Bai giang phuong tring luong giac

1

CÁC BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phân loại chi tiết

Hệ thống ví dụ phong phú

Bài tập có đáp số đầy đủ

Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012

2

Mục lục

Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác ..............................................3

Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản ...................................................................3

Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos .......................................................... 15

Chủ đề 2. Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác ......................................................... 23

Loại 1. Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản ...................................................................... 23

Loại 2. Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 29

Loại 3. Phép đặt ẩn phụ x2t tan .................................................................................. 34

Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx ..................................................................................... 38

Chủ đề 3. Phương trình tích ................................................................................................... 43

3

Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng

giác Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản A. Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình sin x m 1

* Điều kiện có nghiệm: 1 có nghiệm m 1;1 .

* Công thức nghiệm: Với m 1;1 , ta có 1 x arcsinm 2kx arcsin m 2k

(k ).

Trong đó, arcsinm là nghiệm thuộc đoạn

2 2; của phương trình sin x m (

Hình 1).

Ta thấy với mỗi m 1;1 , giá trị arcsinm

luôn tồn tại duy nhất.

y=sinx

-1

1

-π2

π2

arcsinmO

m

y

x

Hình 1

2. Phương trình cos x m 2

* Điều kiện có nghiệm: 2 có nghiệm m 1;1 .

* Công thức nghiệm: Với m 1;1 , ta có 2 x arccosm 2k (k ).

4

Trong đó, arccosm là nghiệm thuộc đoạn

0; của phương trình sin x m (Hình 2).

Ta thấy với mỗi m 1;1 , giá trị arccosm

luôn tồn tại duy nhất.

π

y=cosx

-1

1

π2

arccosmO

m

y

x

Hình 2

3. Phương trình tan x m 3

Với mọi m , ta có 3 x arctan m k ( k ).

Trong đó, arctan m là nghiệm thuộc khoảng 2 2; của

phương trình tan x m (Hình 3).

Ta thấy với mỗi m , giá trị arctan m luôn tồn tại duy nhất.

y=tanx

arctanm

-π2

π2O

m

y

x

Hình 3

4. Phương trình cot x m 4

5

Với mọi m , ta có 4 x arccot m k ( k ).

Trong đó, arccot m là nghiệm thuộc khoảng 0; của phương

trình cot x m (Hình 4).

Ta thấy với mỗi m , giá trị arccot m luôn tồn tại duy nhất.

π2 πO

y=cotx

arccotm

m

y

x

Hình 4

5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống

phương trình cơ bản:

+) sin f x sin g x

f x g x 2k

f x g x 2k

(k );

+) os of x c g xsc f x g x 2k (k ).

+) tan f x tan g x 2

f x g x k

f x k

(k ).

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. GPT: 22cos x sin x 2 1

Giải

1 22 1 sin x sin x 2

22sin x sin x 0

sin x 2sin x 1 0

6

12

sin x 0

sin x

656

x k

x 2k

x 2k

, (k ).

Ví dụ 2. GPT: sin 2x cos x 0 1

Giải

1 2sin xcos x cos x 0

cos x 2sin x 1 0

12

cos x 0

sin x

2

676

x k

x 2k

x 2k

, (k ).

Ví dụ 3. GPT: 2 2sin x cos 2x 1 . 1

Giải

1 2 2cos 2x 1 sin x

2 2cos 2x cos x

cos 2x cos xcos 2x cos x

. 2

3

2 2x x 2k2x x 2k

2k3

x 2k

x

2k3x ( 2k

32k k k ).

7

3 cos 2x cos x

2x x 2k2x x 2k

2k

3 3x

x 2k

.

Vậy nghiệm của 1 là: 2k3x , 2k

3 3x , x 2k (k ).

Ví dụ 4. GPT: 5x xsin 3x sin cos2 2

. 1

Giải

1 12sin 3x sin 3x sin 2x

sin 3x sin 2x

3x 2x 2k3x 2x 2k

2k5 5

x 2k

x

( k ).

Ví dụ 5. GPT: sin 3x 1 cos 4x cos 3xsin 4x . 1

Giải

1 cos 3xsin 4x sin 3xcos4x sin 3x

sin 7x sin 3x

7x 3x 2k7x 3x 2k

k2

k10 5

x

x

( k ).

8

Ví dụ 6. GPT: sin 4xsin 7x cos 3xcos6x . 1

Giải

1 1 12 2cos11x cos 3x cos 9x cos 3x

cos11x cos 9x

cos11x cos 9x

11x 9x 2k11x 9x 2k

k

20 10

2

x

x k

( k ).

Ví dụ 7. GPT: tan x12 3cos x

1 . 1

Giải

1 tan x12 3cos x

1 0

2 tan x3

tan x 0

13

tan x tan x 0

13

tan x 0

tan x

6

x k

x k

( k ).

Ví dụ 8. GPT: 22sin x sin x 1

2cos x 30

. 1

9

Giải

Điều kiện để 1 có nghĩa: 2cos x 3 0 32cos x 6x 2k (k ).

Ta có 1 22sin x sin x 1 0 12

sin x 1

sin x

2

676

x 2k

x 2k

x 2k

(k ).

Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được

biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn

12

sin x 1

sin x

được biểu diễn bằng những điểm đen.

các họ nghiệm của 1 là 2 2k , 76 2k ( k ).

y

x

π2+2kπ

7π6 +2kπ

-π6 +2kπ

π6+2kπ

-1

-1

1

1O

Chú ý: Khi biểu diễn họ 2knx ( k , *n , n là hằng số) trên đường tròn lượng giác

ta được:

+) Một điểm trong trường hợp n 1 .

+) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n 2 . Hai điểm này là các

điểm biểu diễn giá trị 2kn với k 0 , 1 .

+) n điểm cách đều nhau trong trường hợp n 3 . n điểm này là các điểm biểu diễn giá

trị 2kn với k 0 , 1 , …, n 1 .

10

y

x-1

-1

1

1O

n 2

y

x-1

-1

1

1O

n 3

y

x-1

-1

1

1O

n 4

Ví dụ 9. Giải phương trình 21 5sin x 2cos x cos x 0 . 1

Giải

Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x 0 .

1 21 5sin x 2cos x 0

cos x 0

. 2

3

Ta thấy 2 21 5sin x 2 1 sin x 0

22sin x 5sin x 3 0

12

sin x 3 1

sin x

voâ nghieäm

676

x 2k

x 2k

.

3 cos x 0 2x k .

11

Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của 2 và 3 trên

đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm

điều kiện (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm

của 1 là: 2 k , 6 2k (k ).

-π2+2kπ

y

x

π2+2kπ

7π6 +2kπ

-π6 +2kπ

-1

-1

1

1O

Ví dụ 10. Giải phương trình 128cos x

sin x . 1

Giải

Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x 0 2x k . 2

Ta có 1 2128cos x

sin x 0

sin x

. 3

4

4 2 28sin xcos x 1 cos x 0cos x 0

.

22sin 2x 1

cos 4x 0

24x k

k8 4x .

12

Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của 4 trên đường

tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một

trong hai điều kiện 2 , 3 (điểm được khoanh trắng), ta

được các họ nghiệm của 1 là:

8 2k , 38 2k , 5

8 2k , 78 2k ( k )

-7π8 +2kπ

-5π8 +2kπ

-3π8 +2kπ

-π8 +2kπ

7π8 +2kπ

5π8 +2kπ 3π

8 +2kπ

π8+2kπ

y

x-1

-1

1

1O

Chú ý: Họ nghiệm 2knx ( k ) thực ra là tập hợp 2k

n k . Ta có

2k 2 2n n nk 2k k 2k k n 1 ... 2 k. k

nói cách khác 2knx

2n

2n

x 2k

x 2k

...

x n 1 2k

(k ).

13

C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau

1) sin x 3 cos x 0 .

2) 14sin xcos x .

3) sin 3xcos 2x sin 2xcos x .

4) 2 xcos x 4cos x 3 cos 02

.

5) 32sin x 4sin x 3sin x sin 2x 0 .

6) sin x sin 2x cos x cos 2x 0 .

7) sin x sin 2x cos x cos 2x 0 .

Bài 2. Giải các phương trình sau

1) cos xcos7xcos6x 4sin 2 x

.

2) 21 1sin x cos x sin 2x .

3) 21 1sin x cos x sin 2x .

4) sin 2x 1 tan 2xtan x 1 .

5) sin 2x tan x 1 sin 2xtan 2x .

6) 2 x2 3 cos x 2sin 2 4

2cos x 1 1

.

7) 2 cos 2x 12 2cos x

tan x 3tan x .

D. Đáp số

Bài 1 1) 3 k (k ). 2) 12 k , 56 k (k ).

3) k , k8 4 (k ). 4) 4k

5 , 4k

7 (k ).

5) k , k8 2 , 4 k (k ). 6) 2k , 2k

6 3 (k ).

7) 2k , 2k3 3 (k ).

14

Bài 2 1) k , k5 (k ). 2) 12 2k , 7

12 2k (k ).

3) 12 2k , 712 2k (k ). 4) k

8 2 (k ).

5) x k (k ). 6) 43 2k (k ).

7) 4 k (k ).

15

Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos A. Tóm tắt lý thuyết * Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x là phương trình có dạng:

A sin x B cos x C , 1

trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng 0 ( 2 2A B 0 ).

* Cách giải: chia hai vế của 1 cho 2 2A B , ta được phương trình tương đương:

2 2 2 2 2 2A B Cs oin x c

B B A Bs x

A A

.

Vì 2 2

2 2 2 2A B 1

A B A B

nên tồn tại 0;2 để: 2 2

2 2

AcosA B

BsinA B

.

Do đó: 2 2C1 sin xcos cos xsin

A B

2 2Csin x

A B

. 2

Ta thấy 2 là phương trình có dạng cơ bản sin f x m .

* Chú ý:

+) Từ cách giải này suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình 1 :

1 có nghiệm 2 2 2A B C 0 .

+) Nếu chọn 0;2 để: 2 2

2 2

cosA B

sinA B

B

A

thì 1 2 2Ccos x

A B

.

16

Nếu chọn 0;2 để: 2 2

2 2

cosA B

sinA B

A

B

thì 1 2 2Csin x

A B

.

Nếu chọn 0;2 để: 2 2

2 2

cosA B

sinA B

B

A

thì 1 2 2Ccos x

A B

.

Trong từng trường hợp, việc chọn phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp.

+) Một số công thức hay sử dụng:

4 4sin x cos x 2 sin x 2 cos x ,

34 4sin x cos x 2 sin x 2 cos x ,

3 6sin x 3 cos x 2sin x 2cos x ,

53 6sin x 3 cos x 2 sin x 2 cos x ,

6 33 sin x cos x 2sin x 2cos x ,

26 33 sin x cos x 2sin x 2cos x .


Ví dụ 1. GPT: sin x 3 cos x 1 0 . 1

Giải

Ta có 1 31 12 2 2sin x cos x

3 3 6sin xcos cos xsin sin

17

3 6sin x sin

3 65

3 6

x 2k

x 2k

276

x 2k

x 2k

( k ).

Ví dụ 2. GPT: 2 2 sin xcos x sin x cos x 0 . 1

Giải

Ta có 1 12

sin 2x sin x cos x

3 34 4sin 2x sin xcos cos xsin

34sin 2x sin x

34

4

2x x 2k

2x x 2k

34

2k12 3

x 2k

x

( k ).

Nhận xét: Phương trình ở ví dụ trên không phải phương trình bậc nhất. Việc giải phương trình

này liên quan đến việc rút gọn biểu thức 12

sin x cos x .

Ví dụ 3. GPT: cos 2x 13 sin x2cos x

. 1

Giải

Điều kiện để 1 có nghĩa: cos x 0 2x k . 2

Ta có 1 2 3 sin xcos x cos 2x 1

18

3 sin 2x cos 2x 1

3 1 12 2 2sin 2x cos 2x

6 6 6sin 2xcos cos 2xsin sin

6 6sin 2x sin

6 67

6 6

2x 2k

2x 2k

23

x k

x k

( k ).

(thỏa mãn 2 )

Ví dụ 4. [ĐHD07] GPT 2x x2 2sin cos 3 cos x 2 . 1

Giải

Ta có 2 2 2x x x x x x2 2 2 2 2 2sin cos sin cos 2sin cos 1 sin x . Do đó

1 sin x 3 cos x 1

31 12 2 2sin x cos x

13 3 2sin xcos cos xsin

13 2sin x

3 65

3 6

x 2k

x 2k

6

2

x 2k

x 2k

( k ).

19

Ví dụ 5. [ĐHD09] GPT 3 cos 5x 2sin 3xcos 2x sin x 0 . 1

Giải

Ta có 2sin 3xcos 2x sin 5x sin x . Do đó

1 3 cos 5x sin5x 2sin x

3 12 2cos 5x sin5x sin x

2 23 3sin5xcos cos 5xsin sin x

23sin 5x sin x

23

23

5x x 2k

5x x 2k

k

6 2k

18 3

x

x

( k ).

Ví dụ 6. [ĐHA09] GPT

1 2sin x cos x1 2sin x 1 sin x

3

. 1

Giải

Đk: 12sin x

sin x 1

676

2

x 2k

x 2k

x 2k

.

Ta có 21 2sin x 1 sin x sin x 1 2sin x sin x cos 2x . Do đó

1 cos x sin 2x 3 sin x cos 2x

sin 2x 3 cos 2x cos x 3 sin x

20

3 31 12 2 2 2sin 2x cos 2x cos x sin x

3 3 6 6sin 2xcos cos 2xsin sin cos x cos sin x

3 6sin 2x sin x

3 65

3 6

2x x 2k

2x x 2k

2k

18 3

2

x

x 2k

( k ).

Kết hợp với điều kiện để 1 có nghĩa ta có tập nghiệm của 1 là 2k18 3 (k ).

Ví dụ 7. Cho phương trình 2sin x cos x 1sin x 2cos x 3 a 1

, (a là tham số).

1) Giải phương trình khi 13a .

2) Tìm a để 1 có nghiệm.

Giải

Xét phương trình sin x 2cos x 3 0 2 .

Ta có 22 21 2 3 4 0 2 vô nghiệm sin x 2cos x 3 0 x .

Do đó

1 2sin x cos x 1 a sin x 2cos x 3 2 a sin x 2a 1 cos x 3a 1 .

1) 13a : 1 trở thành 5 5

3 3sin x cos x 0 tan x 1 x k4

( k ).

2) Ta có 2 2 2 2 22 a 2a 1 3a 1 4a 6a 4 2 a 3a 2 .

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

21

Do đó 1 có nghiệm 22 a 3a 2 0 2a 3a 2 0 1 a 22

.

22

C. Bài tập Giải các phương trình sau

1) 2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2x .

2) sin x sin 2x 3 cos x cos 2x .

3) 4 44 sin x cos x 3 sin 4x 2 .

4) 26 68 sin x cos x 3 sin 2x cos 2x 5 .

5) 34sin x 1 3sin x 3 cos 3x .

6) 4 4sin 3x sin 2xsin x .

7) 63 cos 2x sin 2x 2sin 2x 2 2 .

8) [ĐHB09] 3sin x cos xsin 2x 3 cos 3x 2 cos 4x sin x .

9) [ĐHB12] 2 cos x 3 sin x cos x cos x 3 sin x 1 .

10) 2 2 3x2 44sin 3 cos 2x 1 2cos x , x 0; .

D. Đáp số

1) Vô nghiệm. 2) 2k , 2 2k9 3 (k ).

3) k12 2 , k

4 2 ( k ). 4) k

2 , k

8 2 ( k ).

5) 2k18 3 , 2k

2 3 (k ) . 6) k

4 2 ( k ).

7) 512 k ( k ). 8) 6 2k , 2k

42 7 (k ).

9) 2k3 ( k ). 10) 5

18 , 17

18 , 5

6 .

23

Chủ đề 2. Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác Loại 1. Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản A. Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép đặt ẩn phụ đơn

giản: t sin x , xt sin2

, t sin 2x , t cos x , xt cos2

, t cos 2x , t tan x , xt tan2

,

t tan 2x , … . Ta sẽ thấy rằng, ở loại toán này, việc phát hiện ẩn phụ tuy đơn giản nhưng cũng giải

quyết được một lượng lớn bài toán giải phương trình lượng giác trong các đề thi đại học.

B. Các ví dụ

Ví dụ 1. [ĐHD06] GPT cos 3x cos 2x cos x 1 0 . 1

Giải

Ta có 1 3 24cos x 3cos x 2cos x 1 cos x 1 0

3 24cos x 2cos x 4cos x 2 0

3 22cos x cos x 2cos x 1 0 .

Đặt t cos x t 1;1 , phương trình trên trở thành

3 22t t 2t 1 0

t 1 t 1 2t 1 0

12

t 1

t

.

+) t 1 cos x 1 sin x 0 x k (k ).

+) 12t 1

2cos x 2x 2k3

(k ).

Vậy 1 có các họ nghiệm là k , 2 k23

(k ).

24

Ví dụ 2. [ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn 0;14 của phương trình

cos 3x 4cos 2x 3cos x 4 0 . 1

Giải

Ta có 1 3 24cos x 3cos x 4 2cos x 1 3cos x 4 0

3 24cos x 8cos x 0

3 2cos x 2cos x 0

2cos x cos x 2 0

cos x 0 (do cos x 2 1 0 x )

x k2

(k ).

Ta có k 0;142 k 0;1;2;3 .

Vậy các nghiệm thuộc đoạn 0;14 là 2

, 32

, 52

, 72

.

Ví dụ 3. GPT 12cos 2x 8cos x 7

cos x . 1

Giải

ĐK: cos x 0 2x k .

Ta có 1 cos x 2cos 2x 8cos x 7 1 ( cos x 0 )

2cos x 2 2cos x 1 8cos x 7 1

3 24cos x 8cos x 5cos x 1 0

25

2cos x 1 2cos x 1 0

12

cos x 1

cos x

x 2k

x k23

(k ).

Ta thấy trong ba ví dụ trên việc phát hiện ẩn phụ khá đơn giản. Sau đây là các ví dụ mà ở đó, ta phải thực

hiện một vài phép biến đổi trước khi phát hiện ra ẩn phụ.

Ví dụ 4. [ĐHB06] GPT xcot x sin x 1 tan x tan 42

. 1

Giải

ĐK: x2

sin x 0cos x 0

cos 0

sin 2x kx2

.

Ta có x x x x2 2 2 2x x x2 2 2

sin xsin cos xcos sin xsin cosx 11 tan xtan 12 cos xcos xcos cos xcos cos xcos

.

Do đó 1 cot x tan x 4

2tan x 4tan x 1 0

tan x 2 3

tan x 2 3

x k

125x k12

(k ) (TMĐK).

26

Ví dụ 5. [ĐHA10] GPT 1 sin x cos 2x sin x

14 cos x1 tan x 2

. 1

Giải

ĐK: cos x 0sin x cos x 0

x k2

x k4

.

Ta thấy sin x cos x1 tan x

cos x

, sin x cos xsin x

4 2

. Do đó

1 1 sin x cos 2x 1

sin x cos 2x 0

2sin x 1 2sin x 0 22sin x sin x 1 0

sin x 1

1sin x2

x 2k2

x 2k6

7x 2k6

loaïi

TMÑK

TMÑK

.

Vậy 1 có hai họ nghiệm là x 2k6

và 7x 2k6

(k ).


27


1) 2 xtan x cos x cos x sin x 1 tan x. tan2

.

2) [ĐHA06] 6 62 sin x cos x sin xcos x

02 2sin x

.

3) sin 2x cos 2x tan x - cot xcos x sin x

.

4) 3 tan x tan x 2sin x 6cos x 0 .

5) [ĐHB04] 25sin x 2 3 1 sin x tan x .

6) 38cos x cos 3x3

.

7) [ĐHD05] 4 4 3sin x cos x sin 3x cos x 04 4 2

.

8) 4 4sin x cos x 1 1cot 2x5sin 2x 2 8sin 2x

.

9) 6 23cos 4x 8cos x 2cos x 3 0 .

10) [ĐHB03] x 2cot x tan 4sin 2xsin 2x

.

11) 2cos 2x cos x 2tan x 1 2 .

12) [ĐHA05] 2 2cos 3xcos 2x cos x 0 .

13) 2 2 3sin xcos 2x cos x tan x 1 2sin x 0 .

14) [ĐHA02] cos 3x sin 3x5 sin x cos 2x 3

1 2sin 2x

, x 0;2 .

Bài 2. Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn 1;70 của phương trình

3 22

2cos x cos x 1cos 2x tan x

cos x

.


28

Bài 3. Tìm m để phương trình 4 42 sin x cos x cos 4x 2sin 2x m 0 có ít nhất một nghiệm

thuộc đoạn 20; .

D. Đáp số

Bài 1 1) 2k (k ). 2) 2k4

(k ).

3) 2k3

(k ). 4) k6

(k ).

5) 2k6 ,

5 2k6 (k ). 6) k

6 , k , k

3 (k )

7) k4 (k ). 8) k

6

(k ).

9) k

4 2 , k (k ). 10) k

3

(k ).

11) 2k3

, 2k (k ). 12) k2

(k ).

13) 2k6 ,

5 2k6 (k ). 14)

3

, 53

.

Bài 2 374 .

Bài 3 1342 m .


29

Loại 2. Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng và gần đối xứng

đối với sin, cos A. Nội dung phương pháp Đối với các phương trình lượng giác chỉ chứa các biểu thức: tổng và tích của sin và cos (phương trình

đối xứng đối với sin và cos ) hoặc hiệu và tích của sin và cos (phương trình gần đối xứng đối với sin

và cos ) ta có các quy tắc đại số hóa cụ thể như sau:

Dạng 1: Xét phương trình dạng f sin x cos x;sin x.cos x 0 . 1

Đặt 24 t 12

t 2; 2t sin x cos x 2 sin x

sin xcos x

.

Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên 1 trở thành 2t 12f t; 0

.

Dạng 2: Xét phương trình dạng f sin x cos x;sin x.cos x 0 . 2

Đặt 24 1 t2


sin xcos x

.

Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên 2 trở thành 21 t

2f t; 0

.

Dạng 3: Xét phương trình dạng f sin x cos x ;sin x.cos x 0 . 3

Đặt 4t sin x cos x 2 sin x 2t2

1

t 0; 2

sin xcos x

.

Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên 3 trở thành 2t 12f t; 0

.

Dạng 4: Xét phương trình dạng f sin x cos x ;sin x.cos x 0 . 4


30

Đặt 4t sin x cos x 2 sin x 21 t2

t 0; 2

sin xcos x

.

Nhờ phép đặt ẩn phụ nói trên 4 trở thành 21 t

2f t; 0

.

B. Các ví dụ

Ví dụ 1. [ĐHA07] GPT 2 21 sin x cos x 1 cos x sin x 1 sin 2x . 1

Giải

Ta có 1 2sin x cos x sin xcos x sin x cos x sin x cos x .

Đặt 4t sin x cos x 2 sin x

2t 12

t 2; 2 2

sin xcos x

Với phép đặt ẩn phụ nói trên, phương trình đã cho trở thành

2t 12

2t t.t 2t 12 tt 1 0

2t t 1 0

t 0 2

t 1 2

thoûa maõn

thoûa maõn .

+) t 0 42 sin x 0 4sin x 0 x k4

x k4

.

+) t 1 42 sin x 1 41sin x2

x 2k

4 43x 2k

4 4

x 2k

x 2k2

.

Vậy các nghiệm của 1 là k4

, 2k , 2k2 (k ).

Ví dụ 2. GPT sin x cos x 4sin 2x 1 . 1

Giải


31

Đặt 4t sin x cos x 2 sin x 2

t 0; 2

sin 2x 1 t

, 2

3

1 trở thành 2t 4 1 t 1 t 1 (thỏa mãn 2 ). 4

Thay 4 vào 3 ta được sin 2x 0 kx2

(k ).

Vậy các nghiệm của 1 là k2

(k ).

Ví dụ 3. GPT 1 tan x 2 2 sin x 1 .

Giải

ĐK: cos x 0 x k2

(k ).

Ta có 1 cos x sin x 2 2 sin xcos x . 2

Đặt t sin x cos x 2 sin x4

2

t 2; 2 3

t 1sin xcos x2

,

2 trở thành:

2tt 2 2. 12

2t 12 t 2t t 22 0

thoûa maõn

thoûa maõn 12

t 2 3

t 3

.

Do đó

+) t 2 4sin x 1 4 2x 2k 4x 2k .

+) 12

t 41sin x2

4 67

4 6

x 2k

x 2k

512

1112

x 2k

x 2k

.


32

Kết hợp ba họ nghiệm ta được tập nghiệm của 1 là 2k4 3x (k ).

Để kết thúc cho việc trình bày các ví dụ của phần này, ta xét một phương chứa tham số.

Ví dụ 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin 2x 4 cos x sin x m . 1

Giải

Đặt 4 2


sin 2x 1 t

, 1 trở thành

21 t 4t m 2t 4t 1 m . 2

Xét hàm 2f t t 4t 1 , t 2; 2 . Ta thấy f nghịch biến trên 2; f nghịch

biến trên 2; 2 , lại có f 2 4 2 1 , f 2 4 2 1 TGT của f là

4 2 1;4 2 1 .

Do đó 1 có nghiệm 2 có nghiệm t 2; 2 4 2 1 m 4 2 1 .

Ví dụ 5. Tìm m để phương trình

m sin x cos x 1 1 sin 2x 1

có nghiệm 2x 0; .

Giải

Đặt 4t sin x cos x 2 sin x 2 2t 12sin xcos x , phương trình 1 trở thành

2m 1 t 1 t 1 2m 1 t t ( t 1 )

2tm

1 t

. 2


33

Ta thấy 2x 0; 34 4 4x ;

4x 0;2

max 2 sin x 2

, 4

x 0;2

min 2 sin x 1

.

Xét hàm 2t

1 tf t

, t 1; 2 . Ta có

2t 2t21 t

f ' t 0

t 1; 2 f t đồng biến trên

1; 2

t 1; 2max f t f 2 2 2 1

, 12t 1; 2

min f t f 1

.

Vậy 1 có nghiệm 2x 0; 2 có nghiệm t 1; 2 12 m 2 2 1 .


34


1) 1 1sin x cos x 2 2 sin 2x .

2) 3 3 31 sin x cos x sin 2x2

.

3) sin 2x 12 sin x cos x 12 0 .

4) x1 sin 1 cos x 1 .

5) 4sin 2x 2 sin x 1 .

6) 2 sin x cos x tan x cot x .

7) 2 3 4 2 3 4sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x .

Bài 2. Tìm m để phương trình sin x cos x sin 2x m có nghiệm.

Bài 3. Tìm m để phương trình 2 sin x cos x sin xcos x m có nghiệm 2x 0; .

Bài 4. Tìm m để phương trình 3 3sin x cos x m có nghiệm.

D. Đáp số

Bài 1 1) 4 2k (k ). 2) 2 2k (k ).

3) 2k2 , 2k , (k ). 4) 2k , 2k

2 (k ).

5) k4 , 2k

2 , 2k (k ). 6) 4 2k (k ).

7) 4 k , 2k , 2 2k (k ).

Bài 2 541 2 m . Bài 3 1 4 2

22 m .

Bài 4 1 m 1 .

Loại 3. Phép đặt ẩn phụ x2t tan

A. Tóm tắt lý thuyết


35

* Nguyên tắc chung: Xét phương trình dạng

x x2 2f sin x;cos x;tan ;cot 0 . 1

+) Tìm nghiệm thỏa mãn x2cos 0 của phương trình.

+) Tìm nghiệm thỏa mãn x2cos 0 của phương trình:

Đặt x2t tan 2t

21 tsin x

, 1 t

1 t

22cos x

.

Nhờ phép đặt ẩn phụ trên, phương trình 1 trở thành

2t 1 t21 t 1 t

2 12 tf ; ;t; 0

. 2

Giải phương trình 2 để tìm t . Ứng với mỗi giá trị t , giải phương trình x2t tan để tìm nghiệm của

1 .

* Trường hợp đặc biệt (áp dụng cho phương trình bậc nhất đối với sin , cos ):

Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x là phương trình có dạng:

A sin x B cos x C , 3

trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng 0 ( 2 2A B 0 ).

Với cách đặt ẩn phụ như đã trình bày trong phần nguyên tắc chung, từ 3 ta thu được phương trình

2 2

22t 1 tA B C1 t 1 t

2B C t 2At B C 0 . 4

Ta thấy phương trình 4 luôn giải được.

B. Các ví dụ

Ví dụ 1. GPT x2sin x cos x tan . 1


36

Giải

ĐK: x2cos 0 x

2 2 k x 2k (k ).

Đặt x2t tan 2t

21 tsin x

, 1 t

1 t

22cos x

. Phương trình 1 trở thành

2

2 22t 1 t t

1 t 1 t

2 22t 1 t t 1 t

3 2t t t 1 0

t 1 .

Vậy 1 x2tan 1 x

2 4 k 2x 2k (k ).

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình

2sin x 2 mxm cos 1

có nghiệm 2x 0; .

Giải

Đặt x2t tan

2t21 t21 t21 t

sin x

cos x

, phương trình 1 trở thành

22t 1 t

2 21 t 1 t2. 2 m m

2 21 t4t 2 m tm 1

22t 4t 2 m 1 0

2t 2t 1 m . 2


37

Ta thấy x2

x 0;2

min tan 0

, x2

x 0;2

max tan 1

. Do đó, nghiệm t của 2 cho nghiệm x của 1 khi

và chỉ khi t 0;1 .

Hàm 2f t t 2t nghịch biến trên ;2 nên nghịch biến trên 0;1

t 0;1min f t f 1 1

,

t 0;1max f t f 0 0

.

1 có nghiệm 2x 0; 2 có nghiệm t 0;1 1 1 m 0 1 m 2 .

Nhận xét: Bài toán trên không giải quyết được bằng cách chia hai vế của phương trình cho

222 2 m .



38

1) 3sin x cos x 2 .

2) x24sin x cos x 3 tan .

3) x22sin x cos x 1 cot .

Bài 2. Tìm m để phương trình 2sin x m cos x 1 m có nghiệm thuộc đoạn 2 2; .

Bài 3. Tìm m để phương trình m 2 sin x 2m cos x 2 m 1 có nghiệm thuộc đoạn

22 3; .

Bài 4. Tìm m để phương trình m sin x m 1 cos x 3 2m có nghiệm thuộc đoạn 230;

.

D. Đáp số Bài 1

1) 3 62x 2arctan 2k , 3 6

2x 2arctan 2k (k ).

2) 2x 2k , 5 332x 2arctan 2k , 5 33

2x 2arctan 2k (k ).

3) 2x 2k , 12x 2arctan 2k (k ).

Bài 2 1 m 3 .

Bài 3 43 m 0 .

Bài 4 1 m 2 .

Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx A. Nội dung phương pháp


39

Ý tưởng chung của phương pháp này là: chọn một số n thích hợp ( *n ) sao cho sau khi chia hai vế

của phương trình cho ncos x ta thu được phương trình mới có dạng f tan x 0 . Quá trình này được

thực hiện nhờ việc sử dụng các đẳng thức sin xcos x tan x và 21

2cos xtan x 1 .


Ví dụ 1. Giải phương trình 2 2sin x 2sin xcos x 3cos x 0 1 .

Giải

Thay cos x 0 vào 1 ta có 2sin x 0 sin x 0 x (vì sin x , cos x không thể đồng

thời bằng 0 ). Do đó những giá trị của x mà cos x 0 không phải nghiệm của 1 . Chia hai vế của 1

cho 2cos x ta được phương trình tương đương

2tan x 2tan x 3 0 tan x 1tan x 3

4x k

x arctan 3 k

(k ).

Ví dụ 2. 2sin x tan x 1 3sin x cos x sin x 3 1 .

Giải

Chia hai vế của 1 cho 2cos x ta được phương trình tương đương

2 2 2tan x tan x 1 3tan x 3tan x 3 tan x 1

3 2tan t tan x 3tan x 3 0

tan x 1 tan x 3 tan x 3 0


40

tan x 1

tan x 3

tan x 3

x k

4

x k3

(k ).

Ví dụ 3. Tìm m để phương trình 2 2sin x 2 m 1 sin xcos x m 1 cos x m 1 có nghiệm.

Giải

* Thay cos x 0 vào 1 ta có 2sin x m . Do đó

+) m 1 những giá trị của x làm cho cos x 0 không là nghiệm của 1 .

+) m 1 những giá trị của x làm cho cos x 0 là nghiệm của 1 1 có nghiệm.

* Khi cos x 0 , chia hai về của 1 cho 2cos x ta được phương trình tương đương

2 12cos x

2tan x 1

tan x 2 m 1 tan x m 1 m.

2m 1 tan x 2 m 1 tan x 2m 1 0 2 .

Đặt t tan x , 2 trở thành 2m 1 t 2 m 1 t 2m 1 0 3 .

Ta đã biết khi m 1 thì 1 có nghiệm nên ta chỉ cần xét m 1 . Khi đó 3 là phương trình bậc hai

với 2' m m 2 . 1 có nghiệm 3 có nghiệm 2m m 2 0 2 m 1

(chú ý là ta đang xét m 1 ).

Tóm lại 1 có nghiệm 2 m 1 .


41


1) 2 26sin x sin xcos x cos x 2 .

2) 2sin 2x 2sin x 2cos 2x .

3) 2 22sin 2x 3sin 2xcos 2x cos 2x 2 .

4) 2 2 sin x cos x 112

.

5) 34sin xcos x 4sin x cos x 2sin x cos x 12 2

.

6) 22 3 cos x 2sin xcos x 3 2 0 .

7) 2sin x tan x 1 3sin x cos x sin x 3 .

8) 3sin x cos x 4sin x 0 .

9) 32 2 cos x 3cos x sin x 04

.

10) 33 sin x 2sin x4

.

11) cos 2x 5 2 2 cos x sin x cos x .

Bài 2. Tìm m để phương trình 2m cos x 4sin xcos x m 2 0 có nghiệm thuộc khoảng 0;4

.

D. Đáp số

Bài 1 1) 2) k4 , k

2 (k ).

3) k

4 2 , 1

31 karctan2 2

(k , ). 4) k

4 , k

3 (k ).

5) k4 , 1

3arctan k (k ). 6) k24

, 5 k24 (k ).

7) k3

, k

3 2 (k ). 8) k

4 (k ).


42

9) k2 , k

4 (k ). 11) k , k

6 , k

3 (k ).

11) 2k2 , 2k (k ).

Bài 2 81 m3

.


43

Chủ đề 3. Phương trình tích A. Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến việc giải phương trình lượng giác bằng cách đưa phương trình cần xét về dạng

phương trình tích. Cũng như đại số hóa, đây là một tư tưởng quan trọng khi giải phương trình nói chung,

phương trình lượng giác nói riêng.

Sau đây là một số đẳng thức hay sử dụng trong phần này

o 21 sin 2x sin x cos x .

o 21 sin 2x sin x cos x .

o cos 2x cos x sin x cos x sin x .

o 3 3sin x cos x sin x cos x 1 sin xcos x .

o 3 3sin x cos x sin x cos x 1 sin xcos x .

o cos x sin x1 tan xcos x

.

o cos x sin x1 tan xcos x

.

o sin x cos x1 cot xsin x

.

o sin x cos x1 cot xsin x

.

B. Các ví dụ

Ví dụ 1. [ĐHD04] Giải phương trình 2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x 1 .

Giải

Ta có sin 2x sin x sin x 2cos x 1 . Do đó

1 2cos x 1 2sin x cos x sin x 2cos x 1

2cos x 1 sin x cos x 0 2cos x 1 0sin x cos x 0


44

12cos x

tan x 1

x 2k

3

tan x k4

(k ).

Ví dụ 2. [ĐHB05] Giải phương trình 1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0 1 .

Giải

Ta có: 21 sin 2x sin x cos x , cos 2x cos x sin x cos x sin x .

Do đó 1 2sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x 0

sin x cos x 1 sin x cos x cos x sin x 0

sin x cos x 2cos x 1 0 sin x cos x 02cos x 1 0

tan x 1

1cos x2

423

x k

x 2k

, (k ).

Ví dụ 3. [ĐHB11] sin 2xcos x sin xcos x cos 2x sin x cos x 1 .

Giải

Ta có 1 sin 2xcos x sin xcos x sin x cos 2x cos x 0

2 2sin x 2cos x cos x 1 2cos x cos x 1 0

2sin x 1 2cos x cos x 1 0

sin x 1 cos x 1 2cos x 1 0


45

sin x 1cos x 1

1cos x2

x 2k2

x 2k

x 2k3

(k ).

Ví dụ 4. Giải phương trình 5x x 3xsin cos 2 cos 12 4 2 4 2

.

Giải

Ta có 5x x 5x x 3xsin cos sin sin 2cos sin x2 4 2 4 2 4 2 4 2 4

.

Do đó 1 3x 22cos sin x 02 4 2

3xcos 02

2sin x4 2

3x k2 2

x 2k4 4

3x 2k4 4

2kx3 3

x 2k2

x 2k

, (k ).

Ví dụ 5. Giải phương trình 3 sin xtan x 2 12 1 cos x

.

Giải

Ta có 3tan x tan x cot x2 2

.

Do đó điều kiện để phương trình có nghĩa là: sin x 0 cos x 1

cos x 1

sin x 0 2 .

Ta có


46

1 sin xcot x 2

1 cos x

2

1 cos x 1 cos xcos x 1 cos x sin x 2sin x 1 cos x

1 cos x cos x 1 cos x 2sin x 0 1 cos x 1 2sin x 0

khoâng thoûa maõn 2

thoûa maõn 2

cos x 1 ( )1sin x ( )2

x 2k

65x 2k6

(k ).

Ví dụ 6. Giải phương trình

2

44

2 sin 2x sin 3xtan x 1 1

cos x

.

Giải

Đk: cos x 0 . Ta có 1 4 4 2sin x cos x 2 sin 2x sin 3x .

Lại có 4 4 21sin x cos x 1 sin 2x2

. Do đó phương trình nói trên tương đương với

2 211 sin 2x 2 sin 2x sin 3x2

2 12 sin 2x sin 3x 02

1sin 3x2

(do 22 sin 2x 1 x ) 1sin 3x2

( cos x 0 vì 3cos x 0 sin x 1 sin 3x 3sin x 4sin x 1 )

656

3x 2k

3x 2k

2k

18 35 2k18 3

x

x

(k ).

Ví dụ 7. Giải phương trình 2sin x sin xcos x sin x cos x 2 0 1 .

Giải

Cách 1: 1 2sin x sin xcos x 2sin x sin x cos x 2 0


47

sin x sin x cos x sin x sin x cos x 2 0

sin x 1 sin x cos x sin x 0

sin x cos x 2 2

sin x 1 3

.

2 sin x cos x 2 , 22 21 1 2 2 0 2 vô nghiệm.

3 x k22

(k ).

Vậy nghiệm của 1 là 2k2 (k ).

Cách 2: Ta có 1 2sin x cos x 1 sin x cos x 2 0 .

Coi 1 là phương trình bậc hai đối với sin x , ta có

2 2cos x 1 4 cos x 2 cos x 3 .

Do đó 1

cos x 1 cos x 3sin x

2cos x 1 cos x 3

sin x2

sin x cos x 2sin x 1

.

Đến đây, việc tìm ra nghiệm của phương trình được thực hiện như ở cách 1.

Nhận xét: Đối với phương trình có dạng

2 2asin x bcos x csin xcos x dsin x ecos x f 0 1 ,

với a , b là các số không đồng thời bằng 0 , việc đưa về phương trình tích nói chung là phức tạp. Để giải

phương trình dạng này (phương trình bậc hai đối với sin , cos ) ta có một cách làm khác như sau: Coi

1 là phương trình bậc hai đối với cos x , giải cos x theo sin x ; hoặc coi 1 là phương trình bậc hai

đối với sin x , giải sin x theo cos x .


48

C. Bài tập Giải các phương trình sau

4) [ĐHB02] 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x .

5) [ĐHA03] 2cos 2x 1cot x 1 sin x sin 2x1 tan x 2

.

6) [ĐHD03] 2 2 2x xsin tan x cos 02 4 2

.

7) [ĐHB07] x22sin 2x sin 7x 1 sin .

8) [ĐHB08] 3 3 2 2sin x 3 cos x sin xcos x 3 sin xcos x .

9) [ĐHD08] 2sin x 1 cos 2x sin 2x 1 2cos x .

10) [ĐHB10] sin 2x cos 2x cos x 2cos 2x sin x 0 .

11) [ĐHA11] 21 sin 2x cos 2x 2 sin xsin 2x

1 cot x

.

12) [ĐHD11] sin 2x 2cos x sin x 1 0

tan x 3

.

13) 2 2 22sin x 1 tan 2x 3 2cos x 1 0 .

14) 3 24sin x 4sin x 3sin 2x 6cos x 0 .

15) 2sin xcos 2x sin 2xcos x sin 4xcos x .

16) x x1 tan 1 sin 2x 1 tan .

17) 1 1sin 2x sin x 2cot 2x2sin x sin 2x

.

18) sin 3x 3 2 cos 3x 1 .

19) 23 cos x sin xcos x 2sin x 2 1 3 cos x 4 0 .

20) sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 0 .

21) [ĐHD10] sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0 .

22) [ĐHA12] 3 sin 2x cos 2x 2cos x 1 .

23) [ĐHD12] sin 3x cos 3x sin x cos x 2 cos 2x .

D. Hướng dẫn và đáp số


49

4) k9 , k

2 (k ). 5) 4 k (k ).

6) 2k , 4 k (k ). 7) k8 4 , 2k

18 3 , 5 2k

18 3 (k ).

8) k4 2 , 3 k (k ). 9) 2

3 2k , 4 k (k ).

10) k4 2 (k ). 11) k

2 , 2k

4 , (k ).

12) 2k3 (k ) 13)

k6 2

(k ).

14) 2k2

, 2 2k3

(k ). 15) k , k3

(k ).

16) k4

, k (k ). 17) k

4 2 (k ).

18) 2k

6 3 ,

2 2k9 3 (k ). 19)

5 2k6 (k ).

20) 2k6 ,

5 2k6 , 2k

2 , 2k (k ). 21) 2k

6 ,

5 2k6 (k ).

22) k2 , 2k ,

2 2k3 (k ). 23)

k4 2 ,

7 2k12 , 2k

12

(k ).


50

Chúc các em học tốt!

ThS Phạm Hồng phong

Documents

Bai giang phuong tring luong giac