Bài tập A3

Lai Văn Phút Bài tập toán A3

1

Bài tập chương 1. Tích phân bội Bài 1. Đổi thứ tự lấy tích phân, viết tích phân trong các hệ tọa độ khác nhau.

1. Đổi thứ tự lấy tích phân ( )2

1 4

4 3x

x ,x

I d f x y dy− +

= ∫ ∫

2. Viết tích phân ( ), , xd dI f x y z d y zΩ

= ∫∫∫ trong hệ tọa độ Descartes, tọa độ trụ và tọa độ

cầu, biết Ω là miền giới hạn bởi các mặt 2 2 2 24 ,z x y z x y= − − − = − +

3. Đổi thứ tự lấy tích phân ( )2

11

0 1

, xy

y

A dy f x y d−

− −

= ∫ ∫

4. Viết tích phân 22 2x 1

2 2

0 0 0

xx

B d dy z x y dz−

= +∫ ∫ ∫ trong tọa độ trụ

5. Tìm cận của tích phân kép ( ), xdD

I f x y d y= ∫∫ theo các thứ tự khác nhau của biến, với

D được giới hạn bởi các đường 2 , 2x y y x= − = +

6. Viết tích phân ( )2 2 2 xd dzV

J f x y z d y= + +∫∫∫ trong tọa độ Descartes, tọa độ trụ, tọa

độ cầu với V là miền được giới hạn bởi các mặt 2 2 2 24 , 2z x y z x y= − − = − +

7. Cho tích phân ( ) ( )1 2 2 2

1 1 12

, x , xy

y

I dy f x y d dy f x y d= +∫ ∫ ∫ ∫ . Vẽ miền lấy tích phân và đổi thứ

tự lấy tích phân trên.

8. Viết tích phân ( ), , xd dV

J f x y z d y z= ∫∫∫ trong hệ tọa độ Descartes, tọa độ cầu với

( ){ }2 2 2 2 2, , : , 2zV x y z z x y x y z= ≥ + + + ≤ . Tính thể tích miền V .

9. Trong hệ tọa độ Descartes, cho điểm ( )1, 3,3M − . Tìm tọa độ M trong hệ tọa độ trụ.


2

10. Cho tích phân ( )2 2 2 xd dI f x y z d y zΩ

= + +∫∫∫ với 2 2

2 2

18:z x y

z x y

⎧ = − −⎪Ω ⎨= +⎪⎩

.Viết tích

phân I trong hệ tọa độ Descartes, trụ, cầu.

11. Xác định cận của tích phân ( ), xdD

I f x y d y= ∫∫ trong đó D là miền giới hạn bởi các

đường 2 , 6y x y x= = + .

Bài 2. Tính tích phân và ứng dụng tích phân

1. Tính diện tích phần mặt ( ) 2 2: 2S z x y+ + = bị cắt bởi mặt paraboloid 2 2z x y= +

2. Cho ( )S là phần mặt cong có phương trình 2 2z x y= + nằm giữa hai mặt 0, 5z z= = .

Tính diện tích mặt ( )S .

3. Tính tích phân kép ( ) xdD

I x y d y= +∫∫ với D giới hạn bởi các đường

( )2 21 1, , 3 0x y y x y x− + = = + =

4. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt 2 , 1, 1, 2y x y z z= = = − =

5. Xác định cận của tích phân bội ba ( ), , xd dV

f x y z d y z∫∫∫ trong hệ tọa độ trụ, cầu; với V

giới hạn bởi các mặt 2 2 2 2; 1z x y z x y= + = − −

6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

( ) ( )2 22 2, 0, 1 1, 3 9y x x x y x y= = + − = + − =

7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt 2x0, 3, 0, , 0, yx x y y x z z e += = = = = =

8. Tính tích phân ( )1 xdyD

I x y d= + +∫∫ , với D là miền giới hạn bởi các đường thẳng

1, 2, 1, 1y x y x y x y x= − = − = − − = − +

9. Tính tích phân ( )2 2 2 xd dV

J x y z d y z= + −∫∫∫ với V là hình cầu 2 2 2 1x y z+ + ≤

10. Tính diện tích phần mặt paraboloid 2 2z x y= + nằm phía trong mặt trụ 2 2 1x y+ =


3

11. Tích thể tích vật thể nằm phía trong mặt cầu 2 2 2 2x y z+ + = và phía trên paraboloid 2 2z x y= +

12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

( ) ( )2 22 23 , 0, 1 1, 4 16y x y x y x y= = − + = − + =

13. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt 2x0, 3, 0, ln 6, 0, 3e yx x y y z z += = = = = =

14. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt 2 20, 9z z x y= = − − −

15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

( ) ( )2 22 2, 1 1, 2 4y x x y x y= ± + + = + + =

16. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 2

2 218

z x y

z x y

⎧ = − +⎪⎨

= − − −⎪⎩

17. Tính diện tích phần mặt paraboloid 2 2 2zx y+ = nằm giữa hai mặt 0, 2z z= = .

Bài tập chương 2. Tích phân đường 1. Tính tích phân đường loại 2 ( ) ( )2 2sinx 2x x 2x cos2

L

K x y y d x y y dy= + − + + −∫ với

L là nửa đường tròn 22xy x= − nối ( )2,0A và ( )0,0O

2. Tính 2 2L

xyzM dlx y

=+∫ trong đó L là đường cong cho bởi phương trình tham số

cos , sin , 04

x t y t z t t π⎛ ⎞= = = ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

3. Tính ( ) ( )2 x+C

N x y d y x dy= + −∫ trong đó C là nửa đường tròn ( )2 2 9, 0x y y+ = ≥

đi từ điểm ( )3,0A − đến điểm ( )3,0B


4

4. Tính tích phân đường loại 2 ( ) ( )2 2s inx x cos 3sinC

x y d xy y y y dy− + + −∫— với C là

đường tròn 2 2 1x y+ = , lấy theo chiều dương.

5. Tính tích phân ( )2 2 x dC

K x y d x y= − +∫ với C gồm đoạn thẳng AB đi từ ( )2,0A đến

( )1,1B và cung parabol 22 1y x= + từ B đến ( )1,0C − .

6. Tính tích phân đường ( )2 1L

I x z dl= −∫ , trong đó L là đường cong cho bởi phương

trình tham số 2 ,0 22 1

x ty t tz t

=⎧⎪ = ≤ ≤⎨⎪ = +⎩

7. Tính tích phân đường ( ) ( )2 2arctan 2 y

C

K x x y dx x xy y e dy−= − + − +∫ trong đó C là

nửa của đường tròn 21y x= − đi từ điểm ( )1,0A đến điểm ( )1,0B −

Bài tập chương 3. Tích phân mặt, lý thuyết trường 1. Cho trường vector ( ) 2 2 2, , xF x y z xy i yz j z k= + +

ur r r r

a. Tính ( )( ) ( )( ), , , , ,rot F x y z div F x y zuuur ur ur

b. Tìm thông lượng của trường vector ( ), ,F x y zur

qua phía trên phần mặt paraboloid 2 2 2zx y+ = nằm giữa hai mặt 0, 2z z= =

2. Cho trường vector ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , 3xz 7F x y z xy z i y j z yz k= + − − + −ur r r r

a. Tính ( )( ) ( )( ) ( ), , , , , ,rot F x y z div F x y z rot rotFuuur ur ur uuur uuur

b. Tính thông lượng của trường vector Fur

qua mặt dưới của phần mặt paraboloid 2 2 ,0 3x y z z+ = ≤ ≤


5

3. Tính hoàn lưu của trường vector phẳng ( ) ( ) ( )2 4, s inx 7F x y x y i x y j= − − +ur r r

dọc theo

biên của tam giác OAB theo chiều kim đồng hồ, biết các đỉnh của tam giác OAB lần lượt là ( ) ( ) ( )0,0 , 2,1 , 2,4O A B

4. Cho trường vector ( ) ( ) ( )2 22 2x zF x y z i y z j x m k= − + − + + +ur r r r

a. Xác định giá trị của m để Fur

là một trường thế b. Với 0m = , tính thông lượng của trường F

ur qua phía trên phần mặt nón

( ) 2 2: 1S z x y= + + bị cắt bởi hai mặt phẳng 2, 5z z= =

5. Cho trường vector ( ) ( ) ( )2 2 22 3z 5xF x y i y j z k= + + − + −ur r r r

a. Tính ,divF rotFur uuurur

b. Tính thông lượng của trường vector Fur

qua phía ngoài mặt cầu 2 2 2 1x y z+ + =

c. Tìm m để trường vector ( ) ( )2 5F m zi m x j myk+ − + + +ur r r r

là trường thế.

6. Cho ( )S là phần mặt cong có phương trình 2 2z x y= + nằm giữa hai mặt phẳng

0, 5z z= = . Tính tích phân ( )2 2 xdS

x y d y+∫∫ trong đó pháp tuyến dương hướng xuống

phía dưới của mặt ( )S

7. Cho trường vector ( ) ( )2 2F xy yz i x z j xyzk= + + + +ur r r r

. Tính ( ) ( ), 1,1,2rot rotF divFuuur uuurur ur

8. Cho trường vector ( ) ( ) ( )3 3 2, , 2 2xF x y z x y i y z j k= + + + +ur r r r

a. Fur

có là trường thế không? Nếu Fur

là trường thế, hãy tìm hàm thế vị. b. Tính thông lượng của trường vector ( ), ,F x y z

ur qua phía dưới của mặt cầu

( )2 2 2 4, 0x y z z+ + = ≥

9. Cho trường vector 3 3 3F x i y j z k= + +ur r r r

a. Tìm ,divF rotFur ur

b. Tính thông lượng của Fur

qua phía ngoài của mặt cầu 2 2 2 1x y z+ + =


6

Bài tập chương 4. Phương trình vi phân Giải các phương trình vi phân sau:

1. ( ) ( )3 2 2sin 2x 1 x cos 3 2 0x xe y y d e y x y dy+ − + + + =

2. '' ' cos 2sin xy y y x x e+ + = + +

3. ( )2cos 2 sin 2 ' 0y yy x xe x x e y+ + + + =

4. '' 3siny y x x+ = +

5. ( ) ( ) ( )sin cos 0, 02

x xy e y dx x e y dy y π+ + + = =

6. '' 4 ' 5 cosy y y x− + =

7. 3 '' 5 ' 2 5sinxy y y e x−+ + = −

8. Chuyển động thẳng của một xe lửa được cho bởi phương trình ( )21 tdv k e cvdt

−= − − .

Trong đó v là vận tốc, t là thời gian và ,k c là các hằng số. Hãy biểu diễn vận tốc v theo các thông số còn lại, biết rằng 0v = khi 0t = .

9. ( )2 2' 2x 1xy y e x− = +

10. '' 4 ' 4 3y y y x− + = +

11. Giá trị bán lại ( )r t của một máy sau t năm sẽ giảm với tốc độ tỷ lệ với hiệu giữa giá

trị hiện tại và giá trị phế liệu của máy. Tức là, nếu s là giá trị phế liệu của máy thì ( )r t

thỏa phương trình vi phân

( )rd k r sdt

= − − với 0k const= > là hằng số tỷ lệ (1)

Giả sử ( )r t là giá trị chiếc máy tính của bạn sau t năm kể từ ngày mua và ( )r t thỏa

phương trình (1). Tìm ( )r t biết giá trị mua mới của máy là 17 triệu đồng ( ( )0 17r = ), giá trị 3 năm sau là 7 triệu và giá trị phế liệu 0,5s = triệu đồng.


7

12. ( )2x , 0 1x

ydy e yd

−= =

13. 18x 3xdy xyd

+ = −

14. 2x'' 3y' 2 y ey −+ + = , tính limx

y→+∞

15. ( ) ( )2 0xy e dx x dy− + + =

16. '' cosy y x x+ = +

17. ( )3 , 1 2dy y x ydx x

+ = =

18. '' 4 cos2x x 1y y+ = + +

19. ( )3 6 , 0 0x ydy e ydx

−= =

20. 12 1dy xy xdx

+ = +

21. 3'' 9 ' 8 240xy y y e−+ + = + . Tính limx

y→+∞

22. ( ) ( )2 2x 0x yxy e d x y ye dy+ + + =

23. ( ) ( )2 2x 1 0y y d x dy+ + + =

24. '' ' 1 cos2y y x+ = +

Documents

Bài tập A3