya merupakan copula Gumbel dengan marginal-
marginalnya adalah fungsi survival Weibull. Parameter distribusi bivariat Weibull
Lu-Bhhattacharyya yang bersesuaian dengan parameter copula Gumbel adalah
𝛿 = 1 𝜃⁄ . Sehingga parameter distribusi bivariat Weibull Lu-Bhhattacharyya 𝛿
dapat diperoleh dengan mengetahui terlebih dahulu parameter copula Gumbel.
IV.5 Estimasi Parameter Copula Archimedean
Estimasi parameter copula Archimedean yang terdiri dari copula Clayton,
Gumbel, Frank, dan AMH diperoleh dengan menggunakan ukuran keterhubungan
Kendall’s tau seperti dijelaskan pada subbab III.4.(iv). Parameter distribusi
bivariat Weibull Lu-Bhhattacharyya (LB) diperoleh berdasarkan parameter copula
Gumbel. Tabel IV.4 berisi estimasi parameter-parameter tersebut.
Tabel IV.4. Parameter Copula Archimedean dan Distribusi Bivariat Weibull LB
𝜃 𝛿
Clayton Gumbel Frank AMH Bivariat Weibull LB
0.1930 1.0965 0.7972 0.3583 0.9120
IV.6 Uji Kecocokan Distribusi Biv. Weibull LB dan Copula Archimedean
Uji kecocokan model distribusi bivariat dilakukan untuk mengetahui
seberapa cocok model distribusi bivariat dapat mencerminkan perilaku data. Uji
kecocokan model distribusi bivariat dilakukan berdasarkan model-model
distribusi bivariat pada Tabel IV.4 dan marginal-marginal pada Tabel IV.2
melalui statistik Cram�̀�r-von Mises 𝑆𝑛 dan p-value dari simulai parametric
bootstrap seperti yang telah dijelaskan pada subbab II.10. Tabel IV.5 menunjukan
statistik 𝑆�̂� yang telah diperoleh untuk tiap model distribusi bivariat.
Setelah diperoleh nilai 𝑆�̂�, akan dilakukan simulasi parametric bootstrap
untuk memperoleh distribusi dari 𝑆𝑛 agar dapat dilakukan uji kecocokan model
distribusi bivariat nantinya. Dengan simulai parametric bootstrap akan
dibangkitkan 1000 nilai statistik uji 𝑆𝑛 seperti yang telah dijelaskan pada subbab
28
II.10 untuk kecocokan model distribusi bivariat. Dalam satu kali simulasi untuk
beberapa model distribusi bivariat, histogram 1000 nilai statistik uji 𝑆𝑛 diberikan
pada Gambar IV.2 sampai dengan Gambar IV.6.
Tabel IV.5. Statistik Cram�́�r-von Mises 𝑆�̂� Model-Model Distribusi Bivariat
Distribusi Marginal 𝑆�̂�
Clayton Gumbel Frank AMH Biv. Weibull
LB
Weibull Weibull 0.1843 0.1720 0.1780 0.1796 0.18111
Weibull Lognormal 0.1830 0.1728 0.1797 0.1806 -
Weibull Gamma 0.2047 0.1931 0.1993 0.2009 -
Weibull Eksponensial 0.5979 0.6069 0.6075 0.5989 -
Lognormal Lognormal 0.1979 0.1874 0.1962 0.1974 -
Lognormal Weibull 0.1922 0.1793 0.1876 0.1893 -
Lognormal Gamma 0.2177 0.2053 0.2140 0.2156 -
Lognormal Eksponensial 0.6696 0.6588 0.6706 0.6578 -
Gamma Gamma 0.2205 0.2142 0.2054 0.2161 -
Gamma Lognormal 0.1982 0.1185 0.1939 0.1955 -
Gamma Weibull 0.1967 0.1813 0.1896 0.1916 -
Gamma Eksponensial 0.6330 0.6252 0.6322 0.6191 -
Eksponensial Eksponensial 1.3296 1.3035 1.3312 1.2994 -
Eksponensial Weibull 06219 0.6161 0.6198 0.5973 -
Eksponensial Lognormal 0.6685 0.6614 0.6666 0.6424 -
Eksponensial Gamma 0.6844 0.6740 0.6384 0.6599 -
Gambar IV.2. Histogram 1000 𝑆𝑛
untuk Copula Clayton, Marginal
Weibull dan Lognormal
Gambar IV.3. Histogram 1000 𝑆𝑛
untuk Copula Gumbel, Marginal
Gamma dan Weibull
Gambar IV.4. Histogram 1000 𝑆𝑛
untuk Copula Frank, Marginal Gamma
dan Lognormal
29
Gambar IV.5. Histogram 1000 𝑆𝑛
untuk Copula AMH, Marginal
Lognormal dan Weibull
Gambar IV.6. Histogram 1000 𝑆𝑛
untuk Biv. Weibull LB, Marginal
Weibull dan Weibull
Langkah selanjutnya adalah mengulangi simulasi parametric bootstrap
sebanyak 100 kali untuk menaksir rata-rata p-value dan seberapa banyak 𝐻0
diterima dalam pengulangan tersebut. Tabel IV.6 menunjukkan jumlah 𝐻0 yang
diterima, rata-rata nilai p-value, dan standar deviasi p-value setelah dilakukan
pengulangan sebanyak 100 kali. Rata-rata nilai p-value terbesar merupakan nilai
copula Clayton untuk Marginal Weibull dan Lognormal.
Tabel IV.6. Hasil Pengulangan Parametric Bootstrap
Marg. Hasil AMH Clayton Frank Gumbel Biv. Weibull
LB
Weibull
Weibull
𝐻0 accepted 100 100 100 100 100
Mean p-value 0.6799 0.7045 0.6709 0.6304 0.6886
Sd. p-value 0.1577 0.0154 0.0151 0.0160 0.0156
Weibull
Lognormal
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.7906 0.8139 0.7861 0.7542 -
Sd. p-value 0.0134 0.0123 0.0126 0.0150 -
Weibull
Gamma
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.7123 0.7380 0.7075 0.6591 -
Sd. p-value 0.0165 0.0138 0.0155 0.0151 -
Weibull
Eksponensial
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.6705 0.7422 0.6175 0.6537 -
Sd. p-value 0.0164 0.0131 0.0165 0.0139 -
Lognormal
Lognormal
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.6354 0.6683 0.6290 0.5998 -
Sd. p-value 0.0157 0.0137 0.0146 0.0166 -
Lognormal
Weibull
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.5431 0.5685 0.5349 0.4989 -
Sd. p-value 0.0161 0.0168 0.0171 0.0159 -
30
Lognormal
Gamma
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.5541 0.5874 0.5510 0.5069 -
Sd. p-value 0.0136 0.0151 0.0163 0.0138 -
Lognormal
Eksponensial
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.4790 0.5561 0.4599 0.4254 -
Sd. p-value 0.0154 0.0150 0.0182 0.0155 -
Gamma
Lognormal
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.7235 0.7429 0.7177 0.6884 -
Sd. p-value 0.0148 0.0136 0.0148 0.0162 -
Gamma
Weibull
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.0668 0.6615 0.6412 0.6015 -
Sd. p-value 0.0155 0.0145 0.0156 0.0151 -
Gamma
Gamma
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.6603 0.6731 0.6542 0.6102 -
Sd. p-value 0.0160 0.0168 0.0148 0.0152 -
Gamma
Eksponensial
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.6263 0.7003 0.6083 0.5752 -
Sd. p-value 0.0153 0.0154 0.0158 0.0149 -
Eksponensial
Eksponensial
𝐻0 accepted 31 100 5 2 -
Mean p-value 0.0462 0.0811 0.0398 0.0378 -
Sd. p-value 0.0063 0.0079 0.0062 0.0061 -
Eksponensial
Weibull
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.4832 0.5562 0.4743 0.4952 -
Sd. p-value 0.0157 0.0158 0.0148 0.0144 -
Eksponensial
Lognormal
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.4214 0.4914 0.4074 0.4027 -
Sd. p-value 0.0148 0.0145 0.0152 0.0153 -
Eksponensial
Gamma
𝐻0 accepted 100 100 100 100 -
Mean p-value 0.3358 0.4133 03282 0.3202 -
Sd. p-value 0.0147 0.0167 0.0144 0.0140 -
Setelah dilakukan pengulangan simulasi terlihat bahwa untuk tingkat
signifikansi 0.05 (5%) model distribusi bivariat yang memiliki rata-rata p-value
terbesar adalah model copula Clayton dengan 𝜃 = 0.1930 yang memodelkan
marginal
𝑋1~Weibull(𝛼1̂ = 2.6446, 𝛽1̂ = 0.5663)
dan marginal
𝑌1~Lognormal(𝜇2̂ = −0.0636, 𝜎2̂ = 0.3761).
31
a. Fungsi Distribusi b. Contour Densitas c. Fungsi Densitas
Gambar IV.7. Bivariat Copula Clayton dengan 𝜃 = 0.1930
untuk Marginal 𝑋1~Weibull(𝛼1̂ = 2.6446, 𝛽1̂ = 0.5663)
dan 𝑌1~Lognormal(𝜇2̂ = −0.0636, 𝜎2̂ = 0.3761)
IV.7 Ekspektasi Banyak Kegagalan dan Estimasi Biaya Garansi
Setelah diperoleh model distribusi bivariat yang terbaik adalah model
distribusi bivariat copula Clayton dengan marginal 𝑋1 Weibull dan 𝑌1 Lognormal,
maka ekspektasi banyak kegagalan di dua dimensi untuk komponen oil filter
bergaransi polis FRW dengan strategi penggantian dapat diperoleh seperti yang
dijelaskan pada subbab II.6.
Ekspektasi banyak kegagalan komponen oil filter pada masa garansi
[0, 𝑘) × [0, 𝑙) polis FRW dengan strategi penggantian dapat diperoleh dan
dinyatakan oleh
𝐸[𝑁2(𝑘, 𝑙)] = �̂�𝐶𝐶,�̂�(𝑘, 𝑙) (4.1)
dengan
�̂�𝐶𝑐,�̂�(𝑘, 𝑙) = ∑ ∑ [(1 + �̂�𝐶𝐶,�̂�(𝑥𝑖−1, 𝑦𝑗−1)) ∆𝑥𝑖−1
𝑥𝑖 ∆𝑦𝑗−1
𝑦𝑗 𝐶𝐶,�̂�(𝐹(𝑥 − 𝑎), 𝐺(𝑦 − 𝑏))]
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
dengan 𝐶𝐶,�̂�(𝑢, 𝑣) seperti pada (2.36) dan 𝜃 = 0.1930 untuk 𝐹 dan 𝐺 berurutan
adalah fungsi distribusi marginal 𝑋1~Weibull(𝛼1̂ = 2.6446, 𝛽1̂ = 0.5663) dan
marginal 𝑌1~Lognormal(𝜇2̂ = −0.0636, 𝜎2̂ = 0.3761). Ekspektasi tersebut
ditampilkan pada Tabel IV.7 terlihat bahwa banyak kegagalan oil filter meningkat
seraya umur dan penggunaan meningkat. Gambar IV.8 merupakan grafik
peningkatan ekspektasi banyak kegagalan oil filter berdasarkan penggunaan untuk
32
tiap umur tertentu. Dalam hal ini, 0,5 tahun setara dengan 6 bulan. Sebagai
contoh, bilangan 1,5 tahun berarti 1 tahun 6 bulan. Selanjutnya, dimisalkan harga
oil filter baru adalah seharga ℓ = 30000 Rupiah, maka Tabel IV.8 berisi estimasi
biaya garansi oil filter mobil untuk masa garansi dua dimensi tertentu. Terlihat
pada Tabel IV.8 bahwa estimasi biaya (dalam Rupiah) garansi oil filter mobil
meningkat seraya umur dan penggunaan meningkat.
Tabel IV.7. Ekspektasi Banyak Kegagalan berdasarkan (4.1)
Batas Penggunaan (10000 km)
0.5 1 1.5 2 2.5 3
Bat
as U
mur
(Tah
un)
0.5 0.0322 0.3114 0.4744 0.5245 0.5391 0.5431 1 0.0468 0.5662 0.9827 1.2612 1.4276 1.5064
1.5 0.0471 0.5735 1.0548 1.5180 1.9063 2.1850 2 0.0471 0.5736 1.0610 1.5541 2.0317 2.4715
2.5 0.0471 0.5736 1.0610 1.5563 2.0490 2.5361
Gambar IV.8. Ekspektasi Banyak Kegagalan berdasarkan (4.1)
Tabel IV.8. Estimasi Biaya Garansi Dua Dimensi berdasarkan (2.2) dan (4.1)
Batas Penggunaan (10000 km)
0.5 1 1.5 2 2.5 3
Bat
as U
mur
(Tah
un)
0.5 966 9342 14232 15735 16173 16293 1 1404 16986 29481 37836 42828 45192
1.5 1413 17205 31644 45540 57189 65550 2 1413 17208 31380 46623 60951 74145
2.5 1413 17208 31830 46689 61470 76083