Bab7 transenden

1

1

Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer IIOki Neswan,Ph.D., Departemen Matematika-ITB

Bab 7 Fungsi Transenden

Logaritma NaturalInverse Fungsi dan TurunannyaFungsi Eksponensial NaturalFungsi Eksponensial UmumPertumbuhan dan Peluruhan EksponensialInverse Fungsi Trigonometri dan TurunannyaFungsi Hiperbolik dan Inversenya

2Oki Neswan, Ph.D. – Depertemen Matematika ITB

Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II

Pada bab ini kita akan sepasang fungsi yang mungkin.paling terkenal dalam calculus yaitu ln x daninversenya ex. Keduanya akan didefinisikan dengan urutan dan cara yang berbeda dari biasanya, yaitu fungsi ln x, didefinisikandahulu, sebagai integral, baru ex diberikan sebagaiinversenya.Kita akan melihat bahwa pendekatan ini dapatmemecahkan berbagai masalah dan penggunaannya sangatluas dalam sains, engineering, dan ekonomi.

2



1. Logaritma NaturalAturan pangkat, tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya adalah 1/x. Tetapi, dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kitadapat mendefinisikan fungsi melalui integral yang turunannya adalah 1/x.Fungsi ini kita sebut logaritma natural dari x, ditulis ln x.Dapat dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini, bahwa fungsi ini sama dengan fungsi logaritma berbasis eyang telah kita kenal di SMA.



Gambar di samping memberikanmakna geometri dari ln x.ln x hanya terdefinisi untuk x>0: Jika 0<x<1, maka ln x<0Jika x>1, maka ln x>1.

Definisi

1

Fungsi logaritma, ditulis ln , didefinisikan sebagai1 ln , 0

x

x

x dx xx

= >∫

3



Turunan logaritma naturalDengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita perolehbahwa

Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita perolehbahwa

11

1ln , 0x

td ddt x xdx dx x

= = >∫

( ) ( ) ( )1lnd du x u xdx u x dx

=

( ) ( )1 1 1ln 5 5 55 5

d dx xdx x dx x x

= = =

Contoh



Khususnya untuk fungsi ln|x|, kita peroleh bahwa

Untuk membuktikan ini kita perlu membaginya ke dalam duakasus: untuk x>0, di mana |x|=x dan untuk kasus x<0 sehingga|x|=-x.

( ) ( )

( ) ( )

3 3 23 3

1 1 3(a) ln 3

1 1 1 1(b) ln 3 33 3 2 2 6

d dx x xdx dx xx xd dx xdx dxx x x x x

= = =

⎛ ⎞+ = + = =⎜ ⎟

+ + +⎝ ⎠

Contoh

1ln , 0d x xdx x

= >

( ) ( )

10 : ln ln

1 10 : ln ln 1

d dx x xdx dx xd dx x xdx dx x x

> = =

< = − = − =−

4



Hubungan diatas mengatakan bahwa ln|x| adalah antiturunandari 1/x. Akibatnya, kita memperoleh formula integral bagi1/x.

Dengan demikian, teorema diatas dapat menjawab integral yang selama ini tidak terjawab oleh Aturan Pangkat, yaitu∫xrdx=xr+1 /(r+1) (tidak berlaku untuk r=-1). Bentuk lain adalah

1 ln , 0.dx x C xx

= + ≠∫

( )Jika fungsi terturunkan dan tidak pernah bernilai nol, maka1 ln , 0.

u x

du u C uu

= + ≠∫

Teorema

( )( ) ( )

'ln

u xdx u x C

u x= +∫



Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dariln5x sama dengan turunan dari lnx yaitu 1/x. Fakta iniberguna untuk membuktikan teorema berikut.

1 1

2 5

2 ln ln 1 ln 5 ln1 ln 5 ln 55

x dudx uux

− −

−= = = − − − = − = −

−∫ ∫2

0 -5

Contoh

Sifat-sifat logaritma natural

Jika dan 0 dan bilangan rasional, maka

(a) ln1 0 (c) ln ln ln

(b) ln ln ln (d) ln lnr

a b ra a bb

ab a b a r a

>

= = −

= + =

Teorema

5



Dari definisi, diperoleh bahwa ln 1=0.Memperhatikan catatan di atas, kita peroleh bahwaln ax = ln x+C. Hal ini berlaku untuk semua x. Makakhususnya untuk x=-1, kita peroleh

ln a·1 = ln 1+C = 0 + C. Jadi, C = ln a. Dengan demikian untuk x=b, berlaku

ln ab = ln b+ ln a.Selanjutnya, gunakan rumus di atas pada ln a, denganmenulisnya sebagai ln (a/b·b) untuk membuktikan bagian (c).

3

2Tentukan / jika ln2

xdy dx yx

+=

+

Contoh



( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3123

22

3 3

2ln ln 2 ln 2 ln 2 ln 22

Maka, 3 21 1 1 1 ' 3

2 2 22 2

xy x x x xx

xy x

x xx x

+= = + − + = + − +

+

= − = −+ ++ +

Bila sebuah fungsi melibatkan pembagian, perkalian, dan ataupangkat seperti

maka penentuan turunannya menjadi rumit karena memerlukanberbagai aturan turunan. Masalah ini dapat dibantu denganmenggunakan logaritma. Metoda ini disebut diferensiasilogaritma (logarithmic differentiation). Metoda ini akan sangatjelas bila kita melihat contohnya langsung.

( ) 5 2

2

1 6

xyx x

+=

+ −

6



( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

3

3 312

3 22

3 3

2

Tentukan / bila 2 4Pertama tentukan ln . Selanjutnya tentukan turunannya, terhadap , secara implisit.

ln ln 2 4 ln 2 ln 4

2 4 2 3 41 1 1 3 42 2 4 2 2 4

dy dx y x x xy x

y x x x x x x

x x xdy xy dx x x x x

x

= − −

= − − = − − −

− − − −−= − =

− − − −

−= −

Contoh

( )2

4 4 .2 4

xx x

−−



Bentuk Grafik y=ln x

( ) ( )

( )32

2 2

2 23

2

2

Jadi,

4 4 2 4 42 4 2 44

4 4

2 2 4

dy x x x x xydx x x x xx x

x x

x x x

⎛ ⎞− − − − −⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟− −−⎝ ⎠

− −= −

+ −

Seperti biasa kita dapat memanfaatkan turunan pertama dankedua untuk menganalisis bentuk grafiknya. Pertama domain atau daerah asal selang (0, ∞). Selain itu

2

2 2

1 1ln 0 dan ln 0d dx xdx x dx x

= > = − <

7



Dengan demikian, grafiknya monoton naik dan cekungkebawah. Karena

maka daerah hasilnya adalah seluruh himpunan bilangan real.

lim ln dan lim lnx xx x→∞ →−∞= ∞ = −∞



2. Inverse Fungsi dan TurunannyaSalah satu cara membangun fungsi yang baru dari fungsi yang telah ada adalah dengan mem’balik’kannya. Hasilnya disebutinverse atau balikan. Sebagai contoh, inverse dari f(x)=x3 adalahg(x)= .

Terlihat bahwa fungsi g membatalkan efek dari f dan jugasebaliknya. Inilah art inverse.

( ) ( )

1

1 1

Misalkan : sebuah fungsi. Fungsi inverse dari , jika ada, adalah fungsi : sehingga untuk tiap ,

dan

f A B ff B A x A y B

f f x x f f y y

−

− −

→

→ ∈ ∈

= =

Definisi

3 x( ) ( ) ( )3

3 3 3 dan g f x x x f g x x x= = = =

8



Keujudan InverseTidak setiap fungsi mempunyai balikan. Sebagai contoh, fungsih(x)=x2. Jika ada, karena h(2)=4, maka haruslah

Tetapi jelas juga bahwa h(-2)=4, sehingga

Akibatnya, h-1(4) mempunyai dua nilai, yaitu 2 dan –2.Hanya fungsi yang satu-satu (injektif) yang mempunyaiinverse. Kriteria ini umumnya sulit digunakan karena kita harusmengetahui benar grafiknya. Kriteria yang lebih praktis untukkeujudan inverse adalah sifat monoton sejati sebagaimanadiberikan oleh teorema berikut.

( ) ( )( ) ( )1 1 14 2 2 2h h h h h− − −= = =

( ) ( )( ) ( )1 1 14 2 2 2h h h h h− − −= − = − = −



Adakalanya sebuah fungsi yang secara natural tidakmempunyai inverse, tetapi bila domainnya dibatasi maka iamempunyai inverse. Sebagai contoh fungsi sin(x) mempunyai inverse padaselang [-π/2,π/2].

Jika monoton sejati pada seluruh domainnya, maka mempunyai inverse.

f fTeorema

Sebuah fungsi f disebut monoton naik [turun] sejati padahimpunan A bila untuk tiap x1, x2∈A, berlakujika x1< x2, maka f(x1)< f(x2) [f(x1)> f(x2) ]

9



( )

2

1 mempunyai inverse dan 2

tentukan inversenya.Pertama kita cari domainnya. Domain dari adalah seluruh 2.

1 1Dari hubungan , diperoleh bahwa sehingga22

Perlihatkan bahwa fungsi xx

f x

yxx

x

f

y

−

>

=−−

=

=

Contoh

( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2 2 1 2

1 1 2 2

21

2 1 atau 1 2. Jadi, 1 2.

1 2 1 1 2 2 1

1 1 2 2 1 1 2 2 2 2

y x y f x x

f f x f x x x x

f f x x x x x

−

− −

−

− = = + = +

= − = + − = =

= − + = − + = − + =



Grafik y=f-1(x) dan turunannyaMisalkan f mempunyai inverse. Maka

Dengan demikian, jika titik (x,y) berada pada grafik f, makatitik (y,x) berada pada grafik f-1. Artinya grafik f-1 adalah hasilpencerminan dari grafik f terhadap garis y=x.

( ) ( )1y f x x f y−= ⇔ =

10





Tiga langkah untuk menentukan balikan f-1(x)Tulis x sebagai fungsi dari y dengan cara menyelesaikanpersamaan y=f(x).Namakan hasil diatas sebagai f-1(y).Ganti y dengan x untuk memperoleh f-1(x).

Selanjutnya, bagaimana hubungan antara kemiringan grafik fdan grafik f-1?

11



Kemiringan f di a dan f-1 di f(a) ternyata juga ‘saling inverse’ yaitu

( )

( )( ) ( )( )

1 1 1

f a

a

f a cdfdx a b dfa b f a c

dx

− −= = =

− − −



( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

1

1 1

Menurut definisi fungsi inverse, . Apabila dilakukan

turunan kedua sisi, dengan bantuan aturan rantai, diperoleh

1

Misalkan fungsi terturunkan dan

x x x x

f f x x

D x D f f x D f f x D f x

f

−

− −

=

= = =

Teorema Fungsi Inverse

( )( )

( )( )( )

( )

1

11

monoton sejati pada interval . Jika ' 0 untuk suatu , maka terturunkan di titik

dan

1x x

f a

a

If x x I f

y f x

dfD f f a D f adfdxdx

−

−−

≠ ∈

=

= = =

Gambar bisa saja salah. Namun pengamatan di atas berlakuumum dan diberikan dalam teorema berikut.

12



( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

3 1

3

1 1

2

Misalkan 2. Tentukan ' 6 .

Jika 6 atau 2 6, maka haruslah 2.Jadi, menurut Teorema Fungsi Inverse,

' 6 ' 2

1 1' 2 3 2

112

y f x x f

f a a a

f f f

f

−

− −

= = −

= − = =

=

= =×

=

Contoh



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

-1

1

Tentukan rumus dari jika 1 2 .Pada langkah pertama, kita tentukan .

1 2

2 1 atau 2 1

1 2 atau 1 1 2

Jadi, 1 2 1 .

Pada langkah kedua, kita tulis 1

f x y f x x xx

y x x

x y x xy y x

xy x y x y y

x y y

f y−

= = − +

= − +

+ = − + = −

− = − − − = − +

= + −

= +

Contoh

( ) ( )

( ) ( ) ( )1

2 1 . Akhirnya, setelah semua diganti oleh , diperoleh

1 2 1 .

y yy x

f x x x−

−

= + −

13



3. Fungsi Eksponensial NaturalFungsi eksponensial natural, y=exp(x), adalah inverse darilogaritma natural.

x=exp(y) ⇔ y=ln x.

Bilangan basis fungsi ini, ditulise=exp(1) sehingga ln e=1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah

e≈2,71828182845…



Dengan demikian,

Dari definisi langsung diperoleh bahwa1. exp(ln x)=x, bila x>0.2. ln(exp(x)) =x.

Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikanoleh Euler), yaitu tidak ada polinom p(x) sehingga p(e)=0.

11

1e

t dt =∫

14



Kita dapat mengkonfirmasikan (saat ini untuk bilanganrasional r), bahwa y=exp(x) adalah sebuah fungsi eksponesial.

er=exp(ln er)= exp(rln e)= exp(r)

Sejauh ini kita telah mendefinisikan bilangan pangkat denganpangkat rasional. Untuk x irrasional, kita kembali padadefinisi fungsi eksponesial, yaitu

ex=exp(x)

Jadi, untuk selanjutnya.1. elnx=x, untuk x>0.2.ln(ex)=x, untuk tiap x.



Turunan dari exp(x)Misalkan y=ex. Karena ln x dan exp(x) saling inverse, makax=ln y. Apabila kedua sisi didiferensialkan, denganmenggunakan Aturan Rantai, diperoleh bahwa 1=(1/y)Dxy atau

Dxy =y

x xd e edx

⎡ ⎤ =⎣ ⎦

Teorema

Sebagai akibat kita peroleh

x xe dx e C= +∫Teorema

15



( ) ( )( )

ln

ln ln 1

ln

Tentukan turunan dari Dengan Aturan Rantai diperoleh bahwa

' ln ln

ln 1

x x

x x x xx x

x x

y e

y e D x x e x x

e x

=

= = + ⋅

= +

Contoh

( )

5 7

5 7 5 7

Tentukan turunan dari Misalkan 5 7 dan oleh karena itu ' 7.Maka, dengan Aturan Rantai diperoleh bahwa

' ' 7 7

x

u x x

y eu x u

y e u e e

−

− −

== − = −

= = − = −

Contoh



/24 sin

0

4 41 1 14 4 4

sin sin

Hitunglah a. dan b. cos

a. Misalkan 4 sehingga 4 . Maka

.

b. Misal sin sehingga cos . Maka

cos .

Dengan m

x x

x u u x

x u u x

e dx e xdx

u x du dx

e dx e du e C e C

u x du dx

e xdx e du e C e C

π

= =

= = + = +

= =

= = + = +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Contoh

/ 2 / 2sin sin 1 0

00

enggunakan Teorema Dasar Kalkulus diperoleh

cos 1x xe xdx e e e eπ π

= = − = −∫

16



4. Fungsi Logaritma danEksponesial UmumKita telah berhasil mendefinisikan ex untuk tiap bilangan real x, termasuk eπ . Namun bagaimana dengan πe? Kita akanmemanfaatkan hubungan x=exp(ln x).

Dengan demikian, kita peroleh bahwaln(ax)=ln(exln a)=x ln a

Catatan: definisi di atas memungkin kita untuk memperluasaturan ln(ar)=ln(erln a)=r ln a yang sebelumnya hanya berlakuuntuk r rasional.

ln

Jika 0 dan adalah sebarang bilangan real, maka x x a

a xa e

>

=

Definisi



Sifat-sifat ax

( ) ( )

( ) lnln ln ln ln

Sifat-sifat Fungsi EksponenDiberikan 0, 0, dan , sebarang bilangan real.

1. 2.

3. 4.

5.

Bukti (sebagian)

xx y x y x y

y

y xx xy x x

x x

x

x y ax y x a y a x a y a

a b x yaa a a aa

a a ab a b

a ab b

a a e e e e

+ −

++

> >

= =

= =

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =

Teorema

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

ln lnln ln ln ln ln

1 1 1

x y

x x a bx a b x a x b x a x b x x

x xxx x x x x x

a

a b e e e e e a b

a b a b a b ab a b

+

− − − −

− −− −

=

= = = = =

= = = = =

17



( )ln ln ln lnFungsi Eksponen

ln1 , 1

ln

x x a x a xx x x

x xx

x x

D a D e e D x a a a

D a a a

a dx a C aa

= = =

=

= + ≠∫

Teorema

Aturan Rantai dapat dimanfaatkan untuk menentukan turunandari ax.

( )

( )

Hitunglah bila a. 3 b. 5 ln 2

a. Gunakan Aturan Rantai dengan Maka

3 ln 33 3 ln 32

x w w

xx x

x x

dy dx y y

u x

D D xx

= =

=

= =

Contoh



( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

b. Gunakan Aturan Rantai dan Aturan Perkalian

5 ln 2 5 ln 2 5 ln 2

5 ln 5ln 2 5 1 2 2

5 ln 5ln 2 5 1 2 2 ln 2

w w w w w wx x x

w w w w wx

w w w w w

D D D

D

= +

= +

= +

( ) ( )

2

2 2

2

1 1 1 12 2 ln 2 2 ln 2

Hitunglah 2 .

Misalkan , sehingga 2 . Maka

2 2 2 2

x

x u u x

x dx

u x du xdx

x dx du C C

= =

= = + = +

∫

∫ ∫

Contoh

18



Untuk 0<a<1, grafik y=ax adalah monoton turun. Sedangkanuntuk a>1, grafik y=ax adalah monoton naik.

Sifat-sifat ini dapat diperiksa dengan menyelidiki turunanpertamanya. Dari fakta kemonotonan ini kita dapat menyimpulkan bahwakeluarga fungsi-fungsi ini, f(x)=ax,a≠1, mempunyai inverse. Ini akan dipelajari padabagian berikut.

Sedang kecekunganya dapatditentukan melalui turunankeduanya.



Catatan: lnx=logexHubungannya dengan logaritma biasadapat diperoleh secara berikut. Misalkan y= logax sehingga x=ay. Maka

Fungsi logaxPada bagian ini kita akan membangun fungsi logaritma berbasisbilangan positif a≠1, logax. Fungsi ini didefinisikan sebagaiinverse dari fungsi eksponensial ax.

Misalkan 0 dan 1. Maka log y

a

a ay x x a

> ≠

= ⇔ =

Definisi

lnln ln ln sehingga logln

ya

xx a y a xa

= = =

19



Karena logax tidak lain adalah kelipatan skalar dari lnx, denganmudah diperoleh bahwa

1loglna

d xdx x a

=

Fungsi-fungsi ax, xa, dan xx.Walaupun sekilas tampak serupa, perhatikan bahwa f(x)=ax

adalah fungsi eksponensial, sedangkan f(x)=xa adalah fungsipangkat. Kita telah memperoleh Dxax .

Sedangkan turunan Dxxa telah buktikan untuk bilangan pangkata rasional. Kembali akan kita gunaka kekuatan dari konsepyang kita bangun pada bab ini.

Untuk sebarang a, xa= ealnx. Maka



ln ln lnlna

a a x a x a xx x x

a axD x D e e D a x ex x

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Jadi, Aturan Pangkat berlaku umum (termasuk untuk a irrasio-nal), yaitu

Berkenaan dengan itu kita peroleh Aturan Pangkat untukintegral.

Treatment di atas dapat digunakan untuk kasus yang lebihumum yaitu fungsi f(x)=u(x)v(x) . Tulis fungsi ini denganmenggunakan eksponensial dan logaritma:

f(x)=e v(x)lnu(x)

1a axD x ax −=

1

, 1.1

aa xx dx C a

a

+

= + ≠+∫

20



( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

cos2

ln

ln ln ln 1

cos cos ln 12

cos ln 1 cos ln 1

Tentukan bila a. b. 1 .

a. Karena , makaln ln

ln 1 .

b. Tulis 1 . Dengan demikian

cos l

xxx

x x x

x x x x x xx x x x

x

x x x

x x x xx x x

D y y x y x

x eD y D e e D x x e x x

x x

x e

D y D e e D x

−

− −

= = −

=

= = = + ⋅

= +

− =

= =

Contoh

( )( )( ) ( ) ( )

2

cos2 22

n 1

21 sin ln 1 cos

1x

x

xx x x x

x

+

⎛ ⎞= − − + +⎜ ⎟

+⎝ ⎠



( )

( ) ( )

4

1

44 2 1

11

5Hitunglah .

1Misalkan , sehingga . Jadi,2

5 25 2 2 5 5ln 5

dan oleh karena itu

5 2 2 405 5 5 .ln 5 ln 5 ln 5

x

xu u u

xx

dxx

u x du dxx

dx du du Cx

dxx

= = −

⎛ ⎞= − = − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = − − = −

∫

∫ ∫ ∫

∫

Contoh

21



5. Pertumbuhan dan PeluruhanEksponensialPada bagian ini kita akan melihat beberapa aplikasi dari fungsilogaritma dan eksponensial untuk memecahkan masalah yang melibatkan pertumbuhan dan peluruhan, termasuk diantaranyabunga majemuk, peluruhan zat radioaktif, dan pertumbuhanpopulasi.

Dalam berbagai proses yang dinamis di mana sebuahkuantitas berubah dengan aturanyang tidak bergantung padawaktu.



22



Contoh:1.Pertumbuhan populasi bakteri dalam sebuah kultur2.Penularan penyakit (epidemik)3.Peluruhan bahan radioaktif4.Pendinginan yang dialami benda panas ketika diremdam

dalam air. (Newton’s Law of Cooling)5.Pertumbuhan nilai tabungan oleh adanya bunga tabungan.

Misalkan x(t) adalah variabel yang berubah terhadap waktu dant menyatakan waktu. Jadi, pada contoh 1, y=f(t) adalah massa bakteri. Sedangkanpada contoh 4, f(t) adalah temperatur benda.



Jika y=f(t) adalah massa bakteri, maka wajar bila diasumsikanpertumbuhan bateri di setiap saat proporsional dengan banyakbakteri pada saat itu, yaitu ∆y=ky∆t atau ∆y/∆t=ky. Dengan proses limit ∆t→0, diperoleh sebuah persamaandiferensial

Pada banyak kasus, laju perubahan per unit k konstan. Padacontoh pertama, selama lingkungan mendukung, lajuperkembangan bakteri tidak akan berubah. Pada contoh 3, laju perubahan hanya bergantung pada jenis bahan radioaktif.

Selanjutnya kita ingin menentukan fungsi f(t) yang memenuhipersamaan diferensial di atas. Fungsi demikian disebut solusidari persamaan diferensial.

dy kydt

=

23



Menentukan Solusi Persamaan DiferensialPersamaan di atas dapat diselesaikan dengan tehnik pemisahanvariabel. Tempatkan variabel y pada ruas kiri dan variabel tpada ruas kanan, kemudian lakukan operasi integral.

Apabila diketahui bahwa y=y0 pada saat t=0, maka diperolehC=ln y0 . Dengan demikian, . Dalambentuk eksponesial:

00

ln ln ln yy y kty

− = =

0kty y e=

ln

dy kdty

dy kdtyy kt C

=

=

= +

∫ ∫



Sebagai verifikasi, pertama kita cekSelanjutnya, lakukan operasi turunan

( ) 0 00 0 00 ky y e y e y= = =

( ) ( ) ( )0 0 0kt kt ktd dy t y e y e k ky e ky t

dt dt= = = =

24



Catatan:Jika k < 0, maka yang terjadi adalah penurunan jumlah danfenomena ini disebut peluruhan eksponensial.Jika k > 0, maka yang terjadi adalah peningkatan jumlah danfenomena ini disebut pertumbuhan eksponensial.



Jawab: Misalkan p(t) adalah populasi AS (dalam juta) dengan t menyatakan puluhan tahun (dekade) sejak tahun2000. Maka p(0)=281,4 dan secara umum p(t)= 281,4·e0,1235t . Pada tahun 2050 t=5. Jadi,

p(5)= 281,4·e0,1235·5=521,8 juta

Menurut sensus pada tahun 2000, populasi AS adalah 281,4 juta. Laju pertumbuhan dalam satu dekade terakhir adalah 0,1235. Jika diasumsikan bahwa laju pertumbuhan ini tetap bertahan, tentukan pop

Contoh

ulasi pada tahun 2050.

25



ContohJumlah bakteria dalam sebuah kultur tumbuh dengan cepatsekali, dari 10.000 pada pukul 1200 menjadi 40.000 dalamwaktu 2 jam. Berilah perkiraan jumlah bakteria pada pukul1700.Jawab:Misalkan y(t) menyatakan banyak bakteri t jam sejak pukulpukul 1200. Fungsi y ini memenuhi persamaan diferensialdy/dt=ky dengan syarat awal syarat awal y(0)=104. Solusipersamaan ini adalah y(t)=104.ekt. Diketahui bahwa

y(2)=4× 104 = 104 × ek2

sehingga e2k=4 atau k=½ln 4=ln2. Dengan demikian,y(t)= 104·etln2.

Maka, pada t=5, y=10.000 e5ln2≈320.000.



Waktu, T, yang diperlukan agar nilai y(t) menjadi dua kali lipat disebut waktu ganda (doubling time).

y(t+ T)= 2y(t) ContohIsotop radioaktif 128I meluruh dengan laju 0,0279 per menit. Jika semula terdapat adalah 100 g 128I, tentukan sisa isotop128I setelah 20 menit. Kemudian tentukan waktu paruhnya.Jawab: Misalkan y(t) menyatakan massa t menit sejak awal. Jadi, y(0)=y0=100 dan dy/dt=0,0279 y. Solusi persamaandiferensial ini adalah

y(t)=100e0,0279t.Jadi,

y(20)=100e0,0279×20≈57,235 g.

26



Misalkan waktu paruh adalah t½. Maka khususnya, y(0+t½)=½y(0), atau

100e-0,0279t½=50e0,0279t½=½.

Kenakan operasi logaritma pada kedua sisi untuk memperolehln e-0,0279t½=-0,0279t½=ln(½)= -ln2. Dengan demikian,

t½= ln2/ 0,0279 ≈24,844 detik�



Carbon DatingSalah satu metoda untuk menentukan usia sebuah fosil adalahdengan membandingkan jumlah isotop karbon 14C dan jumlah12C dalam fosil tersebut. Sebagai contoh, jumlah kedua macam isotop dalam tulanghewan hidup relatif sama. Tetapi setelah hewan itu mati, isotop14C mulai meluruh sedangkan jumlah isotop 12C relatif tetapkarena ia tidak radioaktif. Jadi, kita dapat menentukan usia fosildengan melihat jumlah 14C yang masih ada. Misalkan x(t) adalah jumlah 14C dalam sebuah fosil t tahun setelah ia mati. Maka, dx/dt=αx(t) untuk suatu konstanta α . Dengan demikian,

x(t) = x0eαt,dengan x0 adalah jumlah 14C semula, saat t=0.

27



Nilai α dapat ditentukan dari waktu paruh 14C, yaitu 5730 tahun. Jadi, x(5730)=½x0. Oleh karena itu,

Atau

Sebagai contoh, jika jumlah karbon-14, 14C, dalam sebuahfosil adalah 10% dari semula, maka menggunakan metoda inikita dapat menentukan bahwa usia fosil tersebut adalahsekitar 19.035 tahun!

573010 02

573012

ln 2 5730

x x e

e

α

α

α

=

=

− =

ln 2 .5730

α −=



Model LogistikModel populasi yang kita bangun mengatakan bahwap(t)=p0 ekt. Bila k>0, maka populasi akan terus bertambah secaratidak terbatas. Jadi, model ini kurang realistis karena tiaplingkungan mempunyai ruang dan sumber makanan yang terbatas. Jadi, pertumbuhan populasi akan melambat ketikapopulasi sudah mendekati batas daya dukung lingkungannya. Model yang lebih baik memperhitungkan daya dukung ini. Model ini disebut model logistik. Pada model ini lajupertumbuhan populasi p sebanding dengan p dan selisih M-p, dimana M adalah populasi maksimum yang dapat didukung. Jadi, menurut model ini

( )dp kp M pdt

= −

28



Untuk p kecil, maka dp/dt ≈kMp sehingga pertumbuhanmasih eksponensial. Ketika p sudah dekat ke M, maka M-p menjadi kecil. Akibatnya dp/dt juga kecil dan pertumbuhanmulai melambat. Solusi untuk model ini adalah

( ) ( )0

0 0Mkt

Mpp t

p M p e−=+ −



Bunga MajemukMisalkan uang sejumlah P didepositokan pada sebuah bank yang memberikan bunga majemuk 100r% n kali dalamsetahun. Artinya, tiap tahun dibagi ke dalam n selang dan padaakhir tiap selang waktu ini, bank membanyar sebesar (100r)/n % atas total uang yang ada pada saat itu, termasuk uang yang diterima dari bunga sebelumnya. Jadi, misalkan Pmmenyatakan jumlah uang setelah berlangsung m selang waktu. Maka,

Pm+1= Pm +(r/n) Pm=(1+r/n) Pm

dengan m=0,1,2,3,…dan P0=P. Dengan demikian,

1 1m

mrP Pn+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

29



Sekarang bagaimana bila bunga dihitung sebanyak n kali dalam setahun dengan n sangat besar, menuju tak hingga. Dalam hal ini, bunga disebut bunga majemuk kontinu.

Jadi,

Catatan:Di atas kita menggunakan teorema yaitu bahwa

( )

( )

0 0

0 0 0

lim 1 lim 1

lim 1

rtnt n r

n n

rth rth

r rP t P Pn n

P h P e

→∞ →∞

→

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

( ) 0rtP t P e=

( )0lim 1 hh h e→ + =



ContohMisalkan P0=$1000 dan bunga adalah r=5% (=0,05) dihitungsecara kontinu. Jumlah tabungan setelah 5 tahun adalah

( ) 0,05 55 $1000 $1. 284P e ×= =

30



7. Fungsi Inverse Trigonometrikdan TurunannyaSemua fungsi trigonometri tidak mempunyai inverse, karenafungsi-fungsi ini tidak injektif. Sekalipun demikian, pada bagianini akan kita lihat bahwa apabila domain fungsi-fungsi tersebutdibatasi, maka mereka akan mempunyai fungsi inverse.

Kita ketahui bahwa sin(x) dan cos(x) bersifat periodik sehinggatidak mempunyai inverse. Jadi, bila kita batasi pada interval dimana fungsi ini monoton sejati, maka fungsi batasan ini akanmempunyai inverse. Tapi bukan itu saja yang kita inginkan darifungsi hasil batasan ini. Kita ingin agar untuk tiap x∈[-1,1], terdapat y sehingga y=sin-1(x). Demikian pula untuk cos-1(x).

Inverse sin(x) dan cos(x)



Bila sin(x) dibatasi pada [0,π/2], maka range sin(x) adalah[0,1]. Akibatnya, fungsi sin-1(x) hanya terdefinisi pada selang[0,1]. Dengan pertimbangan ini, kita memutuskan untuk membatasisin(x) pada [- π/2,π/2] sebelum membangun inversenya. Dengan pemikiran serupa, kita batasi cos(x) pada [0,π]. Jadi,

sin-1(x) : domain = [-1,1] ; range = [- π/2,π/2] cos-1(x) : domain = [-1,1] ; range = [0,π]

31





DefinisiInverse dari sin(x) dan cos(x) diperoleh dengan membatasidomainnya.

y=sin-1(x) ⇔ x=sin(y) dan y∈ [-π/2,π/2]y=cos-1(x) ⇔ x=cos(y) dan y∈ [0,π]

( )

( )

1 112

1 112

5sin 2 sin sin4 4 4

3cos cos cos3 2 2

π π π

π π π

− −

− −

⎛ ⎞⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Contoh

32



Inverse tan(x) dan sec(x)Seperti halnya pada fungsi sin(x) dan cos(x), denganpertimbangan yang sama, fungsi-fungsi tan(x) dan sec(x) jugadibatasi domainnya untuk membangun inversenya. Batas standar untuk tan(x) adalah (- π/2,π/s) sedangkan untuk sec(x) adalah [0, π/2)∪(π/2, π] (lihat gambar berikut.)

Definisiy=tan-1(x) ⇔ x=tan(y) dan y∈ (- π/2,π/s)

y=sec-1(x) ⇔ x=sec(y) dan y∈ [0, π/2)∪(π/2, π]

Catatan: beberapa buku lainnya menggunakan batasan yang berlainan.



33



Dari definisi sec(x)=1/cos(x), kita dapat memperoleh bahwa

Sebagai latihan jelaskan bahwa batasan untuk fungsi cot(x) dan csc(x) seperti terlihat pada gambar berikut memenuhisyarat seperti kita lakukan pada waktu membangun inverse bagi fungsi trigonometri sebelumnya.

( ) ( )1 1 13

tan 1 tan4 6π π− −= − = −

Contoh

( )1 1 1sec cosyy

− − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1sec 1 cos 1 sec 2 cos2 6

ππ− − − − ⎛ ⎞− = − = = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Contoh



34



Contoh

Ke empat identitas juga berguna untuk memperoleh turunan inverse fungsi trigonometrik sebagai berikut.

( )( )( )

( )

1 2

1 2

1 2

21

2

(i) sin cos 1

(ii) cos sin 1

(iii) sec tan 1

1, jika 1(iv) tan sec

1, jika 1

x x

x x

x x

x xx

x x

−

−

−

−

= −

= −

= +

⎧ − ≥⎪= ⎨− − ≥⎪⎩

Teorema

21 1 12 2 2 2 2 4 5sin 2cos 2sin cos cos cos 2 1

3 3 3 3 3 9− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠i



Turunan inverse fungsi umumnya dapat ditentukan denganmenggunakan Aturan Rantai. Sebagai contoh, misalkan y=sin-1x sehingga

x=sin yLakukan turunan pada kedua ruas terhadap x, denganmenggunakan aturan Rantai pada ruas kanan. Maka

Dengan demikian, ( ) ( ) ( )1 1 2 11 cos cos sin sin 1 sinx x xyD y x D x x D x− − −= = = −

( )1

2

1sin1

xD xx

− =−

35



Contoh

1

2

1

2

12

1

2

1(i) sin , 1 11

1(ii) cos , 1 111(iii) tan ,

11(iv) sec , 1

1

x

x

x

x

D x xx

D x xx

D xx

D x xx x

−

−

−

−

= − < <−−

= − < <−

=+

= >−

Teorema Turunan Inverse Trigonometrik

( )( )

( )( )

1 2 2

2 22 2

1 4sin 2 21 2 1 2

x xxD x D x

x x

− = =− −



Seperti biasa, rumus turunan akan memberi kita rumusintegral, sebagai ‘bonus’.

1

2 2

12 2

1

2 2

1(i) sin

1 1(ii) tan

1 1(iii) sec

xdx Caa xxdx C

a aa xxdx C

a ax x a

−

−

−

= +−

= ++

= +−

∫

∫

∫

Contoh

( )2 2 2 21 1 1

00 2

1 sin sin 2 2 sin 0 04 41

dx xx

π π− − −= = − = − =−

∫

36



8. Fungsi Hiperbolik danTurunannya

Ingat kembali bahwa fungsi-fungsi sin(x) dan cos(x) disebutfungsi sirkular (circular functions). Ini disebabkan karenasemua titik P=(cos(t),sin(t)) , memenuhi hubungan

cos2(t)+sin2(t)=1sehingga bila diplot akan membentuk lingkaran denganpersamaan x2+y2=1

Dilain pihak, kurva hiperbola mempunyai persamaanx2-y2=1



Misalkan x(t)=(et +e-t)/2 dan y(t)=(et -e-t)/2 . Periksalah bahwakedua fungsi tersebut memenuhi hubungan

x(t)2-y(t)2=1Artinya, semua titik Q(t)=(x(t), y(t)) terletak pada hiperbola

x2-y2=1. Maka kedua fungsi tersebut disebut fungsi hiperbolik.Definisi

sinh cosh2 2

sinh coshtanh cothcosh sinh

1 1sec h csc h cosh sinh

x x x xe e e ex x

x xx xx x

x xx x

− −− += =

= =

= =

37



Satu Lagi Analogi Fungsi Sirkulir dan Hiperbolik

Sebagai latihan perlihatkan bahwa luas daerah pada sektorAOP, dengan P=(cosh u,sinh u) adalah u/2.



Beberapa KesamaanBeberapa kesamaan berikut memberikan alasan mengapa nama-nama fungsi hiprebolik juga menggunakan nama fungsi-fungsitrigonometrik

2 2

2 2

2 2

2

2

cosh sinh 1tanh 1 sechcoth 1 csc hsinh 2 2sinh cosh

cosh 2 1cosh2

cosh 2 1sinh2

x xx xx xx x x

xx

xx

− =

= −

= +=

+=

−=

38





39



Turunan Fungsi Hiperbolik dan IntegralTurunan Dxsinhx dan Dxcoshx dapat ditentukan langsung daridefinisinya.

Maka, dengan hasil ini turunan fungsi-fungsi hiperboliklainnya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan-aturandasar turunan.

sinh cosh2 2

cosh sinh2 2

x x x x

x x

x x x x

x x

e e e eD x D x

e e e eD x D x

− −

− −

⎛ ⎞− += = =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞+ −

= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

sinh cosh tanh sechcosh sinh coth coshsech sech tanh csch csch coth

x x

x x

x x

D x x D x xD x x D x xD x x x D x x x

= == = −= − = −

Teorema



Berdasarkan hasil di atas kita dapat menyusun integral fungsihiperbolik.

Contoh

2

2

sinh cosh sech tanh sech

cosh sinh csch coth csch

sech tanh

cosh coth

xdx x C x xdx x C

xdx x C x xdx x C

xdx x C

xdx x C

= + = − +

= + = − +

= +

= − +

∫ ∫∫ ∫∫∫

Teorema

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2sinh 1 3 2sinh 1 3 sinh 1 3

2sinh 1 3 cosh 1 3 1 3

3 2sinh 1 3 cosh 1 3

x x

x

D x x x D x

x x x D x

x x x

− = − −

= − − −

= − − −

40



Contoh( ) ( )

( ) ( )2

2 1

1 1

2 21 1

Hitunglah a. tanh dan b. sinh

a. Misalkan sehingga . Maka

tanh tanh tanh

Selanjutnya misalkan cosh sehingga sinh . Jadi,sinh tanhcosh

x xt

t t

t t

t dt e e dx

u du dt

t dt t dt udu

v u dv uduuudu duu

= =

= =

= =

=

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

( )

11 ln ln cosh

b. Misalkan sehingga . Maka

sinh sinh cosh cosh

t

x x

x x x

dv v C Cv

u e du e dx

e e dx u du u C e C

= = + = +

= =

= = + = +

∫ ∫

∫ ∫



Inverse Fungsi HiperbolikKarena Dxsinhx=coshx>0 dan juga Dxtanhx=sech2x>0 makakeduanya mempunyai inverse. Sedangkan, misalnya fungsicoshx dan juga sechx tidak injektif sebagaimana terlihat darigrafiknya. Maka keduanya tidak mempunyai inverse . Untukmendefinisikan inverse dari coshx dan sechx, kita harusmembatasi domainnya. DefinisiDefinisikan y=sinh-1x jika x=sinh y (domain x∈(-∞,∞) )Definisikan y=cosh-1x jika x=cosh y dan y∈[0,∞)

(domain x∈[1,∞) )Definisikan y=sech-1x jika x=sech y dan y∈[0,∞)

(domain x∈(0,1] )

41



Berikut adalah grafik fungsi-fungsi di atas dan inversenya



Fungsi-fungsi tanh x, coth x, dan csch x bersifat injektifsehingga mempunyai inverse dan ditulis sebagai

tanh-1 x, coth -1 x, dan csch -1 xBerikut adalah grafik fungsi-fungsi di atas dan inversenya.

42



Karena fungs-fungsi hiperbolik didefinisikan atas dasarfungsi eksponensial, maka tidak heran bila inversenya dapatditulis dengan menggunakan fungsi ln x. Sebagai contoh, y=cosh x, x≥0.

( ) ( )2 2

22

Kalikan kedua ruas dengan 2 untuk memperoleh2

2 1 atau 2 1 0, 0. Ini adalah

persamaan kuadrat untuk . Rumus kuadrat memberikan dua jawab yaitu

2 4 41 atau

2

x xx

x x x x

x

x x

e ey e

ye e e ye x

e

y ye y y e y

−+=

= + − + = ≥

+ −= = + − =

( )

2

1 2

1.

Namun jawab kedua tidak berlaku karena kurang dari 1. Dengan demikian,

cosh ln 1

y

x y y y−

− −

= = + −



Sebagai latihan, tentukan dan lakukan untuk coth-1x.

( )( )

1 2

1 2

1

21

21

sinh ln 1 ,

cosh ln 1 , 1

1 1tanh ln , 1 12 1

1 1sech ln 0 1

1 1csch ln , 0

x x x

x x x x

xx xx

xx xx

xx xx x

−

−

−

−

−

= + +

= + − ≥

−= − < <

+

+ −= < ≤

⎛ ⎞−= + ≠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Teorema

43



Kelima fungsi diatas terturunkan (mempunyai turunan) (Latihan: tentukan turunan dari coth-1x.)

1

2

1

2

12

1

2

1

2

1sinh1

1cosh 11

1tanh 1 1 1

1sech 0 11

1csch 01

x

x

x

x

x

D xx

D x xx

D x xx

D x xx x

D x xx x

−

−

−

−

−

=+

= >−

= − < <−−

= < <−−

= ≠+

Teorema



Sebagaimana biasa kita lakukan, dari tiap rumus turunan, kitadapat memperoleh sebuah rumus integral. Misalnya, dari

diperoleh

Hasil selengkapnya terdapat pada teorema berikut.

1

2

1sinh1

xD xx

− =+

1

2

1 sinh1

dx x Cx

−= ++

∫

44



1

2 2

1

2 2

1 2 21

2 21 2 21

112 2

1

2 2

1 sinh 0

1 cosh 0

tanh

coth

sech 0

1 csch 0

a

a

a

xdx C aax axdx C x aax a

x C x adx a

xa x C x aa

dx x C x aax a x

dx x C xa ax a x

−

−

−

−

−

−

= + >+

= + > >−

⎧ + <⎪⎪= ⎨− ⎪ + >

⎪⎩

= − + < <−

= − + ≠+

∫

∫

∫

∫

∫

Teorema



Soal PR Bab 7

7.1: 1a,e, 6, 8, 13, 14, 17, 20, 27, 28, 36, 39, 41, 49.7.2: 10, 13, 14, 19, 20, 38, 41, 43.7.3: 7, 8, 13, 14, 21, 34, 38, 43.7.4: 29, 24, 25, 31, 32, 44.7.5: 5, 6, 12, 13, 14, 24, 27b, 30. 7.7: 22, 25, 33, 40, 42, 48, 50, 52, 57, 58, 76, 77, 78. 7.8: 3, 5, 7, 15, 25, 33, 39, 41, 50.

Documents

Bab7 transenden