www.briliantprivate.co.cc Page 1

www.briliantprivate.co.cc Page 2

PERTIDAKSAMAAN

A. DEFINISI

Pertaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan ≤≥<< atau,, . Jenis-jenis

pertaksamaan pada aljabaryaitu pertaksamaan linier, pertaksamaan kuadrat, pertaksamaan

bentuk akar, pertaksamaan pecahan dan pertaksamaan harga mutlak.

Sifat-sifat pertaksamaan :

bdacdcdanba

dbcadcdanba

cacbdanba

baii

baiba

baiv

pbpapiii

pbpapii

cbcaiba

>⇒>>>>

+>+⇒>>

>⇒>>

<

>⇒>>

>

<<

>>

±>±⇒>

00.5

.4

.3

11)

)0.2

)

0,)

0,)

).1

22

33

1. PERTAKSAMAAN LINIER

Pertaksamaan linier yaitu pertaksamaan yang mengandung variabel dengan derajat satu atau

berpangkat satu. Misal 74,5322

1 ≤−>+ xx dan sebagainya.

Cara menyelesaikan pertaksamaan linier :

1. Pisahkan antara yang bervariabel dan yang tidak bervariabel, misalnya yang bervariabel di

ruas kiri dan yang tidak bervariabel di ruas kanan.

2. Kalikan dengan suatu bilangan yang sama pada masing-masing ruas sehingga variabel di

ruas kiri tanpa koefisien dengan aturan sebagai berikut :

a. Jika dikalikan dengan angka positif maka pertaksamaan tersebut tidak merubah tanda

( ≤≥<< atau,, )

b. Jika dikalikan dengan angka negatif maka pertaksamaan tersebut akan berubah tanda

menjadi lawan dari tanda pertaksamaan semula.

Himpunan penyelesaian dari suatu pertaksamaan dengan menggunakan tanda x sedemikian

sehingga yang sering disingkat x sebagai tanda anggota himpunan tersebut tidak terbatas.

Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari 752 <−x !

Jawab : 6122752 <⇔<⇔<− xxx

HP : { } { }6,6 <∈< xxatauRxxx

www.briliantprivate.co.cc Page 3

Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari 2353 ≥+− x !

Jawab : 61832353 −≤⇔≥−⇔≥+− xxx

HP : { }6−≤xx

Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian dari 352

1 ≤−− x !

Jawab : 168352

1

2

1 −≥⇔≤−⇔≤−− xxx

HP : { }16−≥xx

LATIHAN SOAL

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan berikut :

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

2

1

2

1

4

3

653.10

3356.9

75.8

13.7

837.6

12612.5

1147.4

13114.3

565.2

723.1

−≥−

−≤+

≥−

<+

−>−

≤−−

≥+−

≤−

−>+

<−

2. PERTAKSAMAAN KUADRAT

Pertaksamaan kuadrat yaitu pertaksamaan yang variabelnya berderajat dua atau paling besar

berpangkat dua.

Cara menyelesaikan pertaksamaan kuadrat :

1. Usahakan ruas kiri bentuk kuadrat dan ruas kanan hanya 0

2. Tentukan akar-akar dari bentuk kuadrat dengan cara mengfaktorkan

3. Gunakan garis bilangan yang ditandai akar-akarnya sehingga terdapat 3 ruang yang akan diisi

dengan tanda “+” atau “-“. Jika soalnya >< atau maka pada titik akarnya berlubang dan jika

soalnya ≥≤ atau maka titik akarnya tertutup. Tanda + untuk nilai bentuk kuadrat > 0 dan

tanda – untuk nilai bentuk kuadrat < 0.

4. Tentukan penyelesaiannya disesuaikan dengan soalnya apakah ≤≥<< atau,, dengan cara

mengarsir.

Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari 0822 <−− xx

Jawab : 0)2)(4(0822 <+−⇔<−− xxxx

+ - + HP : { }42 <<− xx

-2 4

www.briliantprivate.co.cc Page 4

Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari 012 2 ≤−+ xx !

Jawab : 0)3)(4(012 2 ≤++−⇔≤−+ xxxx

- + -

-3 4

HP : { }43 ≥−≤ xatauxx

Untuk pertaksamaan berderajat lebih dari dua cara menyelesaikannya sama seperti cara

menyelesaikan pertaksamaan kuadrat.

Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian dari 01223 <−− xxx

Jawab : 0)3)(4(01223 <+−⇔<−− xxxxxx

- + - +

-3 0 4

HP : { }403 <<−< xatauxx

LATIHAN SOAL

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

0)5()2)(1(.14

0)5()2(.13

045.12

06.11

0)103)(72(.10

0)3)(5(.9

231044.8

052.7

03.6

025.5

0412.4

0252.3

096.2

065.1

32

2

24

23

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

≤−++

>−−

≤+−

≥−−

<−−−−

>−−+

−≥−−

≤−−

>−+

≤−

<−−

<+−

≥+−

>+−

xxx

xx

xx

xxx

xxxx

xxx

xxxx

xx

xx

x

xx

xx

xx

xx

3. PERTAKSAMAAN BENTUK AKAR

Pertaksamaan bentuk akar yaitu pertaksamaan yang mengandung bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertaksamaan bentuk akar :

1. Tentukan syarat akar yaitu angka di dalam akar 0≥ sehingga menghasilkan pertaksamaan (1)

2. Kuadratkan kedua ruas , lalu selesaikan sehingga menghasilkan pertaksamaan (2)

www.briliantprivate.co.cc Page 5

3. Tentukan irisan pertaksamaan (1) dan (2) yang merupakan penyelesaiannya

Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari 123 +<+− xx

Jawab : Syarat 1 : 303 ≤⇔≥+− xx …….(1)

Syarat 2 : 2

1012 −≥⇔≥+ xx …….(2)

3

2123123 >⇔+<+−⇔+<+− xxxxx ……..(3)

Irisan (1), (2) dan (3) adalah :

-2

1 3

2 3

HP : { }33

2 ≤< xx

Contoh 2 : Tentukan x agar fungsi 1

)(2

+

−=

x

xxxf terdefinisi

Jawab : Syarat 1 : 101 −≠⇔≠+ xx …… (1)

Syarat 2 : 01

)1(0

1

2

≥+

−⇔≥

+

−

x

xx

x

xx

- + - + …….(2)

-1 0 1

Irisan (1) dan (2) menghasilkan :

HP : { }101 ≥≤<− xatauxx

LATIHAN SOAL

Tentukan himpunan penyelesaiannya !

2

2

2

102.7

2.6

2.5

3.4

423.3

6.2

234.1

xx

xx

xx

x

xx

xx

x

−>+

<−

<

<

+>+

+>

>−

8. Tentukan daerah asal fungsi 2

65)(

2

+−

−+=

x

xxxf

9. Tentukan x agar fungsi x

xxxf

−

−=

1

5)(

2

terdefinisi

10. Tentukan x agar fungsi 2

2

16

12)(

x

xxxf

−

+−= terdefinisi

www.briliantprivate.co.cc Page 6

4. PERTAKSAMAAN BENTUK PECAHAN

Pertaksamaan bentuk pecahan yaitu pertaksamaan yang mengandung unsur bentuk pecahan.

Cara menyelesaikan pertaksamaan bentuk pecahan :

1. Tentukan syarat pecahan yaitu penyebutnya tidak boleh nol ( 0≠ ) sehingga menghasilkan

pertaksamaan 1

2. Usahakan ruas kanan menjadi 0.

3. Tentukan akar-akarnya

4. Gunakan garis bilangan untuk menentukan tanda + atau – pada masing-masing daerah seperti

pada penyelesaian pertaksamaan kuadrat.

5. Tentukan daerah penyelesaiannya dengan cara mengarsir, sehingga mendapatkan

pertaksamaan 2

6. Tentukan irisan dari pertaksamaan 1 dan 2 sebagai hasil akhir penyelesaiannya.

Contoh 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari 11

72≤

−

+

x

x

Jawab : Syarat : 101 ≠⇔≠− xx ……………(1)

01

80

1

1

1

701

1

721

1

72≤

−

+⇔≤

−

−−

−

+⇔≤−

−

+⇔≤

−

+

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

-8 1

HP : { }18 <≤− xx

Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari 033

652

2

<+−

+−

xx

xx

Jawab : Karena 332 +− xx definit positif (berapapun harga x selalu > 0) karena harga a > 0 dan D

< 0 maka 0652 <+− xx .

0)3)(2(0652 <−−⇔<+− xxxx

2 3

HP : { }32 << xx

www.briliantprivate.co.cc Page 7

LATIHAN SOAL

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

0)2()1(

23.10

0)2()6(

183.9

02

103.8

033

65.7

09

.6

1

2

3

6.5

5

7

7

5.4

3

5

5

3.3

112

.2

012

3913.1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

<++

+−

<−−

−−

>+−

−+

<+−

+−

>−

+

−≥

−

−+

>−

−

−>

−

<−

<+

+

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

5. PERTAKSAMAAN HARGA MUTLAK

Pertaksamaan harga mutlak yaitu pertaksamaan yang mengandung harga mutlak/nisbi.

Nilai harga mutlak selalu 0≥ dengan ketentuan sebagai berikut :

<−

≥=

0,

0,

ajikaa

ajikaaa

25)25(25

7)7(7

00

1515

33

=−−=−

=−−=−

=

=

=

Cara menyelesaikan pertaksamaan harga mutlak yaitu :

1. Kuadratkan kedua ruas sehingga tidak merubah tanda pertaksamaannya.

2. Kemudian selesaikan dengan cara yang sudah dipelajari di depan (pertaksamaan kuadrat atau

pertaksamaan pecahan)

Atau dengan menggunakan rumus :

0))((

0))((

>+−⇔>

<+−⇔<

axaxax

axaxax

www.briliantprivate.co.cc Page 8

Contoh 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari 523 >+x

Jawab : 0)73)(33(0)523)(523(523 >+−⇔>++−+⇔>+ xxxxx

-7/3 1

HP :

>−< 13

7xatauxx

Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari 24

3<

−

+

x

x

Jawab :

0)53)(11(

0)823))(82(3(82324

3

<−+−⇔

<−++−−+⇔−<+⇔<−

+

xx

xxxxxxx

x

5/3 11

HP :

>< 11

3

5xatauxx

Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian dari 122422

+−>− xx

Jawab : Misal yx =− 2 maka :

0)2)(6(01242 >+−⇔>−− yyyy

-2 6

Untuk 2−<y tidak memenuhi karena 02 <−x

Jadi :

0)4)(8(626 >+−⇔>−⇔> xxxy

-4 8

HP : { }84 >−< xatauxx

www.briliantprivate.co.cc Page 9

LATIHAN SOAL

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

2.10

12343.9

65.8

0262.7

212.6

11.5

11

3.4

134

5.3

3212.2

132.1

2

2

2

2

≤+

+−>−

≤+

<+−−

+<−

>−−

<−

+

≥−

−<+

<−

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

xx

x