BAB VI Fungsi Transenden Handout PDF

9/28/2009

1

Handout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung1

BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN

- Fungsi invers

- Fungsi eksponen dan logaritma

- Turunan dan integral fungsi eksponen dan logaritma

- Fungsi invers trigonometri

- Turunan dan integral fungsi invers trigonometri

- Fungsi hiperbolik


Fungsi invers

Definisi

misal adalah fungsi satu-satu, invers dari fungsi ,

ditulis merupakan fungsi tunggal yang didefinisikan

pada dan memenuhi :

Misal

f f1−f

fR

( ) ( )xfttfx 1−=↔=

( ) fRx,xffx ∈∀

−=→ 1


Fungsi invers

Teorema

“ misal fungsisatu-satu,maka punya invers ,

bila dan ,

berlaku

( )xfy = ffDx∈∀ fRy∈

1−f

( ) ( )[ ]xffxxfy 1−=↔=


Contoh 1

Tentukan invers dari

Jawab :

2

9+=→ yx

92 −= xy

92 +=→ yx

( )2

91 +=→ − yyf

( )2

91 +=∴ − xxf

9/28/2009

2


Contoh 2

Tentukan invers dari fungsi

Jawab :

( ) 4,41 2 −≥=−−↔ yyx

( ) 1322 ≥−−= x,xxxf

( ) 322 −−== xxxfy

( ) yx +=−→ 41 2

41 +=−→ yx

41 ++=→ yx

( ) 411 ++=∴ − yyf

( ) 411 ++=→ − xxfHandout Matematika Teknik I D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

6

Contoh 3

Tentukan invers

Jawab :

Bentuk diatas menjadi

Dengan memangkatkan setengah masing-masing ruas

diperoleh

Sehingga

5 2 8−= xy 22≥x

88 5225 +=→−= yxxy

85 += yx

( ) ( ) 88 5151 +=→+= −− xxfyyf


Contoh 4

Tentukan invers

Jawab :

Kemudian dicari faktor-faktornya dengan rumus abc,

sebagai berikut :

0422 >++= x,xxy

02422

4222

=−++→

++=→

yxx

xxy


Contoh 4 (lanjutan)

Karena domain [ 0, +∞ ], maka

Sehingga

232112

2

1224221

2

24442

21

≥−±−=

−±−=

−−±−

=

y,yx

y,x

y

,x

2321 ≥−+−= y,yx

( ) 3211 −+−=− xxf

9/28/2009

3


Sifat-sifat fungsi invers

a. Sifat yang menggambarkan hubungan antara fungsi dan inversnya

1. Secara geometri, grafik antara fungsi f(x) dan grafik fungsi

inversnya simetris terhadap garis .



2. Pada bidang XY, domain dari fungsi menjadi range

dari fungsi inversnya dan range dari merupakan

domain dari inversnya, sehingga x dan y dapat bertukar

peran yaitu

ff

( ) ( )( ) ( )x,yy,x

yfxxfy 1−=↔=



b. Sifat keberadaan invers suatu fungsi

1. Suatu fungsi misal , punya invers, jika dan hanya

jika tidak ada garis mendatar yang memotong

grafik lebih dari satu titik.

2. Fungsi punya invers jika dan hanya jika adalah

fungsi satu-satu.

3. Fungsi punya invers pada suatu interval tertentu

yang menjadi domain dari , bila pada interval

tersebut monoton naik saja atau turun saja.

f

f f

ff

f

f


Contoh 1

Apakah fungsi berikut memiliki invers

� f(x) = x2 + 2x , x < 1

Jawab

� f’(x) = 2x +2

Pada (-∞,-1): f(x) monoton turun

Pada (-1,2) : f(x) monoton naikf-1(x) tdk ada

9/28/2009

4


Contoh 2

Apakah fungsi berikut memiliki invers

� f(x) = x3 + 2x , x > 1

Jawab

� f’(x) = 3x2 +2

f(x) selalu bernilai positif

f(x) monoton naik utk semua xf-1(x) ada


Turunan fungsi invers

Andaikan dapat diturunkan, monoton murni pada interval

I, dan bila pada suatu titik dalam interval I,

maka dapat diturunkan di titik pada dan

berlaku

Rumus tersebut dapat ditulis dalam bentuk

f

( ) 0≠x'f1−f ( )xfy =

( )( )x'f

y'

f11 =

−

x

fR

dydxdx

dy 1=


Turunan fungsi invers

Gambar :

Dari gambar tersebut terlihat bahwa gradien garis singgung dari fungsi invers berbanding terbalik dengan gradien garis singgung fungsinya.

ac

bdm

−−=1

1

12 mbd

acm =

−−=


Fungsi logaritma dan eksponen umum

Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua

fungsi yang saling invers yang dinyatakan sebagai

0>=↔= b,x,ybxxlogby

9/28/2009

5


Sifat-sifat fungsi logaritma umum

1. 5.

2. 6.

3.

4.

01log =b

1log =bb

caca bbb logloglog +=

cac

a bbb logloglog −=

ara brb loglog =

b

aa

c

cb

log

loglog =


Sifat-sifat fungsi eksponen umum

Bila , maka untuk , memenuhi :

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

+ℜ∈b,a ℜ∈∀ l,k

10 =a

aa =1

lkalaka +=

la

la1=−

lkala

ka −=

( )kbakbka =

lkalka =

k

b

akb

ka

=


Fungsi eksponen dan logaritma asli

Notasi dari bilangan natural adalah e yang didefinisikan

sebagai atau yang nilainya

2.71828.....

Hubungan antara fungsi logaritma asli dengan eksponen

asli didefinisikan sebagai berikut :

( ) xxex

11lim

0+=

→( )x

xxe 11lim +=

∞→

0>=↔= x,yexxlny


Sifat-sifat fungsi logaritma asli

1. 4.

2. 5.

3.

01ln =

1ln =e

caca lnlnln +=

cac

alnlnln −=

arar lnln =

9/28/2009

6


Sifat-sifat fungsi eksponen asli

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4.

10 =e

ee =1

lklk eee +=

ll

ee

1=−

lkl

ke

e

e −=

( ) kkk eee 2=

( ) lklk ee =


Hubungan antara fungsi eksponen dan fungsi logaritma

a.

b.

Bukti :

a.

b. Menggunakan sifat logaritma asli ke-5

0>∀= x,xlnex

ℜ∈∀= x,xelnx

xxexxexex xx lnlnlnlnlnlnln lnln =→=→=→=


Integral fungsi eksponen dan logaritma

Definisi :

1.

2.

Dari dua definisi tersebut, maka

1.

2.

( )x

xlnxDCxlndtx

t

1

1

1 =↔+=∫

xexexDCxedxxe =

↔+=∫

blnxxlogb

xD1=

Cbln

xbdxxbblnxbxbxD +=∫↔=

Bisa menggunakan sifat dy/dx = 1/ (dx/dy)


Contoh

Tentukan turunan dari

Jawab :

Bentuk di atas menjadi

Turunannya diperoleh dengan cara

Sehingga

xx eey +=

( ) 212

1xx eey +=

( ) ( )

+= 2

121

xxxx eeDyD

( ) 212

1'

2

1

2

1 xx eex

y +=

9/28/2009

7


Penggunaan fungsi eksponen dan fungsi logaritma

1. Menentukan turunan dari fungsi

Misal terdefinisi pada , dan

terdiferensialkan pada daerah asalnya, maka untuk

mencari turunan dari dengan cara di logaritmakan yaitu

( ) ( )xgxfy =

( ) ( )xgxfy = ( ){ }0≥ℜ∈ xf:x

y

( )( ) ( ) ( ) ( )( )xflnxgxgxflnyln ==


Contoh 1

Tentukan turunan dari

Untuk mencari turunannya, logaritmakan

( )2

31

12

++=xxsin

xxy

y

( )

++=

2sin

1lnln

31

2

xx

xxy

( ) ( ) ( )2lnsinln1lnln21

312 +−−++= xxxx


Contoh 1

Dengan menggunakan turunan implisit diperoleh

( ) ( )( ) ( ) ( ) yxfxgxf

xfxgy

+=→ ln'

''

( ) ( )( ) ( ) ( )xfxgxf

xfxgy

yln

1 ''

' +=

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xgxfxfxgxf

xfxgy

+=→ ln'

''


Contoh 2

Tentukan turunan dari (bisa dg aturan rantai)

Jawab :

Bentuk di atas menjadi

Dengan melogaritmakan diperoleh

Turunannya diperoleh dengan cara

Sehingga

xxey ln2=

( ) ( ) 22ln xxx xey ==

( ) xxyxy x lnlnlnln 22=→=

( ) ( )xxDyD xx lnln 2=

xxxxy

y

1ln2

1 2' += ( ) xxexxxy ln2

ln2' +=

9/28/2009

8



2. Menghitung limit bentuk tak tentu

Misal nilainya merupakan bentuk tak

tentu , maka untuk menyelesaikannya digunakan

hubungan antara eksponen dan logaritma yaitu

∞∞ 1000 ,,

∞∞ 1000 ,,

( ) ( )xg

cxxfy

→= lim

( )( ) ( )

==→

xg

cx

y xfEXPey lnlimln



Dengan menggunakan sifat kelima dari logaritma maka

bentuk tersebut menjadi

Bentuk tersebut dapat diubah menjadi

Bila nilai limit merupakan bentuk tak tentu , maka

untuk menyelesaikannya digunakan dalil L’hospital.

( ) ( )( )

==→

xfxgEXPeycx

y lnlimln

( )( )( )

==

→ xh

xflnlimEXPey

cx

yln

0

0,

∞∞


Contoh 1

Tentukan nilai dari

Dengan eksponen logaritma diperoleh

Dengan sifat logaritma menjadi

x

x x

+∞→

11lim

+∞→

x

x xEXP

11lnlim

+=

+=∞→∞→ x

1xx

x

11ln

limEXPx

11lnxlimEXP


Lanjutan contoh

Nilai dari limit tersebut adalah bentuk tak tentu

Dengan menggunakan dalil L’hopital diperoleh00

( ) ( ) eEXPEXP

xx

x

x==

+−

−

∞→1

1lim

2

2

11

1

9/28/2009

9


Contoh 2

Tentukan nilai bila ada

Jawab :

Bentuk di atas bentuk 00 , sehingga dengan eksponen

logaritma sebagai berikut

Bentuk tersebut menghasilkan ,dg L’Hopital,diperoleh

( ) xx

xe ln

12

01lim −

+→

( ) →

−

+→

xx

xeEXP ln

12

01lnlim

( )

−+→ x

eEXP

x

x ln

1lnlim

2

0

ex21limEXPe2

xe4e2limEXP

1e

e.x2limEXP

0xx2

x2x2

0xx2

x2

0x=

+=

+=

− +++ →→→

∞∞


Fungsi invers trigonometri

Fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik. Bila daerah

asalnya adalah bilangan real, maka fungsi trigonometri

tidak punya invers, karena bukan fungsi satu-satu, pada

interval tersebut, fungsi monoton naik dan turun, bila

dipotong dengan garis mendatar perpotongan terjadi di tak

hingga titik. Sehingga supaya fungsi trigonometri punya

invers, maka daerah asalnya harus dibatasi pada interval

tertentu. Contoh fungsi invers trigometri adalah

xyxyxyxy 1111 sec,tan,cos,sin −−−− ====


Turunan dan integralinvers trigonometri

Misal

Dengan menurunkan terhadap diperoleh :

Sedangkan turunan terhadap adalah

yxxy sinsin 1 =↔= −

ππ−∈2

,2

y

x

x

y

y

21

1

cos

1cos

xyxd

ydy

yd

xd

−==→=

( )

Cxdxx

xyxd

ydxDx

+=−

↔

−===

−

−

∫1

2

2

1

sin1

11

1

cos

1sin



Berikut adalah turunan dan integral fungsi-fungsi invers

trigonometri yang diperoleh dengan cara yang sama :

1.

2.

3.

( )22

1

22

1 ,sin1

1

1

1sin ππ−− ≤≤−+=

−↔

−= ∫ xCxdx

xxxDx

( ) π≤≤+=−

−↔−

−= −−∫ xCxdx

xxxDx 0,cos

1

1

1

1cos 1

22

1

( )22

,tan1

1

1

1tan 1

221 π≤≤π−+=

+↔

+= −−

∫ xCxdxxx

xDx

9/28/2009

10



Berikut adalah turunan dan integral fungsi-fungsi invers

trigonometri yang diperoleh dengan cara yang sama :

4.

5.

6.

( ) Cxdxxx

xDx +=+

−↔+

−= −−∫

122

1 cot1

1

1

1cot

( ) Cxdxxxxx

xDx +=−

↔−

= −−∫

1

22

1 sec1

1

1

1sec

( ) Cxdxxxxx

xDx +=−

−↔−

−= −−∫

1

22

1 csc1

1

1

1csc


Contoh

1. Tentukan turunan dari

Jawab :

2. Tentukan turunan

Jawab :

( )xy sinsin 1−=

1xsin1

xcosy

2

' =−

=

( )212sin xxy −=

( ) ( )2

121'

x41

x2sinx4x2siny

−+=

−−


Contoh

Hitung integral

Jawab :

Misal

Sehingga

Diperoleh

∫ −19 2xx

dx

dxdu

dxduxu =→==3

33

Cuu

u

du+=∫

−

−1

2sec

13

3

1

( ) Cx +− 3sec 1


Latihan

I. Tentukan invers fungsi berikut, bila ada

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4.

533 −= xy

112

5 ≥+

= x,x

y

3

13

12

−+=

x

xy

13233 +++= xxxy

3 12 −= xy

2

3

−+=

x

xy

642 −+= xxy

9/28/2009

11


Latihan

II. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4.

x

ey

x

ln=

+= 351 xEXPy

( )xey cos1ln +=

( ) xxy

ln3=

( ) xxxy ln2 sin+=

( )2cos 21 += − xy

xln

xlny

+=

2


Latihan

8. 12.

9. 13.

10. 14.

11.

=xe

xy

x

xxxy

3tancossin=

( )[ ]23 2ln xxxy −=

( )xexy += −1sin

−=x

sinhy11

xhey x 1sec −=

( )51csc1 xhxy −+=


Latihan

15. 19.

16. 20.

17. 21.

18.

+−= −

x

xy

1

1tan 1

( )xxy lncsc 21−=

xy 1cot−=

( )21secln xy −=

( ) xxxeysin

1+=

xy

1csc

1−=

−= 6lntan 2xy


Latihan

III. Hitung integral fungsi-fungsi berikut

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4.

( )∫ − xx

dx

41

( )dt

t

t∫

2lndx

x

x∫ +12

3

dxx x∫ πsincos4

( ) dxee xx∫ − 23

dxee

exx

x

∫−12

∫− 24 x

dx

9/28/2009

12


Latihan

8. 12.

9. 13.

10. 14.

11.

∫ + 291 x

dx

( )∫− 4lnln 2xxx

dx

dxe

ex

x

2

ln

2ln 1

32

−

−

−∫

∫+

3

02 1t

dt

∫ −

3

221 x

dx

dtt

t∫

+ 2cos1

sin

∫+ 61 xx

dx


Latihan

15. 19.

16. 20.

17. 21.

18.

dxx

e x

∫ 2

3

dxx

x∫ +

−

2

1

1

tan

( )∫−−−

212 cos11 xx

dx

( )dx

x

xx∫ +

+2

2

1

1ln

∫+ 61 xx

dx

∫−

3

221 x

dx

∫+

3

0 2 1t

dt


Latihan

III. Hitung limit fungsi-fungsi berikut, bila ada

1. 4.

2. 5.

3. ( ) x

x

x tancos1lim

2

+−π→

( )2

2

0

1lnlim

x

x

x

+→

( ) x

xx sin

01lim +

→

x

x x

x

++

∞→ 2

1lim

( ) xxex

x

2lim +

∞→

Documents

BAB VI Fungsi Transenden Handout PDF