CINEMATIQUE

Bac professionnel « maintenance de véhicules automobiles »

Le but de cette partie du cours de mécanique est d’être capable de reconnaître différents mouvements, de

calculer des vitesses, des temps de parcours, des positions, des accélérations en mouvement rectiligne ou

circulaire.

I) Les différents mouvements, généralités sur les trajectoires

II) Notions de vitesse moyenne et de vitesse instantanée

III) Notions d’accélération

IV) Le mouvement rectiligne uniforme (MRU)

V) Le mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)

VI) Le mouvement circulaire uniforme (MCU)

VII) Le mouvement circulaire uniformément varié (MCUV)

Pour construire ce document, j’ai utilisé les supports suivants :

Les sites internet

* http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc4/derive3.html

* http://www.alphaquark.com/Mathematique/Courbes.htm

* http://profs.cmaisonneuve.qc.ca/svezina/nya/note_nya/NYA_XXI_Chap 1.12a.pdf

Le logiciel : traceur de courbes « Sine qua non »

Les ouvrages

* Guide de mécanique (sciences et technologies industrielles) de Jean-Louis Fanchon chez Nathan

* Mécanique 1ère

F de Jean-Louis Fanchon chez Nathan technique

* Essentiel du cours de mécanique de C. Corbet chez educalivre

* Cours CUEFA « dérivation »

INTRODUCTION

La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie les mouvements sans s’occuper des forces qui les

produisent. Le mot « cinématique » vient du grec « kinema » qui signifie « mouvement »

I) Les différents mouvements, généralités sur les trajectoires

I.1) Repère de référence

Pour définir des mouvements, il faut d’abord se donner une référence par rapport à laquelle on va

pouvoir dire si le système est en mouvement ou non. On nommera cette référence un « référentiel »

Ce référentiel ou système de référence devra être constitué d’une référence « spatiale » et d’une

référence « temporelle »

Référentiel « spatial »

Considérons notre mécanicien 2 avec une clé 1 (immobile dans sa poche).

Ce mécanicien se déplace sur le sol 0.

On peut dire que la clé 1 n’est pas en mouvement si l’on prend comme référentiel le mécanicien 2

Par contre, si l’on prend le sol 0 comme référentiel, on peut dire que la clé est en mouvement. On

notera ce mouvement Mvt 1/0 (mouvement de la clé 1 par rapport au sol 0).

Référentiel « temporel »

On doit aussi se donner un repère de temps pour décrire un mouvement.

1

2

0

En mécanique « classique » le temps est considéré comme absolu et uniforme. Il s’écoule de la

même manière quel que soit l’observateur. La réalité est un peu différente mais les effets de

relativité du temps ne sont pas perceptibles à notre échelle.

Exemple :

Imaginons un wagon se déplaçant à une vitesse Vw/0 extrêmement importante (proche de la vitesse

de la lumière). A bord de ce wagon, il y a une personne 2 immobile par rapport au wagon.

Cette personne se déplace donc à la même vitesse que le wagon. (V2/O = VW/0)

Sur le sol, nous avons deux paratonnerres et une autre personne. Ces deux paratonnerres et cette

personne sont donc immobiles par rapport au sol.

A un moment, les paratonnerres sont frappés simultanément par deux éclairs. L’observateur dans le

wagon se déplaçant à une vitesse très élevée et la lumière émise par les éclairs se déplaçant à une

vitesse constante (300 000 km/s), l’observateur dans le wagon verra la lumière de l’éclair frapper le

paratonnerre droit avant la lumière de celui frappant le paratonnerre gauche (la lumière de l’éclair

du paratonnerre gauche met plus de temps pour « rattraper » l’observateur).

Pour ce qui est de l’observateur au sol, il verra les deux éclairs frapper les paratonnerres

simultanément.

Les deux observateurs auront donc un avis différent sur le moment ou la foudre est tombée sur les

paratonnerres. La notion de temps n’est donc pas absolue mais dépend du référentiel de

l’observateur.

VEg/0 = VEd/0 ≈ 300 000 km/s

Pour définir un référentiel dans nos exercices, il faudra :

Il faut savoir également que les mouvements et les vitesses sont des grandeurs relatives. Lorsque

vous êtes dans le train et qu’il démarre doucement, vous pouvez croire que c’est le quai de la gare

qui recule.

Vw/0

VEg/0 VEd/0

V2/0

I.2) Mouvements absolus et relatifs

Il existe des mouvements qualifiés d’absolus et de relatifs.

Un mouvement est dit absolu lorsqu’il est décrit par rapport à un référentiel qui ne bouge pas. En

mécanique « classique », la terre peut être assimilée à un référentiel fixe. Les mouvements qui seront

décrits par rapport à la terre seront donc des mouvements absolus.

Un mouvement est dit relatif lorsqu’il est décrit par rapport à un référentiel en mouvement.

I.3) Principaux mouvements de solides

II) Notions de vitesse moyenne et de vitesse instantanée

Prenons l’exemple d’un véhicule qui se déplace sur une route

Nous pouvons représenter sur un graphique l’espace parcouru par ce véhicule en fonction du temps, entre le

départ et l’arrivée.

Le déplacement de ce véhicule peut être représenté par un vecteur ayant son origine au départ et son extrémité à

l’arrivée. On notera ce vecteur, vecteur « déplacement » ou vecteur « position »

On peut sans problème connaître la vitesse du véhicule. Il suffit de diviser l’espace parcouru par le temps mis

pour le parcourir entre le départ et l’arrivée

Dans notre cas v = 28

75 V ≈ 2,67 m/s ou 9,6 km/h

En mathématique, on peut dire que v est le coefficient directeur ou la pente du vecteur déplacement.

Départ Arrivée

v = t

e

en m

en s en m/s

Départ

Espace parcouru

(en m)

Temps de

parcours (en s)

Arrivée

Echelle : 1 carreau → 1seconde

1 carreau → 5 mètres

« J’avance de 1, je monte de 2,67

ou bien

« J’avance de 10, je monte de 26,7 »

On peut dire également que v est la tangente de l’angle que fait le vecteur avec l’axe du temps.

v est aussi la pente du vecteur.

tan α = ntCôtéadjace

Côtéopposé = t

e

Départ

Espace parcouru

(en m)

Temps de

parcours (en s)

Arrivée

1

2,67

10

26,7

Côté adjacent : « t »

Côté opposé : « e »

αααα

La vitesse que nous venons de trouver est une vitesse « moyenne ». Si l’on regarde le graphique, on se rend

compte que le mouvement du véhicule n’est pas uniforme. Pour deux mêmes temps de parcours, le véhicule

n’a pas parcouru le même espace.

Exemple :

Parcours 1 (en vert)

Entre le temps « 0 » et le temps « 10 », soit 10 secondes de déplacement, le véhicule a parcouru un espace

« e1 »

Parcours 2 (en orange)

Entre le temps « 14 » et le temps « 24 », soit un même temps de déplacement que pour le parcours 1 (10s), le

véhicule a parcouru un espace « e2 » inférieur à l’espace « e1 »

Effectivement, cette vitesse peut être qualifiée de « moyenne » car elle ne tient pas compte des accélérations,

des ralentissements, des arrêts éventuels, des retours en arrière…..

En cinématique, nous devons être capables de déterminer des vitesses « instantanées », c'est-à-dire des vitesses

à un moment bien précis. C’est le type de vitesse qui est par exemple relevé par le radar de la gendarmerie

Comment déterminer la vitesse d’un véhicule à l’instant « t » (vitesse

instantanée) lorsque l’on connaît la trajectoire du véhicule en fonction du

temps ?

Pour illustrer cela, prenons un autre exemple un peu plus « mathématique »

Départ

Espace parcouru

(en m)

Temps de

parcours (en s)

Arrivée

Temps « 0 »

Temps « 10 »

�

e1

Temps « 14 »

�

Temps « 24 »

�

e2

Nous allons représenter l’espace parcouru par un véhicule en fonction du temps en nous aidant d’une fonction

mathématique prise au hasard.

Soit la fonction : y = x2

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

0 0,5

5

x

y

Nous savons que l’axe des « x » représente le temps de parcours (en s) et que l’axe des « y » représente l’espace

parcouru (en m).

Rappel : « y » peut aussi s’écrire « f(x) » car « y » est l’image de « x » lorsqu’il est « transformé » par la

fonction.

Prenons deux points sur cette courbe d’abscisses 2 et 7 et observons le déplacement du véhicule entre ces deux

temps

Au temps x = 2, le véhicule aura parcouru un espace y = f(x) = 4 (y = 22)

Au temps x = 7, le véhicule aura parcouru un espace y = f(x) = 49 (y = 72)

Notons ces points respectivement X0 et X

Le déplacement de ce véhicule entre ces deux abscisses peut se représenter par un vecteur X0X

La pente de ce vecteur représente, comme nous l’avons déjà vu dans les exemples précédents, la vitesse

moyenne du véhicule entre les points X0 et X

En notation mathématique, cette pente peut s’écrire de la manière suivante

0

0 )()(

XX

XfXf

−−

Dans l’exemple ci dessus, 27449

−− soit

545 La pente est donc de 9. Notre véhicule roule à une vitesse moyenne

de 9 m/s soit 32,4 km/h

�

�

X0

X

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

0 0,5

5

x

y

Imaginez qu’aux points X0 et X, on positionne deux gendarmes reliés à un chronomètre.

Lorsque la voiture passe devant le gendarme X0, ce dernier déclenche le chronomètre

Lorsque la voiture passe devant le gendarme X, ce dernier arrête le chronomètre

Grâce à l’indication du chronomètre et connaissant la distance qui sépare les deux gendarmes, ces derniers sont

en mesure de calculer la vitesse « moyenne » du véhicule entre les points X0 et X (9m/s)

Maintenant, si les gendarmes veulent connaître plus précisément la vitesse du véhicule lorsque celui ci passe au

point X0 (vitesse instantanée), il va falloir que le gendarme X se rapproche du gendarme X0.

Plus le gendarme X se rapprochera du gendarme X0 et plus ils auront une valeur précise de la vitesse

instantanée du véhicule au point X0.

Dans les graphiques qui suivent, nous allons petit à petit (en deux étapes), rapprocher le gendarme X du

gendarme X0 et calculer la vitesse moyenne du véhicule pour chaque nouvelle position du gendarme X

�

�

X0

X

Le gendarme X se rapproche du gendarme XO. Les nouvelles coordonnées du

gendarme X sont (5 ; 25)

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

0 0,5

5

x

y

La pente du vecteur est :

0

0 )()(

XX

XfXf

−−

= 25425

−− =

321 = 7

La vitesse moyenne du véhicule entre les points X0 et X est de 7m/s soit 25,2 km/h

Rapprochons encore notre gendarme X du gendarme X0

�

�

X0

X

Le gendarme X se trouve maintenant au point de coordonnées (2,5 ; 6,25)

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

0 0,5

5

x

y

La pente du vecteur est :

0

0 )()(

XX

XfXf

−−

= 25,2425,6

−−

= 5,025,2

= 4,5

La vitesse moyenne du véhicule entre les points X0 et X est de 4,5m/s soit 16,2 km/h

Pour avoir la vitesse instantanée au point X0, il faudrait que le gendarme X se rapproche le plus près possible du

gendarme X0.

La vitesse « instantanée » du véhicule au point X0 serait alors la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Pour pouvoir trouver cette pente, il faut faire appel aux mathématiques. Il faudrait trouver une solution à

l’expression suivante :

Lim 0

0 )()(

XX

XfXf

−−

Ce qui signifie : qu’il faut donc trouver ce que les mathématiciens appellent la limite (Lim) de la pente de la

tangente au point X0 lorsque le point « X » se rapproche très très près du point X0

Les mathématiciens appellent également cette limite, le nombre dérivé (voir le cours de mathématique)

Essayons d’appliquer ces notions au calcul de la pente de la tangente au point X=2

Si nous y arrivons, nous aurons donc trouvé la vitesse instantanée de notre véhicule, 2 secondes après le départ.

�

�

X0

X

X X0

X - 2

f(X) f(2)

X0

Rappel : La fonction qui décrit l’espace parcouru par notre véhicule en fonction du temps est : f(X) = X2

Calculons la pente de la tangente (ou nombre dérivé) de cette fonction au point X0=2

X2 - 22

On sait que X2 – 2

2= (X – 2) (X + 2)

(Voir le cours de mathématiques sur les identités remarquables)

donc le nombre dérivé s’écrit 2

)2)(2(

−+−

X

XX

On simplifie par (X – 2), le nombre dérivé s’écrit alors (X + 2)

Pour X = 2, le nombre dérivé, ou la pente de la tangente à ce point est égale à (2 + 2) = 4

Nous avons donc trouvé la vitesse instantanée de notre véhicule au point X = 2 (2 secondes après le départ)

Cette dernière est égale à 4m/s ou 14,4 km/h

Vérification graphique

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 0,5

5

x

y

Nous pouvons maintenant chercher les vitesses instantanées aux différentes

positions du gendarme X.

4

1

� X

* Quelle est donc la vitesse instantanée du véhicule lorsqu’il passe devant le gendarme 2,5 secondes après le

départ ?

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 0,5

5

x

y

X - 2,5

X2 - 2,52

Le nombre dérivé s’écrit alors (X + 2,5)

Pour X = 2,5, le nombre dérivée, ou la pente de la tangente à ce point est

égale à (2,5 + 2,5) = 5

Nous avons donc trouvé la vitesse instantanée de notre véhicule au point

X = 2,5 (soit 2,5 secondes après le départ)

Cette dernière est égale à 5m/s ou 18 km/h

X �

1

5

* Quelle est donc la vitesse instantanée du véhicule lorsqu’il passe devant le gendarme 5 secondes après le

départ ?

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 0,5

5

x

y

X - 5

X2 - 52

Le nombre dérivé s’écrit alors (X + 5)

Pour X = 5, le nombre dérivée, ou la pente de la tangente à ce point est

égale à (5 + 5) = 10

Nous avons donc trouvé la vitesse instantanée de notre véhicule au point

X = 5 (soit 5 secondes après le départ)

Cette dernière est égale à 10m/s ou 36 km/h

10

1

* Quelle est donc la vitesse instantanée du véhicule lorsqu’il passe devant le gendarme 7 secondes après le

départ ?

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 0,5

5

x

y

X - 7

X2 - 72

Le nombre dérivé s’écrit alors (X + 7)

Pour X = 7, le nombre dérivée, ou la pente de la tangente à ce point est

égale à (7 + 7) = 14

Nous avons donc trouvé la vitesse instantanée de notre véhicule au point

X = 7 (soit 7 secondes après le départ)

Cette dernière est égale à 14m/s ou 50,4 km/h

14

1

On peut s’amuser à chercher les tangentes en beaucoup plus de points. Nous obtenons alors ce que l’on peut

appeler une enveloppe tangentielle

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 0,5

5

x

y

Conclusion, élargissement Pour finir, essayons d’analyser les résultats que nous venons de trouver.

Consignons les dans un tableau

Pour passer de la valeur de X au nombre dérivé, il faut multiplier par 2

La fonction était : f(x) = X2

Pour trouver le nombre dérivé, il faut donc faire 2 × X

Les mathématiciens appellent cette nouvelle fonction la fonction dérivée par rapport à X.

Ils la notent f ’(X).

Dans notre exemple f ’(X) = 2X

Connaissant cette fonction dérivée, je peux trouver la pente de la tangente (donc le nombre dérivé) en n’importe

quel point. Si je veux connaître par exemple, la vitesse instantanée au bout de 15 secondes de déplacement, je

pose :

f’(X) = 2 × 15

La vitesse instantanée de mon véhicule 15 secondes après le départ sera égale à 30m/s soit 108 km/h

En cinématique, on pourra donc dire que la vitesse instantanée en un point est la dérivée par rapport au temps

du vecteur déplacement

Dans le cours de mathématique, vous apprendrez la dérivée de plusieurs types de fonctions. Cela vous aidera

pour réaliser des études de fonction et pour pouvoir connaître ainsi le sens de variation.

Valeur de X 2 2,5 5 7

Nombre dérivé 4 5 10 14

III) Notions d’accélération

En ce qui concerne l’accélération, le raisonnement est identique à celui décrit précédemment. Nous ne parlerons

plus de la variation de l’espace parcouru en fonction du temps mais de la variation de la vitesse par rapport au

temps.

Exemple

Prenons la même fonction que pour le chapitre précédent F(x) = x2

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 0,5

5

x

y

Considérons le véhicule 2 secondes, 3 secondes, 5 secondes et 7 secondes après son départ. Nous pouvons par

lecture sur la courbe ci-dessus ou en utilisant la fonction, connaître sa vitesse à ces moments précis en m/s.

X 2 3 5 7

f(X) 4 9 25 49

Nous pouvons constater qu’entre ces différents points, la vitesse augmente. Cela signifie que mon véhicule

accélère.

Si nous voulons mesurer l’augmentation de vitesse (accélération) entre les points d’abscisses X0 = 2 et X = 3,

nous procédons comme dans le chapitre précédent :

a = 0

0 )()(

XX

XfXf

−−

a = 23

49

−−

= 1

5= 5m/s

2

Vitesse

(en m/s)

t (en s)

Bien entendu, cette accélération est une accélération moyenne. Pour pouvoir connaître l’accélération au point

d’abscisse X = 2, il faut chercher la pente de la tangente en ce point (nombre dérivé).

La vitesse était la dérivée d’une variation d’espace par rapport au temps

L’accélération est donc la dérivée d’une variation de vitesse par rapport au temps

L’accélération 2 secondes après le départ est donc de 4m/s2.

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 0,5

5

x

y

Dans les exercices que nous allons traiter dans les chapitres suivants (MRU, MRUV, MCU et

MCUV), nous considèrerons qu’en mouvement uniforme, on ne tient pas compte de

l’accélération.

Le mouvement varié sera considéré comme uniformément varié. Cela signifiera que

l’accélération sera considérée comme constante. Donc la variation de la vitesse par rapport au

temps sera représentée par une droite.

IV) Le mouvement rectiligne uniforme (MRU)

En mouvement rectiligne uniforme, il n’y a pas d’accélération. On considère que le véhicule a déjà accéléré au

moment ou l’on étudie le mouvement. La vitesse du véhicule ne variant pas dans le temps, cela signifie qu’il y a

proportionnalité entre l’espace parcouru et le temps

Comment représenter graphiquement l’espace parcouru en fonction du temps pour un MRU ?

Comme il y a proportionnalité, la représentation graphique sera une droite

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 2

5

x

y

Entre 2 et 10 secondes (soit 8 secondes de déplacement), le véhicule a parcouru 16 mètres.

Entre 20 et 28 secondes (soit un même temps de déplacement de 8 secondes), le véhicule a parcouru la même

distance soit 16 mètres.

Cela veut bien dire que la vitesse est constante. D’ailleurs, pour une droite, la pente de la tangente en chaque

point (donc la vitesse) est bien constante.

L’équation de la droite ci-dessus est de la forme Y = aX

En cinématique, nous adapterons cette fonction et nous écrirons e = vt

L’axe des X, c’est le temps t,

L’axe des Y, c’est l’espace parcouru e,

Le « a » (coefficient directeur), c’est la vitesse v.

L’équation de la droite représentée ci-dessus est e = 2t Les mathématiciens qualifient cette équation (e = vt) d’équation linéaire. C'est-à-dire que la droite passe par

l’origine du repère (t = 0, e = 0)

Espace

parcouru

(en m)

Temps (en s)

Peut on représenter un MRU par une fonction affine (la droite ne passe pas par l’origine du repère) ?

Oui, un MRU peut aussi être représenté par une fonction affine de type Y = aX + b

Nous adapterons cette fonction et nous écrirons e = vt + e0

L’axe des X, c’est le temps t,

L’axe des Y, c’est l’espace parcouru e,

Le « a » (coefficient directeur), c’est la vitesse v.

Le « b » (ordonnée à l’origine), c’est l’espace déjà parcouru lorsque l’on déclenche le chronomètre

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 2

5

x

y

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28-2-4-6

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 2

5

x

y

Le mouvement représenté

est de la forme e = 2t + 10

C’est comme si, au moment

ou on déclenche le

chronomètre (t = 0), le

véhicule avait déjà fait 10 m

C’est comme si le

véhicule partait de

l’origine (et non de 10m)

mais 5s plus tôt

Attention, la vitesse est une grandeur relative. Le vecteur qui la représente à un sens. C'est-à-dire que l’on peut

considérer des vitesses comme étant « négatives »

Exemple

Une voiture de police part de Blois pour aller vers Orléans situé à 60 km. Au même instant, une Smart part

d’Orléans pour aller vers Blois. La vitesse de la voiture de police est de 2m/s. La vitesse de la Smart est de

6m/s.

Les vecteurs vitesse sont de sens opposés. Si l’on considère celui de la voiture de police comme « positif »,

celui de la Smart sera considéré comme « négatif ». Cela veut dire que l’équation de la droite représentative de

l’espace parcouru par la voiture de police en fonction du temps s’écrira : e = 2t

Pour la Smart, cette équation sera : e = -6t + 60 (vitesse négative, donc coefficient directeur ou pente

négatif)

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28-2

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 2

5

t (en s)

e (en m)

Nota : le point d’intersection des deux droites représentera le croisement des deux véhicules

Blois Orléans

VP

VS

e = -6t + 60

e = 2t

Comment trouver la vitesse pour un MRU ?

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28-2

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 2

5

t (en s)

e (en m)

Nous pouvons la trouver d’une autre manière en calculant le nombre dérivé

0

0 )()(

XX

XfXf

−−

La vitesse en fonction du temps sera représentée graphiquement par une droite horizontale

(dans notre exemple, cette droite aura pour équation v = 2)

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30-2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

0 2

0,2

t (s)

v (m/s)

ou au point t = 20

20

402

−−

t

t =

20

)20(2

−−

t

t = 2

La fonction qui caractérise ce

mouvement est :

e = 2t

Comme nous l’avons vu

précédemment, cette équation

étant de la forme Y= aX , le

coefficient directeur « a », est

donc la vitesse.

La vitesse est donc égale à

2m/s

au point t = 2 par exemple

2

42

−−

t

t =

2

)2(2

−−

t

t = 2

Nous pouvons maintenant résoudre quelques exercices. Nous allons adopter une méthode de résolution qui, au

début, paraîtra inutile mais qui pourra s’avérer pratique pour résoudre des problèmes un peu plus complexes.

Au boulot !!!

Exercice 1

Enoncé

Un véhicule part à 15h00 de Blois en direction de Tours. Son mouvement est un MRU et sa vitesse est égale à

55km/h. La distance Blois Tours est de 65km.

Ecrire l’équation du mouvement du véhicule. A quelle heure arrivera t-il à Tours ? A quelle heure passera t-il à

Amboise situé à 32 km de Blois. A quelle endroit sera t-il au bout de 45 minutes.

Résoudre par le calcul et graphiquement.

Résolution

1 Pour commencer, il est conseillé de faire un dessin qui permet de relever toutes les indications importantes

de l’énoncé. Il s’agit de noter la valeur de l’espace parcouru, du temps et de la vitesse en chaque point.

Il est plus simple de choisir les valeurs de e et t à 0 au départ (même si l’heure de départ n’est pas 0h00). Ainsi,

nous aurons une équation du type e = vt (le e0 sera égal à zéro, la droite passera par l’origine du repère)

2 Posons l’équation générale du MRU. Même si l’on sait que e0 sera égal à zéro, cherchons quand même sa

valeur en remplaçant e, v et t par les valeurs au début du mouvement.

e = vt + e0

* Quelle est la valeur de e0 ?

Au début du mouvement, e = 0, v = 55 et t = 0

e0 = e – vt

e0 = 0 – (55 ×××× 0)

e0 = 0

* L’équation du mouvement prend donc la forme : e = vt (puisque e0 est égal à zéro)

* L’équation du mouvement pour ce véhicule (e en fonction de t) s’écrit donc :

e = 55t

3 Connaissant l’équation caractéristique du mouvement du véhicule, je peux calculer l’heure d’arrivée à

Tours situé à 65km de Blois

e = 55t

t = 55e

t = 5565

≈ 1,181h

Blois Tours Amboise

e = 0

v = 55

t = O

e = 32

v = 55

t = ?

e = 65

v = 55

t = ?

ATTENTION :

Faire très attention à la concordance des unités.

Dans cet exercice, le résultat trouvé étant en centième d’heures, il faut le convertir

en h, min, s. (Le problème ne se posera pas lorsque nous traiterons des problèmes utilisant

comme unités le m et le m/s)

4 Je convertis 1,181h en h, min, s

Beaucoup de machines réalisent cette conversion. Si la votre ne le fait pas, vous pouvez réaliser le calcul

suivant :

* Pour plus de précision, garder sur votre calculatrice le résultat complet de 5565

* Ce dernier est égal à 1,181818182

* retirez l’heure en tapant (-1) et (=)

* vous avez donc sur votre calculatrice 0,181818182

* multipliez ce résultat par 60

* vous obtenez 10,90909090

* vous avez alors trouvé le nombre de minutes (10)

* recommencez la manipulation pour trouver les secondes

Le résultat est donc 1h 10 minutes et 54 secondes

Le véhicule arrivera à Tours à 16h 10min et 54s

5 Je cherche maintenant l’heure de passage à Amboise (situé à 32 km de Blois)

t = 55e

t = 5532 = 0,58h = 34 min 54 secondes

Le véhicule passera à Amboise à 15h 34min et 54 s

6 Je peux enfin calculer où le véhicule se trouvera au bout de 45min

45 min = 0,75 h

e = vt

e = 55 × 0,75

e = 41,25

A 15h45, le véhicule se trouvera à 41,25 km de Blois

7 Je peux maintenant vérifier mes résultats graphiquement

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5-0,1

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

-50 0,1

5

t (h)

e (km)

Exercice 2

Pour ce deuxième exercice, nous allons étudier une poursuite de véhicules.

Enoncé

Une voiture conduite par un joyeux luron passe devant un véhicule de police stationné au bord de la route.

Sa vitesse est de 90 km/h.

Les policiers décident de se lancer à sa poursuite. Ils démarrent à 108 km/h alors que le véhicule aux ballons a

déjà parcouru 800m.

Combien faudra t-il de temps aux policiers pour rattraper le véhicule ?

A quel endroit le rattraperont-ils ?

Nous allons, dans cet exercice, travailler en m et en m/s

Véhicule de police e = vt + e0

Cherchons la valeur de e0

e0 = e – vt

e0 = 0 – (30×0)

e0 = 0

L’équation du mouvement prend la forme : e = vt (comme e0 = 0)

L’équation du véhicule de police est donc eP = 30t

Voiture aux ballons

e = vt + e0

Cherchons la valeur de e0

e0 = e – vt

e0 = 800 – (25×0)

e0 = 800

L’équation du mouvement prend la forme : e = vt + e0

L’équation du véhicule aux ballons est donc eVB = 25t + 800

Rencontre

Le véhicule de police aura rattrapé le véhicule aux ballons lorsque leurs espaces parcourus seront identiques

(c'est-à-dire qu’ils se trouveront au même endroit) soit : eP = eVB

30 t = 25 t + 800

30t – 25t = 800

5t = 800

t = 5

800 t = 160s ou 2min 40s

e = 0 m

v = 30 m/s

t = 0 s

e = 800 m

v = 25 m/s

t = 0 s

Le véhicule de police aura rattrapé le véhicule aux ballons en 2 minutes et 40 secondes.

Lieu de la rencontre e = 30 t

e = 30 × 160

e = 4800 m

La rencontre aura lieu lorsque le véhicule de police aura parcouru 4800m. Bien entendu, le véhicule au ballons

aura parcouru seulement 4000m après le départ du véhicule de police.

Graphiquement, la rencontre peut être représentée comme ci-dessous :

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140-10

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

0 10

500

temps (s)

espace (m)

4800m

160s

Exercice 3

Pour ce troisième exercice, nous allons étudier le croisement de 2 véhicules. De plus, nous nous amuserons à le

résoudre en suivant 4 méthodes différentes.

A 12h, un cycliste part de Paris et se dirige vers Orléans à la vitesse de 15km/h. A 14 h, un motard quitte

Orléans et se dirige vers Paris à la vitesse de 60km/h

La distance entre Paris et Orléans est de 120km

Etudier leur rencontre

Exemple 1 : nous prenons l’origine des espaces et des temps à Paris

Cycliste Motard e = vt + e0

Comme e = 0 et t = 0, alors e0 = 0

On peut aussi calculer le e0 comme dans les exemples

précédents :

e0 = e – vt

e0 = 0 – (15 × 0)

e0 = 0

L’équation du cycliste devient :

e = 15t

e = vt + e0

Comme les origines des temps et des espaces ne sont

pas pris à Orléans, il va y avoir un e0. Il faut donc le

trouver.

e0 = e – vt

e0 = 120 – (- 60 × 2)

e0 = 240

Il faut avouer que e0 = 240 n’était pas si évident à

trouver. Cela vient du fait qu’il y a un décalage entre

le lieu des départs de chaque véhicule mais également

un décalage dans l’heure de départ.

L’équation du motard devient donc :

e = - 60t + 240

Comme pour les exercices précédents, la rencontre aura lieu lorsque les espaces pour le cycliste et pour le

motard seront égaux. Soit :

15t = - 60t + 240

75t = 240

t = 75240

t = 3,2

Paris

Orléans

e = 0

v = 15

t = 0

e = 120

v = - 60

t = 2

Le croisement entre le cycliste et le motard aura lieu 3,2h ou

3h 12 mn après le départ du cycliste soit à 15h 12min

A quel endroit se croiseront-ils ?

Il suffit de calculer l’espace « e » au temps t = 3,2 (dans l’équation de mouvement du cycliste par exemple)

e = 15t

e = 15 × 3,2

e = 48 km

Ce calcul peut également être fait en remplaçant « t » par 3, dans l’équation de mouvement du motard.

e = -60t + 240

e = (-60 × 3,2) + 240

e = - 192 + 240

e = 48 km

Par contre, cette distance ne représente pas le trajet parcouru par le motard. La distance Orléans Paris étant de

120km, et le cycliste en ayant parcouru 48, cela signifie que le motard en a parcouru 72 (120 – 48)

Graphiquement, nous obtenons la représentation suivante :

0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 3,3 3,6 3,9 4,2 4,5-0,3

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

0 0,3

20

t (h)

e (km)

Exemple 2 : Prenons l’origine des temps et des espaces à Orléans

Etant donné que les origines ont changé, les équations du mouvement vont être différentes

Cycliste Motard e = vt + e0

Commençons par chercher e0 sachant que

e = -120 et t = -2

e0 = e – vt

e0 = -120 – (15 × -2)

e0 = -90

L’équation du cycliste devient :

e = 15t - 90

e = vt + e0

Comme e et t sont égaux à 0, le e0 est nul

L’équation du motard devient donc :

e = - 60t

Heure de la rencontre :

15t – 90 = - 60t

15t + 60t = 90

75t = 90

t = 7590

t = 1,2h soit 1h 12min

Lieu de la rencontre

On remplace « t » par 1,2 dans les équations de mouvement

Equation de mouvement du motard

e = -60 × (1,2)

e = -72 km

Equation du mouvement du cycliste

e =15t – 90

e = 15 × (1,2) – 90 e = - 72 km

Paris

Orléans

e = -120

v = 15

t = -2

e = 0

v = - 60

t = 0

Le croisement entre le cycliste et le motard aura lieu 1h 12 min

après le départ du motard (car l’origine des temps est prise par

rapport à lui), soit à 15h 12min

0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4-0,3-0,6-0,9-1,2-1,5-1,8-2,1-2,4

40

60

80

100

120

-20

-40

-60

-80

-100

-120

0 0,3

20

t (h)

e (km)

Exemple 3 : Prenons l’origine des temps à Orléans et l’origine des espaces à Paris

Cycliste Motard e = vt + e0

Cherchons e0 sachant que

e = 0 et t = -2

e0 = e – vt

e0 = – (15 × -2)

e0 = 30

L’équation du cycliste devient :

e = 15t + 30

e = vt + e0

Cherchons e0 sachant que

e = 120 et t = 0

e0 = e – vt

e0 = 120 – (-60×0)

e0 = 120

L’équation du motard devient donc :

e = - 60t + 120

Heure de la rencontre :

15t + 30 = - 60t + 120

15t + 60t = 120 - 30

75t = 90

t = 1,2h soit 1h 12 min

Lieu de la rencontre

On remplace « t » par 1,2 dans les équations de mouvement

Equation de mouvement du motard

e = -60t + 120

e = 48 km

Equation du mouvement du cycliste

e =15t + 30

e = 18 + 30

e = 48 km

Paris

Orléans

e = 0

v = 15

t = -2

e = 120

v = - 60

t = 0

Le croisement entre le cycliste et le motard aura lieu 1h 12min

après le départ du motard (car l’origine des temps est prise par

rapport à lui), soit à 15h 12min

0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4-0,3-0,6-0,9-1,2-1,5-1,8-2,1

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

0 0,3

20

t (h)

e (km)

Exemple 4 : Prenons l’origine des temps à Paris et l’origine des espaces à Orléans

Cycliste Motard e = vt + e0

Cherchons e0 sachant que

e = -120 et t = 0

e0 = e – vt

e0 = – 120 - (15 × 0)

e0 = - 120

L’équation du cycliste devient :

e = 15t - 120

e = vt + e0

Cherchons e0 sachant que

e = 0 et t = 2

e0 = e – vt

e0 = 0 – (-60×2)

e0 = 120

L’équation du motard devient donc :

e = - 60t + 120

Heure de la rencontre :

15t - 120 = - 60t + 120

15t + 60t = 120 + 120

75t = 240

t = 3,2h soit 3h 12min

Lieu de la rencontre

On remplace « t » par 3,2 dans les équations de mouvement

Equation de mouvement du motard

e = -60t + 120

e = - 72 km

Equation du mouvement du cycliste

e =15t - 120

e = 48 - 120

e = - 72 km

Paris

Orléans

e = -120

v = 15

t = 0

e = 0

v = - 60

t = 2

Le croisement entre le cycliste et le motard aura lieu 3h 12min

après le départ du cycliste (car l’origine des temps est prise par

rapport à lui), soit à 15h 12min

0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 3,3 3,6 3,9-0,3-0,6

40

60

80

100

120

-20

-40

-60

-80

-100

-120

0 0,3

20

temps (h)

espace (km)

V) Le mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)

En mouvement rectiligne uniformément varié, il y a accélération. Cette accélération sera considérée comme

constante, c’est à dire que la vitesse augmentera proportionnellement par rapport au temps.

Comme il y a proportionnalité, cela signifie que la représentation graphique de l’évolution de la vitesse par

rapport au temps sera une droite. La pente de la droite représentera l’accélération.

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7-0,5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 0,5

1

temps (s)

vitesse (m/s)

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6-0,5-1-1,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

-0,5

0 0,5

0,5

temps (s)

Accélération (m/s2)

Dans cet exemple, nous voyons que :

* 1 seconde après le départ, la vitesse est de 3m/s,

* 2 secondes après le départ, la vitesse est de 6m/s,

* 3 secondes après le départ, la vitesse est de 9m/s

Cela signifie que toutes les secondes, la vitesse du

véhicule augmente de 3m/s

L’accélération est bien constante et égale à 3m/s/s

ou 3m/s2

Voici la représentation graphique de l’accélération en

fonction du temps.

On s’aperçoit que, quel que soit le temps, l’accélération est

toujours identique.

Pour ce qui est de l’espace parcouru, nous en avons déjà longuement parlé dans le chapitre II.

Voici la représentation graphique de l’espace parcouru par le véhicule lorsqu’il est soumis à une accélération de

3m/s2.

0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8-0,2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-1

0 0,2

1

temps (s)

Espace (m)

La tangente à la courbe au point d’abscisse « 1 », a un coefficient directeur (ou pente) de 3. Cela signifie qu’une

seconde après le départ, la vitesse du véhicule est de 3m/s. Il aura alors parcouru 1,5m

La tangente à la courbe au point d’abscisse « 2 », a un coefficient directeur (ou pente) de 6. Cela signifie que 2

secondes après le départ, la vitesse du véhicule est de 6m/s. Il aura parcouru 6m.

L’équation de cette parabole représentant l’évolution de l’espace parcouru par rapport au temps est de la forme

e = 21 at

2

avec e : espace parcouru (en m)

a : accélération (en m/s2)

t : temps (en s)

Pour notre exemple : e = 21 3t

2 ou 1,5t

2

Comme nous l’avons vu précédemment, en dérivant l’équation de l’espace par rapport au temps, nous trouvons

la vitesse.

Si nous dérivons « e » par rapport à « t »

e = 1,5t2

nous obtenons bien

v = 3t

Quelles formules utiliser pour résoudre un problème en MRUV ???

Nous trouverons donc deux formules principales. Une décrivant l’espace parcouru par rapport au temps, l’autre

décrivant la vitesse par rapport au temps. A ces deux formules, nous en ajouterons une troisième qui est une

combinaison des deux premières dans laquelle le temps n’intervient pas. Elle pourra être très utile dans certains

types de problèmes.

Comme pour le MRU, nous utiliserons des formules générales que nous adapterons au problème rencontré

Formule générale décrivant l’espace parcouru par rapport au temps

e = 21 at

2 + v0t + e0

v0 étant la vitesse initiale du véhicule et e0 l’espace déjà parcouru au début de l’étude du mouvement

Formule générale d écrivant la vitesse par rapport au temps

v = at + v0

Troisième formule bien utile

e – e0 = avv

20

22−

Comment représenter graphiquement ces formules ???

Cas général dans lequel nous avons un v0 et un eO

0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4-0,2-0,4-0,6

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-1

0 0,2

1

temps (s)

espace (m)

L’équation choisie est : e = 1,5t2 + 2t +1

vO = 2, ce qui signifie qu’au début du mouvement (à t = 0), la vitesse

du véhicule est déjà égale à 2m/s

e0 = 1, ce qui signifie qu’au début du mouvement (à t = 0), le véhicule

a déjà parcouru 1m

L’accélération est de 3m/s2

La tangente en 0 à un coeff. dir. de 2 (v = 2m/s)

La tangente en 1 à un coeff. dir de 5 (v = 5m/s)

Cela signifie que l’accélération est bien de 3m/s2

0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6-0,2-0,4

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-1

0 0,2

1

temps (s)

Vitesse (m/s)

Cas dans lequel nous avons seulement un v0

0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8-0,2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 0,2

1

temps (s)

Espace (m)

L’équation de la parabole

e = 1,5 t2 + 2t

0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8-0,2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 0,2

1

temps (s)

Vitesse (m/s)

Comment résoudre un problème de MRUV ???

Nous allons étudier un véhicule qui, dans un premier temps va accélérer, et ensuite poursuivre sa route en

MRU. Il terminera son mouvement par un freinage.

Un bus démarre en MRUV. Il atteint 90 km/h (25 m/s) au bout de 781,25 m. Ensuite, il poursuit son chemin en

MRU à 90km/h pendant 1218,75 m. Pour finir, le conducteur freine et arrête son véhicule sur une distance de

200m (MRUV)

On vous demande d’étudier les trois phases de mouvement et de trouver :

* phase 1 : accélération et durée du mouvement,

* phase 2 : durée du mouvement,

* phase 3 : accélération (négative) et durée du mouvement.

Pour commencer, faisons un dessin et notons toutes les informations repérées dans l’énoncé.

L’équation de la droite

v = 3t + 2

e = 0

v = 0

t = 0

MRUV (accéléré)

e = 781,25 m

v = 25 m/s

t = ?

e = 2000 m

v = 25 m/s

t = ?

e = 2200 m

v = 0

t = ?

MRU MRUV (retardé)

Nous avons choisi de prendre les origines de l’espace et du temps au début du mouvement. Pour simplifier,

nous ferons de même au début de chaque phase.

Phase 1

Comme au début du mouvement, e = 0 et t = 0, cela signifie que e0 = 0. De même, il n’y a pas de vitesse à

l’origine alors v0 = 0

Les équations s’écrivent donc :

1 e = 2

1at

2

2 v = at

3 e = a

v2

2

Pour cette phase, je connais e et v. Je ne peux pas utiliser les formules 1 et 2 car j’ai trop d’inconnues (a et t)

J’utilise donc l’équation 3 pour trouver l’accélération « a »

e = a

v2

2

a = e

v2

2

⇔ a = 5,1562

252

⇔ a = 0,4 m/s2

Connaissant l’accélération, je peux maintenant, en utilisant l’équation 1 ou 2, calculer le temps de la phase 1

v = at

t = a

v ⇔ t =

4,0

25 ⇔ t = 62,5s

Je peux maintenant tracer les courbes e = f (t) et v = f(t)

Les équations du mouvement sont :

e = 2

1 O,4t

2

v = 0,4t

e = 0

v = 0

t = 0

MRUV (accéléré)

e = 781,25m

v = 25 m/s

t = ?

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70-5

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

0 5

100

temps (s)

espace (m)

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70-5

5

7,5

10

12,5

15

17,5

20

22,5

25

27,5

0 5

2,5

temps (s)

vitesse (m/s)

e = 0,2t2

(2

1 × 0,4t2)

Nous pouvons noter au passage que la pente de la tangente au point

d’abscisse 62,5 à un coefficient directeur de 25 (vitesse)

v = 0,4t

Phase 2

Pour des raisons de simplicité, nous allons « remettre les compteurs à zéro »

L’équation du MRU est :

e = vt + e0

Comme au début du MRU, j’ai choisi e = 0 et t = 0, alors e0 = 0

L’équation du MRU s’écrit donc :

e = 25t

Le temps mis par le bus pour parcourir 1218,75 m est :

t = 25

75,1218 t = 48,75 s

8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56-4

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

0 4

200

temps (s)

espace (e)

e = 781,25 m

v = 25 m/s

t = 62,5s

e = 2000 m

v = 25 m/s

t = ?

MRU

e = 0

v = 25 m/s

t = 0

e = 1218,75 m

v = 25 m/s

t = ?

MRU

Phase 3

Comme pour la phase 2, on décide pour des raisons de simplification de mettre les origines de l’espace et du

temps à zéro de manière à obtenir des équations plus « simples ». Par contre, étudiant une phase de freinage, il

y aura obligatoirement une vitesse initiale (v0). Dans notre exemple, v0 sera de 25 m/s.

Comme e0 = 0 et v0 = 25, les équations du MRUV retardé s’écriront :

e = 21 at

2 + 25t 1

v = at + 25 2

e = a

v2

2522 − 3

Je peux exploiter uniquement la formule 3 (pas trop d’inconnues). Je vais donc trouver l’accélération.

e = a2

252−

a = 2002

252

×−

a = - 1,5625 m/s2

Avec la formule 2, je peux trouver le temps de la phase 3

v = at + 25

at + 25 = 0

t = a

25− t =

5625,1

25

−−

t = 16s

Nous pouvons tracer les courbes représentatives e = f (t) et v =f (t)

e = - 0,78125 t2 + 25t

v = - 1,5625 t + 25

e = 200 m

v = 0

t = ?

e = 0

v = 25 m/s

t = 0

MRUV (retardé)

Le signe – indique que le mouvement est retardé

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28-2

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

0 2

20

temps (s)

espace (e)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14-1

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

0 1

3

temps (s)

Vitesse (m/s)

e = - 0,78125 t2 + 25t

Notons que la pente de la tangente en

t = 0 est de 25 (vitesse à l’origine

de 25 m/s)

Le MRUV retardé est représenté par la courbe entre

t = 0 et t = 16 (tangente horizontale qui signifie vitesse nulle

VI) Le mouvement circulaire uniforme

Avant d’aborder le mouvement circulaire, revenons sur différentes notions.

VI.1) Le nombre « π », le radian, la vitesse angulaire …

Soit le cercle ci dessous.

* Nous prenons une corde que nous fixons à l’aide d’une punaise au point A

* Nous tendons la corde suivant le diamètre du cercle. La longueur de la corde est donc égale au diamètre du

cercle.

Maintenant, faisons courir cette corde le long de la circonférence du cercle

A

A

A

Nous pouvons mettre :

1 fois…..

2 fois….

3 fois…..

et 0,14…..fois…

le diamètre du cercle dans la circonférence.

Ce nombre n’est pas exactement égal à 3,14

C’est un nombre infini que nous connaissons bien et qui s’appelle « π »

« π », c’est le nombre de fois que l’on peut mettre le diamètre dans la circonférence.

Partant de cela, on retrouve facilement la formule permettant de calculer la circonférence d’un cercle en

connaissant son diamètre

C = π × D

Maintenant, si nous réalisons la même démonstration en prenant le rayon et non le diamètre, nous en déduisons

que le nombre de fois que l’on peut mettre le rayon dans la circonférence du cercle est : 2π

Si nous nous intéressons à l’angle parcouru par un point « A » situé sur la circonférence du cercle, lorsque ce

dernier aura parcouru une distance sur la circonférence égale au rayon du cercle, il aura décrit un angle θ de :

1 radian

A

R

0,28R

1R

2R

3R

4R

5R

6R

θθθθ = 1 rad

L’angle parcouru lorsque le point « A »

aura fait un tour sera donc :

360° ou 2π radians

1 radian = π2360 ≈ 57,296°

Vitesse angulaire

Soit le mécanisme de commande de soupape représenté ci dessous

Ce dernier est animé d’un mouvement de rotation de centre 0

Son régime de rotation est donné par N1/0 (en tr/min)

Considérons un point A qui se déplace d’un angle θ au temps « t » à un angle θ’ au temps « t’ »

Faisons un zoom sur l’arbre à cames 1

�A

‘ �A’

θ

∆θ Position du point « A » à l’instant « t »

Position du point « A » à l’instant « t’ »

Comme pour le mouvement rectiligne, nous pouvons dire que la vitesse angulaire moyenne de l’arbre à cames

est égale à :

θθθθ’ - θθθθ

t’ -t

La vitesse angulaire instantanée sera donc, comme pour le mouvement rectiligne :

Lim

L’unité de ωωωω sera le radian par seconde (rad/s)

Pour résoudre des problèmes en MCU, il faudra procéder de la même manière qu’en MRU. Il faudra juste

remplacer « e » par « θ » et « v » par « ω »

Comparatif MRU et MCU

Equation du MRU Equation du MCU

e = vt + e0 θ = ωt + θ0 Avec e, l’espace parcouru en m

v, la vitesse en m/s,

t, le temps en s

e0, l’espace à l’origine (espace déjà parcouru

à t = 0)

Avec θ, l’angle balayé en rad,

ω, la vitesse angulaire en rad/s

t, le temps en s

θ0 l’angle à l’origine (angle déjà balayé

à t = O)

Comment convertir un régime de rotation en tours par minute (tr/min), en vitesse angulaire

en radian par seconde (rad/s) ?

Comme un tour est égal à 2π rad, si on multiplie le nombre de tours par minute par 2π, on obtient des rad/min.

Il faut ensuite diviser par 60 pour obtenir des rad/s. D’ou l’expression à savoir par cœur :

=ω60

2 Nπ

…et bien entendu, N = πω

260

Vitesse et accélération d’un point d’un solide en rotation uniforme Supposons que la vitesse angulaire du solide 1 par rapport au bâti O soit :

ω = 1 rad/s

= ∆∆∆∆θθθθ

∆∆∆∆t ωωωωmoy =

∆∆∆∆t 0

∆∆∆∆θθθθ

∆∆∆∆t = ωωωω

Si nous « déplions » l’arc de cercle décrit entre les points A

et A’, nous avons une distance A A’’ égale au rayon du

cercle.

Le point A doit donc parcourir cette distance (R) en 1

seconde si on veut respecter la vitesse angulaire ω = 1 rad/s

Nous en déduisons que la vitesse linéaire instantanée du

point A doit être égale à :

V = Rω

Avec : la vitesse linéaire v en m/s,

Le rayon R en m

La vitesse angulaire ω en rad/s

� A ω

1 � A’’

R

1 rad

� A’

0

Manipulation.

On peut d’une manière très simple démontrer cette relation en utilisant une maquette d’allumage électronique

Renault (volant moteur et couronne entraînés par un moteur électrique) et un tachymètre électronique.

On mesure la distance entre le centre

du volant moteur et le cible blanche

On branche le moteur électrique sur une batterie et on démarre.

Le volant moteur tourne. On mesure son régime de rotation avec

le tachymètre (en tr/min). On calcule ω.

Pour finir, on mesure la vitesse linéaire de la cible blanche.

On applique ensuite la formule V = Rω

On compare V mesurée et V calculée

Volant moteur et couronne

Moteur électrique

Cette vitesse étant « instantanée », lorsque le point A se sera déplacé,

le vecteur vitesse aura changé, sauf en intensité car les points A et A’

se trouvent à la même distance du centre de rotation

VA1/0 = VA’1/0

La formule V = Rω nous permet aussi d’écrire que l’intensité des vecteurs vitesse instantanée des points d’un

solide en rotation est proportionnelle à leur éloignement du centre de rotation (donc du rayon)

Effectivement, les points A et A’ ayant la même vitesse angulaire, et le point A ayant une distance plus

importante à parcourir, il doit donc aller plus vite que le point A’.

Cette vitesse linéaire instantanée du point A peut se

représenter par un vecteur dont les caractéristiques sont les

suivantes :

Point d’application : point A

Direction : tangent à la trajectoire ou perpendiculaire au

rayon

Sens : donné par ω

Intensité : Rω

� A ω

1

0

VA1/0

� A’

VA’1/0

Si nous voulons connaître les caractéristiques

du vecteur vitesse du point A’, nous savons :

• que son point d’application est le

point A’

• que sa direction est perpendiculaire

au rayon,

• que son sens est donné par ω

• que son intensité est V = rω

Si nous ne connaissons pas « r », une

construction géométrique simple permet de

trouver l’intensité VA’1/0

Comme l’intensité est proportionnelle au

rayon, on trace une droite depuis le centre de

rotation et passant par l’extrémité de VA1/0

On trace ensuite VA’1/0 depuis le point A’

jusqu’à la droite.

C’est la « triangulation »

� A ω

1

0

VA1/0

�

A’

r VA’1/0

Particularité du mouvement circulaire uniforme…le point A est soumis à une accélération !!!

Dans un MCU, l’intensité de la vitesse d’un point est constante mais son orientation change continuellement

pour former la trajectoire circulaire.

Comme il y a réorientation perpétuelle du vecteur vitesse, cela signifie qu’il y a accélération (la vitesse ne

change pas en intensité mais en direction).

L’intensité de cette accélération est constante et elle est toujours orientée vers le centre de la trajectoire

circulaire (exemple : la corde de la fronde)

Cette accélération « normale ou centripète » s’oppose à l’accélération « centrifuge » qui tend à éloigner le point

de la trajectoire.

Cette accélération normale peut donc être représentée par un vecteur dont les caractéristiques sont les

suivantes :

• point d’application : le même que le point d’application de la vitesse,

• direction : centre de la trajectoire, point considéré

• sens : vers le centre de la trajectoire.

Mais quelle est l’intensité de cette accélération ???

Pour trouver cette intensité, regardons le déplacement d’un point d’un solide en rotation sur un tout petit angle

θ et étudions la variation de la vitesse par rapport au déplacement de ce point.

Faisons la somme vectorielle des vitesses :

Pour que la vitesse du point A(2) soit correctement

orientée, il faut ajouter à la vitesse du point A(1), la

vitesse v’

L’angle que font VA(1) et VA(2) est l’angle θ

Pour le déplacement du point A de la position (1)

à la position (2), l’angle θ étant très petit, on peut

considérer que l’espace parcouru par le point A entre

les positions (1) et (2) est égal à la corde « e »

Appliquons maintenant la relation des triangles semblables. On peut écrire :

Avv' =

Re

On sait que (voir le chapitre V) que v’ = at et e = vAt

Remplaçons dans l’égalité « v’ » par at et « e » par vAt, nous obtenons :

Avat =

RtvA

a = tRtvv AA

×××

Simplifions par t et nous obtenons :

a = R

Av2

Sachant que vA = Rω, on peut dire aussi que :

a = Rω2

* Soit un point A qui se déplace de la position (1) à la position (2).

* Soient les vecteurs vitesses correspondants VA(1) et VA(2)

* Soit θ, l’angle très petit balayé par le point A entre (1) et (2)

A(1)

R

A (2)

vA(1)

vA(2)

θ

R

θ A(1)

A(2) e

vA(1) vA(2)

v’

θ

L’intensité de l’accélération normale an est donc Rv

2

ou Rωωωω2

Faisons un peu de dynamique…

« La dynamique est une discipline de la mécanique classique qui étudie les corps en mouvement sous

l'influence des forces qui leurs sont appliquées. Elle combine la statique qui étudie l'équilibre des corps au

repos, et la cinématique qui étudie le mouvement »

∑Fext = ma

Maintenant, plaçons nous dans l’exemple de la fronde. Lorsque la pierre tourne, le fil est tendu car la pierre a

une masse. Cela signifie que ce fil est en équilibre sous l’action de deux forces de même direction, de même

intensité mais de sens opposés.

La force « centrifuge » (N) exercée par la pierre sur le fil sera égale à l’accélération normale (m/s2) × la masse

de la pierre (kg).

Lorsqu’on isole la corde, cette dernière est en équilibre sous l’action de deux forces :

• l’action de la pierre sur la corde (Fp/c)

• l’action de la main sur la corde (Fm/c)

En supposant que la fronde tourne à 200tr/min, que la masse de la pierre est de 2kg et que la corde fait 40 cm,

qu’elle est l’intensité de la force de tension de la corde.

60

2 Nπω = 60

2002 ×= πω srad /21≈ω

an = 2ω L× an = 212 × 0,4 an = 176,4m/s

2

Fp/c = Fm/c = m × an Fp/c = Fm/c = 2 × 176,4 Fp/c = Fm/c = 352,8N

FP/c

Fm/c

L

VII) Le mouvement circulaire uniformément varié.

Pour résoudre des problèmes en MCUV, il faudra procéder de la même manière qu’en MRUV. Il faudra juste

remplacer « e » par « θ » « v » par « ω » « a » par « ω’ »

Comparatif MRUV et MCUV

Equation du MRUV Equation du MCU

e = 21 at

2 + v0t + e0 θ=

21 ω’t

2 + ω0t + θ0

v = at + v0 ω = ω’t + ω0

e – e0 = avv

20

22− θ– θ0 =

'20

22

ωωω −

Avec e, l’espace parcouru en m

v, la vitesse en m/s,

t, le temps en s

e0, l’espace à l’origine (espace déjà parcouru

à t = 0)

v0, la vitesse à l’origine

a, l’accélération en m/s2

Avec θ, l’angle balayé en rad,

ω, la vitesse angulaire en rad/s

t, le temps en s

θ0 l’angle à l’origine (angle déjà balayé

à t = O)

ω0, la vitesse à l’origine

ω’, l’accélération angulaire

Vitesse et accélération d’un point d’un solide en rotation uniformément variée Nous avons vu qu’en MCU, un point du solide en rotation était soumis à une accélération dite normale ou

centripète.

En MCUV, cette accélération existe toujours et elle est complétée par une accélération dite tangentielle « at »

qui permet l’augmentation de la vitesse angulaire.

L’accélération tangentielle « at » est dans le sens de la

vitesse. Cela signifie que la vitesse au point A’ est

supérieure à la vitesse au point A

� A ω

1

0

VA1/0

� A’

VA’1/0

at an

� A ω

1

0

VA1/0

� A’

VA’1/0

an

at

Mouvement accéléré Mouvement retardé

L’accélération tangentielle « at » est dans le sens

inverse de la vitesse. Cela signifie que la vitesse au

point A’ est inférieure à la vitesse au point A

Cette accélération tangentielle peut donc être représentée par un vecteur dont les caractéristiques sont les

suivantes :

• point d’application : le même que le point d’application de la vitesse,

• direction : même direction que la vitesse

• sens : même sens que la vitesse si mouvement accéléré, sens inverse si mouvement retardé.

Mais quelle est l’intensité de cette accélération ???

On sait que v = Rω et que v = at

at = Rω

a = t

Rω

t

ω étant la vitesse angulaire sur un temps, c’est l’accélération angulaire ω’

L’intensité de l’accélération tangentielle est donc at = Rωωωω’

Finalement, en MCUV, l’accélération totale d’un point est donc la somme des deux accélérations normale

et tangentielle.

L’accélération totale « a » d’un point d’un solide en rotation va donc être égale à

a = an + at

En intensité, cette dernière sera égale à :

a = aa tn

22 +

� A ω

1

0

VA1/0

� A’

VA’1/0

at an

� A ω

1

0

VA1/0

� A’

VA’1/0

an

at

Mouvement accéléré Mouvement retardé

a

a

EXERCICE D’APPLICATION