BAB V

PENGGUNAAN TURUNAN

5.1. ARTI GEOMETRI BAGI

Jika fungsi f dengan persamaan y = f (x) dan x = x1 adalah turunanya

pada x = x1 maka x = x1 adalah merupakan koefesien arah garis singgung

(tangen) yang menyinggung y = f (x) di titik (x1, y1).

Dy/dx = tg jika = dy/dx = 0 maka garis 1 //sumbu x.

5.2. PERSAMAAN TANGEN DAN NORMAL

Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung (tangent) pada

P (x1 y1).

Jika P (x1 y1) terletak pada kurve y = f (x) maka tg = (dy/dx)x=x1.

Persamaan tangen di titik P (x1 y1) pada kurva f (x) adalah :

Persamaan normal di titik P (x1 , y1)pada kurve y = f (x) adalah :

y

y1

x1 x

y

y1

x1 x00

Grs. normalGrs. sgng kurva

Contoh :

Tentukan persamaan tangan dan normal pada kurve :

Y = x3 – 2x2 + 4 di titik P (2,4)

Penyelesaian :

yy = 3x2 – 4x

koefesien arah tangent = yy(x=2) = 3.22-4, 2 = 4

persamaan tangent di titik P (2,4) adalah :

y – 4 = 4 ( x -2) y – 4x + 4 = 0.

Persamaan garis normal

(x – 2) + 4 ( y -4) = 0

X + 4y - 18 = 0

5.3. PANJANG TANGEN ; NORMAL ; SUBTANGEN DAN SUBNORMALy

Q xR Sy=f(x)

P

Panjeng tangen = PR

Panjang normal = PS

Panjang subtangen = RQ

Panjang subnormal = QS

Panjang subtangen = RQ = (RQ)2 + (PQ)2

Panjang tangen = PR =

PR =

Panjang subnormal (QS) = y1 (dy/dx)x=x

PS =

Contoh :

Tentukan panjang sub tangen ; subnormal; tangen dan normal dari

3x2 - 2y2 – 10 = 0 pada titik (-2 , 1).

Penyelesaiannya :

d/dx(3x2)– d/dx(2y2) – d/dx(10) = 0

dy/dx = 3x/2y(dy/dx)= -3

Panjang subtangen = -1/3.

Panjang tangen = -1/3

= -1/3

Panjang subnormal = 1 (-3) = -3

Panjang normal = 1

GERAK LURUS DAN GERAK MELINGKAR

Gerak lurus suatu partikel P sepanjang garis lurus dengan persamaan S = f (t),

bila t > 0 dalam waktu tertentu S adalah lintasan dari P yang diukur dari titik

permulaan. Kecepatan artikel P pada t tertentu adalah vt =

dan percepatannya a = =

Suatu partikel P bergerak sepanjang lingkaran dengan persamaan = f (t)

dimana adalah sudut sentral (radian) yang dibentuk oleh gerak jari-jari dalam t.

Kecepatan sudut dari P pada waktu t adalah

percepatan sudut dari P pada waktu t adalah

adalah konstan untuk semua t

P bergerak percepatan sudut konstan.

Contoh :

1. sebuah benda bergerak pada sebuah garis lurus dengan persamaan :

s = t9 + 6t2 + 9t + 4 (m) bila vt = 0

berapakah s dan a

penyelesaian :

vt = = 3t2 – 12t + 9

a = = 6t – 12 = 6(t – 2)

vt = 0 3t2 – 12t + 9 = 0

(t – 1) (t – 3) = 0

T1 = 1 dan t2 = 3

Bila t = 1 s = 19 – 6.12 +9.1 +4=8 m

A=6(1-2) = -6 m/dt2

2. sebuah roda bergerak dengan persamaan

=128t-12t2. tentukan kecepatan dan percepatan pada t=3 detik.

Penyelesaian :

5.4. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

NAIK DAN TURUN

Fungsi y = f (x) dikatakan naik di x – x0 jika berlaku f (x0 th) > f (x0) > f (x0 – h).

Fungsi y = f (x) pada interval a x jika dibuat garis singgung pada kurve y = f (x)

dititik p (x0, y0) tampak bahwa sudut antara garis singgung dengan sumbu x lebih kecil

dari 900 ini berarti koefisien arah garis singgung positif.

Jadi fungsi naik di P (x0, y0) bila (dy/dx)x=x >0.

FUNGSI TURUN

Fungsi-Funsi y = f (x) dikatakan turun di x = x0 berlaku f (x0 th) < f(x0) < f(x0 – h).

Fungsi y = f(x) dikatakan turun pada interval a x 0 jika diambil garis singgung pada

kurve y = f(x) dititik P (x0,y0) sampai bahwa sudut-sudut antara garis singgung dengan

sumbu x lebih besar dari 900 berarti koefesien arah garis singgung negatif.

Fungsi y = f (x) turun di P (x0,y0) jika (dy/dx)x=x < 0.

5.5. NILAI DAN TITIK EKSTRIM SUATU FUNGSI

Fungsi f dengan persamaan y = f(x) dikatakan mempunyai nilai maksimum f(a) untuk x

= a jika untuk setiap bilangan kecil positif berlaku f (a-) < f(a) > f(a+).

x0

(x0–h) (x0+h)

f(x0+h)f(x0-h)

PQ

R Y

X

x0

(x0–h) (x0+h)

f(x0+h)f(x0-h)

PQ

R Y

X

f(x0)

Fungsi f dengan persamaan y=f(x) dikatakan mempunyai nilai minimum f(b) untuk x =

b jika setiap bilangan kecil positif berlaku f (b-) > f(b) < f (b+).

Titik A dengan absis x = a dimana y = f(x) mencapai nilai maksimum disebut titik

maksimum.

Titik B dengan absis x = b dimana y = f(x) mencapai nilai minimum disebut titik

minimum.

Nilai maksimum/minimum disebut nilai ekstrim.

Titik maksimum/ minimum disebut titik ekstrim.

Syarat suatu fungsi f(x) mempunyai nilai ekstrim untuk x = c ialaih f’(c)= 0.

5.6. MENENTUKAN NILAI MAKSIMUM/MINIMUM DAN TITIK MAKSIMUM/MINIMUM SUATU FUNGSI DENGAN KONSEP TURUNAN.

Titik C dengan absis x = c pada kurve y = f(x) merupakan titik ekstrim bila dipenuhi

syarat f’ (c) = 0. apakah titik C itu maksimum atau minimum hal itu dapat diselidiki

dengan beberapa cara seperti di bawah ini :

a. MELIHAT FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN.

Funsgi y = f (x) mempunyai nilai maksimun f(c) untuk x = c dan titik C adalah

titik maksimum bila dipenuhi syarat :

Untuk x < c f (x) naik {f’ (x) > 0}

Untuk x > c f (x) turun {f’ (x) < 0}

Untuk x = c haruslah f’© = 0.

Catatan :

Jika x = c terdapat nilai ekstrim tentu f’(c)= 0. tetapi hal sebaliknya

jika f’(c) = 0 maka f(x) belum tentu mempunyai nilai ekstrim untuk

x = c.

Contoh :

+ _

c

+ _

C

O c

Fungsi f (x) = x3 f’(x) = 3x2

f' (0) = 0 tetapi f(x) tidak mempunyai ekstrim

di x = 0 kerena :

Untuk x > 0 f’(x) > 0

Untuk x < 0 f’(x) < 0

Berarti titik 0 (0,0) bukan titik ekstrim.

Fungsi y = f(x) mempunyai nilai minimum f(d) untuk x=d dan titik D titik

minimum bila dipenuhi syarat

Untuk x < d f(x) turun (f’(x) < 0)

Untuk x > d f(x) naik (f’(x) > 0)

b. Dengan melihat turunan ke-2 suatu fungsi

(f’’(x) atau d2y/dx2)

Titik C adalah titik maksimum pada kurve y = f(x) jika:

(f’’(c) < 0

Titik D adalah titik minimum pada kurve y = f(x) jika :

(f’’(d) > 0

Contoh :

Tentukan nilai dan titik ekstrim dari fungsi y = x3 – 6x2 + 9x – 8.

Jawab :

y’ = 3x2 – 12x + 9 = x2 – 4x + 3.

Titik ekstrim y’ = 0.

x2 – 4x + 3 = 0

(x-3) (x-1) = 0 x = 3 dan x = 1.

Selanjutnya diselidiki x = 3 dan x = 1 apakah maksimum atau minimum.

Diselidiki x = 3.

a. Dengan milihat fungsi naik dan fungsi turun, untuk x < 3 diambil x

= 2,5.

y’(2,5) = (2,5)2 – 4 (2,5) + 3 = -0,75 y’ < 0 untuk x > 3 diambil x

= 3,5.

y' (3,5) = (3,5)2 – 4 (3,5) + 3 = 1,25 y’> 0

untuk x = 3 y = f(x) mencapai nilai minimum adalah f(3).

F(3) = 33 – 6.32 + 9.3 – 8 = -8

Nilai minimum = -8

Titik minimum A (3,-8)

Diselidiki x = 1.

Untuk x < 1 diambil x = 0,5.

y'(0,5) = (0,5)2 – 4(0,5) + 3 = 1,25 y’ > 0 untuk x > 1 diambil x =

1,5.

y' (1,5) = (1,5)2 – 4 (1,5) + 3 = -0

untuk x = 1 y = f(x) mencapai nilai maksimum adalah f(1).

f(1) = 13 – 6.12 + 9.1 – 8 = -4.

Nilai maksimum = -4

Titik maksimum B (1,-4)

b. dengan menggunakan turunan ke-2

y’ = x2 – 4x + 3 y’’ = 2x -4

untuk x = 3 y’’ = 2(3) – 4 = 2 y’’ >0

x = 3 minimum

untuk x = 1 y’’ = 2(1) – 4 = -2 y’’ <0

x = 1 maksimum

5.7. MAKSIMUM DAN MINIMUM RELATIF

Pada pembincaraan butir 9.7 di atas telah dibicarakan secara umum nilai dan titik

maksimum dan minimum suatu fungsi.

Suatu fungsi f dengan persamaan y = f(x) yang grafiknya dapat dilihat di bawah ini,

mempunyai maksimum relatif di titik a dan c dan minimum relatif di titik b dan d.

Jika suatu fungsi f mempunyai maksimum mutlak di titik a maka fungsi f mempunyai

maksimum relatif di titik a. Demikian pula jika fungsi f mempunyai minimum mutlak

pada titik d mempunyai minimum relatif pada titik d.

y = f(x)

Max. relatifMin.Pd.

Max. Mutlak

y = f(x)

Xd

cb0a

Hal yang sebaliknya maksimum/minimum relatif suatu fungsi belum tentu merupakan

maksimum/minimum mutlak fungsi itu.

Untuk memperjelas hubungan antara maksimum/minimum mutlak dengan

maksimum/minimum relative di bawah ini diberikan suatu penjelasan.

Jika suatu fungsi f terdifinisi pada interval tertutup [a,b] atau a x yang grafiknya

terlihat pada gambar di bawah ini.

Fungsi y = f(x) mempunyai maksimum relatif di titik x1 dan x3 dan mempunyai

minimum relative di titik a : x2 ; b.

Fungsi f pada interval [a,b] mempunyai maksimum mutlak pada titik x1 dan minimum

mutlak pada titik b dengan nilai maksimum mutlak f(x1)dan nilai minimum mutlak f(b).

Syarat agar suatu fungsi mempunyai maksimum relatif ataupun minimum relatif di

suatu titik diberikan seperi di bawah ini.

Jika fungsi y = f(x) kontinu pada suatu interval yang berisi titik x = x dan jika :

untuk x < x1 f’ (x) > 0

untuk x > x1 f’ (x) < 0

maka f (x) mempunyai maksimum relative di titik x = x1

untuk x < x1 f’ (x) < 0

untuk x > x1 f’ (x) > 0

maka f(x) mempunyai minimum relative di titik x = x1 jika untuk x1 < x dan x > x1

f’(x) > 0 maupun f’(x)< 0 maka f(x) tidak mempunyai maksimum/minimum relatif di

titik x = x1.

y = f(x)

Max. relatif

Min.Rel.

Max. Mutlak

y = f(x)

Xb

x2C10 a

Y

x3

Contoh :

Tentukan nilai dan titik maksimum dan minimum relative fungsi.

f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 2

Jawab :

f'(x) = 3x2 – 12x + 9

titik ekstrim f’(x) = 0

3x2 – 12x + 9 = 0

(x-1) (x-3) = 0.

Titik ekstrim x = 1 dan x = 3

Untuk menentukan maksimum/minimum relatif kita perhatikan perubahan tanda

f:(x) disekitar x=1 dan x=3.

f'(x) = (x-1)(x-3)

Kesimpulan : Fungsi f(x) mempunyai maksimum relatif di x=1 dengan nilai

maksimum relatif f(1) = 6. Titik A(1,6) adalah titik

maksimum relatif Fungsi f(x) mempunyai minimum relatif di

x=3 dengan nilai minimum relatif f(3) = 2 Titik B(3,2) adalah

titik minimum relatif.

Jika y=f(x) kontinu di titik x = x1 dan sekitarnya dengan f’(x) = 0 dan f”(x) ada maka y

= f(x) mempunyai nilai maksimum relatif f(x1) di titik x=x1 jika f” (x) > 0.

Contoh :

Seperti contoh di atas f(x) = x9 + 9x + 2

f'(x) = 3x2 – 12x + 9 f”(x) = 6(x-2)

Titik ekstrim x = 1 dan x = 3

X = 1 f” (x) = 6(1-2) =-6 f”(x) < 0

x = 1 adalah maksimum relatif

x = 3 f”(x) = 6(3-2) = 6 f”(x) > 0

x = 3 adalah minimum relatif.

9.9 MAKSIMUM DAN MINIMUM MUTLAK

Jika fungsi f dengan persamaan y=f(x) kontinu pada suatu interval [a,b)

nilai maksimum mutlak fungsi f pada interval [a,b] adalah nilai terbesar di antara

semua nilai maksimum relatif fungsi f pada interval [a,b].

Demikian pula nilai minimum mutlak fungsi f pada interval [a,b] adalah

nilai terkecil di antara semua nilai minimum relatif fungsi f pada interval [a,b].

Langkah-langkah untuk menentukan maksimum atau minimum mutlak

dari fungsi f dengan persamaan y=f(x) pada interval tertutup [a,b].

1. Tentukan harga x pada interval [a,b} yang memenuhi f’(x) = 0.

2. Harga x yang memenuhi diperiksa satu per satu apakah harga x itu

maksimum atau minimum dengan cara pengujian yang telah dibicarakan di

atas.

a. Melihat perubahan tanda f’(x) setelah melewati titik ekstrim itu.

Jika untuk x < x1 f’(x) < 0 dan untuk x > x1 f’(x) > 0 maka x = x1

adalah minimum relatif.

Jika untuk x < x1 f’(x) > 0 dan untuk x > x1 f’(x) < 0 maka x = x1

adalah maksimum relatif.

Jika setelah melewati titik x = x1 tidak ada perubahan tanda dari f’(X)

maka x = x1 bukan titik maksimum atau minimum relatif.

b. Melihat tanda dari f”(x)

Jika f”(x) < 0 untuk x=x1 maka x=x1 adalah maksimum relatif.

Jika f”(x) > 0 untuk x=x1 maka x=x1 adalah minimum relatif.

3. y=f(a) dan y=f(b) merupakan nilai ekstrim.

Untuk menentukan y=f(a) dan y=f(b) nilai maksimum/ minimum relatif cara

mengetahuinya adalah sebagai berikut.

Pengujian batas bahwa interval(untuk x = a)

Jika untuk x > a :

f’(x) < 0 maka y = f(a) nilai maksimum relatif.

f'(x) > 0 maka y = f(a) nilai minimum relatif.

Pengujian batas atas interval (untuk x = b)

Jika untuk x < b :

f’(x) < 0 maka y = f(b) nilai maksimum relatif.

f'(x) > 0 maka y = f(b) nilai minimum relatif.

4. Nilai maksimum relatif yang terbesar dari nilai minimum relatif yang

terkecil dari y=f(x) pada interval [a,b] berturut-turut disebut nilai maksimum

mutlak dan nilai minimum mutlak.

Contoh :

Tentukan nilai dan titik maksimum dan minimum mutlak dari

f(x) = 4x3 – 15x2 + 12x – 1 pada interval [0,3].

Penyelesaian:

1. f’(x) = 12x2 – 30x + 12

0 = 22 – 5x + 2

0 = (2x – 1) (x – 2)

Titik ekstrim x1 = 0.5 dan x2 = 2

2. Diselidiki x1 = 0.5 dan x2 = 2

f"(x) = 4x – 5

Untuk x1 = 0.5 f”(x) = (0.5) 4 – 5 = –3

f"(x) < 0 maka x1 = 0.5 adalah maksimum relatif dengan nilai maksimum

relatif f(0.5) = 4(0.5) – 15(0.5)2 + 12(0.5) – 1 = 1.75

Titik A (0.5, 1.75) maksimum relatif.

Untuk x2 = 2 f”(x) = (2) 4 – 5 = 3

f” (x) > 0 maka x2 = 2 adalah minimum relatif dengan nilai minimum relatif

f(2) = 4(2)3 – 15(2)2 + 12(2) – 1 = –5

Titik A (2, –5) minimum relatif.

3. Untuk batas bawah (x = 0)

Untuk x > 0 diambol x = 1

f y(x) = 12x2 – 30x + 12

f y (x) = 2x2 – 5x + 2

f y (1) = 2 – 5 + 2 = -1 f y (x) < 0

f (0) = -1

titik C (0, -1) titik maksimum relatif

Untuk batas atas (x = 3)

untuk x < 3 diambil x = 2.5

f y (2.5) = 2(2.5)2 – 5(2.5) + 2 = +2

f (3) = 8

Titik D (3,8) titik maksumum relatif.

4. Kesimpulan

Titik D (3,8) adalah titik maksimum mutlak dengan nilai maksimum

mutlak = 8.

Titik B (2, -5) adalah titik minimum mutlak dengan nilai minimum

mutlak = -5.

Jika daerah difinisi y = f(x) pada interval terbuka (a, b) maka nilai limit pada batas

interval yaitu lim f(x) dan lim f(x) harus diikutsertakan

x a+ x b-

dalam perbandingan nilai-nilai maksimum relatif atau minimum relatif fungsi y =

f(x) pada interval (a, b) dalam penarikan kesimpulan untuk menentukan maksimum

mutlak atau minimum mutlak.

Contoh :

Tentukan maksimum mutlak dan minimum mutlak dari f(x) = 2x3 – 3x2 –

12x + 7 pada interval (-3, 3).

Penyelesaian :

f y(x) = 6x2 – 6x – 12 = x2 – x – 2

0 = (x + 1) (x – 2)

titik ekstrim x1 = -1 dan x2 = 2

f y y (x) = 12x – 6 = 6(2x – 1)

untuk x = -1 f y y (-1) = -18 f y (x) < 0

f (-1) = 14

Titik A (-1, 14) titik maksimum relatif.

untuk x = 2 f y y (2) = 18 f y (x) > 0

f (2) = -13

Titik B (2, -13) titik minimum relatif.

maksimum relatif 14

lim f(x) = -38

x -3+

lim f(x) = -2 14 > 38 dan 14 > -2

x 3+

f(x) mempunyai nilai maksimum mutlak pada (-3, 3) adalah 14.

minimum relatif 13

lim f(x) = -38

x -3+

lim f(x) = -2 -13 > 38 tetapi -13 < - 2

x 3+

f(x) tidak mempunyai nilai minimum mutlak pada (-3, 3).

9.10 TITIK BELOK

Y

X-3 -2 1 0 1 2 3

-38

14

-2

-13

Fungsi Cekung

Fungsi y = f(x) dikatakan cekung bila f y y (x) < 0

FUNGSI CEMBUNG

Fungsi y = f(x) dikatakan cekung bila f y y (x) < 0

Gambar a Gambar b

Pada titik B f y y (x) = 0 disebut TITIK BELOK.

Y

X

y = f (x)

4-1

Y

X

y = f (x)

0

Y

X

y = f (x)

0

Y

X

y = f (x)

0

Titik belok ditandai oleh adanya perubahan bentuk kurve dari cekung menjadi cembung

(gambar a) atau dari cembung menjadi cekung (gambar b) setelah melalui titik B atau

adanya perubahan tanda f y y (x) dari negatif menjadi positif atau sebaliknya dari positif

menjadi negatif. Jika tidak terjadi perubahan tanda f y y (x) setelah melalui titik B maka

titik B bukan titik belok.

Contoh :

Diketahui f(x) = x3 – 3x2 + 6. Tentukan titik belok dan sket grafiknya.

Penyelesaian :

f y (x) = 3x2 – 6x

f y y (x) = 6x – 6 = 6 (x-1)

Titik belok f y y (x) = 0

6 (x-1) = C x = 1

Diselidiki x = 1

Untuk x < 1 diambil x = 0.5 f y y (0.5) = -3

F y y (x) < 0 berarti f(x) cekung

untuk x > 1 diambil x = 1.5 f y y (1.5) = 3

f y y (x) > 0 berarti f(x) cembung

Titik B (1, 4) merupakan titik belok

Sket grafik dari f(x) = x3 – 3x2 + 6

9.11 PENGGUNAAN TURUNAN PARSIIL

Y

X-2 -1 0 1 2 3 4

6

4

1. UNTUK MENCARI TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Jika f (x, y) = 0 maka turunannya dapat dicari dengan rumus

= – ; 0

Contoh :

Cari jika diketahui x2 + xy + y2 = 1

Penyelesaiannya :

= (x2) + (x) y + (y) + (y2) = 0

= 2x + y

= (x2) + (x) y + (y) + (y2) = 0

= x + 2y

–

2. BIDANG SINGGUNG DAN GARIS NORMAL

Suatu luasan z = f (x, y). Bidang singgung pada suatu luasan di titik

tertentu pada luasan itu ialah bidang yang memuat garis singgung di titik itu.

Bidang singgung ditentukan oleh dua buah garis singgung di titik itu.

Misalkan P (x1, y1, z1) terletak pada kurve dan bidang PLKM menyinggung

luasan di titik P ditentukan oleh dua buah garis singgung yaitu PM dan PL.

Angka arah garis PL = nilai pada P.

X

Z

Y

900

1350

1350

Angka arah garis PM di titik P adalah

Jika z dalam bentuk implisit { f (x, y, z)) = 0 } maka persamaan bidang

singgung di titik P (x1, y1, z1) adalah :

(x – x1) + (y – y1) + (z – z1) = 0

Garis yang melalui titik P dan tegak lurus pada bidang singgung disebut garis

normal pada luasan di titik P.

Persamaan garis normal :

= =

Contoh :

Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal pada titik yang

telah ditentukan pada luasan tertentu.

Persamaan Bola x2 + y2 + z2 – 14 = 0 di titik P (-2, 1, 3)

Penyelesaian :

= (x2) + (y2) + (z2) – (14) = 0

= 2x

= 2(-2) = -4

= 2y = 2(1) = 2

= 2z = 2(3) = 6

Persamaan bidang singgung di titik P (-2, 1, 3)

-4 (x + 2) + 2 (y – 1) + 6 (z – 3) = 3

2 (x + 2) – (y – 1) – 3 (z – 3) = 0

2x – y – 3z + 14 = 0

Persamaan garis Normal

= =

= =

3. MAKSIMUM DAN MINIMUM SUATU FUNGSI

Suatu fungsi z = f (x, y) jika z mempunyai harga maksimum z1 pada x

= x1 dan y = y1 hal ini dapat diartikan bidang singgung pada R (x1, y1) akan

sejajar dengan bidang xy dan garis normal sejajar dengan sumbu z.

Syarat suatu fungsi z = f (x, y) mencapai maksimum atau minimum

ditentukan harga x dan y sehingga = 0 dan = 0.

Q = – . untuk x = x1 dan y = y1

z1 = f (x1, y1) akan merupakan harga :

(1) Maksimum jika Q < 0 dan negatif.

(2) Minimum jika Q < 0 dan positif.

(3) Bukan maksimum / minimum jika Q > 0.

(4) Jika Q = 0 sifat ini tidak bisa menentukan sifat z mungkin maksimum /

minimum atau bukan kedua-duanya.

Contoh :

Tentukan titik pada luasan

z = 16 – 2x + 10y – x2 + 2xy – 2y2 sehingga z maksimum atau minimum.

Penyelesaian :

= – 2 – 2x + 2y – 2x + 2y – 2 = 0 (I)

= 2

= = –2

= 10 + 2x – 4y 2x – 4y + 10 = 0 (II)

= = –4

Q = (2)2 – (–2) (–4) = –4

Q < 0 dan negatif

z = 16 – 2(3) + 10(4) – (3)2 + 2(3.4) – 2(4)2 = 33

z = 33 (maksimum)

9.12 CONTOH PENGGUNAAN NILAI EKSTRIM

1. Suatu kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk bujur sangkar akan dibuat

dari selembar karton dan volume kotak itu 4 m3.

Tentukan ukuran kotak tersebut agar bahan yang dipergunakan seminimal

mugkin.

Penyelesaiannya :

Misalkan panjang sisi kotak x dan tinggi kotak y. Dengan demikian

volume kotak (v) adalah :

V = x2y 4 = x2y y = dengan x > 0

y

Banyaknya karton yang diperlukan = luas seluruh permukaan kotak.

L (x) = x2 + 4xy

= x2 + 4x (4/x2) = x2 + 16/x2 dengan x > 0

L y (x) = nilai kritis L y (x) = 0

= 0 2x3 – 16 = 0 x = 2

Untuk membuktikan x = 2 apakah minimum / maksimum dicari turunan ke-2

dari L(x)

L y y (x) = 2 + 32/x3 L y y (2) = 6

Jadi L y y (x) > 0 x = 2 minimum

Ukuran kotak itu x = 2 m dan y = 1 m.

2. Suatu pabrik memproduksi kotak tanpa tutup dengan volume (v = 32 dm3).

Tentukan ukuran kotak agar bahan yang dipergunakan sehemat-hematnya.

Penyelesaian :

Misalkan x = panjang kotak ; y = lebar kotak dan z = tinggi kotak

v = xyz = 32 z = 32/xy

Luas bahan yang diperlukan (A)

A = 2xz + 2yx + xy

= 2x (32/xy) + 2y (32/xy) + xy

= 64/y + 64/x + xy

Agar bahan yang diperlukan sekecil-kecilnya maka harus dipenuhi :

= 0 dan = 0

x

= (64/y) + axa

(64/x) + axa

(xy) = –64/x2 + y

–64/x2 + y = 0 yx2 = 64

= (64/y) + (64/x) + (xy) = –64/y2 + x

–64/y2 + x = 0 xy2 = 64

yx2 = xy2 x = y

(x) (x2) = 64 x = 4 y = 4 z = 2

ukuran kotak (4, 4, 2) dm

3. Seorang pengendara sepeda motor berada di titik O di tengah gurun pasir yang

berjarak 15 km dari titik A yaitu titik terdekat yang bisa dicapai di jalan raya.

Ia bermaksud menuju titik B di jalan raya tersebut dimana AB = 40 km. Bila

kecepatan tempuh sepeda motor di jalan raya 80 kim/jam di gurun pasir 20

km/jam, tentukan suatu titik di jalan raya yang harus dicapai lebih dahulu agar

waktu yang ditempuh untuk mencapai B adalah secepat-cepatnya.

Penyelesaian :

A C B

Misal titik C adalah titik yang mula-mula pada jalan raya yang berjarak x dari

A.

OC = =

CB = 40 – x

Waktu =

t = +

= +

O

15 40 – x

Agar waktu secepat-cepatnya maka t harus mencapai ekstrim.

= 0

= –

= 0 – = 0

Setelah diselesaikan akan didapatkan x =

agar waktu tempuh secepat-cepatnya maka titik mula-mula yang harus

dicapai di jalan raya adalah titik C yang berjarak km dari titik A.

4. Seorang pemilik kebun kelapa menyatakan bahwa sebatang pohon kelapa

dapat menghasilkan 200 butir buah kelapa per tahun apabila tidak lebih dari

10 pohon di tanam setiap tahun luas.

Untuk setiap tambahan satu pohon di atas 10 pohon per satuan luas akan

menyebabkan berkurangnya 5 butir buah kelapa per pohon.

Berapa pohon kepala yang harus ditanam, per satuan luas agar hasilnya

maksimum.

Penyelesaian :

Misalkan x banyaknya pohon kelapa yang harus ditanam per satuan

luas.

Banyaknya hasil per pohon (N) sangat tergantung dari x sehingga N =

f(x).

Setiap tambahan 1 pohon di atas 10 pohon akan menghasilkan 5 butir lebih

sedikit.

N = 200 – 5 (x – 10) bila x > 10

Hasil per satuan luas = T = xN = x (250 – 5x) = 250x – 5x2

Supaya T maksimum pada T harus mencapai titik ekstrim.

= 250 – 10x = –10

250 – 10x = 0 maka x = 25. < 0 berarti x = 25 maksimum

Hasil maksimum (T maksimum) = 250(25) – 5(25)2 = 3125

Jadi 25 pohon kelapa ditanam setiap satuan luas agar mendapatkan hasil yang

maksimum.

5. Jumlah biaya Radio sebanyak x buah adalah $ (1/4 x2 + 35x + 25) dan harga

sebuah radio jika dijual adalah $ (50 – 1/2x).

Berapakah jumlah radio yang harus dibuat agar mendapatkan laba sebanyak-

banyaknya.

Penyelesaian :

Misalkan dibuat x radio setiap hari. Laba = y = harga jual – biaya produksi.

y = x (50 – x/2) – (x2/4 + 35x + 25)

= 50x – x2/2 – (x2/4 + 35 + 25)

y y = y y y = – 3/2 y y y < 0 (maksimum).

0 = x = 10

Jadi paling banyak 10 buah radio dibuat setiap hari agar mendapatkan

keuntungan maksimum.

SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN

1. Persamaan Garis Tangen dan Normal Pada Kurva

y = x3 – 2x3 + 5x – 2 di R (2,6)

2. Persamaan Garis Singgung (Tangen) dan Garis Normal Pada Kurva

y = x3 – 2x2 + 5 di D (2, 4)

3. Tentukan panjang subtangen; subnormal; tangen dan normal dari:

a. XY + 2x – y2 = 4 di titik (2, 3)

b. Y = + x3 + 2 di (1, 3)

4. s = t4 – 5t3 + 10t2 – 9t + 3m, t = 1 detik

5. = t3/50 – t

6. f (x) = x2 – 2x + 3

7. Tentukan nilai dan titik maksimum dan minimum mutlak dari f (x) = x4 – 2x2 pada

interval (–2, 2)

8. Tentukan maksimum/minimum mutlak dari fungsi

f (x) = x3 + 12x2 + 45x + 51 pada interval (–6, 0)

9. Cari titik maksimum/minimum kurva z = e –x2 + xy + y2

f (x) = x3 + 3x2 – 3x – 3