---

BabXIVAnalisaVariance

KAT A KUNCI

analisa variance suatu metode untuk menguji hipotesis bahwa beberapa kelompok yangberbeda semuanya mempunyai rata-rata yang sarna.tabel ANOVA suatu tabel yang merangkum hasil dari perhitungan analisa varianceanalisa variance dua cara prosedur pengujian yang dapat diterapkan pada suatu tabelbilangan untuk menguji dua hipotesis; (1) tidak ada perbedaan yang signifikandiantara baris-baris; dan (2) tidak ada perbedaan yang signifIkan diantara kolom-kolom.

PENGUJIANTERHAOAPKESAMAANOARIBEBERAPARATA-RATA

Misalnya kita mengamati nilai-nilai suatu tes kemarnpuan khusus tiga kelompok berbedayang masing-masing terdiri dari 10 orang.Hasilnya adalah sbb:

kelompok a: 88,92,91,89,89,86,92,86,89,89

kelompok b: 91, 92, 85, 94, 93,87,87,92,91,89

kelompok c: 87,88,95,88,92,87,89,88,87,88

Nilairata-ratauntuktigakelompok tersebutdekatsatusarnalain.Layakuntukmenganggapbahwa pada kenyatannya tidak ada perbedaan kemampuan diantara kelompok-kelompok,dan perbedaan yang terdapat pada nilai rata-rata terjadi semata-mata karena kebetulan.

Misalnya kita meneliti nilai-nilai dari tiga kelompok yang berbeda dan hasilnya sebagaiberikut:

kelompok d: 87,94,91,89,89,84,92,86,89,89

kelompok e: 82,76,84,79,77,84,81,69,79,74

kelompok f: 69,79,67,64,65,69,69,64,72,66

Pada kasus ini narnpak jelas bahwa terdapat perbedaan kemarnpuan yang nyata diantaraketiga kelompok tersebut. Dengan kata lain, kita dapat menolak hipotesis bahwa perbedaanyang diarnati diantara kelompok-kelompok tersebut semata-mata terjadi karena kebetulan.

188

Dari kedua kejadian ini jelas bahwa terdapat perbedaan yang signiftkan diantara nilai-nilai rata-rata dari tiga kelompok dan ada yang tidak. Meskipun demikian, secara umum, sulituntuk mengatakan apakah perbedaan dari nilai-nilai tersebut signiftkan atau random. Kitaperlu mempelajari metode barn, yaitu analisa variance. Misalnya kita mempunyai m = 3kelompok (kelompok a, kelompok b, kelompok c), dan ada n orang pada masing-masingkelompok. Anggap bahwa kita tabu bahwa nilai kemarnpuan untuk masing-masing orangdalarn tiap kelompok merupakan distribusi tersebut sarna untuk ketiga kelompok.

!la'adalah rata-rata yang tidak diketabui dari nilai tes kemarnpuan untuk kelompk a, 1\adalah rata-rata dari kelompok b, dan !lcadalah rata-rata dari kelompok c. Tugas kita adalahmenguji hipotesis nol:

Dengan kata lain, Hipotesis nol menyatakan bahwa nilai rata-rata untuk tiap kelompok sarna.Hipotesis altematif menyatakan bahwa nilai rata-rata adalah tidak sarna.

Pertama-tama, yang harns dilakukan adalah menghitung a, b, c (rata-rata sarnpel uotuktiap sarnpel). Jika a, b, c dekat satu sarna lain, akan menjadi lebih mudah bagi kita untuk

menerima hipotesis bahwa !la' 1\, dan !lcadalah sarna.Kita dapat menghitung rata-rata x untuk semua bilangan:

a+b+c a+b+c-x= =

m 3

Kita dapat menghitung juga variance sampel (versi 2) untuk tiga rata-rata ini (kitamenyebut variance itu S*2):

m-I

Semakin besar S*2,semakin kecil kemungkinan kita untuk menerima hipotesis nol.Kita juga harns melihat variance sarnpel untuk masing-masing sarnpel:

untuk menghitung rata-rata dari tiga variance sarnpel (disebut S2):

sa*2 + Sb*2 + SC*2

S*2 =

3

189

- -

n (a -a)2 n (b. - b)2 (c. - C)2I I I

S *2 =L. S *2 =L SC*2 La 1=1 b i=1n-I n-I n -I

-

Semakin besar ketiga variance ini, semakin besar kemungkinan kita mendapati a, b, cmenyebar, meskipun ketiganya berasal dari distribusi dengan rata-rata yang sama. Sebagaicontoh, misalnya nilai pengarnatan dari a, b, dan c adalah 500, 400, dan 450. Jika sa2= Sb2=sc2= 1, kita tahu pasti bahwa sangat tidak mungkin a, b, dan c mempunyai nilai pengamatanyang berasal dari distribusi dengan rata-rata yang sarna. Sebaliknyajika gSa2= sc2= 10,000,cukup mungkin kita melihat a, b, dan c menyebar, meskipun hipotesis nolnya benar. Sehinggasemakin besar S2,semakin besar kemungkinan kita menerima hipotesis nol.

Kita akan menghitung statistik sbb (disebut F):

Jika nilai F besar, kita akan menolak hipotesis nol. Kita dapat menunjukkan bahwa jikahipotesis nol benar, maka statistik F akan mempunyai suatu distribusi F dengan derajatkebebasan m - 1 dan m(n - 1) (m adalah jumlah kelompok, dan n adalah jumlah anggotamasing-masing kelompok). Distribusi F dijelaskan di bab 8, dan tabel A3-6 menunjukkannilai untuk fungsi distribusi kumulatif.

Pada contoh sebelumnya, kita mempunyai m =3 dan n = 10. Jadi statistik F akanmempunyai derajat kebebaan 3 dan 27. Tabel A3-6 memperlihatkan bahwa statistik Fnyamempunyai kesempatan 95% untuk menjadi kurang dari 3.3. Oleh karena itu jika statistik Fyang diarnati lebih besar dari 3.3, kita akan menolak hipotesis nol, jika tidak, kita akanmenerima hipotesis nol.

Pada contoh pertarna, statistik F adalah 4,133/6,693 = 0,6175..Seperti telah disebutkandi atas, kita harns menerima hipotesisnya. Pada contoh kedua, nilai F adalah 1061/16,996=62,426, jadi kita harns menolak hipotesisnya.

PROSEDURUMUMUNTUKUJI ANAL/SAVARIANCE

(diasumsikan bahwa anda mempunyai m kelompok, yang masing-:masingmempunyain anggota)

1. Hitung rata-rata sarnpel untuk tiap kelompok:

-a=

n

b=n

-c=

n

190

2. Hitung rata-rata dari semua rata-rata:

a+ b + c+ ...-x=m

3. Hitung variance sampel dari rata-rata:

(a -x)2+(b -X)2+(C _X)2S*2 =

m -1

4. Hitung variance sampel untuk tiap kelompok:

-2 -2 -2(a(- a) + (~ - a) +... + (an- a)

n-l

n-l

n-l

5. Hitung rata-rata semua variance sampel:

m

6. Hitung nitai statistik F:

F=

7. Lihat tabel A3-6 untuk mencari nitai kritis untuk distribusi F dengan derajat kebebasanm - 1 dan m (n - 1)

8. Jika nitai yang diamati dari statistikF lebih besar dari nitai kritis, tolak hipotesis DOl.Jikatidak, terima hipotesis DOl.

191

- -

--

YANG HARUS DIINGAT

1. Prosedur analisis variance digunakan UDtukmenguji apakah beberapa kelompok yangdiarnati berasal dari distribusi yang mempunyai rata-rata yang sarna.

2. Dalarn analisa variance statistikF dapat dihitung.3. Jika hipotesis nol benar dan rata-rata semua kelOmpokbenar-benar sarna,maka statistik

F akan mempunyai distribusi F.4. Jika nilai statistik F yang dihtiung lebih besar dari nilai kristis yang ditemukan pada

tabelA3-6, maka hipotesis nol (dimana rata-rata dari masing-masing kelompok sarna)dttolak.

SUM OF SQUARES

Pendekatan analisa varaince dapat dipaharni lebih jauh lagi dengan melihat jumlah darideviasi kuadrat (atau jumlah kuadrat). Misalkan kita mempunyai m kelompok, masing-masing dengan n anggota.Tiap kelompok diperlukan secara berbeda dalam beberap hal, dantujuan kita akan untukmelihat apakah perlakuan tersebut benar-benarmenimbulkan beberapaperbedaan. Sebagai contoh, kita mempunyai kelompok orang yang diberi obat yang belainan.Kita akan menggunakan xij untuk lemabangkan anggota ke i dari kelompi ke j. Catat bahwakita membutuhkan dua subscript untukmengidentifikasi tiap e1emen khusus. Sebagai contoh,jika kita mempunyai m = 3 kelompok dengan n = 5 anggota :

Kita dapat melarnbangkan tiap e1emen seperti ini:

Xli =16

X21 =13

X31 =36

X41 =29

X51 =18

X12 =38

X22 =21

X32 =36

X22 =39

X52 =26

X13 =19

X23 =14

X33 =17

X23 =15

X53 =12

Untuk merumuskan jumlah dari semua item; kita perlu menggunakan dua sigma:n m

T=L L..Xl)1=1j=1

192

kip 1 kip 2 kip 3

16 38 1913 21 1436 36 1729 39 1538 26 12

Rumus ini dapat diuraikan seperti ini:n

T = L (X.l + X.2 + ... + X. )1 I 1mi=1

= XII+ Xl2+... + Xlm+S21+ X22+ ... + X2m

= Xnl + Xn2+ ... + Xnm

Untuk contoh kita tadi:

T =16+19+

13 + 21 + 14 +

36 + 36 + 17 +

29 + 39 + 15 +

18 + 26 + 12

=349

Kita akan menggunakan x (x dengan dua garis) untuk melambangkan rata-rata darisemua elemen kita menyebutkan grand mean (rata-rata besar):

T

x --mn

n m~ ~ x..""i=l ""j=l IJ

=mn

349- = 23.267 untuk contoh kita

15

TOTAL SUM OF SQUARES

Untuk tiap elemen dari daftar dapat dihitung berapa jarak elemen tersebut dari grandmean x :

(jarak dari x.. ke x) =Ix..- x IIJ IJ

Setelah itu, kita akan mengkuadratkan jarak ini:

(jarak dari x..ke x I ) = (x.. - X)2~ ~

193

--

-- ---

dan kemudian semua jarak kuadrat tersebut dijumlahkan:n m

TIS = I I(x..- X)2IJ1=1 j=1

Jumlah terse but kita sebut sebagai total sum of squares atau (TSS). Untuk kasus kitaperhitungannya sbb:

TSS = (16-23,267)2+ (38-23,267)2+ (19-23,267) +

(13-23,267)2+ (21-23,267)2+ (14 -23,267) +

(36-23),267)2+ (36-23,267)2+ (17-23,267) +

(29-23,267)2+ (39-23,267)2+ (15-23, 267) +

(18-23,267)2+ (26-23,267)2+ (12-23,267)

1358,93=

Kita akan melihat beberapa perbedaan sum of squares. Catat bahwa sum of squaresadalah sarna dengan varaince tetapi tidak dibagi dengan n. Variance dihitung dari jumlahkuadrat rata-rata, tetapi kita akan melihat beberapa jenis lain sum of squares.

Untuk menganalisis total sum of squares, kita perlu memecahkan menjadi dua bagian.Kita tahu bahwajika hipotesis nol benar, rata-rata populasi adalah sarnauntuk tiap kelompokdan penyimpangan tiap elemen dari grand mean hanya terjadi karena kebetulan. Sebaliknyajika rata-rata populasi berbeda, ada dua sebab mengapa elemen dapat menyimpan dari grandmean: (1) karena rata-rata kelompoknya berbeda dari rata-rata keseluruhan populasi, dan (2)karena adanya perbedaan kesempatan dalarn kelompoknya. Oleh karena itu, kita akanmembagi total sumof squares menjadi dua bagian: bagian yangterjadi karena penyimpanganelemen-elemen individu dari rata-rata kelompok mereka, dan bagian bagian yang terjadikarena penyimpangan rata-rata kelompok dari grand mean. Kita dapat menuliskan formulaTSS sebagai berikut:

n m

TSS = I I(x.. - X)21Ji=1 j=1

n m

= I I(x.. - XJ') - (X. - x)]2IJ Ji=1 j=1

Kita akan menggunakan x. untuk mengartikan rata-rata sarnpel dari kelompok j. KitaJ

tiak melakukan apa-apa tehadap rumus asal kita tetapi menambah dan mengurangi xj.Sekarang kita memiliki:

n m

TSS = I I[(x.. - x.)2+ (x. - X)2+ 2(x..- x.) (xj - x)]IJ J J 1J Ji=1j=1

194

Akan menjadi mudah bahwa jika penjumlahan ganda digantikan oleh persamaanterakhir, hasilnya selalu nol. Oleh karena itu yang tinggal:

n m

TSS =I, I,[(X.. - X? + <X.- X)2]IJ J J;=1 j=1

Kita dapat membagi persamaan tersebut menjadi dua penjumlahan ganda:

n m n m

TSS =I, I,(X..- X? I, I,<X.- X)21J J J;=1 j=1 ;=1 j=1

Karena bagian yang terakhir tidak berhubungan dengan i, kita dapat menggantipenjumlahan W dengan mengalikannya dengan n:

n m m

TSS =I, I,(X..- X? n I,<x. - X)2IJ J J;=1 j=1 j=1

ERROR SUM OF SQUARES

Kita sekarang telah memecahkan total sum of squares menjadi dua komponen. Bagianpertama mewakili deviasi masing-masing elemen terhadap rata-rata kelompoknya. Kitamenganggap perbedaan ini timbul karena faktor acak yang tidak diketahui (disebut statisticalerror), dan kita akan menyebut hal ini sebagai error sum of squares atau ERSS.

n m

TSS=I, I,(x..-x?IJ J;=1 j=1

TREATMENT SUM OF SQUARES

Bagian kedua dari total sum of squares mewakili deviasi rata-rata tiap kelompok. Kitamenganggap deviasi ini timbul karena kepada tiap-tiap kelompok diberikan treatment yangberbeda, kita menyebut hal ini treatment sum of squares atau TRSS.

m

T9S =n I,<x. - X)2Jj=1

Nampak bahwa TSS =ERSS + TRSS. Semakin besar treatment sum of squares yangterjadi; semakin kecil kemungkinan kita menerima hipotesis nol bahwa treatment tersebuttidak berpengaruh.

VARIANCE RATA-RATA KUADRAT

Tiap statistik sum of squares mempunyai hubungan dengan suatu angka yang disebutderajat kebebasan. Derajat kebebasan dari TRSS adalah m - I. Derajat kebebasan dari ERSSadalah m(n - 1) (kita tambahkan m dengan sum of squares yang berbeda untuki tiap sampel.

195

--

Tiap sum of squares mempunyai derajat kebebasan n - 1). Jika sum of squares dibagi denganderajat kebebasannya hasilnya disebut rata-rata variance kuadrat (mean square variance).

TRSS

(treatment mean square variance) =m - 1

ERSS(error mean square variance) =

m(n - 1)

Jika kita membagi treatment mean square variance dengan error-eman square variancemaka hasilnya sama persis dengan statistik F yang kita gunakan sebelumnya:

TRSS

m -1F=

ERSS

m (n - 1)

Untuk contoh kita, kita punya:TRSS =694,533

ERSS =664,400

m-l= 2

m(n- 1)= 12

694,533

2F=

664,400

12

Jika hipotesis nol benar dan treatment tidak berpengaruh, maka statistik F akan punyadistribusi F dengan derajat keOObasan2 dan 12.Nilai kritis untuk uji 5% adalah 3,9 sehinggadalam kasus ini kita menolak Hipotesis nol.

TABEL ANOVA

Informasi tentang pengujian tersebut dapat dirangkum dalam suatu taOOlyang dikenaldengan nama tabel ANOV A (anova merupakan kependekan dari analisa variance). TabelANOV A untui contoh kita adalah sbb:

196

Tabel tersebut memuat informasi tentang sum of squares, derajat kebebasannya, dan statistikF. Catat bahwa Total sum of squares mempunyai derajat kebebasan mn - 1 = 14, yangmerupakan derajat kebebasan dari TRSS dan ERSS.

Rumus umum untuk tabel ANOV A adalah sbb:

DUA PERTIMBANGAN DALAM PENGGUNAAN UJI ANALISIS VARIANS

Ada dua hal yang hams diingat jika menggunakan uji analisa variance:

Pertama, ingat bahwa model analisa variance mengasumsikan bahwa variance adalahsama untuk tiap kelompok. Jika anda mengobservasi variance sample untuk kelompok yangberbeda perbedaannya menyolok, maka pendekatan analisa variance menjadi tidak tepatuntuk digunakan.

Kedua, jika anda memutuskan untuk menolak hipotesis nol, jmaka anda hams yakinbahwa rata-rata dari kelompok tidak sama semuanya. meski-un demikian, anda tidak tabu

197

sumber sum of derajat mean square rasiovariasi squares kebebasan variance F

diantara 694,533 2 347,267 6,272rata-rata(treatment)

di dalam 664,400 12 55,367

sampel(error) -

total 1.368,933 14

sumber sumo f derajat mean square rasiovariasi squares kebebasan variance F

diantara TRSS TRSS/(m-l)mrata-rata TRSS =n L(x.-x)2 m-l -

J(treatment) j=1 1 ERSS/[m(n-l)

di dalam n m

sampel ERSS = L Lm m (n -1) ERSSI j=1 -

(error) (x..- X.)2 m (n-l)IJ J -total TSS=TRSS+ERRS mn-l

apakah semua rata-rata tersebut tidak sarna, atau mereka semua sarna tetapi hanya ada saturata-rata yang berbeda, atau barangkali ada pola lain tertentu untuk rata-rata tersebut. Andaperlu untuk melakukan penelitian lebih lanjut untuk menentukan dengan tepat mengapaperbedaan tersebut terjadi.

ANALISA VARIANCE DENGAN UKURAN SAMPLE YANG TIDAK SAMA

Mungkin terjadi jumlah sample yang kita miliki tidak semua sarna ukurannya. Untukkasus. seperti ini rumus analisa variansnya menjadi lebih rumit, tetapi kita masih dapatmenggunakan analisa sum of squares kita untuk memperluas penerapanmetrodetersebut.Misalnya kita mempunyai m sarnpel yang berbeda dengan nl elemen pada sampel1, n2elemen pada sampel 2, dan seterusnya sarnpai nm elemen pada sarnpel m. Kita akanmenuliskan Xijuntuk menggarnbarkan elemen kei dari sampel ke j. Jumlah elemen padasemua sarnpel akan dinarnakan N:

N =nl + n2 + ...m+nm= I njj=1

Kita dapat menghitung rata-rata untuk tiap kelompok:

~ x..l. IJ1=1

x=-j

n.J

dan grand mean-nya

m~I l.x..IJ

j=II=1

X.=J

n.J

Perhatikan bahwa penjumlahan gandanya lebih rumit sekarang. Kita dapat menghitungtotal sum of squares-nya:

o oj

TSS =I I(x.. - 'X')2lJj=1 i=1

dan kembali dapat memecah total sum of squares:

o oj m

TSS = I I(x.. - X .)2+ L n. (X.. - 'X')2IJ J J 1Jj=1 i=1 j=1

bagian yang pertarna adalah error sum of squares:

198

m oj

TSS = L L(X..- xYIJ Jj=1 i=1

yang mempunyai derajat kebebasan n - m. Bagian yang kedua adalah treatment sum ofsquares:

m

TRSS = L (x.. - X)2IJj=1

yang mempunyai derajat kebebasan m - 1. Dan sekarang kita dapat menghitung statistik Fnya:

TRSS

m-lF=

ERSS

(N - m)

yang mempunyai derajat kebebasan m - 1pada pembilang dan N - m pada penyebut.

YANG HARUS DIINGAT

1. Total sum of squares atau TSS) untuk suatu kelompok bilangan terdiri dari deviasi sumof squares semua elemen dari grand mean-nya.

2. Untuk analisa variance, total sum of squares dibagi menjadi dua: treatment sum ofsquares (TRSS) dan error sum of squares (ERSS)

3. TRSS menunjukkan efek dari perbedaan diantara kelompok-kelompok.4. Hipotesis nol tentang tidak adanya perbedaan diantara kelompok-kelompok besar

kemungkinan ditolak jika TRSSnya relatif lebih besar daripada ERSS5. Hasil analisa variance dirangkum dalarn suatu tabel ANOVA (lihat hal. 281)

ANAL/SAVARIANCEDUA CARA

Misalnya jika ingin menguji efektivitas dari tiga jenis alat pengontrol polusi udarapabrik. Untuk melakukan uji tersebut kita harns memasang salah satu alat tersebut padacerobong asap pabrik untukperiode uji selarna 1minggu. Enarnpabrikyang berbeda tersediauntuk pengujian. Pabrik-pabrik tersebut sangat mirip, tetapi kita tidak yakin bahwa pabrik-pabrik tersebut benar-benar sarna. Oleh karena itu bukan merupakan pemikiran yang bagusuntuk merencanakan pengujian sbb:

Pasang alat a pada pabrik 1 dan 2 selama periode uji

Pasang alat b pada pabrik 3 dan 4 selarna periode uji

Pasang alat c pada pabrik 5 dan 6 selarna periode uji

199

Anggap bahwa pabrik 1dan 2 menghasilkan lebih sedikit polusi daripada pabrik-pabrikyang lain. Pada kasus tersebut prosedur pengujian akan cenderung menjadikan alat a terlihatlebih baik daripada alat lainnya walaupun alat-alat tersebut semuanya sarna. Untuk lengkapnyakita harns memasang tiap alat selarna periode uji pada tiap pabrik. Tabel perhitungan polusikita akan menjadi seperti ini:

Kita dapat memulai dengan menganggap keenarn pabrik tersebut identik dan outputpolusi yang dihasilkan alat-alat tersebut mengikuti distribusi normal sbb:

alat a rata-rata !la' variance a.2

alat b rata-rata 1-\"variance a2

alat c rata-rata !lc' variance a2

Sekarang kita dapat melakukan prosedur standar analisa variance untuk mengujihipotesis nol bahwa tidak ada perbedaan diantara alat-alat tersebut:

Tabel ANOV A-nya adalah sbb:

200

Pabrik Alat a Alat b Alat c

1 50,8 53,0 49,72 49,5 49,2 49,13 51,5 51,7 49,64 48,3 49,8 49,35 48,8 48,1 47.16 48,4 52,2 47,9

sumber sum of derajat mean square rasiovariance squares kebebasan variance F

diantara 10,763 2 5,382 2,472rata-rata(treatment)

di dalarn 32,657 15 2,177'.sarnpel(error) -

total 43,420 17

Nilai kritis 5 persen untuk distribusi F dengan derajat kebebasan 2 dan 15 adalah 2.68.Karena nilai yang diamati kurang dari nilai kritis, kita menerima hipotesis no1bahwa tidakada perbedaan diantara a1at-alattersebut.

Meskipun demikian,kita masih mempunyaikeraguan yangmenganggu. Bagaimanajikapabrik-pabrik tersebut tidak identik? Bagaimanajika variasi data po1usiyang diamati terjadikarena adanya perbedaan pada pabrik-pabrik? Pada tabel ANOVAkita telah diasumsikanbahwa semua variasiyang tidak berasal dari perbedaan alat kontrol timbul karena kesalahanstatistikal (statistical error) - yang random dan tidak kita ketahui sebabnya. Akan sangatmembantu jika kita dapat menentukan berapa banyak variasi yang terjadi karena adanyaperbedaan-perbedaan di pabrik. Pola pikir ini mengarahkan kita ke metode barn: analisavariance dua cara (two-way analysis of variance). Metode barn ini memberikan tambahankeuntungan: kita dapat menguji hipotesis bahwa pabrik-pabrik tersebut identik.

Secara umum, anggap kita mempunyai m tingkat yang berbeda dari treatment jenispertama dan n tingkat yang berbeda dari jenis treatment kedua. Pada kasus kita, treatmentjenis pertama menggambarkan perbedaan pada alat kontrol polusi udara (jadi m =3) danjenistreatment yang kedua menggambarkan perbedaan pabrik (jadi n = 6). Kita mempunyaiseluruhnya mn tingkat kombinasi treatment yang mungkin, dan kita beranggapan punya satuobservasi 6 =18observasi (pada beberapa kasus anda akanmempunyai/membutuhkan lebihdari satu observasi per kemungkinan treatment, dan pada kasus lain mungkin tidak punyaobservasi untuk semua kemungkinan. Beberapa buku lanjutan dapat menerangkan apa yangharns dilakukan untuk kasus-kasus tersebut). Kita akan mengatur data dalam suatu aturanyang terdiri darim kolom dan n baris, digunkan xij untuk menunjukkan elemen dari baris kei dan kolom ke j:

tingkat m treatment pertama

1 2 m

1tingkatntreatmentkedu

2

n Xom

Secara teori kita mengasumsikan bahwa tiap observasi berisi jumlah dari empat efekyang berbeda:

201

----- --- -- --

---

dimana J.L melembangkan keseluruhan rata-rata, dan IJrimelambangkan efek khusus yangterjadi pada kolom i pada semua observasi di kolom tersebut. Kita memberi r pada larnb~gJ.Uitersebut untuk mengingatkan kita bahwa lambang tersebut mewakili kolom i (r =row =kolom). Jika tingkat yang berbeda dari trearntnet kedua tidak mempunyai efek, maka semuaefek (J.Uisarnpai J..U111)pada kolom ini menjadi nol. Misalkan pada contoh kita pabrik 1menghasilkan polusi sedikit lebih besar daripada rata-rata dan pabrik 2 menghasilkan polusisedikit lebih kecil daripada rata-rata. J.U"1akan merupakan bilangan positifp dan J.U"2bilangannegatif.

/lCjmelarnbangkan efek khusus pada kolom j. Jika ketiga alat pengontrol polusi tersebutsarna, maka /lC1= /lC2= /lC3= O.Sebaliknya jika alat 1mempunyai tingkat polusi yang lebihtinggi dari rata-rata, maka /lC1 akan positif.

Ada faktor misterius (selain alat dan pabrik yang mempengaruhi tingkat polusi. Kitalamban gkan random error e.. untuk memasukkan faktor-faktor lain tersebut ke dalarn

I)

hitungan.

Kita dapat menghitung grand mean dari semua observasi;n m

L, L,x..I)

i=l j=l

x=

mn

dan menghitung total sum of squares:n m

TSS = L, L, (x.. - X)2I)i=l j=l

BARIS, KOLOM DAN ERROR SUM OF SQUARES

Sekarang kita membagi I:SS dalarn tiga bagian: bagian eek kolom (coloum), bagian efekbaris (row), dan sisa bagian yang merupakan efek dari error. Kita menggunakan ROWSSuntuk melambangkan row sum of squres, COLLSS untuk melambangkan column sum ofsqures, dan ERSS untuk melarnbangkan error sum of squares.

Sehingga:

TSS =ROWSS + COLSS + ERSS

Rumus untuk column sum of squares pada dasarnya sarna dengan rumus untuk treatmentsum of squares dengan analisis variance satu cara:

m

COLSS =n L,(x . - X)2ni=l

Pada rumus ini Xijmelarnbangkan rata-rata dri semua elemen di kolom j. Rumus untukRow~s tarnpak mirip:

202

_._-

n

ROWSS =m L (x . - X)2ni=1

dimana Xriadalah rata-rata dari semua elemen di baris i. Jika pabrik-pabrik tersebut sangatidentik, maka tidak ada alasan bagi rata-rata baris untuk berbeda secara signifIkan terhadap

x, sehingga ROWSS akan kedl, COLSS memiliki derajat kebebasan m - I dan ROWSS

mempunyai derajat kebebasan n - 1.

Untuk mendapatkan error sum of squares, kita perlu mengurangi tiga bagian dari xif Kitaakan menggunkan x untuk menaksir rata-rata populasi, Xij- x untuk menaksir efek khususpada kolom j, dan xriuntuk menaksir efek pada baris i. Sehingga:

n m

ERSS = L L [(x..- x - ex . - x) - ex . - x)FIJ CJ ni=l j=1

ERSS mempunyai derajat kebebasan (m - 1) (n - 1)Sekarang kita dapat menghitung contoh kita. Kita perlu menghitung rata-rata tiap baris

dan kolom:

Grand mean x =49,667. Kini kita dapat menghitung:TSS = (50,8 - 49,667)2+ (53,0 - 49,667)2+ (49,7 - 49,677)2

+ (49,5 - 49,667)2 + (49,2 - 49,667)2 + (49,1 - 49,667)2+ (51,5 - 49,667)2 + (51,7 - 49,667f + (49,6 - 49,667)2+ (48,3 - 49,667)2 + (49,8 - 49,667)2 + (49,3 - 49,667)2+ (48,8 - 49,667)2 + (48,1 - 49,667)2 + (47,1 - 49,667)2+ (48,4 - 49,667)2 + (52,2 - 49,667)2 + (47,9 - 49,667)2

= 43,4

COLSS = 6 x [(49,55 -49,667)2 + (50,667 - 49,667)2 + (48,783 -49,667)2]= 10,8

203

Pabrik Alat a Alat b Alat c rata-rata

1 50,8 53,0 49,7 51,1672 49,5 49,2 49,1 49,2673 51,5 51,7 49,6 49,2674 48,3 49,8 49,3 49,1335 48,8 48,1 47,1 48,0006 '" 48,4 52,2 47,9 49,500

rata-rata 49,55 50,677 48,783 49,667

---

ROWSS =3 x [(51,167 -49,667)2 + (49,267 - 49,667)2 + (50,933 - 49,667)2 + (49,133 -49,667)2 + (48 - 49,667)2 + (49,5 - 49,677)2]

= 21,3

ERSS = 43,4 - 10,8 - 21,3 = 11,3

TABEL ANOVA DUA FAKTOR

Sekarang kita dapat menyusun tabel ANOVA dua faktor. Tabel ANOVA dua faktorsangat mirip dengan tabel dengan satu faktor. Perbedaannya hanya terdapat pada sumbarvariasi. Kita akan memasukkan sum of sq~ares untuk baris bersarna-sarna dengan derajatkebebasan dan variance rata-rata kuadrat (mean square variance).

Tabel ANOV A Faktor

Catat bahwa total sum of squares dan sum of squares yang dihasilkan dari alat kontrolyang berbeda adalah sarna, seperti pada tabel ANOVA yang telah disajikan di depan.Perbedaannya adalah err.or sum of squares lebih kedl karena sebagian besar dari sum ofsquares yang lalu dulu dianggap error sekarang dianggap karena pengaruh pabrik yangberbeda. Kita sekarangpunya dua nilai statistikF. StatistikF yangpertarnamenguji Hipotesisbahwa tidak ada perbedaan diantara kolom-kolom. Hal tersebut sarna dengan:

(statistik F untuk kolom)

(kolom sum of squares )/(kolom SS drajat kebebasan)=

(error sum of squares)/(error SS derajat kebebasan)

204

sumber sum of derajat mean square rasio

variasi squares kebebasan variance F

treatmentefek1: 10,763 2 5,382 4,472kolom(alat kontrol)treatmentefek2: 21,313 5 4,263 3,758baris(pabrik)Error 11,353 10 1,134

-

total 43,420 17

COLSS

m -1=

ERSS

(m - 1)(n - 1)

Statistik F yang kedua menguji hipotesis bahwa tidak ada perbedaan diantara baris-baris:(statistik F untuk baris)

(baris sum of squares)/(baris SS drajat kebebasan)=

(error sum of squares)/(error SS derajat kebebasan)

COLSSm - 1

=ERSS

(m - 1) (n - 1)

Ingat bahwa tabel ANOVA satu faktorkita menunjukkanbahwa tidak adaperbedaan diantaraketiga alat tersebut. Sekarang tabel dua faktor akan memberikan kita cerita yang lebih jelas.Statistik F untuk kolom mempunyai derajat kebebasan 2 dan to, dan nilai kritis 5% untuktabel F adalah 4.1. Nilai yang terhitung lebih besar daripada nilai kritis sehingga kita dapatmenolak hipotesis besardaripada nilaikritis sehinggakitadapat menolak hipotesisnol bahwasemua kolom sarna. Demikian juga, statistik F untuk baris mempunyai derajat kebebasah 5dan to sehingga mempunyai nilai kritis 3.3. Oleh sebab itu kita dapat menolak hipotesis nolkedua, dan kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat perbedaan diantara pabrik-pabrik.

Masalah uji satu faktor timbul karena pabrik-pabrik itu sendiri ditarnbah denganbanyaknya variabilitas. Sementara itu kita melihat bahwa semua variabilitas tersebut adalahacak. Ada begitu banyak variabilitas yang acak yang mengaburkan fakta bahwa alat-alattersebut benar-benar berbeda.Dengan menggunakan tabel dua faktor kita dapat memisahkanpengaruh pabrik yang berbeda dari pengaruh alat yang berbeda.

Kita dapat menemukan rumus altematif untuk sum of squares yang lebih mudah untukdigunakan menghitung.

ANAL/SA VARIANCE DUA CARA:

1. Jadikan N =mn untuk nilai x, Txuntuk jumlah dari semua nilai dari x, Tx2 untuk jumlahdari kuadrat semua nilai x, Triuntukjumlah semua baris i, dan Tc;untukjumlah kolomj.

n m n mT = L LX.., TX2= L L X..2x IJ IJ

;=1j=1 ;=1 j=1

205

--

m

Tri= I,xjj,j;1

2. Kemudian hitung

n

T 2 =I, T 2 (sum ofSquares baris total)r nt=1

m

T 2 =I,T 2 (sum of squares kolom total)CJ CJ

j;1

3. Sekarang gunakan rumus ini:

Contoh untuk rangkuman rumus tersebut adalah sebagai berikut. Matriks data kitaadalah sbb;

Kita dapat melihat dengan jelas dari tabel tersebut bahwa terdapat lebih banyakvariabilitas dalam baris-baris dibandingkan dengan dalamkolom-kolom, sehinggakita dapatlebih jauh menduga bagaimana hasil ANOVA-nya. Kita perlu menghitung jumlahnya:

206

TSS =T2-(TY

x -N

COLSST2 (TYC

= -

n N

ROWSST2 (T)2r

= -

m N

ERSST2 T2

=T2r (T)2

x- -+

n m N

Treatment pertama (3 tingkatan)

1 2 3

I 18 14 16treatment 2 56 59 53

kedua 3 46 48 50

(5 4 100 90 95

tingkatkan) 5 28 31 25

Sehingga x= 729Sekarang kita dapat menghitung:

T 2 =2482 + 2422 + 2392 = 177.189c

T 2 =482 + 1442+ 2852 + 842 = 139.545r

Kita juga perlu menghitung Tx2:

T 2 = 182+ 142+ 162+ 562 + 592 + 532x

+ 462+ 482+ 502+ 1002+ 902+ 952

+ 282 + 312 + 252.

=46.617

Sekarang kita dapat menggunakan rumus-rumus tersebut:

207

- ---

1 2 3 jumlah

1 18 14 16 48

2 56 59 53 168

3 46 48 50 144

4 100 90 95 285

5 28 31 25 84

jumlah 248 242 239 729

7292TSS = 46.617 - - =11.187,6

152

177.189 7292COLSS = - - = 8,4

5 152

139.545 7292ROWSS = - - =11.085

3 152

177.189 139.545 7292ERSS = 46.617- - + - =93,6

5 3 152

Tabel ANOVA-nya adalah sbb:

Kita dapat melihat dengan jelas bahwa variasi diantara baris-baris adalah berarti sedangkanperbedaan diantara kolom-kolom tidak.

YANG HARUS DIINGA T

Prosedur analisa variance dua cara digunakan untuk menguji dua hipotesis mengenaisusunan bilangan di bawah ini:

Hipotesis Noll : tidak ada perbedaan berarti diantara kolom-kolom dalam susunan.Hipotesis No12: tidak ada perbedaan berarti diantara baris-baris dalam susunan.

208

sumber sum of derajat mean square rasiovarisi squares kebebasan variance F

kolom 8,4 2 4,2 0,359Baris 1.085,6 4 2.771,4 236,872Error 93,6 8 11,7

-

total 11,187 14