BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR

BAB I

OPERASI PADA HIMPUNAN

Kompetensi Umum :

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan dapat memahami dengan baik operasi

pada himpunan dan operasi pada himpunan dan dapat memecahkan suatu masalah tentang

himpunan.

Kompetensi Khusus :

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat :

a. Menentukan irisan dan gabungan dari dua atau lebih himpunan.

b. Menentukan komplemen dari suatu himpunan

c. Memeriksa apakah suatu relasi merupakan suatu relasi biner

d. Memeriksa apakah suatu pemetaan bersifat injektif, surjektif atau bijektif

Deskripsi Singkat :

Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek dengan suatu sifat/ciri tertentu. Dalam bab ini

akan dibahas mengenai teori himpunan, relasi dan pemetaan yang akan mendasari pokok-pokok

bahasan bab-bab berikutnya.

1.1 Himpunan

Secara harafiah himpunan mengandung pengertian sebgai suatu kumpulan atau koleksi / gabungan

dari objek-objek. Objek-objek ini baisa disebut anggota atau unsur atau elemen dari himpunan

tersebut. Jadi himpunan dapat didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek dengan suatu sifat/ciri

tertentu, dengan kata lain himpunan adalah kumpulan suatu objek yang mempunyai ciri dan

karakteristik yang sama. Suatu himpunan biasa dinotasikandengan menggunakan huruf besar/kapital,

misalkan A,B,C….. , X, Y, Z, sedangkan unsur-unsur atau anggota-anggota dinotasikan dengan huruf

kecil, misalkan a,b,c,k, …..

Misalkan suatu x menyatakan anggota dari himpunan A maka dinotasikan dengan “x A” dan misalkan

y menyatakan bukan anggota dari himpunan A maka dinotasikan “y A”. Sedangkan himpunan yang

tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, dan dinotasikan dengan

Contoh 1.1 :

misalkan + adalah himpunan semua bilangan akhir bulat positif, ditulis Z+ = {0,1,2,3,….}, maka 2 Z+

tetapi -1 Z+

contoh 1.2 :

Misalkan 2Z+ = {0,2,4,6, …. }, maka 2 Z+ tetapi 3 Z+

Definisi 1.1 :

Suatu himpunan A dikatakan merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota dari

himpunan A merupakan anggota dari himpunan B, yang dilambangkan dengan A

Definisi 1.2 :

Suatu himpunan A dikatakan merupakan himpunan bigian sejati (proper subset) dari himpunan B, jika

A dan terdapat sedikitnya satu unsur dari B yang bukan anggota dari A, yang dilambangkan dengan A

Dengan kata lain, A artinya A tetapi B bukan merupakan himpunan bagian dari A, dilambangkan

dengan A bisa juga diartikan A jika dan hanya jika A dimana A ≠ B(A A dimana A≠ B).

Gambar 1.1.

Himpunan Bagian dan Himpunan Bagian Sejati

Contoh 1.3:

Tunjukkan bahwa himpunan bilangn asli N merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan

bulat Z, himpunan bilangan bulat Z merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan

rasional Q dan himpunan bilangan rasional Q merupakan bagian sejati dari himpunan bilangan real R.

Penyelesaian :

N = (himpunan bilangan asli) = {1,2,3 ….}

Z = (himpunan bilangan bulat) = {…, -2,-1,0,1,2, … }

Q = {himpunan bilangan rasional} = { …,2,-1,5,-1,-0,5,0,0,5,1,…}

R = {himpunan bilangan real} = { …,-2,-1,5,-1,-1/2,-1/4,0,0,25, ½, …}

Disini akan ditunjukkan bahwa N, Z, Z Q, dan Q R, sehingga N Z Q R.

Gambar 1.2,

Himpunan Bagian Sejati dari Sistem Bilangan Real

Definisi 1.3 :

A gabungan B ditulis dengan A B adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota A

atau anggota B, disimbolkan dengan A B ={x A dan x B}.

Definisi 14 :

A irisan B, ditulis dengan A B adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota A,

sekaligus anggota B, disimbolkan dengan A B = {x A dan x B}.

Definisi 15 :

Komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan anggota-anggota x dengan x € A, yang

dinyatakan dengan Ac.

A B A B AC

gambar 1.3

Diagram Venn Suatu gabungan, irisan dan komplemen

Contoh 14 :

Himpunan A = {a,b,c,d,e,f} dari himpunan B = {d,e,f,g}, maka

A B = {d,e,f} dan A B = {a,b,c,d,e,f,g}.

Dari definisi-defini yang ada diperoleh sifat-sifat dari himpunan, sebagai berikut:

Teorema 1.1 :

Untuk sebarang dua himpunan A dan B diperoleh :

A A B = A

A A B = B

Bukti :

A A B = A dan A B = A dan A B = A Harus dibuktikan A

a. A B = A.A

Misalkan x € A dan x € B, maka x € A B

A B dan A B B, maka A= A B

A Bb. A B = A

misalkan x € A dan x € B

x € A B = A maka A B B sehingga A B.

A B.Dari persamaan a dan b, terbukti bahwa A B = B

(ii) A B A B = B dan A B = BHarus dibuktikan A B

a. A B = BA B

Misalkan x A, atau B, maka x keduanya.

x A A B, x A atau x B maka B = A B

b. A BA B

Misalkan x € A atau € B, sehingga A B

A B = BDari persamaan a dan b, terbukti bahwa A B

Teorema 1.2 :

Untuk sebarang tiga himpunan A,B dan C diperoleh :

A (B C) = (A B) (A C)

Bukti :

Yang perlu dibuktikan dari A (B C) = (A B) (A C) adalah :

a. A (B C) = (A B) (A C)

Misalkan x A dan x B, x C.

x A (B C)

x A dan x (B C)

x A dan {x B atau x C)

(x A dan x B) atau (x A dan x C)

x (A B) atau x (A C)

x (A B) (A C)

sehingga A (B C) (A B) (A C)

b. (A B) (A C) A (B C)

Misalkan x A dan x B, x C

x (A B) (A C)

x (A B) atau x (A C)

( x A dan x B)atau (x A dan x C)

x A dan (x B atau x C)

x A dan x (B C)

x A (B C)

sehingga (A B) (A C) A (B C)

dari persamaan a dan b, terbukti bahwa (A B) (A C) A (B C)

Definisi 1.6:

Selisih himpunan A dan B adalah A-B = {x l x A dan x Bc}

A – B

Gambar 1.4.

Diagram Venn suatu selisih dari dua himpunan

Jika himpunan A mempunyai n unsur maka ditulis lAl = n. Jika dua himpunan A dan B masing-masing

mempunyai n dan m unsur, mkaa ditulis lAl = n dan lBl = m.

Teorema 1.3 :

Untuk dua himpunan A dan B yang mempunyai masing-masing n dan m unsur, maka lA Bl = lAl + lBl –

lA Bl = n + m – lA Bl

Bukti :

A B B

Gambar 1.5.

Diagram Venn gabungan himpunan-himpunan yang saling lepas

Dari gambar 1.5 diilustrasikan A B dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan yang

lepas A dan B – A, dan B dapat dinyatakan sebagai gabungan himpunan-himpunan yang lepas A B dan

B – A, sehingga di peroleh:

lBl = lB – Al + lA Bl, maka lB-Al = lBl – lA Bl

lA Bl = lAl + lB – Al

= lAl + lBl – lA Bl

= n + m – lA Bl

Definisi 1.7

Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari himpunan bagian dari A.

Banyaknya anggota himpunan kuasa dari himpunan yang mempunyai n anggota (n bilangan bulat)

adalah 2”

Contoh 1.7 :

Himpunan kuasa ( power set) dari A= {a,b,c} adalah 23 = 8 yaitu { , {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},

{a,b,c}}.

Jika suatu himpunan semua anggotanya adalah himpunan disebut keluarga (family) atau koleksi

himpunan dinotasikan dengan huruf cantik.

Contoh 1.8 :

Misalkan Rt = {1,2}, R2, = {1,4}, R3 = {1,2,3} maka keluarga (koleksi) dari himpunan tersebut

adalah R = {R1,R2,R3}

Suatu himpunan semesta bisa dinotasikan dengan S, yiatu himpunan yang anggotanya adalah

anggota dari semua himpunan yang dibicarakan.

Definisi 18 :

Misalkan R suatu keluarga (koleksi), himpunan tak kosong, maka :

Gabungan himpunan-himpunan di R adalah himpunan yang didefinisikan dengan :

untuk suatu

Himpunan ini memuat semua anggota (di S) yang menjadi anggota dari sebarang satu himpunan di .

Irisan himpunan-himpunan di adalah himpunan yang menjadi anggota dari sebarang satu himpunan

di .

untuk suatu

Himpunan ini memuat semua anggota (di S) yang menjadi anggota dari sebarang satu himpunan di .

Contoh 1.9 :

Misalkan = {R1,R2,R3} adalah keluarga ( koleksi ) dari himpunan seperti pada contoh 8, maka :

a. = {1,2,3,4}

b. = {1}

1.2 Relasi

Definisi 1.9 :

Misalkan A dan B merupakan dua himpunan tak kosong, maka suatu relasi T biner dari A ke B adalah

suatu himpunan bagian dari AxB, jika A=B, maka T disebut Relasi biner pada A.

Contoh 1.10 :

Relasi < pada himpunan A = {a,b,c} adalah himpunan {(a,b), (a,c), (b,c)} dan relasi ≤ pada A adalah

{(a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (b,c), (c,c)}

Bila T suatu relasi pada A maka (a,b) T, ditulis dengan aTb.

Definisi 1.10 :

Misalkan T suatu relasi pada A maka T disebut :

a. Refleksi jika aTa berlaku

b. Simetris jika aTb maka bTa berlaku

c. Transitif jika aTb dan bTc, maka aTc berlaku

d. Trikotomi jika tepat salah satu berlaku :

aTb atau a = b atau bTa

dari definisi didapatkan :

T disebut relasi ekuivalen pada A, jika T repleksif, simetris, dan transitif.

T disebut relasi berurut parsial pada A jika T refleksif, anti simetris, dan transitif.

T disebut relasi terurut total jika T transitif dan trikotomi.

Contoh 1.11 :

Kesamaan merupakan suatu relasi ekuivalen pada sebarang himpunan.

Contoh 1.22 :

Kesebangunan adalah suatu relasi ekivalen pada himpunan semua segitiga.

Contoh 1.13 :

< adalah suatu relasi terurut total pada himpunan semua bilangan rel (rasional, bulat, asli).

1.3 Pemetaan

Definisi 1.11 :

Misalkan A,B himpunan tak kosong, fungsi atau pemetaan dari A ke B adalah suatu himpunan bagian f

dari A x B demikian sehingga untuk setiap a A terdapat satu b B dengan (a,b) f. Himpunan A disebut

daerah asal (domain) dari f dan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain).

Dengan kata lain, misalkan A, B suatu himpunan tak kosong. Suatu pengaitan f dari A ke B disebut

pemetaan atau fungsi jika :

1. Untuk setiap a A terdapat b B sehingga f(a) = b

2. Untuk sebarang a1,a2 A dengan a1, = a2 maka f(a1) = f(a2).

Gambar 1.6

Pemetaan dari AxB

Pada gambar 1.6 ditujukan bahwa setiap anggota A dipetakan tepat pada suatu anggota B,

didefinisikan A x B = {(a,b) l a A dan b B}. Dalam koordinat kartesius pemetaan A x B = B x A.

Contoh 1.15 :

Jika A,B R didefinisikan A = {x l 1 ≤ x ≤ 4} = {1, 2, 3, 4} dan B = { x l 2 ≤ x ≤ 3} = {2,3}. Tunjukan

bahwa A x B ≠ B x A !

Penyelesaian :

Relasi terhadap A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2), (4,3)}

Relasi terhadap B x A = {(2,1, (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)}

Dari gambar 1.7 terlihat grafik kartesius A x B ≠ B x A.

Y

4

3

2

1

1 2 3 4 X

A X B

B x A

Gambar 1.7

Grafik Kartesius AxB dan BxA.

Definisi 1.12 :

Misalkan A, B himpunan tak kosong.

1. suatu pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan 1 – 1 (injektif) jika untuk sebarang a1, a2, A dengan

f(a1) = f(a2) maka a1 = a2.

2. suatu pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan onto / pada (surjektif) jika untuk setiap b B terdapat

a A sehingga f(a) = b.

3. suatu pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan bijektif (korespondensi 1 -1) jika f pemetaan 1- 1

(injektif) dan onto/pada (surjektif).

A B A B A B

Ijektif Surjektif bijektif

Gambar 1.8

Pemetaan injektif, surjektif, dan bijektif

Definisi 1.13:

B, suatu fungsi f dikatakan sama dengan g ditulis f = g jika f(a), .Misalkan f, g : A

C adalah fungsi yang didefinisikan dengan (g o f) (a) = g(f(a)) untuk setiap . fungsi g o f ini disebut

komposisi dari f dan g. C fungsi, maka g o f : A B, g : B Jika A, B, dan C himpunan dan f : A

Teorema 1.4 :

D fungsi, maka h o (g o f) = (h o g) o f C dan h : C B, g : B Komposisi fungsi adalah assosiatif yaitu

jika f : A

Bukti :

Misalkan , maka

h o (g o f) (a) = (h o g) o f (a)

h((g o f) (a)) = (h o g) (f(a))]

h(g(f(a))) = h(g(f(a)))

Definisi 1.14 :

A disebut : B suatu fungsi. Fungsi g : B Misalkan f : A

1. Balikan kiri dari f jika g o f = iA

2. balikan kanan dari f jika f o g = iB

3. balikan dari f jika g balikan kiri sekaligus balikan kanan dari f, yaitu g o f = iA dan f o g = iB. Bila A =

B maka dapat disingkat g o f = iA = f o g.

Contoh 1.16 :

3Z dengan g(x) = , . Tunjukan bahwa g balikan kiri dan juga balikan kanan dari f : 3Z dengan f(x) =

3x. dan g : Z Misalkan f : Z

Penyelesaian :

(g o f) (x) = g(f(x)) = g(3x) = x = iz, menunjukan bahwa g adalah balikan kiri dari f.

(f o g) (x) = f(g(x)) = f = x = i3Z menunjukkan bahwa g adalah balikan kanan dari f.

Dikarenakan g o f = iZ dan f o g = i3Z maka g saling berbalikan dengan f.

Definisi 1.15 :

B fungsi korespondensi 1-1.Misalkan A dan B suatu himpunan tak kosong, himpunan A dan B

dikatakan ekuivalen jika dan hanya terdapat f : A

Contoh 1.17 :

Himpunan Z dan 3Z adalah ekuivalen, karean terdapat pengaitan f(n) = 3n untuk n yang

mendefinisikan fungsi korespondensi 1 – 1.

Definisi 1.16:

Misalkan A suatu himpunan tak kosong. Himpunan A dikatakan hingga (finite). Jika terdapat n bilangan

bulat positif demikian sehingga A dan {1, 2, 3, …, n} adalah ekuivalen. Sedangkan himpunan A

dikatakan tak hingga (infinite) jika A dan {1, 2, 3, …, n} tidak ekuivalen untuk setiap n bilangan bulat

positif.

Contoh 1.18 :

Misalkan H adalah himpunan semua bilangan bulat positif yang kuran dari 30, maka G adalah suatu

himpunan hingga.

1.4 Rangkuman

1. Himpunan adalah kumpulan suatu objek yang mempunyai cirri dan karakteristik yang sama,

himpunan dinyatakan dengan huruf besar dan anggota / unsurnya dengan huruf kecil.

2. Gabungan adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota A atau anggota B,

disimbolkan dengan A B= {x A atau x B}. irisan adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan

anggota B, disimbolkan dengan A B= { x A dan x B}. Komplemen dari suatu himpunan A adalah

himpunan anggota-anggota x dengan x A, yang dinyatakan Ac

3. T disebut relasi ekuivalen pada A, jika T refleksif, simetris, dan transitif. T disebut relasi terurut

parsial pada A jika T refleksif, anti simetris, dan transitif. T disebut relasi terurut total jika T transitif

dan trikotomi.

4. Dua pemetaan (fungsi) dikatakan sama jika domain dan kodomain dari keduanya sama, dan nilai

fungsi dimana-mana sama.

5. Misalkan A dan B adalah himpunan tak kosong. Pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan 1 – 1

(injektif) jika untuk sebarang a1, a2 A dengan f(a1)=f(a2) maka a1 = a2. Pemetaan f dari A ke B

disebut pemetaan onto / pada (surjektif) jika untuk setiap b B terdapat a A sehingga f(a)=b. Pemetaan

f dari A ke B disebut pemetaan bijektif (korespondensi 1 – 1) jika f pemetaan 1 – 1 (injektif) dan

onto/pada (surjektif).

1.5 Soal-soal latihan

1. Misalkan A, B dan C himpunan tak kosong. Buktikan :

a. A (B C) = (A B) (A C)

b. = + + – – – +

c. A – (B C)=(A-B) (A-C)

2. Seratus mahasiswa diberikan kuisioner tentang mata kuliah yang digemarinya. Tujuh puluh orang

suka mata kuliah kalkulus, lima puluh orang suka mata kuliah aljabar dan empat puluh lima orang

suka mata kuliah Differensial. Juga 36 orang mengatakan suka mata kuliah Kalkulus dan Aljabar, 22

orang suka mata kuliah Kalkulus dan Differensial, dan 3 orang suka ketiga mata kuliah tersebut.

Berapa banyak mahasiswa yang tidak suka ketiga mata kuliah tersebut dan gambarkan grafiknya !

3. Himpunan semesta S={x / x bilangan bulat ; -5 x 20}, diketahui A={-5,-3,-1,1,3,5,7}, B={-

2,0,2,4,6} dan C={5,7,19,20}

a. Tentukan (A B) (A C), lalu bandingkan dengan A (B C)

b. Tentukan (A B)c dan (B C) c, lalu bandingkan dengan Ac Bc dan Bc Cc

4. Tentukan relasi < dan pada himpunan A={1,2,3,4}.

5. Tunjukkan bahwa :

a. Kesamaan merupakan suatu relasi ekuivalen pada sebarang himpunan.

b. Kesebangunan adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan semua segitiga.

c. < adalah suatu relasi terurut total pada himpunan semua bilangan real (rasional, bulat, asli)

d. adalah suatu relasi terurut parsial pada himpunan semua bilangan real (rasional, bulat, asli)

6. Misalkan A dan B dua himpunan masing-masing mempunyai n unsure. Tunjukkan bahwa banyaknya

bijektif dari A B adalah n !

7. Jika f : A B, g : B C, h : C D, pemetaan sedemikian hingga gof=hof dan f surjektif. Buktikan bahwa

g=h

BAB 2

OPERASI BINER PADA HIMPUNAN

BILANGAN BULAT

Kompetensi Umum:

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu himpunan terhadap

suatu operasi biner.

Kompetensi khusus:

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:

a. Menentukan operasi biner jika diberikan suatu operasi pada himpunan tertentu

b. Mengidentifikasi sifat-sifat dari operasi biner apakah tertutup, komutatif, assosiatif memiliki

identitas dan adanya invers untuk setiap elemen himpunan itu.

c. Menerapkannya dalam operasi penjumlahan

d. Menerapkannya dalam operasi perkalian

e. Menentukan bilangan bulat modulo n

Deskripsi singkat:

Misalkan s adalah suatu himpunan sebarang yang tak kosong, maka pemetaan s X s ke s disebut

operasi biner. Dalam bab ini akan diperkenalkan konsep tentang operasi biner dan sifat-sifatnya

dengan menggunakan pendekatan pemetaan.

2.1 Sifat-sifat Operasi Biner

Sebelum membicarakan sifat-sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat, terlebih dahulu akan

diuraikan secara singkat mengenai himpunan bilangan bulat. Sudah diterangkan sebelumnya bahwa

himpunan semua bilangan bulat {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} disimbolkan dengan Z. Untuk himpunan bagian

dari Z yaitu {…,-3,-2,-1} dan {0,1,2,3,…} berturut-turut merupakan himpunan semua bilangan bulat

negative dan himpunan semua Z- dan Z+. secara singkat dapat ditulis sebagai berikut:

Z = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Z- = {…,-3,-2,-1}

Z+.= {0,1,2,3,…}

Pada himpunan bilangan bulat Z dikenal dua operasi baku penjumlahan/aditif (+) dan perkalian/

multikatif (.).

Sebagaimana telah diketahui setiap pasang bilangan bulat dapat ditambahkan (dijumlahkan) maupun

dikalikan, begitu pula setiap pasang bilangan rasional atau bilanagan real. Ide penambahan atau

perkalian akan didefinisikan secara lebih umum sebagai operasi biner salam suatu himpunan, secara

singkat akan dijelaskan dalam definisi berikut:

Definisi 2.1:

Misalkan S adalah suatu himpunan sebarang yang tak kosong, maka pemetaan S x S S disebut operasi

biner.

Misalkan f suatu operasi biner dalam S, yaitu suatu pemetaan dari S x S ke S, dan misalkan (a,b) S x S

dengan f(a,b) c, maka ditulis a * b = c (dibaca a operasi biner b sama dengan c). Jadi sesuai dengan

konsep pemetaan, sesungguhnya pasangan terurut (a,b) S x S dengan c, yang dinotasikan dengan

(a,b) c.

Definisi 2.2:

Sifat operasi biner (*) pada suatu himpunan bilangan bulat Z disimbolkan dengan (Z,*).

1. Tertutup

Misalkan a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka a dan b tertutup terhadap

bilangan bulat Z bila a * b Z

2. Komutatif

Misalkan a,b Z maka a * b = b * a

3. Assosiatif

Misalkan a,b,c Z maka (a * b) * c = a * (b * c)

4. Adanya unsur satuan atau identitas

Misalkan a Z maka a * e = e * a = a

5. Adanya unsure balikan atau invers

Misalkan a Z maka a * a-1 = a-1 * a = e

Contoh 2.1:

Misalkan suatu himpunan yang tak kosong S={a,b,c,d}, didefinisikan x * y = y untuk setiap x,y S

adalah suatu operasi biner dalam S. Tunjukkan operasi biner dari himpunan tersebut.

Penyelesaian:

Disini akan ditunjukkan daftar operasi biner dalam bentuk table (yang dinamakan daftar Cayley), biasa

dipakai untuk mendefinisikan suatu operasi biner dalam himpunan yang banyak anggota / unsurnya

terhingga.

Table 2.1

Daftar Cayley (Operasi Biner)

S ={a,b,c,d}yang didefinisikan x * y = y x,y S

y

* A b c d

x a A b c d

b A b c d

c A b c d

d A b c d

Cara membaca daftar Cayley seperti pada table 2.1 adalah sebagai berikut:

1. Unsur yang mau dioperasikan dari sebelah kiri kit abaca kolom paling kiri, misalkan ambil unsure x

2. Kemudian unsure x mau dioperasikan dengan unsure y dari sebelah kanan.

3. Unsur yang terakhir ini dibaca pada baris yang paling atas, sehingga unsure x * y adalah unsur yang

sekelompok dengan y sebaris dengan x.

Dengan demikian dalam daftar Cayley yang terdapat dalam table 2.1. dapat kita baca :

a * a = a

a * b = b

a * c = c

a * d = d b * a = a

b * b = b

b * c = c

b * d = d c * a = a

c * b = b

c * c = c

c * d = d d * a = a

d * b = b

d * c = c

d * d = d

Contoh 2.2 :

Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif, didefinisikan x *

y = bila x y dan x * x = x untuk setiap x,y Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif

dan assosiatif.

Penyelesaian :

a. Tertutup

Misalkan x = 2 dan y = 3

x * y = 2 * 3 = 1

x * x = 2 * 2 = 2

x * y dan x * x tertutup terhadap Z+, sehingga x,y Z+

b. Komutatif

x, y Z+, misalkan x = 2 dan y = 3

x * y = 2 * 3 = =1

y * x = 3 * 2 = = 1

x * y = y * x komutatif

c. Assosiatif

x, y,z Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4

(x * y) * z = (2 * 3)* 4 = * 4 = = 3

x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * = = 1

(x * y) * z x * (y * z) tidak assosiatif

Dari definisi sebelumnya mengenai operasi biner, bila operasi biner mempunyai satu atau lebih

operasi biner yang merupakan dasar-dasar Struktur Aljabar, didefinisikan :

Definisi 2.3 :

Struktur Aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu himpunan dengan satu atau lebih operasi biner

pada sistem aljabar tersebut.

Misalkan S suatu himpunan yang dilengkapi dengan sekelompok Operasi biner * dan o, maka S

menjadi satu struktur aljabar dengan dua operasi biner yang dinotasikan (S,*,o) atau (S,o,*)

Contoh 2.3 :

Himpunan semua bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan dan perkalian merupakan suatu

struktur aljabar, yang dinotasikan (Z, +, . )

Definisi 2.4 :

Grupoid adalah suatu struktur aljabar yang mempelajari hanya satu operasi biner (terhadap

penjumlahan atau perkalian)

Contoh 2.4 :

Misalkan S adalah suatu himpunan tak kosong, didefinisikan x . y = y untuk setiap x,y S, maka (S, . )

adalah merupakan grupoid.

Contoh 2.5 :

Misalkan S adalah suatu himpunan tak kosong, didefinisikan x + y = y untuk setiap x,y S, maka (S, + )

adalah merupakan grupoid.

Pada sub bab selanjutnya akan dijelaskan secara lebih mendalam mengenai struktur aljabar yang

berupa grupoid terhadap penjumlahan dan perkalian.

2.2 Operasi Biner Terhadap Penjumlahan

Pada sub pokok bahasan ini, akan dijelaskan definisi dan contoh dari opersi biner terhadap

penjumlahan yang merupakan grupoid, dismbolkan dengan (Z, ) atau (Z,+). Misalkan Z6 =

{0,1,2,3,4,5} ini menyatakan bahwa bilangan bulat Z tertutup terhadap {0,1,2,3,4,5}dan (Z6, ) atau

(Z6, +) menyatakan bahwa penjumlahan bilangan bulat Z tertutup terhadap Z6 = {0,1,2,3,4,5}

Definisi 2.5 :

Sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat Z terhadap penjumlah (Z, ) atau (Z,+) adalah :

1. Tertutup

Misalkan a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka penjumlahan a dan b tertutup

terhadap bilangan bulat Z bila a + b Z

2. Komutatif

Misalkan a,b Z maka a + b = b + a

3. Assosiatif

Misalkan a,b,c Z maka (a + b) + c = a + (b + c)

4. Adanya unsur satuan atau identitas

Misalkan a Z untuk penjumlahan unsur satuan atau identitas e = 0 sehingga a + e = a + 0 = a dan e +

a = 0 + a = a

5. Adanya unsur balikan atau invers

Misalkan a Z untuk penjumlahan unsur balikan atau invers dari a adalah (-a), sehingga a + (-a) = a – a

= 0 = e dan (-a) + a = -a + a = 0 = e

Contoh 2.6 :

Buatlah table operasi biner Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} terhadap penjumlahan (Z5, +} dan tunjukkan sifat-

sifat dari operasi binernya.

Penyelesaian:

Terlebih dahulu kita definisikan operasinya:

0 + 3 = 3 0 + 4 = 4

1 + 3 = 4 1 + 4 = 0

2 + 3 = 0 2 + 4 = 1

3 + 3 = 1 3 + 4 = 2

4 + 3 = 2 4 + 4 = 3

setelah itu kita buat table operasi biner dari (Z5,+)

Tabel 2.2

Operasi biner (Z5,+)

+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

untuk mengetahui sifat-sifat penjumlahan operasi binernya dapat dilihat dari table:

a. Tertutup

Ambil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 dan 3 Z5

2 + 3 = 0, karena hasilnya 0 Z5, maka tertutup terhadap Z5

b. Komutatif

Ambil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 dan 3 Z5

2 + 3 = 0

3 + 2 = 0

sehingga 2 + 3 = 3 + 2 = 0

maka Z5 komutatif

c. Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2,3 dan 4 Z5

(2 + 3 ) + 4 = 0 + 4 = 4

2 + (3 + 4) = 2 + 2 = 4

sehingga (2 + 3 ) + 4 = 2 + (3 + 4) = 4

maka Z5 assosiatif

d. Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 Z5

2 + e = 2 + 0 = 2

2 + e = 0 + 2 = 2

sehingga 2 + e = 2 + e = 2

maka Z5 ada unsur satuan atau identitas

e. Adanya unsure balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 Z5

2 + (-2) = 2 – 2 = 0 = e

(-2) + 2 = -2 + 2 = 0 = e

sehingga 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 = e

maka Z5 ada unsur balikan atau invers.

2.3 Operasi Biner Terhadap Perkalian

Pada sub pokok bahasan ini, akan dijelaskan definisi dan contoh dari opersi biner terhadap perkalian

yang merupakan grupoid, dismbolkan dengan (Z, ) atau (Z,.). Misalkan Z6 = {0,1,2,3,4,5} ini

menyatakan bahwa bilangan bulat Z tertutup terhadap {0,1,2,3,4,5}dan (Z6, ) atau (Z6, .)

menyatakan bahwa perkaliann bilangan bulat Z tertutup terhadap Z6 = {0,1,2,3,4,5}

Definisi 2.6 :

Sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat Z terhadap perkalian (Z, ) atau (Z,.) adalah :

1. Tertutup

Misalkan a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka perkalian a dan b tertutup

terhadap bilangan bulat Z bila a . b Z

2. Komutatif

Misalkan a,b Z maka a . b = b . a

3. Assosiatif

Misalkan a,b,c Z maka (a . b) . c = a . (b . c)

4. Adanya unsur satuan atau identitas

Misalkan a Z untuk perkalian unsur satuan atau identitas e = 1 sehingga a . e = a . 1 = a dan e . a =

1+a=a

5. Adanya unsur balikan atau invers

Misalkan a Z untuk perkalian unsur balikan atau invers dari a adalah

(a-1)= , sehingga a + (a-1) = a . = 1 = e dan a-1 . a= .a = 1 = e

Contoh 2.7 :

buatlah table operasi biner A = {a1, a2, a3 ,a4 ,a5} terhadap perkalian (a, .) dan tunjukkan sifat-sifat

dari opersi binernya.

Penyelesaian :

Terlebih dahulu kita definisikan operasinya:

a1 . a2 = a3

a2 . a2 = a4

a3 . a2 = a5

a4 . a2 = a1

a5 . a2 = a2

setelah itu kita buat table operasi biner dari (A, .)

Tabel 2.3

Operasi biner (A,+)

. a1 a2 a3 a4 a5

a1 a2 a3 a4 a5 a1

a2 a3 a4 a5 a1 a2

a3 a4 a5 a1 a2 a3

a4 a5 a1 a2 a3 a4

a5 a1 a2 a3 a4 a5

Untuk mengetahui sifat-sifat perkalian operasi binernya dapat dilihat dari table:

a. Tertutup

Ambil sebarang nilai dari A,

misalkan a1 dan a2 A

a1 . a2 = a3

karena hasilnya a3 A, maka tertutup terhadap A

b. Komutatif

Ambil sebarang nilai dari A

misalkan a1 dan a2 A

a1 . a2 = a3

a2 . a1 = a3

sehingga a1 . a2 = a3 = a2 . a1 = a3

maka A komutatif

c. Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari A

misalkan a1 , a2 dan a3 A

(a1 . a2 ) . a3 = a3 . a3 = a1

a1 . (a2 . a3 )= a1 . a5 = a1

sehingga (a1 . a2 ) . a3 = a1 . (a2 . a3 )= a1

maka A assosiatif

d. Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari A

misalkan a1 A

a1 . e = a . 1 = a

e + a1 = 1 . a = a

sehingga a1 . e = e + a1 = a

maka A ada unsur satuan atau identitas

e. Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari A, misalkan a1 A

a1. a-1= a . = 1

a-1 . a1 = . a= 1

sehingga a1. a-1= a-1 . a1 = 1 = e

maka A ada unsur balikan atau invers.

Masih ada beberapa hal lagi yang dapat kita katakana mengenai grupoid terhadap perkalian.Misalkan

kita ambil grupoid dari himpunan semua bilangan bulat yaitu(Z, .).Dalam grupoid tersebut kita tahu

jika ab = ac maka b = c dimana a 0,sifat ini dinamakan hukum pencoretan kiri bila ba = ca maka b = c

dimana a 0,maka sifat ini dinamakan hukum pencoretan kanan.

Definisi 2.7 :

Sebuah grupoid S dikatakan memenuhi hokum pencoretan kiri jika kesamaan ab =ac mengakibatkan b

= c,dimana a 0

Definisi 2.8 :

Sebuah grupoid S dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika kesamaan ba = ca

mengakibatkan b = c,dimana a 0.

Definisi 2.9:

Himpunan semua bilangan bulat tak nol merupakan grupoid komutatif terhadap perkalian yang

memenuhi hokum pencoretan.

Definisi 2.10:

Himpunan semua bilangan asli merupakan grupoid komutatif terhadap perkalian yang memenuhi

hokum pencoretan.

2.4 . Bilangan Bulat Modulo n

Telah dikemukakan, untuk memahami topik-topik yang ada pada struktur aljabar diperlukan suatu

contoh sebagai model. Model yang paling mudah dipahami adalah bilangan bulat. Pada bagian ini

dibicarakan lebih lanjut tentang bilangan bulat yaitu tentang algoritma pembagian bilangan bulat dan

bilangan bulat modulo n dengan menggunakan prindip kongruensi.

Teorema 2.1 : (Algoritma Pembagian)

Misalkan a, b Z dan b 0, maka terdapat q, r Z demikian sehingga a = bq + r, dengan 0 r < . Bilangan

bulat q dan r ditentukan secara tunggal oleh a dan b yang diperlukan. Selanjutnya a disebut bilangan

yang dibagi, b disebut pembagi, q disebut hasil bagi, dan r disebut sisa.

Definisi 2.9:

Misalkan a, b Z, b dikatakan membagi a, dinotasikan b / a, jika terdapat q Z yang memenuhi a = bq, b

disebut pembagi a atau factor dari a. sebaliknya b tidak membagi a, dinotasikan b a, jika tidak

terdapat q Z yang memenuhi a = bq.

Contoh 2.10:

4| 8, 4 dikatakan pembagi 8, sebab 8 = 4 . 2

Contoh 2.11:

3 ╪ 8, 3 dikatakan bukan pembagi 8, sebab tidak terdapat q Z yang memenuhi 8 = 3q dengan kata

lain 8 3q untuk sebarabg q Z.

Berdasarkan algoritma pembagian bilangan bulat, untuk a, n Z dimana n 0, terdapat q,r Z demikian

sehingga a = nq + r, dengan 0 r < . Dalam hal ini dapat ditulis a – r = nq, sehingga dapat dikatakan n

membagi a – r, dan dikatakan a dan r kongruen modulo n, ditulis :

a = r (mod n)

secara eksplisit dua bilangan bulat a dan b kongruen modulo n didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.10:

Misalkan a,b,c Z dan n 0, bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, ditulis a = r(mod n),

jika membagi (a – b).

Contoh 2.12:

8 2 (mod 3) merupakan kongruen modulo n, karena 8 – 2 = 2 . 3

contoh 2.13:

9 2 (mod 3) bukan merupakan kongruen modulo n, karena 9 – 2 2.3

2.5 Rangkuman

1. Sifat-sifat operasi biner (*) pada suatu himpunan bilangan bulat Z disimbolkan dengan (Z,*)

terhadap penjumlahan ataupun perkalian adalah :

• Tertutup

• Komutatif

• Assosiatif

• Adanya unsure satuan atau identitas

• Adanya unsure balikan atau invers

2. Struktur Aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu himpunan dengan satu atau lebih operasi biner

yang diberlakukan pada system aljabar tersebut.

3. Grupoid adalah suatu struktur aljabar yang mempelajari hanya satu operasi biner (terhadap

penjumlahan atau perkalian).

4. Sebuah grupoid S dikatakan hokum pencoretan kiri jika kesamaan ab=ac mengakibatkan b=c,

dimana a 0, dan grupoid S dikatakan memenuhi hokum pencoretan kanan jika kesamaan ba=ca

mengakibatkan b=c, dimana a 0.

5. Misalkan a, b Z dan b 0, maka q, r Z demikian sehingga a = bq +r, dengan 0 r < . Bilangan bulat q

dan r ditentukan secara tunggal oleh a dan b yang diperlukan. Selanjutnya a disebut bilangan yang

dibagi, b disebut pembagi, q disebut hasil bagi, dan r disebut sisa.

6. Misalkan a, b, c Z dan n 0,, bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, ditulis a r (mod n),

jika membagi (a-b).

2.6 Soal-soal latihan.

1. Misalkan X = {0,1,2,3} dimana X Z.

Diketahui :

a * b = c

3 * 1 = 0

3 * 2 = 1

3 * 3 = 2

Buatlah table operasi biner dan jelaskan sifat-sifatnya.

2. Untuk sebarang m, n Z

Didefinisikan m * n = m + n + 1

Tunjukkan :

a. E himpunan bilangn genap yang tidak tertutup terhadap operasi biner.

b. K himpunan bilangna ganjil yang tertutup terhadap operasi biner.

3. Tunjukkan sifat-sifat operasi biner dari a + b dan a . b di Z+ jika a, b Z+

4. Buktikan jika bx = by (b 0, x dan y Z), maka x = y. gunakan hokum pencoretan kiri.

5. Tunjukkan apakah perkalian matriks A = dan B = adalah komutatif atau bukan.

6. Buktikan teorema 1 (Algoritma Pembagian) dalam sub pokok bahasan 2.4

BAB 3

SEMIGRUP DAN MONOID

Kompetensi Umum :

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari

Semigrup dan Monoid.

Kompetensi Khusus:

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:

a. Menjelaskan serta memberi contoh suatu Semigrup

b. Menjelaskan serta memberi contoh suatu Monoid

Deskripsi Singkat:

Dalam bab ini merupakan kelanjutan dari bab 2, jika dalam bab sebelumnya dijelaskan mengenai

struktur aljabar yang mempunyai satu atau dua operasi biner, dalam bab ini akan dibahas mengenai

Semigrup yang mempunyai satu prasyarat tertutup dan assosiatif dan operasinya dan bila Semigrup

memiliki unsur kesatuan maka dinamakan Monoid.

3.1 Semigrup dan Monoid

Telah kita pelajari konsep grupoid yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner. Grupoid

adalah suatu struktur aljabar hanya dengan satu operasi biner saja dan tanpa syarat apa-apa, yang

merupakan struktur aljabar yang paling sederhana.

Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari struktur aljabar dengan satu operasi biner, tetapi sudah

diberi prasyarat yaitu sifat tertutup dan assosiatif dari operasinya.

Definisi 3.1:

Suatu grupoid (G, +) dikatakan semigrup terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat-syarat:

1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan

2. Assosiatif terhadap penjumlahan

Contoh 3.1 :

Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R, merupakan semigrup

terhadap penjumlahan dengan lambing (N,+), (Z,+), (Q,+) dan (R,+).

Definisi 3.2 :

Suatu grupoid (G, .) dikatakan semigrup terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat :

1. (G, .) tertutup terhadap perkalian

2. Assosiatif terhadap perkalian

Contoh 3.2 :

Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R, merupakan semigrup

terhadap perkalian dengan lambang (N, .) untuk bilangan asli, (Z, .) untuk bilangan bulat, (Q, .) untuk

bilangan rasional dan (R, .) bilangan real.

Contoh 3.3 :

Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner a * b = a + b + ab. Tunjukkan

bahwa (N, *) adalah suatu semigrup.

Penyelesaian :

1. Tertutup

Misalkan a,b N

a * b = a + b + ab N

maka a * b tertutup terhadap bilangan asli N.

2. Assosiatif

Misalkan a,b,c N

(a * b) * c = (a + b + ab) * c

= (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c

= a + b + ab + c + ac + bc + abc

a * (b * c) = a * (b + c + bc)

= a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)

= a + b + c + bc + ab + ac + abc

Maka a,b,c N berlaku a * b) * c = a * (b * c)

Jadi, (N, *) yang didefinisikan a * b = a + b + ab merupakan suatu semigrup.

Contoh 3.4 :

Misalkan suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan daftar Cayley sebagai berikut:

Table 3.1

Daftar Cayley suatu grupoid

. a b c d

a b c d a

b d a b c

c a b c d

d c d a b

Tunjukkan apakah grupoid tersebut merupakan suatu semigrup.

Penyelesaian :

Akan ditunjukkan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan.

Misalkan x =a, y = a dan z = a

(x . y) . z = (a . a) . a

= b . a

= d

x . (y . z) = a . (a . a)

= a . b

= c

Didapat (x . y) . z = d dan x . (y . z) = c

Sehingga (x . y) . z x. (y . z)

Jadi grupoid tersebut bukan merupakan suatu semigrup.

Suatu semigrup yang memiliki unsure satuan atau identitas dinamakan sebuah monoid, dijelaskan

pada definisi berikut ini :

Definisi 3.3 :

Suatu grupoid (G,+) dikatakan monoid terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat-syarat:

1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan

2. Assosiatif terhadap penjumlahan

3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan.

Dengan kata lain, semigrup terhadap penjumlahan yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e =

0) disebut monoid terhadap penjumlahan.

Contoh 3.5 :

Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z, +), bilangan rasional (Q,+) dan bilangan (R,+), merupakan monoid-

monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan

atau identitas yaitu nol (0).

Definisi 3.4 :

Suatu grupoid (G, .) dikatakan monoid terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat :

1. (G, .) tertutup terhadap perkalian

2. Assosiatif terhadap perkalian

3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap perkalian.

Dengan kata lain, semigrup terhadap perkalian yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 1)

disebut monoid terhadap perkalian.

Contoh 3.6 :

Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z, .), bilangan rasional (Q, .) dan bilangan (R, .), merupakan monoid-

monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan

atau identitas yaitu satu (1).

Kalau kita buat bagan yang melukiskan suatu struktur aljabar yang berupa semigrup dan monoid

dapat diperoleh gambar sebagai berikut:

Gambar 3.1

Gambar dari suatu Semigrup dan Monoid

3.2 Rangkuman

1. Suatu grupoid (G, *) dikatakan semigrup jika memenuhi syarat-syarat :

• (G, *) tertutup

• Assosiatif

2. Suatu grupoid (G, *) dikatakan smonoid jika memenuhi syarat-syarat :

• (G,*) tertutup

• Assosiatif

• Mempunyai unsure satuan atau identitas

Dengan kata lain, semigrup yang mempunyai unsur satuan atau identitas disebut monoid.

3.3 Soal-soal latihan

1. Misalkan himpunan bilangan asli N, diidentifikasikan sebagai operasi biner x * y = x + y – xy.

Tunjukkan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup.

2. Dari soal no 1, tunjukkan bahwa (N,*) merupakan monoid.

3. Tunjukkan bahwa operasi biner dari a + b dan a . b di Z+ memenuhi sifat-sifat dari:

a. semigrup

b. monoid

4. Misalkan X = {0,1,2,3} dimana X Z.

Diketahui :

a * b = c

3 * 1 = 0

3 * 2 = 1

3 * 3 = 2

Buatlah tabel operasi biner dan apakah memenuhi sifat-sifat semigrup dan monoid.

BAB 4

DASAR-DASAR GRUP

Kompetensi Umum :

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup.

Kompetensi Khusus:

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:

a. Mengidentifikasi suatu himpunan tak kosong terhadap operasi suatu grup

b. Membuktikan dan menerapkan sifat-sifat sederhana suatu grup.

c. Mengidentifikasi suatu himpunan bagian dari suatu Grup merupakan suatu Subgrup atau bukan

d. Menentukan orde suatu Grup

Deskripsi Singkat:

Grup merupakan struktur aljabar dengan satu operasi biner. Dalam bab ini akan dibahas mengenai

sifat-sifat atau syarat suatu grup, himpunan bagian dari Grup yang merupakan Subgrup, serta

mementukan orde suatu Grup.

4. Sifat-sifat Grup

Pada bab 3, telah kita pelajari konsep semigrup yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner

(grupod terhadap suatu penjumlahan atau perkalian) yang memiliki prasyarat tertutup dan assosiatif.

Sedangkan monoid adalah suatu struktur aljuabar dengan satu operasi biner (semigrup yerhadap

penjumlahan atau perkalian)yang setiap anggotanya memiliki unsure satuan atau identitas.

Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari definisi atau syarat-syarat dasar dari suatu grup dan

mengaplikasikannya dalam contoh-contoh soal sederhana, baik itu terhdap penjumlahan atau

perkalian, adapun definisi mengnai grup adalah:

Definisi 4.1:

Suatu monoid (G,*) dikatakan suatu grup jika setiap anggotanya memiliki unsure balikan atau invers

yaitu :

G sehingga a * a-1 = a-1 * a = e a-1 G a

Dengan kata lain, dari definisi tersebut dapat kita ketahui syarat-syarat dari suatu grup yaiutu

memenuhi sifat monoid dan setiap anggotanya memiliki unsure balikan atau invers. Adapun untuk

lebih jelasnya mengenai syarat-syarat suatu grup akan dijabarkan dalam definisi berikut ini:

Definisi 4.2 :

Grupoid (G,*) dikatakan suatu grup jika memenuhi syarat-syarat:

a. Tertutup

GMisalkan a, b adalah anggota G maka a dan b tertutup bila a * b

b. Asosiatif

G maka (a * b) * c = a * (b * c)Misalkan a, b, c

c. Adanya unsur satuan atau identitas

G maka a * e = e * a = aMisalkan a

d. Adanya unsure balikan atau invers

R maka a * a-1 = a-1 * a = e = 0Misalkan a

Contoh 4.1:

Misalkan G ={-1,1} adalah suatu himpunan.

Tunjukkan bahwa G adalah suatu grup terhadap perkalian (G, .)

Penyelesaian:

Tabel 4.1

Daftar Cayley G = {-1,1} terhadap (G,.)

. -1 1

-1 1 -1

1 -1 1

Dari tabel 4.1 akan ditunjukkan bahwa G = {-1,1} merupakan suatu grup terhadap perkalian (G,.),

yaitu :

A. Tertutup

Ambil sebarang nilai dari G

GMisalkan 1 dan -1

-1 . 1 = -1

G, maka tertutup terhadap Gkarena hasilnya -1

B. Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari G

GMisalkan a = -1, b = -1 dan c = 1

(a . b) . c = (-1 . -1) . 1 = 1 .1 = 1

a . (b . c) = -1 . (-1 . 1) = -1 . -1 = 1

sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1

maka G assosiatif

C. Adanya unsure satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari G

GMisalkan -1

-1 . e = -1 . 1 = -1

e . -1 = 1 . -1 = -1

sehingga -1 . e = e . -1 = -1

maka G ada unsure satuan identitas atau invers

D. Adanya unsure balikan atau invers

GAmbil sebarang nilai dari G, misalkan -1

-1 . (-1)-1 = -1 . – = 1 = e

(-1)-1 . -1 = – . -1 = 1 = e

Sehingga -1 . (-1)-1 = (-1)-1 . -1 = 1 = e

Maka G ada unsure balikan atau invers

Jadi, G = {-1,1} merupakan grup terhadap perkalian (G, .)

Contoh 4.2 :

Misalkan G = {-1,1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap penjumlahan

(G, +)

Penyelesaian:

Tabel 4.2

Daftar Cayley G = {-1,1} terhadap (G,+)

. -1 1

-1 -2 0

1 0 2

Berdasarkan daftar Cayley tabel 4.2.

Operasi penjumlahan himpunan G = {-1,1}menghsilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2}adalah

bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1,1, maka operasi penjumlahan G = {-1,1}tidak

tertutup terhadap himpunannya.

Sehingga G = {-1,1} adalah bukan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).

Contoh 4.3:

Misalkan G ={0, 1, 2, 3, 4, 5} adalh merupakan himpunan dari Z6. tunjukkan bahwa G adalah suatu

grup terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesian:

Tabel 4.3

Daftar cayley G ={0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap (G,+)

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

Dari tabel 4.3 akan ditunjukkan bahwa G ={0, 1, 2, 3, 4, 5}merupakan suatu grup terhdap

penjumlahan (G,+), yaitu:

a. Tertutup

Ambil sebarang nilai dari G

GMisalkan 0, 1, 2, 3, 4, 5

1 + 2 = 3

1 + 3 = 4

1 + 4 = 5

1 + 5 = 0

G, maka tertutup terhadap Gkarena hasilnya 0, 3, 4, 5

b. Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari G

GMisalkan a = 2, b = 4 dan c = 5

(a + b) + c = (2 + 4) + 5 = 0 + 5 = 5

a + (b + c) = 2 + (4 + 5) = 2 + 3 = 5

sehingga (a + b) + c = a + (b + c) = 5

maka G assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari G

GMisalkan 4

4 + e = 4 + 0 = 4

e + 4 = 0 + 4 = 4

sehingga 4 + e = e + 4 = 4

maka G ada unsure satuan identitas atau invers

d. Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari G,

GMisalkan 4

4 + (-4) = 4 – 4 = e

(-4) + 4 = -4 + 4 = e

Sehingga 4 + (-4) = (-4) + 4 = 4 = e

Maka G ada unsur balikan atau invers

Jadi, G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan grup terhadap penjumlahan (G, +).

SEMIGROUP

GROUPOID

MONOID

GROUP

Gambar 4.1,

Bagan dari suatu Grup

Bila suatu grup memenuhi sifat komutatif, dimana a* b = b * a, maka grup tersebut dinamakan grup

komutatif atau grup abelian. Adapun definisinya adalah sebagai berikut:

Definisi 4.3 :

Suatu grupoid (G,*) dikatakan grup komutatif (grup abelian) jika memenuhi syarat-syarat :

a. Tertutup

GMisalkan a, b adalah anggota G maka a dan b tertutup bila a * b

b. Asosiatif

G maka (a * b) * c = a * (b * c)Misalkan a, b, c

c. Adanya unsur satuan atau identitas

G maka a * e = e * a = aMisalkan a

d. Adanya unsure balikan atau invers

G maka a * a-1 = a-1 * a = eMisalkan a

e. Komutatif

G maka a * b = b * aMisalkan a, b

Contoh 4.4:

Dari contoh 4.1, tunjukkan bahwa G = {-1,1} adalah suatu grup komutatif terhadap perkalian (G,.).

Penyelesaian:

Dari contoh 4.1 telah ditunjukkan bahwa G = {-1,1} adalah suatu grup terhdap perkalian (G,.).

Sekarang akan ditunjukkan sifat komutatif dari grup tersebut.

Ambil sebarang nilai dari G :

G (pada tabel 4.1)Misalkan 1 dan -1

-1 . 1 = -1

1 . -1 = -1

sehingga -1 . 1 = 1 . -1 = -1

karena grup tersebut memnuhi sifat komutatif, maka grup tersebut adaloah grup komutatif atau

grupabelian terhadap perkalian (G,.).

Contoh 4.5:

Dari contoh 4.3 tunjukkan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu grup komutatif terhadap

penjumlahan (G.+).

Penyelesaian:

Dari contoh 4.3 telah ditunjukkan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu grup terhadap

penjumlahan (G,+).

Sekarang akan ditunjukkan sifatkomutatif dari grup tersebut.

G (pada tabel 4.3)Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 dan 5

1 + 5 = 0

5 + 1 = 0

sehingga 1 + 5 = 5 + 1 = 0

karena grup tersebut memnuhi sifat komutatif, maka grup tersebut adalah grup komutatif atau grup

abelian terhadap penjumlahan (G,+)

Ada beberapa sifat dari suatu grup, yang akan dijelaskan dalam teorema berikut ini:

Teorema 4.1

Misalkan (G, .) adalah suatu grup, maka:

a. G maka (a-1)-1 = aJika a

b. G maka (ab)-1 = b-1a-1Jika a, b

Bukti:

1. Dari sifat unsur satuan atau identitas, diketahui a-1 . a = e = a . a-1, maka dapat dikatakan bahwa a

unsure balikan dari a-1 . dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (a-1)-1 = a

2. (ab) (b-1a-1) = ((ab)b-1)a-1 = (a(bb-1))a-1 = (ae)a-1 = aa-1 = e

Dengan cara yang sama didapat :

(b-1a-1) (ab) = b-1(a-1(ab)) = b-1((a-1a)b) = b-1(eb) = b-1b = e

Sehingga dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (ab)-1 = b-1a-1

Dalam operasi penjumlahan (+), teorema tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

Teorema 4.2:

Misalkan (G,+) adalah suatu grup, maka:

a. G, maka -(-a) = aJika a

b. G, maka -(a+b) = (-a) + (-b)Jika a, b

Teorema 4.3:

G, maka:Misalkan (G,.)adalah suatuu grup dan a, b, x

a. Jika xa = xb, maka a = b (penghapusan kiri)

b. Jika ax = bx, maka a = b (penghapusan kanan)

Bukti:

a. Misalkan xa = xb

Maka: x-1(xa) = x-1(xb)

(x-1x) a = (x-1x) b

ea = eb

Sehingga : a = b (penghapusan kiri)

b. Misalkan ax = bx

Maka: (ax)x-1 = (bx)x-1

a (x-1x) = b (x-1x)

ae = be

Sehingga : a = b (penghapusan kanan)

Dalam operasi penjumlahan (+), teorema 4.3 dapat ditulis sebagai berikut:

Teorema 4.4:

G, maka:Misalkan (G,+)adalah suatuu grup dan a, b, x

a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)

b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)

a. Sub Grup

Pada sub pokok bahasan ini akan diperkenalkan subgroup yang merupakan bagian dari grup. Secara

harfiah subgroup dapat diartikan sebagai grup bagian yang mempunyai sifat-sifat dari grup. Adapun

definisinya adalah sebagai berikut:

Definisi 4.5:

G. (H,*) dikatakan subgroup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu grup terhadap operasi yang ada dalam

(G,*).Misalkan (G,*) adalah suatu grup dan H

Dari definisi tersebut dapat diartikan bahwa untuk membuktikan bahwa (H,*) adalah subgroup dari

grup (G,*), harus melalui langkah-langkah sebagai berikut:

a. GHarus ditunjukkan bahwa H

b. harus ditunjukkan bahwa (H,*) merupakan suatu grup

Contoh 4.6:

Dari contoh 4.1, tunjukkan bahwa H = {1} adalah merupakan subgroup dari G = {-1,1} terhadap

perkalian (G, .).

Penyelesian:

G.H = {1} merupakan himpunan bagian dari G = {-1,1}sehingga H

Dari tabel 4.1, akan ditunjukkan H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu grup:

a. Tertutup

H dan 1 . 1 = 1Misalkan 1

H, maka tertutup terhadap Hkarena hasilnya 1

b. Assosiatif

HMisalkan a = 1, b = 1 dan c = 1

(a . b) . c = (1 . 1) . 1 = 1 .1 = 1

a . (b . c) = 1 . (1 . 1) = 1 . 1 = 1

sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1 maka H assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas

HMisalkan 1

1 . e = 1 . 1 = 1

e . 1 = 1 . 1 = 1

sehingga -1 . e = e . -1 = -1

maka H ada unsur satuan identitas atau invers

d. Adanya unsur balikan atau invers

HMisalkan 1

1 . (1)-1 = 1 . = 1 = e

(1)-1 . 1 = . 1 = 1 = e

Sehingga 1 . (1)-1 = (1)-1 . 1 = 1 = e, maka G ada unsur balikan atau invers

Jadi, H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu grup, sehingga (H, .) merupakan subgroup dari (G, .).

Contoh 4.7:

Dari contoh 4.3, tunjukkan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

terhdap penjumlahan (G, +).

Penyelesaian:

G.H = {0, 2, 4} adalah merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} sehingga H

Dari tabel 4.3. akan ditunjukkan H = {0, 2, 4}memenuhi syarat-syarat suatu grup:

a. Tertutup

Ambil sebarang nilai dari H

HMisalkan 0, 2, 4

0 + 0 = 0

0 + 2 = 2

0 + 4 = 4

2 + 2 = 4

2 + 4 = 0

4 + 4 = 2

H, maka tertutup terhadap Hkarena hasilnya 0, 2, 4

b. Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari H

HMisalkan a = 2, b = 2 dan c = 4

(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2

a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2

sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 2 maka H assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari H

HMisalkan 4

4 + e = 4 + 0 = 4

e + 4 = 0 + 4 = 4

sehingga 4 + e = e + 4 = 4

maka H ada unsur satuan identitas atau invers

d. Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari H

HMisalkan 4

4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e

(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e

Sehingga 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e, maka G ada unsur balikan atau invers

Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu grup, sehingga (H, +) merupakan subgroup dari (G,

+).

Contoh 4.8:

Dari contoh 4.3, tunjukkan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2,

3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesaian:

G.H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H

Akan ditunjukkan bahwa H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu grup:

HAmbil sebarang nilai dari H misalkan 2, 3

Dari tabel 4.3. didapat : 2 + 3 = 5

H, sehingga lima tidak tertutup terhadap operasi biner (H,+) maka bukan merupakan subgroup dari G

= {0, 1, 2, 3, 4, 5}. G tetapi 5 5

Contoh 4.9:

G = {-1,1} adalah subgroup dari (Z, .), tetapi bukan merupakan subgroup dari (Z,+) karena operasi di

Z dan di G = {-1.1} tidak sama.

b. Orde suatu Grup

G,a merupakan unsure atau anggota atau elemen dari grup. Unsur dari grup ini dapat membentuk

atau membangun suatu grup, jumlah dari unsure suatu grup atau subgroup tersebut disebut

orde.Misalkan G adalah suatu grup dan a

Definisi 4.6:

tah hingga.G terhingga (finite) dan disebut grup tak hingga bila G. (G,*) disebut grup hingga bila

GMisalkan (G,*) adalah suatu grup. Banyaknya unsure-unsur dari grup (G,*) disebut orde dari grup

(G,*), dilambangkan dengan

Definisi4.7:

Orde dari suatu unsur a dalam suatu grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian

hingga an = e (e = 1, untuk perkalian) na = e (e = 1, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan

seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga.

Contoh 4.10:

Orde dari grup (Z,+) dan (Z, .) adalah tak hingga.

Contoh 4.11:

Orde dari grup G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah 6 dan orde dari subgroup H = {0, 2, 4}adalah 3.

Contoh 4.12:

Tentukan subgroup dari Grup (Z4,+) dan tentukan orde masing-masing subgroup.

Penyelesaian:

= 4Z4Grup Z4 = {0, 1, 2, 3} orde dari

Subgroup dari unsure-unsur Z4 adalah:

Z4}Missal n = 0, 1, 2, 3 dan Ha = {na, n

a = 0

H0 = {0}

= 1H0Sehingga

a = 1

H1 = {1, 2, 3, 0}

= 4H0Sehingga

a = 2

H2 = {2, 0}

= 2H2Sehingga

a = 3

H3 = {3, 2, 1, 0}

= 4H3Sehingga

4.4 Rangkuman

a. Grupid (G,*) dikatakan suatu grup jika memenuhi syarat-syarat:

a. Tertutup

b. Asosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas

d. Adanya unsur balikan atau invers

2. Suatu Grup dikatakan grup komutatif atau grup abelian jika memenuhi syarat-syarat dari grup dan

mempunyai sifat komutatif.

3. (H,*) adalah subgroup dari grup (G,*), harus melalui langkah-langkah sebagai berikut:

a. GHarus ditunjukkan bahwa H

b. harus ditunjukkan bahwa (H,*) merupakan suatu grup

G. (H,*) dikatakan subgroup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu grup terhadap operasi yang ada dalam

(G,*).Dengan kata lain, (G,*) adalah suatu grup dan H

tah hingga.G terhingga (finite) dan disebut grup tak hingga bila G. (G,*) disebut grup hingga bila

G4. Misalkan (G,*) adalah suatu grup. Banyaknya unsure-unsur dari grup (G,*) disebut orde dari grup

(G,*), dilambangkan dengan

5. Orde dari suatu unsur a dalam suatu grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian

hingga an = e (e = 1, untuk perkalian) na = e (e = 1, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan

seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga.

4.5 Soal-Soal Latihan

1. G. Z+} yang didefinisikan operasi biner pada G dengan a * b = a + b + ab, untuk semua a, b

Misalkan G = {x

Tunjukkan apakah (G,*) merupakan suatu grup dan periksa apakah (G,*) juga merupakan grup abelian.

2. Q+ . buktikan apakah operasi biner tersebut merupakan grup da periksa apakah merupakan grup

abelian.Misalkan Q+ adalah bilangan rasional positif, didefinisikan operasi biner a * b = untuk a, b

3. Misalkan g adalah grup matriks 2 x 2 , didefinisikan :

Buktikan G adalah grup abelian terhadap oprasi biner perkalian (G, .)

4. Misalkan (G,+) adalah suatu grup

Buktikan :

i. G a -(-a) = a,

ii. G a, b -(a + b) = (-b) + (-a),

5. GMisalkan (G,+) adalah suatu grup dan a, b, x

Buktikan :

a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)

b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)

6. 0 dan H terhingga. Buktikan bahwa H suatu subgroup dari G jika H tertutup terhadap operasi yang

ada dalam G. G dengan H Misalkan G adalah suatu grup dan H

7. Tentukan subgroup yang dibangun oleh unsure-unsur dari grup(Z9,+) dan tentukan orde dari

masing-masing subgrupnya.

BAB 5

GRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMA

Kompetensi Umum :

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat

Grup, Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma Grup.

Kompetensi Khusus:

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:

1. Memahami dengan baik definisi dari grup siklik

2. Menentukan generator dan orde dari Grup Siklik

3. Memberikan contoh dari Grup Siklik

4. Memahami dengan baik definisi dari Grup Permutasi

5. Memberikan contoh dari Grup Permutasi

6. Memahami dengan baik definisi dari Homomorfisma Grup

7. Memahami dengan baik ketiga-tiga hokum homomorfisma

8. Memberikan contoh dari Homomorfisma Grup

Deskripsi Singkat:

Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dan sifat-sifat atau syarat dalam membentuk suatu

Grup Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma Grup.

a. Grup Siklik

Pada bab 4, telah dibahas mengenai orde dari suatu grup dan subgroup. Pada sub pokok bahasan ini

akan dijelaskan suatu orde dari suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan

(positif atau negatif) atau perkalian dari suatu unsure tetap dari grup tersebut. Grup yang seperti ini

dinamakan grup siklik.

Definisi 5.1: (Terhadap perkalian)

Z}. elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. n G sedemikian hingga G = {an Grup (G,

.) disebut siklik, bila ada elemen a

Definisi 5.2: (terhadap penjumlahan)

Z}. n G sedemikian hingga G = {na Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a

Definisi 5.3:

G, maka generator a yang membangun suatu subgrup [a] dinamakan subgroup siklik dari

(G,*).Misalkan (G,*) adalah suatu grup dan a

Jadi yang dimaksud dengan subgroup siklik yaitu suatu grup yang dibangkitkan oleh suatu unsur.

Definisi 5.4:

G, maka generator a yang membangun suatu subgrup [a] dimana [a] = G, maka subgroup tersebut

dinamakan grup siklik.Misalkan (G,*) adalah suatu grup dan a

Dengan kata lain, grup siklik adalah subgroup yang unsure-unsurnya merupakan unsur-unsur dari grup

itu sendiri. Suatu grup siklik bisa beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan

tak hingga unsur-unsur.

Grup siklik yang beranggotakan banyaknya unsure terhingga dinamakan grup siklik berhingga dan

grup siklik yang beranggotakan banyaknya unsure tak terhingga dinamakan grup siklik tak hingga.

Contoh 5.1:

Misalkan G = {-1,1} adalah suatu grup terhadap operasi perkalian (G, .). Tentukan grup siklik dari grup

tersebut.

Penyelesaian:

Generator dari G = {-1,1} adalah -1 dan 1

[-1] = Z }n {(-1)n

= {(-1)0, (-1)1, (-1)2,…}

= {-1, 1}

[1] = Z }n {(1)n

= {(1)0, (1)1, (1)2,…}

= {1}

Generator -1 adalah membangun suatu grup siklik, sehingga:

[-1] = {-1, 1}

Generator 1 adalah membangun grup siklik, sehingga:

[1] = {1}

Contoh 5.2:

Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu grup terhadap penjumlahan (G,+). Tentukan grup siklik dari

grup tersebut.

Penyelesaian:

Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2, 3

[0] = Z}n {n(0)

= {0}

[1] = Z}n {n(1)

= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, …}

= {0, 1, 2, 3}

[2] = Z}n {n(2)

= {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, …}

= {0, 2}

[3] = Z}n {n(3)

= {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, …}

= {0, 3, 2, 1}

generator 1 dan 3 adalah membangun suatu grup siklik, sehingga :

[1] = [3] = {0, 1, 2, 3}

generator 0 dan 2 adalah membangun subgroup siklik, sehingga :

[0] = {0}

[2] = {0, 2}

Contoh 5.3:

Grup (Z,+) merupakan grup siklik tak hingga yang dibangun oleh 1.

Penyelesaian:

[1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …}

= {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Jadi, 1 merupakan generator yang membentuk grup siklik tak hingga.

Contoh 5.4:

Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah grup bilangan kompleks terhadap perkalian (I4, .). tentukan grup

siklik dari grup tersebut.

Penyelesaian:

Generator dari I4 = {1, -1, i, -i} adalah 1, -1, i, dan –i

[1] = Z }n {(1)n

= {(1)0, (1)1, (1)2,…}

= {1}

[-1] = Z }n {(-1)n

= {(-1)0, (-1)1, (-1)2,…}

= {-1, 1}

[i] = Z }n {(i)n

= {(i)0, (i)1, (i)2, (i)3, (i)4…}

= {1, i, -1, i}

[-i] = Z }n {(-i)n

= {…, (-i)-2, (-i)-1(-i)0, (-1)1, (-1)2,…}

= {1, -i, i, -1}

generator i dan –i adaalh membangun suatu grup siklik, sehingga :

[i] = [-i] = {1, -1, i, -i}

generator 1 dan -1 adalah membangun subgroup siklik, sehingga :

[1] = {1}

[-1] = {1, -1}

Teorema 5.1:

Setiap grup siklik adalah grup abelian.

Bukti:

Z }.n Misalkan (G, .) merupakan grup siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G =

{(a)n

Z. G, sehingga x = am dan y = an , untuk m, n Ambil x, y

x . y = am . an = am+n = an+m = an . am = y . x

Jadi, (G, .) merupakan grup komutatif.

Z }.n Misalkan (G,+) merupakan grup siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G = {na

Z. G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n Ambil x, y

x + y = na + ma = (n + m)a = ma + na = y + x

Jadi, (G,+) merupakan grup komutatif.

Contoh 5.5:

Dari contoh 5.2, tunjukkan bahwa grup siklik tersebut merupakan grup komutatif.

Penyelesaian:

Generator 1 dan 3 adalah membangun suatu grup siklik dari grup G = {0, 1, 2, 3} terhadap

penjumlahan (G,+).

Z. G, sehingga x =na dan y = ma, untuk m, n Misalkan x, y

Ambil n = 1 dan m = 2, dan generator a = 3

x + y = na + ma

= (n + m)a

= 1.3 + 2.3

= (1 + 2).3

= 3.3 = 1

y + x = ma + na

= (m + n)a

= 2.3 + 1.3

= (2 + 1).3

= 3.3 = 1

Jadi, grup siklik G = {0, 1, 2, 3}merupakan grup komutatif.

b. Grup Permutasi

Definisi 5.5:

Suatu pemutasi dari n unsur adalah suatu fungsi bijektif dari himpunan n unsure kehimpunan itu

sendiri.

Untuk memudahkan digunakan bilangan bulat (1, 2, 3, …, n) untuk menyatakan himpunan n unsur.

disajikan :Permutasi

Contoh 5.6 :

(2) = 3.(4) = 5, (3) = 4, (2) = 1, (1) = 2, pemutasi pada himpunan permutasi-permutasi dari

bilangan-bilangan bulat (1, 2, 3, 4, 5) sehingga Misalkan

Ditulis permutasi ini :

pada hasil kalinya). kemudian mengerjakan permutasi , berarti pertama kita mengerjakan

permutasi kali (i)) untuk setiap i = 1, 2, 3, …, n( yaitu ((i) = di definisikan dan adalah dua

permutasi, maka hasil kali dari dan Jika

Contoh 5.7:

dua permutasi yang didefinisikan sebagai berikut : dan Misalkan

dan

Penyelesaian:

, sehingga : kita definisikan komposisi Untuk menentukan

(5) = 3(1)) = ((1) =

(4) = 5(2)) = ((2) =

(3) = 4(3)) = ((3) =

(2) = 1(4)) = ((4) =

(1) = 2(5)) = ((5) =

Jadi

, sehingga : kita definisikan komposisi Untuk menentukan

(2) = 4(1)) = ((1) =

(1) = 5(2)) = ((2) =

(4) = 2(3)) = ((3) =

(5) = 1(4)) = ((4) =

(3) = 3(5)) = ((5) =

Jadi

Definisi 5.6:

Misalkan A adalah suatu himpunan berhingga ari S(A) adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari

himpunan A pada dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan adalah merupakan grup permutasi.

n, adalah n! dan bila nn, o). Order dari S(A) dan himpunan A berhingga. Sebarang himpunan

permutasi-permutasi yang membentuk grup disebut grup permutasi. Grup dari semua permutasi dari

himpunan n unsur disebut grup simetris berderajat n dan dinyatakan dengan ( permutasi dari A jika

dan hanya jika Jadi > n tidak komutatif.2 dimana n bilangan bulat positif, maka

Contoh 5.8:

2 =2 adalah 2! = 2, sehingga Orde grup

Contoh 5.9:

3}, dimana :2, 1, 2, 1, 0, 3 = {3 adalah 3! = 6, sehingga Orde grup ari

1 =0 = dan

2 =1 = dan

3 =2 = dan

Diperoleh tabel komposisi dari grup ini :

Tabel 5.1.

3komposisi grup simetris

O 0 1 2 1 2 3

0 0 1 2 1 2 3

1 1 2 0 3 1 2

2 2 0 1 2 3 1

1 1 2 3 0 1 2

2 2 3 1 2 0 1

3 3 1 2 1 2 0

3 merupakan suatu contoh grup tidak abelian dengan unsure terkecil.3 terdiri dari 6 unsur, sehingga

Grup tersebut tidak komutatif / abelian, dapat dibuktikan bahwa grup yang sebayak-banyaknya terdiri

dari 5 unsur yang abelian. Sedangkan

2 dapat ditafsirkan rotasi searah jarum jam dari segitiga sama sisi meneglilingi titik berat bidang.1,

0, Perhatikan segitaga sama sisi dengan titik sudut 1, 2, 3. unsur-unsur

sebelum rotasi sesudah rotasi

0 : rotasi 00 (3600)

1 : rotasi 1200

2 : rotasi 2400

sebelum pencerminan sesudah pencerminan

0 : pencerminan

1terhadap garis bagi

1 : pencerminan

2terhadap garis bagi

2 : pencerminan

3terhadap garis bagi

3 juga disebut grup simetris segitiga sama sisi dengan lambing D3 yang berarti grup dihedral ketiga.

Grup dihedral ke-n dengan notasi D3 adalah grup simetris segi n yang beraturan.Oleh karena alas an

ini,

Definisi 5.7:

n yang didefinisikan oleh: Bila a1 adalah unsur-unsur yang berbeda dari {1, 2, 3, ,…, n}, permutasi

(ar) = a1(ar-1) = ar, (a2) = a3, …, (a1) = a2,

{a1, a2, …, ar} disebut siklus dari r unsur atau siklus-r.(x) = x bila x dan

Dari definisi tersebut, bila diperhatikan nilai dari n tak muncul dalam notasi siklus, misalnya :

adalah siklus-4

dan

dan

Contoh 5.10:

. o o 4 . Hitunglah = (1 2)o(3 4) sebagai permutasi dalam = (1 3) serta = (1 3 4 2) dan

Tulislah

Penyelesaian:

= (1 3 4 2) =

= (1 3) =

= (1 2) o (3 4) = o =

sehingga

= o o o o

=

= (2 4 3)

3(a),…2(a), terdiri dari unsur yang berbeda a, {1, 2, 3, .., n}, maka orbit atau putaran dari a

didalam n dan a adalah suatu permutasi Suatu permutasi yang tidak siklus dapat dipisahkan

menjadi dua atau lebih siklus. Bila

Permutasi dapat dipisahkan menjadi beberapa orbit yang berbeda, dan tiap-tiap orbit diberikan

sebagai suatu siklus.

=Misalnya

dapat digambarkan oleh gambar berikut: tetap pada mereka. Orbit 6 dan 8 adalah {6, 8}, yang

diberikan oleh siklus-2 yaitu (6 8). Orbit-orbit dari (5) = 1. jadi orbit dari 1 adalah {1, 3, 2, 5} dan juga

merupakan orbit dari 2, 3, dan 5. orbit tersebut diberikan oleh siklus-4 yaitu (1 3 2 5). Orbit dari 4 dan

7 adalah mereka sendiri, karena 4(1) = (2) = 5, dan 3(1) = 2(1) = (0) = 3, Dalam permutasi a,

= (1 3 2 5)o(4)o(6 8)o(7). Dikarenakan tidak ada suatu bilangan yang termasuk ke dalam dua siklus

yang berbeda, maka siklus-siklus tersebutdisebut siklus yang saling lepas(disjount).Dapat kita periksa

bahwa hasil dari

c. Homomorfisma

Sering kita jumpai adanya dua grup yang memiliki struktur yang sama, seperti pada grup multikatif

(perkalian) dari himpunan bilangan kompleks {1, -1, i, -i} dan grup dari matriks-matriks terhadap

perkalian matriks, yang memiliki daftar cayley yang sama atau identik.

Jika himpunan bilangan kompleks kita misalkan sebagai himpunan {e, a, b, c} dan grup dari matriks-

matriks kita misalkan sebagai himpunan {E, A, B, C}, maka daftar cayley dapat kita buat seperti pada

tabel 5.2 dan 5.3.

Tabel 5.2.

Daftar cayley {e, a, b, c}

. E a b c

e e a b c

a a e c b

b B c a e

c C b e a

Tabel 5.3.

Daftar cayley {E, A, B, C}

. E A B C

E E A B C

A A E C B

B B C A E

C C B E A

Dari tabel 5.2. dan 5.3. dapat kita lihat adanya perpadanan satu-satu (1 – 1) antata unsur-unsur dari

grup empat bilangan kompleks {1, -1, i, -i} dan grup matriks sedemikian hingga jika x perpadanan

dengan x’ dan y perpadanan dengan y’ maka xy berpadanan dengan x’y’, dikatakan perpadanan

tersebut sebagai mengawetkan hasilkali.

Dapat disimpulkan dari daftar cayley bahwa kedua grup tersebut struktur-strukturnya memiliki sifat

yang sama atau identik, yang dinamakan isomorfik.

Definisi 5.8:

T disebtu homomorfisma grup, bila : : S Bila (S, .) dan (T, .) adalah merupakan dua grup, maka

fungsi

S a, b (b), (a) . (a.b) =

(T,o) disebtu homomorfisma grup, bila : : (S,*) bila grupgrup-grup tersebut memiliki operasi

berbeda, misalnya (S,*) dan (T,o), maka fungsi

S a, b (b), (a) o (a * b) =

Ada beberapa definisi khusus mengenai homorfisma adalah sebagai berikut :

Definisi 5.9:

a. Monomorfisma adalah suatu homomorfisma grup yang injektif

b. Epimorfisma adalah suatu homomorfisma grup yang surjektif

c. Isomorfisma adalah suatu homomorfisma grup yang bijektif

Definisi 5.10:

Suatu homomorfisma dari suatu grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu endomorfisma dan

suat endomorfisma yang bijektif dinamakan automorfisma.

Contoh 5.11:

Tunjukkan bahwa grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan homomorfisma.

Penyelesaian:

Tabel 5.4.

Daftar cayley grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)

+ 0 1 . -1 1

0 0 1 1 -1

1 1 0 -1 1

Dari tabel 5.4. menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut

menunjukkan kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsure di (Z2,+)

berkorespondensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian (H, .), sehingga terdapat

korespondensi 1 – 1 dari kedua tabel tersebut. Hal ini menunjkkan bahwa kedua grup memiliki struktur

yantg sama. Jadi kedua grup tersebut dikatakan isomorfik.

(1) = -1, sehingga :(0) = 1 dan Z2. Dari table diketahui pemetaan : (Z2,+) (H , .) untuk setiap a, b

Sekarang akan ditunjukkan bahwa pemetaan

(a + b) (b)(a) . =

(0 + 1) (1)(0) . =

(1) = 1 . -1

-1 = -1

: (Z2, +) (H, .) suatu homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan

Isomorfisma.Jadi terbukti bahwa

Contoh 5.12:

(x) = 2x, x Z, adalah suatu Homomorfisma. : Z Z adalah Misalkan (Z, +) adalah grup penjumlahan

dari semua bilangan bulat. Tunjukkan bahwa (Z, +) yang didefinisikan pemetaan

Penyelesaian :

Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma:

Misalkan x,y Z, maka :

(x + y) = 2 (x + y)

= 2x + 2y

(x + y) ( y)(x) + =

adalah suatu Homomorfisma.Sehingga

merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan (kodomain) sama dengan daerah asal

(domain), dengan kata lain pemetaan itu dari suatu Grup ke dalam dirinya sendiri.Dalam hal ini

Homomorfisma

5.4 Rangkuman

1. Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga G = {an │n Z}. Grup (G, +)

disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga G={na │n Z}. Elemen a disebut generator dari

Grup Siklik tersebut.

2. Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, maka generator a yang membangun suatu subgroup [a]

dimana [a] = G, maka Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.

3. Misalkan A adalah suatu himpunan berhingga dan S(A) adalah himpunan semua pemetaan bijektif

dari himpunan A pada dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan adalah merupakan Grup Permutasi.

4. n yang didefinisikan oleh :Bila a1,a2,…ar adalah unsure-unsur yang berbeda dari {1,2,3,…,n},

permutasi

(ar) = a1(ar-1) = ar, (a2) = a3,…, (a1) = a2,

(x) = x bila x { a1,a2,…ar} disebut suatu siklus dari r unsure atau siklus-rDan

5. : S T dari Grup G ke Grup T disebut Homomorfisma Grup, bila :Suatu pemetaan

(b), a, b S (a) . (a . b) =

: (S,*) (T,o) dari grup G ke Grup T disebut Homomorfisma Grup, bila :Suatu pemetaan

(b), a, b S (a) o (a * b) =

6. Suatu Homomorfisma Grup yang injektif disebut Monomorfisma, suatu Homomorfisma Grup yang

surjektif disebut Epimorfisma, dan suatu Homomorfisma Grup yang bijektif disebut Isomorfisma.

7. Suatu Homomorfisma dari suatu Grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan

suatu Endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma.

5.5 Soal-soal Latihan

1. Diketahui matruks M = adalah suatu Grup terhadap perkalian. Tunjukkan apakah (M, .) merupakan

suatu Grup Siklik.

2. Diketahui matriks N= adalah suatu Grup terhadap perkalian. Tunjukkan apakah (N, .) merupakan

suatu Grup Siklik.

3. Buktikan dengan contoh bahwa Subgrup dari Grup Siklik merupakan juga Grup Siklik.

4. = . Tentukan apakah:Diketahui : θ = dan

a. θ = θ

b. θ) θ) θ = θ ((

5. Selidiki apakah himpunan permutasi-permutasi berikut:

a. S=

b. T =

Terhadap operasi perkalian merupakan suatu Grup.

6. Carilah hasil kali dari permutasi-permutasi berikut:

a. (1 4 6 7) o (2 5 3)

b. (1 2 4 5) o (2 3 4)

c. (3 7 2) o (1 5) o (4 2)

7. Carilah orde Grup dari dan tentukan Grup Dihedral D4, dengan gambar dan buatlah table

komposisinya.

8. Dari fungsi f : R R berikut, manakah yang merupakan suatu Isomorfisma dari (R,+) ke (R,+).

a. f(x) =

b. f(x) = 3x – 3

c. f(x) = x3

9. Buktikan bahwa jika (x) = In x, x > 0, x R, maka adalah suatu Isomorfisma dari (R+, +) ke (R,+)

10. Carilah semua Homomorfisma Grup dari :

a. Z ke Z4

b. Z ke D3

BAB 6

GRUP FAKTOR

Kompetensi Umum :

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari

grup faktor.

Kompetensi Khusus :

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat :

a. Menentukan relasi ekuivalen dari Grup

b. Menentukan Koset Kiri dan Koset Kanan dari Grup

c. Menerapkan Teorema Lagrange dalam Grup

d. Memahami dengan baik defenisi dari Subgrup Normal

e. Memahami dengan baik pengertian Grup Faktor

Deskripsi Singkat :

Pada bab 4 telah diperkenalkan konsep tentang subgrup, yaitu suatu himpunan bagian dari suatu Grup

yang merupakan Grup terhadap operasi yang sama, yaitu operasi yang ada dalam Grup tersebut.

Dalam bab ini akan diperkenalkan dengan Subgrup Normal yaitu suatu Subgrup yang mempunyai sifat

tambahan. Gabungan dari koset-koset dari suatu Subgrup Normal dapat membentuk suatu Grup yang

dinamakan Grup Faktor.

6.1 Relasi Ekuivalen

Pada bab 1, telah dijelaskan secara singkat mengenai relasi. Suatu relasi T dari himpunan A ke

himpunan B adalah himpunan bagian dari A X B. bila pasangan (a,b) merupakan anggota dari T, maka

a berelasi dengan b, dan ditulis sebagai aTb. Bila (a,b) bukan merupakan anggota T, maka a tidak

berelasi dengan b dan ditulis a=b.

Relasi-relasi dalam kehidupan sehari-hari misalnya “orang tua dari”, “lebih pintar dari”, “berasal dari

daerah yang sama dengan”. Sedangkan relasi-relasi dalam matematika misalnya “sama dengan”,

adalah anggota dari”, dan “sebangun”. Suatu relasi T dari A ke B mempunyai sifat bahwa untuk suatu

unsur a A dan b B, maka aTb atau a=b.

Suatu fungsi f : A B menunjukkan suatu relasi T dari A ke B yang memberikan aTb yang artinya f (a) =

b. himpunan bagian T dari A X B adalah grafik dari fungsi tersebut. Dengan demikian maka relasi-relasi

adalah keadaan yang umum daripada fungsi-fungsi. Satu unsur dapat berelasi dengan beberapa unsur

atau tidak berelasi sama sekali.

Suatu relasi dari himpunan A ke A sendiri disebut relasi pada A. suatu terurut parsial pada suatu

himpunan, misalnya “<” pada himpunan bilangan-bilangan real, atau “himpunan bagian dari ” pada

suatu himpunan kuasa P(X) adalah relasi pada himpunan-himpunan tersebut. “sama dengan (=)”

adalah relasi pada suatu himpunan S dan didefenisikan oleh himpunan bagian {(a,a), a A} dari AXA.

Suatu relasi ekuivalen adalah relasi yang mempunyai beberapa sifat yang harus dipenuhi, seperti

dalam defenisi berikut:

Defenisi 6.1 :

Suatu relasi T pada himpunan A disebut relasi ekuivalen bila memenuhi sifat-sifat berikut :

a. aTa berlaku a A (sifat Refleksif)

b. aTb maka bTa berlaku a,b A (sifat Simetris)

c. aTb dan bTc, maka aTc berlaku a,b,c A (sifat Transitif)

Bila T adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan A dan a A, maka

[a] = {x A| xTa} disebut kelas ekuivalen yang memuat a. Himpunan dari semua kelas ekuivalen

disebut himpunan faktor dari A oleh T, dan ditulis A/T.

Jadi

A/T = {[a]| aTA}

Suatu koleksi dari himpunan-himpunan bagian tak kosong disebut partisi dari himpunan A bila

gabungan dari himpunan-himpunan bagian tersebut adalah A dan sebarang dua himpuanan bagian

tersebut adalah lepas.

Contoh 6.1 :

Misalkan n adalah bilangan bulat positif, a dan b adalah bilangan-bilangan bulat. Kita katakan bahwa a

kongruen dengan b modulo n, bila n membagi a – b, yang ditulis :

A = b mod n

Himpunan dari kelas-kelas ekuivalen tersebut disebut himounan dari bilangan-bilangan bulat modulo n

dan ditulis dengan zn. tunjukkan bahwa korelasi kongruen modulo n adalah suatu relasi ekuivalen

pada himpunan bilangan bulatz.

Penyelesaian :

A b mod n bila dan hanya bila n | (a-b)

a. Sifat Refleksif

a Z

Bila n | (a-a), ini berarti a a mod n, sehingga aTa

b. Sifat Simetris

a,b Z

Bila n | (a-b), ini berarti a b mod n, sehingga aTb

Bila n | -(a-b)=n | (b-a), ini berarti b a mod n, sehingga bTa

Jadi bila aTb maka bTa

c. Sifat Transitif

a,b,c Z

Bila n | (a-b), ini berarti a b mod n, sehingga aTb

Bila n | (b-c), ini berarti b c mod n, sehingga bTc

Bila n | (a-b) + (b-c) = n | (a-c), ini berarti a b mod n, sehingga aTc

Jadi, bila aTb dan bTc, maka aTc

Jadi kongruensi modulo n adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan Z.

Di dalam relasi kongruensi modulo 2, mempunyai kelas-kelas ekuivalen sebagai berikut :

[0] = {…, -2, 0, 2, 4, 6, …} [2] = {…, 0, 2, 4, 6, 8, …} = [0]

[1] = {…, -1, 1, 3, 5, 7, …} [2] = {…, 1, 3, 5, 7, 9, …} = [1]

Suatu kelas ekuivalen pada bilangan bulat modulo 2 haruslah satu diantara [0] atau [1], dan Z2 = {[0],

[1]}

Suatu kelas ekuivalen pada bilangan bulat modulo n adalah Zn = {[0], [1], [2], …, [n – 1]}, merupakan

kongruen n dengan sisa pembagian n.

Salah satu himpunan dari kelas-kelas ekuivalen yang termasuk ke dalam sederhana (dasar) adalah

himpunan bilangan-bilangan rasional, misalkan dan merupakan bilangan rasional yang sama. Pada

konsep dari kelas ekuivalen didefenisikan relasi T pada Z X Z* (dengan Z* = Z – {0}) oleh (a,b)T(c,d)

bila dan hanya bila ad = bc. Relasi tersebt adalah relasi ekuivalen pada Z X Z*, dan kelas-kelas

ekuivalen tersebut ditulis [(a,b)] oleh . Jadi (1,2)T(2,4), maka = .

6.2 Koset dan Teorema Lagrange

Pada sub bab 6.1 dijelaskan bahwa relasi kongruensi modulo n pada himpunan bilangan bulat Z dapat

didefenisikan oleh a b mod n bila dan hanya bila a – b nZ, dimana nZ adalah dubgrup dari Z yang

memuat semua bilangan bulat yang merupakan kelipatan dari n.

Pada sub bab ini, akan dibahas mengenai konsep relasi ekuivalen dan kekongruenan yang

didefenisikan ke dalam suatu Grup dengan modulonya salah satu dari Subgrupnya.

Definisi 6.2 :

Misalkan (G,*) adalah suatu grup dan H suatu Subgrup dari G. untuk a,b G, dikatakan bahwa a

kongruen dengan b modulo H, dan ditulis a b mod n, bila dan hanya bila ab-1 H.

Pada definisi berikut ini akan dijelaskan mengenai koset kiri dan koset kanan.

Definisi 6.3 :

Relasi a b mod H adalah suatu relasi euivalen pada G. kelas ekuivalen yang memuat a dapat ditulis

sebagai bentuk Ha= {ha, h H} disebut koset kanan dari H dalan G bila aH = {ah, h H} disebut koset

kiri dari H dalam G. Unsur a disebut generator dari koset tersebut.

Contoh 6.2 :

Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu grup dan H = {0,2} adalah merupakan Subgrup dari G. tentukan

koset kiri dan koset kanan dari H dalam G.

Penyelesaian :

(G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2, dan 3

Koset kiri : 0 + H = 0 + {0,2} = {0,2}

1 + H = 1 + {0,2} = {1,3}

2 + H = 2 + {0,2} = {2,1}

3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}

Koset kanan : H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2}

H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3}

H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0}

H + 3 = {0,2} + 3 = {3,1}

Sehingga :

0 + H = H + 0 = {0,2}

1 + H = H + 1 = {1,3}

2 + H = H + 2 = {2,0}

3 + H = H + 3 = {1,3}

Maka koset kiri = koset kanan

Contoh 6.3 :

Misalkan 3Z adalah merupakan Subgrup dari z. tentukan koset kiri dan koset kanan dari 3Z dalam Z.

Penyelesaian :

Kita akan selidiki koset kiri dan koset kanan terhadap operasi penjumlahan dan operasi perkalian.

Diketahui ;

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …)

3Z = {…, -6, -3, 0, 3, -6, …)

a. Terhadap operasi penjumlahan

Koset kiri :

-2 + 3Z = {…, -8, -5, -2, 1, 4, …}

-1 + 3Z = {…, -7, -4, -1, 2, 5, …}

0 + 3Z = {…, -6, -3, -0, 3, 6, …}

-1 + 3Z = {…, -5, -2 1, 4, 7, …}

-1 + 3Z = {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}

Koset kanan :

3Z + (-2) = {…, -8, -5, -2, 1, 4, …}

3Z + (-1) = {…, -7, -4, -1, 2, 5, …}

3Z + 0 = {…, -6, -3, -0, 3, 6, …}

3Z + 1 = {…, -5, -2 1, 4, 7, …}

3Z + 2 = {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}

Koset kiri = Koset kanan

b. Terhadap operasi perkalian

Koset kiri :

-2 . 3Z = {…, 12, 6, 0, -6, -12, …}

-1 . 3Z = {…, 6, 3, 0, -3, -6, …}

0 . 3Z = {0}

1 . 3Z = {…, -6, -3, 0, 3, 6, …}

2 . 3Z = {…, -12, -6, 0, 6, 12, …}

Koset kanan :

3Z . (-2) = {…, 12, 6, 0, -6, -12, …}

3Z . (-1) = {…, 6, 3, 0, -3, -6, …}

3Z . 0 = {0}

3Z . 1 = {…, -6, -3, 0, 3, 6, …}

3Z. 2 = {…, -12, -6, 0, 6, 12, …}

Koset kiri = Koset kanan

Contoh 6.4 :

Misalkan G3 adalah suatu Gruo dalam terhadap perkalian dan H = {(1), (1 2 3),

(1 3 2)} adalah Subgrupnya. Carilah koset kiri dan koset kanan dengan generator a = (1 2).

Penyelesaian :

Diketahui :

H = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}

a

Koset kiri :

= {(1 2), (2 3), (1 3)}

Koset kanan :

Jadi koset kiri = koset kanan

Dari contoh – contoh tersebut, ternyata bahwa setiap koset mempunyai unsur-unsur yang sama

banyaknya. Akan kita gunakan hasil tersebut untuk membuktikan teorema yang terkenal dari Joseph

Lagrange (1736-1813).

Teorema 6.1 (Teorema Lagrange)

Bila G adalah suatu Grup terhingga dan H Subgrup dari G, maka |H| membagi |G|.

Bukti :

Misalkan koset-koset kiri dari H dalam G membentuk partisi dari G, sehingga G dapat ditulis sebagai

gabungan dari koset-koset yang lepas (disjoint) sebagai berikut :

G = a1H a2H a3H … akH

Untuk suatu himpunan terhingga dengan unsur-unsur a1, a2, a3, …, ak G. |H| adalah sebagai

banyaknya unsur-unsur dalam tiap-tiap koset.

Jadi, jumlah semua unsur dalam gabungan ;

G = a1H a2H a3H … akH = |G| = k |G|

Oleh karena itu, |H| membagi |G|.

Dengan kata lain, koset-koset dapat membentuk partisi artinya gabungan dari koset-koset itu dapat

membentuk Grup itu sendiri dan interaksi dari kedua koset tersebut dapat membentuk himpunan

kosong.

Contoh 6.5 :

Dalam contoh 6.2, G = Z, = {0, 1, 2, 3,} dan H = {0, 2}

Misalkan kita ambil koset kiri :

0 + H = {0, 2}

1 + H = {1, 3}

2 + H = {0, 2}

3 + H = {1, 3}

Maka : 0 + H = 2 + H = {0, 2}

1 + H = 3 + H = {1, 3}

Sehingga :

(0 + H) (1 + H) = {0,1,2,3} = G

(0 + H) (1 + H) = ={ }

Definisi 6.4 :

Bila H adalah Subgrup G, maka banyaknya koset yang berbeda dari H dalam G disebut indeks dari H

dalam G, dan ditulis :

Ind |G:H|

Definisi 6.5 :

Bila G adalah suatu Grup terhingga dan H adalah merupakan subgrup dari G, maka :

Ind |G : H| =

Definisi 6.6 :

Bila a suatu unsur dari Grup terhingga, maka a|G| = e

Definisi berikut merupakan akibat langsung dari pembuktian teorema Lagrange.

Fungsi teorema Lagrange salah satunya adalah untuk mencari banyaknya koset relatif yang ada pada

Subgrupnya. Seperti akan diperlihatkan pada contoh berikut ini.

Contoh 6.6 :

Dalam contoh 2, G = Z4 = {0, 1, 2, 3} dan H = {0,2}

Indeks dari H dalam G adalah

Ind |G : H| =

6.3 Subgrup Normal dan Grup Faktor

Pada sub bab ini akan dibahas mengenai himpunan faktor yang merupakan suatu Grup dengan

perkalian yang didefenisikan dalam G. misalkan G adalah merupakan suatu Grup dengan H adalah

Subgrup dari G dan relasi a b mod H adalah suatu relasi ekuivalen pada G. akan kita tunjukkan

himpunan faktor yang merupakan suatu Grup dengan perkalian yang diddifinisikan dalam G berlaku

bila dan hanya bila koset kiri dari H dalam G aH = {ah, h H}.

Definisi 6.7 :

Misalkan H adalah suatu Subgrup dari Grup G, Subgrup H dikatakan subgrup Normal dari G g-1hg H

untuk setiap g G dan h H.

Definisi 6.8 :

Misalkan H adalahsuatu Subgrup Normal dari Grup G, maka setiap koset kiri dari H dalam G juga

merupakan koset kanannya (aH=Ha).

Dari definisi tersebut dapat dikatakan untuk menentukan bahwa suatu Subgrup H adalah Subgrup

Normal dari Grup G, maka harus dibuktikan bahwa koset-koset kiri dari H dalam G sama dengan koset-

koset kanan dari H dalam G (aH = Ha).

Jika H adalah merupakan Subrup Normal dari Grup (G,*) dan G/N adalah himpunan semua koset-koset

kiri atau koset-koset kanan dari N dalam G, yang didefinisikan :

(gH)*(nH) = (g*n)H

Dari penjelasan tersebut, maka adapun definisi dari grup faktor adalah sebagai berikut :

Definisi 6.9 :

Bila H adalah Subgrup Normal dari Grup (G,*), himpunan dari koset-koset

G/H = {H*g | g G} membentuk Grup (N/G,*) yang didefinisikan oleh

H(g1)* H(g2) = H(g1* g2), disebut Grup Faktor G oleh H.

Orde dari grup Faktor (G/N,*) adalah banyaknya koset-koset dari N dalam G, sehingga :

Ind |G/N| = Ind |G:H| =

Contoh 6.7 :

Misalkan (G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup dan H = {0, 2, 4} adalah merupakan

Subgrup dari G. tentukan Grup Faktor dari G oleh H, yaitu (G/H).

Penyelesaian :

Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa Grup tersebut merupakan Subgrup Normal, dimana koset kiri

sama dengan koset kanan.

(G,+) = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, generatornya 0, 1, 2, 3, 4, dan 5

Koset kiri :

0 + H = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4}

1 + H = 1 + {0, 2, 4} = {1, 3, 5}

2 + H = 2 + {0, 2, 4} = {2, 4, 0}

3 + H = 3 + {0, 2, 4} = {3, 5, 1}

4 + H = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2}

5 + H = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3}

Koset kanan

H + 0= {0, 2, 4} + 0= {0, 2, 4}

H + 1= {0, 2, 4} + 1= {1, 3, 5}

H + 2= {0, 2, 4} + 2 = {2, 4, 0}

H + 3= {0, 2, 4} + 3= {3, 5, 1}

H + 4= {0, 2, 4} + 4 = {4, 0, 2}

H + 5= {0, 2, 4} + 5= {5, 1, 3}

Sehingga :

0 + H = H + 0= {0, 2, 4}

1 + H = H + 1= {1, 3, 5}

2 + H = H + 2= {2, 4, 0}

3 + H = H + 3= {3, 5, 1}

4 + H = H + 4= {4, 0, 2}

5 + H = H + 5= {5, 1, 3}

Maka : Koset Kiri = Koset Kanan

Sehingga : Subgrup dari H = {0,2} merupakan Subgrup Normal

Sekarang kita akan menentukan Grup Faktor G oleh H yang dibentuk dari Subrup Normal tersebut :

Ind |G/N| = Ind |G:H| =

Unsur-unsur dari grup Faktor tersebut adalah 2

Misalkan kita ambil korset kiri :

0 + H = {0, 2, 4}

1 + H = {1, 3, 5}

2 + H = {2, 4, 0}

3 + H = {3, 5, 1}

4 + H = {4, 0, 2}

5 + H = {5, 1, 3}

Maka :

0 + H = 2 + H = 4 + H = {0, 2, 4}

1 + H = 3 + H = 5 + H = {1, 3, 5}

Unsur-unsur dari Grup Faktor tersebut adalah 2 :

0 + H = {0, 2, 4}

1 + H = {1, 3, 5}

Adapun daftar Cayley dari Grup Faktor tersebut adalah :

Tabel 6.1

Grup Faktor dari G = Z4 oleh H = {0,2,4}

+ H 1 + H

H H 1 + H

1 + H 1 + H H

BAB 7

RING (GELANGGANG)

Kompetensi Umum :

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat

suatu Ring, Integral Domain, dan Field.

Kompetensi Khusus:

Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:

a. Memahami definisi dari Ring, Ring Komutatif, Ring dengan unsur kesatuan.

b. Memberikan contoh struktur aljabar dengan dua operasi biner yang berupa Ring maupun tidak.

c. Memahami definisi dari Integral Domain

d. Memberikan contoh Ring tanpa pembagi nol (Integral Domain) dan Ring dengan pembagi nol

e. Memahami definisi dari Field

f. Memberikan contoh Field

Deskripsi Singkat:

Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang memenuhi du operasi biner terhadap penjumlahan dan

perkalian. Dalam bab ini akan dibahas sifat-sifat Ring, Integral Domain dan Field.

7.1 Sifat-Sifat Ring

Pada bab terdahulu telah dibicarakan mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan

kosong dengan satu operasi biner yaitu terhadap penjumlahan (aditif) atau terhadap perkalian

(multiplikatif) yang disebut grup.

Misalkan kita pandang suatu bilangan bulat Z sebagai suatu Grup (Z, +) dan himpunan bilangan bulat

yang tidak sama dengan nol Z’ sebagai monoid (Z’, .), tetapi kedua struktur tersebut mengabaikan

relasi antara penjumlahan (+) dan perkalian ( . ), misalkan kita ketahui bahwa perkalian tersebut

distributif terhadap penjumlahan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai struktur aljabar yang terdiri

dari satu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yaitu terhadap penjumlahan dan perkalian,

struktur aljabar ini disebut dengan Ring (Gelanggang). Untuk lebih jelasnya dalam definisi berikut:

Definisi 7.1:

Suatu Ring (R,+,.) adalah suatu himpunan tak kosong dengan operasi biner penjumlahan (+) dan

Perkalian(.) pada R yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

a. Terhadap penjumlahan (+)

(R,+) merupakan suatu Grup Komutatif dengan sifat-safat sebagai berikut:

1. Tertutup

R a+b = c, c R Misalkan a, b

2. Assosiatif

(a+b) + c = a + (b+c) R Misalkan a,b,c

3. Adanya unsur satuan atau identitas

a+e = e+a = a R Misalakn a

4. Adanya unsur balikan atau invers

a+ (-a) = (-a) + a = e = 0 R Misalkan a

5. Komutatif

b+a = a+b R Misalkan a, b

b. Terhadap perkalian (.)

Untuk (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid (beberapa penulis buku mengatakan bahwa di dalam

suatu ring tidak perlu mempunyai identitas terhadap perkalian), dengan sifat-sifat sebagai berikut:

1. Tertutup

R a.b = c, c R Misalkan a,b

2. Assosiatif

(a.b).c = a.(b.c) R Misalkan a,b,c

3. Adanya unsur satuan atau identitas

a.e = e.a = aR Misalkan a

c. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

a . (b+c) = (a.b) + (a.c) dan (a+b).c = (a.c) + (b.c) R Misalkan a,b,c

Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa struktur aljabar dengan dua operasi biner (R, +, .)

dikatakan suatu Ring (Gelanggang) bila:

1. (R, +) merupakan suatu Grup Komutatif

2. (R, .) merupakan suatu Semigrup/ Monoid

(catatan : Beberapa penulis buku mengatakan bahwa di dalam suatu Ring tidak perlu mempunyai

identitas terhadap perkalian)

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Sebagai catatan yang perlu diingat pada konsep Ring bahwa notasi untuk kedua operasi tersebut

boleh apa saja, misalkan (R,+,o) ataupun (R,+,*) ataupun yang lainnya. Kita juga bebas menamakan

mana yang merupakan operasi yang pertama ataupun mana operasi yang kedua, asalkan operasi

biner tersebut memenuhi syarat-syarat suatu Ring.

Contoh 7. 1:

Tunjukkan bahwa Z4 adalah merupakan suatu ring

Penyelesian:

Tabel 7.1

Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)

+ 0 1 2 3 . 0 1 2 3

0 0 1 2 3 0 0 0 0 0

1 1 2 3 0 1 0 1 2 3

2 2 3 0 1 2 0 2 0 2

3 3 0 1 2 3 0 3 2 1

Dari tabel 7.1. Akan ditunjukkan bahwa Z4 = merupakan suatu ring bila memenuhi:

1. Grup komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +)

• Tertutup

Z4Ambil sebarang nilai dari Z4 misalkan 0,1,2,3

1 + 0 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

1 + 3 = 0

tertutup terhadap Z4 Z4 Karena hasilnya 0, 1, 2, 3

• Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari Z4

Z4Misalkan a = 2, b=1, dan c=3

(a+b) + c = (2+1) + 3 = 3 + 3 = 2

a + (b+c) = 2 + (1+3) = 2 + 4 = 6

Z4 assosiatifsehingga: (a+b) + c = a + (b+c)

• Adanya unsur satuan atau identitas

Z4Ambil sebarang nilai Z4, misalkan 3

3+e = 3 + 0 = 3

e+3 = 0 + 3 = 3

Z4 ada unsur satuan atau identitassehingga: 3+e = e+3 = 3

• Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari Z4

a + (-a) = (-a) + a = e = 0

0 + 0 = 0

1 + 3 = 0

2 + 2 = 0

3 + 1 = 0

Z4 ada unsur balikan atau invers

• Komutatif

Ambil sebarang nilai dari Z4

Misalkan a = 2, b = 3 Z4

(a + b) = (2 + 3) = 1

(b + a) = (3 + 2) = 1

Sehingga:

(a + b) = (b + a) = 1

Maka Z4 komutatif

Jadi, Z4 = merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)

2. Monoid terhadap perkalian (Z4, .)

• Tertutup

Ambil sebarang nilai dari Z4

Z4Misalkan 0, 1, 2, 3

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

1 . 2 = 2

1 . 3 = 3

Z4, maka Z4 tertutupKarena hasilnya 0, 1, 2, 3

• Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari Z4

Z4Misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3

(a.b).c = (2.1).3 = 2.3 = 2

a.(b.c) = 2.(1.3) = 2.3 = 2

Z4 assosiatifsehingga: (a.b).c = a.(b.c) = 2

• Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari Z4

Z4Misalkan 3

3 . e = e . 3

3 . 1 = 1 . 3

3 = 3

Z4 ada unsur satuan atau identitas

Jadi, Z4 = Monoid terhadap perkalian (Z4, .)

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Ambil sebarang nilai dari Z4

Z4Misalkan a = 2, b = 1, c = 3

a.(b+c) = 2.(1+3) (a.b)+(a.c) = (2.1) + (2.3)

= 2.0 = 2 + 6

= 0 = 0

Maka, a.(b+c) = (a.b) + (a.c) = 0

(a+b).c = (2+1).3 (a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)

= (3).3 = 2+3

= 1 = 1

Maka, (a+b).c = (a.c) + (b.c) = 1

Jadi, Z4 = distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Karena Z4 memenuhi semua aksioma yang ada maka Z4 adalah suatu Ring

(Z4, +, .)

Contoh 7.2:

Misalkan R = , (R, +, .) bukan merupakan suatu Ring karena tidak tertutup terhadap operasi

penjumlahan.

Contoh 7.3:

Misalkan R = , (R, +, .) bukan merupakan suatu Ring karena tidak tertutup terhadap operasi

penjumlahan, tetapi Z2 = , (Z2, +, .) merupakan suatu Ring karena tertutup terhadap operasi

penjumlahan dan memenuhi sifat-sifat dari Ring.

Suatu Ring dikatakan komutatif / abelian bila pada operasi perkalian (multiplikatif) terpenuhi sifat

komutatifnya. Secara singkat akan dijelaskan syarat dari Ring Komutatif pada definisi berikut:

Definisi 7.2:

Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R, +,.) dikatakan suatu ring (gelanggang) komutatif

(abelian) bila:

1. (R.+) merupakan suatu grup komutatif

2. (R,.) merupakan suatu semigrup / monoid komutatif

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Jadi, pada Ring komutatif (R,.) yang merupakan suatu semigrup atau monoid harus memenuhi sifat-

sifat komutatifnya, yaitu:

R a,b a.b = b.a,

Contoh 7.4:

Dari contoh 7.1, ditunjukkan bahwa Ring (Z, +, .) merupakan suatu Ring Komutatif.

Penyelesaian:

Dari contoh 7.1, telah ditunjukkan bahwa Z4 = adalah suatu Ring (Z4, +, .).

Sekarang akan ditunjukkan sifat komutatif dari Ring tersebut.

a.b = b . a,

ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 (pada table 7.1)

2 . 3 = 2

3 . 2 = 2

Sehingga 2 . 3 = 3 . 2 = 2

Karena Ring (Z4, +, .) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4, +,.) tersebut adalah Ring

Komutatif atau Ring Abelian.

Contoh 7.5:

Misalkan P = dan P Z. Tunjukkan bahwa elemen-elemen bilangan “genap” dan “ganjil” afdalah suatu

Ring Komutatif.

Penyelesaian:

Tabel 7.2

Daftar Cayley ( , +) dan ( ,.)

+ Genap ganjil . genap ganjil

genap Genap ganjil genap genap genap

ganjil Ganjil genap ganjil genap ganjil

Dari tabel 7.2 akan ditunjukkan bahwa P = merupakan suatu Ring Komutatif bila memenuhi:

1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)

• Tertutup

Ambil sebarang nilai dari P

Misalkan genap, ganjil P

genap + genap = genap

genap + ganjil = ganjil

ganjil + ganjil = genap

karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P

• Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari P

Misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P

(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil

a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil

sehinggga :

(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil

Maka P assosiatif

• Adanya unsur satuan dan identitas

Ambil sebarang nilai dari P

Misalkan genap Z4

genap + e = genap + 0 = genap

e + genap = 0 + genap = genap

sehingga:

genap + e = e + genap = genap

maka P ada unsur satuan atau identitas

• Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari P

Misalkan genap Z4

genap + (-genap) = genap – genap = 0 = e

(-genap) + genap = – genap + genap = 0 = e

Sehingga:

genap + (-genap) = (-genap) + genap = 0 = e

maka P ada unsur balikan atau invers

• Komutatif

Ambil sebarang nilai dari P

Misalkan a = genap, b = ganjil P

(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil

(b + a) = (ganjil + genap) = ganjil

Sehingga:

(a + b) = (b + a) = ganjil

Maka P komutatif

Jadi, P = merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+).

2. Monoid terhadap perkalian (P, .)

• Tertutup

Ambil sebarang nilai dari P

Misalkan genap dan ganjil P

genap . ganjil = genap

genap . genap = genap

ganjil . ganjil =ganjil

karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P

• Assosiatif

Ambil sembarang nilai dari P

Misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P

(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap

a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap

sehingga:

(a . b) . c = a . (b . c) = genap

Maka P Assosiatif

• Adanya unsur satuan atau identitas

Ambil sebarang nilai dari P

Misalkan genap Z4

genap . e = genap . 1 = genap

e . genap = 1 . genap = genap

sehingga:

genap . e = e . genap = genap

maka P ada unsur satuan atau identitas

• Komutatif

Ambil sebarang nilai dari P

Misalkan a = genap, b = ganjil P

(a . b) = (genap . ganjil) = genap

(b . a) = (ganjil . genap) = genap

Sehingga:

(a . b) = (b . a) = genap

Maka P Komutatif

Jadi, P = merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P, .).

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Ambil sebarang nilai dari P

Misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P

a.(b + c) = genap . (ganjil + genap)

= genap . (ganjil)

= genap

(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)

= genap + genap

= genap

Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap

(a + b). c = (genap +ganjil). genap

= (ganjil) . genap

= genap

(a.c) + (a.b) = (genap.genap) + (ganjil.genap)

= genap + genap

= genap

Maka, (a + b). c = (a.c) + (a.b) = genap

Jadi, P = distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Karena P = memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,

+, .).

Telah kita ketahui bahwa suatu Ring merupakan Grup Komutatif terhadap Penjumlahan. Balikan suatu

unsur terhadap operasi penjumlahan dinamakan lawan atau invers aditif yang dinyatakan dengan

tanda (-). Jadi yang dimaksud dengan –a adalah invers aditif dari a. Misalkan unsur a ditambah invers

aditif dari b, yaitu –b, maka ditulis a + (-b) atau a – b.

Teorema 7.1:

Dalam suatu Ring berlaku sifat-sifat:

1. a.0 = 0.a = 0

2. a.(-b) = – (a.b) = (-a).b

3. –(-a) = a

4. –(a+b) = (-a)+(-b)

5. a.(b-c) = a.b – a.c

6. (a-b).c = a.c – b.c

7. (-1).a = -a

8. (-a).(-b) = a.b

7.2 Integral Domain (Daerah Integral)

Salah satu sifat yang banyak digunakan dari sistem bilangan-bilangan yang telah kita kenal adalah

bahwa bila ab = 0, maka a = 0 atau b = 0. Sifat tersebut menyatakan bahwa hukum kensel berlaku

untuk unsur-unsur (elemen-elemen) yang bukan unsur nol, karena bila ab = ac dan a 0, maka a(b – c)

= 0 dan diperoleh b = c.

Definisi 7.3:

R sedemikian hingga a.b=0R disebut pembagi nol bila ada unsure yang bukan nol bBila (R,+,.)

adalah suatu Ring komutatif, suatu unsur bukan nol a

R 0 R disebut pembagi nol di R bila a.b = 0 untuk suatu unsur b 0 Dengan kata lain suatu

unsure a

Definisi 7.4:

Suatu ring komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol disebut integral domain (daerah integral).

b=0) a=0 (a.b=0

Definisi 7.5:

Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,.) dikatakan suatu integral domain (daerah

integral) bila:

1 (R,+) merupakan grup komutatif

2 (R,.) merupakan semigrup / monoid komutatif

3 Tidak ada pembagi nol

RMisalkan a,b

b=0 a=0 a.b = 0

4 Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Contoh 7.6 :

Dari soal 7.5, P = adalah suatu Ring Komutatif. Akan ditunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut

adalah Integral Domain.

Penyelesaian:

Diketahui P = adalah suatu Ring Komutatif

Syarat dari Integral Domain adalah Ring komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata

lain:

a.b = 0, untuk a = 0 atau b= 0

Misalkan:

X = adalah himpunan bilangan ganjil dan

Y = adalah himpunan bilangan genap.

Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan genap

ada unsur nol.

Jadi dapat disimpulkan bahwa P = merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0, atau b = 0, .

Contoh 7.7:

R. Tunjukkan bahwa b=co, serta b,c Jika R adalah suatu daerah integral dan ab = ac untuk a

Penyelesaian:

ab = ac, maka:

ab-ac = 0

a (b-c) = 0

0, maka:karena R adalah integral domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a

b-c = 0

jadi b=c

7.3 Field (Lapangan)

Z, maka 3a = 3b menghasilkan a = b, tetapi tidak setiap unsur Z dapat dibagi 3.Pada umumnya di

dalam suatu Ring, penjumlahan, pengurangan dan perkalian terhadap unsur suatu Ring akan diperoleh

hasil, tetapi untuk pembagian tidak selalu iperoleh hasil. Di dalam Integral Domain, unsur-unsurnya

dapat dikensel tetapi tidak selalu diperoleh hasil bila dibagi dengan unsur yang bukan nol. Misalkan,

bila a,b

Ada suatu sistem bilangan-bilangan yang selalu diperoleh hasil bila dibagi unsur yang bukan nol, yang

disebut Field (lapangan).

Definisi 7.6:

Field adalah suatu ring yang unsur-unsur bukan nolnya membentuk grup komutatif / abelian tyerhadap

perkalian. Dengan kata lain suatu field adalah ring komutatif yang mempunyai unsure balikan / invers

terhadap perkalian.

Definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+,.)

dikatakan Field bila:

1. (R,+) merupakan suatu grup komutatif

2. (R,.) merupakan suatu grup komutatif

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

Jadi untuk menunjukkan bahwa suatu Ring adalah Field harus kita buktikan Ring itu komutatif dan

punya unsur balikan atau inversterhadap perkalian. Atau kita tunjukkan R merupakan suatu Grup

Komutatif terhadap penjumlahan.

Contoh 7.9:

adalah suatu ring komutatif. Akan ditunjukkan bahwa ring komutatif tersebut adalah field.genap,

ganjilDari soal 7.5, P =

Penyelesaian:

adalah suatu ring komutatifgenap, ganjilDiketahui P =

Syarat field adalah ring komutatif yang mempunyai unsure balikan atau invers terhadap perkalian,

dengan kata lain:

a.a-1 = a-1.a=1 P, a-1 P, a

Misalkan:

Pa = genap

a.a-1 = genap.(genap)-1

= genap .

= 1

a-1.a = (genap)-1 . genap

= . genap

= 1

Pa merupakan Field, karena a.a-1=a1.a = 1, genap,ganjilJadi dapat disimpulkan bahwa P =

Z, adalah suatu ring komutatif yang juga merupakan integral domain (daerah integral ) dan juga

merupakan Field (lapangan). dimana P genap, ganjilDari contoh 7.5, dapat kita disimpulkan bahwa

P =

7.4 Rangkuman

1. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R, +, .) dikatakan suatu Ring (gelanggang) bila:

• (R, +) merupakan suatu Grup Komutatif

• (R, .) merupakan suatu Semigrup / Monoid

• Distributif perkalian terhadap penjumlahan

2. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R, +, .) dikatakan suatu Ring (Gelanggang)

Komutatif bila:

• (R, +) merupakan suatu Grup Komutatif

• (R, .) merupakan suatu Semigrup / Monoid

• Distributif perkalian terhadap penjumlahan

3. Bila (R, +, .) adalah suatu Ring Komutatif, suatu unsur bukan nol a R disebut pembagi nol bila ada

unsur yang bukan nol b R sedemikian hingga a.b = 0.

4. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R, +,.) dikatakan suatu Integral Domain (Daerah

Integral) bila:

• (R, +) merupakan suatu Grup Komutatif

• (R, .) merupakan suatu Semigrup / Monoid komutatif

• Tidak ada pembagi nol

• Distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R, +, .) dikatakan suatu Field (Lapangan) bila:

• (R, +) merupakan suatu Grup Komutatif

• (R, .) merupakan suatu Grup Komutatif

• Distributif perkalian terhadap penjumlahan

7.5 Soal-Soal Latihan

1. Tunjukkan bahwa bilangan bulat (Z, +, .) adalah merupakan suatu Ring Komutatif, dengan

penjumalahan dan perkalian pada kelas-kelas kongruensi modulo n yang didefinisikan oleh [x] + [y] =

[x + y] dan [x].[y] = [x.y].

2. Misalkan (R, +, .) didefinisikan operasi dan pada R sebagai berikut:

a b = a + b + 1 dan a b = ab + a + b.

Tunjukkan apakah merupakan suatu Ring Komutatif.

3. Tunjukkan bahwa (Q( ), +, .) adalah Ring Komutatif dengan Q( ) = .