PETA KARNAUGH

TUJUAN

I. Dengan suatu fungsi (yang ditentukan dengan lengkap atau tidak lengkap)dari tiga sampai enam variabel, letakkan pada peta Karnaugh. Fungsi tersebutmungkin diberikan dalam bentuk minterm, maksterm atau bentuk aljabar.

2. Tentukan implikan prima mendasar dari suatu fungsi pada sebuah peta.

3. Dapatkan bentuk jumlah hasil minimum atau hasil jumlah minimum suatufungsi dari peta tersebut.

4. Tentukan semua implikan prima suatu fungsi dari sebuah peta.

5. Pahamilah hubungan antara operasi yang dilakukan dengan menggunakanpeta dan operasi aljabar yang berkorespondensi.

PETUNJUKBELAJAR

Dalam unit ini kita akan mempelajari peta Karnaugh* Diucapkan"kar-no"

* Hampir setiap jenis penghitungan aljabar yang telah kita lakukan selama inidapat dibantu dengan menggunakan peta ini, asalkan bilangan variabelnyakecil.

Pelajarilah Bagian 6.1 Bentuk Minimum dari Fungsi Switching.(a) Tentukan jumlah hasil minimum.(b) Tentukan hasil jumlah minimum.(c) Kerjakan Soal 6.3.

Pelaj~rilah Bagian 6.2, Peta Karnaugh Variabel-2 dan 3

(a) Gambarlahtabel kebenaranyang ada pada peta. Kemudiansimpulkan duapasangan I pada peta itu dan tulislah bentuk F yang disederhanakan.

I.

2.

~o 0 I Io I i II 0 i 0I I i I

160

~01 1 I

f +---1: 1 I

ILLJF

F=

Sekarang sederhanakanF secaraaljabar dan buktikanlah bahwajawabananda benar.

(b) F(a, b, c) digambarkansepertidi bawah ini. Carilah tabel kebenaranuntukF.

o.1.....-F

abc'\... 0

o

o

(c) Gambarlah fungsi berikut ini pada peta Karnaugh seperti di bawah ini :

F1(R. S, 1)= Lm(O, I, 5, 6) FiR, S. 1)= I1M(2, 3, 4, 7)

o

00

01

11

10

Mengapa kedua peta tersebut sarna?

(d) Gambarlah fungsi berikut ini pada peta yang ada :

(x, y, z) = z'+ x'z + yz

161

a b c I F

r--o 0 0o 0 Io I 0o I II 0 0I 0 II I 0I I I

-I

I

Jangan membuat perluasan minterm atau tabel kebenaran sebelummemplotkan,

o00

01

11

10

(e) Untuk peta variabel-3,kotak manakah yang berbatasan dengan kotak 2 ?

(f) Teorema apa yang digunakan ketika dua term pada kotak yang berdekatandikombinasikan ?

(g) Hukum aljabar Boolean apa yang membenarkan dengan menggunakanbilangan I yang ada pada peta dalam dua atau lebih kesimpulan ?

(h) Masing-masing solusi berikut ini tidak minimum.

f = 00' + OOc g = a' + 00

III ICD

10

Dalam setiap kasus, ubahlah simpulan pada peta sehingga diperoleh solusiminimum.

162

(i) Kerjakan SoaI 6.5.

(j) Carilah dua kaIimatjumlah-hasil minimumuntuk fungsi G yang diplotkansebagai berikut,

3. Pelajarilah Bagian 6.3, Peta Kam~ugh 4-Variabel.

(a) Perhatikan lokasi minterm pada peta 3 dan 4 variabel (Gambar. 6-3(b) dan6-10). Ingat susunan ini. Hal ini akan banyak menghemat waktu ketikaand a memplotkan peta Kamaugh.

Susunan di atas valid untuk susunan variabel yang ada. Jika kita memberilabel pad a peta seperti yang tampak di bawah ini, isilah temp at mintermtersebut :

BC

A~ 00 01 II 10I I Io

CDA

163

OCffl00 0 I 00 0

01 1 01G=

II 'I

II

10 I 10 1G=

G G

-- -. .. .-I

I

(e) Ketikakita mengkombinasikandua bilangan 1yangberdekatanpada sebuahpeta, hal ini berkorespondensi dengan penerapan teorem~ xy'+ xy = xuntuk menghapus variabel di mana dua term tersebut berbeda. Jadi,pengikatan dua bilangan 1 yang ditunjukkanpada peta di bawah ini sarnadengan inengkombinasikan minterm yang berkorespondensi secaraaljabar :

Ikatkan dua pasangan lain dari bilangan 1 yang berdekatan pada peta diatas dan sebutkan persamaan aljabar .dari pengikatan term ini. Sekarangbacalah ikatan tersebut secara langsung dari peta dan periksalah aIjabaranda.

(t) Ketika kita mengkombinasikanempat bilangan I yang berdekatan padasuatu peta (emp,atbilangan pada sebuah baris atau empat bilangan padasuatu kotak) persamaan ini mengaplikasikanxy + xy'= x ti~a kali :

I I 10

1

1

a'b'<;d+ a'b'cd' + ab'cd + ab'cd' = a'b'c + ab'c = b'c

165

abcd 00 01 II 10

00 1

01 a'b'c'd+ ab'c'd =b'c'd

(Termb'c'd dapat dibacasecara langsungdari petaIII 1 I 1 I I I karena ia terbentang dari kolom pertama sampai

kolom terakhir

101 I I 1 I I (b') dan karena ia berada pada baris kedua (c'd).)

Cd

00 1

01 1-

IIII 1

10 111 1

-

Ikatlah empat bilangan I yang lain pada peta di atas dan sebutkan persamaanaljabamya.

(g) Uptuk masing-masing peta berikut ini, ikatlah bilangan term minimumyang akan menutupi semua bilangan I.

ab abc, c,

(Untuk setiap bagian yang barus anda ikatkan dua kelompok bilangan Idan dua kelompok dua bilangan 1.)

Tulislah kalimatjumlah basil minimum untuk I. dan 12 dari peta diatas.

1.=

12=

(b) Mengapa tidak memungkinkanuntuk mengkombinasikanmin term 3 atau6 bersama dibandingkan 2, 4, 8, dst. ?

(i) Perhatikan prosedur untuk menderivasikan basil jumlah minimum daripeta tersebut.Anda mungkin akan melakukan lebib sedikit kesalahanjikaand, menuliskan f' sebagai jumlah basil terlebib dahulu dan kemudianmengkomplementasikannya seperti digambarkan oleb contob dalamGambar 6-14. KeIjakan Soal 6.8 dan 6.13.

166

vv v. .. .vI I I

I I I

I I

I I

-- -- -- .-I I

I

I I I I

I I I

4. Pelajarilah Bagian 6.4, Penentuan Kalimat Min~mumDengan MenggunakanImplikan Prima Mendasar.

(a) Untuk peta pada Gambar 6-15, tulislah tiga implikan F selain yang telahtertera.

Untuk peta yang sarna, apakah ac'd' adalah implikan prima dari F ?

Mengapa atau mengapa tidak ?

(b) Untuk peta yang ada, adakah term yang mengkaitkan implikan prima?

Mengapa atau mengapa tidak.?

5. Pelajarilah Gambar 6-18 dengan seksama dan kemudian jawablah pertanyaanberikut ini untuk peta yang diberikan di bawah ini :

CD

167

BCD""-.. 00 4 01 II 10

00

01

II

10

-- -. .. --I 10 14 1 8

11 1

13 1 7 1

I12 1 6 110

(a) Berapa kali bilangan I berdekatan dengan mo ?

(b) Apakah semua bilangan I ini ditutupi oleh implikan prima tunggal ?

(c) Oari jawaban anda pada (b), dapatkah anda menentukan jika B'C' adalahesensial ?

(d) Berapa kali bilangan I yang berdekatan dengan m9 ?

(e) Apakah semua bilangan I ini tertutupi oleh sebuah implikan pnmatunggal ?

(f) Oari jawaban anda pada (e), apakah B'C' esensial ?

(g) Berapa kali bilangan I berdekatan dengan m7 ?

(h) Mengapa A'C esensial ?

(i) Carilah dua implikan prima mendasar yang lain dan sebutkan mintennmana yang membuat mereka esensial.

6. (a) Bagaimana anda menentukan jika suatu implikan prima itu esensialdengan menggunakan peta Kamaugh ?

(b) Untuk peta berikut ini, mengapa A'B' tidak esensial ?

Mengapa BO' esensial ? AB...

CD

Apakah A'D' esensial ? Mengapa ?

Apakah BC' esensial ? Mengapa ?

Apakah B'CO esensial ? Mengapa ?

Carilah jumlah hasil minimum.

168

-- - - - - --

I 1 1 1

1 1 1

1 1

I 1 1 1

(c) Kerjakan Latihan Terprogram 6.1.

(d) Tulislah semuabilangan I dan X yang berdekatanden~an 10.

ABCD

Mengapa A'C' merupakan implikan prima esensial?

Tulislah semua bilangan I dan X yang berdekatan dengan 115,

Berdasarkan pada daftar tersebut, mengapa anda tidak mendap~tkanimplikan esensial yang meliputi 115?

Apakah ini berarti bahwa tidak ada implikan prima esensial yang meliputi115 ?

Implikan prima esensial yang mana yang meliputi III ?

Dapatkah anda menemukan implikan prima esensial yang meliputi 112?Jelaskan.

Carilah dua implikan prima yang meliputi 112,

Berilah dua kalimat minimum untuk F.

169

vv '" II IV

I 10 14 112 8

XI Xu 9

3. 17 liS III

I1 6 XI42 10

(e) Kerjakan Soal 6.9.

(f) Jika anda mempunyai copy program Logik£lAid™ yang dapat dipakai,gunakan model tutorial peta Kamaugh untuk membantu anda mempelajarimencari solusi minimum dari peta Karnaugh. Program ini akan mengecekketja anda pada setiap langkah untuk meyakinkan bahwa anda mengikatkanterm-term dalam susunan yang benar. Program ini juga akan memeriksajawaban akhir anda. Kerjakan Soal 6.10 dengan menggunakan tutor petaKarnaugh.

7. (a) Dalam Contoh 4, halaman 98, kita menderivasikan fungsi berikut ini :

Z =L m(O,3,6,9) + L d(lO,II,12,13,14,15)

Plotkan Z pada peta yang ada dengan menggunakan X untuk mewakiliterm yang tidak dipedulikan.

ABCD

(b) Tunjukkan bahwa jumlah hasil minimum adalah

Z = A'B'C'D'+ B'CD + AD + BCD'

Manakah dari empat minterm yang tidak dipedulikanditempatkan nilai 1ketika membentuk solusi anda ?

170

-- -- -- -

I

I

(c) Tunjukkan bahwa hasil penjumlahan minimum untuk Z adalah

Z = (b'+ C)(B'+ D')(A'+ D)(A + C + D')(B + C'+ D)

Manakah term yang tidak dipedulikan pada Z yang ditempatkan nilai 1ketika membentuk solusi anda ?

(d) Kerjakan Soal 6.14 dan 6.15.

8. Pelajarilah Bagian 6.5 Peta Kamaugh Variabel-5 dan 6.

(a) Gambar di bawah ini menunjukkanpeta 5-variabel tiga dimensi. Plotkan1 dan ikatkan pada peta dua dimensi yang berkorespondensi,dan berikankalimat jumlah hasil minimum untuk fungsi tersebut.

F=

(b) Pada peta 5-variabel (Gambar 6-21), berapakah lima minterm yangberdekatan dengan minterm 24 ?

(c) Kerjakan semua contoh~ontoh dalam bagian ini dengan hati-hati danyakinkan bahwa anda memahami semua langkah-Iangkahnya.

171

- - - - -

(d) Dua solusi minimum diberikan untuk Gambar 6-24. Ada solusi jumlahhasil minimum ketiga . Berapa itu ?

(e) Bacalah materi pada peta 6-variabel untuk mendapatkan ide dasar; namunkeccikapan dalam menderivasikan solusi minimum dari peta 6-variabeltidak diperlukan untuk menyelesaikan uji kesiapan. (Catatan : Kecakapandalam menyelesaikan peta 5-variabel diperlukan.)

(t) Kerjakan Latihan Terprogram 6.2.

(g)c

DE 00 01 11 10

A

110

Carilah tiga bilangan 1 dan X yang berdekatan dengan' 118,Dapatkahsemucmyaini diikatkan dengan ikatan tunggal ?

Carilah 1 dan X yang berdekatan dengan 124,Ikatlah implikan primaesensial yang meliputi 124,

Carilah 1 dan X yang berdekatan dengan 13'Ikatlah implikan prima esensialyang meliputi 13'

Dapatkah anda mendapatkan implikan prima esensial yang meliputi 122?Jelaskan.

172

Carilah dan ikatlah dua lagi implikan prima esensial.

Carilah tiga jalan untuk menutupi sisa 1 pada peta tersebut dan berilahsolusi minimum yang berkorespondensi.

(h) Jika anda mempunyai program LogicAid yang dapat dipakai, kerjakanSoal 6.28 dan 6.36 dengan menggunakan tutor peta Kamaugh.

9. Pelajarilah Bagian 6.6 Kegunaan Lain dari Peta Kamaugh. Kembalilah keGambar 6-8 dan catatlah bahwa term konsensus ada jika ada dua implikanprima yang berdekatan tapi tidak nonoverlaping. Telitilah bagaimana prinsipini diaplikasikan dalam Gambar 6-27.

10. Kerjakan Soal 6.25, 6.27, 6.29, 6.16, dan 6.17(a). Ketika menderivasikansolusi miriimumdari peta tersebut, selalu menuliskanterlebih dahulu implikantprima esensial. Jika tidak, seringkali anda tidak mendapatkan solusi mini-mum. Lagi pula, yakinlah bahwa anda dapat menemukan semua implikanprima dari peta tersebut (lihat Soal 6.25 (b).)

II. Lihatlah kembali tujuan unit ini dan tempuhlah uji kesiapan.

PETAKARNAUGH

Fungsi switching biasanya dapat disederhanakandengan menggunakan teknikaljabar yang dideskripsikan pada Unit 3 dan 4. Namun demikian, dua masalahmuncul ketika prosedur aljabar digunakan :

I . Prosedur tersebut sulit diterapkan dengan cara yang sistematik.

2. Suiit untuk mengatakan kapan anda telah sampai pada solusi minimum.

Metode peta Kamaugh yang dipelajari dalam unit ini dan prosedur Quine-McCluskey yang dipelajari dalam Unit 7 mengatasi kesulitan-kesulitan tersebutdengan memberikan metode yang sistematik untuk menyederhanakan danmenghitung fungsi switching dengan tiga atau empat variabel, namun dapatdiperluas ke fungsi lima, enam, atau lebih variabel. Biasanya, anda akanmenemukan metode peta Karnaugh lebih cepat dan lebih mudah untukdiaplikasikan daripada metode penyederhanaan lain.

173

6.1 BENTUKMINIMUMFUNGSISWITCHING

Ketika sebuah fungsi dinyatakan dengan menggunakan gerbang AND danOR, biaya merealisasikan fungsi tersebut secara langsung dihubungkan denganbilangan gerbang dan input gerbang yang digunakan. Teknik peta Kamaughyang dikembangkan dalam u¥1itini secara langsung menuju biaya minimumjaringan dua-tingkat yang terdiri dari gerbang AND dan OR. Suatu kalimat yangterdiri dari jumlah hasil term yang berkorespondensi secara langsung ke jaringandua tingkat yang terdiri dari kelompok gerbang AND yang memasuki gerbangOR tunggal (lihat Gambar 2-5, misalnya). Demikian pula kalimat hasil jumlahyang berkorespondensi dengan jaringan dua tingkat yang terdiri dari gerbang ORyang memasuki gerbang AND tunggal (lihat Gambar 2-6, misalnya). Olehkarenanya, untuk menemukan biaya jaringan gerbang AND-OR dua tingkat, kitaharus mencari kalimat minimum dalam bentuk jumlah-hasil dan hasil-jumlah.

Kalimatjumlah-hasil minimum untuk suatu fungsi ditentukan sebagai jumlahhasil term yang (a) mempunyai jurnlah term minimum, dan (b) semua kalimatyang mempunyai bilangan term minimum, mempunyai bilangan literal mini-mum. Jumlah hasil minimum berkoresponden secara langsung dengan jaringangerbang dua tingkat minimum yang mempunyai (a) bilangan gerbang minimumdan (b) bilangan input gerbang minimum. Tidak seperti perluasan minterm untuksuatu fungsi, jumlah hasil minimum tidak harus unik; yaitu, fungsi yang adamungkin mempunyai dua bentuk jumlah-hasil minimum, masing-masing denganbilangan term yang sarna dan bilangan literal yang sarna. Dengan perluasanminterm, bentukjurnlah hasil minimumseringkalidapat dieprolehdengan prosedurberikut ini :

1. Kombinasikan term-term dengan menggunakan XY' + XY = X. Kerjakanberulang-ulang untuk menghapus sebanyak mungkin literal. Term yang adadapat digunakan lebih dari satu kali karena X + X =X.

2. Hapuslah term redundan dengan menggunakan teorema konsensus atauteorema yang lain.

Sialnya, hasil dari prosedur di atas dapat tergantung pada susunan di manaterm dikombinasikan atau dihilangkan sehingga kalimat akhir yang diperolehtidak selalu minimum.

174

CONTOH :

Carilah kalimat jumlah-hasil minimum ~ntuk

F(a, b, c) = L m(O, 1, 2, 5, 6, 7)

F =a'Va'b'C + a'be' + ab'c + abc' + abc= a'b' + (6-1)

Tak satupun dari term pada kaliamt di atas dapat dihapuskan dengankonsensus. Namun demikian, mengkombinasikan term dengan eara yang berbedamembawa ke jumlah hasil minimum seeara langsung :

F =a'b'e' + a'b'e + a'be' + ab'e + abc' + abe

'v/ ~= a'b' + be' + ae (6-2)

Kalimat hasil-jumlah minimum untuk suatu fungsi didefinisikan sebagaihasil jumlah term yang (a) mempunyai bilangan faktor minimum, dan (b) darisemua kalimatnya yang mempunyai bilangan faktor yang sarna, mempunyaijumlah literal minimum. Tidak seperti perluasan maksterm, bentuk hasil jum1ah .minimum suatu fungsi tidak selalu unik. Dengan perluasan maksterm, hasil jumlahminimum seringkali dapat diperoleh dengan prosedur yang sarna dengan yangdigunakan dalam kasus jumlah-hasil minimum,. keeuali bahwa teorema (X +Y)(X + Y') =X digunakanuntuk mengkombinasikanterm-term.

CONTOH :

(A+B' +C+D'XA+B' +C'+D'XA+B'+C' +DXA '+B'+C' +DXA+B+C'+DXA '+B+C'+D)

=(A + B'+ D') (A + B'+C')

= (A + B'+ D') (A + B'+ C')

(B'+C'+D) (B+C'+D)

~(C'+D)

dihilangkan dengan konsensus

= (A + B'+D')(C'+D) (6-3)

175

--

6.2 PETAKARNAUGH2 VARIABELDAN3 VARIABEL

Seperti halnya tabel kebenaran, peta Karnaugh suatu fungsi menentukannilai fungsi untuk setiap kombinasi nilai variabel independen. Peta Karnaugh2-variabel ditunjukkan seperti di bawah ini. Nilai satu variabel ditulis melintasipuncak peta, dan nilai variabel yang lain ditulis pada sisi sebelah kiri. Masing-rnasing kotak pada peta berkorespondensi dengan sepasang nilai untuk A dan Bseprrti terlihat di bawah ini.

AB"- 0

A=I.B=O

A = 0, B = I A=I.B=I

Gambar 6-1 menunjukkan tabel kebenaran untuk fungsi F dan peta Karnaugh'yang berkorespondensi. Perhatikan bahwa nilai F untuk A = B = a diplotkanpada kotak sebelah kiri atas dan isian peta yang lain diplotkan dengan cara yangsama alam Gambar 6-I(b). Setiap I pada peta berkorespondensi dengan mintermF. Kita dapat membaca minterm dari peta tersebut seperti halnya kita membacanyadari tabel kebenaran. Sebuah 1 pada kotak 00 dalam Gambar 6-1(c) menunjukkanbahwa A'B' adalah minterm dari F. Oemikian pula sebuah I pada kotak almenunjukkan bahwa A'B adalah suatu minterm. Minterm dalam kotak yangberdekatan pada peta tersebut dapat dikombinasikankarena mereka hanya berbedasatu variabel. Jadi, A'B' dan A'B berkombinasi untuk membentuk A', dan halini ditunjukkan dengan mengikat I yang berkorespondensi pada peta tersebut,lihat gambar 6-I(d).

176

A

B~01 1 I 0

1 I 0

(b)

Gambar 6-2 menunjukkan tabel kebenaran 3-variabel dan peta Karnaughyang berkorespondensi.

Nilai satu variabel (A) ditulis melintasi puncak peta, dan nilai dua variabelyang lain (B, C) ditulis sepanjang sisi peta. Baris-baris yang diberi label secaraberurutan 00, 0 I, 11, 10sehingga nilai dalam baris yang berdekatan hanya berbedasatu variabel. Untuk setiap kombinasi nilai variabel, nilai F dibaca dari tabelkebenaran dan diplotkan dalam kotak pada peta yang tepat. Misalnya, untukkombinasi input ABC = 00 I, nilai F =0 diplotkan dalam kotak di mana A =0dan BC =0 I. Untuk kombinasi ABC = 110, F = I diplotkan dalam kotak A= I, BC = 10.

Tabel Kebenaran dan Peta Karnaugh untuk Fungsi 3-variabel

F

ooIIIoIo

.177

AB F

o 0 1o 1 11 0 01 1 0

(a)

AB B 01 0 o 1 0

A'B' +A'S =.4'._ 1 I 0 I III 1 JI 0

A'S

F=A'B' +A'B F=A'

(c) (d)

Gambar 6-2

ABC

o 0 0o 0 Io I 0o I II 0 0I 0 II I 0I I I

(a)

ABC

ABC =DOl.F=O 00 0---,III 1 0

10 -::i-ASC = liD, F = I

(b)

- -

Gambar 6-3 menunjukkanlokasi minterm padapeta 3-variabel.Mintermdalamkotak yangberdekatanpadapetatersebuthanyaberbedasatuvariabeldanoleh karenanya dapat dikombinasikan dengan menggunakan teorema XY' + XY= X. Misalnya, minterm 011 (a~c) berdekatan dengan tiga minterm di mana iadapatdikombinasikan- 001 (a'b'c), 01O(a'bc'),dan 111(abc).Lagi pula untukkotak di mana secara fisik berdekatan,baris puncak dan paling bawah didefinisikansebagai baris yang berdekatan karena minterm yang brekorespondensi dalambaris ini hanya berbeda satu variabel. Jadi 000 dan 010 itu berdekatan, dandemikian pula 100 dan 110.

Dengan perluasan minterm suatu fungsi, ia dapat diplotkan pada sebuah petadengan menempatkan I dalam kotak yang berkorespondensi dengan mintermfungsi tersebut dan 0 pada kotak yang lainnya ( 0 dapat dihilangkan jikadikehendaki). Gambar 6-4 menunjukkan plot dari F(a,b,c) =ml + m3 + ms' Jika

F diberikan sebagai perluasan maksterm, peta tersebut diplotkan denganmenempatkan 0 dalam kotak yang berkorespondensi dengan maksterm dankemudianmengisikotak-kotakyang lain dengan I. Jadi, F(a, b, c) = MoM2M4'

M6M7 memberikan peta yang sarna seperti pada Gambar 6-4.

178

Gambar 6-3 Tempat Minterm 3-variabel Peta Karnaugh

ABC 0 I BC 0

00 000 100 00 0 I 4

01 091 101 100 is 011 I I 5adjacent

III 0l1111 I I to 110

IICiliJIOI10 2 6

(a) Notasi Binary(b) Notasi desimal

Peta Karnaugh dari F(a,b,e) =m(1, 3. 5)= M(O,2.4,6,7)

Gambar 6-5 menggambarkan bagaimana hasil term dapat diplotkan padapeta Karnaugh. Untuk memplotkan term b, 1 dimasukkan dalam empat kotakpada peta di mana b = I. Term be' adalah 1 bila b=1 dan e = 0, sehingga 1dimasukkan dalam dua kotak dalam baris be =baris 10 . Term ae' adalah 1 bilaa = I dan e =0, sehingga 1 dimasukkan dalam kolom a = I pada baris di manae = 0.

Gambar 6-5 Peta Karnaugh untuk Term Hasil.

179

abe °

00 °0 °4

01 1 I 1 5

II I 1 3 °7

10 ° 2 °6

Gambar 6-4

a

ocm

b00

01 01. - - .

b =I in < II I (1 I 1 '\ I

II

c=O in

these rows

' these rows

10III I 1 JI 10I' I /1 1

b bc.'I

ac,

- -

Jika suatu fungsi diberikan dalam bentuk aljabar, tidak perlu memperluasnyake minterm sebelum memplotkannya pada peta. Jika kalimat aljabar dikonversikanpada bentuk jumlah hasil, maka masing-masing term hasH dapat diplotkan seearalangsung sebagai sebuah kelompok 1 pada peta tersebut. Misalnya,

f (a, b, c) = abc' + b'e + a'

kita tidak akan memplotkan peta sebagai berikut:

l. Term abc' adalah I bila a=1 dan be=1Oa 0

I sehingga kita letakkan 1 pada kotak yangbe berkorespondensi dengan kolom a= 1dan00 1 baris' be= 10

Term b'e sarna dengan 1 bila be=OI, 01 11

}sehingga kita tempatkan 1pada kedua kotakbaris be= 01 11 I

Term a' adalah 1 jika a=O, sehingga kita

}menempatkan 1 pada semua bans kolom a=O10 I I

2.

3.

(Perhatikan : Karena sudah ada I pada kotak abe = 00 I, kita tidak perlumeletakkan I yang kedua di sini karena x + x = x.)

Gambar 6-6 menggambarkan bagaimana kalimat yang disederhanakan untuksuatu fungsi dapat diderivasikan dengan menggunakan peta Karnaugh. Fungsiyang disederhanakanterlebih dahulu diplotkan pada peta Karnaughdalam Gambar6-6(a). Term dalam kotak yang berdekatan pada peta tersebut hanya berbeda satuvariabel dan dapat dikombinasikan dengan menggunakan teorema XY' + Xy =X. Jadi a'b'e dan a'be dikombinasikan untuk membentuk a'e, dan a'b'e dan ab'edikombinasikan untuk membentuk b'e seperti terlihat dalam Gambar 6-6(b).Suatu ikatan sekeliling kelompok minterm yang menunjukkan bahwa term initelah dikombinasikan. Term yang diikatkan dapat dibaea seeara langsung daripeta. Jadi, untuk Gambar 6-6(b), term T( ada pada kolom a=O(a') dan merentangbaris di manae=I, sehinggaT( =a'e. Perhatikanbahwab telahdihapuskarenadua mintermpadaTI berbedapada variabelb. Demikianpula term T2 ada padabaris be=OI sehingga T2 = b'e, dan a telah dihapus karena T2 merentang padakolom a =0 dan a=l. Jadi, bentukjumlah hasil minimum untuk F adalah a'e +b'e.

180

abe""- 0

QO

TI" ,=abc+abc=ac

01T,=-o'b'c+ob'c=b'c

II

10

F = tm( I. 3. 5) F=o'c+b'c

(a) Plot of mintenns (b) Simplified fonn of F

Gambar 6-6 Penyederhanaan Fungsi 3-variabel

(a) Plot minterm

(b) Bentuk yang disederhanakan dari F

Peta untuk komplemen F (Gambar 6-7) dibentuk dengan mengganti 0 denganI dan 1 dengan 0 pada peta F. Untuk menyederhanakan F', perhatikan bahwaterm pada baris paling atas dikombinasikan untuk membentuk b'e' danterm-term pada baris paling bawah berkombinasi untuk membentuk be'. Karenab'e' dan be' hanya berbeda satu variabel, baris atas dan baris bawah kemudiandapat dikombinasikan untuk membentuk kelompok yang terdiri dari empat 1,jadi menghilangkan dua variabel dan meninggalkan Tl=e', Bilangan 1 yanglainnya ~rkombinasi seperti terlihat untuk membentuk T2=ab, sehingga bentukjumlah hasil minimum untuk F' adalah e' + ab.

181

abc' 0

00

01

II

10

TI =b'c' +bc' =c'

Gambar 6-7 Komplemen Peta pada Gambar 6-6(a)

Peta Kamaugh juga dapat menggambarkan teorema dasar dari aljabar Boolean,

Gambar 6-8 menggambarkan teorema konsensus, XY + X'Z + YZ = XY + X'Z.Perhatikan bahwa term konsensus (YZ) adalah term redundan karena I-nya ditutupioleh dua term lain.

Gambar 6-8 Peta Karnaugh yang menggambarkan Teorema Konsensus.

Jika sebuah fungsi mempunyai dua bentuk jumlah hasil minimum atau lebih,

182

xYZ X 0

00

. 01 If 1 11 A yz (consensuslennl01

x:

11m

II

10 1 10xy

xy + x' z + yz =xy + x' :

semua bentuk ini dapat ditentukan dari sebuah peta. Gambar 6-9 menunjukkandua solusi minimum untuk F =m(O, I, 2, 5, 6, 7).

F=a'b' +bc' +ac F=a'c' +b'c+ab

Gambar 6-9 Fungsi dengan Dua Bentuk Minimum.

6.3 PETAKARNAUGH4 VARIABEL

Gambar 6-10 menunjukkan tempat minterm pada peta 4-variabel. Masing-masing minterm ditempatkan berdekatan dengan empat term di mana ia dapatdikombinasikan. Misalnya, m5(0101) dapat berkombinasi dengan m1(OOOl),mi01OO), m7(0111), atau m13(l101) karena ia hanya berbeda satu variabel darimasing-masing minterm lain. Definisi kotak yang berdekatan hams diperluassehingga tidak hanya baris paling atas dan bawah saja seperti dalam peta 3-variabel, namun juga kolom pertama dan kolom terakhir adalah berdekatan. Halini memerlukan penomoran kolom secara berurutan 00, 01, 11, 10, sehinggaminterm ° dan 8, 1 dan 9, dan s~terusnya, adalah kotak berdekatan.

183

184

CD

Gambar 6-10 Tempat Minterm pada Peta Karnaugh 4-Variabel.

Sekarang kita akan memplot kalimat 4-variabel berikut ini pada peta kamaugh(Gambar 6-11) :

(a, b, e, d)= aed + a'b + d'

Q'bd'

Qed

Gambar 6-11

Plot dari acd + a'b + d'

Term pertama adalah I bila a =c =d = 1, sehingga kita menempatkan duakotak yang berada pada kolom a = 1 dan bans cd = 11. Term a'b adalah 1 bilaab = 01, sehingga kita menempatkan empat bilangan I pada kolom ab = 01.Akhimya, d' adalah 1 bila d=O,sehingga kita menempatkan delapan 1dalam duabaris di mana d =O. (1 rangkap tidak diplotkan karena I + I = I.)

-- -. . . .-

I 1 1 1

. 1 1 1

I 1 1

) 1 1 1

. -.. - -.--..----

Berikutnya kita akan menyederhanakan fungsi 1 dan 2 yang ada pada Gambar6-12. Karena fungsi tersebut ditentukan dalam bentuk minten:n, kita dapatmenentukan tempat I pada peta dengan merujuk pada Gambar 6-10. Setelahmemplotkan peta. kemudian kita dapat mengkombinasikan kelompok I yangberdekatan. Minterm dapat ditentukan dalam kelompok 2, 4,atau 8 untukmenghapus variabel I, 2, atau 3, secara berurutan. Dalam Gambar 6-12(a)pasangan I dalam kolom ab =00 dan juga baris d=1 mewakili a'b'd. Kelompokempat I dalam kolom b =I dan baris c=O mewakili be'.

Dalam Gambar 6-12(b), perhatikan bahwa empat sudut I merentangkankolom b=O dan baris d=O, dan oleh karenanya dapat dikombinasikan untukmembentuk term b'd'. Kelompok delapan I menutupi baris-baris di mana c=I,dan oleh karenanya mewakili mewakili term c. Pasangan I yang diikatkan padapeta mewakili term a'bd karena term ini ada dalam kolom ab=Ol dan merentangsampai baris d= I.

1 \. I be'

11 10

1

ab'cd'

I. =Im( I. 3. 4. 5. 10. 12. 13)

=be' +a'b'd+ab'cd'h = Im(O. 2. 3. 5. 6. 7. 8. 10. II. 14. 15)

=c+b'd.' +a'bd

(a) (b)

Gambar 6-12 Penyederhanaan Fungsi 4-Variab-eI,

Metode peta Karnaugh dengan mudah diperluas ke fungsi term yang tidakdipedulikan. Minterm yang diperlukan ditunjukkan dengan bilangan I paeJapeta.dan minterm yang tidak dipedulikan ditunjukkan dengan X. Ketika memilih term

185

Db

cd ""- 00 01

oo

a'b'd01 (iJ 1-...

.11

10

-- --

untuk membentuk jumlah hasil minimum, semua bilangan 1harns ditutup, namunX hanya digunakan jika mereka menyederhanakan kalimat yang dihasilkan.Oalam Gambar 6-13, term yang tidak dipedulikan saja yang digunakan dalammembentuk kalimat yang disederhanakan adalah 13.

~bcd

f = I,m(1,3,S,7,9) + I,d(6,12,13)

= d'd + c'd

Gambar 6-13 Penyederhanaan Fungsi Yang Tidak Ditentukan Secara Lengkap.

Gunakan peta Kamaugh untuk mencari bentuk jumlah hasil minimum untukfungsi yang telah digambarkan dalam Gambar 6-1, 6-6, dan 6-12. Hasil jumlahminimum dapat juga diperoleh dari peta peta. Karena ° dari adalah I-nya .,makajumlah hasil minimum untuk .dapatditentukandenganmengikat° padapeta.komplemen dari jumlah hasil minimum untuk .adalah jumlah hasil minimumuntuk . Contoh berikut ini menggambarkan prosedur ini untuk

f =x'z' + wyz + w'y'z'+ x'y

Lebih dahulu, 1 pada diplotkan dalam Gambar 6-14. Kemudian dari 0,f' = y'z + wxz' + w'xy

dan hasil jumlah minimum untuk adalah

=(y + z')(w'+ x'+ z)(w + x' + y')

186

-- -. . . .-,

I X

(1 1 X 1)

1 1

I X

Gambar 6-14.

6.4 PENENTUANKALIMATMINIMUMDENGANMENGGUNAKANIMPLIKANPRIMAMENDASAR

Setiap I tunggal atau kelompok I yang dapat dikombinasikan bersama padasebuah peta fungsi F mewakili term hasil yang disebut implikan F.f

3Lihat Bagian 7.1 untuk definisi implikan.formal dan implik~ prima.

f Beberapa implikan F ditunjukkan dalam Gambar 6-15. Implikan-term hasildisebut implikan prima jika ia tidak dapat dikombinasikan dengan term lainuntuk menghapus sebuah variabel. Dalam Gambar 6-15, a'b'e, a'ed', dan ae'adalah implikan prima karena. mereka tidak dapat dikombinasikan dengan termlain untuk menghilangkan sebuab variabel. Di pihak lain, a'b'e'd' bukanmerupakan implikan prima karena ia dapat dikombinasikan dengan a'b'ed'. abc'maupun ab'e' bukan merupakan implikan prima karena term ini berkombinasibersama untuk membentuk ae'.

abcd

ac'

ab'c'

abc'

Gambar 6- 15l' Fa'cd'

187

a'b'c'd'-l}

01

IIa'bc'

- -

Semua implikan prima dari suatu fungsi dapat diperoleh dari peta Karnaugh.Suatu bilangan I tunggal pada sebuah peta mewakili implikan prima jika tidakberdekatan dengan bilangan 1 yang lain. Dua bilangan 1 yang berdekatan padasebuah peta membentuk suatu implikan prima jika mereka tidak berada dalamkelompok yang berisi delapan bilangan I, dan seterusnya.

K:alimatjumlah-hasil minimum untuk suatu fungsi terdisi"dari beberapa (tidakperlu semua) implikan prima dari suatu fungsi. Dengan kata lain, kali~at jumlah-hasil yang berisi sebuah term yang bukan implikan prima tidak dapat menjadiminimum. Ini benar karena jika sebuah term non-prima ada, kalimatnya dapatdisederhanakan dengan mengkombinasikan term non-prima dengan mintermtambahan. Untuk menemukanjumlah hasil minimum dari sebuah peta, kita hamsmencari bilangan implikan prima minimum yang menutupi semua bilangan 1pada peta. Fungsi yang diplotkan dalam Gambar 6-16 mempunyai enam implikanprima. Tiga dari implikan prima ini menutupi semua bilangan I pada peta, dansolusi minimum-nya adalah jumlah dari tiga implikan prima ini. Ikatan yangdiberi bayang-bayang mewakili implikan prima yang bukan merupakan bagiandari solusi minimum.

Gambar 6-16 Penentuan semua Implikan Prima

Ketika menuliskansemua implikan prima dari peta tersebut,perhatikan bahwaseringkali ada implikan prima yang tidak termasuk dalam jumlah hasil mini-

mum. Meskipun semua bilangan 1dalam suatu term telah ditutupidengan implikanprima, term tersebut masih merupakan implikan prima asalkan tidak termasukdalam kelompok yang lebih besar dari I. Misalnya, dalam Gambar 6-16, a'c'dmeiupakan implikan prima karena tidak dapat dikombinasikan dengan bilangan

188

abcd"'" 00 01 11 10

a'c'd00 1

, Minimum solution: F = a' b'd + be' + DC01

All prime implicaots: a'b'd. be'. ac.a'c'd. ab. b'cd

11R"lJ I Irri ,....-:(; ..

I I "-b'Cd101 I I\.ttJ

_. d.. _.. .

1 lainnya untuk menghilangkan variabel yang lain. Namun, abd bukan merupakanimplikan prima ia tidak dapat dikombinasikan dengan dua bilangan 1 lainnyauntuk membentuk ab. Term -b'cd juga merupakan implikan primameskipunkedua bilangan I-nya telah ditutupi dengan implikan prima yang lain. Dalamproses menemukan implikan prima, term yang tidak dipedulikan diperlakukansarna seperti bilangan I. Namun, suatu implikan prima yang keseluruhannyaterdiri dari term yang tidak dipedulikan tidak pemah dapat menjadi bagian darisolusi minimum.

Karena semua implikan prima suatu fungsi biasanya tidak diperlukan dalammembentuk jumlah hasil minimum, maka diperlukan prosedur yang sistematikuntuk memilih implikan prima. Jika implikan prima dipilih dari peta dapaurutan yang salah, solusi non-minimum dapat menghasilkan. Misalnya, dalamGambar 6-17, jika CD dipilihpertama kali, maka BD, B'C, dan AC diperlukanuntuk menutupi bilangan ! lainnya, dan solusinya berisi empat term. Namun,jika implikan prima yang ditunjuk dalam Gambar 6-17(b) dipilih terlebih dahulu,semua bilangan 1 ditutup dan CD tidak diperlukan.

f=CD,+BD+B'C+AC

(a)

f=BD+B'C+AC

(b)

Gambar 6- J 7

Perhatikan bahwa beberapa minterm pada peta Gambar 6-17(a) dapat ditutupdengan satu implikan prima tunggal. Misalnya, m2 hanya ditutup dengan satuimplikan prima, implikan prima tersebut dikatakan esensiaVmendasardan hamsmeliputi jumlah hasil minimum. Jadi, B'C adalah merupakan implikan primaesensial karena m2 tidak ditutupi oleh implikan prima lainnya. Namun, CD tidak

189

ABCD 10

00'ms

r'- --....011 IJ .) 1 II I

- --1 ." \ 1 I 1 .. !l :

+

C;r I "I I"U ID '" !,' \ 1 I 1 I,- \-.:.:

-- -. .. .

1 1

r--,1 1 1 1

1 1 1

--- -- - , - -

esensi<J.Ikarena masing-masing bilangan I pada CO dapat ditutup oleh implikanprima lainnya. Satu-satunya implikan prima yang menutupi ms adalah BO,sehingga BO esensial. Oemikian pula, AC esensial karena tidak ada implikanprima lainnya yang menutupi m14.Oalam eontoh ini, jika kita memilih semuaimplikan prima esensial, semua bilangan 1pada peta tersebut ditutup dan implikanprima ,non-esensial CO tidak diperlukan.

Seeara umum, untuk menemukan jumlah hasil minimum dari suatu peta,pertama kali kita harns mengikat semua implikan prima esensial. Salah satu earauntuk meneari implikan prima esensial pada sebuah peta adalah seeara sederhanamelihat pada pada masing masing bilangan I pada peta yang belum tertutupi ,dan memeriksa berapa implikan prima menutupi bilangan I tersebut. Jika hanyaada satu implikan prima yang menutupi bilangan 1, implikan prima tersebutadalah esensial. Jika ada dua atau lebih implikan prima yang menutupi yangmenutupi bilangan 1, kita tidak dapat mengatakan apakah implikan prima iniesensial atau tidak tanpa pengeeekan selanjutnya. Untuk masalah sederhana, kitadapat menempatkanimplikanprima esensialdengan eara ini "dengan pemeriksaan"dari masing-masing bilangan 1 pada peta tersebut. Misalnya, dalam Gambar6-16, m4 hanya ditutupi dengan implikan prima be', dan m10hanya ditutupidengan implikan prima ae. Semua bilangan 1 lainnya pada peta tersebut ditutupioleh dua implikan prima; oleh karenanya, satu-satunya implikan prima esensialadalah be' dan ae.

Untuk peta yang lebih rumit, terutama untuk peta dengan lima atau lebihvariabel, kita memerlukan pendekatan yang lebih sistematik untuk menemukanimplikan prima esensial. Ketika memeriksa sebuah minterm untuk melihat apakahia hanya ditutupi oleh hanya satu implikan prima, kita harus melihat pada semuakotak yang berdekatan dengan minterm tersebut. Jika minterm yang ada dansemua bilangan 1 yang berdekatan dengannya ditutupi oleh sebuah term tunggal,kemudian term tersebut merupakan implikan prima esensial. Pernyataan inidibuktikan dalam Lampiran C.l.

o Jika semua bilangan 1 yang berdekatan dengan minterm yang ada tidakditutupi olah sebuah term tunggal, maka ada dua atau lebih implikan prima yangmenutupi minterm tersebut dan kita tidak dapat mengatakan apakah implikanprima ini esensial atau tidak tanpa pengeeekan lebih lanjut. Gambar 6-18menggambarkan prinsip ini.

Bilangan 1 yang berdekatan untuk minterm mo(lo) adalah II' 12, dan 14'Karena tidak ada term tunggal yang menutupi empat bilangan I ini, maka tidakada implikan prima esensial yang muneul. Bilangan I yang berdekatanuntuk II adalah 10dan Is, sehingga term yang menutupi tiga bilangan I (A'C')

190

adalah implikan prima esensial. Karena hanya I yang berdekatan dengan 12adalah 10,maka A'B'D' juga merupakan term esensial. Karena bilangan I yangberdekatan dengan 17 (15 dan 115)tidak ditutupi dengan sebuah term tunggal,baik A'BD maupun BCD bukan esensial pada poin ini. Namun, Karena satu-satunya bilangan I yang berdekatan dengan III adalah 115'maka ACD adalahesensial. Untuk menyelesaikan solusi minimum, salah satu implikan non-esensialdiperlukan. A'BD maupun BCD dapat dipilih. Solusi finalnya adalah

ACD

6 14 10

Gambar 6-J8

Perhatikan: Bilangan I yang diberi bayang-bayang berwama merah ditutupioleh hanya satu implikan prima. Kesemua bilangan 1 lainnya ditutupi oleh palingtidak dua implikan prima.

Jika sebuah minterm yang tidak dipedulikan ada pada peta etrsebut, kitatidak hams memeriksanya untuk melihat apakah ia ditutupi oleh satu atau lebihimplikan prima. Namun demikian, ketika memeriksa sebuah bilangan I untukyang berdekatan dengan I, kita perlakukan term yang tidak dipedulikan yangberdekatan seolah-olah mereka adalah 1 karena term yang tidak dipedulikandapat dikombinasikan dengan I dalam proses pembentukan implikan prima.Prosedur berikut ini kemudian dapat digunakan untuk mendapatkanjumlah hasilminimum dari peta Kamaugh :

I. Pilihlah sebuah minterm (a I) yang' belum ditutupi.

191

------

2. Carilah I dan X yang berdekatan dengan minterm tersebut. (Periksalah kotakyang berdekatan dengan n pada peta n-variabel.)

3. Jika sebuah term tunggal menutupi minterm tersebut dan semua bilangan 1dan X yang berdekatan, maka term tersebut merupakan implikan primaesensial, maka pilihlah term tersebut. (Perhatikan bahwa term yang tidakdipedulikan diperlakukan seperti 1 dalam langkah 2 dan 3 namun bukanpada langkah 1.)

4 UIangiiah langkah-IangkahI, 2, dan ~salmapi semua implikan prima esensialterpilih.

5. Carilah rangkaian implikanprima minimum yang menutupibilangan llainnyapada peta tersebut. (Jika ada lebih dari satu rangkaian semacam itu, pilihlahsatu rangkaian ~engan jumlah literal minimum.)

Gambar 6-19 memberikan "flowchart" untuk prosedur ini.

192

Pilihlah sebuahbilangan 1 yangbelum ditutup.

Carilah semuabilangan 1 dan Xyang berdekatan.

Term tersebutadalah implikanprima esensial.

lkatlah.

VA

Carilah rangkaian impIikan

prima minim"" yang menUlU:bilangan satu IaJmya pada

petaI_but.

TIDAK

{

Perhatikan:semua impllkan prima esenslaltelah ditentukan pada poin. Ini.

Gambar 6-19. Flowchart untuk menentukan Jumlah Hasil Minimum

Dengan Menggunakan Peta Kamaugh

193

Contoh berikut ini (Gambar 6-20) menggambarkan prosedur di atas. Dimulaidengan 14, kita lihat bahwa 1 dan X yang berdekatan (Xo' 15' dan 16) tidakditutupi oleh sebuah term tunggal, sehingga tidak ada implikan prima esensialyang muncul. Namun demikian, 16 dan bilangan 1 dan X yang berdekatan (14dan X7) d~tutup oleh A'B, sehingga A'B merupakan implikan prima esensial.Berikutnya, dengan melihat pada 113,kita lihat bahwa I dan X yang berdekatan(15' 19, Idan XIS) tidak ditutupi oleh term tunggal, sehingga tidak ada implikanprima esensial yang muncul. Demikian pula, pemeriksaan term-term yangberdekatan dengan Is dan 19menunjukkan tidak adanya implikan prima esensial.Namun demikian, 110hanya mempunyai Is yang berdekatan dengannya, sehinggaAB'D' adalah implikan prima esensial karena ia menutupi 110dan Is' Setelahterlebih dahulu memilih implikan prima esensial, sekarang kita memilih AC'Dkarena ia menutupi 1 yang lain pada peta tersebut.

Gambar 6-20

Keterangan : Bilangan I yang diberi bayangan ditutupi oleh hanya satuimplikan prima.

Pemilihan susunan yang bijaksana di mana minterm yang terpilih(langkah I) mengurangi jumlah kerja yang dibutuhkan dalam mengaplikasikanprosedur di atas. Seperti halnya yang akan kita saksikan pada bagian berikutnya,prosedur ini terutama bermanfaat untuk memperoleh solusi minimum untuk soal5 dan 6-variabel.

194

6.5 PETAKARNAUGH5 DAN6 VARIABEL

Suatu peta 5-variabel dapat disusun dalam tiga dimensi dengan menempatkanpeta 4-variabel pada puncak variabel yang kedua. Term pada lapisan palingbawah diberi nomor 0 sampai 15 dan term yang berkorespondensi pada lapisanyang paling atas diberi nomor 16 sampai 31, sehingga term-term pada lapisanyang terbawah berisi A' dan term yang ada pada lapisan yang paling atas berisiA. Untuk mewakili peta dalam dua dimensi, kita akan membagi masing-masingkotak dalam peta 4-variabel dengan garis diagonal dan meletakkan term-termpada lapisan terbawah berada di bawah garis dan term-term pada lapisan di atasberada di atas garis diagonal tersebut (Gambar 6-21). Suatu representasi pilihanharus membuat dua lapisan sisi demi sisi seperti dalam Gambar 6-29, tapikebanyakan orang yang mencari kedekatan lebih sulit untuk melihat kapanbentuk ini digunakan.

Term-term pada lapisan atas dan bawah berkombinasi seperti. term-termpada peta 4-variabel. Lagi pula, dua term pada kotak yang sarna yang dipisahkandengan garis diagonal hanya berbeda satu variabel dan dapat dikombinasikan.Namun demikian, beberapa term yang secara fisik muncul berdekatan tidak dapatdikombinasikan. Misalnya term 0 dan 20 tidak berdekatan karena mereka munculpada kolom yang berbeda dan pada lapisan yang berbeda. Masing-masing termdapat berdekatan tepat dengan lima term lain, empat term pada lapisan yangsarna dan satu term pada lapisan yang lain (Gambar 6-22). Ketika mengecekkedekatan, masing-masing term hams dicek pada lima kotak yang mungkinberdekatan.

195

A110

Term-Ierm ini lidak berlcombinasi karena mereka berada padalapisan yang berbeda dan kolom yang berbeda (merekaberbeda pada 2 variabel).

8 lerm ini' berkombinasi unlukmemberikan BO' (B dari kolom lerakhirdan 0' dari dua baris di alas; A dihapuskarena 4 lerm berada pada lapisan alasdan 4 lerm pada lapisan bawah.)

4 lerm ini (2lerm dari lapisan alas dan2 lerm dari lapisan bawah) berkombinasiunluk memberikan COE (C dari duakolom di lengah dan DE dari barislersebul).

2 lerm pada lapisan alas berkombina.~i unluk memberikan AB'OE.

Gambar 6-21 Peta Karnaugh 5-variabel

cDE 00 01 II 10

A110

Gambar 6-22

196

Dua contoh minimalisasi 5-variabel dengan menggunakan peta.Gambar 6-23 adalah peta dari

F(A, B. C, D. E) = L m(O,4,5, 13,15,20,21,22,23,24,26,28,30,31)

BCDE' 11 to

Shaded I's are used toselect essential primeimplicants.

Gambar 6-23

Implikan prima PI dipilih pertama kali karena semua bilangan 1 yangberdekatan dengan minterm ° ditutup olah PI' Implikan prima P2 selanjutnyadipilih karena semua bilangan I yang berdekatan dengan minterm 24 ditutupoleh P2. Semua bilangan I yang lain pada peta tersebut dapat ditutup paling tidakoleh dua implikan prima yang berbeda, sehingga kita meneruskan denganpercobaan. Setelah beberapa percobaan, akan menjadi jelas bahwa bilangan 1yang tersisa dapat ditutup oleh tiga implikan prima. Jika kita memilih implikanprima P3 dan P4 lebih lanjut, dua bilangan I yang ada dapat ditutup oleh duakelompok bilangan 4 yang berbeda. Solusi minimum yang dihasilkan adalah

PI {

AB'C

}

atauAB'CD'

F =A'B'D' + ABE' + ACD + A'BCE +

197

Gambar 6-24 adalah peta dari

F(A, B. C. D, E) =L m(O, I, 3, 8, 9, 14, 15, 16, 17, 19, 25, 27, 31)

Semua bilangan 1 yang berdekatan dengan ml6 ditutup dengan PI' sehinggamemilih PI terlebihdahulu. Semua bilangan 1 yang berdekatan dengan m3ditutupdengan P2 ' sehingga P2 dipilih berikutnya. Semua bilangan I yang berdekatandengan mgditutup dengan P3, sehingga P3dipilih. Karena ml4 hanya berdekatandengan m15,P4juga esensial. Tidak ada implikan prima yang lebih esensial, danbilangan 1 yang lainnya dapat ditutup dengan dua term P5 dan

(1-9-17-25) atau (17-19-25-27). Solusi akhimya adalah

{

C'D'E

}

F =B'C'D'+ B'C'E + A'C'D'+ A'BCD + ABDE + atauAC'E

PI P2 P3 P4 P5

Peta 6-variabel dapat disusun dalam tiga dimensi dengan membandingkanempat peta 4-variabel. Plotkan nilai AB pada lapisan dan nilai-nilai CD dan EFpada baris dan kolom pada setiap lapisan. Tempatkan AB =00 ke lapisan bawah,AB =01 pada lapisan kedua, AB = 11 ke lapisan ketiga, dan AB = 10 ke lapisanpaling atas. Kemudian term lapisan yang berdekatan hanya berbeda pada satuvariabel. (Dalam hal ini lapisan atas dan bawah berdekatan.) Peta 6-variabeldapat ditulis dalam dua dimensi dengan membagi masing-masing kotak dari peta4-variabel menjadi empat bagian seperti terlihat di bawah. Minterm 0-15 diplotkandalam lapisan bawah (Iapisan 00), 16-31 pada lapisan berikutnya (01), 32-47pada lapisan atas (10), dan 48-63 pada lapisan ketiga (11).

198

Gambar 6-24

Lapisan "Ketiga"

~

Lapisan"AlaS" '>~"'- Lapisan"Kedua"

~ Lapisan "Bawah"

199

AS

I~I~I

Gambar 6-25 Peta 6-Variabel

Gambar 6-25 menunjukkan contoh 6-variabel. Perhatikan bahwa term-termdalam kolom (atau baris) berdekatan hanya jika mereka berada pada lapisanyang berdekatan. Term 1 pada lapisan kedua adalah A'BC'D'E'. Term 2merentang pacta lapisan kedua dan ketiga dan term tersebut adalah BCE'F'.Term 3 pada lapisan ketiga adalah ABEF. Term 4 merentang ke semua empatlapisan , menghapuskan A dan B. Term 4 adalah D'EF'. Dua bilangan 1 yanglainnya pada peta tersebut tidak mengkombinasikan term lainnya. Mereka tidakberdekatan dengan term yang terdekat karena term-term ini berada pada lapisanyang berbeda.

6.6 KEGUNAANLAINDARIPETAKARNAUGH

Banyak operasi yang dapat dilakukan dengan menggunakan tabel kebenaranatau secara aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan peta Karnaugh. Jikakita memplotkan sebuah kalimat untuk F pada sebuah peta, kita dapat membacaperluasan minterm dan makstermnya untuk F dan untuk F'. Dari peta gambar6-14, perluasan minterm untuk f adalah

200

f =L m(O, 2, 3, 4,8,10, II, 15)

dan karena rnasing-rnasing 0 OOrkorespondensi dengan rnaksterm, rnaka perluasanrninterm f adalah

f = II MO, 5, 6, 7,9, 12, 13, 14)

Kita dapat rnernbuktikanbahwa dua fungsi adalah sarna dengan rnemplotkanrnereka pada peta dan dengan rnenunjukkan bahwa rnereka rnernpunyai petaKarnaugh yang sarna. Kita dapat rnelakukan operasi AND (atau operasi OR)pada dua fungsi dengan rneng-AND-kan (atau (OR) 1 dan 0 yang rnuncul dalarnposisi yang OOrkorespondensipada peta rnereka. Prosedur ini valid karena iaekuivalen dengan rnelakukan operasi yang sarna pada taOOIkebenaran untukfungsi tersebut.

Suatu peta Karnaugh dapat rnembantu rnemfaktorkan sebuiah kalirnat.Perneriksaan peta rnengungkapkan term-term yang rnempunyai satu atau lebihvariabel secara urnurn. Untuk peta berikut ini, dua term pada kolom pertamarnernpunyai B'B' secara urnum; dua term pada sudut kanan bawah mempunyaiAC secara urnurn.

01 11 10

1

1O~

Gambar 6-26

Ketika rnenyederhanakan sebuah fungsi secara aljabar, peta Karnaugh dapatdigunakan sebagai panduan dalam rnenentukan langkah apa yang diambil.Misalnya, pertirnbangkan fungsi

F = ABCD + B'CDE + A 'B' + BCE'

201

Dari peta tersebut (Gambar 6-27), kita lihat bahwa untuk mendapatkan solusiminimum kita harns menambah term ACDE. Kita dapat melakukan hal ini denganmenggunakan teorema konsensus :

F =ABCD + B'CDE + A'B' + BCE~+ACDET T /'

Tambahkan term ini

Kemudian dua term ini dapat dihilangkan.

Gambar 6-27

Seperti yang dapat kita lihat dari peta tersebut, kaliamt di atas sekarangberisi dua term redundan, ABCD dan B' cde. Term ini dapat dih,ilangkandenganmenggunakan teorema konsensus yang memberikan solusi minimum

F = A'B' + BCE' + ACDE

202

. . . - ... ..--...

6.7 BENTUKLAINDARIPETAKARNAUGH

Selain memberi label sisi-sisi peta Kamaugh dengan 0 dan 1, kebanyakanorang lebih suka menggunakan lebel seperti yang terlihat pada: Gambar 6-28.Untuk setengah dari peta yang diberi label A, A = 1; dan untuk setengah yanglain , A = o. variabellainnyamempunyaipenerjemahanyangsarna.Sebuahpetayang diberi label dengan cara seperti ini kadang-kadang ditunjuk sebagai dia-gram Veitch. II'.khususnya bermanfaat untuk memplotkan fungsi yang diberikandalam bentuk aljabar lebih dari bentuk minterm dan maksterm. Namun demikian,ketika menggunakan peta Kamaugh untuk memecahkan soal jaringan berurutan(Unit 12 sampai 17), pemakaian 0 dan 1 untuk memberi label peta tersebut lebihenak.

A

B

Gambar 6-28 Diagram Veitch

Dua bentuk aJtematif untuk peta 5-variabel dipakai di sini. Satu bentuksecara sederhana terdiri dari dua peta 4-variabel bersisi-sisian seperti dalamGambar 6-29(a). Suatu modifikasi dari bentuk ini ada:tah menggunakan peta"bayangan cermin" seperti pada Gambar 6-29(b). Dalam peta ini, kolom pertamadan ke-delapan "berdekatan", seperti kolom kedua dan ke tujuh, kolom ketigadan ke-enam, dan kolom ke-empat dan ke-lima. Fungsi yang sama diplotkanpada kedua peta ini. Demikian pula, peta 6-variabel dapat representasikan sebagaipeta 4-variabel yang disusun da:tamkotak.

203

(al (b)

F=D'E' +B'C'D' + BCE+A'BC'E' + ACDE

Gambar 6-29 Bentuk lain dari Peta Karnaugh 5- Variabel.

LATiHANTERPROGRAM6.1

Tutuplah jawaban dari latihan ini dengan selembar kertas dan geserlah kebawah ketika anda memeriksa jawaban anda. Tulislah jawaban andcipada tempatyang diberikansebelum melihat jawaban yang benar.

50al : Tentukan jumlah hasil minimum dan hasil jumlah minimum untuk

f = b'e'd' + bed + aed'+ a'b'e + a'be'd

Terlebih dahulu, plotkan peta tersebut untuk f.

I

I

204

/'-------- A

//" BC ....." 801, II 10 nr 00 01 II \ 10 .

\

I1R

tED{10I I I IfI\l 10 I I I I I

-,..- -,..-A =0 A= I C C

Jawaban :

(a) Minterm yang berdekatan dengan mo pada peta di atas adalahdan

(b) Carilah implikan prima esensial yang berisi mo dan ikatlah.

(c) Minterm yang berdekatan dengan mo adalahdan

(d) Adakah implikan prima esensial yang berisi ml ?

(e) Carilah implikan prima esensial dan ikatlah.

205

I 1 1

. 1

. 1 1 1

I 1 1 1

Jawaban

(a) m2 dan mg (b)

(c) m2 dan m7 (e)

(d) Tidak

-

Ikatlah bilangan 1 yang lainnya dengan menggunakan bilangan pengikatminImum.

Dua bentuk jumlah hasil minimum yang memungkinkan untuk f adalah

f= dan

f=

Jawab :

I

a' cd

J

f = b'd' + a'bd + abc + ataua'b'c

Selanjutnya, ktia akan mencari hasil jumlah minimum untuk f. Dimulaidengan memplotkan peta tersebut untuk f'.

Ikatlah semua implikan prima esensial dari f' dan tunjukkan minterm manayang membuat masing-masing minterm tersebut esen sial.

)

I

)

f'

206

Jawaban :

Esensial karena m IEsensial karena mil

Esensial karena m6

Ikatlah bilangan I lainnya dan tulislah jumlah hasil minimum untuk f.

r=

Sehingga jumlah hasil minimum untuk f adalah

f=

Jawaban akhir :

r =b'c'd + a'bd' + ab'd + abc'

f =(b + c + d')(a + b' + d)(a'+ b + d')(a'+ b'+ c)

207

- -

LATiHANTERPROGRAM6.2

Soal : Tentukan kalimat jumlah hasil minimum untuk

I(a,b,c,d,e) = (a'+ c + d)(a'+ b + e)(a+ c'+ e')(c +d+e')

(b + c +d'+e)(a'+ b'+ c +. e')

Langkah pertama dalam solusi ini adalah memplotkan peta untuk f. Karenaf diberikan dalam bentuk jumlah hasil, maka lebih mudah terlebih dahulumemplotkan untuk f' dan kemudian mengkomplemenkan peta tersebut. Tulislahf' sebagai jumlah hasil :

f'=

Sekarang plotkanlah peta untuk f'. (Perhatikan bahwa ada tiga term pada"lapisan atas", satu term pada "lapisan bawah" dan dua term yang terbentang diantara dua lapisan.)

Selanjutnya konversikan peta anda untuk f' ke peta untuk f.

f'

208

cde 01 1100 10

a

1/0

f

Jawaban :

f' f

Langkah selanjutnya adalah menentukan implikan prima esensial f.

(a) Mengapa a'd'e' merupakan implikan prima esensial ?

(b) Minterm manakah yang berdekatan dengan m]? yang berdekatan denganml9 ?

(c) Adakah implikan prima esensial yang menutupi m]dan m19?

(d) Adakah implikan prima esensial yang menu~upi m21 ?

(e) Ikatlah implikan prima esensial yang telah anda temukan.

Kemudian carilah dua implikan prima esensial lagi dan ikatlah mereka.

209

210

Jawaban :

(a) Ia menutupi mo dan kedua minterm yang berdekatan.

(b) ml9 dan mil; m3 dan mZ3

(c) Tidak

(d) Ya

(e)

(a) Mengapa tidak ada implikan prima esensial yang menutupi mil ?

(b) Mengapa tidak ada implikan prima esensial yang menutupi mZ8 ?

Karena tidak ada implikan prima yang lebih esensial, maka ikatlah jumlahterm minimum yang menutupi bilangan 1 yang lain .

Jawaban:

(a) Semua yang dekat dengan I pada mil (m3, mw) tidak dapat ditutup dengansatu pengelompokan.

(b) Semua yang dekat dengan I pada mZ8(mIZ' m30,mZ9)tidak dapat ditutupdengan satu pengelompokan.

Perhatikan :Ada lima cara lain yangmemungkinkan untuk mengikatbilangan 1 yang masih tersisa.

Tulislah dua kalimat jumlah hasil minimum yang berbeda untuk f.

f=

f=

Jawaban :

f = a'd'e'+ ace + a'ce' + bde'+

{

a;:~

}

+

{bee'

b'c'de + a'e'de

}

b'c'de + a'bc'dab'de + a'c'de

211

SOAL

6.3 Sebuah perusahaan kecil mempunyai 100 saham, dan masing-masing sahamatas nama pemiliknya mewakili satu suara pada pertemuan para pemegangsaham. Mr. Clay memiliki 30 saham, dan Mr.. Drake memiliki 40 saham.Mayoritas dua per tiga diperlukan untuk mengesahkan pertemuan pemegangsaham. Setiap empat pemegang saham mempunyai tombol yang bila diatutup berarti ia bersuara "ya" untuk semua sahamnya dan terbuka berarti iabersuara "tidak". Suatu sirkuit switching harus didisain untuk menyalakanlampu ketika dilakukan pemilihan.

(a) Derivasikan tabel kebenaran un tuk fungsi output (Z).

(b) Tulislah perluasan minterm untuk Z dan sederhanakan secara aljabar kedalam bentuk hasil jumlah minimum.

(c) Tulislah perluasan maksterm untuk Z dan sederhanakan secara aljabar kedalam bentuk jumlah hasil minimum.

(d) Periksalah untuk melihatjawaban anda pada (c) apakah ekuivalen denganjawaban (b).

(e) Disainlah jaringan switching minimum dan jaringan gerbang AND-ORminimum untuk merealisasikanZ.

6.4. Sebuah pesawat udara menggunakan dua komputer "ground-based" dan satukomputer "on-board" untuk mengontrol mesin pendorong sebagai pembuatrangkaian yang benar:Juga ada kontrol pendorong manual yang akan memutarkontrol pendorong secara langsung ke komputer "on board" bila pesawattersebut tidak dapat kontak dengan stasiun di darat. Jika pendorong manualmati (logika 0), maka pendorongnya akan menyala jika paling tidak dua daritiga komputer mengeluarkan logika I. Jika pendorong manual itu menyala(logika I), maka pendorong tersebut akan menyalajika komputer "on board"mengeluarkan logika I. Buatlah A mewakili tombol pedorong manual, Bmewakili output komputer "on board", dan C serta D mewakili output duakomputer "ground."

(a) Derivasikan tabel kebenaranuntuk fungsi output Z yaitu I jika pendorongmenyala.

(b) Tuli"slahperluasan minterm untuk Z dan sederhanakan secara aljabar kedalam bentuk jumlah hasil minimum.

212

(c) Tulislah perluasan maksterm untuk Z dan sederhanakan secara aljabar kedalam bentuk jumlah hasil minimum.

(d) Periksalah untuk melihat apakahjawaban anda pada (c) ekuivalen denganjawaban untuk (b).

(e) Disainlah jaringan gerbang AND-OR minimum untuk mewujudkan Z.

6.5 Carilah jumlah hasil minimum untuk masing-masing fungsi denganmenggunakan peta Karnaugh.

(a) f.(a, b, c) = m. + m3 + m4 + m6

(b) fid, e, f) = L m(l, 4, 5, 7)(c) fir, s, t) = r't'+ rs + rs

(d) f4(x, y, z) =M. ·M7

6.6 Kerjakan Soal 6.5 untuk soal berikut ini :

(a) f.(a, b, c) = mJ + m4 + ms + m6

(b) f2(d, e, f) = TIM(O,2, 4, 7)(c) f3(r, s, t) = r's't'+ rt + st + rst'

6.7 (a) Plotkan fungsi berikut ini pada peta Kamaugh. (Jangan memperluas kebentuk minterm sebelum memplotkan.)

F =(A, B, C, D) = A'B' + CD'+ ABC + A'B'CD'+ ABC'D

(b) Carilah jumlah hasil minimum.

(c) Carilah jumlah hasil minimum.

6.8 Kerjakan Soa16.7 untuk F(A, B, C, D) = B'C' + A'BD + ABCD' + B'C.

6.9 Carilah kalimatjumlah hasil minimum untuk masing -masing fungsi berikut1m.

(a) f(a, b, c, d) =(b) f(a, b, c, d) =(c) f(a, b, c, d) =(d) f(a, b. c. d) =

I.m(O, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 13, 15)

TIM(l, 2, 4, 9, 11 )

Lm(O, 1, 5, 8, 12, 14, 15)+ L,d(2,7,11)

TIM(Q, 1, 4, 5, 10, 11, 12) TID(3,8,14)

213

6.10 Carilah kalimat jumlah hasil minimum untuk masing-masing fungsi berikut1m:

(a) f(a, b, c, d) =Un(O, 2, 3, 4, 7, 8, 14)

(b) f(a, b, c, d) = Un(1, 2, 4, 15 ) + L d(O,3, 14 )

(c) f(a, b, C, d) =nM(1, 2, 3,4, 9, 15)

(d) f(a, b, c, d) =nM(O, 2,4,6, 8) n D(3, 8, 14)

6.11 Carilah kalimat jumlah hasil minimum untuk :

(a) m (0, 2, 3, 5, 6, 7, II, 12, 13)

(b) m(2, 4, 8) + d(O, 3, 7)

(c) m (1, 5, 6, 7, 13) + d(8, 4)

6.12 Suatu jaringan logika merealisasikan fungsi F (a, b, c, d) = a'b' + a' cd +ac'd + ab'd'l. Dengaq mengasumsikan bahwa a =c tidak pemah ada ketikab =d = I, carilah kalimat yang disederhanakan untuk F.

6.13 Suatu jaringan switching mempunyai dua input kontrol (CI' C2), dua inputdata (XI' X2), dan satu output (Z). Jaringan yang menampilkan operasilogika AND, OR, EQU (ekuivalensi), atau XOR (eksklusif-OR) pada duainput data. Fungsi yang dilakukan tergantung pada input kontrol :

(a) Derivasikan tabel kebenaran untuk Z.

(b) Gunakan peta Kamaugh untuk mencari jaringan gerbang AND-ORuntuk merea1isasikanZ.

214

CI C2 I Fungsi yang ditampilkan oleh Jaringan

0 0 AND0 1 OR1 0 EQU1 1 XOR

6. 14 Untuk peta yang diberikan di bawah ini :

(a) Carilah jumlah hasil minimum untuk fl'

(b) Carilah hasil jumlah minimum untuk f 2'

ab"-

cdab

"-

cd

6.15 Carilah jumlah hasil minimum untuk F. Garisbawahilah implikan primaesensial pada jawaban anda.

ab"-

cd

6.16 Dengan F =AB'D + A'B + A'C + CD

(a) Gunakan peta Karnaugh untuk mencari kalimat maksterm untuk F(buatlah jawaban anda daIam notasi desimaI dan aIfabetik.

(b) Gunakan peta Karnaugh untuk mencari bentuk jumlah hasil minimumuntuk F'.

(c) Carilah jumlah hasil minimum untuk F.

215

-- -- -- --I X

1 1

X 1 1

I 1 X 1 X

I 1 X X 1

1 0 1 0

1 1 1 X

I 0 0 1 0

-- -. .. .

I 1 1 X

1 X 1 1

1 1

I X 1 1

216

(d) Dengan peta untuk F, kita dapat mencari peta dual untuk F denganmengkomplementasikan semua bilangan ° dan 1 pada peta dan jugamengkomplementasikan semua bilangan ° dan I pada kepala kolomdan baris. Gunakan metode ini untuk mencari bentuk jumlah hasilminimumuntukFD.(Hati-hatilahketika membacapeta FDkarena kepalakolom dan baris tidak akan berada pada urutan seperti biasanya.)

Periksalah secara aljabar bahwa kaliamt anda untuk FD benar.

6.17 Carilahjumlah hasil minimumuntuk kalimatdi bawah ini. Kemudian buatlahmintermtertentuyangtidakdipedulikandanperiksalahbahwajumlah hasilminimumnya tidak berubah. Sekarang mulailah kembali dengan kalimatasli dan carilah masing-masing minterm tunggal yang dapat dibuat menjaditidak dipedulikan tanpa mengubah jumlah hasil minimum.

(a) F(A, B, C, D) =A'C' + B'C + ACD' + BC'D, minterm 5

(b) F(A, B, C, D) =A'BD + AC'D + AB' + BCD + A'C'D', minterm 7

6.18 Carilah semua kalimat jumlah hasil minimum yang memungkinkan untukmasing-masing fungsi :

(a) f(a, b, c)

(b) f(d, e, f)

(c) f(P, q, r)

(d) f(s, t, u)

(e) f(a, b, c)

(t) f(d, e, f)

=n M (2, 3, 4)

= L m(l, 6) + d(O, 3, 5)

= (p + q' + r)(p'+ q + r')

= L m(l, 2, 3) + L d(O, 5, 7)

= nM(3, 4)

= L m(l, 4, 6) + L d(O,2, i)

6.19 Carilah kalimat jumlah hasil minimum dan hasil jumlah minimum untukmasing-masing fungsi :

(a) f(A,B,C,D) =A'B' + A'B'C'+ A'BD'+ AC'D + A'BD + AB'CD'

(b) f(A, B, C, D) =n m(O,2, 10, II, 12,14, 15)· n D (5,7)

6.20 Dengan mengasumsikan bahwa input ABCD =0101, ABCD =1001,ABCD= 1011 tidak pemah ada. carilah kalimat yang disederhanakan untuk

F =A'BC'D + A'B'D + A'CD + ABD + ABC

6.21 Untuk masing-masing fungsi berikut ini, carilah implikan prima esensialdan kemudian carilah semua kalimat jumlah hasil minimum :

(a) f(a, h, c, d) = L mO, 5, 6, 7, II, 13, 15)(b) f(w, x, y, z) = II m(O,3,5,7,8,9,IO,12,13)+dO,6,II,14)

6.22 DenganF =L m(O, I, 3, 7, 8, 9, 13, 15)+ L d(2, II). .

(a) Carilah semua implikan prima.

(b) Carilah semua implikan prima esensial dan katakan mengapa masing-masing implikan prima tersebut esensial.

(c) Carilah kalimat jumlah hasil minimum untuk F.

6.23 Carilah semua implikan prima esensial untuk masing-masing fungsi yangdiplotkan pada halaman 141.

6.24 Carilah implikan prima untuk masing-masingfungsi yang diplotkan dibawah1m:

F G

217

6.25 F(a,b,c,d,e) = L m(0,3,4,5,6,7,8,12,13,14,16,21,23,24,29,31)

(a) Carilah implikan prima esensial dengan menggunakan peta Kamaughdan tunjukkan mengapa masing-masing implikan prima yang dipilihadalah esensial (ada 4 implikan prima esensial).

(b) Carilah semua implikan prima dengan menggunakan peta Kamaugh(ada 9, semuanya).

6.26 F(a,b,c,d,e) = L m(0,1,4,5,9,1O,11,'12,14,18,20,21,22,25,26,28)

(a) Carilah implikan prima esensial dengan menggunakan peta Kamaugh,dan tunjukkan mengapa masing-masing implikan prima yang dipilihadalah esensial (ada 4 implikan prima esensial).

(b) Carilah semua implikan prima dengan menggunakan peta Karnaugh(ada 13 semuanya).

6.27 F(A,B, C, D, E) = L m(0,2,6,7,8,1O,11,12,13,14, 16,18,19,20,30) + L d(4,9, 21)

Carilah kalimat jumlah hasil minimum untuk F. Garis bawahilah implikanprima esensial pada kalimat ini.

6.28 Kerjakan Soal 6.27 dengan

F(A,B, C, D, E) = L m(0,1,2,6,7,9,1O,15,16,18,20,21,27,30)+ L d(3,4,11,

12, 19)

6.29 F(A,B,C,D,E) = n M(3,6,7,8,9,10,18,20,21 ,22,23,25,26,28,29,30)

CarilahkalimatjumlahhasilminimumuntukF. Garisbawahilahimplikanprima esensialpada kalimatini.

6.30 Kerjakan Soal 6.29 dengan

F(A,B,C,D,E) = n M(2,3,4,8,9;10;14,15,16,18,19,20,23,24,30,31)

218

6.31 Carilah hasil jumlah minimum untuk :

(a) F(a,b,c,d,e) = L m(1,2,3,4,5,6,25,26,27,28,29,30,31)

(b) F(a,b,c,d,e) = L m(1,5,12,13,14,16,17,21,23,24,30,31)

+ L d(O,2,3,4)

6.32 Dengan menggunakan peta Kamaugh 6-variabel, carilah ka1imat jumlahhasil minimum untuk masing-masing fungsi berikut ini.

(a) G = C'E'F + DEF + AD'E'F'+ BC'E'F + AD'EF'

(b) H =A 'B'CDF' + A 'CD + A 'B 'CD'E + BCDF'

6.33 Carilah kalimat jumlah hasil minimum untuk masing-masing fungsj berikutini. Garis bawahilah implikan prima esensia1 pada jawaban anda.

(a) f(a,b,c,d,e) =L m(O,I,3,4,6,7,8,IO,11,15,16, 18,19,24,25,28,29,31)+ L d(5,9,30)

(b) f(a,b,c,d,e) = L m(1,3,5,8,9,15,16,20,21,23,27,28,31)

6.34 Carilah kalimat hasil jumlah minimum untuk masing-masing fungsi berikutInI.

(a) F(v,w,x,y,z) = L m(4,5,8,9,12,13,18,20,21,22,25,28,30,31)

(b) F(a,b,c,d,e)"= n M (2,4,5,6,8,10,12,13,16,17,18,22,23,24)

n D(O,11,30,31)

6.35 Sederhanakanlah kalimat berikut ini dengan terlebih dahulu menggunakanpeta Kamaugh kemudian dengan menggunakan a1jabarBoolean. Gunakanpeta sebagai pedoman untuk menentukan teorema mana yang diaplikasikanpada term tertentu untuk penyederhanaan aljabar.

F = a'b'c' + a'c'd + bcd + aabc + ab'

219

- --

6.36 F(V, ~X,Y,Z) =n M(O,3,6,9,1l,19,20,24,25,26,27,28,29,30)n D(1,2,12,13)

(a) Carilah dua kalimat jumlah hasil minimum untuk F.

(b) Garisbawahilahimplikan prima esensialpadajawaban andadankatakanmengapamasing-masing implikan prima tersebut esensial.

220