4
BÀI TẬP TỔNG HỢP VÉC TƠ I. CÁC QUY TẮC CẦN NHỚ 1) Quy tắc ba điểm : Với ba điểm A , B , C bất kỳ ta luôn có : AB BC AC hoặc AB AC CB 2) Quy tắc hình bình hành : ABCD là hình bình hành AB AD AC 3) Quy tắc trung điểm : M là trung điểm AB và I là điểm tùy ý 0 MA MB 2 IA IB IM 4) Quy tắc trọng tâm : G là trọng tâm của ABC và M là điểm tùy ý , ta có : 0 GA GB GC 3 MA MB MC MG 5) Điều kiện thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng . AB k AC II. CÁC DẠNG BÀI TẬP A. - Chứng minh các đẳng thức véc tơ Bài 1 Cho 4 điểm A , B , C , D . Chứng minh : a) AB CD AD CB b) AB CD AC BD Bài 2 Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M tùy ý . Chứng minh : 2 MA MC MB MD MO Bài 3 Cho ABC . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB. Chứng minh : a) 0 AN CM KB b) 0 AM BN CK c) AK BM AN BK KC Bài 4 Cho tứ giác ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh a) 2 AC BD IJ b) 2 AD BC IJ Bài 5 Cho tứ giác ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm AC và BD. Chứng minh 2 AB CD IJ Bài 6 Cho tgiác ABCD . Gọi M , N , I , J lần lượt là trung điểm AD , BC , AC , BD. Chứng minh : a) 2 AB DC MN b) 2 AB DC IJ Bài 7 Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm AB và CD. K là trung điểm EF. Chứng minh : a) 4 AB AC AD AK b) 0 KA KB KC KD c) Với O là điểm tùy ý thì 4 OA OB OC OD OK Bài 8 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O và M là điểm bất kỳ. a) Tính MA MC ME theo MO b) Chứng minh MA MC ME MB MD MF Bài 9 Cho ABC có trọng tâm G . Gọi H đối xứng với G qua B. Chứng minh : 5 0 HA HB HC Bài 10 Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G’. Chứng minh : a) 3 ' AD BE CF GG b) 3 ' AE BF CD AF BD CE GG c) Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm Bài 11 Cho ABC có trọng tâm G , trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh : a) HB HC HD b) 2 HA HB HC HO c) 2 HA HB HC OA c) OA OB OC OH d) Chứng minh O , G , H thẳng hàng Bài 12 Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , CD. a) Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh : 0 KA KB KC KD b) Với I là điểm bất kỳ . Chứng minh 4 IA IB IC ID IK c) Gọi E và F lần lượt là trung điểm AC và BD . Chứng minh EF đi qua điểm K. d) Gọi G 1 là trọng tâm của BCD. Chứng minh A , K , G 1 thẳng hàng e) Gi G 2 , G 3 ,G 4 lần lượt là trọng tâm của các CDA , DAB , ABC . Chứng minh các đường thẳng AG 1 , BG 2 , CG 3 , DG 4 đồng quy tại một điểm

Bai Tap Vecto Tong Hop

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Bai Tap Vecto Tong Hop

BÀI TẬP TỔNG HỢP VÉC TƠ

I. CÁC QUY TẮC CẦN NHỚ 1) Quy tắc ba điểm : Với ba điểm A , B , C bất kỳ ta luôn có : AB BC AC

hoặc AB AC CB

2) Quy tắc hình bình hành : ABCD là hình bình hành AB AD AC

3) Quy tắc trung điểm : M là trung điểm AB và I là điểm tùy ý 0MA MB

và 2IA IB IM

4) Quy tắc trọng tâm : G là trọng tâm của ABC và M là điểm tùy ý , ta có : 0GA GB GC

và 3MA MB MC MG

5) Điều kiện thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng .AB k AC

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP A. - Chứng minh các đẳng thức véc tơ Bài 1 Cho 4 điểm A , B , C , D . Chứng minh : a) AB CD AD CB

b) AB CD

AC BD

Bài 2 Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M tùy ý . Chứng minh : 2MA MC MB MD MO

Bài 3 Cho ABC . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB. Chứng minh : a) 0AN CM KB

b) 0AM BN CK

c) AK BM AN BK KC

Bài 4 Cho tứ giác ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh a) 2AC BD IJ

b) 2AD BC IJ

Bài 5 Cho tứ giác ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm AC và BD. Chứng minh 2AB CD IJ

Bài 6 Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N , I , J lần lượt là trung điểm AD , BC , AC , BD. Chứng minh : a) 2AB DC MN

b) 2AB DC IJ

Bài 7 Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm AB và CD. K là trung điểm EF. Chứng minh : a) 4AB AC AD AK

b) 0KA KB KC KD

c) Với O là điểm tùy ý thì 4OA OB OC OD OK

Bài 8 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O và M là điểm bất kỳ. a) Tính MA MC ME

theo MO

b) Chứng minh MA MC ME MB MD MF

Bài 9 Cho ABC có trọng tâm G . Gọi H đối xứng với G qua B. Chứng minh : 5 0HA HB HC

Bài 10 Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G’. Chứng minh : a) 3 'AD BE CF GG

b) 3 'AE BF CD AF BD CE GG

c) Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm Bài 11 Cho ABC có trọng tâm G , trực tâm H và nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh : a) HB HC HD

b) 2HA HB HC HO

c) 2HA HB HC OA

c) OA OB OC OH

d) Chứng minh O , G , H thẳng hàng Bài 12 Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , CD.

a) Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh : 0KA KB KC KD

b) Với I là điểm bất kỳ . Chứng minh 4IA IB IC ID IK

c) Gọi E và F lần lượt là trung điểm AC và BD . Chứng minh EF đi qua điểm K. d) Gọi G1 là trọng tâm của BCD. Chứng minh A , K , G1 thẳng hàng e) Gọi G2 , G3 ,G4 lần lượt là trọng tâm của các CDA , DAB , ABC . Chứng minh các đường

thẳng AG1 , BG2 , CG3 , DG4 đồng quy tại một điểm

Page 2: Bai Tap Vecto Tong Hop

B. - Chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài 13 Cho ABC và điểm I , F sao cho 3 0IA IC

và 2 3 0FA FB FC

.Chứng minh I , F , B thẳng hàng Bài 14 Cho ABC có các điểm M , N , K sao cho 2 0MB MC

; 2 0NA NC

; 0KA KB

a) Biểu diễn các véc tơ ,KM KN

theo các véc tơ ,AB AC

b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng Bài 15 Cho bốn điểm A , B , C , M thỏa mãn hệ thức 2 3 0MA MB MC

. Chứng minh A , B , C thẳng hàng

Bài 16

Cho ABC . Trên Bc lấy điểm D sao cho 25

BD BC

. Gọi E là điểm thỏa mãn 4 2 3 0AE EB EC

.

a) Phân tích ED

theo hai véc tơ EB

và EC

b) Chứng minh ba điểm A , E , D thẳng hàng Bài 17 Cho ABC , lấy M , N thỏa mãn : 3 4 3 0MA MB NB NC

. Gọi G là trọng tâm của ABC.

a) Chứng minh M , N , G thẳng hàng

b) Phân tích AC

theo hai véc tơ ,AG AN

. AC cắt GN tại K. Tính tỉ số KAKB

Bài 18 Cho hình bình hành ABCD . M , N là 2 điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AB = 3AM , CD = 2CN.

a) Tính AN

theo hai véc tơ ,AB AC

b) Gọi G là trọng tâm BMN . Tính AG

theo ,AB AC

c) Gọi I là điểm xác định bởi BI kBC

. Tính AI

theo ,AB AC

và k. Tìm k để AI đi qua G Bài 19 Cho ABC có G là trọng tâm . I là trung điểm của AG và K là điểm thuộc AB sao cho AB = 5AK

a) Phân tích các véc tơ , , ,AI AK CI CK

theo hai véc tơ ,CA CB

b) Chứng minh ba điểm C , I , K thẳng hàng

Bài 20

Cho ABC và I là điểm thuộc AC sao cho CA = 4CI. Điểm J là điễm sao cho 1 22 3

BJ AC AB

a) Chứng minh 34

BI AC AB

b) Chứng minh ba điểm B , I , J thẳng hàng

c) Dựng điểm J thỏa mãn đề bài d) Kéo dài AJ cắt BC tại K. Tính BK

theo BC

Bài 21 Cho ABC , I là điểm thỏa mãn 5 7 0IA IB IC

. Gọi G là trọng tâm ABC.

Chứng minh 2 35 5

AM AB AC

Bài 22 Cho ABC , lấy I và J sao cho 2IA IB

và 3 2 0JA JC

a) Phân tích véc tơ IJ

theo hai véc tơ ,AB AC

b) Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của ABC c) Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Gọi K là điểm thỏa BK mBA

. Xác định m để K , G , D

thẳng hàng Bài 23 Cho ABC , gọi I là trung điểm BC . D và E là hai điểm sao cho BD DE EC

.

a) Chứng minh AB AC AD AE

b) Phân tích AS AB AC AD AE

theo AI

c) Chứng minh ba điểm A , I , S thẳng hàng Bài 24 Cho ABC , lấy M , N , K sao cho : 2 2 0MB MC NA NC KA KB

a) Phân tích ,KM KN

theo hai véc tơ ,AB AC

b) Chứng minh M , N , K thẳng hàng

Page 3: Bai Tap Vecto Tong Hop

C. Xác định điểm thõa mãn hệ thức véc tơ cho trước Bài 25 Cho tam giác ABC . Xác định điểm M thỏa mãn điều kiện sau : a) 0MA MB MC

b) 2 0MA MB MC

c) 2 0MA MB MC

d) 3 2 0MA MB MC

e) 5 2 0MA MB MC

f) 3 2 2 0MA MB MC

g) 4 3 0MA MB MC

h) 2 4 0MA MB MC

k) 2 4 3MA MB MC BC

Bài 26 Cho tam giác ABC , M là điểm tùy ý. Chứng minh các véc tơ sau không phụ thuộc vào vị trí của M : a) 2a MA MB MC

b) 3 2b MA MB MC

c) 5 9 4b MA MB MC

d) 3 5 2 d MA MB MC

Bài 27 Cho tứ giác ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vecto 3 7 2 2v MA MB MC MD

không

phụ thuộc vào vị trí điểm M. Bài 28 Cho hình bình hành ABCD . Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau : a) 4AM AB AC AD

b) 4 0MA MB MC MD

c) 4 3 2 0MA MB MC MD

d) 2 2 3MA MB MC MD

Bài 29 Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M thỏa mãn các hệ thức sau : a) 2MA MB MC DA

b) 2 2 0MA MB MC MD

c) 2 0MA MB MC MD

d) 2 2 3MA MB MC MD

Bài 30 Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là điểm tùy ý . Tính độ dài các véc tơ sau theo a: a) 3u MA MB MC MD

b) 4 3 2u MA MB MC MD

Bài 31 Cho tứ giác ABCD.

a) Xác định điểm I sao cho 0AB IB IC ID

b) Tìm tập hợp điểm các điểm M sao cho u MA MB MC MD

cùng phương với AB

Bài 32 Cho tam giác ABC , tìm tập hợp các điểm M sao cho : a) MA MB MA MB

b) 2 4MA MB MB MC

Bài 33 Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện: 3 2 3MA MB MC MA MB MC

Bài 34 Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định. Tìm điểm M trên d sao cho : a) 2u MA MB MC

có độ dài nhỏ nhất b) 3 2u MA MB MC

có độ dài nhỏ nhất

Bài 35 Cho tam giác ABC . Hai điểm M và N thỏa mãn 2 3MN MA MB MC

.

a) Xác định điểm I sao cho : 2 3 0IA IB IC

b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định

Bài 36 Cho tam giác ABC. Và hai điểm M, N thỏa 4 3MN MA MB MC

a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M, N thay đổi.

b) Gọi E là điểm thỏa 2ME BN

chứng minh đường thẳng ME luôn đi qua một điểm cố định. Bài 37 Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là hai điểm thay đổi thỏa điều kiện: 3 3 4MN MA MB MC

.

a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Gọi P là điểm thỏa 2MP BN MB

chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.

Page 4: Bai Tap Vecto Tong Hop

Bài 38 Cho hình bình hành ABCD có các điểm M , I , N lần lượt thuộc các cạnh AB , BC , CD sao cho AB = 3AM , BI = kBC , CD = 2CN. Gọi G là trọng tâm của tam giác MNB . Định k để AI đi qua G. Bài 39 Cho tam giaùc ABC vaø M laø moät ñieåm tuøy yù.

a) Chöùng minh raèng vector v MA 2MB 3MC

khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa M. b) Haõy döïng ñieåm I sao cho CI v

.

c) Ñöôøng thaúng CI caét AB taïi N. Chöùng minh raèng NA 2NB 0

vaø CI 3CN

. d) Goïi D vaø E laø hai ñieåm sao cho BD DE EC

. Haõy döïng p AB AC DA EA

.

D. Tính độ dài các véc tơ Bài 40 Cho tam giác đều ABC cạnh là a. Tính AB AC

Bài 41 Cho tam giác vuông ABC vuông tại B. Biết AB = 6 ; BC = 10. Tính BA BC

Bài 42 Cho hình vuông ABCD tâm O , cạnh a. Xác định các véc tơ sau và tính độ dài của chúng : a) v OA OB OC OD

b) u AD AB

c) w AD AC

Bài 43 Cho tam giác ABC đều , cạnh 2a. Tính độ dài các véc tơ : u BA BC

, .v CA CB

Bài 44 Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh a , có 060BAD . Tính : | AB AD

| ; BA BC

; OB DC

.

Bài 45 Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính : AC BD

và AB BC CD DA