Upload
others
View
13
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Bahan Ajar :
KALKULUS 2
Disusun Oleh:
Fitria Rachmawati, S.Si, M.kom
UNIVERSITAS IBN KHALDUN
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA
BOGOR
2021
2
Kata Pengantar
Segala Puji dan Syukur kami panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa atas
Rahmat, taufik dan Hidayah yang diberikan kepada kami sehingga kami bisa
menyelesaikan buku ajar untuk materi Kalkulus 2. Tujuan dari penulisan buku ini tidak
lain adalah untuk membantu para mahasiswa di dalam memahami apa saja materi yang
harus mereka pelajari dan pahami selama proses belajar berlangsung.
Buku ini juga akan memberikan informasi secara lengkap mengenai materi apa
saja yang akan mereka pelajari yang berasal dari berbagai sumber terpercaya yang
berguna sebagai tambahan wawasan mengenai bab-bab yang dipelajari tersebut.
Kami sadar bahwa penulisan buku ini bukan merupakan buah dari hasil kerja
kami sendiri. Ada banyak pihak yang sudah berjasa dalam membantu kami dalam
penyelesaian buku ini. Maka dari itu kami mengucapkan banyak terimakasih kepada
semua pihak yang telah membantu memberikan wawasan dan bimbingan kepada kami
sebelum maupun ketika menulis buku panduan ini.
Kami juga sadar bahwa buku yang kami tulis belum sepenuhnya sempurna. Maka
dari itu kami meminta dukungan dan masukan dari pembaca agar kedepannya kami bisa
lebih baik lagi dalam menulis sebuah buku.
Bogor, April 2021
Tim Penulis
3
DAFTAR ISI
Program 1: Deret, Bagian 1 …………………………………………………………4
Barisan dan Deret
Rata-rata Aritmetik dan Rata-rata geometric
Deret Pangkat Bilangan Asli
Deret tak Terhingga; Harga Limit
Program 2: Deret, Bagian 2 …………………………………………………………15
Deret Konvergen dan Divergen
Kaidah Uji kekonvergenan; Kekonvergenan Mutlak
Latihan Ujian XIII
Soal-soal XIII
4
DERET
BARISAN
Barisan adalah himpunan besaran u1, u2, u3,……… yang disusun dalam urutan tertentu
Dan masing-masing sukunya dibentuk menurut suatu pola yang tertentu pula,
Yaitu ur = f(r).
Contoh : I , 3 , 5, 7, ….. adalah barisan (suku berikutnya haruslah 9)
2, 6, 18, 54, . ….. adalah barisan (suku berikutnya haruslah 162 ),
12 ,-2
2, 3
2,- 4
2,…… adalah barisan (suku berikutnya haruslah 5
2)
Demikian juga, 1, - 5, 37, 6 ,...adalah barisan, tetapi polanya tidak begitu jelas dan suku
berikutnya tidak dapat diketahui langsung.
Barisan berhingga adalah barisan yang banyak sukunya berhingga.
Barisan tak berhingga adalah barisan yang tak ada akhirnya.
Di antara barisan berikut, manakah yang merupakan barisan terhingga
(i) Semua bilangan asli (natural number), yaitu 1,2,3, . . . dst.
(ii) Nomor halaman sebuah buku.
(iii) Nomor telepon di dalam buku telepon.
Jelas, nomor halaman buku memiliki urutan yang tetap dan berakhir padi halaman yang
terakhir, Nomor telepon membentuk barisan yang sedikit agak rumit, disusun menurut
abjad nama pelanggan. Bilangan asli merupakan barisan tak berhingga, karena tidak ada
akhirnya.
Deret Deret dibentuk oleh jumlah suku-suku barisan.
Sebagai contoh: l,-3, 5, 7,....................- adalah barisan,
tetapi .1+3 + 5 +.7 + …………….adalah•deret.
Suku-suku deret ákan kita nyatakan sebagai berikut:.
u1 menyatakan suku pertama, u2 suku kedua, u3 suku ketiga,. demikian
seterusnya. Jadi ur menyatakan suku ke-r dan ur+1 Jumlah 5 suku yang pertama kita
nyatakan dengan S5. Jadi jumlah n suku yang pertama kita nyatakan dengan………….
Barang kali anda sudah mengenal dengan baik dua jenis deret khusus yang sering
digunakan, yaitu (1) deret hitung (arithmetic series) dan (ii) deret ukur (geometric series).
Sebagai penyegaran, akan kita ulangi kembali beberapa hasil penting yang berkaitan
dengan kedua deret ini
5
1 Deret hitung (atau deret aritmetik); dinyatakan dengan DH.
Salah satu contoh., DH adalah deret
2+5+8+11+14+…….....
Perhatikan bahwa masing-masing suku dapat diperoleh dan suku sebelumnya dengan
menambahkan harga konstan 3. Pertambahan yang teratur ini disebut beda (common
difference) dan dicari dengan memilih sembarang suku dan kemudian menguranginya
dengan suku sebelumnya. Sebagai contoh,
11-8=3; 5-2=3; dst
deret hitung umum dapat dituliskan sebagai
a+(a+d)+(a2d)+(a+3d)+………………………….(i)
dengan a = suku pertama dan d =beda.
Anda ingat bahwa:
(i) suku ke-n =a +(n - 1)d………………………………………………. (ii)
(ii) jumlah n buah suku yang pertama diberikan oleh
salinlah ketiga hal pokôk ini ke dalam buku catatan anda.
Sekedar pemanasan, cobalah cari jumlah 20 suku. yang pertama. Dari deret:
10+6+2-2-6 .;……….dst
Karena untuk deret 10+6+2-2-6………..dst
A=10 dan d=2 -6= -4
Contoh lain:
Jika suku ke-7 suatu DH adalah 22 dan suku ke12-nya adalah 37, tentukanlah deret
tersebut.
Diketahui suku ke-7= 22 a + 6d= 22
Dan suku ke.12=37 :a + lld=37
Jadi deretnya adalah 4 + 7 +10 + 13 + 16+...dst.
Yang berikut ini untuk anda:
Suku ke-6 suatu DH adalah - 5 dan suku ke-10-nya adalah -21.
Tentukanlah jumlah 30 suku yang pertama
6
Mean aritmetik Kadang.kadang kita harus mencari mean (rata-rata) aritmetic dua buah bilangan, P dan Q.
ini, berarti bahwa kita harus menyisipkan sebuah bilangan A di antara P‟ dan Q
sedemikian rupa sehingga P + A + Q membentuk sebuah DH .
A-P=d dan Q-A=d
A-P=Q--A 2A=P+Q ..• A=
Ternyata mean aritmetik dua bilangan tidak lain daripada nilai tengahnya. Jadi mean
aritmetik dari 23 dan 58 adalah…………..
Mean aritmetik dari 23 dan 58 adalah
Jika kita diminta untuk menyisipkan 3 buah mean aritmetik diantara dua bilangan
yang diketahui, P dan Q, berarti kita harus menyisipkan tiga buah bilangan A, B, C di
antara P dan Q sedemikian rupa sehingga P +A+B + C + Q membentuk sebuah DH.
Contoh. Sisipkanlah .3 buah mean aritmetik di antara 8 dan 18.
Misalkan mean ini kita nyatakan dengan A, B, C.
Maka 8 + A + B -F C + 18 membentuk suatu DH.
Suku pertama, a =8; suku kelima = a + 4d= 18.
Sekarang, cobalah anda cari S buah mean anitmetik di antara 12 dan 21,6.
Mean aritmetik yang dicari
inilah jalannya:
Misalkan kelima mean aritmetik itu kita nyatakan dengan A, B, C, D,E.
Maka 12 + A ÷ B ÷ C + D + E + 21.6 membentuk suatu DH.
Jadi
Memang demikian! Sekali anda pernah mencobanya, yang lain akan sama saja
7
2. Deret Ukur (atau deret geometrik); dinyatakan dengan DU. Salah satu contoh untuk
DU adalah:
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + …………….dst
Di sini kita lihat bahwa suku-sukunya diperoleh dan suku sebelumnya dengan
mengalikannya dengan sebuah faktor konstan 3. Faktor konstan ini disebut pengali atau
rasio (common ratio); besarnya dapat diperoleh dengan memilih sembarang suku dan
kemudian membaginya dengan suku sebelumnya.
Sebagai contoh, . S8
yaitu 27.+9=3; 9+3= 3; dst.
Deret ukur memiliki bentuk:
a + ar ÷ ar2 + ar
3 +. …….. dst
dengan a suku pertama, r = rasio. -
Jadi deret ukur 5 -10 + 20 - 40 +. . .dst. memiliki rasio r=………………………,
Secara umum bentuk deret ukur adalah:
a + ar ÷ ar2 + ar
3 +. …….. dst………………….(iv)
dan anda ingat kembali bahwa
(i) suku ke-n = arn-1
(ii) jumlah n buah suku yang pertama diberikan oleh
……………….....(vi)
Sekarang tentu anda dapat menyelesaikan soal berikut:
Untuk deret 8 + 4 + 2 + 1 +1/2 +... , dst., tentukan jumlah 8 suku yang pertama.
Karena untuk deret 8+4+2+1+………….dst
Contoh lain:
Jika suku ke-5 suatu DU adalah 162 dan suku ke-8.nya adalah 4374,
tentukanlah deret tersebut.
Kita dapatkan suku ke-5 = 162 .. a.r =162
Suku ke-8 = 4374 ..a.r=4374
8
Deretnya adalah: 2 + 6 + 18 + 54 +.. .. dst.
Tentu saja setelah kita ketahui harga a dan r kita dapat menghitung harga suku
yang mana saja ataupun jumlah berapa suku saja yang dikehendaki
Misalnya untuk deret di atas tadi, tentukanlah yang pertama. Kemudian lanjutkanlah ke
Bingkai I.
(i) Suku ke-10
(ii)jumlah 10 suku yang pertama
Mean geometrik
mean geometrik dan dua buah bilangan P dan Q adalah sebuah bilangan A sedemikian
rupa sehingga P + A + Q membentuk suatu DU.
Jadi mean geometrik dua buah bilangan adalah akar dan hasil-kalinya.
Dengan demikian mean geometrik dan 4 dan 25 adalah …………..
Untuk menyisipkan 3 mean geometrik di antara dua bilangan yang diketahui, P dan Q,
kita harus mencari 3 bilangan A, B, C sedemikian rupa sehingga P + A + B + C + Q
membentuk suatu DU.
Contoh. Sisipkanlah 4 buah mean geometrik di antara 5 dan 1215. Misalkan keempat
mean tersebut adalah A, B, C, D. Maka 5+A+B+C+D+ 1215 membentuk suatu DU.
Sekarang, cobalah soa1 berikut oleh anda sendiri: Sisipkanlah dua mean geometrik di
antara 5 dan 8,64.
karena:Misalkan mean tersebut adalah A dan B
Maka 5 + A + B + 8,64 memberikan suatu DU.
9
Deret hitung dan deret ukur hanyalah salah satu jenis deret khusus saja. Masih ada
deret khusus lain yang perlu kita ketahui yaitu deret yang memuat pangkat-pangkat
bilangan asli. Marilah kita melihatnya dalam hingkai benikut.
Deret pangkat bilangan asli.
I. Deret l + 2 + 3 + 4 + 5 +......+ n dst =
Seperti anda lihat, deret ini termasuk salah satu.contoh DU dengan a = 1 dan d =1.
Jumlah n buah sukunya yang pertama diberikan oleh:
Jadi jumIah 100 buah bilangan asli yang pertama adalah………….
karena
2. Yang itu masih cukup mudah. Sekarang cobalah kita lihat yang berikut ini,. Untuk
menentukan hasil jumlah n suku deret 12 + 2
2 + 3
2 + 4
2 + 5
2 + n
2 kita gunakan identitas
Kita tuliskan ini sebagai
Bila n kita gantikan dengan n — 1, kita dapatkan
Sekali lagi
dan
Bila hal ini kita lakukan terus, akhirnya kita sampai kepada
Jika semua hasil di atas kita jumlahkan, kita lihat bahwa semua suku
dalam ruas kiri saling menghilangkan, kecuali suku pertama dan suku terakhir
10
Jadi jumlah l2 suku pertama deret 12 + 22 + 32 + adalah……………………….
Jumlah bilangan asli berpangkat tiga dapat dicari dengan jalan yang sama, hanya kali ini
kita gunakan identitas.
Seperti sebelumnya, kita tuliskan bentuk ini sebagai
Jika kita lakukan cara yang sama, dengan menggantikan n dengan (n -1) berulang-ulang
dan akhirnya kita jumlahkan semua hasilnya, maka kita peroleh
Sambil lalu tampak bahwa
Bila kita kumpulkan kembali ketiga hasil tadi, kita dapatkan:
Hasil ini sangat berguna, karena itu salinlah semua dalam buku catatan anda.
11
Contoh tentukanlah jumlah deret
ini hanya sekedar soal menggunakan hasil-hasil yang telah diperoleh. Sekarang cobalah
anda kerjakan yang satu ini dengan cara yang sama.
Tentukanlah jumlah deret
Ingatlah
Jumlah n suku pertama bilangan asli
Jumlah n suku pertama kuadrat bilangan asli
Jumlah n suku pertama bilangan asli berpangkat tiga
deret tak berhingga
Sampai saat ini kita baru meninjau deret yang banyak sukunya berhingga Untuk
menangani jumlah deret yang banyak sukunya tak berhingga, kita harus berhati-hati
dengan langkah yang kita ambil
Contoh: Tinjaulah deret tak berhingga
Deret ini kita kenal sebagai deret ukur dengan a = 1 dan r = 1/2 Jumlah n buah sukunya
yang pertama diberikan oleh
Jika n sangat besar, 2 akan sangat besar pula dan karena itu akan sangat kecil
12
Sesungguhnya, jika jumlah semua suku dalam deret tak berhingga ini diberikan oleh S‟‟
= harga limit(batas) Sn
Jika n -->00
Hasil ini mengatakan bahwa kita dapat membuat jumlah deret ini sedekat mungkin
dengan 2 dengan mengambil banyaknya suku yang cukup banyak.
Untuk deret tak berhingga, hal ini tidak selalu mungkin. Untuk deret hitung, misalnya,
persoalannya akan sangat lain.
Tinjaulah deret tak berhingga 1 + 3 + 5 + 7 +....
Ini adalah deret hitung dengan a=1 dan d = 2.
jadi
Tentu saja, dalam hal ini jika n besar, maka Sn akan besar pula. Sesungguhnyajika n -°°,
maka Sn, -°°, ini bukan suatu harga numerik yang tertentu dan gunanya pun tidak banyak
bagi kita.
Hal semacam ini selalu terjadi pada deret hitung:Jika kita, mencoba mencari
“jumlah tak berhingga”-nya, kita akan memperoleh harga +00
atau -00
bergantung kepada
deret yang sesungguhnya.
Dalam dua bingkai sebelum ini, kita mendapatkan dua hal penting.
(i) Kita tidak dapat menghitung „jumlah tak berhingga suku‟ deret hitung karena hasilnya
selalu tak berhingga.
(ii) Ada kalanya kita dapat menghitung „jumlah tak berhingga suku‟ deret ukur.Untuk
deret ini dan jika |r| < 1, maka rn 0 untuk n -°°, sehingga dalam
hal ini
Sekarang cobalah cari jumlah tak berhingga deret‟
20+4+0,8 +0,16 +0,032 + …………….
I
Harga limit
Dalam program ini telah kita lihat bahwa kadang-kadang kita perlu menentukan harga
limit S, bila n--÷ oo. Sebelum kita tinggalkan topik ini, marilah kita lihat sedikit lebih
13
jauh proses penentuan harga limit ini. Barangkali dengan satu atau dua contoh saja sudah
cukup.
Contoh 1. Tentukanlah harga limit
Kita tidak dapat menyelesaikannya dengan memasukkan n =°°, dan kemudian
menyederhanakannya, karena 00
bukanlah bilangan biasa dan tidak memenuhi aturan-
aturan yang biasa kita gunakan. Karena itu untuk memecahkannya kita gunakan cara
berikut:
(atas dan bawah dibagi dengan n)
Kita selalu dapat menangani pecahan dalam bentuk dan seterusnya, karena
jika n =°°, masing-masing akan menuju nol, yaitu suatu harga yang pasti.
Sekarang manilah kita lihat contoh lain.
Contoh 2.- Tentukanlah harga limit
Pertama-tama, kita bagi dahulu penyebut dan pembilangnya dengan n berpangkat
tertinggi yang ada dalam hal ini n2
Contoh 3. Tentukanlah
Dalam hal ini yang pertama-tama harus kita lakukan adalah…………..
14
15
DERET, Bagian 2
Deret konvergen dan divergen Deret yang jumlah n sukunya (Sn) menuju ke sebuah harga tertentu jika n — °° disebut
deret konvergen (mengumpul). Jika Sn tidak menuju ke Sebuah harga tertentu ketika n —
°°, deret tersebut disebut deret divergen.
Contoh: Tinjaulah DU
Untuk DU kita ketahui bahwa Dalam hal ini a = 1 dan , sehingga
kita dapatkan:
Jiká n --oo, jumlah n suku deret mi menuju ke sebuah harga tertentu, yaitu Jadi
deret ini adalah deret (konvergen/divergen)
Jika Sn menuju ke sebuah harga tertentu ketika n --oo maka deret konvergen. Jika Sn,
tidak menuju ke sebuah harga tertentu ketika n --oo rnaka deretnya divergen.
Marilah kita lihat sebuah deret lain,
I + 3 + 9 + 27 + 81 +...
ini pun merupakan deret ukur dengan a = 1 dan r = 3.
Tentu saja untuk n --°o, 3
n --
c0juga.
(yang bukan merupakan harga numerik tertentu)
Jadi dalam hal ini deretnya……………….
Kita dapat memanfaatkan suatu deret tak berhingga hanya jika deret tersebut
konvergen; karena itu kita memerlukan cara untuk menguji apakah suatu deret konvergen
atau tidak.
16
Tentu saja kita dapat menentukannya dengan menghitung harga limit Sn untuk n -00
seperti yang kita lakukan dalam contoh.contoh yang lain. Cara ini langsung
memberitahukan apakah deret yang bersangkutan menuju ke sebuah.harga tertentu
(artinya, konvergen) atau tidak.
Cara itu adalah cara yang sangat mendasar, tetapi sayang, rumus untuk Sn, tidak
selalu dapat dicari dengan mudah, karena itu kita perlu mencari cara menguji
kekonvergenan. deret dengan hanya menggunakan suku-sukunya saja.
Ingatlah kembali penulisan deret secara urnum. Suku-sukunya akan kita nyatakañ
dengan u1 + u2 + u.3 + u4 .
Kaidah Uji Kekonvergenan
Kaidah 1. Suatu deret tidak mungkin konvergen kecuali bila suku-sukunya akhirnya
menuju nol, yaitu kecuali jika
Jika , deretnya divergen
Hal ini cukup masuk akal, karena supaya jumlahnya menuju ke sebuah harga
tertentu bila n bertambah, maka haruslah harga numerik suku-sukunya berkurang terus
menuju nol. Sebagai contoh, telah kita lihat bahwa
sementara (i) deret . konvergen,
sementara (ii) deret 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + . .. . divergen
Sekarang bagaimana halnya dengan deret
Dengan hanya melihat saja, menurut anda apakah deret tersebut konvergen atau
divergen?
Barangkali anda akan menduga deret tersebut konvergen, karena tampak jelas bahwa
dengan bertambahnya n harga numeriksuku-sukunya herkurang terus menuju nol, Sayang
dugaan anda ini meleset, karena, seperti
akan kita tunjukkan nanti, ternyata deret divergen.
Masalah ini sedikit pelik, tetapi kaidahnya sudah mengatakan dengan jelas bahwa:
Suatu deret tidak mungkin konvergen kecuali bila suku-sukunya akhirnya menuju
nol, . Kaidh mi tidak mengatakan bahwa jika
suku-sukunya nol maka deretnya pasti konvergen. Mungkin saja suku-sukunya menuju
nol tetapi deretnya tidak konvergen — seperti ditunjukkan oleh contoh di atas.
Dalam prakteknya, kaidah tersebut kita gunakan dalarn bentuk sebagai berikut:
Jika , maka deretnya mungkin konvergen atau divergen dan kita
Harusr mengujinya lebih lanjut.
17
Jila , maka deretnya pastilah divergen.
Sebelum kita tinggalkan deret
ini, marilah kita lihat bukti bahwa walaupun , ternyata deret tersebut divergen.
Kita boleh saja mengelompokan suku-sukunya sebagai berikut:
Sekarang
Dan
sehingga
ini bukanlah sebuah harga numerik tertentu,jadi deretnya…………..
yang dapat kita peroleh melalui Kaidah 1, hanyalah bahwa deret tersebut mungkin
konvergen. Untuk kepastiannya kita harus mengujinya lebih lajut.
kaudah 2. Uji perbandingan (the comparison test)
suatu deret dengan suku-suku positif akan konvergen jika suku-sukunya lebih
kecil daripada suku-suku seletak deret positif lain.
Serupa dengan itu, deret tersebüt akan divergen jika suku-sukunya lebih besar
daripada suku-suku seletak deret lain yang telah diketahui divergen.
Satu atau dua contoh berikut akan memperlihatkan bagaimana penggunaan
kaidah uji khusus ini
Contoh. Untuk menguji kekonvergenan deret
kita dapat membandingkannya dengan deret
yang telah diketahui konvergen.
Jika mulai suku ketiga kita bandingkan suku-suku seletaknya, kita
lihat bahwa ; demikian terus untuk semua suku selanjutnya, sehingga
setelah lewat dua suku pertama, suku-suku deret pertania selalu lebih kecil daripada
suku-suku seletak deret lain yang konvergen.
Dengan demikian deret pertama juga………………….
18
Kesulitan penggunaan kaidah uji perbandingan ini adalah bagaimana memilih deret
konvergen yang akan digunakan sebagai pembanding. Salah satu. deret yang berguna
untuk maksud ini adalah deret:
Dapat ditunjukkan bahwa
(i) jika p> 1, maka deretnya konvergen
(ii) jika p>= 1, maka deretnya divergen
Jadi bagaiman dengan deret
Konvergen atau divergen?
karena deret adalah deret dengan p >1
Sekarang marilah kita lihat contoh lain.
Menguji kekonvergenan deret
Sebagai pembanding kita gunakan deret
Untuk p = 2, kita perolèh deret
yang kita ketahui konvergen
tetapi
Masing-masing suku deret yang diuji lebih kecil daripada suku seletak deret lain
yang diketahui konvergen.
Jadi……………………….
Tidak selamanya mudah mencari deret pembanding yang sesuai, karena itu kita
can kaidah uji lain yang dapat digunakan, yaitu:
Kaidah 3. Uji pembagian D ‘Alembert untuk deret bersuku positif
Misalkan u1 + u2 + u3 + u4 +… . + u, +… . adalah deret dengan suku-suku positif.
Carilah pernyataan untuk un, dan un+1, yakni suku ke-n
And suku ke-.(n + 1), dan kemudian bentuklah pembagian Tentukanlah harga
limit pembagian ini bila n -°°.
19
Kita tuliskan sekali lagi:
Kaidah uji pembagian D ‘Alembert untuk deret bersuku positif
Contoh untuk uji deret
Pertama-tama kita harus menentukan dahulu pola umum suku-sukunya, dan dan sini kita
tuliskan suku ke-n-nya, daiam hal ini un. Suku ke-(n + 1) mempunyai bentuk
yang sama, dengan n digantikan oleh (n + I)
Sekarang kita harus menentukan harga limitnya bila n -- 00
Dari pembahasan kita yang
lalu mengenai penghitungan limit, kita ketahui bahwa langkah selanjutnya adalah
membagi atas dan bawah dengan………………….
Karena dalam hal ini maka deret di atas tentulah konvergen.
Marilah kita kerjakan contoh lain dengan cara yang sama
Contoh: Gunakanlah kaidah uji pembagian D‟Alembert untuk menguji deret
Terlebih dahulu kita harus mencari pernyataan untuk un,
Dalam deret ini un=……………………
Pernyataan untuk un dapat diperoleh dengan sekedar menggentikan n dengan( n + 1)
20
sehingga
sekarang kita harus mencari bentuk ini kita harus membagi atas dan bawah
dengan…………………
dan tidak memberi kesimpulan apa-apa, deret masih
mungkin konvergen atau divergen. Apa yang harus kita lakukan dari sini?
Kita melupakan sesuatu, yaitu Kaidah 1 yang mengatakan bahwa
Dalam contoh kita di atas,
Limitnya tidak nol, karena itu pastilah deretnya divergen.
Sekarang cobalah anda kerjakan sendiri yang berikut ini:
Ujialah deret
Inilah penyelesaiannya secara terperinci: periksalah apakah pekerjaan anda sesuai dengan
ini.
Faktor 2n dapat dicoret dengan factor 2
n sehingga masih tinggal faktor 2
Karena harga limit ini > 1 , maka deretnya………………….
21
Deret secara umum. Kekonvergenan mutlak
Sampai sekarang kita baru meninjau deret-deret yang semua sukunya positif. Marilah ada
deret lain yang tanda sukunya bergantian positif dan negatif.
Contoh: Deret temyata konvergen,
Sementara deret divergen.
Jika un menyatakan suku ke-n pada umumnya, ia mungkin positif mungkin pula negatif
Tetapi |un| I, atau „mod‟un‟ menyatakan harga numerik dan un sehingga jika u1 +u2 + u3 +
u4 + . . . adalah deret dengan suku-suku tercampur- — maksudnya sebagian sukunya
positif, sebagian lagi negative, maka deret | u1| + | u2 | + | u3 | + | u4 |+………..adalah
deret dengan suku-suku positif.
Perhatikan: Jika deret konvergen, maka deret mungkin tidak konvergen, seperti
diperlihatkan oleh contoh dalam bingkai sebelum ini. Tetapi jika diketahui
konvergen,
Jika konvergen, maka deret , maka dikatakan konvergen mutlak
(absolutly convergent).
Jika divergen tetapi konvergen maka dikatakan konvergen bersyarat
(conditionally convergent).
Maka adalah deret yang konvergen………………… (mutlak/bersyarat)
Contoh: Tentukanlah daerah harga x di mana deret berikut konvergen mutlak.
22
Supaya konvergen mutlak, maka :. Deret tersehut konvergen mutalak jika
Yaitu jika |x|<5
Sekarang anda telah sampai kepada akhir program mi, kecuali bagian latihan Ujian yang
akan diberikan dalam Bingkai 49 nanti. Sebelum anda mengerjakan ujian tersebut
.baiklah kita lihat lebih dahulu rangkuman yang telah kita bahas dalam program ini.
Bacalah dengan seksama: hal ini akan menyegarkan kembali ingatan anda akan apa yang
telah dikerjakan selama ini
Rangkuman .
Jika memberikan sebuah harga tertentu, maka deretnya konvergen
Jika , tidak membenikan sebuah harga tertentu, maka deretnya divergen
Soal-soal Lanjutan—XIII
Jawablah semua soal berikut, ambilah waktu secukupnya dan kerjakanlah dengan teliti
23
1. suku ketiga sebuah deret hitung adalah 34 dan suku ke- 17 nya -8
Tentukan jumlah 20 suku yang pertama?
2. Tentukanlah jumlah ke- 6 dan jumlah 10 suku yang pertama dan deret 1+ 1.2+ 1.44+..
3. hitunglah
4. periksalah apakah deret-deret berikut konvergen
5. Tentukanlah daerah harga x di mana deret-deret berikut konvergen. Dan dimana
mereka divergen
Soal-soal Lanjutan—XIII
1. tentukanlah jumlah n suku untuk deret
2. tentukanlah jumlah n suku dari
3. jumlah deret berikut sampai n suku
1.3.5+2.4.6
4. hitunglah deret berikut
5. Tentukanlah jumlah tak berhingga dari deret
6. Untuk deret
24
Tetukanah pernyataan untuk Sn jumlah n suku yang pertama. Juga, jika deretnya
konvergen, tentukanlah jumlah tak berhingganya.
7. Tentukanlah harga limit dari
8. Tentukanlah apakah dret-deret berikut konvergen atau devergen
9. Tentukanlah daerah harga x agar deret
konvergen mutlak
10. Tunjukanlah bahwa deret
konvergen mutlak dalam daerah
11. Tentukanlah daerah harga x agar deret berikut konvergen
12. Tentukan daerah harga x agar deret benikut konvengen
13. Selidikilah kekonvergenan deret
14. Tunjukkanlah bahwa deret benikut konvergen.
15. Buktikanlah bahwa deret
Dan deret
16. Tentukanlah apakah deret-deret berikut konvergen atau divergen.
25
17. Tentukanlah bahwa deret
18. Selidikilah kekonvergenan deret
19. Tentukanlah daerah harga x dimana daerah berikut konvergen
20. Jika ur (2r+ 1) +2r+l
,tentukanlah harga
-