Bab2_ Pemodelan Sistem

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali _____________________________________________________________________________

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-1 _____________________________________________________________________________

MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIS

PENDAHULUAN

KLASIFIKASI SISTEM

MODEL MATEMATIS SISTEM FISIS

PEMODELAN STATE SPACE



PENDAHULUAN Untuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harus

dibuat model fisisnya. Model fisis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis

sistem tsb secara memadai. Model matematis diturunkan dari hukum-hukum fisis sistem

ybs. - Dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum

Newton. - Dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum

Kirchoff, Ohm. Model matematis suatu sistem: kumpulan persamaan yang

menggambarkan dinamika suatu sistem secara memadai. Model matematis dapat meningkat akurasinya dengan

memodelkan secara lebih lengkap, bila diperlukan dalam analisis yang teliti.

Perlu kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasi

hasil analisis.



Kesederhanaan model dicapai dengan memperhatikan faktor-

faktor penting saja dalam pemodelan.

- Pemodelan dengan persamaan differential (bukan parsial), akan menghilangkan sifat-sifat nonlinear tertentu dan parameter-parameter terdistribusi yang mungkin ada pada sistem.

- Pemodelan suatu komponen pada frekuensi rendah tidak dapat digunakan pada frekuensi tinggi.

Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalu menggambarkan model fisis yang sama (Misal: analogi sistem mekanis dengan sistem elektrik).

Dua pendekatan analisis :

- Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO) - State Space (Modern, untuk sistem modern, misal MIMO)



KLASIFIKASI SISTEM

- LINEAR VS NONLINEAR

- TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING

- CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME

- DETERMINISTIC VS STOCHASTIC

- LUMPED- VS DISTRIBUTED - PARAMETERS

- TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE



- LINEAR VS NON-LINEAR

- Sistem fisis umumnya bersifat nonlinear dalam tingkat tertentu.

- Untuk daerah kerja yang kecil, sistem nonlinear dapat

dianggap linear (piece-wise linearisation)

- Sistem linear : berlaku hukum superposisi: - respons suatu sistem terhadap beberapa input berbeda

merupakan kombinasi respons masing-masing input.

- Pengujian kelinearan suatu sistem melalui input sinusoidal.

- Dalam beberapa hal elemen-elemen nonlinear sengaja disertakan dalam sistem kendali untuk optimasi unjuk kerja. - Relay on-off dipakai pada sistem kontrol optimal waktu,

sistem kendali pesawat dan sistem peluru kendali.

Daerah linear



TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING

- Sistem time-invariant memiliki parameter-parameter yang konstan, tak tergantung waktu.

- Respons nya tak tergantung pada saat kapan input diberikan.

- Sistem time-varying memiliki satu atau lebih parameter yang

berubah terhadap waktu.

- Respons nya tergantung pada waktu diberikan input.

- Contoh Sistem Kendali Time-varying: Sistem kendali pesawat ruang angkasa : bobotnya berkurang akibat konsumsi bahan bakar.

CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME

- Sistem kontinyu waktu : memiliki semua variabel / sinyal yang kontinyu terhadap waktu.

- Sistem diskrit waktu : memiliki satu atau lebih variabel /

sinyal yang diskrit terhadap waktu.



DETERMINISTIC VS STOCHASTIC

- Sistem deterministik memiliki respons terhadap suatu input yang dapat ditebak dan berulang / konsisten.

- Sistem stokastik: respons terhadap input yang sama tidak

selalu menghasilkan output yang sama. LUMPED- VS DISTRIBUTED PARAMETERS

- Pemodelan komponen yang sederhana bila dapat dianggap bahwa parameter-parameter komponen tsb dapat dimodelkan secara terkumpul disatu titik.

- Dicirikan dengan persamaan differensial biasa.

- Pemodelan parameter terdistribusi lebih tepat digunakan,

misalnya pada sistem transmisi.

- Dicirikan dengan persamaan differensial parsial.



TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE

- Analisis sistem sederhana, SISO yang bersifat linear, kontinyu, time-invariant, lumped-parameters, deterministik, dapat dilakukan melalui pendekatan tradisional (fungsi alih) yang merupakan domain frekuensi kompleks. Alat bantu analisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domain waktu), Bode Plot atau Nyquist (domain frekuensi).

- Untuk sistem modern yang kompleks dan berakurasi tinggi (ditandai dengan MIMO, non-linear, time-varying, optimal, robust) harus digunakan pendekatan state space yang bersifat domain waktu.



Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1)

Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)

Fungsi alih :

Hukum Fisis : Kirchoff Persamaan dinamis sistem / Persamaan differensial

Ldidt

Ric

idt ei+ + =1

1c

idt eo=

L R

c eoeii

)()(

)()(

)()(

)()(1

2 ssEcsI

sRsIsLIs

ssECsI

sEsIsC

i

oo

=++

==

)()(1

)()( sEsICs

sRIssLI i=++

11

)(1

)(

)()(

22 ++

=

++

=RCssI

CRsLs

CsI

sEsE

i



Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (2)

i2(t)L2 e0(t)C

R L1

e(t)i1(t)

+-

}

i i t i t

i Cd t

dt

c

ce

= -

=

1 2

0

( ) ( )

( ) i i Cddt

e1 2

0 3- = ( )

e t Ri Ldidt

e

e Ldidt

( ) ( )

( )

= + +

=

1 11

0

0 22

1

2



Transformasi Laplace :

E s sL I s I sE ssL0 2 2 20

2

2 2( ) ( ) ( ) ( )( )

( )- =

I s I s sC E s1 2 0 3( ) ( ) ( ) ( )- =

( )E s R sL I s E s( ) ( ) ( ) ( )= + +1 1 0 1

I sE s E s

R sL10

1

1( )( ) ( )

( )=-+

( ) & ( ) ( )1 2 3

E s E sR sL

E ssL

sC E s( ) ( ) ( )

( )-+

- =01

0

20

( )( )( )

SL E s sL E s R sL E s

R sL sLsC E s2 2 0 1 0

1 20

( ) ( ) ( )( )

- - +

+=

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )[ ]

( ) ( )

sL E s R s L L E s R sL s L C E s

sL E s s L C R sL s L L R E s

E sE s

sL

s L C R sL s L L R

2 1 2 0 12

0

22

1 1 2 0

0 22

2 1 1 2

2

2

- + + = +

= + + + +

=+ + + +

( )

( ) ( )

( )( )

( )= + + + +sL

s L L C s L CR s L L R2

31 2

22 1 2




Persamaan Rangkaian:

Diperoleh:

-

+

R1

i1

R2

eoei

i0ex

i2Op Amp ideal : Zin = ~

Sehingga i0 = 0 ex ~0 virtual ground, sehingga

i i1 2=

e eR

e eR

eR

eR

i x x o i o- =-

=-

1 2 1 2

eRR

eo = -2

1

:




-

+

R1

i1

R2

eoei

ex

i3

ci2

eR

Cdedt

eR

i o o

1 2

= - -

11

)()(

sehingga

)()(

)(

21

2

21

+

-=

--=

CsRRR

sE

sE

R

sEssCE

RsE

i

o

oo

i

223

2

11

321

~

~

)(

~

R

e

R

eei

dtde

C

dteed

Ci

Re

Ree

i

iii

oox

o

ox

i

ixi

--=

-

-=

-=

+=



Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Translasi(1)

Laplace :

pada t < 0 : sistem tak bergerak pada t = 0 gerobak di gerakan dengan kecepatan konstan

tankonsdtdu

=

y = output relatif terhadap ground

k

m

u input

y output

b

( )

kudtdu

bkydtdy

bdt

ydm

uykdtdu

dtdy

bdt

ydm

+=++

=-+

-+

2

2

2

2

0

( ) ( )

kbsmskbs

sUsY

sUkbssYkbsms

+++

=

+=++

2

2

)()(

)()(



Model untuk Sistem Mekanis : Translasi(2)

Hukum Newton kedua :

Laplace :

Diperoleh Fungsi Alih:

Ambil : f = d(t) , sehingga F(s) = 1; m= 1; b=2; k = 1

k

m gaya luar f

b

x

ma F= M = massa, (kg) A = percepatan, m / s2 F = gaya, N

md xd

bdxdt

kx f2

2++ + =

ms X s bs X s kX s F s2 ( ) ( ) ( ) ( )+ + =

X sF s ms bs k

( )( )

=+ +1

2

X ss s s s

( )( )( )

=+ +

=+ +

12 1

11 12

Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Rotasi

J = momen inersia beban kg m2 a = percepatan sudut beban rad / s2 T = torsi yang diberikan pada sistem Nm

J Ta =

JT w

b

w = kecepatan sudut rad / s q = simpangan sudut (rad)

Tbdtd

J

Tdtd

bdtd

J

=+

=+

ww

qq

:atau

2

2



Model Matematis untuk Generator DC :

o Kecepatan konstan n o Arus output ia dapat dikontrol dari besarnya arus if

KVL pada kiri/input :

Substitusi (3) - (2):

dt

de

k

L

k

eRe g

g

f

g

gff +=

if

Rf

LfefzLea

LgRg

iaeg

nif = arus medan ia = arus jangkar

f

g

ik

nke

=

=

2

1

f

f } fgg ike = (1) Konstanta generator

e R i Ld

dtf f f fif= + ( )2

ie

kfg

g

= ( )3

(1) :



Dalam Laplace:

KVL pada loop kanan/ouput

Atau:

Substitusi :

[ ]

ff

g

f

g

gffg

f

sLR

k

sE

sE

sEsLRk

sE

+=

+=

)(

)(

:FungsiAlih

)(1

)(

Laa

iaggaga

ziedtd

LRiee

=

++-=- ;

ieza

a

L

=

)()()(

1)( sEsz

sL

sz

RsE

dtde

z

Le

z

Ree

dtde

z

LR

ze

ee

aL

g

L

gg

a

L

ga

L

gatg

a

L

gg

L

aga

++=

++=

++-=-



Diperoleh:

Sehingga :

=

z sz s

E sLL

a

( )( )

( )

E sE s

z sz s R L s

a

g

L

L g g

( )( )

( )( )

=+ +

E sE s

E s

E sx

E sE s

a

f

g

f

a

g

( )( )

( )

( )( )( )

=

=+ + +

R

R sLfx

z sz s R sLg

g L

L g

( )( )



Model Matematis untuk Motor DC dengan Pengontrolan Arus Jangkar

em = tegangan terinduksi

If = konstan

sehingga

ia = arus jangkar

em

LmRm

iaea t q o(t)

inersiaJ

simpangan sudut

B= dampingLf

If

Ef = konstanif = arus medan

rangkaian jangkar

e k nm = 1 f n= kecepatan rotasi (putaran)motor

f = k i f2 f = konstan

e k n kddtm e e

o= =q

ke = konstanta tegangan motor



Persamaan rangkaian :

Persamaan Beban

Torsi yang dihasilkan motor : sebanding dengan fluksi v (yang dalam hal ini konstan) dan sebanding dengan arus jangkar ia

sehingga :

( )

e R i Lddt

e

e R i Lddt

kddt

E s R sL I s k s s

a m a mia

m

a m a mia

eo

a m m a e o

= + +

= + +

= + +

q

q( ) ( ) ( )

T = kT . ia

KT = konstansta torsi motor

T Jddt

Bddt

o= +2

2

q q

atau : ( ) )()( 2 sBJssIk osaT Q+=

( ) ( ) ( )skkBRsBLJRsLJk

sE

s

Temmmm

T

a

o

++++=

Q22

)(



Dengan definisi :

Diperoleh:

TLRa

m

m

= Konstanta waktu jangkar

TJ Rk km

m

e T

= Konstanta waktu motor

g = R Bk k

m

e T

Faktor redaman

( )( ) ( ) ( )[ ]12 ++++=

Qgg sTTsTTs

ksEs

amma

T

a

s



Model Matematis untuk Motor DC dengan Pengontrolan Arus Jangkar :

Fluksi oleh arus medan :

Torsi T :

Tegangan Back EMF:

Tegangan EMF: proporsional terhadap fluksi (konstan) & kecepatan sudut putaran poros motor.

y y= k if f Konstan untuk if konstan

T k i k i k i k ii a i a f f a= = = fk = konstanta motor - torsi

ia = arus jangkar

eb

LaRa

iaea T

inersia

q simpangan sudut pores motor rad

back emf volt

J

moren

motor + beban

b = kref gesekan motor + bebanNm / rad/s

kg m2if konstanarus medan

torsi yang dihasilkan motor, Nm

dtd

ke bbq

=



Persamaan input :

Persamaan output :

abaaa

a eeiRdtdi

L =++

dtd

bdtd

JikT aqq

+== 22



Model Matematis untuk Sistem Generator-Motor Ward-Leonard Generator dc mendrive motor dc dengan pengontrolan arus jangkar Konfigurasi dasar :

Fungsi alih :

Persamaan Loop kanan :

J

Rf

Lfif

ef

Rg Lg RmLm

eg emia

B

qo

If

Ef

ngenerator dc

servo motor

( )( )

E s

E s

k

R sLg

f

g

f f

=+

( ) ( )( ) ( )[ ]

e R R i L Lddt

kddt

E s R R s L L I s k s s

g g m a g min

eo

g g m g m a e o

= + + + +

= + + + +

q

( ) ( ) ( )Q



Persamaan Beban :

atau :

sehingga :

= ..

( )( )

)()(

)()(2

2

2

2

sk

BJssI

sBsJssIkdt

dB

dd

JT

oT

sa

oaT

oo

Q+

=

Q+=

++

=qq

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]Qo

gm g m g m g m g e T

sE s

kT

s J L L s R R J L L B s R R B k k

( )( )

=+ + + + + + + +2

( ) ( )e e R R R L L L sehinggaa g m m g m m g + +; ,

( )Q Qof

o

g

g

f

se s

sE s

xE s

E s( )( )( )

( )

( )=



Model Matematis untuk Motor DC dengan Pengontrolan Arus Medan

Torsi yang dihasilkan motor :

sehingga T = kT . if

Pers beban :

Pers loop kiri / input :

if = arus medanif

Rf

Lfef Ea

Ia = arus jangkar konstan

B

q o(t)J

T konsa~ tanf =~i f

iJ

kTddt

Bddtf

o o= +2

2

q q

T Jddt

Bddt

o o= +2

2

q q



dt

diLRie fffff +=

Diperoleh:

( )( )sTsTsBRk

sEs

mf

fT

f

o

++

=

11)()(q

TLfRff

= =

TJBm

= =

Konstanta waktu rangkaian

Konstanta waktu motor

Documents

Bab2_ Pemodelan Sistem