Embed Size (px)
DESCRIPTION
Maths deret
Citation preview
II. DERET TAKBERHINGGA
II.A. PENDAHULUANPerhatikan suatu ruas jarak yang panjangnya 1 km. Ruas jarak ini dapat dibagi
menjadi km,
km, 1
8
km, 1
16
km dan seterusnya (lihat Gambar II.1). Dalam bahasa
matematika jarak 1 km tersebut dapat dinyatakan dalam jumlah berikut,
1
2
1
4
1
8
1
16 . . .
18
12
14
116
1
Gambar II.1
Suku-suku dalam penjumlahan di atas banyaknya takberhingga, karena itu kita perlu mendefinisikan dahulu jumlah takberhingga tersebut.
Perhatikanlah jumlah parsial berikut,
S1
1
2
S2
1
2
1
4
3
4
S3
1
2
1
4
1
8
7
8
. . .
Jumlah parsial ke-n ini (Sn) dapat ditentukan rumus eksplisitnya dengan cara sebagai
berikut, kalikan Sn dengan setengah ( 12
Sn ), kemudian Sn dikurang dengan 12
Sn ini.
Hasilnya adalah,
Jumlah parsial ke-n :
Sn = (i)
Kalikan (i) dengan 1
2 :
1
2Sn =
(ii)
DND
10
Kurangkan (i) dengan (ii) :
Sn 1
2Sn =
1
2
(iii)
Persamaan (iii) dapat dituliskan kembali menjadi,
atau
Jumlah-jumlah parsial ini jelas akan semakin mendekati 1. Tepatnya,
S = limn
nS = lim
nn
1
1
2 = 1
Limit ini didefinisikan sebagai jumlah takberhingga tersebut.
Perhatikan hal yang lebih umum,
a a a a1 2 3 4 . . .
Penjumlahan ini dapat dituliskan dalam bentuk,
akk
1
atau akBentuk ini dinamakan deret takberhingga (atau deret saja). Jumlah parsial ke-n dari deret ini yaitu Sn adalah,
S a a a a an n kk
n
1 2 3
1
. . . +
Untuk lebih jelas, di bawah ini diberikan definisi formalnya.
Definisi : Deret takberhingga akk
1
= a a a a1 2 3 4 . . . dikatakan konvergen dan
mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah-jumlah parsial {Sn} konvergen menuju
S ( limn
nS = S). Apabila lim
nnS
tidak ada, maka deret dikatakan divergen (deret yang
divergen tidak memiliki jumlah).
Contoh II.1
Periksa apakah deret 2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 3 4
1
. . . =n
n
konvergen atau divergen. Jika
konvergen tentukanlah jumlahnya
Jawab :
Jumlah parsial ke-n : Sn = 2
3+ . . . +
2
3
2
3
2
3
2
3
2 3 4 n
Kalikan Sn dengan 2
3 :
2
3Sn = + . . . +
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 3 4 1
n n
DND
11
Kurangkan : Sn 2
3Sn =
2
3
Dari persamaan terakhir diperoleh,
atau
Dari Contoh 1.5 diperlihatkan bahwa untuk 1 r 1, limn
nr
0. Dalam contoh di atas,
r = 2
3, oleh karena itu = 0. Jadi lim
nnS
= 2 1 0 2
Oleh karena ada, maka deret di atas konvergen dan jumlahnya adalah 2.
Akan dibicarakan nanti bahwa deret semacam ini dinamakan deret geometrik.
II.B. DERET-DERET KHUSUSa. Deret Geometrik
Suatu deret takberhingga yang berbentuk,
ar a ar ar ark
k
1
1
2 3 . . .
dengan a 0 dinamakan deret geometrik atau kadangkala dinamakan juga deret ukur. Akan kita buktikan dalam Contoh II.2 di bawah ini bahwa deret geometrik konvergen
dengan jumlah Sa
r
( )1 jika r 1 dan divergen jika r 1.
Contoh II.2
Buktikan bahwa deret geometrik konvergen dengan jumlah Sa
r
( )1 jika r 1 dan
divergen jika r 1.
Bukti Misalkan Sn = a ar ar ar arn 2 3 1 . . . (i)
Kalikan (i) dengan r rSn = ar ar ar ar arn n 2 3 1 . . . (ii)
Kurangkan (i) dengan (ii) (1 r)Sn = a arn
atau Sa ar
r
a
r
a
rrn
nn
1 1 1
Jika r 1 maka S = limn
nS = lim
n
na
r
a
rr
1 1
= lim limn n
na
r
a
rr
1 1 =
a
r
a
rr
n
n
1 1
lim
DND
12
Dari Contoh 1.5 diketahui bahwa jika r 1, limn
nr
0, oleh karena itu diperoleh,
Sa
r
1
Akibatnya deret geometrik konvergen.
Jika r 1, jumlah deret yaitu S limn
nS tidak ada karena dari Contoh 1.5 diperoleh
bahwa limn
nr
, jadi deret geometrik divergen.
Contoh II.3Tentukanlah jumlah deret geometrik berikut,
a) 4
3
4
9
4
27
4
81 . . . b) 0,333333 . . .
Jawab :
Dari Contoh II.1 diperoleh bahwa jumlah deret geometrik adalah Sa
r
1
a) 4
3
4
9
4
27
4
81
4
3
1
3
1
1
. . . k
k
Untuk deret ini a 4
3 dan ar
4
9. Dari harga ar ini selanjutnya dapat ditentukan r yaitu
r
4
9
4
3
4
9
3
4
1
3. Karena 1 r 1, maka deret konvergen dan jumlahnya adalah,
S
43
13
43231
2
b) 0,333333.... = 33
100
33
10 000
33
1000 000
33
100
1
1001
1
. . .
. . . k
k
Untuk deret ini a 33
100 dan ar
33
10 000.. Dari harga ar selanjutnya dapat ditentukan r
yaitu, r
33
10 000
33
100.
33
10 000
100
33
1
100.. Karena 1 r 1, maka deret
konvergen dan jumlahnya adalah,
S
33100
1100
33100991001
33
100
100
99
33
99
1
3
Contoh II.4Dua orang anak membagi sebuah apel seperti berikut. Pertama apel tersebut dibagi menjadi tiga bagian, dan tiap anak memperoleh sepertiga bagian. Sepetiga bagian yang tersisa kemudian dibagi tiga lagi dan setiap anak mendapat sepertiga bagian dan seterusnya. Berapa bagian apelkah yang diperoleh setiap anak ?
Jawab :
DND
13
Buah apel pertama dibagi tiga, jadi setiap orang mendapat satu pertiga bagian. Sepertiga
bagian sisanya kemudian dibagi tiga lagi dan setiap orang mendapat tambahan 13
3
1
9
bagian. Sepersembilan bagian sisanya kemudian dibagi tiga lagi dan stiap orang mendapat
tambahan 19
3
1
27 bagian dan seterusnya. Jadi setiap orang akan menerima apel sebanyak,
1
3
1
9
1
27 . . . bagian
Penjumlahan ini merupakan deret geometrik dengan a = 1
3 dan r =
1
3. Jadi jumlah deret
tersebut adalah,
Sa
r
1 1
1
2
13
13
1323
Jadi setiap orang akan mendapat setengah bagian apel.
Kita tinjau kembali deret geometrik berikut, a ar ar ar n 2 1 . . . . . . Suku ke-n dari deret ini adalah an = arn1. Dari Contoh II.1 dapat kita lihat bahwa suatu deret
geometrik akan konvergen jika dan hanya jika limn
na = 0. Yang menjadi pertanyaan
sekarang adalah, apakah sifat ini berlaku bagi semua deret ? Jawabannya tidak, walaupun sebagian sifat tersebut benar. Hal ini diperlihatkan dalam teorema berikut.
Teorema II.1 (Uji Kedivergenan dengan Suku ke-n)
Jika akk
1
konvergen, maka limn
na .= 0 Setara dengan pernyataan ini adalah, jika
limn
na 0 (atau lim
nna
tidak ada), maka deret divergen.
Bukti :
Karena a a a akk
1
1 2 3 . . . maka jumlah parisal ke-n adalah,
S a a a a a an kk
n
n n
. . . 1
1 2 3 1 (i)
dan jumlah parsial ke-(n1) adalah,
S a a a a an kk
n
n
11
1
1 2 3 1 . . . (ii)
Apabila kita kurang (i) dengan (ii) maka diperoleh,
an = Sn Sn1
Jika deret-deret tersebut konvergen ke S (S = limn
nS ,) maka
lim lim ( ) lim limn
nn
n nn
nn
na S S S S S S
1 1 0
DND
14
Contoh II.5Tentukanlah apakah deret-deret berikut konvergen atau divergen.
a) k
kk
2
31
3
5
b) k
k kk
3
3 21 3 2
Jawab :
a) k
kk
2
31
3
5
. Suku ke-n deret ini adalah an = n
n
2
3
3
5
. Jadi
limn
na = lim
n
n
n
2
3
3
5 = lim
n
n n
1 33
5 =
0
5 = 0
Karena limn
na = 0 maka pengujian tidak memberikan kepastian. Jadi menurut Teorema
II.1, deret tidak diketahui dengan pasti apakah konvergen atau divergen.
b) k
k kk
3
3 21 3 2
. Suku ke-n deret ini adalah an = n
n n
3
3 23 2. Jadi
limn
na = lim
n
n
n n
3
3 23 2 = lim
n n 1
3 2 = 1
3 0 =
1
3
Karena limn
na 0 maka menurut Teorema II.1, deret divergen.
b. Deret HarmonikSebuah deret takberhingga yang berbentuk,
11
1
2
1
3
1
1 k nk
. . . . . .
dinamakan deret harmonik. Deret harmonik ini dapat membuktikan bahwa Teorema II.1
tidak dapat dibalik menjadi: Jika limn
na , = 0, ak
k
1
konvergen. Karena meskipun limit
suku ke-n deret ini yaitu lim limn
nn
an
1
0 namun deret harmonik tidak konvergen,
melainkan divergen, buktinya dapat dilihat dalam Contoh II.6.
Contoh II.6
Buktikan bahwa deret harmonik 1
11
2
1
3
1
1 k nk
. . . . . . divergen.
Bukti:Akan kita buktikan bahwa Sn melampaui setiap batas apabila n membesar tanpa batas.
Sn = 1
1
2
1
3
1
4
1
5
1 . . .
n
= 11
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
16
1
. . . . . .
n
DND
15
11
2
2
4
4
8
8
16
1 . . .
n
= 11
2
1
2
1
2
1
2
1 . . .
nDengan membuat n cukup besar, maka dalam persamaan terakhir, kita dapat mengambil 1
2
sebanyak yang kita kehendaki. Jadi {Sn} divergen, sehingga deret Harmonik adalah divergen.
c. Deret Kolaps (Deret Teleskopis)Sampai saat ini kita telah mengetahui bahwa deret geometrik adalah salah satu deret
yang dapat ditentukan jumlah parsial ke-n-nya (Sn). Deret lainnya yang juga dapat ditentukan jumlah parsial ke-n-nya adalah deret kolaps atau disebut juga deret teleskopis. Deret kolaps mempunyai bentuk sebagai berikut,
( )a ak kk
11
= ( ) ( ) ( )a a a a a a1 2 2 3 3 4 . . .
Jumlah parsial ke-n dari deret ini adalah,
Sn = ( )a ak kk
n
1
1
= ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a an n1 2 2 3 3 4 1 . . .
= a1 an + 1
Contoh II.7.Buktikan bahwa deret kolaps berikut konvergen, dan tentukan jumlahnya.
1
2 31 ( )( )k kk
Jawab :Gunakan penguraian fraksial untuk menuliskan ak seperti berikut,
ak = 1
2 3( )( )k k = ( ) ( )
( )( )
k k
k k
3 2
2 3 =
( )
( )( )
( )
( )( )
k
k k
k
k k
3
2 3
2
2 3=
Jadi,
Sn = 1
2 31 ( )( )k kk
n
=
1
2
1
31 ( ) ( )k kk
n
= 1
3
1
4
1
4
1
5
1
5
1
6
1
2
1
3
. . .
n n
= 1
3
1
3
nJumlah deret adalah,
S = limn
nS = lim
n n
1
3
1
3 = lim lim
n n n
1
3
1
3 =
1
30 =
1
3
Jadi deret konvergen dengan jumlah 1
3Contoh II.8
DND
16
Periksa apakah deret 1
1 . 3 . 5 . 7
1
7 . 9 . . .
1
3
1
5
1
2 1 2 11 ( )( )k kk
konvergen
atau divergen. Jika konvergen tentukanlah jumlahnya.
Jawab :
ak = 1
2 1 2 1( )( )k k = 1
2
2 1 2 1
2 1 2 1
( ) ( )
( )( )
k k
k k
=
1
2
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1 2 1
( )
( )( )
( )
( )( )
k
k k
k
k k
= 1
2
1
2 1
1
2 1k k
Sn = akk
1
= 1
2
1
2 1
1
2 11 k kk
= 1
2
1
1
1
3
1
2
1
3
1
5
1
2
1
5
1
7
1
2
1
7
1
9
1
2
1
2 1
1
2 1
. . . +
n n
= 1
2
1
1
1
3
1
3
1
5
1
5
1
7
1
7
1
9
1
9
1
2 1
. . . +
1
2n -1 n =
1
21
1
2 1
n
Karena limn
nS = lim
n n
1
21
1
2 1 =
1
21
1
2 1lim limn n n
=
1
21 0( ) =
1
2, maka deret
konvergen dan jumlahnya sama dengan 1
2.
II.C. SIFAT-SIFAT DERET KONVERGENDeret konvergen mempunyai perilaku yang sama dengan jumlah yang takberhingga
seperti dinyatakan dalam teorema di bawah ini.
Teorema II.2 (Kelinieran)
Jika deret akk
1
dan bkk
1
keduanya konvergen dan c adalah sebuah konstanta,
maka
cakk
1
dan ( )a bk kk
1
juga konvergen. Selain itu,
ca c akk
kk
1 1
( )a b a bk kk
k kkk
1 11
Bukti :
Teorema ini memberikan gambaran yang agak berbeda. Lambang (simbol) akk
1
dalam
teorema di atas digunakan baik untuk deret takberhingga a a a1 2 3 . . . , maupun untuk jumlah deret itu sendiri yang berupa bilangan.
DND
17
Karena akk
1
dan bkk
1
keduanya konvergen maka limn ak
k
n
1
dan limn bk
k
n
1
keduanya
ada. Dengan menggunakan sifat penjumlahan dengan suku-suku berhingga dan sifat limit, diperoleh
ca ca c akk
nk
k
n
nk
k
n
1 1 1
lim lim
= c a c an
k kkk
n
lim
11
( ) lim ( ) lima b a b a bk kk
nk k
k
n
nk k
k
n
k
n
1 1 11
= limn
kk
n
nk
k
n
k kkk
a b a b
1 1 11
lim
Contoh II.9
Hitunglah 51
62
1
41
k k
k
Jawab :Dari Teorema II.2 diperoleh ,
51
62
1
41
k k
k = 5
1
62
1
41 1
k
k
k
k
= 51
62
1
41 1
k
k
k
k
(i)
Kita uraikan satu persatu deret dalam persamaan di atas.
1
6
1
6
1
36
1
2161
k
k
. . .
Deret ini adalah deret geometrik dengan a = 1
6 dan r =
1
6, jadi jumlah deret ini adalah,
Sa
r
1 1
1
6
6
5
1
5
16
16
1656
(ii)
1
4
1
4
1
16
1
641
k
k
. . .
Deret ini adalah deret geometrik dengan a = 1
4 dan r =
1
4, jadi jumlah deret ini
adalah,
Sa
r
1 1
1
4
4
3
1
3
14
14
1434
(iii)
Masukan hasil persamaan (ii) dan (iii) ke persamaan (i) diperoleh,
51
62
1
41
k k
k = 5
1
52
1
3
= 1
2
3 =
1
3
DND
18
Teorema II.3
Jika akk
1
divergen dan c 0, maka cakk
1
juga divergen
Bukti :
akk
1
divergen, berarti limn
kk
n
a
1
tidak ada. Dari Teorema II.2, dan sifat-sifat limit,
diperoleh,
cakk
1
= lim lim limn
kk
n
nk
k
n
nk
k
n
ca c a c a
1 1 1
Oleh karena limn
kk
n
a
1
tidak ada, c limn
kk
n
a
1
juga tidak ada, artinya cakk
1
divergen.
Contoh II.10
Buktikanlah bahwa 1
51 kk
adalah divergen
Bukti:
Karena 1
1 kk
adalah deret harmonik, dan kita ketahui bahwa deret harmonik adalah
divergen, maka 1
5
1
5
1 1
5
1
1 1 1k k kk k k
.
juga divergen.
Dalam suatu jumlah berhingga, kita dapat mengelompokan suku-sukunya dengan menggunakan hukum asosiatif penjumlahan sesuai dengan yang kita inginkan, misalnya
2 + 7 + 3 + 4 + 5 = (2 + 7) + (3 + 4) + 5 = 2 + (7 + 3) + (4 + 5)
Hukum asosiatif ini tidak berlaku lagi pada jumlah yang suku-sukunya takberhingga banyaknya. Sebagai contoh perhatikan pengelompokan pada deret takberhingga berikut.
1 1 + 1 1 + 1 1 + . . . + (1)n+1 + . . .
Pengelompokan pertama,
(1 1) + (1 1) + (1 1) + . . . = 0 + 0 + 0 + . . . = 0
Pengelompokan kedua,
1 (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) . . . = 1 0 0 0 . . . = 1
Deret semula adalah deret yang divergen karena limn
na
0. Setelah dikelompokan dengan
cara pertama, deret menjadi konvergen dengan jumlah 0, dan setelah dikelompokan dengan cara kedua, deret juga konvergen tetapi dengan jumlah 1.
Untuk deret yang semula konvergen, pertentangan hasil seperti di atas tidak akan terjadi, karena deret yang asalnya konvergen dikelompokan bagaimanapun akan tetap konvergen seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut.
DND
19
Teorema II.4 (Pengelompokan)Suku-suku sebuah deret yang konvergen, dapat dikelompokan secara sebarang (asalkan urutan suku-suku tidak berubah), dan deret baru hasil pengelompokan itu akan tetap konvergen dan jumlahnya tetap sama dengan jumlah deret semula.
Bukti :
Andaikan ann
1
adalah deret yang konvergen, dan andaikan {Sn} adalah barisan jumlah
parsial deret tersebut. Apabila bmm
1
adalah deret yang diperoleh dari pengelompokan
suku-suku deret ann
1
dan andaikan {Tm} barisan jumlah-jumlah parsialnya, maka setiap
Tm adalah salah satu dari Sn. Sebagai contoh,
T4 = a1 + (a2 + a3) + (a4 + a5 + a6) + (a7 + a8)
dalam hal ini T4 = S8. Jadi {Tm} adalah bagian barisan {Sn}. Sehingga apabila Sn S, maka Tm S juga.
II.D. SOAL LATIHANDalam soal 1 20, periksalah apakah deret-deret tersebut konvergen atau divergen. Jika konvergen, tentukan jumlahnya.
1. 1
51
k
k
2.
1
3
1
1
k
k
3. 2 313
16
1
k k
k
4. 3 214
15
1
k k
k
5. k
kk
3
1
6. 4
31
k
k
7. 1 1
11 k kk
8. 2
1 kk
9. k
kk
!
101
10. 2
1
2
3 k kk
11. 3
5
1
11
k
kk
12. 4
34 kk
13. e
k
k
3
1
14. 112
1
kk
15. 2
3 11
kk
16. 1
121 kk
DND
20
17. k k
k kk
12
118.
2 1
12 21
k
k kk
( )
19. 2 3
61
k k
kk
20. k
k k kk ( )( )( )
1 2 31
Dalam soal 21 26, tulislah bilangan desimal menjadi bentuk deret takberhingga. Kemudian tentukanlah jumlah deret tersebut.
21. 0,22222. . . 22. 0,125125125. . .
23. 0,21212121. . . 24. 0,013013013. . .
25. Buktikan bahwa deret 1
. 7
1
7 . 11
1
11 . 15
1
15 . 19 . . . =
=13
1
4 1 4 3
( )( )k kk
konvergen dan
tentukanlah jumlahnya.
26. Carilah jumlah deret 2
31
k
k
27. Buktikan bahwa deret 3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2 3 4
1
. . . k
k
divergen.
28. Buktikan bahwa 1
. 3
1
2 . 3
1
3 . 4
1
4 . 5 . . .
1 =
1
11 k kk ( )
= 1
29. Buktikan bahwa deret 1
2 1 2 1
1
21 ( )( )k kk
30. Hitunglah r r k
k( )1
0
, 0 r 2
31. Buktikan bahwa lnk
kk
11
divergen
32. Buktikan bahwa ln ln11
221
kk
33. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 meter. Setiap kali bola tersebut mengenai
lantai, bola tersebut dipantulkan kembali setinggi 23 dari tinggi sebelumnya. Tentukan
jarak seluruhnya yang ditempuh bola tersebut.
34. Tiga orang yaitu si A, si B dan si C membagi sebuah apel seperti berikut. Pertama apel tersebut dibagi menjadi empat bagian, dan tiap-tiap orang memperoleh seperempat bagian. Seperempat bagian yang tersisa kemudian dibagi empat lagi dan setiap orang
DND
21
mendapat seperempat bagian dan seteresnya. Berapa bagian apelkah yang diperoleh setiap orang.
DND
22
