Bab_II-Dsr

8/16/2019 Bab_II-Dsr

1/60

1

SISTEM KOMUNIKASI DIGITAL

Berikut ini digambarkan salah satu blok diagram sistem komunikasi sederhana.

Gbr. 1 : Salah satu model sistem komunikasi

• Fungsi sistem komunikasi adalah memancarkan informasi secara andal dari

sumber informasi ke pengguna informasi• Dari blok diagram diatas dapat dilihat bahwa :

o keluaran dari sumber informasi adalah sudah berbentuk signal-

signal digital , yaitu berupa urutan simbol-simbol dari berbagai abjad

yang sudah menjadi signal-signal diskrit • Simbol-simbol ini diproses oleh koder sumber menjadi simbol-simbol

bentuk lain (atau disebut kelompok simbol) agar supaya :

o dapat dibuat menjadi simbol-simbol yang pada saat dipancarkan ke

pengguna informasi , banyaknya simbol tersebut adalah menjadi

seminimal mungkin

• Keluaran dari koder sumber menjadi masukan bagi koder saluran dimana :o koder saluran tersebut berfungsi untuk memperbesar efisiensi

komunikasi , yaitu dengan jalan : mengubah urutan bit keluaran koder sumber menjadi

urutan bit simbol yang berbeda dari abjad yang dikirim

dari sumber informasi

• Keluaran koder saluran masuk ke modulator , kemudian dipancarkan lewatKanal Diskrit Tanpa Memori = DMC (Discrete Memoryless Channel) menuju

ke demodulator yang menjadi bagian sistem penerima , terus masuk ke

dekoder kanal sistem penerima • Manfaat DMC ini mencakup :o melakukan pengurangan terhadap pengaruh distorsi

signal sewaktu melewati kanal komunikasi gelombang• detektor kanal yang mendapat masukan dari demodulator , akan beru-

paya untuk :

o merekonstruksi urutan keluaran yang berasal dari koder sum-

ber , menjadi urutan bit yang seasli mungkin • Dengan menggunakan disain enkoder-dekoder yang tepat , maka akan dapat :

Sumber

InformasiKoder

Sumber

Koder

Kanal

Modulator

Gelombang

Kanal

Gelombang

Demodulator

Gelombang

Dekoder

Kanal

Dekoder

Sumber

Pengguna

Informasi


2/60

2

o mengoreksi beberapa kesalahan transmisi yang terjadi

di Kanal Diskrit Tak Bermemori (DMC) tadi, sehingga

dapat memperbaiki keandalan komunikasi• Dengan memakai keluaran dekoder kanal, maka dekoder sumber akan dapat

membuat perkiraan urutan bit informasi yang dipan-

carkan

KODE KELOMPOK(Block Code)

Kode kelompok adalah suatu kode yang dapat mengoreksi kesalahan bit secara

mandiri (self error correction) , dimana :

• bentuk kode terdiri atas :o kode yang menggambarkan suatu kharakter sebanyak k buah bit

o kode yang digunakan sebagai uji paritas sebanyak q buah bit

• kemungkinan kharakter yang terjadi = m buah = 2 k buah • pada kode kelompok banyaknya bit menjadi k + q = n buah bit

Jika salah satu kharakter tersebut adalah :

( )k2 1 dddd ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 1atau0bernilais/dd k1 , maka :

• dengan memakai enkoder (alat untuk membuat kode), maka :o kode kharakter data yang terdiri atas k bits tersebut diubah

menjadi kharakter baru yang terdiri atas n bits

o tambahan bit sebanyak ( )knq −== bits, merupakan bit uji paritas • Kata kodenya ditulis dengan kode (n , k) • Tujuan penambahan q bits paritas tersebut adalah :

untuk membuat kode yang terdiri atas n bits tadi menjadi

kode yang dapat mendeteksi dan mengoreksi ke-salahan bit secara mandiri (self detection and correctingcode)

• Kesalahan bit tersebut dapat terjadi karena signal-signal biner tersebutmelalui media transmisi dalam perjalanannya dari sumber signal ke

tujuan

• Data yang keluar dari encoder tersebut , yang disebut dengan kata kode (code word),dinyatakan sebagai berikut :

( )n2 k1kk2 1

qk2 k1kk2 1

xxxxxxx

atau

xxxxxxx

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

++

+++

Untuk kode sistematis, maka :

kk3 3 2 2 11 dxdxdxdx =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=== Banyaknya bit uji paritas = q buah


3/60

3

qk n +== barukodesetiap bitseluruhBanyaknya Bit-bit uji paritas untuk kode sistimatis tersebut dibuat memenuhi hubungan

yang sesuai dengan persamaan berikut ini :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

k

2

1

qkq2 q1

2k22 21

1k12 11

n

2 k

1k

d

d

d

hhh

hhh

hhh

x

x

x

M

L

MMMM

L

L

M

Contoh :Suatu kode (15,11), mempunyai kode data :

( )11010111010=d , dengan n = 15 ; q=4 dan k = 11 ;Misalkan kode uji paritas dinyatakan dengan persamaan matrix sebagai berikut :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

+

+

+

11

2

1

2

1

21

22221

11211

15

14

13

12

411

311

211

111

2

1

10011010111

11010111100

01101011110

00110101111

d

d

d

d

d

d

hhh

hhh

hhh

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

k qk qq

k

k

n

k

k

MM

L

MMMM

L

L

M

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕+⊕

=

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

0

0

0

10010010010

11010111000

00010011010

00010101010

11

0

1

0

1

1

1

0

1

0

10011010111

11010111100

01101011110

00110101111

15

14

13

12

x

x

x

x

Maka kode sistimatis lengkap yang dikirimkan adalah :

( ) ( )000011010111010151413121121 == x x x x x x x x LLL Jika m adalah salah satu dari 2k buah kode untuk data yang mungkin terjadi, maka salah satu

kode data adalah mk mm x x x ,.....,, 21 .

Dengan kata lain salah satu kode data tesebut adalah :

[ ]mk mmdm x x x x ,,, 21 L=

kqk3 q3 2 q2 1q1nqk

k2k3 23 2 22 1212 k

k1k3 13 2 12 1111k

dhdhdhdhxx

........................................................................

dhdhdhdhx

dhdhdhdhx

+⋅⋅⋅⋅+++==

+⋅⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅⋅⋅+++=

+

+

+


4/60

4

Jika kode tersebut diberi bit uji paritas ( parity checking bit ) yang banyaknyaq buah bit ,maka keseluruhan bit keluaran dari enkoder yang menggambarkan suatu kharakter, akanmenjadi terdiri atas n buah bit, sehingga susunannya menjadi :

[ ]mnmmm x x x x L21= Jika digambarkan secara blok diagram :

Operasi enkoder yang dikerjakan dalam suatu enkoder blok biner linier dapat

digambarkan sebagai himpunan n buah persamaan dalam bentuk ma-

trix sebagai berikut :

jk jm jm jm jm g xg xg xc +++= L2211

dengan k mn j 2,2,1;,,2,1 ⋅⋅⋅⋅== L 10dimana ataug ji =

Contoh :

Kode ( 7,4 ) ; maka kodenkemungkina2darisatusalahadalah 4 jm

Data yang mungkin terjadi jika setiap data terdiri atas 4 bit adalah

Kode-kode bit paritas yang terkait tergantung dari matrix H.

Matrix H tersebut dapat dilihat pada pembahasan berikut :

]

• Seperti sudah dibahas sebelumnya, kata kode dinyatakan dengan :( )nk k k x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ++ 2121 • Kode data dinyatakan dengan ( )mk mmm d d d d d .........321=

dimana :m j adalah salah satu dari 2

k buah jenis kata kode yang mungkin terjadi

• Selanjutnya dapat ditulis :dG x =

dimana :

1111

0111

1011

0011

1101

0101

1001

0001

1110

0110

1010

0010

1100

0100

1000

0000

Enkoder bit

Masukank bit

Keluarann


5/60

5

G = matrix generator kode dan merupakan matrix k x nMatrix generator G dinyatakan dengan persamaan matrix :

[ ] P I G k=

dengan identitasmatrix=k I dan

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

qn2k1k

q32313

q22212

qn2111

T

hhh

hhhhhh

hhh

HP

LL

MMMM

LLLL

LL

Contoh :

Suatu kode (7,4) dengan generator matrix : [ ]P I G k = Disini n = 7 ; k = 4 ; q = 3

Dari contoh ini, karena :

• banyaknya bit untuk setiap kode adalahk = 4 • banyak bit untuk paritas adalahq = 3 , maka :

o dapat digambarkan kemungkinan seluruh kode blok yang terjadi adalah :

Jika rumus-rumus yang ada diuraikan lebih lanjut :

[ ][ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

===

T

qk qq

k

k

k k

hhh

hhh

hhh

d d d P I d dGc

L

MLMM

L

L

M

LLMM

L

L

L

21

22221

11211

21

100

010

001

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1101000

0110100

1110010

1010001

G

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡=

1011

1110

0111

H

k I DataMatrix T H P =

== dG x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1111

0111

1011

0011

1101

0101

1001

0001

1110

0110

1010

0010

1100

0100

1000

0000

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1101000

0110100

1110010

1010001

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0110100

1101000

0000000


6/60

6

[ ] [ ][ ]Pd d d d d d

hhh

hhh

hhh

d d d c k k

qk k k

q

q

k LL

L

MLMM

L

L

M

LLMM

L

L

L 2121

21

22212

12111

21

100

010

001

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Maka

[ ] pccdPdc ==

Jadi urutan bit uji paritas adalah dPc p =

Jika urutan bit yang diterima adalahkata kode yang tepat , maka :

Jika urutan bit yang diterima tepat , maka rumus diatas dapat ditulis dalam persamaan matrixsebagai berikut :

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+=

q

pp I

PcdcdP0

hal ini karena

pq p c I c = Jika tak terjadi kesalahan bit , maka : 0=⊕ pcdP

[ ] [ ] 00PPI

PcdPcdcHq

pp

T ==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

Syarat urutan bit yang diterima dekoder tidak terjadi kesalahan bit : 0=T cH Didalam hal ini , sesuai dengan perhitungan diatas , yang dimaksudkan dengan T H adalah :

[ ]q

T

q

T I P H

I

P H =→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Dalam persamaan matrix

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

qk qq

k

k

hhh

hhh

hhh

L

MLMM

MLMM

L

L

21

22212

11211

Hparitasuj iMatrix

Contoh :

Kode (7, 3) dengan matrix uji paritas :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==→

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000

0100

0010

0001

1111

0110

0011

1000100

0100110

0010111

0001101

T H p H

bitUrutandihitungyang

dekoder di

bitUrutan paritasuji

diterimayang

0cdP p =⊕


7/60

7

Kata kode : dGc = Bila tanpa kesalahan bit maka : 0=T cH

Bila terjadi kesalahan bit yang diterima di dekoder , maka vektor kode yang diterima adalah :ecr ⊕=

Jika terjadi kesalahan bit , maka : ( )000 LL≠→≠ ecr Jika tidak terjadi kesalahan bit , maka : ( )000 LL=→= ecr

Syndrome = ( )T T T T T

eH eH cH H ecrH s +=⊕=⊕== 0 Syndrome = T eH s = Jika tanpa kesalahan bit , maka : ( )000 LL=s Jika ada kesalahan bit , maka : ( )000 LL≠s

• Anggaplah bahwa terjadi kesalahan pada bit ke-i

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

==

100

010

001

'

21

22221

11211

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

qk qq

k

k

k

hhh

hhh

hhh

I H H

( ) ( ) ( )qiiiqk k k

qiii

q

q

T

hhhhhh

hhh

hhh

hhh

H esSyndrome ⋅⋅⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=== 2121

21

22212

12111

100

010

001

0100'1

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

LL

• Persyaratan suatu kode dapat dikoreksi bilamana terjadi 1 kesalahan bitadalah :

o Semua kolom matrix H sudah ditentukan nilainya dengan pastio Semua isi kolom ke-1 s.d. ke-k sudah tertentu nilainya dengan pastio q kolom berikutnya merupakan matrix identitas I k o Agar matrix identitas I k dapat membuat syndrome yang dapat ditentukan

nilainya, maka harus : ( ) k qq ≥−− 12 o Misalkan k q ≥=−→= 6283 o Jadi kode blok (7, 4) , yang berarti bahwa : memenuhiqk →=→= 34 ( ) k qq ≥−− 12

o Ketidak samaan (inequity) ( ) k qq ≥−− 12 yang harus dipenuhi bagi kode berkesalahan tunggal adalah hal yang khusus daripada ketidak samaan Ham-

ming 1212 min +=→+≥ t d t d H H

digit ike −

( )01000 LLLL=eadalahyakesalahannvektor


8/60

8

• Ketidak samaan Hamming 12 +≥ t d H yang dapat digunakan secara umum untuk pengoreksian kode yang mengalami kesalahan t buah bit , dapat diterangkan dengancontoh berikut ini :

o Kode blok ( 7, 3 ) berarti n = 7 ; k = 3 ; q = 4 .

o Penerapan ketidak samaan ( ) ( ) 31314212 4 =≥=−−→≥−− k k qq o Dengan demikian kode blok ( 7, 3 ) adalah kode yang dapar mengoreksi

kesalahan tunggal

o Contoh kode blok yang tak dapat mengoreksi meskipun kesalahannya tunggaladalah kode bloK ( 6, 4) , yang beratiq =2 ; dengan memasukkan ke ketidak

samaan ( ) k qq ≥−− 12 , dimana ( ) 431222 =


9/60

9

• Jarak Hamming : perbedaan banyaknya posisi diantara 2 kata kode apa saja• Jarak Hamming ini memegang peranan kunci didalam penaksiran kapasitas atau

kemampuan kode-kode mengoreksi kesalahan

• Jarak Hamming = 1212 min +=→+≥ t d t d H H dimana :

dikoreksidapatdansalahyang bit banyaknya=t • Kode-kode yang dapat mengoreksi kesalahan tunggal : ( ) 31121 min =+=→= H d t •

JARAK HAMMING DAN BOBOT HAMMING(HAMMING DISTANCE and HAMMING WEIGHT)

Sebagai contoh adalah kode blok ( 7, 4) ; Efisiensi kode =7

4= R

• Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa setip kata kode (setelah dibalik cara penulisannya ) berbeda satu-sama lain , dengan perbedaan paling tidak 3 posisi , yangdapat dilihat pada tabel dibawah ini :

Tabel kode blok khusus

• Jadi jika terjadi kesalahan bit sampai dengan 2 buah , maka kesalahan tersebut tidakakan menyebabkan kodenya menjadi kode yang sama dengan setiap kode lainnya ,apapun juga kode lain itu

• Berita dan kata kode (serta berita dan kata kode yang dibalik cara penulisannya) yangmungkin terjadi adalah sebagai tabel berikut ini :

( )( )

( )( ) 55.012,241224

52.012,231223

33.05,15515

2.02,10410

EfisiensiKodemaxk n)3t(gandakesalahanmengoreksidapatyangkode-Kode =

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇒

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇒

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

11111111110100

1101001

1100010

1011000

1010011

1001100

1000101

0111010

0110001

0101`00

0110111

0011101

0010110

00010110000000

11111110

1101

110`0

1011

1010

1001

1000

0111

0110

0101

0100

0011

0010

00010000

11111110010111

1001011

0100011

0001101

1100101

0111001

1010001

0101110

1000110

0011010

1110010

1011100

0110100

11010000000000

11110111

1011

0011̀

1101

0101

1001

0001

1110

0110

1010

0010

1100

0100

10000000

1514

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

10

menjadidibalik

berita No Berita kodeKata Berita kodeKata


10/60

10

• Didalam hal ini penulisan kata kode yang telah dibalik susunannya akan mampumemberi tahu pengguna bahwa kesalahan transmisi telah terjadi , meskipun tidakdapat mengoreksi kesalahan-kesalahan tersebut

• Suatu kode khusus ditampilkan pada tabel berikut ini :

•

Contoh : Kode blok(7, 4) ; kode datanya terdiri atas k bit atau 4 bit ; kode paritasnya terdiri atas q bit

atau 3 bitJenis kode data yang terdiri atas 4 bit adalah 2k = 2

4 = 16 buah .

Semua jenis kode data yang masing-masing terdiri atas 4 bit dapat digambarkan sebagai berikut :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1111

0111

1011

0011

1101

0101

1001

0001

1110

0110

1010

0010

1100

0100

1000

0000

Misalkan matrik uji paritas adalah :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

34333231

24232221

14131211

hhhh

hhhh

hhhh

H

Bit uji paritasnya adalah :


11/60

11

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

434333232131

424323222121

414313212111

34333231

24232221

14131211

4321

7

6

5

d hd hd hd h

d hd hd hd h

d hd hd hd h

hhhh

hhhh

hhhh

d d d d dH

c

c

c

Jika

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

421

432

321

7

6

5

1011

1110

0111

d d d

d d d

d d d

c

c

c

H

Rumus untuk kata kode adalah [ ] T k k H dI PdI dGc === c = Seluruh kata kode yang mungkin terjadi

( ) = xW non-zero weight = pembobot bukan nol = banyaknya bit bukan nol dalam 1 kata kode

( ) minmin H d xW = ; 3121 jikamin

min =+==t

H t d

• Untuk kode blok (n, k ) ; berarti q= n - k • Misalkan n = 7 ; k = 4 , berarti q = m = 3; khusus kode ini memenuhi hubungan :

12 −= qn 718123 =−=−→ O Tidak semua jenis kode blok memenuhi hubungan itu ; misalnya kode blok

(7, 3) ; jika diterapkan rumus diatas , maka 7151161212 4 ≠=−=−=−= qn

• Efisiensi kode = code rate =n

q

n

qn

n

k −=−= 1

O Untuk kode blok khusus sebagaimana contoh diatas :12

1−

−=q

q

n

k

O Untuk efisiensi kode 11 ≅→≅n

k

O Untuk kode blok khusus ∞≅→∞≅−→≅−

→−

−=≅ qqqq

qq

n

k 2120

121211

Berarti 1>>q

d c

k I P

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

7

4

4

3

3

4

4

3

4

3

3

4

4

3

3

0

1111111

0010111

1001011

0100011

0001101

1100101

0111001

1010001

0101110

1000110

0011010

1110010

1011100

0110100

1101000

0000000

1101000

0110100

1110010

1010001

1111

0111

1011

0011

1101

0101

1001

0001

1110

0110

1010

0010

1100

0100

1000

0000

( ) xW weightzeronon −


12/60

12

• Kata kode yang ke-i adalah xi yang terdiri atas :o mi buah bit berita , dimana i = 1, 2, 3 …… ko ci - k buah bit koreksi, dimana i = k+1, k+2, ……n.

• Sebagai contoh adalah sebuah kata kode ( 7,4 )o ini berarti n = 7 dan k = 4 q = banyak-nya bit uji paritas = 3o Dengan 7 bit per kata kode berarti banyaknya kode yang bisa terjadi adalah

= 27 = 128 jenis kata kode yang berbeda satu sama lain

o Namun karena kode untuk data hanya terdiri atas 4 bit saja, maka hanyaterdapat 2

4 = 16 jenis kata kode saja yang digunakan, dari 128 buah jenis

kata kode yang mungkin terjadi

o Bentuk kata kode tersebut adalah : T cccmmmm x ][ 3214321= o Jika H = matrix uji paritas, maka H adalah matrix persegi q x n yang

bentuknya sebagai berikut :

o dimana bagian kanan dari matrix tersebut adalah matrix satuan (unit matrix)q x q

o Dengan pemilihan matrix uji paritas tersebut maka harus dipenuhi : H x = 0 ( dimana x = kode tertentu )

Dengan demikian :

[ ]

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

0

0

1000

0010

0001

1000

00010

0001

2

1

2

1

21

22221

11211

2121

21

22221

11211

M

M

M

LL

MMMMMMMMM

LL

LL

LL

LL

MMMMMMMMM

L

LL

q

k

qk qq

k

k

T

qk

qk qq

k

k

c

c

c

m

m

m

hhh

hhh

hhh

cccmmm

hhh

hhh

hhh

Hx

k q

q

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

1000

00010

0001

21

22221

11211

LL

MMMMMMMMM

L

LL

qk qq

k

k

hhh

hhh

hhh

H


13/60

13

Maka : 02211 =⊕⊕⊕⊕ jk jk j j cmhmhmh L ; q j L,2,1= Misalkan sebuah kata kode x dipancarkan mengalami beberapa kesalahan bit-nya sewaktuditeri-ma di tujuan. Jika kata kode yang diterima adalah y , dimana pola kesalahannya (error- pattern) adalah e.

Maka y = x⊕ e.Ini berarti setiap kata kode yang diterima adalah iii e x y ⊕= dengan k i L,2,1= .

Jika⎩⎨⎧

=→≠→=

ii

ii

i x y

x ye

0

1

Contoh :

T

T

y

x

]00110[

]10010[

=

= →= T e ]10100[

Jika di penerima kesalahan e dapat ditentukan , maka semua kesalahan yang terjadi dapatdiko-reksi. Untuk dapat menentukan kesalahan “e” dari kata kode yang diterima “ y” , makakata kode yang dipancarkan “ x” harus diketahui.Untuk itu harus dihitung sebuahq-digit syndrome.

Yang dimaksudkan denganq-digit syndrome adalah : Hys =

Lebih lanjut s dapat diuraikan menjadi : He Hxs ⊕= Karena 0= Hx , maka :

Hes = Jadi dapat dilihat bahwa jika tanpa kesalahan atau 0=e maka 0=s .

Jika berita yang diterima hanya salah 1 digit saja, misalkan yang mengalami kesalahan digitke- j, maka dapat dibuktikan bahwa :

T

qj j j hhhs ][ 21 L= dimana k j ≤

Contoh :Kode ( 7,4 ) berarti k = 4 ; n = 7 ; q =3

Kode paritas untuk setiap berita adalah :

q

Hc = 0 ( dimana c = kode tertentu yang dikirim)

]Dengan demikian :

[ ] T qk

qk qq

k

k

cccd d d

hhh

hhh

hhh

c H LL

LL

MMMMMMMMM

L

LL

2121

21

22221

11211

1000

00010

0001

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Kesalahan terjadi padadigit ke-3 dan ke-5

k q

⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000

00010

0001

21

22221

11211

LL

MMMMMMMMM

L

LL

qk qq

k

k

hhh

hhh

hhh

H q


14/60

14

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

0

0

1000

0010

0001

2

1

2

1

21

22221

11211

M

M

M

LL

MMMMMMMMM

LL

LL

q

k

qk qq

k

k

c

c

c

d

d

d

hhh

hhh

hhh

Hc

: 02211 =⊕⊕⊕⊕ jk jk j j cd hd hd h L ; q j L,2,1=

011001101

0110;4;3:

11312114131211

4321

=⊕⊕→=⊕⊕⊕⊕→=

======chhchhhh j

d d d d k qUntuk

• Matrix Uji Paritas adalah :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡→

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= +

+

+

4

3

2

1

34333231

24232221

14131211

7

6

5

2

1

21

22221

11211

2

1

d

d

d

d

hhhh

hhhh

hhhh

c

c

c

d

d

d

hhh

hhh

hhh

cc

c

c

k qk qq

k

k

qk n

k

k

M

L

MMMML

L

M

4343332321317

4243232221216

4143132121115

d hd hd hd hc

d hd hd hd hc

d hd hd hd hc

⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=

⊕⊕⊕=

• Nilai syndrome atau s ini sama dengan isi kolom ke- j dari kolom matrix uji paritas H• Karena itu syndrome memberikan informasi seolah-olah tidak ada kesalahan yang

terjadi (no error) , atau posisi sebuah kesalahan asalkan semua kolom matrix uji paritas H adalah berbeda dan bukan nol

• Dengan demikian didapatkan kode pengoreksi kesalahan tunggal (jika kesalahan yangterjadi hanya 1, maka langsung dikoreksi)

• Jika digunakan dengan model ini, maka suatu kode(n,k) akan mempunyai ProbabilitasKesalahan :

( )2, nword e PP ≈

( ) ( ) 2, 122 cnk Pn

k P nbit e −≈≈

• Namun kesalahan-kesalahan yang terjadi berulang-ulang (multiple errors) akanmenyebabkan keruwetan atau komplikasi


15/60

15

o karena meskipun kesalahan-kesalahan yang sebenarnya itu bisa dihilangkan,tapi akibatnya akan salah didalam membetulkan digit berita lainnya

o yang mana beritanya akan menjadi lebih jeleko Akibatnya dikehendaki kode yang lebih kuat

kecuali jika c sebegitu kecil sehingga kesalahan-kesalahan yang berulang akan amat jarang terjadi.

• Sayangnya dengan melengkapi suatu syndrome dan matrix uji paritas yang tepat untuk

mengoreksi kesalahan yang berulang-ulang adalah :o suatu kerja yang jauh lebih ruweto Oleh karena itu kode pengoreksi dua kesalahan yang pertama kali dibuat orang

: lebih didasarkan pada coba-coba (trial-and-error) daripada dirancang

berdasarkan metode tertentu.

• Akhirnya Slepian pada tahun 1956 mengambil teori koding yang berdasarkansepenuhnya pada matematika, pada saat dia :

o berhasil menemukan relasi konsep koding dengan aljabar modern.

• Segera setelah itu , dengan memakai teori medan Galois, para ahli yang bernama :o Bose, Chaudhuri dan Hocquenghem mengembangkan ke-lompok kode yang

dapat mengoreksi kesalahan yang berulang-ulang (sekarang disebut dengankode BCH (singkatan dari Bose-Chaudhuri-Hocquenghem) yang : efisien dan mempunyai hubungan relative sederha-na dengan

persyaratan perangkat keras bagi coding dan dekoding.

Pendeteksian Kesalahan Dengan Kode Siklis

- Meskipun sebagian besar upaya didalam penkodean (coding) yang telah dipelajariadalah yang berkaitan dengan kode-kode FEC = Forward Error Correction , namun pendeteksian kesalahan juga dipakai secara luas dilam komunikasi data modern

- Pendeteksian kesalahan tersebut biasanya memerlukan lintasan catubalik dari penerima

informasi ke pemancar , yang memberi tahu bahwa telah terjadi kesalahan bit yangditerima , yaitu urutan bit informasi tidak cocok dengan urutan bit paritasnya

- Selanjutnya pemancar akan mengirim ulang urutan bit katakode yang benar- Beberapa versi implementasi FEC adalah dengan cara :

o Pengenalan negatip (NAKs = Negative Acknowledments) berarti lintasancatubalik hanya diterapkan terhadap signal yang diterima salah saja , dimana pemancar akan mengirim ulang signal informasi jika signal NAK diterima

o Pengenalan positip (ACKs) berati bahwa lintasan catubalik hanya diterapkanterhadap signal yang diterima dengan benar saja , dimana akan secara otomatisdikirim ulang signal informasi dari pemancar jika tidak diterima signal ACK ,

selama interval waktu tertentu o Kombinasi ACK dan NAK

- Cara seperti yang disebutkan diatas disebut ARQ = Automatic Repeat reQuest , atau pengenalan dengan cara teknik pengiriman kembali (retransmission)

- Semua jaringan switching data-paket dan jaringan komputer melakukan pendeteksiankesalahan dengan pengiriman kembali bilamana kesalahan terdeteksi

- Contoh jaringan-jaringan tersebut adalah : o Jaringan-jaringan dengan pembagian waktu (time-shared networks) o Jaringan-jaringan data untuk masyarakat (public-data networks)


16/60

16

o Jaringan-jaringan perusahaan swasta (private corporate networks) , misalnya perbankan , pemesanan tiket pesawat udara , penjualan produk manufacturesecara eceran , dan sebagainya) dan jaringan-jaringan yang terus berkembang ,yang menggunakan banyak komputer untuk komunikasi data secara bersama

- Jaringan-jaringan ini terdiri atas banyak saluran komunikasi (jalur = link) yangdihubungkan dengan berbagai topologi jaringan , dengan pendeteksian kesalalahandilakukan secara umum terhadap jalur-lalur tersebut

- Kode siklis digunakan paling sering digunakan didalam melakukan fungsi pendetek-sian kesalahan - Blok-blok data yang dikirimkan didalam jaringan-jaringan ini sering kali disebut

dengan paket - Paket-paket tersebut dapat berentang dari 500 sampai dengan 1000 bit panjangnya ,

bahkan lebih - Jadi pengkoreksian kesalahan untuk kata-kode kode sepanjang itu bukanlah pekerjaan

yang mudah - Pendeteksian kesalahan terhadap kata-kata kode yang bit uji paritasnya tetap dapat

mudah dilakukan

- Adanya q buah bit uji paritas memungkinkan setiap kesalahan lonjakan (burst error)sepanjang q buah bit (ataupun kurang) tersebut untuk dideteksi kesalahannya (jikaterjadi)

- Pendeteksian tersebut tidak tergantung pada panjang paket data - Karena pada umumnya dirancang agar qk >> (agar efisiensi pengkodean tinggi) ,

maka deret generator ( ) xg , atau enkoder siklis jenis-sisa (remaider-type cyclic enco-der) pada umumnya digunakan didalam aplikasi pendeteksian kesalahan tersebut

- Misalkan kode siklis (n, k) , pada pendeteksian ini , dimana 4;6;10 === qk n

- Pada pendeteksian ini , k buah bit data tersebut dikelompokkan menjadi

- Perlu untuk dicatat bahwa hanya terdapat 1 bit saja didalam setiap lonjakanb buah bit(ataupun kurang) yang akan mempengaruhi setiap bit uji paritas , dan selanjutnya dapatyang dideksi

- Hal ini adalah benar , apakah lonjakan-lonjakan tersebut terjadi dalam salah satu darisegmen-segmen b buah bit , dimana urutan data telah dikelompokkan , ataupun bertumpang tindih sampai meluberi 2 buah segmen seperti itu

- Sebagai tambahan terhadap pendeteksian sebuah lonjakan didalamb buah bit (ataupunkurang) suatu kode linier dengan bit uji paritas sebanyak q = b buah

bit akan mendeteksi lonjakan-lonjakan yang lebih panjang dengan

prosentasi yang tinggi - Jika sebagian daripada lonjakan b buah bit tersebut menyebabkan :

o b > q , maka yang tetap tak terdeteksi pada kode siklis n, k) adalahq−2 , jika b > q + 1

o Jika b = q + 1 maka yang tetap tak terdeteksi pada kode siklis n, k)

adalah ( )12 −− q - Teorema

o ika banyaknya kode paritas q cukup banyak , maka hampir

semua kesalah-an dapat terdeteksi o Sebagai misal jika 16=q , maka semua lonjakan kesalahan sebanyak 16 buah

ataupun kurang akan dapat dideteksi


17/60

17

o Jika bagian lonjakan kesalahan yang terjadi menyebabkan 17>b , maka yangtetap tak dapat dideteksi adalah 616 104..2 −− xd s (suatu jumlah yang betul-betul

kecil) o Untuk membuktikan teorema tersebut , misalkan suatu lonjakan kesalahan

terjadi di pengelompokan b buah bits , mulai dari bit yang ke-i dan berakhir

dengan bit yang ke- ( )[ ]1−+ bi o Dalam bentuk deret lonjakan kesalahan (burst polynomial : ( ) ( ) xb x xb 1'= o ( ) xb1 deret berpangkat tertinggi ( ) →−1b ( ) 111211 +++++++= −−−−− bbiibb x x x x x xb LL o Jika diperlihatkan dengan gambar , dimana adanya kesalahan ditunjukkan

dengan bit 1 , yang terjadi pada bit i dan bit diakhir lonjakan , yaitu bit

( )1−+ bi sebagai berikut ini :

( ) ibi bit1 bit

11

LLLL

LLL

LLLL

−+−−−−

o Lonjakan kesalahan sepanjang b buah bit mempunyai kemungkinan sebanyak22 −b buah simbol (1 atau 0) diantara permulaan dan akhir , yang bedasarkan

difinisi , masing-masing dikendalai dengan bit 1 (untuk menyatakan bahwa pada urutan bit tersebut terjadi kesalahan)

o Hal ini sesuai dengan 22 −b kemungkinan pattern lonjakan kesalahan disepan-

jang b buah bit tadi , atau kemungkinan terjadinya 22 −b buah bentuk daripada

deret ( ) xb1 o Oleh karena perhitungan bit uji paritas di penerima dilakukan dengan jalan

pembagian oleh deret generator ( ) xg yang mempunyai pangkat tertinggi r ,satu kesalahan tetap tak terdeteksi jika dan hanya jika ( ) xb1 dapatdibagi oleh ( ) xg

o Dari sini persyaratan bagi suatu pattern kesalahan lonjakan untuk tetap tak ter-

deteksi adalah bahwa ( ) xb1 mempunyai ( ) ( ) ( ) xQ xg xb =1 o Karena ( ) xb1 adalah deret dengan pangkat tertinggi ( )1−b dan ( ) xg adalah deret

dengan pangkat tertinggi q , maka ( ) xQ adalah deret dengan pangkat tertinggi( )[ ]qb −−1

o Kemungkinan yang bisa terjadi adalah :

Yang pertama adalah : lonjakan kesalahan sepanjang ( ) qb =−1 ,sehingga pangkat tertinggi daripada ( ) ( )[ ] 01adalah =−− qb xQ , sehi-ngga ( ) 1= xQ ; dengan demikian hanya terdapat 1 patternlonjakan yang tak dapat terdeteksi

• agian lonjakan yang tak terdeteksi secara sederhana dirumuskan sebagai

Bagian dari lonjakan kesalahan yang tak terdetekasi = 22

1−b

= ( )12 −− q dimana qb =− 1

Yang kedua adalah jika qb >− 1 ; oleh karena pangkat tertinggi deret

( ) ( )[ ]qb xQ −−1adalah , dan harus berakhir dengan 1 , maka suku daripada deret ( ) xQ adalah sebanyak ( )[ ]11 −−− qb , yang masing-masingdengan koefisien 1 atau 0

KesalahanPattern←


18/60

18

Bagian dari lecutan kesalahan bit yang tak terdetekasi = qb

qb

22

22

11

=−−−−

Dua kemungkinan hasil yang diperoleh diatas membuktikan bahwakode yang dapat mendeteksi kesalahan dengan bit uji paritas moderatatau cukup , akan mendeteksi kejadian pada sebagian besar patternlonjakan kesalahan

o Karena semua jaringan data maupun komputer yang modern menggunakan beberapa

bentuk deteksi kesalahan dengan teknik ARQ bila menerima paket data yang salah ,maka :

Pemakaian teknik pendeteksi kesalahan akan dapat mengurangi probabilitas

terjadinya kesalahan suatu paket data , sehingga menjadiq−2

Prosedur deteksi kesalahan yang khusus , mempunyai bit uji paritas denganrentang antara 8 s.d. 32 buah bit

Standard internasional untuk pengontrolan jalur data (link data control) ,adalah menggunakan protokol HDLC (High-Level Data Link Control) , dima-na pada pengontrolan jalur ini menggunakan :

• bit uji paritas sebanyak 16 bit dan deret generator( ) 151216 +++= x x x xg

o Perhitungan sebenarnya daripada probabilitas kesalahan suatu paket

atau blok data yang dilindungi oleh suatu bit uji paritas siklis ada-lah :

sulit dilakukan karena masih kurangnya pengetahuan tentang mekanis-me yang menghasilkan ledakan-ledakan kesalahan khusus

Jika mekanisme yang dimaksudkan adalah :

• noise suhu yng terus-menerus terjadi dan pengaruh-penga-ruhnya diberi model sebagai AWGN = Additive WhiteGaussian Noise , maka :

o kesalahan-kesalahan bit yang berturut-turutdidalam suatu burst (lecutanan bit) akan bebassatu sama lain

o Probabilitas bahwa suatu paket atau blok sepanjang n bit akan diterima salahadalah :

( )[ ] bitkesalahanas probabilit;1;11 =


19/60

19

o Dengan demikian dapat dirumuskan :

npPb ≅= blok kesalahanasProbabilit dimana pengamatann berdasarkaditentukanyang parametersuatu= p

o Jadi semakin panjang blok , maka semakin besar kesalahan yang terjadi

• Jika dilakukan pengujian siklis , hasil yang sederhana adalah q−2 kejadian kesalahantak dapat dideteksi (hal ini dilakukan dengan menganggap panjang lonjakanb > q ,atau q >> 1

• Probabilitas kesalahan blok keseluruhan dapat didekati dengan :q

e npP −≅ 2

• Contoh :1.

2.

Rangkuman

- Tekanan pembahasan sistem komunikasi digital ini adalah mengenai pengoptimalanrancangan sistem dengan memaximalkan kecepatan transmisi informasi , yangmenghadapi kendala-kendala berupa daya signal terbatas , noise dan lebar pita

- Beberapa aspek optimisasi dibahas dari berbagai sudut pandang- Dalam pembahasan tentang komunikasi biner , diutarakan tentang pengaturan ambang

pengambilan keputusan , apakah suatu signal diputuskan bernilai 0 atau 1- Konsep matched filter dibahas untuk pemaximalan SNR pada transmisi biner- Ketidak samaan Schwarz digunakan didalam membicarakan jaringan emphasis

(preamphasis dan deemphasis) yang optimal untuk transmisi analog FM dan AM- Pembahasan tentang SNR , perubahan lebarpita pada sistem PCM- Teori Shanon tentang sistem transmisi digital optimum

- Pembahasan transmisi optimum dengan cara yang lebih statistik didalam sistem komu-nikasi digital

- Prosedur optimisasi pada sistem komunikasi digital berdasarkan minimisasi probabilitas terjadinya kesalahan bit , dalam keadaan adanya AWGN

- Prosedur ini akan menjawab pertanyaan “apakah ada gelombang-gelombang bineryang optimum dan mekanisme penerima yang optimum untuk meminimalkan probabilitas terjadinya kesalahan

- Pembahasan dimulai dari sample-sample signal tunggal yang diterima dan selanjutnyamelakukan generalisasi terhadap sample-sample yang berulang (multiple) secara bebas

- Dari probabilitas distribusi yang diketahui dapat diperoleh prosedur pemrosesan opti-mum , yang terdiri atas peningkatan pengaturan perbandingan kemungkinam (like-

lihood ratio) dan menentukan apakah perbandingan tersebut lebih besar atau lebih kecildibandingkan dengan suatu konstanta yang diketahui- Sebagai alternatip , prosedur optimum terdiri atas sample-sample signal terima ruang

berdimensi-m , yang dapat dibagi menjadi 2 daerah untuk pengambilan keputusan yangtidak tumpang tindih (disjoint decision regions)

- Dengan melakukan pensignalan multidimensi yang menggunakan signal-signal ortho-gonal M -susun , maka :

o dapat diperoleh penurunan probabilitas kesalahan , namun : memerlukan lebarpita yang lebih lebar rangkaian memjadi bertambah komplex

( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 12145348

53255 10410

64

410

256

4

2

101000210100032;1000;10 −−−

−−−− ≅≅≅=≅→=== xPbitsqbitsn p e

( )( )( ) ( ) 5855 102256

1055002105008;500;10 −−−− ≅=≅→=== xPbitsqbitsn p e


20/60

20

- Cara diatas adalah hal yang khusus daripada teorema kapasitas kanal Shanon ,dimana :

• secara teoritis dapat dibuat sistem komunikasi dengan probabilitas kesalahanrendah , meskipun terdapat adanya noise AWGN , sehingga :o dapat dilakukan

oper si pengkode n d n pendekode n

seca-ra memuaskan

o Hal diatas dimungkinkan asalkan :

kecepatan transmisi bit = R bps tidak melebihi kapasitas kanal , yangmana : kapasitas kanal tersebut ditentukan oleh :

• lebarpita kanal transmisi , daya signal rata-rata dan kerapatanspektral

- Penggunaan metode-metode untuk mendeteksi dan mengoreksikesalahan bit adalah :

o sebagai suatu cara untuk memperbaiki kinerja sistem komunikasi digital - Cara yang umum dilakukan untuk mendeteksi dan mengoreksi kesalahan bit adalah :

o dengan jalan menyisipkan bit-bit uji paritas dalam aliran biner (binary stream) ,sehingga dimungkinkan untuk :

mendeteksi dan mengoreksi kesalahan dalam jumlah tertentu- Langkah yang diambil dalam hal ini adalah :

o memilih kode yang mendekati kinerja kesalahan yang diramalkan oleh Shanon

PEMBUATAN KODE SIKLIS

• Deret generator ( ) xg langsung dapat digunakan untuk pembuatan kode siklis• Pembuatan kode secara serial dapat dilakukan dengan mengimplementasikan register

geser

• Dasar pemikirannya sebagai berikut :• Berdasarkan rumus untuk deret katakode = ( ) ( ) ( ) xg xa xc = , dimana :

o deret urutan data : ( ) k k k d xd xd xd +++= −

−1

1

1 L ; derajat (pangkat tertinggi)

deret ini adalah ( )1−k o namum derajat deret urutan data bisa menjadi kurang dari ( )1−k jika 01 =d

hal ini tergantung pada nilai-nilai bit data

o operasi ( ) xd x k n− akan menghasilkan deret berderajat ( ) ( ) ( )11 −=−+− nk k n ,atau lebih kecil bila koefisien dari suku deret yang berpangkat ( )1−n adalah 0

o ( )

( ) ( ) ( ) xr xq

xg

xd x k n+=+=

−

pembagianhasilsisa pembagianhasil

o Derajat deret ( )( ) xg

xd xk n−

adalah :

( ) ( ) ( ){ }[ ] ( ) 11rtinggi pangkat te1 −=−−==−−+− k qnq xgk k n

o Deret kata kode = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xr xd x xg xa xc k n +== −

( ) ( )

( )( )

( ) xg xd x

xg

xd x xr

k nk n −−

== pembagianhasilsisarem

Contoh :


21/60

21

Buktikan bahwa kode ( )3,7 jika kode datanya = 111=d , maka kata kodenyaadalah : ( )1110100=c

Bukti :

( ) ( )

( )

( )

11

1remrem

234

456

234

237

+++

++=

+++

++==

−−

x x x

x x x

x x x

x x x

xg

xd x xr

k n

2 x

1234 +++ x x x 456 x x x ++

( ) ( )

( ) ( )1001rem 22 ++===

−

x x x xg

xd x xr

k n

Jadi ( ) ( ) ( )[ ] ( )1110100100,1110remkoefisien-koefisien, === d c

Arithmatika polynomial

Sebelum menentukan deret generator ( ) xg , akan dibahas lebih dahulu tentang arithmatika(perhitungan aljabar) perkalian dan pembagian polynomial sebagai berikut :

• Misalkan ( ) 112

210

−−++++=

k

k Dw Dw Dww Dw LL adalah deret ukur , dimana nilai

setiap 1012,1,0

atauwk j

j =−= LL

•

Jika semua nilai ( )12

12,1,0 11

−

−= ++++=→=k

k j j D D D Dww

LLLL

o Jika ( ) 3214 D D D Dwk +++=→=

• Jika untuk 6=k tidak semua12,1,0 −= k j

jwLL

bernilai 1 , misalnya :

o 1;1;0;0;1;1 543210 ====== wwwwww , maka :

( ) 554

41 Dw Dw D Dw +++= • Polynomial tersebut memberi gambaran yang sesuai dengan vektor informasi – k bit :

1210 −= k wwwww LL • Perhatikanlah beberapa polynomial berikut :

( )

( )

( )

( ) 112

210

1

1

2

210

1

1

2

210

1

1

2

210

−−

−−

−−

−−

++++=

++++=

++++=

++++=

n

n

n

n

n

n

n

n

De De Dee De

D x D x D x x D x

D y D y D y y D y

Dg Dg Dgg Dg

LL

LL

LL

LL

• Penjumlahan modulo-2 daripada 2 buah polynomial , misalnya :( ) ( ) ( ) De D x D y +=

( ) 112

210

1

1

2

210

−−

−− +++++++++=

n

n

n

n De De Dee D x D x D x x D y LLLL

2456 x x x x +++

( ) 1111 2 ++=→= x x xd d

2 rem x=


22/60

22

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1112

221100

1

1

2

210

−−−

−− ++++++++=++++=

n

nn

n

n De x De x De xe x D y D y D y y D y LLL

Jadi :

111

111

000

−−− +=

+=+=

nnn e x y

e x y

e x y

M

Secara umum : j j j e x y += • Perkalian daripada 2 polynomial , misalnya :

( ) ( ) { }{ }112210112210 −−−− ++++++++= nnnn Dw Dw Dww Dg Dg Dgg Dw Dg LLLL ( ) ( )

22

11

1

2111

1

01

11

3

21

2

1101

1

10

2

201000

−−−

+−−

−−

−−

−

++++++

+++++++++=n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Dwg Dwg Dwg Dwg

Dwg Dwg Dwg Dwg Dwg Dwg Dwgwg Dw Dg

LL

LL

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) LLL ++++++++++

+++++++++=−

−−−−

−−−−

−

2

423120

1

01222110

113

032130

2

0211200110

0

00

n

nnn

n

nnnn

n

n

Dwgwgwg Dwgwgwgwg

Dw Dwgwgwg Dwgwgwg Dwgwg Dwg Dw Dg

Dapat ditulis :

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) 000

3

12213

2112

1

1

g Dw

Dwgwgwg

Dwgwg

Dwg Dw Dg

n

k k nk k nk k n

nk k nk k n

n

k k n

+

+++++

=

−−−−−−−−−

−−−−−−

+−−

M

Kata kode keluaran adalah :

iq

q

i

iq gw x −=∑=

0

dimana perhitungan dan rangkaian berikut ini secara konsep dapat digunakan untuk me-

nggambarkan perkalian ( ) ( ) ( ) Dg Dw D x =

Untuk menghitung persamaan diatas dapat dilakukan dengan menggunakan rangkaianlogika berikut :

04132231404

031221303

0211202

01101

000

4

3

2

1

0

gwgwgwgwgw xq

gwgwgwgw xq

gwgwgw xq

gwgw xq

gw xq

++++=→=+++=→=

++=→=+=→=

=→=

X X X X X

3 n-k21

k ng − 1−−k ng 2−−k ng 3−−k ng 0g

1210 ,,,, −− nn x x x x L

Masukan

1210 ,,,, −− k k wwww L

Keluaran


23/60

23

Cara kerjanya :

• Koefisien-koefisien ( ) Dw adalah masukan pertama pada saat awal dengan 1−k w • Keluaran pertama adalah k nk n gw x −−− = 11 • Register geser (shift-register) selanjutnya dikunci sekali sehingga 1−k w disimpan di

register 1

• Keluaran 1122 −−−−−− ⊕= k nk k nk n gwgw x • Register geser totak dikunci sebanyak ( )1−n kali , untuk menghasilkan semua

koefisien daripada ( ) D x • Setelah koefisien masukan yang ke-k , maka bit-bit 0 adalah masukan ke register ge-

ser ; cara ini akan sangat menyederhanakan pengenkodea kode-kode siklis• Selanjutnya perhatikan hasil-bagi daripada• Sebagai misal ( ) ( ) 3542 1;1 D D Dg D D D D D x ++=++++= , maka :

• Perlu untuk diperhatikan bahwa hampir dalam semua kasus , hasil bagi polynomialmenghasilkan sisa

• Sisa hasil bagi ini ditulis dengan : ( ) ( )[ ] ( ) D D x R Dg ρ =

SIFAT-SIFAT KODE SIKLIS

• Untuk setiap kode siklis ( )k n, , semua vektor kode ( deret ukur kode = code- polynomial ) dapat dinyatakan sebagai :

o Hasil kali dari suatu deret generator ( ) Dg , yang mempunyai derajat k nq −= dengan deret berita ( ) Dw yang mempunyai derajat 1−k

o Hasilkali ( ) ( ) ( ) Dg Dw D x = mempunyai derajat ( ) ( ) 11 −=−+− nk nk o Karena setiap berita terdiri atas k buah bit , maka akan terdapat k 2 buah

kemungkinan berita , sehingga akan terjadi k 2 buah deret ukur yang berbeda

( ) 112

210

−−++++=

k

k Dw Dw Dww Dw LL , sesuai dengan semua bilangan biner

yang mungkin terjadi untuk mengisi nilai koefisien jw

o Terdapat k 2 buah katakode yang munkin terjadi

( ) ( ) Dg D x −

13 ++ D D 1245 ++++ D D D D bagiHasil12 →++ D D

235 D D D ++

134 +++ D D D D D D ++ 24

123 ++ D D1

3

++ D DSisa2 →+ D D


24/60

24

• Kata kode untuk suatu kode siklis biner dapat mudah dihasilkan dengan menggunakanrangkaian sebagai berikut :

• Beberapa sifat penting daripada deret generator adalah sebagai berikut :o Deret generator untuk setiap kode siklis adalah suatu faktor daripada 1+n D o Karena itu akan tidak terdapat sisa jika dilakukan proses pembagian yang

panjang daripada 1+n D oleh ( ) Dg

o Setiap deret berderajat k n − , yang mana adalah sebuah faktor daripada1+n D , adalah generator polynomial untuk suatu kode siklis ( )k n,

o Derajat dari deret generator selalu k n − o Pergeseran siklis ke-q daripada suatu katakode , adalah sisa daripada hasilbagi

( ) D x Dq oleh 1+n D • Deret generator ( ) k nk n Dg Dgg Dg

−−+++= L10 untuk kode siklis , adalah matrix

generator n xk sebagai berikut :

o

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−−−

−−−

−

k n

k nk n

k nk n

k n

ggg

gggg

gggg

ggg

G

L

MMMMMMMMMLL

LL

LLL

10

110

110

10

00000

000

000

000

• Matrix uji paritas untuk kode siklis adalah :

o

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−

−

−

01

11

011

01

00000

0000

000

000

hhh

hhh

hhhh

hhh

H

k k

k k

k k

k k

L

MMMMMMMMM

LL

LL

LLL

Dimana ( ) k k Dh Dhh Dh +++= L10 , adalah hasil pembagian daripada 1+n D

oleh ( ) Dg o tidak terdapat sisa jika dilakukan proses pembagian yang panjang daripada

1+n D oleh ( ) Dg (sesuai dengan sifat 2 )

X X X X X

3 n-k21

k ng − 1−−k ng 2−−k ng 3−−k ng 0g

1210 ,,,, −− nn x x x x L

Masukan

1210 ,,,, −− k k wwww L

Keluaran

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−

−

−

01

11

011

01

00000

0000

000

000

hhh

hhh

hhhh

hhh

H

k k

k k

k k

k k

L

MMMMMMMMM

LL

LL

LLL

22 +k

1+k


25/60

25

• ( ) ( ) 3542 1dibagi1 D D Dg D D D D D x ++=++++=

Kode-Kode Hamming• Kode-kode Hamming adalah sekelompok kode yang ditemukan oleh R. W. Hamming

(1950)

• kode-kode Hamming ini semuanya mempunyai jarak minimum 3 , yang dapat :o mengoreksi sebuah kesalahan tunggal (t = 1) didalam suatu kelompok no mendeteksi semua kesalahan ganda

• Kode-kode Hamming adalah kode-kode sistematis siklis linier• Kode-kode Hamming dengan 12 −= jn dan jnk −= akan ada jika interger 3≥ j

• Nilai kode atau Efisiensi kode =12

12

−−−

== j

j j

n

k R

• Tabel nilai kode atau efisienssi kode R :

%991023101310

%985115029

%972552478

%941271207

%9063576

%8431265

%7315114

%57743

/ nk Rnk j =

• Kode-kode Hamming selalu ditentukan oleh matrix uji paritas H , yang banyakkolomnya = jk n =− dan banyak barisnya = n

• Kolom-kolom tersebut terdiri atas semua vektor komponen - j yang bukan nol

q2

q

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−−−

−−−

−

k n

k nk n

k nk n

k n

ggg

gggg

gggg

ggg

G

L

MMMMMMMMM

LL

LL

LLL

10

110

110

10

00000

000

000

000


26/60

26

• Contoh :o Matrix uji paritas untuk kode Hamming (7,4) adalah :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0110100

0111010

1101001

H

o Matrix generator untuk kode-kode Hamming diperoleh dengan menggunakanhubungan :

1,1,0,1,1,0, −−−= k mmmk nmmmm www x x x x LL

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−−−−

−−

−−

−−

−

1000

0100

0010

0001

1,11,10,1

1,21,20,2

1,11,10,1

1,01,00,0

1,1,0,

LL

MMMMMMMMM

LL

LL

LL

L

k nk k k

k n

k n

k n

nmmmm

ggg

ggg

ggg

ggg

www x

[ ]Gwww x nmmmm 1,1,0, −= L asalkan kode-kodenya linier sistematis

•

Generator polynomial ( ) Dg adalah :o Anggota dari kelas polynomials tertentu yang disebut dengan polynomials primitip

o Tabel singkat daripada polynomial primitip yang dapat digunakan sebagaigenerator bagi kode-kode Hamming , sampai dengaan panjang =

12 −= k n adalah sebagai beri-kut :

Pengenkodean Kode-kode Hamming

• Enkoder yang digunakan bagi kode-kode Hamming terdiri dari berbagai bentuk :o Jika kecepatan pengenkodean tidak kritis , maka :

Enkoder dapat diimplementasikan / dilakukan dalam software , dengan jalan menghitung perkalian ma-trix generator secaaara langsung

o Jika kecepatan pengenkodean kritis , biasanya diguna-kan implementasi yang

lain• Gambar berikut ini melukiskan implementasi secara langsung bagi suatu enkoder

Hamming , yang dapat dibuat dengan memakai rangkaian logika berkecepatan tinggi

• • Register geser ( )bitsk 1− dipuncak gambar menerima bit-bit in-formasi dari sumber

data

• Setelah register masukan terisi , maka keluaran modulo-2 adders adalah simbol-simbolkata kode yang benar

j

3456

7891011

1 + D + D 2 1 + D + D 4 1 + D + D 5 1 + D + D 6

1 + D 3 + D 7 1 + D 2 + D 3 + D 4 +D 8 1 + D 4 + D 9 1 + D 3 + D 10

1 + D 2 + D 11

j

14151617

1819202122

1 + D + D 6 + D 10 +D 14

1 + D + D 15 1 + D + D 3 + D 12 +

D 16

1 + D 3 + D 17 1 + D 7 + D 18 1 + D 2 + D 3 + D 4 +D 8 1 + D 3 + D 20


27/60

27

• Setiap simbol adalah suatu “penjumlahan modulo-2” daripada bit-bit informasitertentu , yang ditentukan oleh matrix gene-rator

• Generator matrix dapat diperoleh daari generator polynomial , dengan cara sebagai berikut :

•

• Biasanya, banyaknya bit uji paritas < banyaknya bit kharakter, agar efisiensi kode >50 %

• Dengan demikian daya yang digunakan untuk pengiriman kode sebagian besardigunakan untuk keperluan pengiriman kode kharatter.

• Bit uji paritas tersebut isinya tergantung pada kode kharakter• Tiap-tiap kharakter mempunyai bit-bit penguji sendiri-sendiri• Banyaknya bit uji paritas tersebut paling sedikit sebanyak 3 bit• Banyaknya perbedaan bit tersebut disebut dengan jarak Hamming (Hamming

distance)

• Jadi untuk kode ( 7,4 ), dimana :o banyaknya bit seluruhnya 7== n o banyaknya bit untuk kharakter 4== k o banyaknya bit uji paritas adalah 3=−== k nq

o karena itu untuk kode ( 7 , 4 ), jarak Hammingnya adalah 134 =−=−= qk • Kode yang mengikuti aturan ini disebut dengankode Hamming • Syndrome s pada kode belitan (convolution code) terdiri atasq bit • Sebagai contoh jika :

o banyaknya bit keseluruhan 7== n o banyaknya bit uji paritas = 4=q o maka banyknya bit kharakter 347 =−=−== qnk .

• Jika tanpa kesalahan penerimaan bit, maka :o syndrome nya adalah = 000=s o Jika syndromnya = →= 001s maka terjadi kesalahan pada bit ke-1 (dari yang

paling kiri atau LSB)o Oleh karena itu diperlukan petunjuk (n + 1) buah kesalahan (dibuktikan

pada contoh dihalaman berikutnya)o Apa yang ditunjukan pada contoh itu adalah tentang kode yang :

“tanpa kesalahan” (no error) satu kesalahan pada setiap digit dari kata kode lebih dari satu kesalahan pada setiap digit dari kata kode , sampai

dengan seluruh digit kata kode salah

adanya 2q buah kemungkinan syndrom yang berlain-an • Sebagai contoh, untuk menjelaskan pernyataan diatas , diam-bil :

o suatu kode yang banyaknya bit keseluruhan 743 =+=+== qk n o

Untuk kode kharakter 000 :1. Jika tanpa kesalahan penerimaan, syndrome-nya 000== s 2. Jika terjadi kesalahan pada bit pertama (LSB) 001=→ s 3. Jika terjadi kesalahan pada bit kedua 010=→ s 4. Jika terjadi kesalahan pada bit ketiga 100=→ s

5. Jika terjadi kesalahan pada bit pertama dan kedua011

=→s

6. Jika terjadi kesalahan pada bit pertama dan ketiga 101=→ s


28/60

28

• Banyaknya bit kharakter 3== k • Semua kharakter yang mungkin terjadi = 2k = 23 =8, yaitu :

o 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111

• Maka pada kode Hamming ini :• banyaknya bit uji paritas dan bit berita adalah sesuai dengan hubungan berikut :

12 += nq ( )1log2 += nq

dimanaq = banyaknya bit uji paritas ;

n = banyaknya bit keseluruhan untuk kata kode

• Efisiensi kode ( )1log1

11 2 +−=−=−

=== nnn

q

n

qn

n

k R

• Jika nilai n semakin besar, maka effisiensi kode akan semakin tinggi sebagaimanacontoh berikut :

%66.7615

11

15

414;15

%14.577

4

7

313;7

%33.333

212;3

==−=→==

==−=→==

=−=→==

Rqn

Rqn

Rqn

• Matrix uji paritas dapat dibentuk dengan lebih mudah• Dengan hanya 1 kesalahan digit, misalkan digit yang ke- j, maka syndrome

=s kolom ke-j matrix H • Untuk kata kode Hamming ( 7, 4 ), maka sebagai contoh matrix uji paritas = H adalah

:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1010101

1100110

1111000

H

Banyaknya kolom = n = 7

• Dibandingkan dengan matrix uji paritas pada kode blok sebelumnya, dapat dilihat bahwa

o k ode Hamming ini bukan kode yang sistematis o Hal ini disebabkan bahwa posisi-posisi digit uji paritas harus sesuai dengan

kolom-kolom H yang hanya mempu-nyai sebuah digit 1

Banyaknya baris = q = 7 – 4 = 3


29/60

29

dalam hal ini, jika dilihat dari matrix H diatas , maka kolom-kolomyang memenuhi syarat adalah kolom ke-1 dan kolom ke-2 saja

• Untuk lebih jelas, perhatikan kata kode ( 7, 4 ) berbentuk sebagai berikut :T

mmmcmcc x ][ 4323121= • Digit-digit paritasnya adalah sesuai dengan persamaan beikut :

4323

4312

4211

mmmc

mmmc

mmmc

⊕⊕=⊕⊕=

⊕⊕=

• Contoh : Untuk kata kode dengan :

111111

010110

010110

1;1;1;0

3

2

1

4321

=→=⊕⊕==→=⊕⊕==→=⊕⊕=

====

diambilc

diambilc

diambilc

mmmm

• Maka kata kode tersebut adalah :

T

T mmmcmcc x

]1111000[

][ 4323121

=

=

• Perhatikan, bahwa kata-kode ini sama dengan baris pertama dari matrik H diatas tadi• Selanjutnya dibuat tabel kode Hamming sebagai berikut :

o Jika n = 7, maka banyaknya kode blok yang mungkin terjadi adalah27 = 128 buah

o Jika banyaknya bit untuk sebua berita adalah k = 4, maka hanya 24 = 16 buahkode blok yang digunakan untuk mewakili seluruh berita yang mungkin terjadi

o Tabel untuk kode blok adalah sebagai berikut

• Jika penulisan kode berita dilakukan secara pembacaan terbalik, artinya jika kodeuntuk menyatakan nilai suatu level amplitudo, misalnya amplitudo yang terdiri atas 4

Nomor

Berita

Kode

BeritaKata Kode

012345678

91011121314

15

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

10011010

1011

1100

1101

1110

1111

0000000 1010001 1110010 0100011 0110100 1100101 1000110 00101111101000

011100100110101001011101110000011010101110

1111111


30/60

30

level, yang biasanya bilangan binernya adalah 0100 dibalik penulisannya menjadi dariarah sebelah kanan sehingga menjadi 0010 , ma-ka :

o tabelnya akan berubah menjadi tabel kode Hamming berikut ini :

Berdasarkan tabel kata kode yang terdapat pada halaman sebelum-nya, maka dapat dilihat bahwa setiap kata kode yang digunakan un-tuk menyatakan sebuah berita, maka :

• Setiap kata kode yang berturutan nilainya berbeda 3 posisi• Berita berbeda dapat mempunyai bit uji paritas yang sama• Bit uji paritas ditulis mendahului bit data• Dengan demikian 1 atau 2 kesalahan transmisi tidak akan dapat mengubah suatu kata

kode menjadi kata kode yang lain

• Karena itu dekodernya akan dapat memberitahukan kepada pengguna bahwa telahterjadi kesalahan transmisi (meskipun tidak dapat mengoreksi kesalahan tersebut

• Namun jika terjadi 3 kesalahan transmisi maka akan dapat mengubah kata kode yangdipan-carkan menjadi sebuah blok yang sama dengan kata kode yang memenuhi syarat

• Karena itu dekodernya tidak akan dapat mendekti dan mengo-reksi kesalahan.Tabel tertentu yang dibuat sebagai contoh tersebut adalah termasuk kelompok kode Hamming

No

012

34567891011121314

15

Berita

0000

1000

0100

11000010

1010

0110

1110

0001

1001

0101

1101

0011

1011

0111

1111

Kata kode

0000000 1101000 0110100

1011100 1110010 0011010 1000110 0101110 1010001 0111001 1100101 0001101 0100011 1001011 0010111

1111111

Jika kata kode untuk berita nomor 2 yaitu 0110100 dikirimkan dan kesalahan terjadi pada posisi 1, 2dan 4, maka :

• signal yang salah tersebut adalah :“1011100” , yang mana berarti sama dengan kata kodeuntuk berita nomor 3

• Karena itu detektor akan menganggap berita nomor 2 sebagai berita nomor 3• Jadi dengan terjadinya 3 kesalahan, maka detektor tidak dapat mendeteksi kesalahan tersebut• Jika kesalahan lebih dari 3 bit, maka hanya akan dapat mende-teksi kesalahan jika kata kode

yang diterima (atau vetor yang diterima) tidak sama dengan kata kode yang ditunjukkan padatable

• Banyaknya perbedaan diantara sepasang kata kode yang berturutan, misalnya xm dan xm’ ,adalah sesuatu yang benar-benar penting dan disebut dengan :

o jarak Hamming ( Hamming –distance )

• Simbolnya adalah d H atau d H ( xm , xm’ )


31/60

31

• Pada tabel tersebut terdapat 3 buah jarak Hamming minimum• Ketiga jarak Hamming minimum tersebut dapat digunakan untuk mengoreksi sebuah

kesalahan transmisi tunggal didalam setiap blok kata kode yang dipancarkan

• Hasil penjumlahan kedua kata kode yang berturutan ini dinamakan dengan jarakHamming.

Jadi :Kata kode nomor 2 = x2 = 0110100

Kata kode nomor 3 = x3 = 1011100

Jarak Hamming = d H = 1101000

Bobot Hamming (Hamming-weight) = banyaknya angka 1 pada setiap kata kode

Contoh :Kode Hamming ( 7,4 ) sebagaimana diberikan pada tabel kode Hamming diatas, misalkanmempunyai keluaran kanal simetrik biner seperti yang dituliskan berikut ini :

y = 1011010Detektor menghitung jarak-jarak Hamming antara y dan semua kata kode yang mungkinterjadi xm .

Keluaran dekoder mengistimasikan x&

adalah m x yang mempunyai jarak minimum dari y.Dari tabel kode Hamming, kata kode nomor lima adalah : x5 = 0011010.Jarak Hamming antara y dan x5 adalah pertambahan modulo-2 antara y dengan kata kode x5,yaitu 1011010 + 0011010 = 1000000.Bobot Hamming-nya = 1 = jarak Hamming minimum.Jadi jarak Hamming minimum antara y dan xm akan terjadi antara y dengan kode berita untuk x5 = 0011010 .

Probabilitas Kesalahan Blok

Probabilitas kesalahan blok = BP daripada kode-kode yang dapat mengoreksi kesalahan

tunggal adalah :

• Probabilitas dua atau lebih kesalahan terjadi selama transmisi

• Probabilitas kesalahan Blok = ( ) ( )∑−

=

−−−−−=12

1

1111

j

j

nn

B p p pP

• Terdapat sebuah “pattern kesalahan” tunggal , dengan tanpa kesalahan , yang manaterjadi dengan probabilitas = ( ) n p p −1

• Terdapat 12 − j pattern kesalahan dengan sebuah kesalahan tu-nggal , yang mana terjadi

dengan probabilitas = ( )

1

1

−

−

n

p p • Berikut ini gambar yang melukiskan probabilitas kesalahan blok BP sebagai fungsidaripada = p probabilitas daripada fungsi pin-dah silang (crossover) BSC (BinarySymetric Code) , untuk kode-kode Hamming , berdasarkan tabel berikut :

•

Vektor Kesalahan

+


32/60

32

Jika kata kode x m ditransmisikan menggunakan Kode Simetrik Biner ( BSC = Binary Sym-metric Code ) , maka selama transmisi kesalahan dapat terjadi.

Vektor kesalahannya dapat ditulis sebagai 1210 −⋅⋅⋅⋅⋅= neeeee Jika salah satu atau lebih dari nilai vektor tersebut adalah “1”, maka telah terjadi kesalahantransmisi diposisi bit tersebut.Contoh :

0011101

0001011

0010110

=→=→

=→

yditerima yangVektor

ekesalahanVektor

xkodekataVektor m

Jika kanal dianggap tak bermemory, maka probabilitas terjadinya kesalahan pada setiap simbol tertentu adalah tak tergantung pada semua simbol yang lainnya.Jadi pada kode simetrik biner, probabilitas-probabilitas transisi ( transition probabilitiesBSC ) adalah konstan untuk seluruh transmisi.Maka :

( )''1

'Pr ][Pr nn

n

n x y x y

−

Π=

Untuk BSC, p p −==→== 1)11Pr()00Pr()10Pr()01Pr(Dengan demikian probabilitas bahwa BSC menyebabkan terjadinya vektor kesalahan :

)1()1()1()1(]1101000[:1101000 p x p x p x p x p x p x pePadalahe −−−−=== Secara umum, probabilitas bahwa BSC menyebabkan kesalahan-kesalahan kanale’ pada po-sisi tertentu didalam blok kata kode yang panjangnya n adalah :

'' )1(

'

Pr ene p p

kodekatadalam

tertentulokasilokasi

padaekesalahan−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

Hasil diatas tersebut digunakan untuk mencari ],Pr[ m x y yaitu Probabilitas y = signal ter-

tentu yang diterima jika signal yang dikirim adalah xm .Rumus lainnya yang dapat digunakanadalah :

H H d d

m p p x y )1(]Pr[ −= Pada kode Hamming ini untuk memeriksa kesalahan kode dilakukan secara kontinyu, dengancara yang dikenal dengan nama pembelitan atau konvolusi (convolution).Untuk menggambarkan kode Hamming ini secara lebih jelas, dimisalkan setiap kharakteryang dibuat menjadi kode terdiri atas k buah bit, dan disebut dengan kode asli. Setelahmasing-masing kharakter diberi bit-bit penguji-nya masing-masing, jumlah bit untukmenggambarkan setiap kharakter menjadi n buah bit. Jadi banyaknya bit penguji adalahsebanyak m = (n-k) buah bit.

Maka Efisiensi kode = %100nk =η .

Kelompok kode yang termasuk dalam kode Hamming ini dapat ditulis sebagai berikut :

( ) ( ) ( ){ }mk n mm −−−= 12,12,dimana :

n = jumlah bit total untuk menyatakan kharakterm = banyaknya bit penguji

k = banyaknya bit asliJadi jika banyaknya bit penguji 4=m , maka :


33/60

33

kode seluruhnya adalah 15124 =−=n dengan jumlah bit penguji sebanyak 1141212 4 =−−=−−= mk m bit

Dengan demikian kode aslinya adalah :

( ) ( )11,15, =k n Jika m = 3 bit, maka 4312712 33 =−−==−= mdann ; kodenya =Contoh kode (7,4) adalah :

• Kode asli tersebut secara seri digeser melalui register geser sehingga padasetiap penggeseran akan menghasilkan kode yang terdiri atas n buah bit

• Hal ini dapat dicapai dengan jalan membuat rangkaian tertentu yang dapat memenuhikebutuhan yang diinginkan

• Teknik yang diterapkan untuk mencapai keinginan itu adalah dengan menggunakanrangkaian sebagai berikut :

Coding untuk Kanal Simetrik Biner(BSC =Binary Symetric Channel)

Shanon telah mendemonstrasikan jika kapasitas kanal transmisi melebihi ba-

nyaknya bit per detik yang melewatinya , maka :

dimungkinkan diperoleh transmisi bit-bit tanpa kesalahanJadi jika C = kapasitas kanal transmisi ; R = banyak bit yang dikirimkan per detik .Maka jika C ≥ R akan dimungkinkan transmisi bit-bit tanpa kesalahan

Dasar-dasar Teori Informasi

Sebelumnya sudah dibahas bahwa :

• signal yang mengandung informasi yang dibangkitkan di pemancar tidak dapatditerjemahkan secara benar di penerima . sebagai akibat :• adanya signal yang mengalami cacat di kanal antara pemancar dan penerima • Cacat ini menyebabkan matched filter detector di penerima membuat

kesalahan

• Disain sistem komunikasi yang baik akan dapat :• meminimalkan kemungkinan matched filter tersebut membuat kesalahan dengan

cara :

• melebarkan lebarpita

mk

n

1001001


34/60

34

• menambah daya pancar • sekali gus mempertahankan beaya pembutan sistem yang layak.

Hal ini memang membuat disain menjadi lebih ruwet.Studi teori informasi menunjukkan bahwa terdapat batas-batas teori fundamentil yang adahubungannya dengan :

• probabilitas kesalahan• daya pemancar

• interferensi • lebarpita signal • keruwetan sistem

Hubungan ini digunakan untuk :

• menelaah kelayakan kinerja probabilitas kesalahan sistem yang telahdibahas secara mendalam, dengan memakai sumber daya yang tersedia

• mendapatkan wawasan tentang teknik yang digunakan bagi pencapaiankinerja yang dinginkan tersebut.

Bidang teori informasi dimulai dengan karya Shanon, diakhir tahun 1940.Sejak saat itu banyak ahli riset telah mengembangkannya dan telah berhasil mendapatkan

teknik yang terperinci untukmerancaang efisiensi komunikasi.

Keseluruhan daripada bidang pengontrolan kesalahan tersebut harus dibahas secaramendalam, untuk :

• dapat melakukan pengembangan teknik-teknik yang diperlukan bagi tercapainya kinerja yang diharapkan

• terwujudnya apa yang telah dibuktikan oleh ShanonPada bab ini sejumlah teknik pengontrolan kesalahan yang paling penting akandibahas.Dari studi yang sangat mendalam , maka akan dapat diperlihatkan tentang :

• pengertian bagaimana kinerja sistem komunikasi mungkin akan menghadapiberbagai hambatan (constraints) tambahan

• Studi tentang berbagai teknik pengontrolan kesalahan akan dapat memberi pengertiantentang :

o prinsip pengontrolan kesalahano teknik-teknik tentang bagaimana caranya mencapai kinerja sistem komunikasi

yang diinginkan tersebut

• Teknik pengontrolan kesalahan yang dibahas akan mencakup tentang :o pengkodean signal yang merupakan salah satu yang diperlukan

pada sistem komunikasi digital , agar diperoleh :

kode yang dapat melakukan self correction jika mengalamikesalahan didalam urutan bit-bit , misalnya :

• kode blok• kode konvolusi• automatic repeat request system dengan menggunakan

deteksi kesalahan.Jenis interferensi oleh noise yang dibahas , adalah :

• yang terkait dengan pengontrolan kesalahan• dibatasi hanya pada interferensi noise Gaussian saja.


35/60

35

KONSEP D S R TEORI INFORM SI

Studi tentang teori informasi secara klasik dibagi menjadi :

• studi tentang koding sumber informasi • studi tentang koding kanal

Dari gambar mode sistem komunikasi sebelumnya , terlihat bahwa keluaran dari sumber

informasi adalah masukan ke enkoder sumber, yang mana fungsinya adalah :

• memperkecil banyaknya bit data rata-rata pada setiap waktu tertentu, yangharus dipancarkan ke pengguna informasi melalui kanal

• membuat banyaknya bit data rata-rata tersebut adalah seminimummungkin.

Jika koding sumber informasi bukan menjadi pokok pengamatan, maka :

- akan menjadi mudah untuk mengelompokkan enkoder sumber informasi

dengan sumber informasi itu sendiri

- mengamati hasil dari sumber informasi- Keluaran sumber informasi adalah masukan ke enkoder kanal

- Fungsi dari enkoder kanal, yang mana fungsinya dapat disingkat dengan

melakukan koding , adalah yang menjadi pokok dari kebanyakan pembahasantentang teori informasi ini.

KODING ( PENYANDIAN ) SUMBER INFORMASI

Ada banyak kemungkinan sumber informasi yang akan dikirimkan, yang :

• rentangnya mulai dari halaman-halaman ketikan sampai dengan bayangan- bayangan atau gambar-gambar video

• suara analog yang didigitalkan sampai dengan kandungan biner dimemory komputer.

Semua sumber informasi analog dianggap harus diubah menjadi urutan

waktu diskrit , dengan :

- simbol-simbol diskrit wi , dari suatu abjad adalah : { }1,,2,1,0 −⋅⋅⋅⋅⋅= wqW ; banyaknya simbol = w buah

- prosesnya adalah dengan pen ”sampling ”an dan pencapaian perubahan darianalog ke digital

- didalam setiap interval waktu T , wi dapat bernilai salah satu dari qw buah simbol

yang berbeda-beda

- nilai-nilai tersebut adalah mulai dari 1,,2,1,0 −⋅⋅⋅⋅⋅ wq


36/60

36

• Setiap simbol adalah :o salah satu dari keluaran dari sumber informasi yang terjadi pada setiap

waktu T w detik (disini w menunjukkan berita).

• Simbol-simbol itu tidak lebih dahulu dianggap sebagai keluaran dengan probabilitas yang sama

Probabilitas keluaran sumber informasi adalah :

• sebuah simbol jw =1 j, yaitu Qw(j), dimana j = 0,1,2,…..,qw-1

• Simbol-simbol dianggap bebas satu sama lain• setiap simbol keluaran dari sumber informasi , dengan simbol yang beri-

kutnya , dinyatakan dengan index waktu yang berbeda sehingga simbolnya juga

berbeda-beda

Jika qw= banyaknya abjad , maka setiap simbol terdiri atas log2 qw digit biner.Contoh :

qw = 256 = 28

Setiap simbol terdiri atas log2 28 = 8 buah digit biner

Kecepatan bit sumber informasi per detik = banyaknya bit per detik :

w

m

m qT R2log

1

= bps

dimana :T m = waktu yang diperlukan untuk menyatakan sebuah simbol

simbol

bit q R wm 2log'simbol per bitBanyaknya ==

• Meskipun urutan keluaran sumber informasi dapat dinyatakan dengan suatu arusbit (bit stream) yang mempunyai kecepatan Rm bps, namun biasanya :

o dimungkinkan untuk menyatakan urutan dengan menggunakan arus bit

dengan kecepatan yang lebih rendah

o Kecepatan bit terendah yang mungkin adalah sama dengan kandungan

informasi rata-rata dari urutan simbolo Kandungan informasi pada setiap simbol , yang berarti banyaknya bit

setiap simbol, adalah :

( ) ( ) 1,,.........2,1,0;log2 −=−= ww q j jP j I yang mana adalah :

fungsi probabilitas kejadian simbol tersebut

• Rumus tersebut memperlihatkan bahwa :o kejadian keluarnya event dari sample yang ada adalah :

lebih sering tidak sama besarnya dibandingkan dengan kejadiankeluaran event yang sama pada bidang komunikasi ini

Dengan kata lain random events outcome lebih sering terjadidibanding dengan equally likely events outcome.

• Probabilitas keluaran yang kecil akan menghasilkan kandunganinformasi yang tinggi

• Jika banyaknya abjad hanya 1, maka simbolnya hanya terdiri atas 1 bit sehingga probabilitas keluarnya simbol tersebut adalahPw( j ) =1

• Akibatnya kandungan informasinya = 0, atau tanpa kandungan in-formasi apapun juga


37/60

37

• Kandungan informasi rata-rata dari sumber berita disebutdengan :

simbol

bits :adalahsatuannyayang

Entropy

EntropyIntisari dari teori komunikasi adalah tentang :

• ukuran informasi• Yang dimaksudkan dengan informasi didalam teori komunikasi ini adalah :

o segala sesuatu yang dihasilkan oleh sumber berita untuk ditransferke pengguna yang memerlukannya

• Jika isi informasi yang ditransfer ke pengguna tersebut , mempunyai :o kemungkinan yang kecil untuk diketahui lebih dahulu oleh

pengguna , maka :

nilai informasinya tinggi o Sebaliknya :o jika kemungkinannya besar, maka nilai informasinya rendah.

Sebagai contoh jika seseorang berpapasan dengan temannya, lalu bertanya :

• “kemana kamu hendak pergi”• jika dijawab :

o ”saya mau kedepan “, maka :

nilai informasi yang didapat oleh penanya adalah rendah

sekali, sebab sipenanya hampir sudah pasti tahu bahwa

kemungkinan temannya berjalan menuju kearah depan Namun jika temannya yang ditanya tadi menjawab : “saya mau ke stasiun bis”, maka nilaiinformasi yang diperoleh penanya adalah tinggi, sebab kemungkinan bahwa yang ditanyaakan menuju ke stasiun bis hanya merupakan sebagian kecil dari kemungkinan-kemungkinanlain yang bisa kerjadi.Nilai informasi disebut juga dengan entropy. Sim

Documents

Bab_II-Dsr