Upload
tengku-nizarul-aslami
View
735
Download
82
Embed Size (px)
Citation preview
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 1
BAB VIII. INTEGRAL TAK WAJAR
- Integral dengan batas tak hingga- Batas atas tak hingga
- Batas bawah tak hingga- Kedua batas tak hingga
- Integral dengan integran tak terbatas
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 2
Integral dengan batas tak hingga
1. Batas atas tak hingga
Misal fungsi terintegralkan riemann pada [a, b] dan bila
maka integral tak wajar dari pada [a, ) didefinisikan
sebagai berikut :
Ldxxfb
ab
)(lim
Ldxxfdxxfb
ab
a
)(lim)(
f
f
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 3
Integral dengan batas tak hingga
2. Batas bawah tak hingga
Misal fungsi terintegralkan riemann pada [a, b] dan
bila
maka integral tak wajar dari fungsi pada (, b]
didefinisikan sebagai berikut :
Ldxxfb
aa
)(lim
Ldxxfdxxfb
aa
b
)(lim)(
f
f
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 4
Integral dengan batas tak hingga
3. Batas atas dan bawah tak hingga
Misal fungsi terintegralkan riemann pada [a, b] dan
c [a, b]. Bila
maka integral tak wajar dari fungsi pada (, )
didefinisikan sebagai berikut :
Ldxxfdxxfb
cb
c
aa
)(lim)(lim
Ldxxfdxxfdxxfb
cb
c
aa
)(lim)(lim)(
f
f
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 5
Contoh 1
Tentukan kekonvergenan
Jawab :
Dengan substitusi :
Diperoleh
Sehingga
e xx
dx3ln
xu ln dxdux1
xuu
du
xx
dx2233 ln
33
ln
3ln
3
ln
3lim
ln
3lim
ln 2223
ebxxx
dx
b
b
eb
e
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 6
Contoh 2
Tentukan nilai a bila
Jawab :
10
22
ax
dx
2
21
11
0
11
022
1
0tanlimtanlim
ajadi
ax
dx
a
ab
ab
b
ax
ab
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 7
Contoh 3
Tentukan kekonvergenan
Jawab :
Dengan substitusi :
Diperoleh
Sehingga
2xu dxxdu 2
0 2dxxex
22
21
21 xux eduedxex
21
21
0
21
0
0lim22
a
x
a
x edxex
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 8
Contoh 4
Tentukan kekonvergenan
Jawab :
b
ba
a x
dx
x
dx
02
0
2 1lim
1lim
21 x
dx
02
0
12
12 111 x
dx
x
dx
x
dx
b
baaxx0
101 tanlimtanlim
22
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 9
Integral dengan integran tak terbatas
1. Tak terbatas pada batas bawah
Misalkan fungsi terintegralkan riemann di (a,b], dan
bila
maka integral tak wajar dari adalah
)(lim xfax
b
sas
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
f
f
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 10
Integral dengan integran tak terbatas
2. Tak terbatas pada batas atas
Misalkan fungsi terintegralkan riemann di [a,b), dan
bila
maka integral dari fungsi adalah .
)(lim xfbx
s
abs
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
f
f
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 11
Integral dengan integran tak terbatas
3. Tak terbatas pada kedua batas
Misalkan fungsi terintegralkan riemann di [a,b], dan
c [a, b]. Bila
maka integral dari fungsi adalah
.
)(lim xfcx
b
scs
s
acs
b
a
dxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)(
f
f
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 12
Kekonvergenan integral tak wajar :
Bila limit dari integral-integral dari beberapa kasus di atas
nilainya menuju ke suatu nilai tertentu, maka integral tak
wajar tersebut dikatakan konvergen ke L dan bila nilai
limitnya menuju ke atau tidak ada, maka integral tak
wajarnya dikatakan divergen.
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 13
Contoh 1
Tentukan kekonvergenan
Jawab :
Dengan substitusi
diperoleh
Sehingga
3
13 1x
dx
3 1 xu 13 xu dxudu 23
3
123
23
13
32)1(
3
1
xu
duu
x
dx
323
23
23
1
3
23
1
3
31
4)1()2(lim)1(lim1
lim 32
32
32
sxx
dx
sssss
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 14
Contoh 2
Tentukan kekonvergenan
Jawab :
s
s
s
sxxdx
x 0202
2ln2lim2
21lim
2
02x
dxx
s
s x
dxx
x
dxx
02
2
02
lim2
2ln222ln202ln2lim2
sss
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 15
Contoh 3
Tentukan kekonvergenan
Jawab :
s
s
xx0
2
sin1lnlim
2
0sin1 x
dx
dxx
x
x
dx
x
dxs
s
s
s
02
02
2
0sin1
cos1lim
sin1lim
sin1
1lnsin1lnlim
2
ss
s
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 16
Contoh 4
Tentukan kekonvergenan
Jawab :
22
2
21 1lim
1lim
xx
dx
xx
dx
bss
22
2
12
12 111 xx
dx
xx
dx
xx
dx
12 1xx
dx
b
bssxx2
121
1seclimseclim
2
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 17
Latihan
Tentukan kekonvergenan integral tak wajar berikut
1. 3.
2. 4.
2
02x
dxx
4
02 32 xx
dx
3
12 1xx
dx
0
dxex x
12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 18
Latihan
5. 7.
6. 8.
dxx
x
4
02
2
tan1
sec
7
23 1x
dx
0
cos1
sindx
x
x
dxx
x
sin21
cos6
0