www.briliantprivate.co.cc Page 1

www.briliantprivate.co.cc Page 2

JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

(TRIGONOMETRI)

PENDAHULUAN

Sudut-sudut Istimewa :

x 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330

sin ox

cos ox

tg ox

1. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

1.1 Rumus cos (α β± )

Y

Jika jari-jari lingkaran = 1, maka :

α B OA = OB = 1

A Koordinat A( cos ,sin )α α = A ( 11, yx )

β Koordinat B( cos ,sin )β β = B ( 22 , yx )

O X ∠ =AOB .......

Pada segitiga ABO berlaku :

Dengan menggunakan rumus jarak :

AB x x y y2

2 1

2

2 1

2= − + −( ) ( )

= (........... ..........) (........... ...............)− + −2 2

= ......

= .....

= .....

AB2 2 2= − +(................................ .................................) ......(1)

Dengan menggunakan Aturan Cosinus :

AB OA OB OA OB AOB2 2 2 2= + − ∠. cos = ........

= .......... ........(2)

Dari (1) dan (2) disimpulkan :

cos( ) ..........α β− =

cos( ) cos( ( ))α β α β+ = − −

Karena sin (− = −β β) sin dan cos( ) cos− =β β , maka :

cos( ) ..........α β+ =

www.briliantprivate.co.cc Page 3

Contoh 1: Tentukan nilai cos 15o !

Jawab : cos 15o = ……………

1.2 Rumus sin( )α β±

Karena cos( ) sin90o − =α α dan sin( ) cos90o − =α α , maka :

sin( ) cos( ( ))α β α β+ = − +90o

= cos( ) )90o − −α β

= .....

sin( ) ............α β+ =

sin( ) sin( ( ))α β α β− = + −

= .....

= .....

sin( ) ............α β− =

Contoh 2: Tentukan sin 165o

Jawab : sin 165o = …………..

1.3 Rumus tg( )α β±

Karena tgαα

α=sin

cos, maka:

tg( )sin( )

cos( )α β

α β

α β+ =

+

+

= ......

Jika pembilang dan penyebut dibagi cos cosα β , maka :

= ......

tg( ) .........α β+ =

tg tg( ) ( ( ))α β α β− = + −

= .....

www.briliantprivate.co.cc Page 4

Karena tg tg( )− = −β β , maka :

tg( ) .........α β− =

Contoh 3: Jika cosα =8

10 dan sinβ =

5

13, maka tentukan cos( )α β−

Jawab : cosα =8

10 = .... maka y = ......

sin ........α = = .....

sin .....β = =5

13 maka x = .....

cos .....β = = ......

Jadi cos( ) ........α β− =

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai dari :

a. sin 75o b. sin 105o c. cos 165o

d. cos 195o e. tg 225o f. tg 15o

2. Sederhanakan !

a. sin cos cos sin137 17 137 17o o o o−

b. cos cos sin sin222 42 222 42o o o o+

c. tg tg

tg tg

o o

o o

79 19

1 79 19

−

+

3. Jika cos α =3

5 dan sinβ =

12

13, α dan β lancip, maka tentukan :

a. sin( )α β− b. cos( )α β+ c. tg( )β α−

4. Jika sin x = sin ( )x o+ 45 , buktikan tg x = 2 1+

5. Jika tg po4 = , maka buktikan tg 139 o = p

p

−

+

1

1

6. Buktikan :

a. cos( ) sin270 + =a ao o

b. sin( ) sin180 + = −a ao o

c. tg a tgo( )360 − = − a o

7. Jika 6

πβα =+ dan

4

3coscos =βα maka tentukan cos ( )βα − !

www.briliantprivate.co.cc Page 5

8. Tunjukkan bahwa 3275tan +=o !

9. Buktikan bahwa ( )xx

xxx

sincos

sincos45tan

−

+=+ o !

10. Jika tan (x + y) = 1 dan tan y = 1, maka tentukan tan x !

2. RUMUS SUDUT RANGKAP

sin sin( )2α α α= +

= ……..

sin ............2α =

cos cos( )2α α α= +

= ......

= ....... .....(*)

Karena cos sin2 21α α= − maka (*) menjadi :

cos ........2α =

= ........

Karena sin cos2 21α α= − , maka (*) menjadi :

cos ........2α =

= ........

sin ...........................α =

Jadi cos ........2α =

= ......... ⇒ cos ..........................α =

= ...........

tgα = ...........................

tg tg2α α α= +( )

= .........

tg2α =.............

Contoh 1: Tentukan nilai dari sin ,22 5o

Jawab : sin ................................α =

sin ,22 5o = ...............

Contoh 2: Jika sinα =3

5, maka tentukan tg2α

Jawab : sinα =3

5 = ..... maka x = ........

www.briliantprivate.co.cc Page 6

tgα = =........ ...........

tg2α =........

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai dari :

a. cos ,22 5o b. sin ,67 5o c. sin1121

2

o

d. cos1571

2

o

2. Jika sin x = 5/13 dan 02

≤ ≤xπ, maka tentukan :

a. sin 2x b. cos 2x c. tg 2x

3. Tunjukkan :

a. sin sin sin3 4 33a a a= − +

b. cos cos cos3 4 33a a a= −

4. Buktikan :

a. sin sin

cos cos( )

2 2

2 2

α β

α βα β

−

+= −tg

b. sin

cos

2

1 2

a

atg

+= a

5. Jika tg a = 1/2 dan tg b = 2/5, maka tentukan :

a. tg 2a b. tg (2a+2b)

6. Jika θ sudut lancip yang memenuhi θθ 2sin21cos2 2 += , maka tentukan tan θ !

7. Buktikan bahwa xxx

xxtan

2cos2sin1

2cos2sin1=

++

−+

8. Jika tan x = , maka buktikan 21

22sin

n

nx

+=

9. Pada segitiga ABC yang siku-siku di C, buktikan bahwa 2

22sin

c

abA =

3. RUMUS PERKALIAN SINUS DAN KOSINUS

sin( ) ........α β+ =

sin( ) .........α β− =

+/-

(+) → ............. = ..........

2sin cos .........α β =

(-) → .............. = ............

2cos sin .........α β =

cos( ) .........α β+ = ..

cos( ) ...........α β− =

www.briliantprivate.co.cc Page 7

+/-

(+) → ............ = ..............

2cos cos .............α β =

(-) → ............... = ................

− =2sin sin ............α β

Contoh 1: Hitung 4 15 45sin coso o

Jawab : 4 15 45sin coso o = 4...........................

= 2.2........................

= 2[..................................................................]

= 2[.......................................]

= .......

Contoh 2: Nyatakan sebagai bentuk penjumlahan atau pengurangan dari 2 45 45cos( ) sin( )x x+ −o o

Jawab : 2 45 45cos( ) sin( )x x+ −o o = .........

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai dari :

a. cos sin15 75o o b. cos cos45 15o o c. 4 521

271

2sin cos

o o

d. 6 105 15cos sino o e. −4 217 5 7 5cos , cos ,o o f. −1

215 45sin sino o

2. Nyatakan sebagai bentuk penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus, lalu sederhanakan dari :

a. cos( ) cos( )x x+ −π π

b. − + −41

2

1

2

1

2

1

2sin( ) sin( )x y x y

c. 1

22 2sin( ) cos( )x x+ −π π

3. Buktikan :

a. xxx 2cos)4

cos()4

cos(2 =−+ππ

b. sin , cos ,

cos cos

52 5 7 5

75 152 3

o o

o o= +

c. 2 sin 4a sin 3a + 2 cos 5a cos 2a - cos 3a = cos a

4. Tunjukkan bahwa 380sin.40sin.20sin8 =ooo

5. Hitunglah ooo 10sin50sin70sin8

www.briliantprivate.co.cc Page 8

6. Buktikan bahwa :

xxxxxb

xxxxxa

2

33

sin23sin5sin3cos5cos1.

2sincossin2cossin2.

=−−

=+

4. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS

2sin cos ..........a b = ...

2cos sin ...........a b = ...

2cos cos ............a b = ... .....(*)

− =2sin sin .............a b .

Jika a b+ = α dan a b− = β , maka :

a b+ = α a b+ = α

a b− = β a b− = β

+ -

............. ..............

Maka persamaan (*) menjadi :

sin sin .........α β+ =

sin sin ........α β− =

cos cos ..........α β+ =

cos cos ..........α β− =

Contoh 1: Tentukan cos cos75 15o o−

Jawab : cos cos75 15o o− =......

Contoh 2: Nyatakan dalam bentuk perkalian dari sin 3x + sin x

Jawab : sin 3x + sin x = ....

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai dari :

a. cos cos105 15o o− b. sin sin75 15o o− c. sin sin315 15o o+

d. cos cos285 75o o+ e. sin sin54 18o o−

2. Nyatakan sebagai bentuk perkalian !

a. sin( ) sin( )3

2

3

2π π+ + −p p b. cos (x + 2h) - cos x

3. Buktikan !

a. sin sin105 151

26o o+ = e.

sin sin

cos cos( )

2 2

2 2

α β

α βα β

−

+= −tg

b. cos cos

sin sin

75 15

75 15

1

3

o o

o o

+

−= f.

sin sin sin

cos cos cos

a a a

a a atg a

+ +

+ +=

2 3

2 32

c. cos cos cos10 110 130 0o o o+ + = g. 2 67 5 2 22 5 4 2 2sin , sin ,o o+ = +

www.briliantprivate.co.cc Page 9

d. sin sin

cos cos

5 3

5 3

a a

a atga

−

+=

4. Buktikan yx

yxyx

coscos

)(sintantan

−=−

5. Diketahui 3

4tan =x . Tentukan nilai cos 3x + cos x !