Bai Tap Toan Roi Rac Nhut

BÀI TẬP Toán rời rạc và

Nhập môn lý thuyết đồ thị

Tài liệu học tập dành cho sinh viên Khoa CNTT - UEF

Phiên bản 1.0

2008

MỤC LỤC

PHẦN 1 BÀI TẬP...........................................................................3CHƯƠNG 1 QUAN HỆ..................................................................4

A. Bài tập củng cố lý thuyết..........................................................................4

1 Quan hệ và các tính chất của nó...........................................................4

2 Quan hệ n-ngôi và ứng dụng.................................................................4

B. Bài tập thực hành trên máy tính.............................................................4

C. Viết tiểu luận.............................................................................................4

CHƯƠNG 2 ĐỒ THỊ......................................................................5

A. Bài tập củng cố lý thuyết..........................................................................5

1 Giới thiệu.................................................................................................5

2 Các thuật ngữ đồ thị..............................................................................6

3 Biểu diễn các đồ thị và sự đẳng cấu đồ thị...........................................9

4 Tính liên thông......................................................................................10

5 Các đường đi Euler và Hamilton........................................................12

6 Tính liên thông......................................................................................12

B. Bài tập thực hành trên máy tính...........................................................12

C. Viết tiểu luận...........................................................................................12

PHẦN 2 LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN.........................................13CHƯƠNG 1 QUAN HỆ................................................................14

A. Bài tập củng cố lý thuyết........................................................................14

1 Quan hệ và các tính chất của nó.........................................................14

2 Quan hệ n-ngôi và ứng dụng...............................................................14


C. Viết tiểu luận...........................................................................................14

CHƯƠNG 2 ĐỒ THỊ....................................................................15

A. Bài tập củng cố lý thuyết........................................................................15

1 Giới thiệu...............................................................................................15

2 Tiêu đề mục 2........................................................................................16

1


C. Viết tiểu luận............................................................................................16

2

Chương 2. Quan hệ

PHẦN 1

BÀI TẬP

3


CHƯƠNG 1QUAN HỆ

A. Bài tập củng cố lý thuyết

1 Quan hệ và các tính chất của nóBài 1.1. Nội dung

Bài 1.2. Nội dung

….

2 Quan hệ n-ngôi và ứng dụngBài 2.1. Nội dung


….

B. Bài tập thực hành trên máy tínhBài 1. Nội dung

Bài 2. Nội dung

….

C. Viết tiểu luậnBài 1. Nội dung

Bài 2. Nội dung

….

4


CHƯƠNG 2ĐỒ THỊ


1 Giới thiệuBài 1.1. Với mỗi trường hợp sau, vẽ các mô hình đồ thị biểu diễn các đường bay và nói rõ về loại đồ thị được dùng. Trong đó lịch bay mỗi ngày như sau:

- Từ TP.HCM: có một chuyến đến Hà Nội, một chuyến đến Đà Nẵng, một chuyến đến Phú Quốc, một chuyến đến Nghệ An, một chuyến đến Hải Phòng;

- Từ Hà Nội: có hai chuyến đến TP.HCM, một chuyến đến Đà Nẵng, một chuyến đến Nghệ An, một chuyến đến Hải Phòng;

- Từ Đà Nẵng: có một chuyến đến Hải Phòng, hai chuyến bay đến TP.HCM; một chuyến đến Hà Nội;

- Từ Nghệ An: có một chuyến đến Hà Nội, một chuyến đến TP.HCM;

- Từ Hải Phòng: có một chuyến đến Hà Nội, một chuyến đến TP.HCM, và một chuyến đến Đà Nẵng;

- Từ Phú Quốc: có một chuyến đến TP.HCM.

a) Đồ thị biểu diễn các thành phố có chuyến bay giữa chúng.

b) Đồ thị biểu diễn số chuyến bay hoạt động giữa các thành phố, cộng với một khuyên biểu thị chuyến du lịch đặc biệt ngắm cảnh thành phố, cất và hạ cánh tại Phú Quốc.

c) Đồ thị biểu diễn đầy đủ thông tin về hướng bay và số chuyến bay giữa các thành phố.

Bài 1.2. Xác định xem đồ thị nào sau đây là đồ thị đơn, đa đồ thị, đồ thị có hướng.

5


Bài 1.3. Trong trận đấu vòng tròn, đội H thắng đội G, đội C, và đội A; đội G thắng đội A và đội C; đội C thắng đội A. Hãy mô hình hóa kết quả này bằng một đồ thị có hướng.

….

2 Các thuật ngữ đồ thịBài 2.1. Xác định số lượng các đỉnh, số lượng các cạnh, và bậc của các đỉnh trong các đồ thị sau. Cho biết đỉnh nào là đỉnh cô lập, đỉnh nào là đỉnh treo.

6

a)

b)

c)d)

ca

f e d

a)

b


Bài 2.2. Tìm tổng các bậc của các đỉnh trong các đồ thị ở các Bài 2.1, và kiểm chứng rằng nó bằng hai lần số các cạnh trong đồ thị.

Bài 2.3. Có thể tồn tại một đồ thị đơn có 15 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc bằng 5 không? Tại sao?

Bài 2.4. Trong một buổi chiêu đãi, mọi người đều bắt tay nhau. Chứng tỏ rằng tổng số người được bắt tay là một số chẵn. Giả sử không ai tự bắt tay mình.

Bài 2.5. Xác định số đỉnh, số cạnh, số bậc vào và số bậc ra của mỗi đỉnh đối với đồ thị có hướng sau.

7

a

e d cb)

b

b

h g ec)

c d

if

a

a

d c

b


Bài 2.6. Hãy xác định tổng các bậc vào và tổng các bậc ra các đỉnh của đồ thị trong bài 2.5 một cách trực tiếp. Chứng tỏ rằng chúng đều bằng tổng các cạnh của đồ thị.

Bài 2.7. Đồ thị sẽ có bao nhiêu cạnh nếu nó có các đỉnh bậc 4, 3, 3, 2, 2. Vẽ một đồ thị như vậy.

Bài 2.8. Có tồn tại đồ thị đơn chứa năm đỉnh với các bậc sau đây? Nếu có hãy vẽ đồ thị đó.

a) 3, 3, 3, 3, 2. b) 1, 2, 3, 4, 5.

c) 1, 2, 3, 4, 4.

Bài 2.9. Vẽ tất cả các đồ thị con của đồ thị sau.

Bài 2.10. Tìm hợp của các cặp đồ thị đơn sau

8

a

c d

b

a

b

cd

e

f f b

da)


3 Biểu diễn các đồ thị và sự đẳng cấu đồ thị Bài 3.1. Dùng danh sách kề biểu diễn các đồ thị sau.

Bài 3.2. Biểu diễn các đồ thị trong bài 3.1 bằng ma trận kề.

Bài 3.3. Vẽ các đồ thị ứng với ma trận kề được cho như sau.

a) b) c)

Bài 3.4. Dùng ma trận liên kết để biểu diễn các đồ thị trong Bài 3.1.

Bài 3.5. Xác định xem các cặp đồ thị đã cho có là đẳng cấu không.

9

ba

dc

e

a f b

e

dgc

b)

a

c d

b

a)

a

d c

b

b)


4 Tính liên thôngBài 4.1. Các danh sách đỉnh sau đây có tạo nên đường đi trong đồ thị bên dưới hay không? Đường đi nào là đơn? Đường đi nào là chu trình? Độ dài của các đường đi này là bao nhiêu?

a) (a, e, b, c, b)

b) (a, e, a, d, b, c, a)

c) (e, b, a, d, b, e)

10

u4 u5u2 u3

v1 v2

v4 v5

u1

v3

a)


d) (c, b, d, a, e, c)

Bài 4.2. Các danh sách đỉnh sau đây có tạo nên đường đi trong đồ thị bên dưới hay không? Đường đi nào là đơn? Đường đi nào là chu trình? Độ dài của các đường đi này là bao nhiêu?

a) (a, b, e, c, b)

b) (a, d, a, d, a)

c) (a, d, b, e, a)

d) (a, b, e, c, b, d, a)

Bài 4.3. Xác định xem các đồ thị đã cho có liên thông không.

Bài 4.4. Có bao nhiêu thành phần liên thông trong các đồ thị ở các Bài tập 4.3? Tìm các thành phần liên thông đó.

Bài 4.5. Tìm tất cả các đỉnh cắt và cạnh cắt của đồ thị.

11


5 Các đường đi Euler và HamiltonBài 5.1. Xác định xem có tồn tại chu trình Euler trong các đồ thị sau hay không. Vẽ chu trình đó khi nó tồn tại.

Bài 5.2. Xác định xem các đồ thị trong Bài 5.1 có đường đi Euler không. Vẽ các đường đi đó nếu có.

Bài 5.3. Xác định xem có thể vẽ các bức tranh sau bằng một nét liền, không nhấc bút lên khỏi mặt giấy không?

Bài 5.4. Xác định sự tồn tại chu trình Euler trong các đồ thị có hướng sau. Vẽ các chu trình này nếu chúng tồn tại.

12


Bài 5.5. Xác định xem đồ thị có hướng trong Bài 5.4 có đường đi Euler hay không. Vẽ các đường đi Euler này nếu có.

Bài 5.6. Xác định đồ thị đã cho có chứa chu trình Hamilton hay không. Nếu có hãy tìm một chu trình như thế. Nếu không có hãy giải thích lý do vì sao không tồn tại.

13


Bài 5.7. Đồ thị trong Bài 5.6 có đường đi Hamilton không? Nếu có, hãy tìm đường đó. Nếu không có, cho biết lý do tại sao không tồn tại một đường đi như vậy.

6 Các bài toán đường đi ngắn nhấtBài 6.1. Tìm chiều dài của đường đi ngắn nhất giữa a và z trong đồ thị có trọng số sau đây

14


Bài 6.2. Tìm độ dài của đường đi ngắn nhất giữa các cặp đỉnh sau đây trong các đồ thị có trọng số ở Bài 6.1.

a) a và d b) a và f c) c và f d) b và z

B. Bài tập thực hành trên máy tínhViết các chương trình với các đầu vào và đầu ra như sau:

Bài 1. Một đồ thị cho trước bởi danh sách kề. Xác định bậc các đỉnh của đồ thị này.

Bài 2. Một đồ thị cho trước bởi danh sách kề. Xác định xem đồ thị này có là đồ thị lưỡng phân hay không?

Bài 3. Một đồ thị cho trước bởi danh sách kề. Xây dựng ma trận kề mô tả đồ thị đó.

Bài 4. Một đồ thị cho trước bởi ma trận kề. Liệt kê các cạnh của đồ thị này.

Bài 5. Một đồ thị cho trước bởi ma trận liên kết. Liệt kê các cạnh của đồ thị này.

15


C. Viết tiểu luậnBài 1. Tìm hiểu nguồn gốc và sự phát triển của lý thuyết đồ thị trước thế kỷ 20.

Bài 2. Tìm hiểu một số thuật toán hiện có để xác định tính đẳng cấu của hai đồ thị, cùng với độ phức tạp tính toán của những thuật toán này. Hiện nay, thuật toán nào trong số đó có hiệu quả cao nhất.

Bài 3. Tìm hiểu bài toán người đưa thư (travelling salesman problem).

Bài 4. Tìm hiểu bài toán tô màu đồ thị (graph coloring).

CHƯƠNG 4ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN


1 Dãy và phép tính tổngBài 1.1. Tìm số hạng a8 của dãy an nếu an bằng

a) 2n-1 b) 7 c) 1 + (– 1)n d) –(–2)n

Bài 1.2. Tìm các số hạng a0, a1, a2, và a3 của dãy an với an bằng

a) (–2)n b) 3 c) 7 + 4n d) 2n + (–2)n

Bài 1.3. Liệt kê 10 số hạng đầu của các dãy sau:

a) Dãy có được bằng cách bắt đầu từ 10 và các số hạng sau là các số hạng đứng trước trừ đi 3.

b) Dãy có số hạng thứ n là tổng của n số nguyên dương đầu tiên.

c) Dãy có số hạng thứ n là 3n – 2n.

16


Bài 1.4. Tìm ít nhất ba dãy khác nhau bắt đầu với các số hạng 1, 2, 4 và các số hạng sau được tạo ra bởi một công thức hay quy luật đơn giản nào đó.

Bài 1.5. Đối với mỗi liệt kê các số nguyên sau đây, hãy tìm một công thức hay luật đơn giản để tạo ra các số hạng của dãy số nguyên bắt đầu với liệt kê đã cho.

a) 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, 66, 83, 102, …

b) 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, …

c) 1, 10, 11, 100, 101, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, …

Bài 1.6. Tính giá trị của các tổng sau đây, với S = 1, 3, 5, 7.

a) b) c) d) .

Bài 1.7. Tính giá trị của các tổng sau:

a) b) d) .

Bài 1.8. Tính các tổng kép sau đây:

a) b) c) .

Bài 1.9. Tính tổng

2 Độ tăng của hàmBài 2.1. Xác định các hàm sau đây có phải là O(x2) hay không?

a) f(x) = 17x + 11 b) f(x) = x2 + 1000. c) f(x) = x log x d) f(x) = x4/2

Bài 2.2. Dùng định nghĩa f(x) là O(g(x)) để chứng minh 2x + 17 là O(3x).

17


Bài 2.3. Chứng minh rằng là O(x2).

Bài 2.4. Tìm số nguyên n nhỏ nhất để có f(x) là O(xn) đối với các hàm sau:

a) f(x) = 2x2 + x3 log x b) f(x) = .

Bài 2.5. Chứng minh rằng x3 là O(x4) nhưng x4 không phải là O(x3).

Bài 2.6. Xác định xem x3 có là O(g(x)) hay không đối với các hàm g sau:

a) g(x) = x2 b) g(x) = x3/2c) g(x) = x2 + x3 d) g(x) = x2 + x4

Bài 2.7. Chứng minh rằng nếu f(x) là O(x) thì f(x) cũng là O(x2).

Bài 2.8. Cho k là một số nguyên dương. Chứng minh rằng 1k + 2k + … + nk là O(nk+1).

Bài 2.9. Đối với từng hàm trong bài 2.1, hãy xác định hàm đó có là Ω(x2) không? Và có là Θ(x2) không?

Bài 2.10. Chứng minh rằng

a) 3x + 7 là Θ(x) b) 2x2 + x – 7 là Θ(x2)

3 Thuật toánBài 3.1. Xây dựng thuật toán tính xn, với x là số thực và n là số nguyên. (Gợi ý: trước hết đưa ra thủ tục tính xn khi n không phải số âm bằng cách nhân liên tục với x, bắt đầu từ 1. Sau đó mở rộng thủ tục này và dùng quan hệ x-n = 1/xn để tính xn khi n âm.)

Bài 3.2. Trình bày thuật toán chỉ dùng các lệnh gán để đổi chỗ bộ ba (x, y, z) thành (y, z, x). Cần dùng tối thiểu bao nhiêu lệnh gán?

Bài 3.3. Liệt kê tất cả các bước cần tiến hành để tìm (nhị phân) số 7 trong dãy số đã sắp tăng 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11.

Bài 3.4. Trình bày thuật toán tìm số nguyên nhỏ nhất trong một dãy hữu hạn các số tự nhiên.

18


Bài 3.5. Trình bày thuật toán xác định vị trí xuất hiện cuối cùng của phần tử nhỏ nhất trong một danh sách hữu hạn các số nguyên, trong đó các số nguyên không nhất thiết phải khác nhau.

Bài 3.6. Trình bày thuật toán tìm cả số lớn nhất lẫn số bé nhất trong dãy hữu hạn các số nguyên.

4 Độ phức tạp của thuật toánBài 4.1. Viết thuật toán dùng để xếp bốn số hạng đầu của một danh sách có độ dài tuỳ ý theo thứ tự tăng dần. Chứng minh rằng thuật toán này có độ phức tạp thời gian là O(1), được tính thông qua số lượng các phép so sánh được sử dụng.

Bài 4.2. Xác định số lượng phép nhân được dùng để tính bắt đầu với x rồi bình phương liên tiếp (để tìm x2, x4, …). Cách này có hiệu quả hơn cách nhân x với chính nó một số lần thích hợp hay không?

Bài 4.3. a) Chứng tỏ thuật toán sau có khả năng xác định số lượng bit 1 trong xâu bit S

Procedure đếm_bit(S: xâu_bit)

count := 0

while S<>0

begin

count := count + 1

S := S AND (S – 1)

end count sẽ là số lượng các bit 1 trong S

Các phép toán của dòng lệnh S := S AND (S – 1) đều là phép toán bit.

b) Cần phải thực hiện bao nhiêu phép AND bit để tìm số lượng bit 1 trong một xâu bit có độ dài bằng n.

Bài 4.4. Phương pháp Horner dùng để tính giá trị đa thức anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 tại x = c như sau:

Procedure Horner(c, a0, a1, …, an: những số thực)

y : = an

for i := 1 to n

19


y := y*c + an-i

y = ancn + an-1cn-1 + … + a1c + a0

a) Tính giá trị 3x2 + x + 1 tại x = 2 bằng cách thực hiện từng bước thuật toán trên.

b) Có chính xác bao nhiêu phép nhân và phép cộng được thuật toán đó sử dụng để tính giá trị một đa thức bậc n ở x = c? (không kể các phép cộng được dùng để tăng biến vòng lặp.)

Bài 4.5. Một thuật toán sẽ mất bao nhiêu thời gian để giải một bài toán có kích thước n, nếu thuật toán đó dùng 2n2 + 2n phép tính bit, mỗi phép mất 10-9 giây, với các giá trị của n như sau:

a) 10 b) 20 c) 50 d) 100.

Bài 4.6. Xác định số lượng phép so sánh ít nhất (hay hiệu năng trong trường hợp tốt nhất)

a) cần thiết để xác định số lớn nhất trong một dãy số nguyên.

b) được dùng để xác định vị trí một phần tử trong dãy có n số hạng khi dùng thuật toán tìm kiếm nhị phân.

5 Các kỹ thuật thiết kế thuật toánBài 5.1. Đưa ra một thuật toán đệ quy để tính tổng của n số nguyên dương đầu tiên.

Bài 5.2. Đưa ra một thuật toán đệ quy để tìm số lớn nhất của tập hữu hạn các số nguyên.

Bài 5.3. Đưa ra thuật toán đệ quy để tìm trong đó a là một số thực và

n là một số nguyên dương. (Gợi ý: Dùng đẳng thức .)

Bài 5.4. Thành lập một thuật toán đệ quy để tìm số hạng thứ n của dãy được định nghĩa: a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3, và an = an-1 + an-2 + an-3 với n = 3, 4, 5, …

6 Độ phức tạp thuật toán qua các ví dụBài 6.1. Nhân (1110)2 với (1010)2 bằng thuật toán nhân nhanh Karatsuba.

20


Bài 6.2. Tính thời gian thực hiện của các đoạn chương trình sau:

a) Tính tổng của các số

1 Sum := 0;

2 for i:=1 to n do begin

3 readln(x);

4 Sum := Sum + x;

end;

b) Tính tích hai ma trận vuông cấp n: C = A*B:

1 for i := 1 to n do

2 for j := 1 to n do begin

3 c[i,j] := 0;

4 for k := 1 to n do

5 c[i,j] := c[i,j] + a[i,k] * b[k,j];

end;

B. Bài tập thực hành trên máy tínhViết các chương trình với các đầu vào và đầu ra như sau:

Bài 1. Cho a, r và n là các số nguyên không âm. Tìm tổng của cấp số nhân a, ar, ar2, …, arn.

Bài 2. Nhập một xâu ký tự. Xuất ra nghịch đảo của nó.

Bài 3. Cho trước một số thực a và số nguyên không âm n. Dùng đệ quy tính an.

Bài 4. Cho hai số nguyên không đồng thời bằng không. Tìm ước chung nhỏ nhất của chúng bằng phép đệ quy.

Bài 5. Cho một danh sách các số nguyên và một phần tử x, xác định vị trí x trong danh sách bằng cách cài đặt đệ quy thuật toán tìm kiếm nhị phân.

21


Bài 6. Cho trước một số nguyên không âm n. Dùng phương pháp đệ quy để tìm số Fibonacci thứ n.

C. Viết tiểu luậnBài 1. Trình bày khái niệm gốc của khái niệm O. Giải thích về cách mà tác giả và những người khác đã dùng khái niệm này.

….

22


PHẦN 2

LỜI GIẢIVÀ HƯỚNG DẪN

23


CHƯƠNG 1QUAN HỆ


1 Quan hệ và các tính chất của nóBài 1.1. Nội dung


….

2 Quan hệ n-ngôi và ứng dụngBài 2.1. Nội dung


….


Bài 2. Nội dung

….


Bài 2. Nội dung

….

24


CHƯƠNG 2ĐỒ THỊ


1 Giới thiệuBài 1.1. Các đồ thị mô tả cho từng trường hợp như sau

a) Đồ thị vô hướng

b) Đa đồ thị vô hướng

c) Đa đồ thị có hướng

25

Phú QuốcNghệ An

Hà Nội

Hải PhòngĐà Nẵng

TP. HCM


Hà Nội


TP. HCM



….

2 Tiêu đề mục 2Bài 2.1. Nội dung


….


Bài 2. Nội dung

….


Bài 2. Nội dung

….

26


Hà Nội


TP. HCM


27

Documents

Bai Tap Toan Roi Rac Nhut