18
07/06/22 [PU 1333] Kalkulus 1 BAB VIII. INTEGRAL TAK WAJAR - Integral dengan batas tak hingga - Batas atas tak hingga - Batas bawah tak hingga - Kedua batas tak hingga - Integral dengan integran tak terbatas

BAB VIII Integral tak wajar

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 1

BAB VIII. INTEGRAL TAK WAJAR

- Integral dengan batas tak hingga- Batas atas tak hingga

- Batas bawah tak hingga- Kedua batas tak hingga

- Integral dengan integran tak terbatas

Page 2: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 2

Integral dengan batas tak hingga

1. Batas atas tak hingga

Misal fungsi terintegralkan riemann pada [a, b] dan bila

maka integral tak wajar dari pada [a, ) didefinisikan

sebagai berikut :

Ldxxfb

ab

)(lim

Ldxxfdxxfb

ab

a

)(lim)(

f

f

Page 3: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 3

Integral dengan batas tak hingga

2. Batas bawah tak hingga

Misal fungsi terintegralkan riemann pada [a, b] dan

bila

maka integral tak wajar dari fungsi pada (, b]

didefinisikan sebagai berikut :

Ldxxfb

aa

)(lim

Ldxxfdxxfb

aa

b

)(lim)(

f

f

Page 4: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 4

Integral dengan batas tak hingga

3. Batas atas dan bawah tak hingga

Misal fungsi terintegralkan riemann pada [a, b] dan

c [a, b]. Bila

maka integral tak wajar dari fungsi pada (, )

didefinisikan sebagai berikut :

Ldxxfdxxfb

cb

c

aa

)(lim)(lim

Ldxxfdxxfdxxfb

cb

c

aa

)(lim)(lim)(

f

f

Page 5: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 5

Contoh 1

Tentukan kekonvergenan

Jawab :

Dengan substitusi :

Diperoleh

Sehingga

e xx

dx3ln

xu ln dxdux1

xuu

du

xx

dx2233 ln

33

ln

3ln

3

ln

3lim

ln

3lim

ln 2223

ebxxx

dx

b

b

eb

e

Page 6: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 6

Contoh 2

Tentukan nilai a bila

Jawab :

10

22

ax

dx

2

21

11

0

11

022

1

0tanlimtanlim

ajadi

ax

dx

a

ab

ab

b

ax

ab

Page 7: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 7

Contoh 3

Tentukan kekonvergenan

Jawab :

Dengan substitusi :

Diperoleh

Sehingga

2xu dxxdu 2

0 2dxxex

22

21

21 xux eduedxex

21

21

0

21

0

0lim22

a

x

a

x edxex

Page 8: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 8

Contoh 4

Tentukan kekonvergenan

Jawab :

b

ba

a x

dx

x

dx

02

0

2 1lim

1lim

21 x

dx

02

0

12

12 111 x

dx

x

dx

x

dx

b

baaxx0

101 tanlimtanlim

22

Page 9: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 9

Integral dengan integran tak terbatas

1. Tak terbatas pada batas bawah

Misalkan fungsi terintegralkan riemann di (a,b], dan

bila

maka integral tak wajar dari adalah

)(lim xfax

b

sas

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

f

f

Page 10: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 10

Integral dengan integran tak terbatas

2. Tak terbatas pada batas atas

Misalkan fungsi terintegralkan riemann di [a,b), dan

bila

maka integral dari fungsi adalah .

)(lim xfbx

s

abs

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

f

f

Page 11: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 11

Integral dengan integran tak terbatas

3. Tak terbatas pada kedua batas

Misalkan fungsi terintegralkan riemann di [a,b], dan

c [a, b]. Bila

maka integral dari fungsi adalah

.

)(lim xfcx

b

scs

s

acs

b

a

dxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)(

f

f

Page 12: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 12

Kekonvergenan integral tak wajar :

Bila limit dari integral-integral dari beberapa kasus di atas

nilainya menuju ke suatu nilai tertentu, maka integral tak

wajar tersebut dikatakan konvergen ke L dan bila nilai

limitnya menuju ke atau tidak ada, maka integral tak

wajarnya dikatakan divergen.

Page 13: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 13

Contoh 1

Tentukan kekonvergenan

Jawab :

Dengan substitusi

diperoleh

Sehingga

3

13 1x

dx

3 1 xu 13 xu dxudu 23

3

123

23

13

32)1(

3

1

xu

duu

x

dx

323

23

23

1

3

23

1

3

31

4)1()2(lim)1(lim1

lim 32

32

32

sxx

dx

sssss

Page 14: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 14

Contoh 2

Tentukan kekonvergenan

Jawab :

s

s

s

sxxdx

x 0202

2ln2lim2

21lim

2

02x

dxx

s

s x

dxx

x

dxx

02

2

02

lim2

2ln222ln202ln2lim2

sss

Page 15: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 15

Contoh 3

Tentukan kekonvergenan

Jawab :

s

s

xx0

2

sin1lnlim

2

0sin1 x

dx

dxx

x

x

dx

x

dxs

s

s

s

02

02

2

0sin1

cos1lim

sin1lim

sin1

1lnsin1lnlim

2

ss

s

Page 16: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 16

Contoh 4

Tentukan kekonvergenan

Jawab :

22

2

21 1lim

1lim

xx

dx

xx

dx

bss

22

2

12

12 111 xx

dx

xx

dx

xx

dx

12 1xx

dx

b

bssxx2

121

1seclimseclim

2

Page 17: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 17

Latihan

Tentukan kekonvergenan integral tak wajar berikut

1. 3.

2. 4.

2

02x

dxx

4

02 32 xx

dx

3

12 1xx

dx

0

dxex x

Page 18: BAB VIII Integral tak wajar

12/04/23 [PU 1333] Kalkulus 18

Latihan

5. 7.

6. 8.

dxx

x

4

02

2

tan1

sec

7

23 1x

dx

0

cos1

sindx

x

x

dxx

x

sin21

cos6

0