Upload
ngokhue
View
260
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
209
209
BAB VII
PELURUHAN RADIOAKTIF
Tujuan Instruksional
Setelah mempelajari bab ini diharapkan pembaca dapat:
1. Menentukan solusi persamaan peluruhan radioaktif berdasarkan pendekatan
analitik.
2. Menentukan solusi persamaan peluruhan radioaktif berdasarkan pendekatan
numerik.
3. Menyusun suatu program komputer dengan Spreadsheet Excel untuk
mensintesis serangkaian data analitik dan numerik peluruhan radioaktif.
4. Menentukan waktu paruh menurut pendekatan analitik dan numerik.
5. Menentukan waktu paruh berdasarkan serangkaian data peluruhan yang
diperoleh dari percobaan. Spreadsheet.
6. Membuat grafik peluruhan menurut pendekatan analitik dan numerik
kemudian menafsirkannya.
7. Menjelaskan pengaruh nilai Increment terhadap ketelitian data menurut
solusi numerik dibandingkan data menurut solusi analitik.
Pendahuluan
Peluruhan radioaktif merupakan bagian penting dalam perkembangan ilmu
fisika karena peluruhan radioaktif menjadi dasar dari perkembangan fisika nuklir.
Dalam menganalisis karakteristik peluruhan radioaktif secara teoritis lebih mudah
dan aman daripada menganalisis berdasarkan data-data pengamatan. Namun
demikian hasil pengamatan menjadi dasar dalam menganalisis karakteristik secara
teoritis seperti dalam penentuan laju peluruhannya. Untuk menganalisis proses
peluruhan secara matematik dibutuhkan minimal dua teknik matematika yaitu
turunan dan persamaan differensial sehingga proses peluruhan radioaktif ini dapat
dianalisis menurut pendekatan analitik maupun numerik.
210
7.1 Analisis Peluruhan Radioaktif dengan Pendekatan Analitik
Aktivitas suatu sampel nuklida radioaktif menyatakan laju peluruhan inti
atom pembentuknya. Jika N menyatakan banyaknya inti yang dalam sampel pada
suatu saat, maka aktivitasnya dinyatakan dalam persamaan
𝐴 = −𝑑𝑁
𝑑𝑡 …(7.1)
tanda negatif menunjukkan bahwa N akan semakin menurun seiring dengan
bertambahnya waktu (t). Semakin besar aktivitasnya, maka semakin banyak inti
atom yang meluruh untuk setiap waktunya. Aktivitas radioaktif hanya tergantung
pada jumlah inti radioaktif (N) dengan probabilitas peluruhan sebesar λ sehingga
persamaan (7.1) dapat dinyatakan sebagai
A = λ N …(7.2)
berdasarkan persamaan (7.1) dan (7.2) diperoleh hubungan
𝑑𝑁
𝑑𝑡= −𝜆 𝑁
atau
𝑑𝑁
𝑁= −𝜆 𝑑𝑡 …(7.3)
persamaan (7.3) apabila diintegralkan akan diperoleh
𝐿𝑛 𝑁 = −𝜆𝑡 + 𝑐 …(7.4)
dengan asumsi bahwa pada t = 0 nilai N = N0 maka persamaan solusi (7.3) dapat
dituliskan
𝑁 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡 …(7.5)
Berdasarkan persamaan (7.5) ini dapat disimpulkan bahwa jumlah inti radioaktif
dalam suatu sampel meluruh terhadap waktu. Waktu paruh (𝑡1
2
) didefinisikan
sebagai waktu yang dibutuhkan aktivitas suatu unsur agar jumlah atomnya
menjadi setengah dari jumlah atom mula-mula. Secara matematis keadaan ini
dinyatakan dengan 𝑁 =𝑁0
2 pada saat 𝑡 = 𝑡1
2
sehingga persamaan (7.5) dapat
dinyatakan dengan
𝑁0
2= 𝑁0𝑒
−𝜆𝑡12⁄
211
𝑙𝑛𝑁0
2= ln 𝑁0 − 𝜆𝑡1
2⁄
𝑙𝑛𝑁02
𝑁0= −𝜆𝑡1
2⁄
𝑡12⁄ =
ln 2
𝜆
𝑡12⁄ =
0,693
𝜆 …(7.6)
dimana t(1/2) menyatakan nilai waktu paruhnya.
7.2 Analisis Peluruhan Radioaktif dengan Pendekatan Numerik
Untuk lebih memahami karakteristik peluruhan radioaktif dapat digunakan
persamaan (7.3) secara langsung atau dengan pendekatan numerik. Adapun
langkah yang perlu diuraikan dalam pendekatan numeriknya adalah sebagai
berikut. Berdasarkan persamaan
𝑑𝑁
𝑑𝑡= −𝜆 𝑁
dengan menggunakan metode Euler, maka persamaan (7.3) dapat diuraikan
menjadi
𝑑𝑁
𝑑𝑡≈
∆𝑁
∆𝑡=
𝑁(𝑡+Δ𝑡)−𝑁(𝑡)
Δ𝑡
sehingga berlaku
𝑁(𝑡+Δ𝑡)−𝑁(𝑡)
Δ𝑡= −𝜆 𝑁(𝑡)
𝑁(𝑡 + Δ𝑡) = 𝑁(𝑡) − 𝜆 𝑁(𝑡)Δ𝑡 …(7.7)
secara umum persamaan (7.6) dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑁𝑖+1 = 𝑁𝑖 − 𝜆 𝑁𝑖 Δ𝑡 …(7.8)
dengan:
𝑁𝑖+1 = Jumlah unsur pada interval waktu antara 𝑡 + Δ𝑡
𝑁𝑖 = Jumlah unsur pada waktu (t)
Δ𝑡 = nilai selang waktu atau Increment waktu
212
Persamaan (7.6) menyatakan bahwa suatu nuklida dengan jumlah mula-mula Nt
setelah selama ∆t akan meluruh dengan probabilitas λ maka jumlah nuklidanya
sama dengan jumlah nuklida akhir 𝑁𝑖+1 dikurangi jumlah nuklida sebelumnya 𝑁𝑖.
Contoh 7.1
Suatu unsur x memiliki jumlah atom 100000 buah kemudian meluruh dengan
tetapan peluruhan 0,5 s. Jika interval peluruhan diamati tiap selang waktu 0,001 s
tentukan jumlah unsur yang meluruh dengan mempergunakan pendekatan analitik
dan pendekatan numerik untuk t = 10 s.
Penyelesaian
Sebagai langkah untuk menyelesaikan soal di atas adalah dengan mendeklarasikan
variable-variabel tersebut seperti tabel berikut.
Tabel 7. 1 Variabel-variabel Dalam Peluruhan Radioaktif
Langkah berikutnya adalah melakukan komputasi dengan Spreadsheet untuk
menghitung jumlah atom secara analitik dan numerik seperti tabel berikut.
Variabel Nilai Satuan
No 100000 Atom
λ 0.5 per detik
dt 0.001 detik
to 0
213
Tabel 7.2. Perbandingan Jumlah Atom Yang Meluruh dengan Pendekatan
Analitik dan Numerik
t N_Analitik N_ Numerik
0 1000000 1000000
0.001 999500.125 999500
0.002 999000.5 999000.25
0.003 998501.124 998500.7499
0.004 998001.999 998001.4995
0.005 997503.122 997502.4988
0.006 997004.496 997003.7475
0.007 996506.118 996505.2456
0.008 996007.989 996006.993
0.009 995510.11 995508.9895
0.01 995012.479 995011.235
0.011 994515.097 994513.7294
0.012 994017.964 994016.4725
0.013 993521.079 993519.4643
0.014 993024.443 993022.7046
0.015 992528.055 992526.1932
0.016 992031.915 992029.9301
0.019 990544.982 990542.6291
0.02 990049.834 990047.3578
0.021 989554.933 989552.3341
0.022 989060.279 989057.558
0.023 988565.872 988563.0292
0.024 988071.713 988068.7477
0.025 987577.8 987574.7133
0.026 987084.135 987080.9259
0.027 986590.716 986587.3855
0.028 986097.544 986094.0918
0.029 985604.619 985601.0447
0.03 985111.94 985108.2442
0.031 984619.507 984615.6901
0.032 984127.32 984123.3822
0.033 983635.379 983631.3206
0.034 983143.685 983139.5049
0.035 982652.236 982647.9351
0.036 982161.032 982156.6112
0.037 981670.075 981665.5329
… … …
214
Langkah terakhir adalah membuat grafik hubungan jumlah atom terhadap waktu
seperti tabel berikut.
Grafik 7.1. Perbandingan Jumlah Inti terhadap Waktu dengan Pendekatan
Analitik dan Numerik
Berdasarkan tabel 7.2 dan grafik 7.1 dapat dilihat bahwa pada t = 0 jumlah
unsur x memiliki jumlah atom sebanyak 100000 atom. Apabila unsur tersebut
meluruh dengan konstanta peluruhan λ= 0,5 dan selang waktu ∆t = 0,001s maka
jumlah atom pada t = 0,001s menurut pendekatan analitik adalah 999500.125 atom
sedangkan menurut pendekatan numerik jumlah atomnya adalah 999500 atom.
Apabila diamati lebih jauh maka antara jumlah atom pada t = 0,001 s solusi
numerik memiliki kesalahan sebesar 0.000013%. Seiring dengan bertambahnya
waktu untuk nilai Increment yang sama maka solusi numerik akan semakin
divergen dibandingkan data analitiknya. Sebagai gambaran bahwa untuk t = 1s
maka sisa jumlah atom menurut pendekatan analitik adalah 606530.66 ataom
sedang menurut pendekatan numerik sisa atomya adalah 606454.8228 atom pada
nilai-nilai ini solusi numerik memiliki kesalahan sebesar 0,0125%. Untuk t = 10 s
maka sisa jumlah atom menurut pendekatan numeriknya adalah 6729.527022 atom
0
200000
400000
600000
800000
1000000
1200000
0 2 4 6 8 10 12
Jum
lah
Ato
m
Waktu (s)
N_Analitik
N_ Numerik
215
buah sedangkan menurut pendekatan analitiknya sisa atomya adalah 6737.947
atom dengan demikian solusi numerik memiliki kesalahan sebesar 0.12496 %.
Karakteristik peluruhan radio aktif lebih mudah bila diamati dari grafik
peluruhannya seperti pada grafik 7.1 namun demikian untuk mempermudah
menginterpretasikan grafik secara lebih akurat tabel tetap diperlukan. Sebagai
contoh menurut solusi analitik maka waktu paruh unsur x tersebut adalah 1.386 s.
Tentu saja nilai ini akan sulit jika akan dicari berdasarkan grafik peluruhannya,
namun demikian dapat ditelusuri secara teliti berdasarkan tabel peluruhannya.
Berdasarkan tabel 7.2 diketahui bahwa jumlah atom mula-mula adalah 10000
buah berarti waktu paruhnya adalah waktu yang dibutuhkan sehingga jumlah
unsurnya hanya tinggal sekitar 50000 baik secara analitik maupun numerik.
Secara mudah dapat ditemukan bahwa nilai waktu t untuk jumlah atom 50000
menurut pendekatan numerik dan analitik adalah 1,386 s dengan kesalahan sekitar
0 %.
Pertanyaan 7.1
1. Dengan menggunakan pendekatan analitik dan numerik selidikilah pengaruh
perubahan nilai λ terhadap peluruhan suatu unsur radioaktif?
2. Dengan menggunakan pendekatan analitik dan numerik tentukan waktu paruh
unsur tersebut?
3. Apakah waktu paruh suatu unsur tergantung dari jumlah unsur yang meluruh?
(petunjuk: variasikan jumlah atom yang meluruh kemudian tentukan nilai
waktu paruh tiap atom yang dihitung kemudian bandingkan waktu paruh
diantara jumlah atom yang divariasikan tersebut).
4. Dengan menggunakan pendekatan analitik dan numerik selidikilah apakah
mungkin suatu unsur radioaktif untuk waktu yang sangat lama meluruh
sehingga inti sisanya menjadi nol? Jelaskan!
5. Dengan menggunakan pendekatan analitik dan numerik selidikilah apakah
bentuk kurva peluruhan radio aktif dipengaruhi oleh jumlah unsur yang
meluruh?
216
7.3 Analisis Peluruhan dengan Prinsip Logaritma
Berdasarkan uraian sebelumnya telah dijelaskan teknik analisis peluruhan
dengan persamaan peluruhan
𝑁 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡
Namun untuk menganalisis suatu proses peluruhan dengan persamaan (7.5) kita
dihadapkan pada suatu kendala karena tidak mungkin kita dapat mengukur N
untuk waktu tertentu. Salah satu cara yang dapat kita lakukan untuk mengatasi
masalah ini adalah dengan mengukur aktivitasnya. Dengan demikian kita perlu
memanipulasi persamaan (7.5) sedemikian sehingga kita peroleh persamaan
aktivitasnya dengan cara mengalikan kedua ruas persamaan (7.5) dengan 𝜆.
𝜆𝑁 = 𝜆𝑁0𝑒−𝜆𝑡 …(7.9)
Berdasarkan definisi 𝐴 = 𝜆𝑁 maka persamaan (7.9) dapat dinyatakan dengan
𝐴 = 𝐴0𝑒−𝜆𝑡 …(7.10)
Misalkan kita akan menghitung jumlah suatu unsur radioaktif dalam satu detik
maka kita dapat melakukannya dengan menghitung radiasi dari peluruhan unsur
tersebut tiap satu detik, kita tunggu beberapa lama kemudian kita hitung kembali.
Dengan demikian jika proses tersebut kita lakukan secara berulang-ulang maka
kita dapat menggambarkan aktivitas A sebagai fungsi waktu.
apabila kedua ruas dalam persamaan (7.10) dibagi dengan 𝐴0 akan kita peroleh
𝐴
𝐴0= 𝑒−𝜆𝑡 …(7.11)
dengan mengaplikasikan teori ln maka persamaan (7.11) dapat kita nyatakan
menjadi
ln𝐴
𝐴0= −𝜆𝑡 …(7.12)
217
dengan cara yang sama maka persamaan (7.5) dapat kita nyatakan pula dengan
persamaan
ln𝑁
𝑁0= −𝜆𝑡 …(7.13)
apabila persamaan (7.13) akan dinyatakan dalam bilangan logaritma dasar maka
dengan mengingat bahwa log x = 0,43429 ln x maka persamaan (7.13) dapat juga
kita tuliskan menjadi
2,3026 log𝑁
𝑁0= − 𝜆𝑡
log𝑁
𝑁0= −
𝜆
2,3026𝑡 …(7.14)
Dengan demikian apabila persamaan (7.12), (7.13) dan (7.14) diplotkan dalam
suatu grafik akan diperoleh grafik berikut
Grafik 7.2 grafik Hubungan Ln (N/N0) terhadap waktu (t)
-5
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
Ln (
N/N
o)
Waktu (t)
218
Grafik 7.3 Grafik Hubungan Ln (A/A0) terhadap waktu (t)
Grafik 7.4 grafik Hubungan Log (A/A0) terhadap waktu (t)
Berdasarkan grafik (7.2) sampai (7.4) dapat disimpulkan bahwa ketiga grafik
tersebut menunjukkan grafik yang linear dimana persamaan garisnya dapat kita
-5
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0 2 4 6 8 10 12
Ln (
A/A
o)
Waktu (t)
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0 2 4 6 8 10 12
Log
(A/A
o)
Waktu (t)
219
nyatakan dengan persamaan y = m x. Berdasarkan ketiga grafik di atas dapat kita
nyatakan persamaan garis lurusnya sebagai berikut:
ln (𝑁
𝑁𝑂) = −𝜆𝑡 dengan 𝜆 menyatakan nilai gradiennya.
log𝑁
𝑁0= −
𝜆
2,3026𝑡 dengan −
𝜆
2,3026 menyatakan nilai gradiennya.
dengan demikian berdasarkan grafik (7.2) sampai (7.4) kita dapat menentukan
nilai waktu paruh menurut analisis grafik dengan berpedoman bahwa waktu
paruhnya mengacu pada waktu dimana 𝑁
𝑁𝑂= 0,5 atau ln (
𝑁
𝑁𝑂) = 0,693 ataupun
log𝑁
𝑁0= 0,301
Contoh 7.2
Suatu unsur y yang mula-mula berjumlah 100000 atom meluruh dan radiasinya
peluruhannya diukur dalam waktu tiap 1 s dengan tabel pengamatan sebagai
berikut.
Tabel 7.3 Jumlah Atom yang Terukur dalam Suatu Percobaan Peluruhan
Detik ke- Jumlah Atom
0 1000000
1 606530.66
2 367879.441
3 223130.16
4 135335.283
5 82084.9986
6 49787.0684
7 30197.3834
8 18315.6389
9 11108.9965
10 6737.947
11 4086.77144
12 2478.75218
13 1503.43919
14 911.881966
15 553.08437
220
16 335.462628
19 74.8518299
20 45.3999298
21 27.5364493
22 16.7017008
23 10.1300936
24 6.14421235
25 3.72665317
26 2.26032941
27 1.37095909
28 0.83152872
29 0.50434766
30 0.30590232
Berdasarkan tabel (7.3) tersebut buatlah grafik hubungan 𝑙𝑛𝑁
𝑁0 terhadap waktu
kemudian berdasarkn grafik yang telah dibuat tentukan waktu paruh unsur y
tersebut!
Penyelesaian
t N_Analitik N/No Ln (N/No)
0 1000000 1 0
1 606530.66 0.606531 -0.5
2 367879.441 0.367879 -1
3 223130.16 0.22313 -1.5
4 135335.283 0.135335 -2
5 82084.9986 0.082085 -2.5
6 49787.0684 0.049787 -3
7 30197.3834 0.030197 -3.5
8 18315.6389 0.018316 -4
9 11108.9965 0.011109 -4.5
10 6737.947 0.006738 -5
11 4086.77144 0.004087 -5.5
12 2478.75218 0.002479 -6
13 1503.43919 0.001503 -6.5
14 911.881966 0.000912 -7
15 553.08437 0.000553 -7.5
16 335.462628 0.000335 -8
19 74.8518299 7.49E-05 -9.5
20 45.3999298 4.54E-05 -10
21 27.5364493 2.75E-05 -10.5
221
22 16.7017008 1.67E-05 -11
23 10.1300936 1.01E-05 -11.5
24 6.14421235 6.14E-06 -12
25 3.72665317 3.73E-06 -12.5
26 2.26032941 2.26E-06 -13
27 1.37095909 1.37E-06 -13.5
28 0.83152872 8.32E-07 -14
29 0.50434766 5.04E-07 -14.5
30 0.30590232 3.06E-07 -15
Grafik 7.5 Hubungan Ln(N/No) terhadap t untuk Contoh 7.2
Dengan menggunakan fasilitas trendline dari Spreadsheet dengan mudah kita
ketahui bahwa gradient grafik 7.5 adalah – 0,5. Oleh karena itu waktu paruh unsur
y tersebut dapat kita perkirakan berdasarkan persamaan
ln (𝑁
𝑁𝑂) = −𝜆𝑡
dengan demikian 𝜆 bernilai 0,5. Apabila 𝑡12⁄ =
0,693
𝜆 maka
y = -0.5x
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
0 10 20 30 40
Ln (
N/N
o)
Waktu (s)
222
𝑡12⁄ = 1,386 𝑠
Sehingga dapat kita perkirakan bahwa waktu paruh unsur y adalah 1,386 s.
Kesimpulan
1. Menurut pendekatan analitik peluruhan radioaktif dinyatakan dengan
persamaan 𝑁 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡
2. Waktu paruh didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan aktivitas suatu
unsur radioaktif untuk meluruh agar jumlah atomnya menjadi setengah
dari jumlah atom mula-mula.
3. Secara matematis waktu paruh suatu unsur radioaktif dinyatakan dengan
persamaan 𝑡12⁄ =
0,693
𝜆.
4. Menurut pendekatan numerik peluruhan radioaktif dinyatakan dengan
persamaan 𝑁𝑖+1 = 𝑁𝑖 − 𝜆 𝑁𝑖 Δ𝑡
5. Aktivitas suatu unsur radioaktif dinyatakan dengan persamaan
𝐴 = 𝐴0𝑒−𝜆𝑡
6. Apabila dinyatakan dengan definisi logaritma, maka persamaan peluruhan
juga dapat dinyatakan dengan persamaan:
ln𝐴
𝐴0= −𝜆𝑡
ln𝑁
𝑁0= −𝜆𝑡
log𝑁
𝑁0= −
𝜆
2,3026𝑡
7. Berdasarkan grafiknya, maka waktu paruh suatu unsur radioaktif dapat
ditentukan sebagai berikut:
223
Untuk Grafik N/No terhadap waktu maka waktu paruh dapat
ditentukan pada saat 𝑁
𝑁𝑂= 0,5.
Untuk Grafik ln (𝑁
𝑁𝑂) terhadap waktu maka waktu paruh dapat
ditentukan pada saat ln (𝑁
𝑁𝑂) = 0,693.
Untuk Grafik log (𝑁
𝑁𝑂) terhadap waktu maka waktu paruh dapat
ditentukan pada saat log (𝑁
𝑁𝑂) = 0,301.
Soal
1. Suatu unsur x memiliki jumlah atom 1000000 buah kemudian meluruh
dengan tetapan peluruhan 0,05 s. Jika interval peluruhan diamati tiap selang
waktu 0,001 s tentukan jumlah unsur yang meluruh dengan mempergunakan
pendekatan analitik dan pendekatan numerik untuk t = 10 s dengan
menggunakan pendekatan logaritma kemudian bandingkan hasil komputasi
Anda!
2. Suatu unsur y yang mula-mula berjumlah 10000 atom meluruh dan radiasinya
peluruhannya diukur dalam waktu tiap 1 s dengan tabel pengamatan sebagai
berikut.
Detik ke- Jumlah Atom
0 10000
1 6065
2 3678
3 2231
4 1353
5 820
6 497
7 301
8 183
9 111
10 67