20

Click here to load reader

BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

  • Upload
    dinhdan

  • View
    221

  • Download
    4

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

49

BAB 4

PENGUKURAN VARIASI

Kompetensi

Mampu menjelaskan dan menganalisis hal-hal yang berkaitan dengan

pengukuran variasi

Indikator 1. Menjelaskan range

2. Menjelaskan range antar kuartil

3. Menjelaskan deviasi dan menganalisis rata-rata

4. Menjelaskan dan menganalisis standar deviasi

A. Pendahuluan

Pengukuran variasi adalah suatu harga yang menunjukkan besar

kecilnya sekelompok data itu bervariasi. Variasi adalah besarnya

penyimpangan suatu nilai dari nilai sentralnya. Mengapa pengukuran variasi

penting? Untuk memperjelas gambaran tentang sekelompok data.

Pengukuran variasi digunakan untuk melengkapi perhitungan nilai sentralnya.

Dua kelompok data mungkin memiliki rata-rata yang sama, tetapi berbeda

dalam hal variabilitas nilai-nilai observasinya.

Contoh:

Sekelompok data memiliki rata-rata yang sama tetapi variasinya berbeda:

Page 2: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

50

30 35 27 25 33 harga rata-rata: 30

40 15 12 70 13 harga rata-rata: 30

Pengukuran variasi yang akan dipelajari adalah: range, range antar

kuartil, range semi antar kuartil, deviasi rata-rata, standar deviasi, varians,

koefisien variasi dan standar score.

B. Range

Range adalah jarak atau beda antar harga tertinggi dengan harga

terendah dari sekelompok data. Semakin besar harga range semakin besar

pula variasinya.

Kelemahan range: range belum mampu menjelaskan bentuk distribusi

angka dalam kelompok data tersebut sebab mungkin terjadi beberapa

kelompok data memiliki range yang sama, namun variasinya berbeda,

contoh:

20, 25, 26, 30, 35 range: 35 – 20 = 15

60, 62, 62, 63, 75 range: 75 – 60 = 15

20, 21, 21, 21, 35 range: 35 – 20 = 15

C. Range Antar Kuartil (RAK)

RAK memberikan gambaran bahwa 50% (antara 25% – 75%) dari data

terletak dalam interval antara kuartil pertama (K1) dengan kuartil ketiga (K3).

Rumus RAK:

RAK = K3 – K1

Page 3: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

51

Contoh: K1 = 23, 75 dan K3 = 52, 25 maka Range Antar Kuartil adalah

RAK = 52,25 – 23,75

= 28,5

Artinya bahwa 50% dari jumlah data tersebut akan terletak antara 23,75 dan

52,25 dengan range antar kuartil 28,5.

D. Range Semi Antar Kuartil

Range Semi Antar Kuartil (RSAK) disebut juga dengan Deviasi Kuartil

(DK). Besarnya Deviasi Kuartil sama dengan setengah dari RAK, sehingga

RSAK atau DK dirumuskan:

213 KK

DK−

=

E. Deviasi Rata-Rata

Deviasi Rata-Rata (DR) adalah rata-rata dari harga mutlak semua

penyimpangan suatu nilai terhadap mean groupnya. Harga simpangan atau

deviasi dirumuskan:

XXx −=

Keterangan:

x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya

X = angka/data yang diketahui

tersebutdatakelompokmeanX =

Page 4: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

52

Ada dua deviasi rata-rata:

1. Deviasi rata-rata untuk data yang tidak dikelompokkan

Jika dalam penelitian diperoleh data X1, X2,… Xn dengan harga rata-

rata sama dengan X, maka deviasi rata-rata:

nx

DRΣ

=

Keterangan:

XXx −=

x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya

X = angka/data yang diketahui

tersebutdatakelompokmeanX =

n = jumlah data

DR = MD = Mean Deviation = deviasi rata-rata

Contoh:

Tentukan deviasi rata-rata dari data nilai ujian Statistik I dari 10 mahasiswa

FE berikut ini:

Page 5: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

53

Tabel 4.1 Nilai Ujian Statistik I

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nilai 90 75 82 60 63 70 60 65 75 70

Penyelesaian:

Tabel 4.2 Perhitungan Deviasi Rata-rata Nilai Ujian Statistik

No Nilai (X) X XXx −= lxl

1. 90

71

19 19

2. 75 4 4

3. 82 11 11

4. 60 -11 11

5. 63 -8 8

6. 70 -1 1

7. 60 -11 11

8. 65 -6 6

9. 75 -4 4

10. 70 -1 1

∑ 710 76

7110710

=== ∑nX

X

6,71076

==Σ

=nx

DR

Jadi rata-rata nilai Statistik I 10 mahasiswa berdeviasi 7,6 dari rata-ratanya

71.

Page 6: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

54

2. Deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan

Perhitungan deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan

menggunakan perumusan sebagai berikut:

nxf

DRΣ

=

Keterangan:

XXx −=

x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya

X = titik tengah

tersebutdatakelompokmeanX =

f = frekuensi masing-masing kelas

n = Σf

Contoh:

Tentukan deviasi rata-rata dari kelompok data berikut:

Page 7: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

55

Tabel 4.3 Umur Karyawan PT Lady Valentine

Umur Jumlah Karyawan

17 – 19 20

20 – 22 39

23 – 25 102

26 – 28 28

29 – 31 11

Penyelesaian:

Tabel 4.4 Perhitungan Deviasi Rata-rata Umur Karyawan PT Lady Valentine

Umur f X fX X XXx −= lxl flxl

17 – 19 20 18 360 23,57

-5,57 5,57 111,4

20 – 22 39 21 819 -2,57 2,57 100,23

23 – 25 102 24 2448 0,43 0,43 43,86

26 – 28 28 27 756 3,43 3,43 96,04

29 – 31 11 30 330 6,43 6,43 70,73

∑ 200 4713 422,26

57,232004713

=== ∑nfX

X

Page 8: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

56

11,2200

26,422==

Σ=

nxf

DR

Jadi rata-rata umur 100 karyawan PT Lady Valentine bervariasi 2,11 tahun

dari rata-ratanya 23,57 tahun.

Kelemahan dari deviasi rata-rata adalah ia menggunakan nilai

absolute atau mengabaikan tanda positif dan negative dari deviasi sehingga

menyulitkan manipulasi matematis (Atmaja, 1997).

F. Standar Deviasi

Standar deviasi adalah penyimpangan standar suatu nilai dari mean

groupnya. Standar deviasi positif artinya penyimpangan di atas mean-nya,

sedangkan standar deviasi negatif artinya penyimpangan di bawah mean-

nya. Guna memperbaiki kekurangan standar deviasi, Karl Pearson membuat

nilai deviasi ( XXx −= ) menjadi positif dengan cara dikuadratkan

kemudian diakar. Perhitungan standar deviasi dibagi menjadi:

1. Standar deviasi untuk data yang tidak dikelompokkan

Standar deviasi untuk data yang tidak dikelompokkan dapat dihitung dengan

perumusan sebagai berikut:

Populasi: Nx 2Σ

Page 9: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

57

Sampel : 1

2

−Σ

=n

xSD

Keterangan:

XXx −=

x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya

X = angka/data yang diketahui

tersebutdatakelompokmeanX =

N = banyak data

Jika jumlah data (n) relatif besar, katakanlah lebih besar dari 100, maka

untuk mencari nilai standar deviasi dapat menggunakan perumusan yang

untuk populasi. Tetapi apabila jumlah data (n) kecil, maka untuk mencari nilai

standar deviasi dapat menggunakan perumusan yang untuk sample.

Contoh:

Data berikut merupakan pendapatan pedagang batik di Pasar Beringharjo:

Tabel 4.5 Pendapatan Pedagang Batik Di Pasar Beringharjo

Nama Pedagang Pendapatan (Rp)

Parti 750.000

Siti 775.000

Tinah 800.000

Kanti 725.000

Purwanti 700.000

Berdasarkan data di atas tentukan nilai standar deviasi dari pendapatan

pedagang batik di Pasar Beringharjo:

Page 10: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

58

Penyelesaian:

Tabel 4.6 Pendapatan Pedagang Batik Di Pasar Beringharjo

No Nilai (X) X XXx −= x2

1 750.000 750.000 0 0

2 775.000 25,000 625,000,000

3 800.000 50,000 2,500,000,000

4 725.000 (25,000) 625,000,000

5 700.000 (50,000) 2,500,000,000

∑ 3.750.000 6,250,000,000

000.7505

000.750.3=== ∑

nX

X

529.394

000.000.250.61

2

==−

Σ=

nxSD

Jadi rata-rata pendapatan 5 pedagang batik di Pasar Beringharjo berdeviasi

Rp39.529 dari rata-ratanya Rp750.000.

Jika dikerjakan menggunakan SPSS, maka output yang dihasilkan yaitu:

Statistics

PENDPTAN50

750000.0039528.47

ValidMissing

N

MeanStd. Deviation

Page 11: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

59

Analisis Nilai mean (rata-rata) pendapatan pedagang batik di Pasar Beringharjo

sebesar Rp750.000 dan nilai standar deviasi Rp39.528,47.

2. Standar deviasi untuk data yang dikelompokkan

Standar deviasi untuk data yang dikelompokkan dapat dihitung dengan

perumusan sebagai berikut:

Populasi: Nfx 2Σ

Sampel : 1

2

−Σ

=n

fxSD

XXx −=

x = deviasi (simpangan) suatu data dari mean groupnya

X = titik tengah

tersebutdatakelompokmeanX =

N = banyak data

n = Σf

Contoh:

Data di bawah ini menunjukkan distribusi pendapatan per minggu karyawan

di PT Dendro, dengan gaji minimum Rp220.000.

Page 12: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

60

Tabel 4.7

Pendapatan Karyawan PT Dendro

Gaji (000) Jumlah Karyawan

220 - 234 8

235 - 249 13

250 - 264 10

265 - 279 18

280 - 294 10

295 - 309 10

310 - 324 16

Jumlah 85

Berdasarkan data tersebut: hitunglah standar deviasi. Penyelesaian:

Tabel 4.8 Pendapatan Karyawan PT Dendro

Gaji (000)

f X fX X XXx −= x2 f x2

220 - 234 8 227 1.816 275,18

-48,18 2321,31 18.570,5

235 - 249 13 242 3.146 -33,18 1100,91 14.311,86

250 - 264 10 257 2.570 -18,18 330,51 3.305,12

265 - 279 18 272 4.896 -3,18 10,11 182,02

280 - 294 10 287 2.870 11,82 139,71 1.397,12

295 - 309 10 302 3.020 26,82 719,31 7.193,12

310 - 324 16 317 5.072 41,82 1748,91 27.982,6

∑ 85 23.390 72.942,35

Page 13: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

61

18,27585390.23

=== ∑nfX

X

47,2918535,942.72

1

2

=−

=−

Σ=

nfxSD

Jadi rata-rata pendapatan 85 karyawan PT Dendro berdeviasi Rp29.470 dari

rata-ratanya Rp275.180.

G. Variance

Variance untuk data yang dikelompokkan maupun tidak merupakan pangkat

dua (kuadrat) dari standar deviasinya. Lambangnya adalah SD2 atau S2.

H. Koefisien variasi (V)

Koefisien variasi merupakan rasio atau perbandingan antara standar

deviasi dengan harga rata-ratanya yang biasanya dinyatakan dengan

prosentase. Semakin besar koefisien variasi, semakin besar pula variasi

datanya (datanya semakin tidak homogen).

%100xX

SDV =

V = koefisien variasi

SD = standar deviasi

ratarataX −=

Page 14: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

62

Contoh:

Kualitas dari dua merk barang yang sejenis ditunjukkan oleh nilai-nilai berikut

ini:

Merk ABC: 20 15 10 17 18

Merk PQR: 12 13 25 25 18

Jika harga kedua merk barang tersebut relatif sama, manakah yang akan

saudara beli?

Penyelesaian:

Jika perhitungan nilai rata-rata dan standar deviasi dilakukan menggunakan

SPSS, maka diperoleh output sebagai berikut:

Statistics

MERKABC50

16.003.81

ValidMissing

N

MeanStd. Deviation

Statistics

MERKPQR50

18.606.27

ValidMissing

N

MeanStd. Deviation

Berdasarkan output di atas diperoleh nilai rata-rata dan standar deviasi:

Merk ABC Merk PQR

16=X 6,18=X

SD = 3,81 SD = 6,27

Page 15: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

63

Sehingga koefisien variasinya:

%81,231001681,3%100 === xx

XSDVABC

%71,331006,18

27,6%100 === xxX

SDVPQR

Berdasarkan hasil perhitungan di atas dapat dikatakan bahwa koefisien

variasi kualitas barang merk ABC lebih kecil daripada koefisien variasi

kualitas barang merk PQR, sehingga dapat disimpulkan bahwa kualitas

barang merk ABC lebih seragam daripada kualitas barang merk PQR. Jadi

jika harga kedua barang tersebut relative sama sebaiknya membeli barang

merk ABC.

I. Standar Score (Z)

Standar score atau angka standar merupakan suatu alat untuk menilai

besarnya harga suatu variabel (gejala) terhadap rata-ratanya yang

dinyatakan dengan satuan standar deviasi. Angka standar ini dapat

digunakan untuk menilai perubahan (kenaikan atau penurunan) suatu

variabel (gejala) dari rata-ratanya. Semakin besar angka standar, semakin

besar pula perubahan variabel tersebut.

SDXXZ −

=

Z = angka standar

X = harga suatu variabel

Page 16: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

64

ratarataX −=

SD= standar deviasi

Nilai Z akan negatif jika data variable tersebut mengalami penurunan

dan Nilai Z akan positif jika data variable tersebut mengalami kenaikan.

J. Rangkuman

Deviasi Rata-Rata (DR) adalah rata-rata dari harga mutlak semua

penyimpangan suatu nilai terhadap mean groupnya. Standar deviasi adalah

penyimpangan standar suatu nilai dari mean groupnya.

Koefisien variasi merupakan rasio atau perbandingan antara standar

deviasi dengan harga rata-ratanya yang biasanya dinyatakan dengan

prosentase. Standar score atau angka standar merupakan suatu alat untuk

menilai besarnya harga suatu variabel (gejala) terhadap rata-ratanya yang

dinyatakan dengan satuan standar deviasi.

K. Latihan Soal

1. Data gaji karyawan PT Aura yaitu:

Page 17: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

65

Tabel 4.9 Gaji Karyawan PT Dendro

Gaji (Ribuan)

Jumlah Karyawan

500 – 549 550 - 599 600 - 649 650 - 699 700 - 749 750 - 779 800 - 849

20 10 15 5 10 15 5

Berdasarkan data di atas hitunglah:

a. Deviasi rata-rata.

b. Standar deviasi.

2. Berikut ini adalah data nilai ujian statistik:

Tabel 4.10 Nilai Ujian Statistik

Nilai Ujian Statistik Frekuensi

Kurang dari 30 Kurang dari 40 Kurang dari 50 Kurang dari 60 Kurang dari 70 Kurang dari 80 Kurang dari 90

0 10 15 22 35 47 60

Page 18: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

66

Berdasarkan data di atas hitunglah:

a. Deviasi rata-rata

b. Deviasi standar

3. Data pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro ditunjukkan table 4.11:

Tabel 4.11 Pendapatan Pedagang Kaki Lima Di Malioboro

Pendapatan (000) Frekuensi

750 atau lebih 1.000 atau lebih 1.250 atau lebih 1.500 atau lebih 1.750 atau lebih 2.000 atau lebih

150 125 105 75 20 0

Berdasarkan data di atas hitunglah:

a. Deviasi rata-rata

b. Deviasi standar

4. Ada 2 kelompok belajar yang masing-masing terdiri dari 10 orang. Usia

anggota kelompok adalah:

Page 19: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

67

Tabel 4.12 Data Usia Masing-masing Kelompok

Kelompok I (Tahun)

Kelompok II (Tahun)

18 17 19 20 20 21 23 25 24 20

19 17 17 17 18 18 20 20 21 26

Berdasarkan data di atas, kelompok mana yang usia anggotanya lebih

seragam berdasarkan:

a. Deviasi rata-rata

b. Deviasi standar

c. Koefisien variasi

Page 20: BAB IV PENGUKURAN VARIASI - Febri Neldiko Blog · PDF fileBAB 4 PENGUKURAN VARIASI ... 60 -11 11 5. 63 -8 8 6. 70 -1 1 7. 60 -11 11 8. 65 -6 6 9. 75 -4 4 ... f = frekuensi masing-masing

68