45
MŰSZAKI MATEMATIKAI GYAKORLATOK SZERKESZTI: DR. FAZEKAS FERENC EGYETEMI DOCENS BELSŐ MUNKATÁRSAK: DR.FREY TAMÁS DR. BAJCSAY PÁL EGYETEMI DOCENS EGYETEMI DOCENS KANDIDÁTUS KANDIDÁTUS SZEMLÉLTETÉS: GYURCSY ENDRE OKL. VILLAMOSMÉRNÖK TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST 1969

Bajcsay Pál - Variációszámítás

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematika

Citation preview

  • MSZAKI MATEMATIKAI GYAKORLATOK

    SZERKESZTI:D R . F A Z E K A S F E R E N C

    EGYETEMI DOCENS

    BELS MUNKATRSAK:

    D R .F R E Y TA M S D R . B A JC S A Y PLEGYETEMI DOCENS EGYETEMI DOCENS

    KANDIDTUS KANDIDTUS

    S Z E M L L T E T S :

    G Y U R C S Y E N D R EOKL. VILLAMOSMRNK

    T A N K N Y V K IA D , B U D A P E S T 1969

  • AM SZA KI MATEMATIKAI GYAKORLATOK

    S O R O Z A T K T E T E I

    A.A. I. Kzpiskolai m atem atika (tdik kiads)A. II. Egyvltozs elemi fggvnyek (Harmadik kiads)A. III. D ifferencilszm ts (Harmadik kiads)A. IV. H atrozatlan integrl (Negyedik kiads)A. V.* H atrozott integrl (Els rsz) (Msodik kiads)A. V .** H atrozott integrl (Msodik rsz)A. VI. Tbbvltozs fggvnyek s differencilsuk (Msodik kiads)A. VII. Tbbvltozs fggvnyek integrlsa (Msodik kiads)A. VIII. Taylor-sorok (Harmadik kiads)A. IX . Vektoralgebra. Lineris egyenletrendszerek (Negyedik kiads)A. X .* A logarlc (Negyedik kiads)

    B.B . I I I III. Vektoranalzis (Trgrbk s felletek differencilgeom etrija.

    Skli*-, vektor- s tenzormezk) (Harmadik kiads)B. IV. Komplex fggvnytan (Harmadik kiads)B . V. Numerikus s grafikus kzelt mdszerek (Msodik kiads)B . VI. Vgtelen sorozatok, sorok s szorzatok (Msodik kiads)B . VII.* Kznsges differencilegyenletek (Els rsz) (Negyedik kiads)B . V II.** Kznsges differencilegyenletek (Msodik rsz) (Msodik kiads)B . VIII. P arcilis differencilegyenletek (Msodik kiads)

    C.C. I. Opertorszm ts. Specilis fggvnyek (Msodik kiads)C. II. Variciszm ts (Harmadik kiads)C. III. Integrlegyenletek (Msodik kiads)C. IV. M atrixszm ts (Harmadik kiads)C. V. Valsznsgszmts (Msodik kiads)C. VI. M atem atikai sszefoglal (Harmadik kiads)C. VII. M atem atikai programozs (Msodik kiads)

    (A szvegben az egyes ktetekre a fenti bet- s szmjelzssel hivatkozunk.)

    C. II.

    VARICISZMlTS

    IRTA :

    D R . B A J C S A Y P LEGYETEM I DOCENS

    KANDIDTUS

    Harmadik kiads

  • e g y e t e m i s e g d k n y v

    E KTET KZIRATT TNZTE :

    D R . B O R B L Y S A M UAKADMIKUS

    K R M E N D I I S T V N

    Dr. F a z ek a s F eren c , dr. B a jc sa y P l , 1965

    Ki adst a mveldsgyi miniszter rendelte el

    A S O R O Z A T E L S K IA D S N A K E L S Z A V B L

    A megyetemi oktats s mrnki tovbbkpzs vtizedek ta nehezen nlklz egy, a mszaki ignyeknek megfelel magyar matematikai pldagyjtemnyt. E hinyt felismerve, matematikai tanszkeink lelkes fiataljai az utols 2 3 vben tbb jegyzetet lltottak ssze a m a te m a t ik a i gyakorlatok anyagbl. Tovbb enyhtette a hinyt GjunterKnzmin idkzben magyarul megjelent kivl felsbb matematikai pldatra, br ezt magas sznvonalra val tekintettel elssorban nem a megyetemi, hanem a tudomnyegyetemi hallgatk rszre adatta ki a minisztrium. A problma viszont teljes megoldst kvnt a hallgatk s a kezd tanszemlyzet ltszmnak nagymrv megnvekedse miatt. Ez utbbi krlmny azt az jabb ignyt tmasztotta egy leend pldatrral szemben, hogy az a feladatokon s vgeredmnyeiken kvl mg b megoldsi tmutatsokat is tartalmazzon. Ugyanakkor tbb matematikai rtekezleten szorgalmaztk, a legmeggyzbben dr. Alexits akadmikus professzor, hogy mszaki egyetemeinken alkalmazott, mszaki matematikt o k ta s s u n k , s gyjtsnk ssze megfelel alkalmazott mszaki anyagot.

    A minisztrium figyelmt ekkor felhvtk nhny lelkes hallgat trsasgban mr korbcan s hasonl szempontok szerint elindtott gyjt munkmra. A minisztrium azonnal felkarolta kezdemnyezsemet, megbzott egy Mszaki Matematikai Gyakorlatok cm pldagyjtemny terveinek, szerkesztsi elveinek kidolgozsval, majd rvidesen a m szerkesztsvel egyttal biztostva tbb matematikai tanszk nhny tapasztaltabb adjunktusnak, illetve tanrsegdjnek kzremkdst.

    Munknk A. s B.* rsze jrszt a matematiknak a mszaki felsoktatsban vilgszerte szoksoss vlt fejezeteit trgyalja, de a megszokott keretekhez kpest egyeseket kibvtve, fleg a B. rszben a klasszikus mszaki matematika rintett fejezeteit. A sorozat C. rsze a modern mszaki matematika nhny olyan nagy jelentsg fejezetbe nyjt bevezetst, amelyek bevonulsa mszaki felsoktatsunkba az utbbi vekben megkezddtt.

    Munknk els clja a szoksos tananyaggal kapcsolatban mindazt eladni, aminek mszaki egyetemeinken a helyesen, korszeren, a mszaki ignyeknek megfelelen vezetett matematikai gyakorlatokon szerepelnie kell. Esti s levelez oktatsunkban idevg fzeteink esetleg mg szlesebb kr felhasznlsra is kerlhetnek.

    Munknk msodik (de nem mellkes) clja gyakorlati s mszaki anyagot nyjtani a klnbz tagozatokon a felsbb ves nappali s esti hallgatk specilis matematikai oktatshoz, a szakmrnki tovbbkpz tanfolyamok s a Mrnki Tovbbkpz Intzet rendszeres matematikai oktatshoz, tovbb az ignyesebb hallgatk, a fiatal matematikai s mszaki tanszemlyzet, a kutat s zemi mrnkk s aspirnsok egyni vagy csoportos tovbbtanulshoz.

    E pldagyjtemnynl viszonylag jszernek mondhat clkitzsek megvalstsa szintn jszer szerkesztsi elveket kvnt. Ennek megfelelen nem szortkoztunk, mint a legtbb pldatr, csupn feladatok s vgeredmnyeik kzlsre. Ellenkezleg, megksreltk fejezetrl fejezetre vgigvezetni a kvetkez rendszert: a) elmleti sszefoglal;b ) b magyarzat ksretben rszletesen megoldott, kisszm jellegzetes mintaplda; c) az elbbiek alapjn knnyen megoldhat, csak vgeredmnnyel elltott, nagyszm gyakorl feladat; d) esetleg rvid tmutatssal elltott s csak vzlatosan megoldott klnleges (csillagos) pldk; e) esetleg egyes bizonytsok vzlatos kzlse a klnleges pldk kztt; f ) vgl mszaki alkalmazsok bemutatsa. E lncszemek vlemnynk szerint jl szolglhatjk a matematikai elmlet s a mszaki gyakorlat sszekapcsolsnak gyt. E szerkesztsi elvek legtapasztaltabb professzoraink helyeslsvel tallkoztak, tovbb egszen j szovjet pldatrakban szleltnk tbb-kevsb hasonl szerkesztsi elveket. Megjegyzend, hogy bizonyra nem mindentt sikerlt a rendszert teljes egszben megvalstanunk; olykor e sorrendtl is eltrtnk.

    Az A. rsz fzeteiben, professzorainkkal egyetrtsben, elgg vatosan mreteztk a mszaki alkalmazsok szmt a tbbi pldkhoz kpest. Erre ksztetett az elsves hallgatk mszaki ismereteinek hinyossga, valamint az e fzetekben kzlt matematikai appartus elgtelensge komolyabb problmk megoldshoz. Mg gy is lnyegesen bvebb mszaki pldaanyaguk, mint az ismert pldatrak.

    A B. s C. rsz fzeteiben az olvas egyre nvekv matematikai s mszaki ismereteire tmaszkodva nagy bsgben trgyalunk problmkat a klasszikus s modern mszaki matematika legklnbzbb terletrl, amelyekben kzzelfoghatan jelentkezik a matematika s a technika egysge.

    * A sorozat k tetein ek c m jeg yzk t lsd a 2 . o ld a lo n !

  • 6 a ^?:ifmert/ tny* hogy a hress vlt klfldi pldatrak legtbbje vtizedek alatt szmos kiads folyamn forrt ki, tkletesedett. E viszonylag jszer clkitzsekkel kszl peldatar fiatal szerzi teht rtheten sok-sok szrevtelt, megjegyzst, tancsot vrnak s krnk ezton is az olvasktl, hogy a sorozat kitztt cljnak minl hamarabb s minl teljesebb mrtkben megfeleljen.

    ^ A minisztrium s professzoraink tancst kvetve, btran mertettnk a legklnbzbb j forrsokbl, sokkal inkbb trekedve az anyag gazdagsgra s megbzhatsgra mintsem pldatrnl amgy is szegnyes sikert gr eredetisgre. Termszetesen szp szm j feladatot is ksztettnk.

    A szemlltet anyag gondos szerkesztse s megrajzolsa Gyurcsy Endre oki. villamos- mrnk kollga rdeme.

    E sorozat megszletst megknnytette az a krlmny, hogy a ministtrium egyetemi tanknyvosztlya egy ilyen m szksgessgt, jelentsgt s elvi vonatkozsait igen vilgosan ltta, s msokkal is meg tudta rtetni.

    Ki kell emelnem Egervry akadmikus professzor szmos szakmai megjegyzst s megyetemi eladsait, amelyekbl mertett tanulsgok nagymrtkben emelik munknk rtkt. lland rdekldsvel s gazdag pedaggiai s mdszertani tmutatsokkal volt segtsgnkre Gallai professzor. Meg kell emlkeznem az Alkalmazott Matematikai Intzetrl, mely modern knyvtrval s alkot lgkrvel a gyjts legelejtl mindvgig tmogatta munknkat.

    Ksznettel tartozom a Tanknyvkiad Vllalatnak, klnskppen a mszaki szerkesztsgnek, mely rtkes segtsget nyjtott neknk e nyomdailag nagy kvetelmnyeket tmaszt sorozat mszaki munklataival kapcsolatban.

    Vgezetl munknkat mszaki egyetemeink tanszemlyzetnek s hallgatinak ajnljuk. Hasznljk fel e fzeteket a maguk, illetve a leend mrnkk ezreinek kpzsre! szrevteleikkel segtsk el e gyjtemny mielbbi tkletesedst!

    Budapest, 1952. szeptember 1.A SZERKESZT

    E L S Z A S O R O Z A T M S O D IK K IA D S H O Z

    Kzel nyolc v munkjval nhny kisebb jelentsg mdoststl eltekintve az eredeti terv szerint sikerlt befejeznnk a Mszaki Matematikai Gyakorlatok c. sorozatot 23 ktetben. Munkakzssgnk cltudatossga s munkakedve, a minisztrium s a Tan- knyvkiad kitart tmogatsa, brlink rtkes segtsge s nem utolssorban egyr. nvekv olvastborunk lelkes rdekldse lehetv tette az sszes nehzsgek lekzdst Noha tvolrl sem tekintjk tkletesnek, vglegesnek knyveinket, mgis az els kiads befejezsekor a magyar mszaki matematikai felsoktats rdekben vgzett odaad munka j rzse tlti el munkakzssgnket.

    Knyveinket a hazai szakemberek s szaklapok kedvezen fogadtk, s szmos hasznos szrevtellel, tanccsal voltak segtsgnkre. Kteteink az vek sorn tbb keleti s nyugati llamba is eljutottak. Ez v nyarn pedig abban a megtiszteltetsben rszesltnk, hogy a belgiumi Nemzetkzi Mrnki Matematikai Kongresszus vezetsge killtotta s idegen nyelv, vettettkpes eladsban is bemutatta a teljes sorozatot, figyelemremlt rdeklds s elismers mellett.

    Most, a msodik kiads sorn a sorozat fejlesztsnek, korszerstsnek a megalkotsnl semmivel sem knnyebb munkja vr rnk. Termszetesen az els kiads munklatai sorn szerzett gazdag tapasztalataink, az jabb hazai s klfldi szakirodalom tanulmnyozsa, tovbb a knyveinkbl kapott hazai s klfldi szrevtelek jelents segtsgnkre lesznek. Remlhetleg mdunk lesz a mszaki matematiknak nhny jabb diszciplnjt is feldolgozni a sorozatban.

    Amikor munkakzssgnk vltozatlan cltudatossgrl s munkakedvrl biztosthatom a magyar mszaki matematika hveit, egyben ismt krem brlink, olvasin k valamint a minisztrium s a Tanknyvkiad tovbbi szakmai, erklcsi s anyagi tmogatst, nemklnben az Egyetemi Nyomda ismert sznvonal munkjt.

    Budapest, 1958 szeptember 1.A SZERK ESZT

    E L S Z A S O R O Z A T H A R M A D IK K IA D S H O Z1963-ban szksgess vlt a sorozat harmadik kiadsnak megindtsa, a msodik

    kiads lendletes folytatsa mellett. A harmadik kiads egyrszt olyan hagyomnyos, de szles krben rdekes trgy ktetekkel kezddtt meg, mint az A. I. s A. X ., ms r t olvan modern alkalmazsi terlet s emiatt mindinkbb keresett vlt ktetekkel S n t az A . IX ., B. I . - I I . - I I I . , B. IV. s B. V II.

    Az emltett msodik kiadsok igen gyors elfogysa ppen a matematikai programozs lineris algebrai segdeszkzeivel, ill. a skbeli rugalmassgtan korszer, komplex fegvnytani mdszervel kapcsolatos bvts utn kzzelfoghatan bizonytja a sorozat msodik kiadsnak elszavban kitztt fejlesztsi tervek s a megvalstsukra kifejtett erfesztsek helyessgi.

    E krlmny buzdts munkakzssgnk rszre s megnyugtats a kiad szmra is, ltvn, hogy jabb ldozatai hasznos clt s relis ignyeket szolglnak.

    Emltsre mlt, hogy sorozatunk vagy egyes ktetei 1958 ta tbb jabb klorszgban (pl. a Szovjetuniban, NDK-ban, Jugoszlviban, Egyiptomban, USA-ban, Angliban, NSZK-ban) s nemzetkzi frumon (pl. az NDK Matematikai Trsulatnak 1963. vi nemzetkzi lsszakn) tudtak helytllni s versengeni a hasonl rendeltets klfldi munkkkal.

    Ilyen kedvez adottsgok kztt termszetes, hogy lelkesen folytatjuk a sorozat fejlesztsnek, korszerstsnek nagy munkjt, ismt krve ehhez a minisztrium, a kiad s nem utolssorban mszaki olvastborunk buzdt, ldozatksz tmogatst.

    Budapest, 1964. februr. 15.A SZERKESZT

    7

  • B E V EZ ETS

    a) A varici- f A matematikai analzis alapvet fogalma a fggvny fogalma,s z m t s trgya gzt pldul a kvetkezkppen definilhatjuk : Legyens feladata________ J x s Y z vals szmoknak kt halmaza. Ha valamilyen

    elrs az X halmazhoz tartoz minden x szmhoz egy egyrtelmen meghatrozott s az Y halmazhoz tartoz y szmot rendel hozz, akkor azt mondjuk, hogy y = f(x) az X halmazon rtelmezett egyrtk fggvny. Az X halmaz a fggvny rtelmezsi tartomnya, s az Y halmaz a fggvny rtktartomnya.

    Knnyen belthat az, hogy a fenti definciban szerepl funkcionlis hozzrendels lnyeghez nem tartozik hozz szksgkppen az a megszorts, hogy X s Y vals szmok halmazai legyenek. Ha X-en s Y-on tetszleges halmazokat rtnk, a fggvny fogalmnak messzemen ltalnostshoz jutunk.

    Tekintsk most a funkcionlis hozzrendelsnek kvetkez, ltalnos defincijt:

    Legyen X s Y kt tetszleges halmaz, s egy meghatrozott elrs rendelje hozz egyrtelmen az X halmaz minden x elemhez az Y halmaz egy meghatrozott y elemt. Ekkor azt mondjuk, hogy y = f(x) egy, az X halmazon rtelmezett absztrakt fggvny (vagy ms nven operci vagy opertor), melynek rtktartomnya az Y halmaz. Ha specilisan az operci rtkei vals szmok, akkor az opercit funkcionlnak nevezzk. Az ezekkel foglalkoz analzis az n. funkcionlanalzis.

    A variciszmts a funkcionlanalzisnek egyik fejezete, mely ltalban olyan specilis funkcionlok extrmum- (maximum-, illetve minimum-) feladataival foglalkozik, amelyekben az rtelmezsi tartomnynak megfelel halmaz elemei bizonyos, (ltalban) adott kerleti vagy egyb feltteleket is kielgt amint mondani szoks, konkurenciba bocstott"! fggvnyek; az rtiktartomnynak megfelel halmaz elemei vals szmok; a funkcionlis hozzrendels pedig a konkurenciba bocstott (egy- vagy tbbvltozs) fggvnyek, ezeknek fggetlen vltozja (vagy vltozi) s egy vagy esetleg tbb (kznsges vagy parcilis) derivltja valamely meghatrozott fggvnynek a fggetlen vltoz (vltozk) kijellt intervallumra (tartomnyra) kiterjesztett hatrozott integrlja formjban van elrva. A feladat a legtbb esetben az, hogy a konkurrenciba bocstott fggvnyek kzl kivlasszuk azt, amellyel a szban forg hatrozott integrl (relatv) maximumot, vagy minimumot (egyszval relatv extrmumot) vagy csak egyszeren stacionrius rtket szolgltat.2 A feladatok egy rszben mg bizonyos meghatrozott mellkfelttelek is ki vannak ktve. (Lsd mg: 1. c.)

    * Versenyre b o csto tt vagy m egengedett" fggvnyek.1 A ksbbiekben nem trnk ki az extrm um ltezsnek s az elgsges feltteleknek a vizsgl

    "fa . (Lsd az irodalm at.)

  • 10 B E V E Z E T S

    b) Nhny egyszerbb varicis feladat

    A kvetkezkben pldaknt bemutatunk nhny egyszerbb varicis feladatot.1. Adva van az (x, y) skban kt pont: P^x^ y x) s P 2(x 2t y^t ahol xx < x2. Tekintsk azokat a folytonos

    els derivlttal rendelkez y = y{x) fggvnyekkel megadott grbket, melyekre y ix 1) = 3>i s y{x^ = y 2. Krds, hogy melyiknek az vhossza a legkisebb.

    A Px s P 2 pontokat sszekt grbev hossza:

    / = j Y i+ y ^ d x .

    (Az I szimblum arra utal, hogy az I integrl rtke az y fggvny megvlasztstl fgg.)

    A feladat abban ll, hogy meghatrozzuk azt az (}>(*i) = y v y(x2) = y integrl minimumt szolgltatja.

    Az elemi geometribl tudjuk azt, hogy a keresett grbe, amelynek vhossza minimlis, a Px s P 2 pontot sszekt egyenesszakasz. Vagyis az I integrl akkor veszi fel a legkisebb rtket, ha

    y{*) = y i + m ( x - x j ,ahol

    y * - y im = ----------.*2 - xx2. Az elz trivilis problmnl valamivel ltalnosabb a kvetkez: legyen megadva egy gmbfellet kt nem tellenes pontja. Krds, hogy melyik az a gmbfelleten fekv s a kt adott pontot sszekt vonal, amelynek a legkisebb az vhossza. Vagy mindjrt ltalnosan megfogalmazva a problma a kvetkez:

    Legyen megadva azf(x, y, z) = 0

    egyenlet fellet kt pontja. Keressk azt, az adott pontokat sszekt felleti grbt, amelynek a legkisebb az vhossza.

    A tovbbi ltalnosts kedvrt rjuk fel az adott fellet paramteres egyenletrendszert:

    x = x(u, v), y = y{u, v), 2 = z(u, v)..Az vhosszdifferencil (velem) ngyzete:* 2 = {d x f + (d y f + {d z f = E(u, v) (du)2 + 2F(u, v) du dv + G(u, v) (dv)2,

    (Ha a tmrebb rsmd kedvrt a fellet paramteres egyenletrendszert az __ r (Uf y) = x{u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k , ktparamteres vektor-skalr fgg

    vnybe foglaljuk ssze, akkor a fenti fggvnyeket, a fellet n. elsrend fmennyisgeit gy rhatjuk rviden:

    E = r'*, F = r lt r, G = r * .)

    Ha a fellet kt adott pontjt az (Ui,i>i) s (u2, v2) paramterrtkek hatrozzk meg (u, < 2) s a konkurenciba bocstott felleti grbk kzl figyelmnket csak a

    v = v(u) (ahol y(!) = vv v(u2) = v2)egyenlettel kifejezhetkre fordtjuk, akkor figyelembe vve az vhosszdifferencil ngyzetre fentebb felrt sszefggst az vhosszsgot az

    / (v) = j ][E(u, v) + 2F(u, v) v' + G(u, v) v '2 duUx

    dvintegrl adja, amelyben v' = . Feladatunk mrmost az, hogy meghatrozzuk az

    1 integrlt minimizl v = v(u) fggvnyt. Az ehhez a fggvnyhez tartoz felleti grbt nevezzk geodetikus vonalnak. (Lsd pl. Srkzy P . : Bevezets a differencilgeometriba. 137. o.)

    A gmbfellet esetben a geodetikus vonal a gmbnek, a kt adott gmbi pont s a gmb kzppontja ltal meghatrozott skkal val metszse tjn keletkez legnagyobb gmbi kr adott pontok kz es vdarabja.3. Trtnetileg az els varicis problma, amely ltalnos rdekldst keltett a matematikusok kztt, a Bernoulli Jnostl (1696) szrmaz brachisztochron- problma volt: Adva van egy fggleges skban kt (nem egy fggleges egyenesre es) pont: Px s P 2. Pusztn a nehzsgi er hatsra egy anyagi pont a P1 pontbl mozog a P 2 pont fel. Hatrozzuk meg azt a P r bl P 2-be vezet plyagrbt, amelymentn haladva az anyagi pont a legrvidebb id alatt futja be a P jP 2 utat.

    (A brachisztochron" elnevezs a grg brachisztosz" = legrvidebb, s chro- nosz = id szavak sszettelbl szrmazik.)

    Tegyk fel, hogy a Px s P 2 pontok a fggleges (x, y) sk pontji: P 1(x1, y j , ^i(Xz,y^. Az y tengelyt irnytsuk fgglegesen lefel, az x tengelyt pedig vzszintesen gy, hogy xx < x2 legyen. (Termszetesen feltesszk tovbb azt is, hogy y 2 < y v) A keresett plyagrbt az egyelre ismeretlen y = y(x) fggvny hatrozza meg, mely kielgti az ^(xx) = ^ s y(x2) = y 2 kerleti feltteleket. Tegyk fel mg azt is, hogy ismert az anyagi pont i>, kezdsebessge (a P 1 pontban).

    dsA plyasebessget a v derivlt hatrozza meg. Ebbl dt

    b j NHNY E G Y SZ E R B B VA RI CI S FELA D A T 11

    s 3 plya befutsnak ideje:

    p,

  • 1 2 B E V E Z E T S

    Hogy a v sebessget mint a koordintk fggvnyt kifejezhessk, vegyk figyelembe, hogy a potencilis energia cskkense egyenl a mozgsi energia nvekedsvel (srldstl eltekintnk!); vagyis, ha m az anyagi pont tmege, g a nehzsgi gyorsuls, akkor

    1 2 1 -s- m v2 - m vi = mg (y - yx),2 2 ahonnan

    5 %

    _ _____v = ^2g ]fy - j y ahol = y x -

    (Vilgos, hogy ^ y0 jelenti azt a fggleges tvolsgot, amit az anyagi pontnak zrus kezdsebessg esetn szabadessben be kellene futnia ahhoz, hogy elrje a v, sebessget.)

    Ezzel a plya befutsnak ideje:x,

    1 r 1/1 + y'2 J / > = - - - - dx.

    p g J

    A feladat abban ll, hogy meghatrozzuk azt az y(x) fggvnyt, amellyel a21 (y? integrl minimum lesz.4. Legyen kt rgztett pont: P ifo , yx) s P 2(x2, y 2), ahol xt < x2, tovbb y t > 0, y 2 > 0. Az ezeken a pontokon thalad, y = y(x) fggvnnyel megadott grbe Px s P 2 kztti vt megforgatjuk az x tengely krl: keletkezik egy forgsfellet, (y(x)-ri feltesszk azt, hogy az xx ^ x ^ x2 intervallumban y(x) = 0.)

    A forgsfellet felszne:x t

    I (y) 2?r | y p -f y'2 dx.X x

    Hatrozzuk meg azt az (^X],) = y lf y(x2) = y 2 kerleti feltteleket kielgt y = y(x) fggvnyt, amellyel I (y) minimum lesz. (A legkisebb jelszn forgsfellet problmja.)

    c) Varicis fel- I Az elz pontban pldkat lttunk a legegyszerbb vari-adatok ltalnos ciS feladatok kzl. Most fogalmazzuk meg a legegy-megfogalmazasa | szerbb f dadatot ltal4nosan: 6

    1. Hatrozzuk meg azt az

    y(xi) = ylf y{x2) = y 2 (xlf X 2, y v y 2 adottak)kerleti feltteleket kielgt y y(x) fggvnyt, amelyik az

    x ?

    i = J f(x>y>y') dx

    integrl extrmumt adja. (Itt s a kvetkezkben / az argumentumainak adott s a fggetlen vltoz (illetve vltozk) szerint integrlhat fggvnyt jelenti.)

    E feladat egy ltalnostsra jutunk akkor, ha nemcsak egy y(x), hanem kt (vagy ltalban n) fggvnyt kell meghatroznunk:2 Hatrozzuk meg azokat az y{x), z{x) fggvnyeket, amelyek az x = x1 s x = x2 helyeken a megadott y v y 2, illetve a zv z 2 kerleti rtkeket veszik fe l s amelyek mellett az

    E_l/ =[ f (x ,y ,y ' ,y " )d x

    X,

    integrl extrmumt ad y(x) fggvnyt, mely az y(xi) = y lt y(x2) = y 2

    (xu x2, y lf y 2, y[, yl2 adottak)/ (* i) =y\ f y'(x2) = y ,

    kerleti feltteleket kielgti.Bizonyos esetekben a konkurrenciba bocstott y(x) fggvnyekre a kerleti

    felttelek mellett kznsges egyenletek vagy differencilegyenletek formjban mellkfelttelekzx is szoks kirni.

    A mellkfelttel specilis esetben, az n. izoperimetrikus feladatoknl, hatrozott integrl formjban adott:4. Hatrozzuk meg azt az

    K *i) = yv y(Xz) = y 2 (xv x2, y lf y 2 adottak)kerleti feltteleket, s az

    f g(.r, y, y') dx A (A megadott lland)

    mellkfeltielt kielgt y(x) fggvnyt, amelyik az

    J = J f(x ,y ,y ') dx

    integrl extrmumt adja.^ elz 14. feladatokban a konkurrenciba bocstott fggvnyek egyvltozs

    lggvnyek voltak. Tovbbi ltalnostst jelent, ha ezek a fggvnyek kt- vagy tbbvltozsak s az I integrl is ktszeres vagy tbbszrs. Pl.:- Hatrozzuk meg azt a ktvltozs u(x,y) fggvnyt, amelyik az

    1 = 11 f ix ,y , u, a., uj) dx dyf

    ketts integrl extrmumt adja, s amelyik a T tartomny L hatrgrbjn meeadott rtekeket vesz fel.

    C) V A RI C I S FELA D A TO K ALT. M EGFOG ALM A ZASA 1 J

  • 1. . A LEG EG Y SZ ER BB VARICIS FELADATOK MEGOLDSA

    a) A variciszmts alap- lemmja

    A variciszmtsban bizonyos ttelek, illetve megoldsi mdszerek levezetsnl fontos szerepet jtszik a kvetkez alaplemma:

    Legyen xx s x2 kt megadott lland (x1 < x j s F(x) egy bizonyos, az xx = x Sk x 2 intervallumban folytonos fggvny. H a

    *|^(x) F(x) dx = 0

    X,

    b rmely folytonosan differencilhat r/(x) esetn, amelyikre fennll, hogy

    r)(xi) = VX2) - akkor

    F(x) = 0az egsz xx ^ x ^ x2 intervallumban.

    Tegyk fel ugyanis azt, hogy az llts nem igaz, vagyis van legalbb egy olyan x = " hely (xx < < x2), amelynl F() -/=. 0, pl. F (f) > 0 . (Teljesen hasonlan okoskodhatunk akkor is, ha feltesszk, hogy F(g) < (L) De ekkor, mivel F(x) folytonos, kell legyen a -nek egy (brmilyen kicsiny, de vges) olyan krnyezete: h = = ^ x 2 = + h (h > 0), ahol F(x) > 0. Akkor azonban az

    )' r](x) F(x) dx = 0x',

    feltevs nem ll fenn minden, tetszlegesen megvlasztott folytonosan differencilhat y,(x) esetn. Mert ha pl.

    / 0 ha ^ x ^ g ltrj(x) = ] (x ~ fci)2 (x ~ Zz)2 ha = * =

    [ 0 ha 52 ^ x x 2fakkor az

    X , ,

    J'rjW FW dx = J (x f ,) ! (x - S t f m dxX, f i

    integrl (F(x) > 0 a intervallumban !) hatrozottan pozitv. Ez pedig afeltevsnkkel ellentmondsban ll, teht a lemmban foglalt llts igaz-

    Az alaplemmhoz hasonl llts rvnyes pl. a ktvltozs F {x ,y ) fggvnyre:

    b) AZ EULER-LAGRANGE-FLE DIFF.-EGY. 15

    Legyen T az (x, y) sknak a zrt L grbvel hatrolt tartomnya s F(x, y) egy bizonyos, T-ben folytonos fggvny. Ha

    11 ri{x, y) F(x, y) dx dy = 0 r

    brmely folytonosan differencilhat rj(x, y) esetn, amelyik az L grbe pontjaiban 0 rtk, akkor

    F(x ,y)== 0az egsz T tartomnyban.

    Tegyk fel, hogy van egy olyan, ktszer differencilhat y = ;/(*) fggvny, amely egyrszt kielgti az

    b) Az EulerLag- range-fle differencilegyenlet

    jK*i) = y y{x 2) = y %elrt kerleti feltteleket, msrszt pedig az

    I = \ K x ,y ,y ' ) dxx \

    integrlnak extremlis rtkt adja. (Itt / az argumentumainak ktszer differencilhat, megadott fggvnye.) Keressk az / 0>> = extrmum szksges felttelt.

    Bocsssuk konkurrenciba a kvetkez alak, egyparamteres Y(x) fggvnysereget:

    Y = Y(x) = y(x) + e 17 (x), ahol rj(x) egy tetszleges, folytonosan differencilhat fggvny, mely eleget tesz az

    V(Xi) = V(x 2) = 0kerleti feltteleknek, s e a paramter.

    Az 7](x)-re tett kikts alapjn nyilvnval, hogy

    ^ (*1) = J>(*i) = yY{x2) = y(x 2) = y 2,

    vagyis az Y(x) fggvnyek mindegyike ugyanazoknak a kerleti feltteleknek tesz eleget, mint y(x); tovbb

    Y' = Y'(x) = y'(x) -f- er]'(x).

    Brhogyan is vlasztjuk az r)(x) fggvnyt, az I (y) integrl extrmumt ad y(x) fggvny az Y(x) fggvnysereg egyik fggvnye, mgpedig az e = 0 paramterrtkhez tartoz fggvny.

    Helyettestsk be I -ban y s y' helyre az y(x) s Y'(x) fenti kifejezseit, akkor az

    m = \ f (x ,Y ,Y ' )d xX.

    ntegrl rgztett 19(x) mellett, nyilvn az e paramter fggvnye. Nyilvnval tovbb is, hogy az az llts, hegy y(x) az I (y) integrl extrmumt adja, egyenrtk

    ^ a l, hogy /(e) az e = 0 paramterrtk esetn extrmum.

  • 16 1. . V A RI CI S FELA D A TO K M EGOLDASA

    Ily mdon az integrl extrmumra vonatkoz feladatot visszavezettk egy kznsges extrmum-feladatra.

    Annak a szksges felttele, hogy I(e) az e = 0 paramterrtk esetn extrmum legyen, az, hogy

    M 6!) = /'(0) = 0

    legyen.Alkalmazzuk a paramteres integrl paramter szerinti derivlsra vonatkoz

    ismert szablyt (a tett feltevsek szerint ez megengedett):

    Legyen most e = 0, (ekkor Y = y s Y' = y '), akkor az extrmum szksges felttelt gy fejezhetjk ki:

    r>(x) fggvny y varicijnak hasonl a szerepe az I

  • 2. ha ellenben | y \ mellett | _y' | is kicsiny, akkor gyenge extrmumxA (gyenge minimum, gyenge maximum) beszlnk.

    Eszerint nyilvnval, hogy ha I -nak valamely y(x) fggvnynl ers extrmuma van, akkor ez egyben gyenge extrmum is; megfordtva azonban nem! Megjegyezzk azt, hogy mi a ksbbiekben nem trnk ki az extrmum fenti megklnbztetsnek vizsglatra. Hasonlkppen nem foglalkozunk az / abszolt extrmumval. E krdsek tekintetben az irodalomra utalunk.

    A fggvny varicija mellett szoks az I 1. Tegyk fel, hogy az / 0>> integrlban szerepl / fggvny explicite nem tartalmazza az y fggvnyt. Ez

    esetben nyilvn % = 0, s gy az Euler-Lagrange-fledy

    1 8 1. . V A R I C I S FELA D A TO K M EG O LD A SA

    d) Az E u le r - Lagrange-fle differencilegyenlet els integrlja bizonyos specilis esetekben

    = 0,

    differencilegyenlet egyszeren a kvetkez:d_ Idf] dx \dy'

    Ebbl kvetkezik, hogy - c *

    ^ 'ez pedig az extremlisokra- egy elsrend differencilegyenlet, mely csak y'-t es x-et tartalmazza.

    Ha az / fggvny mg azonkvl, hogy y-1 nem tartalmazza explicite, mg x-et sem tartalmazza, akkor nyilvn csak y' fggvnye, s gy

    ahol a C2 lland a Q llandnak valamilyen fggvnye. Ez esetben teht az extrem- lisok x-nek lineris fggvnyei, az extremlis grbk egyenesek. (Lsd pl. a Bevezets b) pontjban a X, pldt.)2 Vizsgljuk most azt az esetet, amikor / explicite nem tartalmazza az ( f^ggetlen vltozt.

    Nyilvnval az albbi azonos talakts helyessge:

    d) AZ E U L E R -L A G R A N G E -F L E D IF F .-E G Y . E L S IN T E G R L JA 19

    L L ' V - A = y y ' = y ' \ l i g be \y dy J\ y dx\dy'\ dx dyy y [dx \dy' dy' dl dx4f)t

    Ha most/ explicite nem tartalmazza x-et, akkor = 0, s gy az Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet a fenti azonos talakts alapjn belthatan burkoltan a kvetkez egyenletet tartalmazza:

    * [ y ' dL - fdx \y dy' 1 = 0,vagyis

    Teht ez esetben az extremlisokat egy csak az y-t s y'-t tartalmaz elsrend differencilegyenlet megoldsai adjk. (Erre az esetre plda a brachisztochron- problma. Ezt lsd az ej 4. pontban.)

    3. Tegyk most fel azt a specilis esetet, hogy

    dy'Ez esetben nyilvn / az y'-nak lineris fggvnye:

    f(x,y,y')=p(x,y) + q{x,y)y\Mivel most

    df __dp t dq ,

  • az Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet a kvetkez alak;

    QP _ dS _ Cl 8y dx ~ '

    vagyisdp d q dy dx

    Ha ez az egyenlsg nem azonossg, akkor egyetlen y(x) fggvnyt hatroz meg, amelyik azonban ltalban nem tesz eleget az elrt kerleti feltteleknek. Ez esetben teht ltalban nincs megoldsa a varicis problmnak.

    Ha viszont ez az egyenlsg azonossg, azaz

    d p __dqdy ~ dx,

    akkor tallhat egy olyan folytonosan derivlhat ktvltozs u(x, y) fggvny, melynek totlis differencilja:

    du = p(x, y) dx + q(x, y) dy = f(x , y ,y ') dx.

    Ekkor nyilvn azCl

    l = $ftx,y,y')dx = \daX, X,

    integrl rtke fggetlen az y{x) fggvny megvlasztstl, vagyis brm ely a kerleti feltteleket kielgt y(x) mellett:

    / = u(x2,y 2) ~ uCW i)*

    A fentiekbl a kvetkez kvetkeztetseket vonhatjuk le:1. Annak a szksges s elgsges felttele, hogy egy varicis problma E u ler-

    Lagrange-fle differencilegyenlete azonosan kielgljn, az, hogy az I integrlban szerepl f(x, y ,y ') fggvny egy bizonyos u(x, y) f g g v n y x szerinti totlis derivltja legyen:

    f(x,y,y') = -*i u(x,y).

    Ha most mg figyelembe vesszk azt, hogy az Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet az f fggvnyben lineris differencilegyenlet, akkor mondhatjuk a kvetkezket :

    2, Annak a szksges s elgsges felttele, hogy egy additv tagnak az integrland fggvnyhez val hozzadsa ne vltoztassa meg az Euler-Lagrange-fle differencilegyenletet, az, hogy ez a tag egy u{x,y) fggvnynek az x szerinti totlis derivltja legyen.

    2 0 1. . V A RI C I S FELA D A TO K M EGO LD SA

    . 1. Geodtikus vonalak meghatrozsa. A Bevezets b) ej pldk___________ J 2.-ben lttuk, hogy az

    x = x(iz, v), y = y(u, v), z = z(u, v)

    fellet (uv v) s (u2, v2) pontjait sszekt geodtikus vonal meghatrozsval kapcsolatos varicis feladatban

    / = yE + 2 F v ' + ( f v 2

    az alkotfggvny. Az ehhez tartoz Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet:

    dE , 0 , 8F , ,9Gto + 2v i + v d i f + Gp j _ 0_2 y + 2~ F v ' + G V 2 du | \f E + 2 F v'^+Gv72 I

    Abban a specilis esetben, amikor E, F s G explicite csak az u paramter fggvnyei, akkor ennek egy els integrlja:

    F + G v' _ _r=_

  • s gy

    2 2 1. . V A RI CI S FELA D A TO K M EGO LD SA

    n = Cx J R dv|//?4 sin4 v C\R sin2 v

    dv sin2 v

    Rc H - ^C tg V _

    = - arCslnr 7 r y = r = + Ca>

    15; ) _ 1ahonnan

    (sin Ca) (i? sin v cos u) (cos C2) (i? sin v sin u )------ = 0,

    vagy figyelembe vve a fellet paramteres egyenletrendszert:

    x sin C2 y cos C2 -------. = 0.

    Q ~ lVagyis a paramteres egyenletrendszerbl lthatan orig-kzppont

    gmbfellet geodtikus vonalai, a gmbfelletnek az origra illeszked skkal val metszsvonalai: vagyis legnagyobb gmbi krk.3. Forgsfellet geodtikus vonalai. Legyen a forgstengely a koordinta-rendszer z tengelye, s a meridingrbe egyenlete: z = g(x). Ekkor a fellet egy paramteres ellltsa:

    x = u cos v, y = u sin v, sr = g (u).Ebbl

    = 1 + ' 2(u), F = 0, G = u2, teht a geodtikus vonalakat jellemz fggvnykapcsolat:

    J u fu 2- C 2

    4. brachisztochron-problma megoldsa. A Bevezets b) 3.-ban lttuk, hogy a brachisztochron-problmval kapcsolatos varicis feladat alkotfggvnye:

    / = / r + 7 2r, y>,

    nem tartalmazza explicite az x fggetlen vltozt, gy az Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet egy els integrlja:

    y 12__________ Vi + y * r i y - y ^ i + y ^ ) f y - y 0

    e) PLDK 23

    _Ha ezt y'-rt megoldjuk, a vltozkat sztvlasztjuk s a Cx = (2a) 2 Jellst

    b e v e z e tj k , integrlssal nyerjk, hogy:

    * = rJ y2a (y y0)

    ahonnan azy ~ y 0 = 2d sin2 -

    helyettestssel addik:

    x = 2a j sin2 ^ d t = a (t sin t) + xn,

    ahol a s x0 a kt integrlsi lland.gy vgeredmnyben a brachisztochron-problma megoldst az

    x = x0 + a (f sin t)y = y0 + a 1 cos *)

    paramteres egyenletrendszerrel meghatrozott ciklois adja.5. A legkisebb felszin forgsfellet problmjnak megoldsa. A Bevezets b) 4.-ben lttuk, hogy a legkisebb felszn forgsfellet problmjval kapcsolatos varicis feladat alkotfggvnye:

    f - v V ^ T T * ,nem tartalmazza explicite az x fggetlen vltozt, gy az Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet egy els integrlja:

    ahonnan

    x = a f - = aareh + b,

    illetve, x by = a e h ------- ,a

    ahol a s b integrlsi llandk.Az integrlsi llandk rtkt az yfo) = y x s y(x2) = y 2 kerleti felttelek alap

    jn kell meghatroznunk. Azonban rszletesebb vizsglat alapjn belthat, hogy a kerleti feltteleknek megfelel

    by x = a e h --------a

    , x 2 by 2 = a e h --------aegyenletekbl nem kapunk minden esetben vals megoldst a-ra s 6-re. Ezekkel a szin-

    aris (diszkontinuus megoldsokra vezet) esetekkel itt nem foglalkozunk.

  • f) 7J2 2 * ! F vl' I J ellje * = y = > * = ^okat a ktszer e e e_________ I differencilhat fggvnyeket, amelyeknl az

    it

    1 * ^ j /(> y, . . . , 2, 2) dt

    integrl extrmum, s amelyek a x s t2 fggetlen vltoz rtkeknl (ahol x < t2) elrt kerleti rtkeket vesznek fel. Keressk azt a differencilegyenlet-rendszert melyet ezek a fggvnyek kielgtenek.

    Bevezetjk az

    X(t) = x(t) + e (*), Y() = y{t) + e tj(), . . . , () = 2() + c C(t)

    egyparamteres fggvnyseregeket, ahol e a paramter s , 77,. . . , 4 olyan egybknt tetszleges folytonosan differencilhat fggvnyek, amelyek eleget tesznek a

    tth ) = (*2) = rjfo) = r,(t2) = . . . = 4(x) = (2) = 0

    kerleti feltteleknek. Az ily mdon konkurrenciba bocstott X f Yf . . . , Z fggvnyek az = 0 paramterrtknl az elrt kerleti feltteleknek eleget tev x, y , . . . , z extrmlis fggvnyekbe mennek t. Vagyis az e paramtertl fgg

    lz

    I(e) = j/((, X, Y , . . Z, X , Y , . . Z ) dtl,

    integrl az e = 0 paramterrtknl extrmum:1(0) extrmum.

    Ennek a szksges felttele az, hogy

    7'(0) = 0

    legyen.A paramteres integrl paramter szerinti derivlsra vonatkoz ismert szably

    alapjn

    m = | + ifi + ^ + + ' + f i 'L-J ,

    Ebbl pedig az s = 0 helyettestssel lesz:

    24 1- V A RI CI S FELA D A TO K M EGO LD SA

    Ez az egyenlet fennll a (), Tj(t),. . . , () folytonosan differencilhat fggvnyek brmilyen megvlasztsa esetn. Teht abban a specilis esetben is, amikor 17, . , C

    g) V LTO ZTA TH A T K E R L E T I PO N TOK 25-

    azonosan 0-val egyenlk s () tetszleges. De akkor az 1. b) pontjban kvetett gondolatmenet alapjn a

    dj_ _ d _ dx dt

    8i U od x

    differencilegyenletre jutunk. Teljesen hasonl eredmnyre jutunk a tbbi (y , . . . , z) fggvnyre vonatkozan is. gyhogy vgeredmnyben azt nyerjk, hogy a varicis problma extrmlisainak meghatrozsra vonatkoz Euler-Lagrange-fle diffe-rencilegyenlet-rendszer a kvetkez:

    8/ (8f\-0 d)- dl \-0 @ - U -\=0& x~ d i \ m ~ 3y d t ' S y ] ~ " dz J l t t ]

    . 1. Keressk azt azg) Vltoztathat------------------------------------------- ^ kerleti pontok---------------------------------------- r

    1 />> = I f (x ,y ,y ) dxr.,

    integrlt extrmizl ktszer differencilhat y y(x) fggvnyt, amelyre csak az x = xx helyen runk el meghatrozott rtket:

    y(^i) = yvaz x = x2 helyen azonban nem.

    A konkurrenciba bocstott fggvnyek:y(x) = y(x) + e rj(x),

    ahol y(x) a keresett extrmlis, e a paramter s rj(x) egy, az

    y{xi) = 0kerleti felttelt kielgt, tetszleges, folytonosan differencilhat fggvny.

    AzX,

    m = \ j(x , Y, Y 1) dxX ,

    integrl az e = 0 paramterrtknl extrmum. Ennek szksges felttele, hogym = o

    legyen. Vagyis

    x,

    Parcilis integrlssal figyelembe vve az r/(Xj) = 0 kerleti felttelt ez mg gy rhat:

  • 2 6 1. . V A RI C I S FELA D A TO K M EGO LD SA

    Mivel ennek az egyenletnek fenn kell llnia minden olyan tetszleges 17 == 7i(x)-re mely kielgti az 17 (xj) = 0 felttelt, nyilvn fennll arra az r) = r)(x)-re is, mely eleget tesz az r)(x2) 0 felttelnek is. De akkor ez esetben

    r'( ) = J - A Kdy dx \dy' V) dx = 0,

    ahonnan a variciszmts alaplemmja szerint kvetkezik a

    8i _ i ^ ) = 0 dy dx \ dy 'J

    EulerLagrange-fle differencilegyenlet.Ezt az eredmnyt figyelembe vve s most egy msik tetszleges rj(x)-et vlasztva,

    az /'(0) = 0 egyenlet a kvetkezre redukldik:

    p ) - y ) x=x,(Ez a transzverzalits feltte

    lnek egy specilis alakja.)

    Vgeredmnyben teht a feladat megoldsa a kvetkezkppen lehetsges:1. Megoldjuk a feladathoz tartoz Euler-Lagrange-fle differencilegyenletet;2. a differencilegyenlet megoldsban szerepl integrlsi llandkat az

    -y(*i) = 7 i s = 0 felttelek alapjn meghatrozzuk.(c'); j xx,

    Teljesen hasonl eredmnyre jutunk akkor is, ha y(x)-te az y ( x j = y 2 kerleti felttelt rjuk el, csak most a msodik felttel a kvetkez lesz:

    IS -0 /

    = 0.

    Eredmnynk alkalmazsaknt vizsgljuk meg a brachisztochron-problmnak azt az esett, amikor a mozg anyagi pont a rgztett (xv y j pontbl indul az x = x2 fggleges egyenes fel. Ez esetben:

    9/

    vagyisW K O '- j'o ) a + / 2)

    / W = 0.

    Teht a keresett extrmlis-grbe egy olyan ciklois, amelyik az (*i, y j pontbl indul s az x x2 helyen vzszintes az rintje.

    ~ Keressk azt az?

    J

  • 2 8 1. . V A RI CI S FELA D A TO K M EGO LD ASA

    Mivel

    r ' ( e ) = + ( l i v v + W '^ ') ix *1

    azrt ebbl parcilis integrls utn less:

    +I5 L *>+M - i i r) dx = 0.

    Ha most figyelembe vesszk a j ^ j -ra fent kapott sszefggst, akkor

    nyerjk:dg

    I K 'W

    (/)-xtI _____ ty t________

    3x, + Sy, y (* s)

    V(x2) +

    s ez fennll brmelyik 7}(x)-re, gy az 1 .-ben is kvetett gondolatmenet szerint vgl azt kapjuk, hogy az y = y(x) extrmlis:

    1 . eleget tesz a8 - | L ody dx \Sy'

    Euler Lagrange-fle differencilegyenletnek;2. kielgti az

    y(x1) = y 1egyik s a

    3.

    I Kw

    ? L (f)-^2 = 0

    msik kerleti felttelt. (Ez a transzverzalits felttele.)Teljesen hasonl eredmnyre jutunk akkor is, ha xx > x2.Eredmnynket alkalmazva a brachisztochron-problmra, azt talljuk, hogy

    9x2Hdy2

    y ,(x2) f

    vagyis az y y(x) extremlis, az (xv y x) ponton keresztlmen ciklois, derkszg alatt metszi a g(x,y) = 0 grbt az (x2, y }^ pontban. Teht a transzverzalits felttele egyben ortogonalitst is eredmnyez ebben az esetben.

    a) Az egyszer s az ltalnostott izoperim etrikus problma megoldsa

    2. . AZ IZ O PERIM ETR IK U S PRO BLM A

    1. Keressk azt az

    i = \f(x>y>y') dx

    integrlt extrmizl ktszer differencilhat y = y(x) fggvnyt, mely az elrt

    y(x x) = y v y{x2) = y 2kerleti felttelek mellett kielgti az

    ajJ g(xt y> y ) dx = A (A megadott lland)

    mellkfelttelt is. Az itt szerepl f s g fggvnyek argumentumaik szerint ktszer differencilhatok.

    Az elrt mellkfelttel miatt a konkurrenciba bocstott Y(x) fggvnyeknek legalbb kt paramtertl kell fggenik:

    Y(x) = y(x) + ex t7j(x) + e2 ^ (x ),ahol y(x) jelenti az extrmlist, : s e2 a paramterek, t]x(x) s rj2(x) pedig tetszleges, az

    Vi(xi) = V M = V xi) = rj2(x2) = o kerleti feltteleket kielgt, folytonosan differencilhat fggvnyek.

    Helyettestsk be Y(x)-et a fenti kt integrlba:

    I ( e e l = f f ( x , Y , Y ' ) d x ,i|

    = J S (x , Y, Y') dx = A.X 1

    Mivel A megadott lland, nyilvn ex s e2 nem fggetlenek egymstl. AJ (e 1, e2) = A

    egyenlet szabja meg a kettjk kztt fennll sszefggst.y(x) fenti defincijbl kvetkezik, hogy I(ev e 2) = extrmum, ha ex = e 2 0.

  • 3 0 2. . AZ IZ O P E R IM E T R IK U S PR O BLM A

    jk azx ,

    ;* ( Ej) = /(e e j + X /( e j = J' /*(*, Y, Y ')

  • A maximlis terletet ad x(), y(t) fggvnyeknek ki kell elgtenik a

    dJ l _ l Q l \ = ( )dx dt\dx\

    = ody dt \ dy j

    differencilegyenlet-rendszert, ahol

    3 2 2. . AZ IZ O P E R IM E T R IK U S PR O BL M A

    /* = \ (xy y z ) + h + */*.

    Teht1 . d [ 1 Kx2 V Jt\ = 0.

    1 d (1 , \y \2 X dt [2 * + j^ F + 7 2) ~~ '

    ahonnan integrlssal addik:Xx Ky r

    y ~ ~ u X i r a~L~^ **\x2 + y2 ]/x2 + y2ahol Ct s C2 integrlsi llandk,

    dy vBevezetve a -f- = derivltat, azt kapjuk, hogy dx x

    (x - C*)2 + ( y - Ci)I2 = A2,teht a keresett grbe kr. Mivel a kr kzppontjnak koordinti tetszlegesek, a

    1L |2 2tt '

    ahol L a megadott kerlet.2. Keressk azt az adott L vhosszsg skgrbt, amelyik a koordinta-rendszer (xv 0) s (x2, 0) pontjait kti ssze (xx < x2 s mindkett hatrozatlan), s amelyik az x tengely xx s x 2 kztti darabjval egytt maximlis terlet skrszt zr krl.

    Egyszersg kedvrt tegyk fel, hogy a keresett grbt az egyrtk s folytonosan differencilhat y = y(x) fggvny hatrozza meg. Az ltalnossg megszortsa nlkl tegyk fel tovbb azt, hogy az (xv 0) pont rgztett, mg az (x2, 0) pont hatrozatlan.

    A grbe s az x tengely kztti skrsz terlete:

    = f y dx,T.%

    s a grbe vhossza:xt$ l [ r + y ' 2 dx = L .

    b) PLD K 33

    Bevezetjk azf* = y + X y r + y *

    fggvnyt. Ezzel a problma Euler-Lagrange-fle differencilegyenlete:

    i . i I - L L o,dx (jAl + / 2j

    ahonnan integrlssal rgtn az addik, hogy

    W - , T C V i + y *

    ahol Ci integrlsi lland.A tovbbiakban, a vltozkat sztvlasztva, lesz:

    dy = + -*-= ! dx,~~ y x2 (x C1)2

    ahonnany = q: + C *

    va^y

    A tovbbiakban alkalmazva az 1. g) 2.-ben tallt vgeredmnyt (most g{x,y) = y = 0) nyerjk a kvetkez felttelt az (x2, 0) pontban:

    **' J' + X >/ 1 + ^ = 0, h x = x*y 1 + / 2 y

    Ez mg gy is rhat, figyelembe vve azt, hogy y = 0, ha x = x2:

    = 0, ha x = Xo

    (ha x = x2)

    l / p + y *

    Mivel X nem lehet 0, kell, hogy

    legyen, ami csak gy lehetsges, hogy a keresett y = y(x) fggvnyhez tartoz grbnek az x = x2 helyen az x tengelyre merleges rintje van.

    Vgeredmnyben arra jutunk, hogy a keresett grbe egy sugar flkr, amely-TE

    nek a kzppontja az x tengelyen van., fggessznk fel kt rgztett pont (Pj s P 2) kztt egy megadott L ~ P l P 2

    osszsg, homogn s lland keresztmetszet ktelet, melyet csak a sajt slya Variciszmts 44331/11.

  • terhel. Hatrozzuk meg a ktl stabilis egyenslyi alakjt, figyelembe vve azt a (Dirichlettl szrmaz) mechanikai ttelt, mely szerint konzervatv1 szkleronom2 pontrendszer egyenslyi helyzete akkor stabilis, ha a potencilis energia minimum. (L. pl. Bud: Mechanika, 174. o.)

    Az egyenslyi helyzetben fgg ktl skja legyen a koordinta-rendszer (x ,y ) skja, melyben az x tengely vzszintes helyzet s az y tengelyt fgglegesen felfel irnytjuk. A felfggesztsi pontok: (x^j/j) s (x2, y 2), ahol legyen xx < x2. A ktl egyenslyi alakjt meghatroz fggvny az ismeretlen y = y(x) fggvny. Tegyk fel, hogy a ktl hosszegysgnek a slya: y = lland. A ktl potencilis energija:

    3 4 2. . AZ IZ O P E R IM E T R IK U S PR O BL M A

    X ,

    I = y j* y f i + y '2 dx.

    A stabilis egyenslyi helyzetre vonatkoz fenti minimum-elv alapjn feladatunkmeghatrozni azt az

    y(x i) = y v y { x j = y 2kerleti feltteleket s az

    x*J y r + y ' ^ dx = l

    X ,

    mellkfelttelt kielgt y = j>(x) fggvnyt, amelynl az I (y ) integrl minimum. Bevezetjk az

    /* = y y f i + y '2 + A J/l + y '2

    fggvnyt, amellyel a megoldand Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet

    v y i + 7 ' ( ( y + ^ ' l . o .r f dX { f i _|_ y '2 j

    Ebbl kzvetlenl addik, hogy

    ahol Cj integrlsi lland, s innen vgl

    7 7 c iahol C2 is integrlsi lland.

    A Cv C2 s A llandkat a kerleti felttelekbl s a mellkfelttelbl kell meghatroznunk. Ez a feladat mindig megoldhat, br meglehetsen komoly numerikus szmolsi nehzsgekkel jr.

    * Konzervatv pontrendszernl valam ennyi szabader egy potencilfggvnybl, a rendszer potencilis energijbl szrm aztathat (m int annak a negativ gradiense).

    Szkleronom pontrendszernl az elrt knyszerfelttelek nem tartalm azzk explicite az idt.

    i V a r i c i s feladatok, c) egyenletek, illetve

    differencilegyenletek f o r m j b a n m egadott mellkfelttelekkel____

    b) P L D K 3 5

    Keressk azt.

    l ( x ,y , . . . ,z ' > = ff(t, x, y , . . . , z ,x , y , . . . , i) dt (, < 2>

    integrlt extremizl n szm ktszer differencilhat x{t), y ( t ) , . . . , z(t) fggvnyt, amelyek a

    l = tx s t = t2 helyeken elrt kerleti rtkeket vesznek fel s amellett eleget tesznek a

    G, (, x ,y , . . ., z, x, y, . . . , z) = 0 ( = 1, 2, . . . , N < n)mellkfeltteleknek.

    Itt nem rszletezett okoskodssal (1. pl. R. Weinstock: Calculus of variations, 57.o.) vgeredmnyben azt talljuk, hogy az extremlisoknak ki kell elgtenik a

    0F _ d [ 0Fl a F _ ^ i a F . = odx dt * dy' dt\dy\ ' dz dt\dz)

    Euler-Lagrange-fle differencilegyenleteket, ahol

    F = / +i= 1

    az egyelre hatrozatlanjai) fggvnyekkel kpezett alkotfggvny. Az EulerLagrange-fle differencilegyenlet-rendszer a megadott N szm feltteli egyenlettel egytt meghatrozza a keresett x{t), y ( t ) , . . z{t) s a mg hatrozatlan ^ ( ) , [x2( t ) , ..., fxN(t) fggvnyeket. Az integrlsi llandkat pedig a megadott kerleti felttelek alapjn kell meghatroznunk.d) Alkalmazs az

    alkotfggvnyben elsnl m agasabb- rend derivltat is tartalm az varicis feladatok m egoldsra

    1. Keressk azt az

    Hy) = J f (x ,y ,y ' ,y " ) dxintegrlt extremizl y{x) fggvnyt, amelyre y-nak

    , s y'-nek az x = xx s x = x2 helyeken felveendkerleti rtkeit elrjuk.

    Ez a feladat visszavezethet a c) pontban trgyalt ltalnos esetre:Keressk az

    I z) = J fix, y, z, z') dxX t

    integrlt; extremizl y(x) s z(x) fggvnyeket, melyek az elrt kerleti feltteleken avul eleget tesznek a

    Mellkfelttelnek is.Bevezetjk az

    F = fix, y, z, z ) + fx(x) (z - y') fggvnyt, ahol fx(x) egyelre hatrozatlan.

  • 3 6 2. AZ IZO PERIM ETRIK US PROBLMA

    Ezzel az Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet-rendszer lesz:

    dl + dt == o9y + dx d + lXj- A ^ l = 09z ^ dx 3z'*

    Ha ezekbl kikszbljk a fx(x) fggvnyt s azutn a mellkfelttelt kifejez/? egyenletbl mg z -1 is, akkor nyerjk a

    2 . . I | + ' [ I L o

    Euler-Lagrange-fle differencilegyenletet.2. ltalnossgban ugyanezzel az okoskodssal jutunk a kvetkez varicis feladat megoldst meghatroz Euler-Lagrange-fle differencilegyenletre:

    Keressk az

    I< y > = I f(x ,y ,y ' ty " , . . .,yW )dx

    integrlt extremizl y(x) fggvnyt, amelyre y-nak s y els (n 1) derivltjnak az x = s x = x 2 helyeken felveend kerleti rtkeit elrjuk.

    Az ehhez a feladathoz tartoz Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet:

    d f d ( d f ) cP ( d f \ dn ( d f \~ d x W ) + d x * w ) ~ ( _ )n = *

    e) Pldk 1. Geodetikus vonalak differencilegyenletei. Keressk az

    I (x, y ,z ) = | ][x2 + f + z2 dt

    integrlt extremizl, folytonosan diffe/encilhat x(t), y(t), z(t) fggvnyeket, amelyek a t = tv t = t2 helyeken (tx < ^ elrt kerleti rtkeket vesznek fel s amelyek kielgtik a

    G(x, y, z) = 0mellkfelttelt.

    Bevezetve aF = Yx2 + y2 + z2 + jj.(t) G(x, y, z)

    fggvnyt, a c) pontban trgyalt mdszer alapjn nyerjk a kvetkez Euler-Lagrange- fle differencilegyenleteket:

    dG d x\ n dG d P - 7 ~ - j :0x dt /

    aholdy dt

    f = Y * + f + ! ,= ! .

    37e) PLD K

    Ha innen a /x() fggvnyt kikszbljk, nyerjk a geodetikus vonalak kvetkezdifferencilegyenlet-rendszert:

    d x\ d ly | ^ Irf J\ dt 1/ I Tt 71 ~ a c r = ' G - = ~9G~

    9x 9y 3z

    Figyelembe vve azt, hogy

    / = f i 2 + y2 T I 2 =

    ezt mg gy is rhatjuk:drx d y d*z ~d? = ~ds2 = dG 6G ~_G 8x 3y 9z

    ahonnan az a nevezetes tny olvashat ki, hogy a fellet valamelyik pontjban a geodetikus vonal fnormlisa egybeesik a fellet normlisval.2. Gmbfellet geodetikus vonalai. (Lsd mg: 1. ej 2.) Legyen a gmbfellet egyenlete:

    G(xt y, z) = x2 + y2 + z2 - R2 = 0.

    Az elz pldban trgyalt mdszer alapjn, figyelembe vve azt, hogy

    8G dG 0G3T = 2J: 3^ = =

    nyerjk a kvetkez differencilegyenlet-rendszert:

    Ebbl

    vagy

    s innen integrlssal:

    /* - x j t v - y = l ~ J l2x f 2 "2yf* 2z P *

    j_ = yx - *y = zy - yzf yx xy zy yz *

    A (yx-xy) A (zy-yz) yx - xy ~ z y -y z *

    In (yx xy) = In (zy yz) + In Cv ahol Cj integrlsi lland.

  • 3 8 2. . AZ IZ O P E R IM E T R IK U S PR O BL M A

    Ezt az egyenletet rendezve, nyerjk:

    y x - x y = Cx {zy - yz),illetve

    x + Cx z _ yx + Cx z y*

    jbl integrlva:In (x + Cx z) = In y + In C2,

    illetvex C 2y + Cj z = 0,

    ahol C2 is integrlsi lland.Teht a geodetikus vonalak a gmbfelletnek a kzppontra illeszked skkal val

    metszsvel szrmaz legnagyobb gmbi krk.

    3 . ALKALMAZS A G EO M ETRIA I O PTIK BA N : A FER M A T -F L E ELV

    Az elemi optikbl tudjuk azt, hogy abban az esetben, ha a fny tjban lev akadlyok vagy nylsok mretei nagyok a fny hullmhosszhoz kpest, akkor a hullmoptika helyett j kzeltsben az egyszerbb geometriai optika trvnyei alkalmazhatk. A fnysugarak tjt a tapasztalattal megegyezsben adja meg, s gy az egsz

    geometriai optikt magban foglalja a fny hullmelmletbl levezethet Fermat-fle .elv. Eszerint a tr kt rgztett pontja kztt a fny mindig olyan plyn terjed, melyen a plya befutshoz szksges id minimum.

    Fermat elvnek kzvetlen kvetkezmnye az, hogy egy optikailag homogn kzegben, kt pont kztt a fny a kt pontot sszekt egyenes mentn terjed. Mert hiszen, ha a kzeg optikailag homogn, akkor nyilvn e kzegben lland a fny terjedsi sebessge, s gy a kt pontot sszekt plya befutshoz szksges id akkor minimum, ha a plya a kt pontot sszekt legrvidebb vonal, vagyis egyenes. Ha teht a fny terjedst vizsgljuk kt tetszleges, egymssal rintkez s klnbz, optikailag homogn kzegben fekv pont kztt, akkor a szba jhet fnyutak csakis kt-kt egymshoz csadakoz olyan egyenesszakaszbl sszetettek lehetnek, amelyeknek a trspontja a kt kzeg hatrn van.

    A Fermat-fle elv alapjn vizsgljuk meg a homogn M x kzegben fekv (xx, yT) pontbl a homogn M 2 kzegben fekv (x2, y 2) pontba tart fny tjt, felttelezve azt, hogy a kt kzeg hatrt az y y0 egyenlet vonal jellemzi (xx < x 2). A fny- sebessgek az egyes kzegekben uv illetve u2. Legyen a kt kzeg hatrn fekv ama tetszleges pont, melyben a kt egyenesszakaszbl sszetett fnyt megtrik, az (x, y0) pont. A fnynek a kt pontot sszekt t befutshoz

    T = f(s~ ^ X i)2 +~ 6 o ~ - 7 i )2 + V ( * 7 ^ ) 2T " ^ - 7 J 2

    idre van szksge.A Fermat-fle elvvel sszhangban a valsgos fnythoz tartoz x rtket az jel

    lemzi, hogy

    dZ = * - * ! ___________ ___ * 2 - x = 0dx *i K(x Xj)2 + (y0 y j 2 u2 V(x2 x)2 + (y2 y)2

    Vagy ha bevezetjk a kt kzeg hatrt jelent vonal normlisval bezrt cpv illetve

  • 4 0 3. . A LK . A G EO M ET R IA I O P TIK B A N

    Ez az sszefggs fejezi ki az ismert SnelliusDescartes-fle trvnyt.Most kpzeljnk el n, keresztmetszetben tekintve prhuzamos svokbl sszetett

    egyenknt optikailag homogn M lt M 2 . . . , M n kzeget, amelyeknek egymssal rintkez hatrfelleteit y = lland vonalak jellemzik. Jellje u, (i = 1, 2 , . . n) az M kzegben a fny terjedsi sebessgt. Tekintettel arra, hogy az egyes kzegek hatrolvonalait prhuzamosaknak tteleztk fel, az M, kzeg mindkt hatrvonaln a fnysugrnak a hatrolvonal normlisval bezrt szge U f i - f y '2

    _ J L = S = _ Cu f i + y '2

    x - + j c r - j L .... " J f l - i S 2u2

  • 4 2 8. . A LK . A G EO M ET R IA I O P TIK B A N

    Ennek az egyezsnek a felismerse bizonyos feladatok megoldsa szempontjba jelents lehet. Az elz pontban ugyanis tulajdonkppen egy varicis feladatot oldot tnk meg, egszen ms mdszerekkel, mint amelyek a variciszmtsban s*ok'~ ssak: geometriai optikai mdszerekkel". Ha mrmost pl. egy bizonyos varici^' feladatnl felismerhet a megfelel analgia egy geometriai optikai feladattal, aktaT annak megoldsnl ms mdszerek alkalmazhatk. Ez a helyzet pl. a brachisztochro ** problmnl, ahol n'

    , f i + 7 * , . = y meSado llandk),

    teht az

    U(y) = p g { y - y

    helyettestssel a brachisztochron-problma megoldst az elz pontban trgyalt geometriai optikai feladatra vezethetjk vissza. Mint trtnelmi rdekessget megemltjk, hogy Bernoulli Jnos a X V II. szzad vgn ennek az analginak a felismerse alapjn, ezzel a mdszerrel oldotta meg a brachisztochron-problmt.

    4. . ALKALMAZS A PO N TREN D SZEREK MECHANIKJBAN

    i Hamilton elve I A mechanika legtfogbb s ppen ezrt legjelentsebb ' (1834) | elve az n. Hamilton-fle elv, melynek alapjn analitikus

    mdszerekkel levezethetk a mechanika legfontosabb trvnyei A Hamilton-fle elvbl szrmaztathatk a pontrendszereknek adott kezdeti felttelek s bizonyos knyszerfelttelek mellett ltrejv mozgsait meghatroz mozgsegyenletek. A Hamilton-fle elv varicis elv, s gy az elbb emltett mozgsegyenletek a variciszmts mdszereivel szrmaztathatk.

    Legyen egy n szmffl-v rn21 rnn

    tmeg anyagi pontbl ll mechanikai rendszer, melynl az egyes tmegpontok pillanatnyi helyzett a 3 n szm

    X 1 r y v Z V x 2> y2> z 2> v x n > y n * z n

    derkszg koordintk hatrozzk meg. Az egyes tmegpontokra hat erk ugyancsak derkszg komponensei pedig legyenek:

    X f Y x, Z v ^ 2 * Y 2 t Z z> X n > Y n t Z n *

    Jellseinket egyszerstsk olyan mdon, hogy a fenti koordintkat s er- komponenseket gy jelljk:

    x V x 2t X S> * * X 3 n ~ l> * 3 n>

    X v X 2, X 3t *> X z n - i > X 3ns a tmegeket pedig gy:

    m1 helyett m: = m2 = m3, . . ., mn helyett m2n_ 2 = mZn_ x = mZn. gy a rendszer kinetikus energija:

    3 n i

    f=i "Hatrozza meg a pontrendszer helyzett a t = tx idpillanatban a 3n dimenzis

    tr Pi(*i, xl , . . . , xj) pontja, a t = t2 idpillanatban pedig a P 2(x-, x j, . . . , xj,,) Pont. A rendszer valsgos plyjnak megfelel a 3n dimenzis tr P x s P 2 pontjait sszekt valamilyen grbe. Az ettl kiss klnbznek gondolt plyk, az n. varilt plyk egyikt gy kapjuk, hogy a valsgos plya mindegyik P[xlf x 2, . . . , x 3) Pontjnak x,- koordintjhoz egy x,- koordintt rendelnk. A hozzrendels mdja, fskppen a varils mdja, bizonyos fokig megllapods dolga. llapodjunk meg abban, hogy az idt nem variljuk, vagyis ha x,- = x,(), akkor ugyanazon t mellett

    ^ '\(0- Tovbb, a varilt plya kezd- s vgpontja essk egybe a valsgos plya

  • 4 4 4- A L K ' A PONTREN DSZEREK M ECHANIKJBAN

    kezd- s vgpontjval, vagyis a hatrokon - a , s t , idpillanatban - a koord kt ne vrisijk. A tbbi idpontban a 6x, = x,(t) - x,(t) koordinta-varicik c a.2t kvnjuk, hogy az elrt knyszerfeltteleknek tegyenek eleget teht a a variacik tetszleges virtulis elmozdulsokat jelentenek. Egyenletekben sszefoglal, legyen a varils mdja: iU^ aiva,

    t = 0,X1. ( t j = xI (t2) = 0,

    xi (t) = xf (t) x, (t) tetszleges virtulis elmozdulsokA fenti definci alapjn, ha az x,() s *,(*) fggvnyek differencilhatk akkor

    a varialt es a valsgos mozgs sebessgt gy rhatjuk: '

    X; = X; (t) ~ Xj (t).Egy tetszleges

    ^ ( * 1 , %2> * *t l t 1 0

    fggvny varicijt pedig gy rtelmezzk:3n ,'9(p ^

    F ( = o.)i = l lw-*7 u*i I

    h t' ^ ^ rm0S ^ un* ltalnostott Hamilton-fle elvet a kvetkezkppen fogalmaz

    sJ | a r + J x t. x , ] * = o,

    u 11 1ahol T a rendszer kinetikus energijnak a varicija, X t x, pedig a szabaderk

    virtulis munkja. 1-1Mi a kvetkezkben, ha csak egyszeren Hamilton elvrl beszlnk, akkor ezen

    az elbbinek az albbi, konzervatv rendszerekre vonatkoz alakjt rtjk:Elszr is feltesszk azt, hogy a vizsglt rendszer konzervatv, vagyis a szabad

    erknek van V potenciljuk:QVeV

    de akkor3n 3n fiTTV _ X ' % . = - 7 ,

    -1 f=l cxi amivel a fenti integrlt gy rhatjuk:

    J (T - V) dt = 0,vagy mskppen

    t*a j ( T - v ) d t = o.

    ,

    a) HAMILTON ELV E 45

    Ha mg bevezetjk az L = T V

    (kinetikai s potencilis energia klnbsge), n. Lagrange-fle fggvnyt, altkor rhat-

    juk: , j L t = 0.

    t,

    gy a Hamilton-fle elvet gy fejezhetjk ki:Konzervatv rendszer kt helyzete kztt a valsgban bekvetkez mozgsnl a

    Lagrange-fle fggvny (L = T - V) id szerinti integrlja extrmum :

    ^Ldt = j (T V) dt = extrmum

    a szomszdos, az elzkben adott definci szerint varilt plykon felvett rtkekhez viszonytva. A knyszerfelttelek tetszlegesek lehetnek.

    Az

    f L d tt,

    integrlt szoks principlis fggvnynek vagy hatsfggvnynek nevezni, az elvet pedig sokan a legkisebb hats Hamilton-fle elvnek nevezik, br ez az integrl nem felttlenl minimum. (Hatson" energia szorozva idvel dimenzij mennyisget i -tnk.)

    Megjegyezzk azt, hogy ha a valsgos plyt olyan szomszdos plykkal Hasonltjuk ssze, amelyek a knyszerfeltteleket kielgtik, akkor a fenti elv csak n. holonom rendszerekre1 rvnyes.

    Hamilton elve a pontrendszerek mechanikjn tlmenen az egsz fizikban nagy jelentsg, amennyiben szmos ltalnos trvny belle mint alapelvbl levezethet. A pontrendszerek mechanikjban fleg abban rejlik a jelentsge, hogy megfogalmazsnl a koordintk explicite nem szerepelnek benne. A kinetikus s a potencilis energit mint a koordintk megvlasztstl fggetlen jelents fizikai mennyisgeket brmilyen koordinta-rendszerben kifejezhetjk, s ha ezt megtettk, a Hamilton-fle elv alapjn a variciszmts mdszereivel a mozgsegyenleteket kz- vetlenl felrhatjuk. Hasonl okokbl trekszik a modern fizika arra, hogy alaptrvnyeit lehetleg varicis elvek alakjban fejezze ki.

    Az n tmegpontbl ll pontrendszer esetn a Hamilton-elvben foglalt varicis feladathoz tartoz Euler-Lagrange-fle egyenletek konzervatv szabad rendszer esetn a

    d BV dV(mi x() + 0- = 0, vagy m( x, = - ^ = X, (i = 1, 2, . . . , 3n)

    Newton-fle mozgsegyenletek.

    vanni/o,on,)m reirfsicrnl a knyszerfelttelek a helykoordintk s az id kztt felrt egvenletekkei megadva. ^Lsd m g 4. b ) .)

  • Az+ + akin *8n + ak0 = 0 (A = 1, 2 , . . r)

    knyszerfelttelek esetn pedig az

    m, xt = X, + A, a1(. + . . . + A, r, ( = 1, 2 , . . . , 3n)

    n. Lagrange-fle elsfaj mozgsegyenletek.

    b) Generalizlt I Sok problmt jelentkenyen egyszersthetnk, ha derk-koordintk_______ j szg koordintk helyett olyan koordintkat vlasztunk,

    amelyekkel a knyszerfelttelek kikszblhetk. Tegyk fel azt, hogy az r szm knyszerfelttel holonom, vagyis

    fk (xu * 2> x3n, t) = 0 (* = 1, 2 , . . r>alak. (Ebben az esetben az

    i i + akz *2 + . . . + ak3n x 3n + ak0 = 0

    kifejezsek bal oldalai teljes differencilok; aki = ~ , ahol i = 1, 2, 3n, s ak0 OXjcf

    = ^- . Ha ezek a kifejezsek nem teljes differencilok, akkor beszlnk anholonom ot

    knyszerfelttelekrl. Ezekkel itt nem foglalkozunk.) Ekkor a rendszer 3n derkszgkoordintja kzl csak 3n r fggetlen egymstl, vagyis amint mondani szoks a rendszer szabadsgi fokainak szm a:

    v = 3n r.

    Az olyan v szm, egymstl fggetlen

    9i> ?2* > Qvadatot, melyek a rendszer helyzett (konfigurcijt) teljesen meghatrozzk, generalizlt koordintknak hvjuk.

    A generalizlt koordintk id szerinti differencilhnyadosai az n. generalizlt sebessgkoordintk :

    Qv 92> > 9v*

    Ezek a generalizlt koordintk nem felttlenl hosszsg-, illetve lineris sebes- sgdimenzijak.

    Mivel a qr k a rendszer helyzett teljesen meghatrozzk, a derkszg koordintk a g,-kal kifejezhetk, vagyis az x,-k a qr k ismert s egyrtknek felttelezett fggvnyei:

    Xj = x, {qlf q2>. ., qt, t) (i = 1, 2, . . 3 n)

    Ezek a fggvnyek a t idt explicite csak akkor tartalmazzk, ha a knyszerfelttelek az idtl fggenek (reonom knyszerfelttelek; szemben az idtl fggetlen, n. szkleronom felttelekkel).

    4 6 4. . A LK . A PO N TR E N D SZ ER EK M EC H A N IK A JA BA Nb) G EN ERA LIZLT KOORDINTK 47

    A derkszg sebessgkomponensek:

    dxi , dxi tiXi* dx, , dxt oXj dXj _ _

    ) A Lagrange-fle msodfaj m ozgsegyenletek konzervatv holonom rendszereknl_____ ____

    Legyen a vizsglt pontrendszer konzervatv holonom. A Kamilton-fle elvet kifejez integrlban szerepl Lagrange- fle fggvnyt a generalizlt koordintk, sebessgkomponensek s az id ismert fggvnynek tekinthetjk:

    L = L(qv q2, . . . , qv, qv q2, qr, t).(Megjegyezzk, hogy ha specilisan a knyszerfelttelek az idt explicite nem tartal

    mimzzk, vagyis a vizsglt rendszer szkleronom, teht ^ 7 = 0 minden - re, akkor

    L az idtl explicite nem fgg, a rendszer T kinetikus energija pedig a q,- sebessgkomponensek homogn kvadratikus alakja, melynek egytthati csak a q> generalizlt koordintk fggvnyei.)

    Ha most ezzel a Lagrange-fle fggvnnyel kpezzk a Hamilton-elvhez mint varicis feladathoz tartoz Euler-Lagrange-fle egyenleteket, jutunk a

    d az. 9L _ . _ dt dqt dqt * 1

    n. Lagrange-fle msodfaj mozgsegyenletekre.

    d) A Lagrange-fle msodfaj mozgsegyenletek nem konzervatv holonom rendszereknl

    Legyen a vizsglt pontrendszer nem kozervativ holonom. Ebben az esetben az ltalnostott Hamilton-elvbl kell kiindulnunk:

    ' 3/1 1r + x t x,. dt = 0.

    i= 1 I t,Generalizlt koordintkkal s sebessgkomponensekkel a kinetikus energia

    varicija:" Id T . dT \

    Az integranduszban szerepl msodik tagnak, a szabaderk virtulis munkjnak kifejezsre vegyk figyelembe azt, hogy

    s vezessk be a

    (i 1 , 2, . . . , 3n)

    3 n Qx _^ rrr = Gk = Gk (q\, q2t > qvt Qzt > 01 = 1

    mennyisgeket, az n. generalizlt erkomponenseket. (Ezeknek a generalizlt er- otnponenseknek a dimenzija a generalizlt koordintk dimenzijhoz igazodik,

  • 4S 4. . ALK. A PONTREN DSZEREK M ECHANIKAJABAN

    gy, hogy a Gkqk szorzat munkadimenzij legyen !) Ekkor a szabaderk virtulis munkjt gy rhatjuk:

    G ki

    Mindezek figyelembevtelvel az ltalnostott Hamilton-elvet kifejez integrlt gy rhatjuk:

    J'37' \ 0 rg ^ + c J dqk + t = 0,

    vagy az integrland utols tagjt parcilis integrlssal talaktva s a kerleti feltteleket figyelembe vve:

    f " 07* d 9 Ty L + Gk - i - ^ -\6qkdt = 0.

    J |9?, * d td q j U t,

    Ebbl pedig a variciszmts alaplemmja szerint kvetkeznek a holonom, de nem felttlenl konzervatv rendszerekre vonatkoz Lagrange-fle msodfaj mozgsegyenletek:

    d dT__dT_ dt dqk dqk

    e) A Hamilton-fle kanonikus egyenletek

    A kvetkezkben olyan holonom mechanikai rendszert vizsgljunk, mely vagy konzervatv, vagy ha nem is az, akkor is tallhat olyan (n. ltalnostott potencil)

    V* (?i q-it q> Qi> > t)

    fggvny, melybl a G, generalizlt erkomponensek gy szrmaztathatk:

    = _ d V * d dV*1 dq, dt d q ,*

    Teht a vizsglt rendszer olyan, amelyre a Lagrange-fle mozgsegyenletek a

    d 9L 9LS 8 A - S , - 0 ( = 1 ' 2 ...................v )

    alakban rvnyesek, ahola) holonom konzervatv rendszernl: L = T V;b) holonom nem konzervatv rendszernl: L = T V*.A kvetkez krds, ami flmerl, az az, hogy hogyan lehet ezeket a mozgs

    egyenleteket integrlni. Anlkl, hogy az erre vonatkoz (Hamilton, Jacobi, Osztrog- radszkij vizsglatai nyomn kialakult) elmlet rszleteibe belemennnk, nhny specilis esetet fogunk vizsglni.

    e) A H AM ILTO N -FLE KANONIKUS EG YEN LETEK 4 9

    Mindenekeltt a9 L

    Pl = H

    - fggssel definilt p, generalizlt impulzuskoordintkat vezetjk be a q, gene- alizlt sebessgkoordintk helyett. A definil egyenlet alapjn a q, sebessgek a p,

    [mpUlzusk fggvnyeinek tekinthetk, s megfordtva.Ezekkel az impulzusokkal a Lagrange-fle msodfaj egyenletek a kvetkez

    alakot ltik:A = | ( = l , 2,

    A fentiek figyelembevtelvel, kpezzk az L Lagrange-fle fggvny teljes differenciljt:

    a = 1'* + i g + JJj = f t dt + k iPl dq'+ P' dihEzt megfelel trendezssel gy is rhatjuk:

    i i' ) 9L "d Pl qi ~ L = dt dt ~ ~ dQi ~ * dp^ i = 1 ' i = 1

    A jobb oldal teht teljes differencilja aV

    H H (qt, q2, . . . , qv, p-i, P i>. . > ) = Pi 9,- Z*/i = l

    n. Hamilton-fle fggvnynek.. Figyelembe vve azt, hogy

    dH 9L azrt egyrszt = , msrszt: t t

    Ezek, az n. Hamilton-fle kanonikus egyenletek, lthatan elsrend kznsges differencilegyenletek a meghatrozand g,(), p,(f) fggvnyek szmra, szemben a Lagrange-fle msodrend differencilegyenletekkel. A Hamilton-fle egyenletek

    mrtkek a Lagrange-flkkel, de szimmetrijuk folytn szmos problmnl -nsebben alkalmazhatk. Innen ered a kanonikus elnevezs. A pr t a g,-hez

    knoni konjuglt impulzusnak, a qi,p i vltozprt kanonikus vltozknak is hvjk.4 Variclszmits 44331/11

  • 50 4. . A LK . A P O N TR E N D SZ ER EK M ECH A N IKA JA BA N

    A mechanikai rendszer qv q2, . . . , q v koordintit gy tekinthetjk, mint a v dimenzis n. konfigurcis tr egy pontjnak derkszg koordintit, a p lt p 2, . . . ,p v impulzusokat pedig gy, mint a v dimenzis, n. impulzustr egy pontjnak derkszg koordintit. Azt a 2v dimenzis teret, amelyben egy pont derkszg koordinti Qit

  • 5 2 4. . A LK . A PO N TR E N D SZ ER EK M ECH A N IKA JA BA N

    Ez pedig teljesl, ha fennllnak az albbi egyenletek:

    p, = - d ; K=H+di (=1'2....^g) A H am ilton

    Jacobi-flc p arcilis d ifferencilegyenlet

    A kanonikus transzformcik megismersvel a mechanikai problma megoldsnak, illetve a kanonikus egyenletek integrlsnak krdst gy is megfogalmazhatjuk:Lehet-e a tetszs szerinti S, n. alkotfggvny alkalmas

    megvlasztsval olyan kanonikus transzformcit tallni, hogy valamennyi j koordinta ciklikus legyen?

    Ha a qif p, kanonikus vltozkrl egy

    S = S (qlt qi f . . qv, Qx, Q2, . . . , Qv, t)

    alkotfggvnybl leszrmaztatott

    9 S 9 SP' - dq, p - 8

  • 5. . K T F G G ETLEN VLTOZ : A REZG HR PRO BLM JA

    a) Ketts integrlok I 1. Vizsgljuk az (x, y) sk T tartomnyra kiterjesz- extrmuma te.tt

    I = J | fi* , y, u, ux,-u}) dx dy f

    ketts integrlt. Az adott / fggvny legyen ktszer differencilhat az argumentumai szerint. Keressk azt a parcilis differencilegyenletet, melyet annak a folytonosan differencilhat u{x, y) fggvnynek kell kielgtenie, amelyikkel az I integrl extrmum lesz, s amelyik a T tartomnyt hatrol L zrt grbe egyes pontjaiban elrt kerleti rtkeket vesz fel.

    Konkurrenciba bocstjuk az

    U(x, y) = u(x, y) + s rj(x, y)

    fggvnyeket, ahol u(x,y) a meghatrozand extrmlis, e a paramter s 7?(x, y) egy olyan tetszleges, folytonosan differencilhat fggvny, mely eleget tesz az

    t ? ( x , y) = 0az L grbn kerleti felttelnek.

    Az

    m = [j f (x ,y ,U ,U ', ,U ;)d xd y 'T

    integrl extrmum, ha e = 0. Ennek szksges felttele, hogy

    /'(0) = 0

    legyen. Alkalmazzuk a paramteres integrl paramter szerinti derivlsra vonatkoz szablyt:

    r w - f l d ^ V *

    a ) K E T T S IN TEG R LO K EXTRM U M A 5 5

    Alkalmazzuk most Green ttelt, hogy az integrl utols kt tagjt talaktsuk. Azt kapjuk, hogy

    df d fd fdu dx 3u\ dy

    vagy az 'q{x,y)-ra kirtt kerleti felttel figyelembevtelvel:

    3/ _ 3_ ldf_ I ) du dx 3u'

    ~ r dx dy = 0. dy |3uv! 1 y

    Ebbl pedig a variciszmts alaplemmja szerint az addik, hogy az I integrl extrmumt ad u = u(x, y) fggvnynek a

    ? _ ? . ^ l _ df- \ = 0 du dx [3Uyl dy |0u",j

    Euler-Lagrange-fle differencilegyenletet kell kielgtenie a T tartomny belsejben.

    2. Ha specilisan az u(xf y )-ra nem runk el kerleti rtkeket az L grbe mentn {vagy annak egy rsze mentn), akkor ott u{x, y)-nak ki kell elgtenie mg a

    1L . dy- - dL . dx = o3 ux ds du. ds

    egyenletet is.

    3. A ketts integrlokkal kapcsolatos izoperimetrikus problma megoldsa teljesen hasonlan trtnik, mint azt az egyszeres integrloknl lttuk. Ha teht az

    / = | \f{x,y, u, uxt[) dx dy 't

    integrl extrmumt ad u = u(x,y) fggvnyt keressk, az elrt

    I J g(x> y> ll> u > .) dxdy = A (A megadott lland)

    mellkfelttel esetn, akkor a megoldand EulerLagrange fle differencilegyenlet:

    a/! _ 1 (a / V 3_ idj*\du dx dy l3uyj *

    ahol /* = / + X g. (Itt A a Lagrange-fle multipliktor).

  • 66 5. . A REZG H R P R O B L M JA

    b) A rezg hr I Vizsgljunk egy tkletesen hajlkony, rugalmas hrt,problmja________ | melyet egyenslyi helyzetben az x tengely mentn az

    x = 0 s x = l helyeken rgztett vgpontjai kztt, az lland cr hzfeszltsget breszt hzerk tartanak kifesztve. Valamilyen kls hats folytn a hr egy, az x tengelyt tartalmaz (pl. u, x) skban transzverzlis rezgseket tud vgezni, mikzben a hr egyes rszei (a rgztett kt vgpont kivtelvel) az x tengelyre merleges irnyban mozdulnak el. Feltesszk azt, hogy az egyes rszecskk rezgseinek amplitdi elg kicsinyek, s gy a hrnak brmely pontjban s brmely idpillanatban az rintje az x tengellyel olyan kis szget zr be, hogy ennek a tan- gense az egysghez kpest elenysz. Feltesszk tovbb azt, hogy semmifle csillapts nincsen, vagyis a rezg hr mint mechanikai rendszer konzervatv.

    Az egyenslyi helyzetben az x koordintval jellemzett rszecske transzverzlis irny elmozdulst az a = u(x, t) fggvny hatrozza meg; az u(x, t) fggvny (0 ^ x ^ l ) hatrozza meg brmely t idpillanatban az egsz hr alakjt a rezgs

    0tZfolyamn. A hr rintjnek a meredeksgt az x helyen s a t idpontban a - =

    = ux(x, t) parcilis derivlt hatrozza meg. A hr brmelyik pontjnak a pillanatnyi

    sebessgt pedig a ^ = a,(x, t) parcilis derivlt hatrozza meg. Azt a tnyt, hogy a

    hr kt vgpontja (x = 0, x = l) rgztett, fejezik ki az

    u(0, t) = u(l, t) 0 (brmely t mellett)kerleti felttelek.

    Az u(x, t) ismeretlen fggvnyt meghatroz differencilegyenlet fellltshoz a Hamilton-fle elvet alkalmazzuk. Ehhez ismernnk kell a kinetikus s a potencilis energia kifejezseit.

    Jellje fx = fx(x) a hr hosszegysgre vonatkoz tmeget, akkor a kinetikus energia:

    i

    0

    A potencilis energia egyenl a cr feszltsgnek s a hr hosszvltozsnak a szorzatval. Ha a t = 0 idpillanatban a hr az x tengellyel esik egybe, akkor az eredeti hossz /. Egy ksbbi, t > 0 idpillanatban a hr megvltozott hossza:

    f 1 + ( S)*1'o

    teht a hosszvltozs:

    F I f ' - ' -0

    b) A REZG HR PR O BLM JA 57

    |0UFigyelembe vve azt a feltevsnket, hogy | ^ j az egysghez kpest kicsiny,

    i imegengedett a kvetkez kzelts:

    duV 9x1 *

    Ezzel a hosszvltozs:

    s a potencilis energia:0

    dx,

    dx.

    Alkalmazzuk most a Hamilton-fle elvet: A rezg hr mozgst az az u = u(x, t) fggvny hatrozza meg, a x S 2 idintervallumban, amelyik az

    , h 0 integrl extrmumt adja, s amelyik az elrt

    u(0, ) = u(Z, t) 0

    , kerleti feltteleknek eleget tesz. Alkalmazva az 5. a j 1. vgeredmnyt, nyerjk a

    92u _ fx 92u 9x2 - a 9f2

    differencilegyenletet, a rezg hr differencilegyenlett.Most mg megllaptjuk azt, hogy milyen felttelnek kell teljeslnie akkor, ha

    elhagyjuk azU(0, t) = a(lf t) = 0

    kerleti feltteleket, s csak azt ktjk ki, hogy a hr kt vgpontja az (u, x) skban az x tengelyre merleges irnyban, az x = 0, illetve x = l egyenesek mentn mozoghasson. Alkalmazzuk az 5. a j 2.-ben kzlt eredmnyt az

    f 1 I l9ul2 9u|2i2 | ^ (9 J - " M |

    fggvnyre, figyelembe vve azt, hogy a mi problmnknl a T integrlsi tartomny az (x, ) sk 0 ^ x = Z, = = *2 derkszg ngyszge, s az u rtke csak az x = 0, x = l egyenesek mentn nincs elrva.

  • 5 8 5. . A REZG HR P R O B L M JA

    gy ezeknek az egyenesszakaszoknak" a mentn ^ ^ 1 s ^ = 0. gy az idzett eredmny szerint a kvetkez egyenletet nyerjk:

    az x 0 s x = / helyeken.

    c) A rezg hrral kapcsolatos sajtrtk-sajt- fggvny problm a

    Ksreljk meg a rezg hr differencilegyenletnek a megoldst

    u(x, t) = cp(x) xp{t)

    alakban ellltani, ahol cp csak jc-tl s ip csak -tl fgg. Ha ezt a felttelezett megoldst behelyettestjk a differencilegyenletbe, nyerjk a kvetkezt:

  • Lthatan ezek a megoldsok a t idnek periodikus fggvnyei. A peridust

    , a frekvencia: . gy a rugalmas hr csaka sajtrtkeknek megfelel frekven-VK 2lt ' ~cikkal kpes rezegni. Ha a sajtrtkek sorozatt meghatrozzuk, ezzel mr meg van hatrozva a hr rezgse termszetes frekvenciinak (nfrekvenciinak) a sorozata (a rezgsi frekvencik spektruma) is. A legkisebb Ax sajtrtkhez tartozik a rezgs n.

    alapfrekvencija:*7Z

    60 5. . A REZG HR P R O B L M JA

    d) Tetszleges fggvnynek a sajtfggvnyek szerinti sorba- fejtse

    Mindenekeltt tekintsk a rezg hrhoz tartoz sajtrtkek nvekv sorozatt:

    Aj, A . . . , An, . . .

    s az ezekhez tartoz sajtfggvnyeket: cplt q>2, . . . ,

  • 64 5. . A REZG HR PR O B L M JA

    Parcilis integrlssal s a kerleti felttelek figyelembevtelvel ezt gy alakthatjuk t:

    i, i i

    I = \ 2 J j Cm dx + Cm j

  • 66 6. . A R E Z G M E M B R N

    Az 17-ra kirtt kerleti felttel miatt azonban az itt szerepl msodik integrl zrus, gy marad:

    du[\9dz

    9/du.

    r) dx dy dz 0.

    Ebbl pedig a variciszmts alaplemmjnak hrmas integrlokra vonatkoz ltalnostsa alapjn kvetkezik a

    df_ _ 9 9u dx

    'dUdu:

    0 d\ dy |9u'yj

    9dz du, = 0

    Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet.2. Ennek a problmnak ltalnostsa az, hogy feltesszk azt, hogy u = u(x, y ,...,z) n vltozs s I az n mret tr V zrt tartomnyra kiterjesztett n-szeres integrl. Ha most

    / = f(x, y , . . . , z, u, u\, uy, . . . , uz),

    akkor az u extrmlis fggvny szmra a fentihez hasonl okoskodssal nyerjk a

    d _ l _ d _ ( d t du dx \duY dy |9u dz du,

    Euler-Lagrange-fle differencilegyenletet.3. Ha az ltalnostott izoperimetrikus problmban az u = u(x, y, z) extremlis szmra az

    gk(x, y, z, u, u'if u'y, u,) dx dy dz = A k, k = 1, 2 , . . s (Ak megadott lland);

    mellkfeltteleket rjuk ki, akkor az u extremlis fggvny szmra a Aj, A2, . . . , A5 Lagrange-fle multipliktorokkal kpezett

    /* = / + ^1 81 + A2 2 + + As gs alkotfggvnnyel felrt

    d f* 9 (9/*du dx \du[.

    ddy

    9 | _ i | 9 l = o9u'J zlu'J

    Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet addik.4. Tegyk fel azt a specilis esetet, hogy az I(u ) hrmas integrlban szerepl / alkot fggvny a kvetkez:

    dP , dQ dR1 dx ^ dy ^ dz '

    ahol P, Q s R az x, y, z, u vltozk tetszleges folytonosan differencilhat fggvnyeid

    a) T B B E S IN T E G R L O K E X T R E M IZ A L S A 6 7 '

    Ekkor a trbeli G a u s s Osztrogradszkij-ttel alapjn:

    V

    = [ J [P cos (n, x) + Q cos (1n, y) + R cos (n, z)} dF,F

    ahol F a zrt V trrszt hatrol felletet jelenti. Vagyis esetnkben az I(u) funkcionl egyedl a P,Q,R fggvnyeknek az F felleten felvett rtkeitl fog fg- geni. Ha teht kerleti felttelknt elrjuk az u = u(x, y, z) extremlis fggvny rtkt az F felleten, akkor ezzel a P, Q, R fggvnyeknek F-en felvett rtkei is el vannak rva, teht az / integrl rtke is meghatrozott. gy az / integrl extremizlsra vonatkoz varicis feladat rtelmetlen: az ehhez a problmhoz tartoz Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet egy azonossg.

    Ha most mg figyelembe vesszk azt, hogy az Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet az / fggvnyre nzve lineris, akkor az elzkbl az kvetkezik, hogy a brmely / alkotfggvnyre felrt Euler-Lagrange-fle differencilegyenlet nem vltozik meg akkor, ha f-h ez egy tetszleges

    9P 9Q dRdx+ dy+ 'dz

    divergen cia jelleg kifejezst adunk hozz. (Ha v(r) = Pi + Qj + Rk, akkordP dQ dR = dx ^ dy ^ dz 1

    b) A rezg memb- I Legyen egy vkony, rugalmas membrn az (x, y) sk egy rn problmja | nmagt nem metsz, zrt L grbje mint kerlet kztt

    kifesztve. A kerletet kpez L grbrl feltesszk azt, hogy vges szm rektifiklhat vdarabbl ll. Az L grbe ltal bezrt D tartomny egybeesik a membrn egyenslyi helyzetvel.

    Tegyk fel, hogy valamilyen kls hats folytn a membrn olyan rezgseket vgez, hogy pontjai az (x ,y ) skra merleges irnyban mozognak. Kpzeljk el azt, hogy a membrn az L kerlet mentn be van fogva. A membrn egyes pontjainak helyzett brmely t idpontban az u = u{x, y, t) hromvltozs fggvny hatrozza meg, amelyre fennll az

    u(x,y, t) = 0,

    az L grbe pontjaiban minden -re rvnyes kerleti felttel. Az u(x, y, t) fggvnyrl feltesszk azt, hogy a D tartomnyban folytonosak az id szerinti els s a helykoordintk szerinti msodik parcilis derivltjai.

    A membrn rezgmozgst ler u(x, y, t) fggvny meghatrozsra alkalmazni fogjuk a Hamilton-fle elvet. Ehhez azonban ismernnk kell a kinetikus s a potencilis energit.

    Tegyk fel, hogy a membrn terletegysgre es tmege: /x = ix(x, y). Feltesszk azt, hogy a rezgs amplitdi kicsinyek, s gy /x fggetlen az u-tl. Mivel az (x, y) 5*

  • helyen a idpontban a seb essg :^ , ezrt a terletegysg kinetikus energija:

    r f* s az egsz kinetikus energia:2 p t j

    T = 2 J > (l) * *o

    A potencilis energit azzal a feltevssel hatrozzuk meg, hogy a membrn tkletesen hajlkony, s a potencilis energia egyenl azzal a munkval, amely a deformci kvetkeztben bell felsznmegvltozshoz szksges. S ha mg a cr terlet- egysgre vonatkoz feszltsget* is llandnak ttelezzk fel, akkor mondhatjuk, hogy a potencilis energia egyenl a felszn megvltozsa szorozva cr-val.

    A membrn eredeti felszne:

    || dxdy ;'>

    a megvltozott felszn:

    6 8 6. . A R E Z G M E M B R N

    f f 1Dgy a potencilis energia:

    V = (T i+(!f+ I S ) * * - ! * *Feltesszk azt, hogy a membrn deformcija olyan kicsiny, hogy megengedett

    a kvetkez kzelts:

    ]dx> l 2 |\8x/ \8y

    gy azt nyerjk, hogy

    r- W l B , + > *Alkalmazva a Hamilton-fle elvet, a feladatunkat gy fogalmazhatjuk: Meghatrozand az az u = u(x, y, t) fggvny, mely az

    t

    j < a > = J ( r - n * = ^I, l, D

    integrl extrmumt adja, az elrt kerleti felttelek mellett.

    b) A R E Z G M E M B R N P R O B L M JA 6 9

    Az gy megfogalmazott varicis feladathoz tartoz EulerLagrange-fle differencilegyenlet a rezg membrn differenciltgyenlete:

    0 2a0-40 = ^ -

    82 92ahol A = -0 + :r- , az n. Laplace-fle opertor, teht 0x2 0j r

    02 02U0i 2 + 0y2*

    c,) A rezg membrnhoz tartoz sajtrtk-sajt- fggvny problma

    tesz a

    kerleti felttelnek s a

    normlsi felttelnek. Mivel

    A rezg membrn differencilegyenletnek megoldst az

    u = cp{x, y) xp(t) alakban ksreljk meg megkeresni, ahol 0 (amint azt albb igazoljuk), ezrt az els differencilegyenlet ltalnos megoldsa:

    ip(t) A cos ]/A t + B sin fA V,

    ahol A s B integrlsi llandk. Lthatan ip az idnek periodikus fggvnye, az = ]/X krfrekvencival.

  • A msodik differencilegyenlet megoldsa a D tartomnyban, a hatrol L grbn elrt kerleti felttellel, egy sajtrtk-sajtfggvny problma. Minden olyan -t, melynl a

    cr Acp + A /x 0 fggvny az vhosszegysgre es s u = 1 kitrshez tartoz er nagysgt jelenti. A negatv eljel arra utal, hogy a visszatrt er mindig ellenkez irny, mint a kitrs.

    Az velemre hat visszatrt erhz tartoz potencilis energia:

    p(s) ds^ u du ^ p(s) u2 ds,

    ahol az integrlsi llandt gy vlasztottuk meg, hogy zrus legyen az egyenslyi helyzetben.

    Az egsz kerletre hat visszatrt erkhz tartoz potencilis energia:

    ds,

    ahol termszetesen u az s fggvnye az L mentn.A rugalmas megfogst olyannak ttelezzk fel, hogy az nem befolysolja a rezg

    membrn kinetikus energijt.Ha most erre az esetre alkalmazni akarjuk a Hamilton-elvet, figyelembe kell

    vennnk a VL elbb kiszmtott potencilis energit is. A feladatunk most teht abban ll, hogy meghatrozzuk az

    ' = 2"J | J [ ^ | " * E l1 + (1)1 } X ^ ~ J ^ ^ 1 *D L

    integrlt extremizl u = u(x, y , t) fggvnyt.

  • Mindenekeltt alaktsuk t az L grbe menti integrlt Green ttele alapjn, bevezetve a

    p = s \ p u * % = \ p 2Tx (az L srbn)

    sszefggsekkel a P = P (x,y , ), Q = Q (x,y ,t) fggvnyeket, melyek egybknt a D tartomnyban tetszleges, ktszer folytonosan differencilhat fggvnyek. Azt rhatjuk, hogy

    J p u2 ds = i - J Ip u2

  • Mrmost alkalmazva ezt az eredmnyt a mi problmnkra, mivel 9/ 1 ds 9/ , l ds_ _ _ cr u, - - p u ; _ = _ cr uv + - p u - (az L grbe pontjaiban),

    azt kapjuk, hogy az u-nak ki kell elgtenie a

    I . dy , dx |^ p v s _ U P U ~ ^ (3Z ^ ^rbe Pontai^an)

    illetve9zz

    o - - + |>a = 0 (az L grbe pontjaiban)

    kerleti felttelt. jelenti az u-nak a D tartomnyt hatrol L grbe kls normlisnak irnyban vett derivltjt).

    Ha most azu = cp{x, y) ip(t)

    alakban keressk a problma megoldst, akkor egyrszt arra jutunk, hogy

    rp(t) = A cos '/A t + B sin f A ,

    az A s B integrlsi llandkkal, msrszt

  • Green ttelt alkalmazva, rhatjuk:

    (A AP { { p V i

  • 7 8 6. . A R E Z G M E M B R N

    Ezzel pedig:t.

    1 = \ - S / j C'" + m P l U A(Pm ^ J f0" + P Vm & ] j * = *

    i i,

    = \ j ? J j & - cm Am jj^ m < pdxdy = 0 , m = 1 , 2, , . k - 1u

    ortogonalitsi felttelnek; ahol

  • 7. . A RITZ-FLE ELJRS

    a) A Ritz-fle elj- I A fizika s a mszaki tudomnyok klnbz terleteihez rs________________ I tartoz olyan feladatok gyakorlati trgyalsa, amely vari

    cis feladatok formjban fogalmazhat meg, ltalban azt a sokszor igen komoly nehzsget tmasztja, hogy meg kell oldani a feladathoz tartoz EulerLagrange-fle differencilegyenletet s a kapott megoldsokbl ki kell vlasztani az elrt kerleti feltteleket is kielgt megoldst. Ez az t sajnos ltalban csak a legegyszerbb esetekben vezet eredmnyre. Felmerlhet az a gondolat, hogy alkalmazzunk valamilyen kzelt mdszert a differencilegyenlet megoldsra. Azonban ms ton is clt rhetnk. Mgpedig olyan mdon, hogy nem az Euler Lagrange-fle differencilegyenlet kzvettsvel keressk meg a megoldst, hanem a variciszmts n. direkt mdszerei kzl alkalmazzuk valamelyiket. Ezek kztt a legismertebb az n. Ritz-fle eljrs.

    Ezt az eljrst sokszor olyan esetekben is szoks alkalmazni, amikor a feladat nem is varicis feladat, hanem valamilyen differencilegyenlet adott kerleti feltteleket kielgt megoldsnak megkeresse. Ilyenkor termszetesen elszr a variciszmts inverz feladatt kell megoldani, ami abban ll, hogy az adott differencilegyenletet egy egyelre ismeretlen varicis feladat EulerLagrange-fle differencilegyenletnek tekintjk s megkeressk a hozz tartoz varicis problmt.

    A kvetkezkben a Ritz-fle eljrst a legegyszerbb varicis feladattal kapcsolatban vilgtjuk meg.

    Tegyk fel, az a feladatunk, hogy meghatrozzuk azt az

    ;K*i) = yu y(xs) = y 2

    kerleti feltteleket kielgt y = y(x) fggvnyt, amelyik az

    Hy) = | f(x , y, y') dxx]

    integrl extrmumt adja.Flmerlhet az a gondolat, hogy ugyangy, mint a differencil- s integrl

    egyenleteknl is szoksos hatrozzuk meg a keresett y(x) fggvnyt fggvnysor alakjban. Itt azonban nem ktnk ki amellett, hogy ez a fggvnysor pl. hatvnysor vagy Fourier-sor legyen, hanem tetszleges fggvnysort vlaszthatunk, azzal a kiktssel, hogy a fggvnysor egyes tagjai olyan fggvnyek legyenek, amelyek kielgtik az elrt kerleti feltteleket, s legalbb azoknak a folytonossgi s differencilhatsgi feltteleknek tegyenek eleget, amelyeket a meghatrozand y{x)-re is kiktnk.

    b) PLDK 8

    Legyenek pl. az elbb emltett feltteleknek eleget tev, egybknt tetszleges fggvnyek:

  • Vlasszuk a kvetkez x = O-nl s x = 1-nl zrus rtk fggvnyeket:

  • 84 7. 8. A R IT Z -FL B EL J R S

    3. A rugalmas lemezek lland terhelshez tartoz egyenslyi alakjnak meghatrozsa a kvetkez varicis feladatra vezet:

    dxdy

    legyen extrmum, megadott kerleti felttelt kielgt u(x, y) fggvny esetn. Itt u jelenti a lemez egyes pontjainak az (x, y) sktl merlegesen mrt tvolsgt az egyen

    slyi helyzetben; v = - a Poisson-fle szm reciproka; p a lemez terletegysgre hat

    terhels; N pedig egy a lemez vastagsgtl, a rugalmassgi modulusztl s a Poisson- fle szmtl fgg lland. (Megjegyezzk mg azt, hogy az integrl lland szorzjt elhagytuk.)

    Az ehhez a feladathoz tartoz EulerLagrange-fle differencilegyenlet:

    Tekintsnk spcilisan (egy egyenletesen terhelt, a oldal ngyzet alak lemezt az u = 0, Au = 0 kerleti felttelekkel (kerleten tmaszts). Egy, a kerleti feltteleket is kielgt ksrleti fggvny legyen:

    Ezzel

    / meghatrozhat a

    felttelbl1:

    , . n x . tiy= / sin ------- sin a a

    97 9/

    ^ y _ _ na% n * N ~ '

    ahonnan az egzakt eredmnnyel egyezen:

    4 a * p1 n

    Ez az / jelenti egybknt a lemez legnagyobb behajlst az adott terhels esetn

    F G G ELK

    A VARICISZM TS NHNY N EV EZETES PRO BLM JA

    Az albbiakban, az eddig trgyalt problmk kiegsztseknt felsorolunk nhnyat a variciszmts trtnetileg rdekes s nevezetes problmi kzl.1. Meghatrozand annak a forgstestnek a meridingrbje, amelyiknek folyadkba merts esetn a legkisebb az ellenllsa (Newton problmja) .2. Meghatrozand az a kt adott pontot sszekt grbe, amelynek befutsakor egy slyos anyagi pont a vgpontban maximlis vgsebessget r el (Lagrange).3. Meghatrozand az a kt adott pontot sszekt grbe, melynl a grbe, az evolutja s a kt vgponthoz tartoz normlis a legkisebb terletet zrja be (Euler),4. Meghatrozand az a kt adott pontot sszekt grbe, melynek az egyik koordinta-tengely krli megforgatsval szrmaz forgstest trfogata a legnagyobb, ha a palstfelszn elre megadott, lland (Lindelj).5. Meghatrozand az a kt adott ponton tmen s adott terletet bezr grbe, amelynek egy tengely krli megforgatsval szrmaz forgsfellet felszne a legkisebb (Euler).6. Mindazon grbk kzl, melyek kt adott ponton mennek t, s adott az vhosszsguk, hatrozzuk meg azt, amelyiknek egy tengely krli megforgatsval a legnagyobb trfogat forgstest szrmazik (Euler).7. Melyik az az adott felszn fellet, amely a legnagyobb trfogat trrszt zrja krl? (Sarrus).8. Meghatrozand az a kt adott pontot sszekt grbev, amelyiknek egy adott pontra vonatkoz msodrend nyomatka maximlis, illetve minimlis (Euler, Bonnet). 9* Meghatrozand az a legnagyobb, illetve legkisebb vhosszsg grbe melynek a grblete lland s a vgpontjai kt adott grbn vagy felleten fekszenek (Delaunay).

  • IRODALOM JEGYZK

    1. M. A . LavrentyevL . A . Ljusztyernyik: Variciszmts. (Akadmiai Kiad, Budapest, 1953.)

    2. O. BoZza: Vorlesungen ber Variationsrechnung. (Koehler & Amelang, Leipzig, 1949.)

    3. B . Baule: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bnd V .: Variationsrechnung. (S. Hirzel, Leipzig, 1950.)

    4. G. Griiss : Variationsrechnung. (Quelle & Meyer, Leipzig, 1938.)5. R. Weinstock; Calculus of variations. (McGraw-Hill, New YorkToronto

    London, 1952.)6. R . CourantD. Hilbert: Methoden dr mathematischen Physik I II. (J. Sprin

    ger, Berlin, 1931.)7. L. E. Elsholz : Variationsrechnung (in: Grosse Sowjet-Enzyklopdie; B. G. Teub-

    ner, Leipzig, 1954).8. F. Schwank: Randwertprobleme. (B. G. Teubner, Leipzig, 1951.)9. W. HortA. Thoma: Die Differentialgleichungen dr Technik und Physik,

    (J. A. Barth, Leipzig, 1950.)10. L. Collatz: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. (Akad. Ver-

    lagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig, 1949.)11. L. V. KantorcvicsV. I. K rhv: A felsbb analzis kzelt mdszerei. (Akad

    miai Kiad, Budapest, 1953.)12. L. A. Ljusternik W. L Sobolew: Elemente dr Funktionalanalysis. (Akademie

    Verlag, Berlin, 1955.)13. Bud .: Mechanika. (Tanknyvkiad, Budapest, 1953.)14. A . Sommerfeld: Mechanik. (Akad. Verlagsgssellschaft Geest & Portig, Leipzig,

    1949.)15. G. Joo s : Lehrbuch dr theoretischen Physik. (Akad. Verlagsgesellschaft Geest &

    Portig, Leipzig, 1950.)16. G. Joos Th. Kaluza: Hhere Mathematik fr den Praktikar. (T. A. Barth, Leip

    zig, 1952.)17. N. M. GjanterR. O. Kuzmin: Felsbb matematikai pldatr. I I I . (Tanknyv-

    kiad, Budapest, 1952.)

    T A R T A L O M JE G Y Z K

    Bevezets

    a) A variciszmts trgya s feladata ........................................................................... 9b) Nhny egyszerbb varicis feladat ............................................................ ................ 10c) Varicis feladatok ltalnos megfogalmazsa ............................................................... 12

    1. . A legegyszerbb varicis feladatok megoldsa

    a) A variciszmts alaplemmja ................................................................................ 14b) Az EulerLagrange-fle differencilegyenlet............... ............................................... 15c) Szoksos elnevezsek ...................................................... .............................. .................. ..d) Az EulerLagrange-fle differencilegyenlet els integrlja bizonyos specilis

    esetekben ...................................................................................... ................ ......................... *8e) Pldk ..................................................................................................................................... 21f) Tbb fgg vltoz esete .................................................................... .... ........... .. ^g) Vltoztathat kerleti pontok .............................. ............................... ........................... 25

    2. . Az izoperimetrikus problma

    a) Az egyszer s az ltalnostott izoperimetrikus problma megoldsa...........b) Pldk .................................................................................................. ......................c) Varicis feladatok, egyenletek, illetve differencilegyenletek formjban megadott

    mellkfelttelekkel ....................................................................... ................................ .d) Alkalmazs az alkotfggvnyben elsnl magasabbrend derivltat is tartalmaz