Univerzita Karlova v Praze

Matematicko-fyzikaacutelniacute fakulta

BAKALAacute ŘSKAacute PRAacuteCE

Jan Helm

Topografickeacute plochy

Katedra didaktiky matematiky

Vedouciacute bakalaacuteřskeacute praacutece RNDr Jana Hromadovaacute PhD

Studijniacute program Matematika matematika zaměřenaacute na vzdělaacutevaacuteniacute kombinace matematika s deskriptivniacute geometriiacute

2009

Raacuted bych poděkoval všem kteřiacute mě podpořili při psaniacute teacuteto praacutece Zvlaacuteštniacute poděkovaacuteniacute patřiacute RNDr Janě Hromadoveacute PhD za zapůjčeniacute literatury a množstviacute cennyacutech rad

Prohlašuji že jsem svou bakalaacuteřskou praacuteci napsal samostatně a vyacutehradně s použitiacutem citovanyacutech pramenů Souhlasiacutem se zapůjčovaacuteniacutem praacutece a jejiacutem zveřejňovaacuteniacutem V Praze dne 1632009 Jan Helm

2

Obsah

Uacutevod helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

1 Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6

2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14

4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22

6 Přiacutečnyacute profil helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26

7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou helliphelliphelliphelliphellip 29

8 Podeacutelnyacute profil helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

9 Tečnaacute rovina topografickeacute plochy helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

10 Obzor a naacuterysnyacute obrys helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40

11 Naacutesypy a vyacutekopy helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 49

12 Napojeniacute komunikaciacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65

Zaacutevěr helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66

Literatura helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67

3

Naacutezev praacutece Topografickeacute plochy Autor Jan Helm Katedra (uacutestav) Katedra didaktiky matematiky Vedouciacute bakalaacuteřskeacute praacutece RNDr Jana Hromadovaacute PhD e-mail vedouciacuteho JanaHromadovamffcunicz Abstrakt Tato bakalaacuteřskaacute praacutece zabyacutevajiacuteciacute se topografickyacutemi plochami je určena zejmeacutena učitelům deskriptivniacute geometrie na středniacutech a vysokyacutech školaacutech jako pomůcka při vyacuteuce topografickyacutech ploch Největšiacute čaacutest teacuteto praacutece se věnuje řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute a rovinnyacutech ploch což je jedno z praktickyacutech využitiacute znalostiacute o topografickyacutech plochaacutech Prvniacute kapitola sloužiacute jen k připomenutiacute popř zavedeniacute pojmů z koacutetovaneacuteho promiacutetaacuteniacute potřebnyacutech v dalšiacutem textu V dalšiacutech kapitolaacutech je zaveden pojem topografickaacute plocha je vysvětlena konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu a určeniacute jeho měřiacutetka a jsou zde uvedeny některeacute konstrukce na topografickyacutech plochaacutech např podeacutelnyacute profil přiacutečnyacute profil naacuterysnyacute obrys nebo průnik topografickyacutech ploch Studenti středniacutech a vysokyacutech škol mohou tuto praacuteci využiacutet pro procvičeniacute přiacutekladů ktereacute jsou na konci většiny kapitol nebo při samostudiu

Kliacutečovaacute slova topografickaacute plocha vrstevnicovyacute plaacuten podeacutelnyacute profil přiacutečnyacute profil řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů Title Topographical surfaces Author Jan Helm Department Department of Mathematics Education Supervisor RNDr Jana Hromadovaacute PhD Supervisoracutes e-mail address JanaHromadovamffcunicz Abstract This bachelor thesis is dealing with the topographical surfaces It is mainly destined for high school and university teachers of descriptive geometry as an aid for education of topographical surfaces The majority of the text is concentrated on a solution of fills and earthwork cuttings along communications and plane surfaces which is one of the practical usage of knowledge in topographical surfaces The first chapter serves the purpose of only reminding eventually introducing of concepts from dimensioned projection necessary for the rest of the text In the next chapters there is introduced the concept of topographical surface an explanation of a contour plan construction and the determination of its scale and there are mentioned several constructions on topographical surfaces For example a longitudinal profile a cross profile a vertical contour or an intersection of topographical surfaces The high school and university students can use this bachelor thesis for practising tasks (which are at the end of almost each chapter) or for study hour Key words topographical surface contour plan longitudinal profile cross profile solution of fills and earthwork cuttings

4

Uacutevod Teacutematem teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece jsou topografickeacute plochy Při vyacuteuce deskriptivniacute geometrie ať už na středniacute nebo vysokeacute škole jsou topografickyacutem plochaacutech věnovaacuteny obvykle 2-4 vyučovaciacute hodiny jen vyacutejimečně viacutece Takeacute v učebniciacutech deskriptivniacute geometrie se topografickyacutem plochaacutem věnuje obyčejně jen několik maacutelo stran Ciacutelem teacuteto praacutece bylo vytvořit ucelenyacute text o topografickyacutech plochaacutech kteryacute by sloužil učitelům při vyacuteuce tohoto teacutematu ve ktereacutem je dostatek naacutezornyacutech obraacutezků a ze ktereacuteho by mohli čerpat přiacuteklady Zaacuteroveň bylo ciacutelem vytvořit text dostatečně srozumitelnyacute ze ktereacuteho se je schopen student saacutem naučit vyřešit naacutesypy a vyacutekopy podeacutel komunikaciacute a jineacute konstrukce na topografickyacutech plochaacutech Předpoklaacutedaacute se že čtenaacuteř tohoto textu maacute určiteacute znalosti z deskriptivniacute geometrie např že viacute co je naacuterys vrženyacute stiacuten atd Některeacute kapitoly lze čiacutest samostatně ale jineacute využiacutevajiacute znalostiacute z předchaacutezejiacuteciacutech kapitol Prvniacute kapitola neniacute vyacutekladem koacutetovaneacuteho promiacutetaacuteniacute jsou zde jen připomenuty některeacute pojmy jejichž znalost je potřebnaacute k porozuměniacute dalšiacutem kapitolaacutem Ve druheacute kapitole se čtenaacuteř dozviacute kteraacute plocha je topografickaacute jakeacute naacutezvy majiacute některeacute speciaacutelniacute topografickeacute plochy a jakeacute vyacuteznamneacute body a křivky se na ploše nachaacuteziacute Ve třetiacute kapitole se naučiacute zakreslit topografickou plochu v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute tzn vytvořit vrstevnicovyacute plaacuten Aby si mohl čtenaacuteř vytvořit představu o tvaru topografickeacute plochy jsou v dalšiacutech kapitolaacutech uvedeny konstrukce přiacutečneacuteho a podeacutelneacuteho profilu a takeacute naacuterysneacuteho obrysu Posledniacute kapitola na kterou bych raacuted upozornil je kapitola o průniku topografickyacutech ploch a topografickeacute plochy s rovinou kteraacute neniacute moc naacuteročnaacute ale o to viacutec je důležitaacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute a kolem různyacutech rovinnyacutech ploch Kapitola o řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů je zajiacutemavou a praktickou aplikaciacute znalostiacute o topografickyacutech plochaacutech proto je teacuteto kapitole věnovaacuteno nejviacutece prostoru Obraacutezky a zadaacuteniacute cvičeniacute jsou kresleny v AutoCADu Součaacutestiacute teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece je přiloženeacute CD na ktereacutem je celyacute text bakalaacuteřskeacute praacutece v elektronickeacute podobě

5

Kapitola 1 Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute Pro zobrazeniacute topografickyacutech ploch je nejvhodnějšiacute tzv koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute proto je pro zakreslovaacuteniacute topografickyacutech ploch nutneacute znaacutet alespoň zaacutekladniacute naacutezvosloviacute a vlastnosti tohoto promiacutetaacuteniacute Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute je pravouacutehleacute promiacutetaacuteniacute na jednu průmětnu kteraacute je zpravidla vodorovnaacute a děliacute prostor na dva poloprostory Jeden z těchto poloprostorů většinou ten bdquonadldquo průmětnou prohlaacutesiacuteme za kladnyacute druhyacute bude zaacutepornyacute Protože bod A neniacute jednoznačně určen svyacutem pravouacutehlyacutem průmětem A1 do průmětny doplniacuteme průmět (půdorys) A1 o tzv koacutetu zA kterou ziacuteskaacuteme jako vzdaacutelenost bodů AA1 (vzdaacutelenost bodu A od průmětny) opatřenou kladnyacutem znameacutenkem jestliže ležiacute bod A v kladneacutem poloprostoru a zaacutepornyacutem znameacutenkem v opačneacutem přiacutepadě (obr 11)

zA=5

A

A1

B1

B

zB=3π A(5)

B(-3)C=C1

C(0)

π

Obraacutezek 11 Zobrazeniacute bodu

Při zobrazovaacuteniacute přiacutemky v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute stačiacute znaacutet koacutetovaneacute průměty dvou různyacutech bodů přiacutemky Pravouacutehlyacute průmět p1 přiacutemky p určeneacute body A a B je spojnice A1B1 když A1 ne B1 V přiacutepadě že A1 = B1 pak p1 = A1 = B1 což nastane praacutevě tehdy když p je promiacutetaciacute

P=P1A1

B1

A

B

p1

p

π P(0)A(2)

B(3)

p

π

π A 1=B1=P=P1=p1

p

A

B

πP(0)=A(2)=B(3)=p

Obraacutezek 12 Zobrazeniacute přiacutemky

6

Každaacute přiacutemka kteraacute je rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute přiacutemka Přiacutemka kteraacute neniacute hlavniacute protiacutenaacute průmětnu v bodě kteryacute nazyacutevaacuteme stopniacutek (bod P na obraacutezku 12) Stupňovaniacute přiacutemky znamenaacute nalezeniacute průmětů bodů přiacutemky ktereacute majiacute celočiacuteselneacute koacutety K určeniacute stopniacuteku přiacutemky použiacutevaacuteme sklaacutepěniacute promiacutetaciacute roviny přiacutemky (obr 13) Na kolmice k p1 sestrojeneacute v π vyneseme na přiacuteslušnou stranu od průmětu p1 koacutetu zA a zB Průnik p1 s (p) je hledanyacute stopniacutek Ze sklopeniacute lze snadno určit koacutety bodů přiacutemky p (na obr 13 bod C)

p

C(zC)

p1π B

ρ

(B)

|zB| B(zB)

P

C

(C)

|zC| (p)A(zA)

|zA|(A)

A

Obraacutezek 13 Stopniacutek přiacutemky

Tři různeacute body ktereacute neležiacute v přiacutemce určujiacute rovinu Rovina je promiacutetaciacute praacutevě tehdy když koacutetovaneacute průměty všech bodů roviny ležiacute na přiacutemce Rovina rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute (vrstevniacute) rovina Průnikem roviny ρ kteraacute neniacute hlavniacute s hlavniacutemi rovinami jsou hlavniacute přiacutemky teacuteto roviny Průmětna je hlavniacute rovina o koacutetě 0 a hlavniacute přiacutemka v niacute ležiacuteciacute se nazyacutevaacute stopa roviny ρ a značiacute se pρ Přiacutemka roviny kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky se nazyacutevaacute spaacutedovaacute přiacutemka Každyacutem bodem roviny prochaacuteziacute praacutevě jedna spaacutedovaacute přiacutemka kteraacute se zpravidla značiacute s Ve sklopeniacute spaacutedoveacute přiacutemky do půdorysny (popř jineacute hlavniacute roviny) určuje uacutehel α odchylku spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny (viz obraacutezek 14) Odchylka roviny od průmětny se rovnaacute odchylce jejiacute spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny

s1

h(2)

h(1)

h1(1) h1(2)

(s)α

α1

2

ρ

π

spρ

Obraacutezek 14 Odchylka roviny od průmětny

7

Nalezeniacute průsečnice r dvou různoběžnyacutech rovin neniacute složiteacute Hlavniacute přiacutemky obou rovin se v teacuteže hlavniacute rovině protiacutenajiacute v bodě průsečnice Stačiacute naleacutezt dva jejiacute body (viz obr 15)

B

6

sσ

7

8

A

r

7

6

8

sρ

B

A

8 r

6

7

sρ

7

6

8

sσπ(8)

Obraacutezek 15 Průsečnice rovin

Speciaacutelniacutem přiacutepadem je situace kdy jsou hlavniacute přiacutemky rovin ρ i σ rovnoběžneacute Rovina α kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky obou rovin protne roviny ve spaacutedovyacutech přiacutemkaacutech sρ a sσ Ve sklopeniacute roviny α (do půdorysny nebo jineacute hlavniacute roviny) určiacuteme průsečiacutek spaacutedovyacutech přiacutemek (R) Průsečnice rovin ρ σ prochaacuteziacute bodem R a je rovnoběžnaacute s hlavniacutemi přiacutemkami rovin (obr 16)

sσ = sρ

3

3

sσ

3

r

6R

44

55

sρ 6

(R)

(sρ)(sσ)

3

4

α

65

R6

4

5

(sρ)

(R)

r

(sσ)

Obraacutezek 16 Průsečnice rovin ve speciaacutelniacute poloze

8

Na obraacutezku 17 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby zadaacuteniacute roviny

a) Stupňovanaacute spaacutedovaacute přiacutemka jednoznačně určuje rovinu Hlavniacute přiacutemky jsou kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku a jejich koacuteta je shodnaacute s koacutetou bodu na spaacutedoveacute přiacutemce kteryacutem hlavniacute přiacutemka prochaacuteziacute

b) Rovina je zadaacutena dvěma hlavniacutemi přiacutemkami Každaacute kolmice k průmětům těchto hlavniacutech přiacutemek je průmětem spaacutedoveacute přiacutemky na ktereacute znaacuteme dva jejiacute body

c) Je-li zadaacutena stupňovanaacute přiacutemka p ležiacuteciacute v hledaneacute rovině a spaacutedovaacute přiacutemka nebo směr spaacutedoveacute přiacutemky budou hlavniacute přiacutemky kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku respektive jejiacute směr a průsečiacutek s přiacutemkou p určiacute jejich koacutetu

d) Dalšiacute možnostiacute je zadat rovinu dvěma přiacutemkami z nichž ani jedna neniacute hlavniacute Jsou-li obě tyto přiacutemky vystupňovaneacute hlavniacute přiacutemky nalezneme jako spojnice bodů o stejnyacutech koacutetaacutech Na obraacutezku d) znaacuteme na přiacutemce q pouze jeden jejiacute bod Na přiacutemce p nalezneme bod s touto koacutetou a ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek

e) Rovina může byacutet zadaacutena takeacute jednou hlavniacute přiacutemkou a bodem roviny kteryacute na teacuteto hlavniacute přiacutemce neležiacute Kolmice na zadanou hlavniacute přiacutemku prochaacutezejiacuteciacute zadanyacutem bodem je spaacutedovaacute přiacutemka na ktereacute znaacuteme dva body a snadno lze dourčit jejiacute stupňovaacuteniacute

f) Tři body ktereacute neležiacute v přiacutemce takeacute určujiacute jednoznačně rovinu jejiacutež hlavniacute přiacutemky ziacuteskaacuteme tak že spojiacuteme bod s nejmenšiacute a největšiacute koacutetou Na teacuteto spojnici nalezneme bod o koacutetě shodneacute s koacutetou třetiacuteho bodu čiacutemž ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek roviny

43

42

44

45

s

42

43

44

s

45

42

43

44

s

45

p

43

42

43

44

45

43

42

44

45

43

42

44

45

p q

42

43

44

s

45

435

A(425)

42

43

44

45

A(45)

C(43)

B(42)

43

44

a) b) c)

d) e) f)

Obraacutezek 17 Různaacute zadaacuteniacute roviny

9

Kapitola 2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti Topografickaacute plocha (řecky topo = miacutesta se tyacutekajiacuteciacute topografie = miacutestopis) je tvořena čaacutestiacute zjednodušeneacuteho zemskeacuteho povrchu z tohoto důvodu ji takeacute nazyacutevaacuteme plochou tereacutenu Nemaacute předepsanyacute vyacutetvarnyacute zaacutekon proto naacuteležiacute mezi grafickeacute neboli empirickeacute plochy Pokud zobrazovanaacute topografickaacute plocha nepřesahuje 200 km2 zobrazujeme ji v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute na vodorovnou průmětnu kterou tvořiacute vhodně prodlouženaacute mořskaacute hladina kterou lze na takto maleacute ploše považovat za rovinu Zobrazovaacuteniacutem většiacutech čaacutestiacute zemskeacuteho povrchu se zabyacutevaacute kartografie Zobrazovanou čaacutest zemskeacuteho povrchu protiacutenaacuteme ekvidistantniacutemi rovinami tj vodorovnyacutemi rovinami ktereacute jsou vzdaacuteleny o tuteacutež deacutelku ndash ekvidistanci Řezy ekvidistantniacutech (neboli vrstevniacutech) rovin s plochou tvořiacute vrstevniacute (teacutež vrstevnicoveacute) křivky Rozlišujeme vrstevniacute křivky nachaacutezejiacuteciacute se nad průmětnou tzv vyacuteškoveacute křivky (isohypsy) a křivky pod průmětnou nazyacutevaneacute hloubkoveacute křivky (isobaty)

e

π

0

1

2

e

Obraacutezek 21

Pravouacutehleacute průměty těchto křivek do průmětny π pak nazveme vrstevnicemi Vrstevnice se opatřujiacute přiacuteslušnou koacutetou přičemž průmětna π maacute koacutetu 0 Topografickaacute plocha je určena vrstevnicovyacutem plaacutenem tj soustavou koacutetovanyacutech vrstevnic Mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi neniacute plocha určena Potřebujeme-li určit přesněji tvar plochy musiacuteme zmenšit ekvidistanci Cvičeniacute 21 Na obraacutezku 21 nalezněte vrstevniacute křivky a určete zda se jednaacute o isohypsy nebo o isobaty Kde jsou na obraacutezku 21 znaacutezorněny vrstevnice Dalšiacutemi vyacuteznamnyacutemi křivkami topografickeacute plochy jsou tzv spaacutedoveacute křivky (jejich pravouacutehleacute průměty do π nazyacutevaacuteme spaacutednice) ktereacute majiacute tu vlastnost že protiacutenajiacute kolmo všechny vrstevnicoveacute křivky respektive vrstevnice plochy

10

Na topografickyacutech plochaacutech můžeme naleacutezt zvlaacuteštniacute přiacutepady spaacutedovyacutech křivek

bull Hřebenovaacute neboli uacutebočniacute křivka ndash z každeacuteho jejiacuteho bodu vychaacuteziacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu a směřujiacute od niacute (obr 22)

bull Uacutedolniacute křivka neboli uacutedolnice ndash do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute opět majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu (obr 23)

3

2

1

0

0

1

2

3

Obraacutezek 22 Obraacutezek 23 Na topografickyacutech plochaacutech se takeacute naleacutezajiacute vyacuteznamneacute křivky ktereacute spaacutedoveacute nejsou Spojeniacutem bodů lomu na sousedniacutech vrstevniciacutech vznikne jedna z křivek

bull Hřbetniacute křivka neboli hřbetnice ndash v tereacutenu se jeviacute jako hrana Z každeacuteho bodu hřbetnice vychaacutezejiacute dvě různeacute spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 24)

bull Osa uacutedolniacuteho koryta ndash v tereacutenu se jeviacute jako ostryacute zaacuteřez Do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 25)

3

2

1

0

3

2

1

0

Obraacutezek 24 Obraacutezek 25 Kresleno podle Setzer [1] obr 58 str 71

11

Na topografickyacutech plochaacutech se nachaacuteziacute některeacute vyacuteznamneacute body Jsou to takoveacute body plochy v nichž je tečnaacute rovina plochy vodorovnaacute

bull Vrchol ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice menšiacute koacutety než maacute vrchol Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute maximum nadmořskeacute vyacutešky V praxi se obvykle pojem vrchol použiacutevaacute pro body s určitou vyacuteznamnostiacute např nejvyššiacute bod pohořiacute

bull Důl ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice vyššiacute koacutety Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute minimum nadmořskeacute vyacutešky

bull Sedlovyacute neboli uzlovyacute bod ndash protiacutenajiacute se v něm vrstevnice o stejneacute koacutetě a rozděluje plochu na 4 čaacutesti Dvě protějšiacute čaacutesti majiacute vrstevnice o vyššiacutech a dvě o nižšiacutech koacutetaacutech než maacute sedlovyacute bod

2 12

2

1

2 433

4

6

78

9

7

8

6

7

Obraacutezek 26 Vrchol Obraacutezek 27 Důl Obraacutezek 28 Sedlovyacute bod Na topografickyacutech plochaacutech nebo na jejich čaacutestech se vyskytujiacute speciaacutelniacute tvary ploch

bull Plochu v okoliacute hřbetnice nazyacutevaacuteme hřbet plochu v okoliacute uacutedolnice uacutedoliacute bull Čaacutest plochy v bliacutezkosti vrcholu se nazyacutevaacute kupa (obr 29) bull Okoliacute dolu vytvaacuteřiacute na ploše prohlubeninu (obr 29) bull V bliacutezkosti sedloveacuteho bodu vytvaacuteřiacute plocha tzv sedlo (obr 29) bull Plošinou nazveme takovou čaacutest plochy jiacutež se dotyacutekaacute vodorovnaacute tečnaacute rovina podeacutel

plochy (popř teacuteměř vodorovnou čaacutest topografickeacute plochy) v jejiacutemž okoliacute majiacute vrstevnice menšiacute vyacuteškoveacute koacutety (obr 29)

bull Na obraacutezku 29 je znaacutezorněn takeacute tzv spočinek kteryacute vznikaacute v miacutestech kde hřbetnice přechaacuteziacute do značně miacuternějšiacuteho sklonu (do 2deg) a před začaacutetkem a po ukončeniacute spočinku maacute většiacute spaacuted

spočinek

kupa

prohlubenina

plošina

sedlo

Obraacutezek 29

12

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Raacuted bych poděkoval všem kteřiacute mě podpořili při psaniacute teacuteto praacutece Zvlaacuteštniacute poděkovaacuteniacute patřiacute RNDr Janě Hromadoveacute PhD za zapůjčeniacute literatury a množstviacute cennyacutech rad

Prohlašuji že jsem svou bakalaacuteřskou praacuteci napsal samostatně a vyacutehradně s použitiacutem citovanyacutech pramenů Souhlasiacutem se zapůjčovaacuteniacutem praacutece a jejiacutem zveřejňovaacuteniacutem V Praze dne 1632009 Jan Helm

2

Obsah

Uacutevod helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

1 Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6

2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14

4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22

6 Přiacutečnyacute profil helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26

7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou helliphelliphelliphelliphellip 29

8 Podeacutelnyacute profil helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

9 Tečnaacute rovina topografickeacute plochy helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

10 Obzor a naacuterysnyacute obrys helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40

11 Naacutesypy a vyacutekopy helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 49

12 Napojeniacute komunikaciacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65

Zaacutevěr helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66

Literatura helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67

3

Naacutezev praacutece Topografickeacute plochy Autor Jan Helm Katedra (uacutestav) Katedra didaktiky matematiky Vedouciacute bakalaacuteřskeacute praacutece RNDr Jana Hromadovaacute PhD e-mail vedouciacuteho JanaHromadovamffcunicz Abstrakt Tato bakalaacuteřskaacute praacutece zabyacutevajiacuteciacute se topografickyacutemi plochami je určena zejmeacutena učitelům deskriptivniacute geometrie na středniacutech a vysokyacutech školaacutech jako pomůcka při vyacuteuce topografickyacutech ploch Největšiacute čaacutest teacuteto praacutece se věnuje řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute a rovinnyacutech ploch což je jedno z praktickyacutech využitiacute znalostiacute o topografickyacutech plochaacutech Prvniacute kapitola sloužiacute jen k připomenutiacute popř zavedeniacute pojmů z koacutetovaneacuteho promiacutetaacuteniacute potřebnyacutech v dalšiacutem textu V dalšiacutech kapitolaacutech je zaveden pojem topografickaacute plocha je vysvětlena konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu a určeniacute jeho měřiacutetka a jsou zde uvedeny některeacute konstrukce na topografickyacutech plochaacutech např podeacutelnyacute profil přiacutečnyacute profil naacuterysnyacute obrys nebo průnik topografickyacutech ploch Studenti středniacutech a vysokyacutech škol mohou tuto praacuteci využiacutet pro procvičeniacute přiacutekladů ktereacute jsou na konci většiny kapitol nebo při samostudiu

Kliacutečovaacute slova topografickaacute plocha vrstevnicovyacute plaacuten podeacutelnyacute profil přiacutečnyacute profil řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů Title Topographical surfaces Author Jan Helm Department Department of Mathematics Education Supervisor RNDr Jana Hromadovaacute PhD Supervisoracutes e-mail address JanaHromadovamffcunicz Abstract This bachelor thesis is dealing with the topographical surfaces It is mainly destined for high school and university teachers of descriptive geometry as an aid for education of topographical surfaces The majority of the text is concentrated on a solution of fills and earthwork cuttings along communications and plane surfaces which is one of the practical usage of knowledge in topographical surfaces The first chapter serves the purpose of only reminding eventually introducing of concepts from dimensioned projection necessary for the rest of the text In the next chapters there is introduced the concept of topographical surface an explanation of a contour plan construction and the determination of its scale and there are mentioned several constructions on topographical surfaces For example a longitudinal profile a cross profile a vertical contour or an intersection of topographical surfaces The high school and university students can use this bachelor thesis for practising tasks (which are at the end of almost each chapter) or for study hour Key words topographical surface contour plan longitudinal profile cross profile solution of fills and earthwork cuttings

4

Uacutevod Teacutematem teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece jsou topografickeacute plochy Při vyacuteuce deskriptivniacute geometrie ať už na středniacute nebo vysokeacute škole jsou topografickyacutem plochaacutech věnovaacuteny obvykle 2-4 vyučovaciacute hodiny jen vyacutejimečně viacutece Takeacute v učebniciacutech deskriptivniacute geometrie se topografickyacutem plochaacutem věnuje obyčejně jen několik maacutelo stran Ciacutelem teacuteto praacutece bylo vytvořit ucelenyacute text o topografickyacutech plochaacutech kteryacute by sloužil učitelům při vyacuteuce tohoto teacutematu ve ktereacutem je dostatek naacutezornyacutech obraacutezků a ze ktereacuteho by mohli čerpat přiacuteklady Zaacuteroveň bylo ciacutelem vytvořit text dostatečně srozumitelnyacute ze ktereacuteho se je schopen student saacutem naučit vyřešit naacutesypy a vyacutekopy podeacutel komunikaciacute a jineacute konstrukce na topografickyacutech plochaacutech Předpoklaacutedaacute se že čtenaacuteř tohoto textu maacute určiteacute znalosti z deskriptivniacute geometrie např že viacute co je naacuterys vrženyacute stiacuten atd Některeacute kapitoly lze čiacutest samostatně ale jineacute využiacutevajiacute znalostiacute z předchaacutezejiacuteciacutech kapitol Prvniacute kapitola neniacute vyacutekladem koacutetovaneacuteho promiacutetaacuteniacute jsou zde jen připomenuty některeacute pojmy jejichž znalost je potřebnaacute k porozuměniacute dalšiacutem kapitolaacutem Ve druheacute kapitole se čtenaacuteř dozviacute kteraacute plocha je topografickaacute jakeacute naacutezvy majiacute některeacute speciaacutelniacute topografickeacute plochy a jakeacute vyacuteznamneacute body a křivky se na ploše nachaacuteziacute Ve třetiacute kapitole se naučiacute zakreslit topografickou plochu v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute tzn vytvořit vrstevnicovyacute plaacuten Aby si mohl čtenaacuteř vytvořit představu o tvaru topografickeacute plochy jsou v dalšiacutech kapitolaacutech uvedeny konstrukce přiacutečneacuteho a podeacutelneacuteho profilu a takeacute naacuterysneacuteho obrysu Posledniacute kapitola na kterou bych raacuted upozornil je kapitola o průniku topografickyacutech ploch a topografickeacute plochy s rovinou kteraacute neniacute moc naacuteročnaacute ale o to viacutec je důležitaacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute a kolem různyacutech rovinnyacutech ploch Kapitola o řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů je zajiacutemavou a praktickou aplikaciacute znalostiacute o topografickyacutech plochaacutech proto je teacuteto kapitole věnovaacuteno nejviacutece prostoru Obraacutezky a zadaacuteniacute cvičeniacute jsou kresleny v AutoCADu Součaacutestiacute teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece je přiloženeacute CD na ktereacutem je celyacute text bakalaacuteřskeacute praacutece v elektronickeacute podobě

5

Kapitola 1 Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute Pro zobrazeniacute topografickyacutech ploch je nejvhodnějšiacute tzv koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute proto je pro zakreslovaacuteniacute topografickyacutech ploch nutneacute znaacutet alespoň zaacutekladniacute naacutezvosloviacute a vlastnosti tohoto promiacutetaacuteniacute Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute je pravouacutehleacute promiacutetaacuteniacute na jednu průmětnu kteraacute je zpravidla vodorovnaacute a děliacute prostor na dva poloprostory Jeden z těchto poloprostorů většinou ten bdquonadldquo průmětnou prohlaacutesiacuteme za kladnyacute druhyacute bude zaacutepornyacute Protože bod A neniacute jednoznačně určen svyacutem pravouacutehlyacutem průmětem A1 do průmětny doplniacuteme průmět (půdorys) A1 o tzv koacutetu zA kterou ziacuteskaacuteme jako vzdaacutelenost bodů AA1 (vzdaacutelenost bodu A od průmětny) opatřenou kladnyacutem znameacutenkem jestliže ležiacute bod A v kladneacutem poloprostoru a zaacutepornyacutem znameacutenkem v opačneacutem přiacutepadě (obr 11)

zA=5

A

A1

B1

B

zB=3π A(5)

B(-3)C=C1

C(0)

π

Obraacutezek 11 Zobrazeniacute bodu

Při zobrazovaacuteniacute přiacutemky v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute stačiacute znaacutet koacutetovaneacute průměty dvou různyacutech bodů přiacutemky Pravouacutehlyacute průmět p1 přiacutemky p určeneacute body A a B je spojnice A1B1 když A1 ne B1 V přiacutepadě že A1 = B1 pak p1 = A1 = B1 což nastane praacutevě tehdy když p je promiacutetaciacute

P=P1A1

B1

A

B

p1

p

π P(0)A(2)

B(3)

p

π

π A 1=B1=P=P1=p1

p

A

B

πP(0)=A(2)=B(3)=p

Obraacutezek 12 Zobrazeniacute přiacutemky

6

Každaacute přiacutemka kteraacute je rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute přiacutemka Přiacutemka kteraacute neniacute hlavniacute protiacutenaacute průmětnu v bodě kteryacute nazyacutevaacuteme stopniacutek (bod P na obraacutezku 12) Stupňovaniacute přiacutemky znamenaacute nalezeniacute průmětů bodů přiacutemky ktereacute majiacute celočiacuteselneacute koacutety K určeniacute stopniacuteku přiacutemky použiacutevaacuteme sklaacutepěniacute promiacutetaciacute roviny přiacutemky (obr 13) Na kolmice k p1 sestrojeneacute v π vyneseme na přiacuteslušnou stranu od průmětu p1 koacutetu zA a zB Průnik p1 s (p) je hledanyacute stopniacutek Ze sklopeniacute lze snadno určit koacutety bodů přiacutemky p (na obr 13 bod C)

p

C(zC)

p1π B

ρ

(B)

|zB| B(zB)

P

C

(C)

|zC| (p)A(zA)

|zA|(A)

A

Obraacutezek 13 Stopniacutek přiacutemky

Tři různeacute body ktereacute neležiacute v přiacutemce určujiacute rovinu Rovina je promiacutetaciacute praacutevě tehdy když koacutetovaneacute průměty všech bodů roviny ležiacute na přiacutemce Rovina rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute (vrstevniacute) rovina Průnikem roviny ρ kteraacute neniacute hlavniacute s hlavniacutemi rovinami jsou hlavniacute přiacutemky teacuteto roviny Průmětna je hlavniacute rovina o koacutetě 0 a hlavniacute přiacutemka v niacute ležiacuteciacute se nazyacutevaacute stopa roviny ρ a značiacute se pρ Přiacutemka roviny kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky se nazyacutevaacute spaacutedovaacute přiacutemka Každyacutem bodem roviny prochaacuteziacute praacutevě jedna spaacutedovaacute přiacutemka kteraacute se zpravidla značiacute s Ve sklopeniacute spaacutedoveacute přiacutemky do půdorysny (popř jineacute hlavniacute roviny) určuje uacutehel α odchylku spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny (viz obraacutezek 14) Odchylka roviny od průmětny se rovnaacute odchylce jejiacute spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny

s1

h(2)

h(1)

h1(1) h1(2)

(s)α

α1

2

ρ

π

spρ

Obraacutezek 14 Odchylka roviny od průmětny

7

Nalezeniacute průsečnice r dvou různoběžnyacutech rovin neniacute složiteacute Hlavniacute přiacutemky obou rovin se v teacuteže hlavniacute rovině protiacutenajiacute v bodě průsečnice Stačiacute naleacutezt dva jejiacute body (viz obr 15)

B

6

sσ

7

8

A

r

7

6

8

sρ

B

A

8 r

6

7

sρ

7

6

8

sσπ(8)

Obraacutezek 15 Průsečnice rovin

Speciaacutelniacutem přiacutepadem je situace kdy jsou hlavniacute přiacutemky rovin ρ i σ rovnoběžneacute Rovina α kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky obou rovin protne roviny ve spaacutedovyacutech přiacutemkaacutech sρ a sσ Ve sklopeniacute roviny α (do půdorysny nebo jineacute hlavniacute roviny) určiacuteme průsečiacutek spaacutedovyacutech přiacutemek (R) Průsečnice rovin ρ σ prochaacuteziacute bodem R a je rovnoběžnaacute s hlavniacutemi přiacutemkami rovin (obr 16)

sσ = sρ

3

3

sσ

3

r

6R

44

55

sρ 6

(R)

(sρ)(sσ)

3

4

α

65

R6

4

5

(sρ)

(R)

r

(sσ)

Obraacutezek 16 Průsečnice rovin ve speciaacutelniacute poloze

8

Na obraacutezku 17 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby zadaacuteniacute roviny

a) Stupňovanaacute spaacutedovaacute přiacutemka jednoznačně určuje rovinu Hlavniacute přiacutemky jsou kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku a jejich koacuteta je shodnaacute s koacutetou bodu na spaacutedoveacute přiacutemce kteryacutem hlavniacute přiacutemka prochaacuteziacute

b) Rovina je zadaacutena dvěma hlavniacutemi přiacutemkami Každaacute kolmice k průmětům těchto hlavniacutech přiacutemek je průmětem spaacutedoveacute přiacutemky na ktereacute znaacuteme dva jejiacute body

c) Je-li zadaacutena stupňovanaacute přiacutemka p ležiacuteciacute v hledaneacute rovině a spaacutedovaacute přiacutemka nebo směr spaacutedoveacute přiacutemky budou hlavniacute přiacutemky kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku respektive jejiacute směr a průsečiacutek s přiacutemkou p určiacute jejich koacutetu

d) Dalšiacute možnostiacute je zadat rovinu dvěma přiacutemkami z nichž ani jedna neniacute hlavniacute Jsou-li obě tyto přiacutemky vystupňovaneacute hlavniacute přiacutemky nalezneme jako spojnice bodů o stejnyacutech koacutetaacutech Na obraacutezku d) znaacuteme na přiacutemce q pouze jeden jejiacute bod Na přiacutemce p nalezneme bod s touto koacutetou a ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek

e) Rovina může byacutet zadaacutena takeacute jednou hlavniacute přiacutemkou a bodem roviny kteryacute na teacuteto hlavniacute přiacutemce neležiacute Kolmice na zadanou hlavniacute přiacutemku prochaacutezejiacuteciacute zadanyacutem bodem je spaacutedovaacute přiacutemka na ktereacute znaacuteme dva body a snadno lze dourčit jejiacute stupňovaacuteniacute

f) Tři body ktereacute neležiacute v přiacutemce takeacute určujiacute jednoznačně rovinu jejiacutež hlavniacute přiacutemky ziacuteskaacuteme tak že spojiacuteme bod s nejmenšiacute a největšiacute koacutetou Na teacuteto spojnici nalezneme bod o koacutetě shodneacute s koacutetou třetiacuteho bodu čiacutemž ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek roviny

43

42

44

45

s

42

43

44

s

45

42

43

44

s

45

p

43

42

43

44

45

43

42

44

45

43

42

44

45

p q

42

43

44

s

45

435

A(425)

42

43

44

45

A(45)

C(43)

B(42)

43

44

a) b) c)

d) e) f)

Obraacutezek 17 Různaacute zadaacuteniacute roviny

9

Kapitola 2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti Topografickaacute plocha (řecky topo = miacutesta se tyacutekajiacuteciacute topografie = miacutestopis) je tvořena čaacutestiacute zjednodušeneacuteho zemskeacuteho povrchu z tohoto důvodu ji takeacute nazyacutevaacuteme plochou tereacutenu Nemaacute předepsanyacute vyacutetvarnyacute zaacutekon proto naacuteležiacute mezi grafickeacute neboli empirickeacute plochy Pokud zobrazovanaacute topografickaacute plocha nepřesahuje 200 km2 zobrazujeme ji v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute na vodorovnou průmětnu kterou tvořiacute vhodně prodlouženaacute mořskaacute hladina kterou lze na takto maleacute ploše považovat za rovinu Zobrazovaacuteniacutem většiacutech čaacutestiacute zemskeacuteho povrchu se zabyacutevaacute kartografie Zobrazovanou čaacutest zemskeacuteho povrchu protiacutenaacuteme ekvidistantniacutemi rovinami tj vodorovnyacutemi rovinami ktereacute jsou vzdaacuteleny o tuteacutež deacutelku ndash ekvidistanci Řezy ekvidistantniacutech (neboli vrstevniacutech) rovin s plochou tvořiacute vrstevniacute (teacutež vrstevnicoveacute) křivky Rozlišujeme vrstevniacute křivky nachaacutezejiacuteciacute se nad průmětnou tzv vyacuteškoveacute křivky (isohypsy) a křivky pod průmětnou nazyacutevaneacute hloubkoveacute křivky (isobaty)

e

π

0

1

2

e

Obraacutezek 21

Pravouacutehleacute průměty těchto křivek do průmětny π pak nazveme vrstevnicemi Vrstevnice se opatřujiacute přiacuteslušnou koacutetou přičemž průmětna π maacute koacutetu 0 Topografickaacute plocha je určena vrstevnicovyacutem plaacutenem tj soustavou koacutetovanyacutech vrstevnic Mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi neniacute plocha určena Potřebujeme-li určit přesněji tvar plochy musiacuteme zmenšit ekvidistanci Cvičeniacute 21 Na obraacutezku 21 nalezněte vrstevniacute křivky a určete zda se jednaacute o isohypsy nebo o isobaty Kde jsou na obraacutezku 21 znaacutezorněny vrstevnice Dalšiacutemi vyacuteznamnyacutemi křivkami topografickeacute plochy jsou tzv spaacutedoveacute křivky (jejich pravouacutehleacute průměty do π nazyacutevaacuteme spaacutednice) ktereacute majiacute tu vlastnost že protiacutenajiacute kolmo všechny vrstevnicoveacute křivky respektive vrstevnice plochy

10

Na topografickyacutech plochaacutech můžeme naleacutezt zvlaacuteštniacute přiacutepady spaacutedovyacutech křivek

bull Hřebenovaacute neboli uacutebočniacute křivka ndash z každeacuteho jejiacuteho bodu vychaacuteziacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu a směřujiacute od niacute (obr 22)

bull Uacutedolniacute křivka neboli uacutedolnice ndash do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute opět majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu (obr 23)

3

2

1

0

0

1

2

3

Obraacutezek 22 Obraacutezek 23 Na topografickyacutech plochaacutech se takeacute naleacutezajiacute vyacuteznamneacute křivky ktereacute spaacutedoveacute nejsou Spojeniacutem bodů lomu na sousedniacutech vrstevniciacutech vznikne jedna z křivek

bull Hřbetniacute křivka neboli hřbetnice ndash v tereacutenu se jeviacute jako hrana Z každeacuteho bodu hřbetnice vychaacutezejiacute dvě různeacute spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 24)

bull Osa uacutedolniacuteho koryta ndash v tereacutenu se jeviacute jako ostryacute zaacuteřez Do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 25)

3

2

1

0

3

2

1

0

Obraacutezek 24 Obraacutezek 25 Kresleno podle Setzer [1] obr 58 str 71

11

Na topografickyacutech plochaacutech se nachaacuteziacute některeacute vyacuteznamneacute body Jsou to takoveacute body plochy v nichž je tečnaacute rovina plochy vodorovnaacute

bull Vrchol ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice menšiacute koacutety než maacute vrchol Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute maximum nadmořskeacute vyacutešky V praxi se obvykle pojem vrchol použiacutevaacute pro body s určitou vyacuteznamnostiacute např nejvyššiacute bod pohořiacute

bull Důl ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice vyššiacute koacutety Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute minimum nadmořskeacute vyacutešky

bull Sedlovyacute neboli uzlovyacute bod ndash protiacutenajiacute se v něm vrstevnice o stejneacute koacutetě a rozděluje plochu na 4 čaacutesti Dvě protějšiacute čaacutesti majiacute vrstevnice o vyššiacutech a dvě o nižšiacutech koacutetaacutech než maacute sedlovyacute bod

2 12

2

1

2 433

4

6

78

9

7

8

6

7

Obraacutezek 26 Vrchol Obraacutezek 27 Důl Obraacutezek 28 Sedlovyacute bod Na topografickyacutech plochaacutech nebo na jejich čaacutestech se vyskytujiacute speciaacutelniacute tvary ploch

bull Plochu v okoliacute hřbetnice nazyacutevaacuteme hřbet plochu v okoliacute uacutedolnice uacutedoliacute bull Čaacutest plochy v bliacutezkosti vrcholu se nazyacutevaacute kupa (obr 29) bull Okoliacute dolu vytvaacuteřiacute na ploše prohlubeninu (obr 29) bull V bliacutezkosti sedloveacuteho bodu vytvaacuteřiacute plocha tzv sedlo (obr 29) bull Plošinou nazveme takovou čaacutest plochy jiacutež se dotyacutekaacute vodorovnaacute tečnaacute rovina podeacutel

plochy (popř teacuteměř vodorovnou čaacutest topografickeacute plochy) v jejiacutemž okoliacute majiacute vrstevnice menšiacute vyacuteškoveacute koacutety (obr 29)

bull Na obraacutezku 29 je znaacutezorněn takeacute tzv spočinek kteryacute vznikaacute v miacutestech kde hřbetnice přechaacuteziacute do značně miacuternějšiacuteho sklonu (do 2deg) a před začaacutetkem a po ukončeniacute spočinku maacute většiacute spaacuted

spočinek

kupa

prohlubenina

plošina

sedlo

Obraacutezek 29

12

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Obsah

Uacutevod helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

1 Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 6

2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 10

3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14

4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20

5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 22

6 Přiacutečnyacute profil helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26

7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou helliphelliphelliphelliphellip 29

8 Podeacutelnyacute profil helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32

9 Tečnaacute rovina topografickeacute plochy helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 36

10 Obzor a naacuterysnyacute obrys helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 40

11 Naacutesypy a vyacutekopy helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 45

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 49

12 Napojeniacute komunikaciacute helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 65

Zaacutevěr helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 66

Literatura helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67

3

Naacutezev praacutece Topografickeacute plochy Autor Jan Helm Katedra (uacutestav) Katedra didaktiky matematiky Vedouciacute bakalaacuteřskeacute praacutece RNDr Jana Hromadovaacute PhD e-mail vedouciacuteho JanaHromadovamffcunicz Abstrakt Tato bakalaacuteřskaacute praacutece zabyacutevajiacuteciacute se topografickyacutemi plochami je určena zejmeacutena učitelům deskriptivniacute geometrie na středniacutech a vysokyacutech školaacutech jako pomůcka při vyacuteuce topografickyacutech ploch Největšiacute čaacutest teacuteto praacutece se věnuje řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute a rovinnyacutech ploch což je jedno z praktickyacutech využitiacute znalostiacute o topografickyacutech plochaacutech Prvniacute kapitola sloužiacute jen k připomenutiacute popř zavedeniacute pojmů z koacutetovaneacuteho promiacutetaacuteniacute potřebnyacutech v dalšiacutem textu V dalšiacutech kapitolaacutech je zaveden pojem topografickaacute plocha je vysvětlena konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu a určeniacute jeho měřiacutetka a jsou zde uvedeny některeacute konstrukce na topografickyacutech plochaacutech např podeacutelnyacute profil přiacutečnyacute profil naacuterysnyacute obrys nebo průnik topografickyacutech ploch Studenti středniacutech a vysokyacutech škol mohou tuto praacuteci využiacutet pro procvičeniacute přiacutekladů ktereacute jsou na konci většiny kapitol nebo při samostudiu

Kliacutečovaacute slova topografickaacute plocha vrstevnicovyacute plaacuten podeacutelnyacute profil přiacutečnyacute profil řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů Title Topographical surfaces Author Jan Helm Department Department of Mathematics Education Supervisor RNDr Jana Hromadovaacute PhD Supervisoracutes e-mail address JanaHromadovamffcunicz Abstract This bachelor thesis is dealing with the topographical surfaces It is mainly destined for high school and university teachers of descriptive geometry as an aid for education of topographical surfaces The majority of the text is concentrated on a solution of fills and earthwork cuttings along communications and plane surfaces which is one of the practical usage of knowledge in topographical surfaces The first chapter serves the purpose of only reminding eventually introducing of concepts from dimensioned projection necessary for the rest of the text In the next chapters there is introduced the concept of topographical surface an explanation of a contour plan construction and the determination of its scale and there are mentioned several constructions on topographical surfaces For example a longitudinal profile a cross profile a vertical contour or an intersection of topographical surfaces The high school and university students can use this bachelor thesis for practising tasks (which are at the end of almost each chapter) or for study hour Key words topographical surface contour plan longitudinal profile cross profile solution of fills and earthwork cuttings

4

Uacutevod Teacutematem teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece jsou topografickeacute plochy Při vyacuteuce deskriptivniacute geometrie ať už na středniacute nebo vysokeacute škole jsou topografickyacutem plochaacutech věnovaacuteny obvykle 2-4 vyučovaciacute hodiny jen vyacutejimečně viacutece Takeacute v učebniciacutech deskriptivniacute geometrie se topografickyacutem plochaacutem věnuje obyčejně jen několik maacutelo stran Ciacutelem teacuteto praacutece bylo vytvořit ucelenyacute text o topografickyacutech plochaacutech kteryacute by sloužil učitelům při vyacuteuce tohoto teacutematu ve ktereacutem je dostatek naacutezornyacutech obraacutezků a ze ktereacuteho by mohli čerpat přiacuteklady Zaacuteroveň bylo ciacutelem vytvořit text dostatečně srozumitelnyacute ze ktereacuteho se je schopen student saacutem naučit vyřešit naacutesypy a vyacutekopy podeacutel komunikaciacute a jineacute konstrukce na topografickyacutech plochaacutech Předpoklaacutedaacute se že čtenaacuteř tohoto textu maacute určiteacute znalosti z deskriptivniacute geometrie např že viacute co je naacuterys vrženyacute stiacuten atd Některeacute kapitoly lze čiacutest samostatně ale jineacute využiacutevajiacute znalostiacute z předchaacutezejiacuteciacutech kapitol Prvniacute kapitola neniacute vyacutekladem koacutetovaneacuteho promiacutetaacuteniacute jsou zde jen připomenuty některeacute pojmy jejichž znalost je potřebnaacute k porozuměniacute dalšiacutem kapitolaacutem Ve druheacute kapitole se čtenaacuteř dozviacute kteraacute plocha je topografickaacute jakeacute naacutezvy majiacute některeacute speciaacutelniacute topografickeacute plochy a jakeacute vyacuteznamneacute body a křivky se na ploše nachaacuteziacute Ve třetiacute kapitole se naučiacute zakreslit topografickou plochu v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute tzn vytvořit vrstevnicovyacute plaacuten Aby si mohl čtenaacuteř vytvořit představu o tvaru topografickeacute plochy jsou v dalšiacutech kapitolaacutech uvedeny konstrukce přiacutečneacuteho a podeacutelneacuteho profilu a takeacute naacuterysneacuteho obrysu Posledniacute kapitola na kterou bych raacuted upozornil je kapitola o průniku topografickyacutech ploch a topografickeacute plochy s rovinou kteraacute neniacute moc naacuteročnaacute ale o to viacutec je důležitaacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute a kolem různyacutech rovinnyacutech ploch Kapitola o řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů je zajiacutemavou a praktickou aplikaciacute znalostiacute o topografickyacutech plochaacutech proto je teacuteto kapitole věnovaacuteno nejviacutece prostoru Obraacutezky a zadaacuteniacute cvičeniacute jsou kresleny v AutoCADu Součaacutestiacute teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece je přiloženeacute CD na ktereacutem je celyacute text bakalaacuteřskeacute praacutece v elektronickeacute podobě

5

Kapitola 1 Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute Pro zobrazeniacute topografickyacutech ploch je nejvhodnějšiacute tzv koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute proto je pro zakreslovaacuteniacute topografickyacutech ploch nutneacute znaacutet alespoň zaacutekladniacute naacutezvosloviacute a vlastnosti tohoto promiacutetaacuteniacute Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute je pravouacutehleacute promiacutetaacuteniacute na jednu průmětnu kteraacute je zpravidla vodorovnaacute a děliacute prostor na dva poloprostory Jeden z těchto poloprostorů většinou ten bdquonadldquo průmětnou prohlaacutesiacuteme za kladnyacute druhyacute bude zaacutepornyacute Protože bod A neniacute jednoznačně určen svyacutem pravouacutehlyacutem průmětem A1 do průmětny doplniacuteme průmět (půdorys) A1 o tzv koacutetu zA kterou ziacuteskaacuteme jako vzdaacutelenost bodů AA1 (vzdaacutelenost bodu A od průmětny) opatřenou kladnyacutem znameacutenkem jestliže ležiacute bod A v kladneacutem poloprostoru a zaacutepornyacutem znameacutenkem v opačneacutem přiacutepadě (obr 11)

zA=5

A

A1

B1

B

zB=3π A(5)

B(-3)C=C1

C(0)

π

Obraacutezek 11 Zobrazeniacute bodu

Při zobrazovaacuteniacute přiacutemky v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute stačiacute znaacutet koacutetovaneacute průměty dvou různyacutech bodů přiacutemky Pravouacutehlyacute průmět p1 přiacutemky p určeneacute body A a B je spojnice A1B1 když A1 ne B1 V přiacutepadě že A1 = B1 pak p1 = A1 = B1 což nastane praacutevě tehdy když p je promiacutetaciacute

P=P1A1

B1

A

B

p1

p

π P(0)A(2)

B(3)

p

π

π A 1=B1=P=P1=p1

p

A

B

πP(0)=A(2)=B(3)=p

Obraacutezek 12 Zobrazeniacute přiacutemky

6

Každaacute přiacutemka kteraacute je rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute přiacutemka Přiacutemka kteraacute neniacute hlavniacute protiacutenaacute průmětnu v bodě kteryacute nazyacutevaacuteme stopniacutek (bod P na obraacutezku 12) Stupňovaniacute přiacutemky znamenaacute nalezeniacute průmětů bodů přiacutemky ktereacute majiacute celočiacuteselneacute koacutety K určeniacute stopniacuteku přiacutemky použiacutevaacuteme sklaacutepěniacute promiacutetaciacute roviny přiacutemky (obr 13) Na kolmice k p1 sestrojeneacute v π vyneseme na přiacuteslušnou stranu od průmětu p1 koacutetu zA a zB Průnik p1 s (p) je hledanyacute stopniacutek Ze sklopeniacute lze snadno určit koacutety bodů přiacutemky p (na obr 13 bod C)

p

C(zC)

p1π B

ρ

(B)

|zB| B(zB)

P

C

(C)

|zC| (p)A(zA)

|zA|(A)

A

Obraacutezek 13 Stopniacutek přiacutemky

Tři různeacute body ktereacute neležiacute v přiacutemce určujiacute rovinu Rovina je promiacutetaciacute praacutevě tehdy když koacutetovaneacute průměty všech bodů roviny ležiacute na přiacutemce Rovina rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute (vrstevniacute) rovina Průnikem roviny ρ kteraacute neniacute hlavniacute s hlavniacutemi rovinami jsou hlavniacute přiacutemky teacuteto roviny Průmětna je hlavniacute rovina o koacutetě 0 a hlavniacute přiacutemka v niacute ležiacuteciacute se nazyacutevaacute stopa roviny ρ a značiacute se pρ Přiacutemka roviny kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky se nazyacutevaacute spaacutedovaacute přiacutemka Každyacutem bodem roviny prochaacuteziacute praacutevě jedna spaacutedovaacute přiacutemka kteraacute se zpravidla značiacute s Ve sklopeniacute spaacutedoveacute přiacutemky do půdorysny (popř jineacute hlavniacute roviny) určuje uacutehel α odchylku spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny (viz obraacutezek 14) Odchylka roviny od průmětny se rovnaacute odchylce jejiacute spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny

s1

h(2)

h(1)

h1(1) h1(2)

(s)α

α1

2

ρ

π

spρ

Obraacutezek 14 Odchylka roviny od průmětny

7

Nalezeniacute průsečnice r dvou různoběžnyacutech rovin neniacute složiteacute Hlavniacute přiacutemky obou rovin se v teacuteže hlavniacute rovině protiacutenajiacute v bodě průsečnice Stačiacute naleacutezt dva jejiacute body (viz obr 15)

B

6

sσ

7

8

A

r

7

6

8

sρ

B

A

8 r

6

7

sρ

7

6

8

sσπ(8)

Obraacutezek 15 Průsečnice rovin

Speciaacutelniacutem přiacutepadem je situace kdy jsou hlavniacute přiacutemky rovin ρ i σ rovnoběžneacute Rovina α kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky obou rovin protne roviny ve spaacutedovyacutech přiacutemkaacutech sρ a sσ Ve sklopeniacute roviny α (do půdorysny nebo jineacute hlavniacute roviny) určiacuteme průsečiacutek spaacutedovyacutech přiacutemek (R) Průsečnice rovin ρ σ prochaacuteziacute bodem R a je rovnoběžnaacute s hlavniacutemi přiacutemkami rovin (obr 16)

sσ = sρ

3

3

sσ

3

r

6R

44

55

sρ 6

(R)

(sρ)(sσ)

3

4

α

65

R6

4

5

(sρ)

(R)

r

(sσ)

Obraacutezek 16 Průsečnice rovin ve speciaacutelniacute poloze

8

Na obraacutezku 17 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby zadaacuteniacute roviny

a) Stupňovanaacute spaacutedovaacute přiacutemka jednoznačně určuje rovinu Hlavniacute přiacutemky jsou kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku a jejich koacuteta je shodnaacute s koacutetou bodu na spaacutedoveacute přiacutemce kteryacutem hlavniacute přiacutemka prochaacuteziacute

b) Rovina je zadaacutena dvěma hlavniacutemi přiacutemkami Každaacute kolmice k průmětům těchto hlavniacutech přiacutemek je průmětem spaacutedoveacute přiacutemky na ktereacute znaacuteme dva jejiacute body

c) Je-li zadaacutena stupňovanaacute přiacutemka p ležiacuteciacute v hledaneacute rovině a spaacutedovaacute přiacutemka nebo směr spaacutedoveacute přiacutemky budou hlavniacute přiacutemky kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku respektive jejiacute směr a průsečiacutek s přiacutemkou p určiacute jejich koacutetu

d) Dalšiacute možnostiacute je zadat rovinu dvěma přiacutemkami z nichž ani jedna neniacute hlavniacute Jsou-li obě tyto přiacutemky vystupňovaneacute hlavniacute přiacutemky nalezneme jako spojnice bodů o stejnyacutech koacutetaacutech Na obraacutezku d) znaacuteme na přiacutemce q pouze jeden jejiacute bod Na přiacutemce p nalezneme bod s touto koacutetou a ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek

e) Rovina může byacutet zadaacutena takeacute jednou hlavniacute přiacutemkou a bodem roviny kteryacute na teacuteto hlavniacute přiacutemce neležiacute Kolmice na zadanou hlavniacute přiacutemku prochaacutezejiacuteciacute zadanyacutem bodem je spaacutedovaacute přiacutemka na ktereacute znaacuteme dva body a snadno lze dourčit jejiacute stupňovaacuteniacute

f) Tři body ktereacute neležiacute v přiacutemce takeacute určujiacute jednoznačně rovinu jejiacutež hlavniacute přiacutemky ziacuteskaacuteme tak že spojiacuteme bod s nejmenšiacute a největšiacute koacutetou Na teacuteto spojnici nalezneme bod o koacutetě shodneacute s koacutetou třetiacuteho bodu čiacutemž ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek roviny

43

42

44

45

s

42

43

44

s

45

42

43

44

s

45

p

43

42

43

44

45

43

42

44

45

43

42

44

45

p q

42

43

44

s

45

435

A(425)

42

43

44

45

A(45)

C(43)

B(42)

43

44

a) b) c)

d) e) f)

Obraacutezek 17 Různaacute zadaacuteniacute roviny

9

Kapitola 2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti Topografickaacute plocha (řecky topo = miacutesta se tyacutekajiacuteciacute topografie = miacutestopis) je tvořena čaacutestiacute zjednodušeneacuteho zemskeacuteho povrchu z tohoto důvodu ji takeacute nazyacutevaacuteme plochou tereacutenu Nemaacute předepsanyacute vyacutetvarnyacute zaacutekon proto naacuteležiacute mezi grafickeacute neboli empirickeacute plochy Pokud zobrazovanaacute topografickaacute plocha nepřesahuje 200 km2 zobrazujeme ji v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute na vodorovnou průmětnu kterou tvořiacute vhodně prodlouženaacute mořskaacute hladina kterou lze na takto maleacute ploše považovat za rovinu Zobrazovaacuteniacutem většiacutech čaacutestiacute zemskeacuteho povrchu se zabyacutevaacute kartografie Zobrazovanou čaacutest zemskeacuteho povrchu protiacutenaacuteme ekvidistantniacutemi rovinami tj vodorovnyacutemi rovinami ktereacute jsou vzdaacuteleny o tuteacutež deacutelku ndash ekvidistanci Řezy ekvidistantniacutech (neboli vrstevniacutech) rovin s plochou tvořiacute vrstevniacute (teacutež vrstevnicoveacute) křivky Rozlišujeme vrstevniacute křivky nachaacutezejiacuteciacute se nad průmětnou tzv vyacuteškoveacute křivky (isohypsy) a křivky pod průmětnou nazyacutevaneacute hloubkoveacute křivky (isobaty)

e

π

0

1

2

e

Obraacutezek 21

Pravouacutehleacute průměty těchto křivek do průmětny π pak nazveme vrstevnicemi Vrstevnice se opatřujiacute přiacuteslušnou koacutetou přičemž průmětna π maacute koacutetu 0 Topografickaacute plocha je určena vrstevnicovyacutem plaacutenem tj soustavou koacutetovanyacutech vrstevnic Mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi neniacute plocha určena Potřebujeme-li určit přesněji tvar plochy musiacuteme zmenšit ekvidistanci Cvičeniacute 21 Na obraacutezku 21 nalezněte vrstevniacute křivky a určete zda se jednaacute o isohypsy nebo o isobaty Kde jsou na obraacutezku 21 znaacutezorněny vrstevnice Dalšiacutemi vyacuteznamnyacutemi křivkami topografickeacute plochy jsou tzv spaacutedoveacute křivky (jejich pravouacutehleacute průměty do π nazyacutevaacuteme spaacutednice) ktereacute majiacute tu vlastnost že protiacutenajiacute kolmo všechny vrstevnicoveacute křivky respektive vrstevnice plochy

10

Na topografickyacutech plochaacutech můžeme naleacutezt zvlaacuteštniacute přiacutepady spaacutedovyacutech křivek

bull Hřebenovaacute neboli uacutebočniacute křivka ndash z každeacuteho jejiacuteho bodu vychaacuteziacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu a směřujiacute od niacute (obr 22)

bull Uacutedolniacute křivka neboli uacutedolnice ndash do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute opět majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu (obr 23)

3

2

1

0

0

1

2

3

Obraacutezek 22 Obraacutezek 23 Na topografickyacutech plochaacutech se takeacute naleacutezajiacute vyacuteznamneacute křivky ktereacute spaacutedoveacute nejsou Spojeniacutem bodů lomu na sousedniacutech vrstevniciacutech vznikne jedna z křivek

bull Hřbetniacute křivka neboli hřbetnice ndash v tereacutenu se jeviacute jako hrana Z každeacuteho bodu hřbetnice vychaacutezejiacute dvě různeacute spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 24)

bull Osa uacutedolniacuteho koryta ndash v tereacutenu se jeviacute jako ostryacute zaacuteřez Do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 25)

3

2

1

0

3

2

1

0

Obraacutezek 24 Obraacutezek 25 Kresleno podle Setzer [1] obr 58 str 71

11

Na topografickyacutech plochaacutech se nachaacuteziacute některeacute vyacuteznamneacute body Jsou to takoveacute body plochy v nichž je tečnaacute rovina plochy vodorovnaacute

bull Vrchol ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice menšiacute koacutety než maacute vrchol Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute maximum nadmořskeacute vyacutešky V praxi se obvykle pojem vrchol použiacutevaacute pro body s určitou vyacuteznamnostiacute např nejvyššiacute bod pohořiacute

bull Důl ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice vyššiacute koacutety Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute minimum nadmořskeacute vyacutešky

bull Sedlovyacute neboli uzlovyacute bod ndash protiacutenajiacute se v něm vrstevnice o stejneacute koacutetě a rozděluje plochu na 4 čaacutesti Dvě protějšiacute čaacutesti majiacute vrstevnice o vyššiacutech a dvě o nižšiacutech koacutetaacutech než maacute sedlovyacute bod

2 12

2

1

2 433

4

6

78

9

7

8

6

7

Obraacutezek 26 Vrchol Obraacutezek 27 Důl Obraacutezek 28 Sedlovyacute bod Na topografickyacutech plochaacutech nebo na jejich čaacutestech se vyskytujiacute speciaacutelniacute tvary ploch

bull Plochu v okoliacute hřbetnice nazyacutevaacuteme hřbet plochu v okoliacute uacutedolnice uacutedoliacute bull Čaacutest plochy v bliacutezkosti vrcholu se nazyacutevaacute kupa (obr 29) bull Okoliacute dolu vytvaacuteřiacute na ploše prohlubeninu (obr 29) bull V bliacutezkosti sedloveacuteho bodu vytvaacuteřiacute plocha tzv sedlo (obr 29) bull Plošinou nazveme takovou čaacutest plochy jiacutež se dotyacutekaacute vodorovnaacute tečnaacute rovina podeacutel

plochy (popř teacuteměř vodorovnou čaacutest topografickeacute plochy) v jejiacutemž okoliacute majiacute vrstevnice menšiacute vyacuteškoveacute koacutety (obr 29)

bull Na obraacutezku 29 je znaacutezorněn takeacute tzv spočinek kteryacute vznikaacute v miacutestech kde hřbetnice přechaacuteziacute do značně miacuternějšiacuteho sklonu (do 2deg) a před začaacutetkem a po ukončeniacute spočinku maacute většiacute spaacuted

spočinek

kupa

prohlubenina

plošina

sedlo

Obraacutezek 29

12

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Naacutezev praacutece Topografickeacute plochy Autor Jan Helm Katedra (uacutestav) Katedra didaktiky matematiky Vedouciacute bakalaacuteřskeacute praacutece RNDr Jana Hromadovaacute PhD e-mail vedouciacuteho JanaHromadovamffcunicz Abstrakt Tato bakalaacuteřskaacute praacutece zabyacutevajiacuteciacute se topografickyacutemi plochami je určena zejmeacutena učitelům deskriptivniacute geometrie na středniacutech a vysokyacutech školaacutech jako pomůcka při vyacuteuce topografickyacutech ploch Největšiacute čaacutest teacuteto praacutece se věnuje řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute a rovinnyacutech ploch což je jedno z praktickyacutech využitiacute znalostiacute o topografickyacutech plochaacutech Prvniacute kapitola sloužiacute jen k připomenutiacute popř zavedeniacute pojmů z koacutetovaneacuteho promiacutetaacuteniacute potřebnyacutech v dalšiacutem textu V dalšiacutech kapitolaacutech je zaveden pojem topografickaacute plocha je vysvětlena konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu a určeniacute jeho měřiacutetka a jsou zde uvedeny některeacute konstrukce na topografickyacutech plochaacutech např podeacutelnyacute profil přiacutečnyacute profil naacuterysnyacute obrys nebo průnik topografickyacutech ploch Studenti středniacutech a vysokyacutech škol mohou tuto praacuteci využiacutet pro procvičeniacute přiacutekladů ktereacute jsou na konci většiny kapitol nebo při samostudiu

Kliacutečovaacute slova topografickaacute plocha vrstevnicovyacute plaacuten podeacutelnyacute profil přiacutečnyacute profil řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů Title Topographical surfaces Author Jan Helm Department Department of Mathematics Education Supervisor RNDr Jana Hromadovaacute PhD Supervisoracutes e-mail address JanaHromadovamffcunicz Abstract This bachelor thesis is dealing with the topographical surfaces It is mainly destined for high school and university teachers of descriptive geometry as an aid for education of topographical surfaces The majority of the text is concentrated on a solution of fills and earthwork cuttings along communications and plane surfaces which is one of the practical usage of knowledge in topographical surfaces The first chapter serves the purpose of only reminding eventually introducing of concepts from dimensioned projection necessary for the rest of the text In the next chapters there is introduced the concept of topographical surface an explanation of a contour plan construction and the determination of its scale and there are mentioned several constructions on topographical surfaces For example a longitudinal profile a cross profile a vertical contour or an intersection of topographical surfaces The high school and university students can use this bachelor thesis for practising tasks (which are at the end of almost each chapter) or for study hour Key words topographical surface contour plan longitudinal profile cross profile solution of fills and earthwork cuttings

4

Uacutevod Teacutematem teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece jsou topografickeacute plochy Při vyacuteuce deskriptivniacute geometrie ať už na středniacute nebo vysokeacute škole jsou topografickyacutem plochaacutech věnovaacuteny obvykle 2-4 vyučovaciacute hodiny jen vyacutejimečně viacutece Takeacute v učebniciacutech deskriptivniacute geometrie se topografickyacutem plochaacutem věnuje obyčejně jen několik maacutelo stran Ciacutelem teacuteto praacutece bylo vytvořit ucelenyacute text o topografickyacutech plochaacutech kteryacute by sloužil učitelům při vyacuteuce tohoto teacutematu ve ktereacutem je dostatek naacutezornyacutech obraacutezků a ze ktereacuteho by mohli čerpat přiacuteklady Zaacuteroveň bylo ciacutelem vytvořit text dostatečně srozumitelnyacute ze ktereacuteho se je schopen student saacutem naučit vyřešit naacutesypy a vyacutekopy podeacutel komunikaciacute a jineacute konstrukce na topografickyacutech plochaacutech Předpoklaacutedaacute se že čtenaacuteř tohoto textu maacute určiteacute znalosti z deskriptivniacute geometrie např že viacute co je naacuterys vrženyacute stiacuten atd Některeacute kapitoly lze čiacutest samostatně ale jineacute využiacutevajiacute znalostiacute z předchaacutezejiacuteciacutech kapitol Prvniacute kapitola neniacute vyacutekladem koacutetovaneacuteho promiacutetaacuteniacute jsou zde jen připomenuty některeacute pojmy jejichž znalost je potřebnaacute k porozuměniacute dalšiacutem kapitolaacutem Ve druheacute kapitole se čtenaacuteř dozviacute kteraacute plocha je topografickaacute jakeacute naacutezvy majiacute některeacute speciaacutelniacute topografickeacute plochy a jakeacute vyacuteznamneacute body a křivky se na ploše nachaacuteziacute Ve třetiacute kapitole se naučiacute zakreslit topografickou plochu v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute tzn vytvořit vrstevnicovyacute plaacuten Aby si mohl čtenaacuteř vytvořit představu o tvaru topografickeacute plochy jsou v dalšiacutech kapitolaacutech uvedeny konstrukce přiacutečneacuteho a podeacutelneacuteho profilu a takeacute naacuterysneacuteho obrysu Posledniacute kapitola na kterou bych raacuted upozornil je kapitola o průniku topografickyacutech ploch a topografickeacute plochy s rovinou kteraacute neniacute moc naacuteročnaacute ale o to viacutec je důležitaacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute a kolem různyacutech rovinnyacutech ploch Kapitola o řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů je zajiacutemavou a praktickou aplikaciacute znalostiacute o topografickyacutech plochaacutech proto je teacuteto kapitole věnovaacuteno nejviacutece prostoru Obraacutezky a zadaacuteniacute cvičeniacute jsou kresleny v AutoCADu Součaacutestiacute teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece je přiloženeacute CD na ktereacutem je celyacute text bakalaacuteřskeacute praacutece v elektronickeacute podobě

5

Kapitola 1 Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute Pro zobrazeniacute topografickyacutech ploch je nejvhodnějšiacute tzv koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute proto je pro zakreslovaacuteniacute topografickyacutech ploch nutneacute znaacutet alespoň zaacutekladniacute naacutezvosloviacute a vlastnosti tohoto promiacutetaacuteniacute Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute je pravouacutehleacute promiacutetaacuteniacute na jednu průmětnu kteraacute je zpravidla vodorovnaacute a děliacute prostor na dva poloprostory Jeden z těchto poloprostorů většinou ten bdquonadldquo průmětnou prohlaacutesiacuteme za kladnyacute druhyacute bude zaacutepornyacute Protože bod A neniacute jednoznačně určen svyacutem pravouacutehlyacutem průmětem A1 do průmětny doplniacuteme průmět (půdorys) A1 o tzv koacutetu zA kterou ziacuteskaacuteme jako vzdaacutelenost bodů AA1 (vzdaacutelenost bodu A od průmětny) opatřenou kladnyacutem znameacutenkem jestliže ležiacute bod A v kladneacutem poloprostoru a zaacutepornyacutem znameacutenkem v opačneacutem přiacutepadě (obr 11)

zA=5

A

A1

B1

B

zB=3π A(5)

B(-3)C=C1

C(0)

π

Obraacutezek 11 Zobrazeniacute bodu

Při zobrazovaacuteniacute přiacutemky v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute stačiacute znaacutet koacutetovaneacute průměty dvou různyacutech bodů přiacutemky Pravouacutehlyacute průmět p1 přiacutemky p určeneacute body A a B je spojnice A1B1 když A1 ne B1 V přiacutepadě že A1 = B1 pak p1 = A1 = B1 což nastane praacutevě tehdy když p je promiacutetaciacute

P=P1A1

B1

A

B

p1

p

π P(0)A(2)

B(3)

p

π

π A 1=B1=P=P1=p1

p

A

B

πP(0)=A(2)=B(3)=p

Obraacutezek 12 Zobrazeniacute přiacutemky

6

Každaacute přiacutemka kteraacute je rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute přiacutemka Přiacutemka kteraacute neniacute hlavniacute protiacutenaacute průmětnu v bodě kteryacute nazyacutevaacuteme stopniacutek (bod P na obraacutezku 12) Stupňovaniacute přiacutemky znamenaacute nalezeniacute průmětů bodů přiacutemky ktereacute majiacute celočiacuteselneacute koacutety K určeniacute stopniacuteku přiacutemky použiacutevaacuteme sklaacutepěniacute promiacutetaciacute roviny přiacutemky (obr 13) Na kolmice k p1 sestrojeneacute v π vyneseme na přiacuteslušnou stranu od průmětu p1 koacutetu zA a zB Průnik p1 s (p) je hledanyacute stopniacutek Ze sklopeniacute lze snadno určit koacutety bodů přiacutemky p (na obr 13 bod C)

p

C(zC)

p1π B

ρ

(B)

|zB| B(zB)

P

C

(C)

|zC| (p)A(zA)

|zA|(A)

A

Obraacutezek 13 Stopniacutek přiacutemky

Tři různeacute body ktereacute neležiacute v přiacutemce určujiacute rovinu Rovina je promiacutetaciacute praacutevě tehdy když koacutetovaneacute průměty všech bodů roviny ležiacute na přiacutemce Rovina rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute (vrstevniacute) rovina Průnikem roviny ρ kteraacute neniacute hlavniacute s hlavniacutemi rovinami jsou hlavniacute přiacutemky teacuteto roviny Průmětna je hlavniacute rovina o koacutetě 0 a hlavniacute přiacutemka v niacute ležiacuteciacute se nazyacutevaacute stopa roviny ρ a značiacute se pρ Přiacutemka roviny kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky se nazyacutevaacute spaacutedovaacute přiacutemka Každyacutem bodem roviny prochaacuteziacute praacutevě jedna spaacutedovaacute přiacutemka kteraacute se zpravidla značiacute s Ve sklopeniacute spaacutedoveacute přiacutemky do půdorysny (popř jineacute hlavniacute roviny) určuje uacutehel α odchylku spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny (viz obraacutezek 14) Odchylka roviny od průmětny se rovnaacute odchylce jejiacute spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny

s1

h(2)

h(1)

h1(1) h1(2)

(s)α

α1

2

ρ

π

spρ

Obraacutezek 14 Odchylka roviny od průmětny

7

Nalezeniacute průsečnice r dvou různoběžnyacutech rovin neniacute složiteacute Hlavniacute přiacutemky obou rovin se v teacuteže hlavniacute rovině protiacutenajiacute v bodě průsečnice Stačiacute naleacutezt dva jejiacute body (viz obr 15)

B

6

sσ

7

8

A

r

7

6

8

sρ

B

A

8 r

6

7

sρ

7

6

8

sσπ(8)

Obraacutezek 15 Průsečnice rovin

Speciaacutelniacutem přiacutepadem je situace kdy jsou hlavniacute přiacutemky rovin ρ i σ rovnoběžneacute Rovina α kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky obou rovin protne roviny ve spaacutedovyacutech přiacutemkaacutech sρ a sσ Ve sklopeniacute roviny α (do půdorysny nebo jineacute hlavniacute roviny) určiacuteme průsečiacutek spaacutedovyacutech přiacutemek (R) Průsečnice rovin ρ σ prochaacuteziacute bodem R a je rovnoběžnaacute s hlavniacutemi přiacutemkami rovin (obr 16)

sσ = sρ

3

3

sσ

3

r

6R

44

55

sρ 6

(R)

(sρ)(sσ)

3

4

α

65

R6

4

5

(sρ)

(R)

r

(sσ)

Obraacutezek 16 Průsečnice rovin ve speciaacutelniacute poloze

8

Na obraacutezku 17 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby zadaacuteniacute roviny

a) Stupňovanaacute spaacutedovaacute přiacutemka jednoznačně určuje rovinu Hlavniacute přiacutemky jsou kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku a jejich koacuteta je shodnaacute s koacutetou bodu na spaacutedoveacute přiacutemce kteryacutem hlavniacute přiacutemka prochaacuteziacute

b) Rovina je zadaacutena dvěma hlavniacutemi přiacutemkami Každaacute kolmice k průmětům těchto hlavniacutech přiacutemek je průmětem spaacutedoveacute přiacutemky na ktereacute znaacuteme dva jejiacute body

c) Je-li zadaacutena stupňovanaacute přiacutemka p ležiacuteciacute v hledaneacute rovině a spaacutedovaacute přiacutemka nebo směr spaacutedoveacute přiacutemky budou hlavniacute přiacutemky kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku respektive jejiacute směr a průsečiacutek s přiacutemkou p určiacute jejich koacutetu

d) Dalšiacute možnostiacute je zadat rovinu dvěma přiacutemkami z nichž ani jedna neniacute hlavniacute Jsou-li obě tyto přiacutemky vystupňovaneacute hlavniacute přiacutemky nalezneme jako spojnice bodů o stejnyacutech koacutetaacutech Na obraacutezku d) znaacuteme na přiacutemce q pouze jeden jejiacute bod Na přiacutemce p nalezneme bod s touto koacutetou a ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek

e) Rovina může byacutet zadaacutena takeacute jednou hlavniacute přiacutemkou a bodem roviny kteryacute na teacuteto hlavniacute přiacutemce neležiacute Kolmice na zadanou hlavniacute přiacutemku prochaacutezejiacuteciacute zadanyacutem bodem je spaacutedovaacute přiacutemka na ktereacute znaacuteme dva body a snadno lze dourčit jejiacute stupňovaacuteniacute

f) Tři body ktereacute neležiacute v přiacutemce takeacute určujiacute jednoznačně rovinu jejiacutež hlavniacute přiacutemky ziacuteskaacuteme tak že spojiacuteme bod s nejmenšiacute a největšiacute koacutetou Na teacuteto spojnici nalezneme bod o koacutetě shodneacute s koacutetou třetiacuteho bodu čiacutemž ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek roviny

43

42

44

45

s

42

43

44

s

45

42

43

44

s

45

p

43

42

43

44

45

43

42

44

45

43

42

44

45

p q

42

43

44

s

45

435

A(425)

42

43

44

45

A(45)

C(43)

B(42)

43

44

a) b) c)

d) e) f)

Obraacutezek 17 Různaacute zadaacuteniacute roviny

9

Kapitola 2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti Topografickaacute plocha (řecky topo = miacutesta se tyacutekajiacuteciacute topografie = miacutestopis) je tvořena čaacutestiacute zjednodušeneacuteho zemskeacuteho povrchu z tohoto důvodu ji takeacute nazyacutevaacuteme plochou tereacutenu Nemaacute předepsanyacute vyacutetvarnyacute zaacutekon proto naacuteležiacute mezi grafickeacute neboli empirickeacute plochy Pokud zobrazovanaacute topografickaacute plocha nepřesahuje 200 km2 zobrazujeme ji v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute na vodorovnou průmětnu kterou tvořiacute vhodně prodlouženaacute mořskaacute hladina kterou lze na takto maleacute ploše považovat za rovinu Zobrazovaacuteniacutem většiacutech čaacutestiacute zemskeacuteho povrchu se zabyacutevaacute kartografie Zobrazovanou čaacutest zemskeacuteho povrchu protiacutenaacuteme ekvidistantniacutemi rovinami tj vodorovnyacutemi rovinami ktereacute jsou vzdaacuteleny o tuteacutež deacutelku ndash ekvidistanci Řezy ekvidistantniacutech (neboli vrstevniacutech) rovin s plochou tvořiacute vrstevniacute (teacutež vrstevnicoveacute) křivky Rozlišujeme vrstevniacute křivky nachaacutezejiacuteciacute se nad průmětnou tzv vyacuteškoveacute křivky (isohypsy) a křivky pod průmětnou nazyacutevaneacute hloubkoveacute křivky (isobaty)

e

π

0

1

2

e

Obraacutezek 21

Pravouacutehleacute průměty těchto křivek do průmětny π pak nazveme vrstevnicemi Vrstevnice se opatřujiacute přiacuteslušnou koacutetou přičemž průmětna π maacute koacutetu 0 Topografickaacute plocha je určena vrstevnicovyacutem plaacutenem tj soustavou koacutetovanyacutech vrstevnic Mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi neniacute plocha určena Potřebujeme-li určit přesněji tvar plochy musiacuteme zmenšit ekvidistanci Cvičeniacute 21 Na obraacutezku 21 nalezněte vrstevniacute křivky a určete zda se jednaacute o isohypsy nebo o isobaty Kde jsou na obraacutezku 21 znaacutezorněny vrstevnice Dalšiacutemi vyacuteznamnyacutemi křivkami topografickeacute plochy jsou tzv spaacutedoveacute křivky (jejich pravouacutehleacute průměty do π nazyacutevaacuteme spaacutednice) ktereacute majiacute tu vlastnost že protiacutenajiacute kolmo všechny vrstevnicoveacute křivky respektive vrstevnice plochy

10

Na topografickyacutech plochaacutech můžeme naleacutezt zvlaacuteštniacute přiacutepady spaacutedovyacutech křivek

bull Hřebenovaacute neboli uacutebočniacute křivka ndash z každeacuteho jejiacuteho bodu vychaacuteziacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu a směřujiacute od niacute (obr 22)

bull Uacutedolniacute křivka neboli uacutedolnice ndash do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute opět majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu (obr 23)

3

2

1

0

0

1

2

3

Obraacutezek 22 Obraacutezek 23 Na topografickyacutech plochaacutech se takeacute naleacutezajiacute vyacuteznamneacute křivky ktereacute spaacutedoveacute nejsou Spojeniacutem bodů lomu na sousedniacutech vrstevniciacutech vznikne jedna z křivek

bull Hřbetniacute křivka neboli hřbetnice ndash v tereacutenu se jeviacute jako hrana Z každeacuteho bodu hřbetnice vychaacutezejiacute dvě různeacute spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 24)

bull Osa uacutedolniacuteho koryta ndash v tereacutenu se jeviacute jako ostryacute zaacuteřez Do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 25)

3

2

1

0

3

2

1

0

Obraacutezek 24 Obraacutezek 25 Kresleno podle Setzer [1] obr 58 str 71

11

Na topografickyacutech plochaacutech se nachaacuteziacute některeacute vyacuteznamneacute body Jsou to takoveacute body plochy v nichž je tečnaacute rovina plochy vodorovnaacute

bull Vrchol ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice menšiacute koacutety než maacute vrchol Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute maximum nadmořskeacute vyacutešky V praxi se obvykle pojem vrchol použiacutevaacute pro body s určitou vyacuteznamnostiacute např nejvyššiacute bod pohořiacute

bull Důl ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice vyššiacute koacutety Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute minimum nadmořskeacute vyacutešky

bull Sedlovyacute neboli uzlovyacute bod ndash protiacutenajiacute se v něm vrstevnice o stejneacute koacutetě a rozděluje plochu na 4 čaacutesti Dvě protějšiacute čaacutesti majiacute vrstevnice o vyššiacutech a dvě o nižšiacutech koacutetaacutech než maacute sedlovyacute bod

2 12

2

1

2 433

4

6

78

9

7

8

6

7

Obraacutezek 26 Vrchol Obraacutezek 27 Důl Obraacutezek 28 Sedlovyacute bod Na topografickyacutech plochaacutech nebo na jejich čaacutestech se vyskytujiacute speciaacutelniacute tvary ploch

bull Plochu v okoliacute hřbetnice nazyacutevaacuteme hřbet plochu v okoliacute uacutedolnice uacutedoliacute bull Čaacutest plochy v bliacutezkosti vrcholu se nazyacutevaacute kupa (obr 29) bull Okoliacute dolu vytvaacuteřiacute na ploše prohlubeninu (obr 29) bull V bliacutezkosti sedloveacuteho bodu vytvaacuteřiacute plocha tzv sedlo (obr 29) bull Plošinou nazveme takovou čaacutest plochy jiacutež se dotyacutekaacute vodorovnaacute tečnaacute rovina podeacutel

plochy (popř teacuteměř vodorovnou čaacutest topografickeacute plochy) v jejiacutemž okoliacute majiacute vrstevnice menšiacute vyacuteškoveacute koacutety (obr 29)

bull Na obraacutezku 29 je znaacutezorněn takeacute tzv spočinek kteryacute vznikaacute v miacutestech kde hřbetnice přechaacuteziacute do značně miacuternějšiacuteho sklonu (do 2deg) a před začaacutetkem a po ukončeniacute spočinku maacute většiacute spaacuted

spočinek

kupa

prohlubenina

plošina

sedlo

Obraacutezek 29

12

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Uacutevod Teacutematem teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece jsou topografickeacute plochy Při vyacuteuce deskriptivniacute geometrie ať už na středniacute nebo vysokeacute škole jsou topografickyacutem plochaacutech věnovaacuteny obvykle 2-4 vyučovaciacute hodiny jen vyacutejimečně viacutece Takeacute v učebniciacutech deskriptivniacute geometrie se topografickyacutem plochaacutem věnuje obyčejně jen několik maacutelo stran Ciacutelem teacuteto praacutece bylo vytvořit ucelenyacute text o topografickyacutech plochaacutech kteryacute by sloužil učitelům při vyacuteuce tohoto teacutematu ve ktereacutem je dostatek naacutezornyacutech obraacutezků a ze ktereacuteho by mohli čerpat přiacuteklady Zaacuteroveň bylo ciacutelem vytvořit text dostatečně srozumitelnyacute ze ktereacuteho se je schopen student saacutem naučit vyřešit naacutesypy a vyacutekopy podeacutel komunikaciacute a jineacute konstrukce na topografickyacutech plochaacutech Předpoklaacutedaacute se že čtenaacuteř tohoto textu maacute určiteacute znalosti z deskriptivniacute geometrie např že viacute co je naacuterys vrženyacute stiacuten atd Některeacute kapitoly lze čiacutest samostatně ale jineacute využiacutevajiacute znalostiacute z předchaacutezejiacuteciacutech kapitol Prvniacute kapitola neniacute vyacutekladem koacutetovaneacuteho promiacutetaacuteniacute jsou zde jen připomenuty některeacute pojmy jejichž znalost je potřebnaacute k porozuměniacute dalšiacutem kapitolaacutem Ve druheacute kapitole se čtenaacuteř dozviacute kteraacute plocha je topografickaacute jakeacute naacutezvy majiacute některeacute speciaacutelniacute topografickeacute plochy a jakeacute vyacuteznamneacute body a křivky se na ploše nachaacuteziacute Ve třetiacute kapitole se naučiacute zakreslit topografickou plochu v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute tzn vytvořit vrstevnicovyacute plaacuten Aby si mohl čtenaacuteř vytvořit představu o tvaru topografickeacute plochy jsou v dalšiacutech kapitolaacutech uvedeny konstrukce přiacutečneacuteho a podeacutelneacuteho profilu a takeacute naacuterysneacuteho obrysu Posledniacute kapitola na kterou bych raacuted upozornil je kapitola o průniku topografickyacutech ploch a topografickeacute plochy s rovinou kteraacute neniacute moc naacuteročnaacute ale o to viacutec je důležitaacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute a kolem různyacutech rovinnyacutech ploch Kapitola o řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů je zajiacutemavou a praktickou aplikaciacute znalostiacute o topografickyacutech plochaacutech proto je teacuteto kapitole věnovaacuteno nejviacutece prostoru Obraacutezky a zadaacuteniacute cvičeniacute jsou kresleny v AutoCADu Součaacutestiacute teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece je přiloženeacute CD na ktereacutem je celyacute text bakalaacuteřskeacute praacutece v elektronickeacute podobě

5

Kapitola 1 Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute Pro zobrazeniacute topografickyacutech ploch je nejvhodnějšiacute tzv koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute proto je pro zakreslovaacuteniacute topografickyacutech ploch nutneacute znaacutet alespoň zaacutekladniacute naacutezvosloviacute a vlastnosti tohoto promiacutetaacuteniacute Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute je pravouacutehleacute promiacutetaacuteniacute na jednu průmětnu kteraacute je zpravidla vodorovnaacute a děliacute prostor na dva poloprostory Jeden z těchto poloprostorů většinou ten bdquonadldquo průmětnou prohlaacutesiacuteme za kladnyacute druhyacute bude zaacutepornyacute Protože bod A neniacute jednoznačně určen svyacutem pravouacutehlyacutem průmětem A1 do průmětny doplniacuteme průmět (půdorys) A1 o tzv koacutetu zA kterou ziacuteskaacuteme jako vzdaacutelenost bodů AA1 (vzdaacutelenost bodu A od průmětny) opatřenou kladnyacutem znameacutenkem jestliže ležiacute bod A v kladneacutem poloprostoru a zaacutepornyacutem znameacutenkem v opačneacutem přiacutepadě (obr 11)

zA=5

A

A1

B1

B

zB=3π A(5)

B(-3)C=C1

C(0)

π

Obraacutezek 11 Zobrazeniacute bodu

Při zobrazovaacuteniacute přiacutemky v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute stačiacute znaacutet koacutetovaneacute průměty dvou různyacutech bodů přiacutemky Pravouacutehlyacute průmět p1 přiacutemky p určeneacute body A a B je spojnice A1B1 když A1 ne B1 V přiacutepadě že A1 = B1 pak p1 = A1 = B1 což nastane praacutevě tehdy když p je promiacutetaciacute

P=P1A1

B1

A

B

p1

p

π P(0)A(2)

B(3)

p

π

π A 1=B1=P=P1=p1

p

A

B

πP(0)=A(2)=B(3)=p

Obraacutezek 12 Zobrazeniacute přiacutemky

6

Každaacute přiacutemka kteraacute je rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute přiacutemka Přiacutemka kteraacute neniacute hlavniacute protiacutenaacute průmětnu v bodě kteryacute nazyacutevaacuteme stopniacutek (bod P na obraacutezku 12) Stupňovaniacute přiacutemky znamenaacute nalezeniacute průmětů bodů přiacutemky ktereacute majiacute celočiacuteselneacute koacutety K určeniacute stopniacuteku přiacutemky použiacutevaacuteme sklaacutepěniacute promiacutetaciacute roviny přiacutemky (obr 13) Na kolmice k p1 sestrojeneacute v π vyneseme na přiacuteslušnou stranu od průmětu p1 koacutetu zA a zB Průnik p1 s (p) je hledanyacute stopniacutek Ze sklopeniacute lze snadno určit koacutety bodů přiacutemky p (na obr 13 bod C)

p

C(zC)

p1π B

ρ

(B)

|zB| B(zB)

P

C

(C)

|zC| (p)A(zA)

|zA|(A)

A

Obraacutezek 13 Stopniacutek přiacutemky

Tři různeacute body ktereacute neležiacute v přiacutemce určujiacute rovinu Rovina je promiacutetaciacute praacutevě tehdy když koacutetovaneacute průměty všech bodů roviny ležiacute na přiacutemce Rovina rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute (vrstevniacute) rovina Průnikem roviny ρ kteraacute neniacute hlavniacute s hlavniacutemi rovinami jsou hlavniacute přiacutemky teacuteto roviny Průmětna je hlavniacute rovina o koacutetě 0 a hlavniacute přiacutemka v niacute ležiacuteciacute se nazyacutevaacute stopa roviny ρ a značiacute se pρ Přiacutemka roviny kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky se nazyacutevaacute spaacutedovaacute přiacutemka Každyacutem bodem roviny prochaacuteziacute praacutevě jedna spaacutedovaacute přiacutemka kteraacute se zpravidla značiacute s Ve sklopeniacute spaacutedoveacute přiacutemky do půdorysny (popř jineacute hlavniacute roviny) určuje uacutehel α odchylku spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny (viz obraacutezek 14) Odchylka roviny od průmětny se rovnaacute odchylce jejiacute spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny

s1

h(2)

h(1)

h1(1) h1(2)

(s)α

α1

2

ρ

π

spρ

Obraacutezek 14 Odchylka roviny od průmětny

7

Nalezeniacute průsečnice r dvou různoběžnyacutech rovin neniacute složiteacute Hlavniacute přiacutemky obou rovin se v teacuteže hlavniacute rovině protiacutenajiacute v bodě průsečnice Stačiacute naleacutezt dva jejiacute body (viz obr 15)

B

6

sσ

7

8

A

r

7

6

8

sρ

B

A

8 r

6

7

sρ

7

6

8

sσπ(8)

Obraacutezek 15 Průsečnice rovin

Speciaacutelniacutem přiacutepadem je situace kdy jsou hlavniacute přiacutemky rovin ρ i σ rovnoběžneacute Rovina α kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky obou rovin protne roviny ve spaacutedovyacutech přiacutemkaacutech sρ a sσ Ve sklopeniacute roviny α (do půdorysny nebo jineacute hlavniacute roviny) určiacuteme průsečiacutek spaacutedovyacutech přiacutemek (R) Průsečnice rovin ρ σ prochaacuteziacute bodem R a je rovnoběžnaacute s hlavniacutemi přiacutemkami rovin (obr 16)

sσ = sρ

3

3

sσ

3

r

6R

44

55

sρ 6

(R)

(sρ)(sσ)

3

4

α

65

R6

4

5

(sρ)

(R)

r

(sσ)

Obraacutezek 16 Průsečnice rovin ve speciaacutelniacute poloze

8

Na obraacutezku 17 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby zadaacuteniacute roviny

a) Stupňovanaacute spaacutedovaacute přiacutemka jednoznačně určuje rovinu Hlavniacute přiacutemky jsou kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku a jejich koacuteta je shodnaacute s koacutetou bodu na spaacutedoveacute přiacutemce kteryacutem hlavniacute přiacutemka prochaacuteziacute

b) Rovina je zadaacutena dvěma hlavniacutemi přiacutemkami Každaacute kolmice k průmětům těchto hlavniacutech přiacutemek je průmětem spaacutedoveacute přiacutemky na ktereacute znaacuteme dva jejiacute body

c) Je-li zadaacutena stupňovanaacute přiacutemka p ležiacuteciacute v hledaneacute rovině a spaacutedovaacute přiacutemka nebo směr spaacutedoveacute přiacutemky budou hlavniacute přiacutemky kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku respektive jejiacute směr a průsečiacutek s přiacutemkou p určiacute jejich koacutetu

d) Dalšiacute možnostiacute je zadat rovinu dvěma přiacutemkami z nichž ani jedna neniacute hlavniacute Jsou-li obě tyto přiacutemky vystupňovaneacute hlavniacute přiacutemky nalezneme jako spojnice bodů o stejnyacutech koacutetaacutech Na obraacutezku d) znaacuteme na přiacutemce q pouze jeden jejiacute bod Na přiacutemce p nalezneme bod s touto koacutetou a ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek

e) Rovina může byacutet zadaacutena takeacute jednou hlavniacute přiacutemkou a bodem roviny kteryacute na teacuteto hlavniacute přiacutemce neležiacute Kolmice na zadanou hlavniacute přiacutemku prochaacutezejiacuteciacute zadanyacutem bodem je spaacutedovaacute přiacutemka na ktereacute znaacuteme dva body a snadno lze dourčit jejiacute stupňovaacuteniacute

f) Tři body ktereacute neležiacute v přiacutemce takeacute určujiacute jednoznačně rovinu jejiacutež hlavniacute přiacutemky ziacuteskaacuteme tak že spojiacuteme bod s nejmenšiacute a největšiacute koacutetou Na teacuteto spojnici nalezneme bod o koacutetě shodneacute s koacutetou třetiacuteho bodu čiacutemž ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek roviny

43

42

44

45

s

42

43

44

s

45

42

43

44

s

45

p

43

42

43

44

45

43

42

44

45

43

42

44

45

p q

42

43

44

s

45

435

A(425)

42

43

44

45

A(45)

C(43)

B(42)

43

44

a) b) c)

d) e) f)

Obraacutezek 17 Různaacute zadaacuteniacute roviny

9

Kapitola 2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti Topografickaacute plocha (řecky topo = miacutesta se tyacutekajiacuteciacute topografie = miacutestopis) je tvořena čaacutestiacute zjednodušeneacuteho zemskeacuteho povrchu z tohoto důvodu ji takeacute nazyacutevaacuteme plochou tereacutenu Nemaacute předepsanyacute vyacutetvarnyacute zaacutekon proto naacuteležiacute mezi grafickeacute neboli empirickeacute plochy Pokud zobrazovanaacute topografickaacute plocha nepřesahuje 200 km2 zobrazujeme ji v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute na vodorovnou průmětnu kterou tvořiacute vhodně prodlouženaacute mořskaacute hladina kterou lze na takto maleacute ploše považovat za rovinu Zobrazovaacuteniacutem většiacutech čaacutestiacute zemskeacuteho povrchu se zabyacutevaacute kartografie Zobrazovanou čaacutest zemskeacuteho povrchu protiacutenaacuteme ekvidistantniacutemi rovinami tj vodorovnyacutemi rovinami ktereacute jsou vzdaacuteleny o tuteacutež deacutelku ndash ekvidistanci Řezy ekvidistantniacutech (neboli vrstevniacutech) rovin s plochou tvořiacute vrstevniacute (teacutež vrstevnicoveacute) křivky Rozlišujeme vrstevniacute křivky nachaacutezejiacuteciacute se nad průmětnou tzv vyacuteškoveacute křivky (isohypsy) a křivky pod průmětnou nazyacutevaneacute hloubkoveacute křivky (isobaty)

e

π

0

1

2

e

Obraacutezek 21

Pravouacutehleacute průměty těchto křivek do průmětny π pak nazveme vrstevnicemi Vrstevnice se opatřujiacute přiacuteslušnou koacutetou přičemž průmětna π maacute koacutetu 0 Topografickaacute plocha je určena vrstevnicovyacutem plaacutenem tj soustavou koacutetovanyacutech vrstevnic Mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi neniacute plocha určena Potřebujeme-li určit přesněji tvar plochy musiacuteme zmenšit ekvidistanci Cvičeniacute 21 Na obraacutezku 21 nalezněte vrstevniacute křivky a určete zda se jednaacute o isohypsy nebo o isobaty Kde jsou na obraacutezku 21 znaacutezorněny vrstevnice Dalšiacutemi vyacuteznamnyacutemi křivkami topografickeacute plochy jsou tzv spaacutedoveacute křivky (jejich pravouacutehleacute průměty do π nazyacutevaacuteme spaacutednice) ktereacute majiacute tu vlastnost že protiacutenajiacute kolmo všechny vrstevnicoveacute křivky respektive vrstevnice plochy

10

Na topografickyacutech plochaacutech můžeme naleacutezt zvlaacuteštniacute přiacutepady spaacutedovyacutech křivek

bull Hřebenovaacute neboli uacutebočniacute křivka ndash z každeacuteho jejiacuteho bodu vychaacuteziacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu a směřujiacute od niacute (obr 22)

bull Uacutedolniacute křivka neboli uacutedolnice ndash do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute opět majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu (obr 23)

3

2

1

0

0

1

2

3

Obraacutezek 22 Obraacutezek 23 Na topografickyacutech plochaacutech se takeacute naleacutezajiacute vyacuteznamneacute křivky ktereacute spaacutedoveacute nejsou Spojeniacutem bodů lomu na sousedniacutech vrstevniciacutech vznikne jedna z křivek

bull Hřbetniacute křivka neboli hřbetnice ndash v tereacutenu se jeviacute jako hrana Z každeacuteho bodu hřbetnice vychaacutezejiacute dvě různeacute spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 24)

bull Osa uacutedolniacuteho koryta ndash v tereacutenu se jeviacute jako ostryacute zaacuteřez Do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 25)

3

2

1

0

3

2

1

0

Obraacutezek 24 Obraacutezek 25 Kresleno podle Setzer [1] obr 58 str 71

11

Na topografickyacutech plochaacutech se nachaacuteziacute některeacute vyacuteznamneacute body Jsou to takoveacute body plochy v nichž je tečnaacute rovina plochy vodorovnaacute

bull Vrchol ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice menšiacute koacutety než maacute vrchol Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute maximum nadmořskeacute vyacutešky V praxi se obvykle pojem vrchol použiacutevaacute pro body s určitou vyacuteznamnostiacute např nejvyššiacute bod pohořiacute

bull Důl ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice vyššiacute koacutety Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute minimum nadmořskeacute vyacutešky

bull Sedlovyacute neboli uzlovyacute bod ndash protiacutenajiacute se v něm vrstevnice o stejneacute koacutetě a rozděluje plochu na 4 čaacutesti Dvě protějšiacute čaacutesti majiacute vrstevnice o vyššiacutech a dvě o nižšiacutech koacutetaacutech než maacute sedlovyacute bod

2 12

2

1

2 433

4

6

78

9

7

8

6

7

Obraacutezek 26 Vrchol Obraacutezek 27 Důl Obraacutezek 28 Sedlovyacute bod Na topografickyacutech plochaacutech nebo na jejich čaacutestech se vyskytujiacute speciaacutelniacute tvary ploch

bull Plochu v okoliacute hřbetnice nazyacutevaacuteme hřbet plochu v okoliacute uacutedolnice uacutedoliacute bull Čaacutest plochy v bliacutezkosti vrcholu se nazyacutevaacute kupa (obr 29) bull Okoliacute dolu vytvaacuteřiacute na ploše prohlubeninu (obr 29) bull V bliacutezkosti sedloveacuteho bodu vytvaacuteřiacute plocha tzv sedlo (obr 29) bull Plošinou nazveme takovou čaacutest plochy jiacutež se dotyacutekaacute vodorovnaacute tečnaacute rovina podeacutel

plochy (popř teacuteměř vodorovnou čaacutest topografickeacute plochy) v jejiacutemž okoliacute majiacute vrstevnice menšiacute vyacuteškoveacute koacutety (obr 29)

bull Na obraacutezku 29 je znaacutezorněn takeacute tzv spočinek kteryacute vznikaacute v miacutestech kde hřbetnice přechaacuteziacute do značně miacuternějšiacuteho sklonu (do 2deg) a před začaacutetkem a po ukončeniacute spočinku maacute většiacute spaacuted

spočinek

kupa

prohlubenina

plošina

sedlo

Obraacutezek 29

12

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Kapitola 1 Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute Pro zobrazeniacute topografickyacutech ploch je nejvhodnějšiacute tzv koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute proto je pro zakreslovaacuteniacute topografickyacutech ploch nutneacute znaacutet alespoň zaacutekladniacute naacutezvosloviacute a vlastnosti tohoto promiacutetaacuteniacute Koacutetovaneacute promiacutetaacuteniacute je pravouacutehleacute promiacutetaacuteniacute na jednu průmětnu kteraacute je zpravidla vodorovnaacute a děliacute prostor na dva poloprostory Jeden z těchto poloprostorů většinou ten bdquonadldquo průmětnou prohlaacutesiacuteme za kladnyacute druhyacute bude zaacutepornyacute Protože bod A neniacute jednoznačně určen svyacutem pravouacutehlyacutem průmětem A1 do průmětny doplniacuteme průmět (půdorys) A1 o tzv koacutetu zA kterou ziacuteskaacuteme jako vzdaacutelenost bodů AA1 (vzdaacutelenost bodu A od průmětny) opatřenou kladnyacutem znameacutenkem jestliže ležiacute bod A v kladneacutem poloprostoru a zaacutepornyacutem znameacutenkem v opačneacutem přiacutepadě (obr 11)

zA=5

A

A1

B1

B

zB=3π A(5)

B(-3)C=C1

C(0)

π

Obraacutezek 11 Zobrazeniacute bodu

Při zobrazovaacuteniacute přiacutemky v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute stačiacute znaacutet koacutetovaneacute průměty dvou různyacutech bodů přiacutemky Pravouacutehlyacute průmět p1 přiacutemky p určeneacute body A a B je spojnice A1B1 když A1 ne B1 V přiacutepadě že A1 = B1 pak p1 = A1 = B1 což nastane praacutevě tehdy když p je promiacutetaciacute

P=P1A1

B1

A

B

p1

p

π P(0)A(2)

B(3)

p

π

π A 1=B1=P=P1=p1

p

A

B

πP(0)=A(2)=B(3)=p

Obraacutezek 12 Zobrazeniacute přiacutemky

6

Každaacute přiacutemka kteraacute je rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute přiacutemka Přiacutemka kteraacute neniacute hlavniacute protiacutenaacute průmětnu v bodě kteryacute nazyacutevaacuteme stopniacutek (bod P na obraacutezku 12) Stupňovaniacute přiacutemky znamenaacute nalezeniacute průmětů bodů přiacutemky ktereacute majiacute celočiacuteselneacute koacutety K určeniacute stopniacuteku přiacutemky použiacutevaacuteme sklaacutepěniacute promiacutetaciacute roviny přiacutemky (obr 13) Na kolmice k p1 sestrojeneacute v π vyneseme na přiacuteslušnou stranu od průmětu p1 koacutetu zA a zB Průnik p1 s (p) je hledanyacute stopniacutek Ze sklopeniacute lze snadno určit koacutety bodů přiacutemky p (na obr 13 bod C)

p

C(zC)

p1π B

ρ

(B)

|zB| B(zB)

P

C

(C)

|zC| (p)A(zA)

|zA|(A)

A

Obraacutezek 13 Stopniacutek přiacutemky

Tři různeacute body ktereacute neležiacute v přiacutemce určujiacute rovinu Rovina je promiacutetaciacute praacutevě tehdy když koacutetovaneacute průměty všech bodů roviny ležiacute na přiacutemce Rovina rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute (vrstevniacute) rovina Průnikem roviny ρ kteraacute neniacute hlavniacute s hlavniacutemi rovinami jsou hlavniacute přiacutemky teacuteto roviny Průmětna je hlavniacute rovina o koacutetě 0 a hlavniacute přiacutemka v niacute ležiacuteciacute se nazyacutevaacute stopa roviny ρ a značiacute se pρ Přiacutemka roviny kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky se nazyacutevaacute spaacutedovaacute přiacutemka Každyacutem bodem roviny prochaacuteziacute praacutevě jedna spaacutedovaacute přiacutemka kteraacute se zpravidla značiacute s Ve sklopeniacute spaacutedoveacute přiacutemky do půdorysny (popř jineacute hlavniacute roviny) určuje uacutehel α odchylku spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny (viz obraacutezek 14) Odchylka roviny od průmětny se rovnaacute odchylce jejiacute spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny

s1

h(2)

h(1)

h1(1) h1(2)

(s)α

α1

2

ρ

π

spρ

Obraacutezek 14 Odchylka roviny od průmětny

7

Nalezeniacute průsečnice r dvou různoběžnyacutech rovin neniacute složiteacute Hlavniacute přiacutemky obou rovin se v teacuteže hlavniacute rovině protiacutenajiacute v bodě průsečnice Stačiacute naleacutezt dva jejiacute body (viz obr 15)

B

6

sσ

7

8

A

r

7

6

8

sρ

B

A

8 r

6

7

sρ

7

6

8

sσπ(8)

Obraacutezek 15 Průsečnice rovin

Speciaacutelniacutem přiacutepadem je situace kdy jsou hlavniacute přiacutemky rovin ρ i σ rovnoběžneacute Rovina α kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky obou rovin protne roviny ve spaacutedovyacutech přiacutemkaacutech sρ a sσ Ve sklopeniacute roviny α (do půdorysny nebo jineacute hlavniacute roviny) určiacuteme průsečiacutek spaacutedovyacutech přiacutemek (R) Průsečnice rovin ρ σ prochaacuteziacute bodem R a je rovnoběžnaacute s hlavniacutemi přiacutemkami rovin (obr 16)

sσ = sρ

3

3

sσ

3

r

6R

44

55

sρ 6

(R)

(sρ)(sσ)

3

4

α

65

R6

4

5

(sρ)

(R)

r

(sσ)

Obraacutezek 16 Průsečnice rovin ve speciaacutelniacute poloze

8

Na obraacutezku 17 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby zadaacuteniacute roviny

a) Stupňovanaacute spaacutedovaacute přiacutemka jednoznačně určuje rovinu Hlavniacute přiacutemky jsou kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku a jejich koacuteta je shodnaacute s koacutetou bodu na spaacutedoveacute přiacutemce kteryacutem hlavniacute přiacutemka prochaacuteziacute

b) Rovina je zadaacutena dvěma hlavniacutemi přiacutemkami Každaacute kolmice k průmětům těchto hlavniacutech přiacutemek je průmětem spaacutedoveacute přiacutemky na ktereacute znaacuteme dva jejiacute body

c) Je-li zadaacutena stupňovanaacute přiacutemka p ležiacuteciacute v hledaneacute rovině a spaacutedovaacute přiacutemka nebo směr spaacutedoveacute přiacutemky budou hlavniacute přiacutemky kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku respektive jejiacute směr a průsečiacutek s přiacutemkou p určiacute jejich koacutetu

d) Dalšiacute možnostiacute je zadat rovinu dvěma přiacutemkami z nichž ani jedna neniacute hlavniacute Jsou-li obě tyto přiacutemky vystupňovaneacute hlavniacute přiacutemky nalezneme jako spojnice bodů o stejnyacutech koacutetaacutech Na obraacutezku d) znaacuteme na přiacutemce q pouze jeden jejiacute bod Na přiacutemce p nalezneme bod s touto koacutetou a ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek

e) Rovina může byacutet zadaacutena takeacute jednou hlavniacute přiacutemkou a bodem roviny kteryacute na teacuteto hlavniacute přiacutemce neležiacute Kolmice na zadanou hlavniacute přiacutemku prochaacutezejiacuteciacute zadanyacutem bodem je spaacutedovaacute přiacutemka na ktereacute znaacuteme dva body a snadno lze dourčit jejiacute stupňovaacuteniacute

f) Tři body ktereacute neležiacute v přiacutemce takeacute určujiacute jednoznačně rovinu jejiacutež hlavniacute přiacutemky ziacuteskaacuteme tak že spojiacuteme bod s nejmenšiacute a největšiacute koacutetou Na teacuteto spojnici nalezneme bod o koacutetě shodneacute s koacutetou třetiacuteho bodu čiacutemž ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek roviny

43

42

44

45

s

42

43

44

s

45

42

43

44

s

45

p

43

42

43

44

45

43

42

44

45

43

42

44

45

p q

42

43

44

s

45

435

A(425)

42

43

44

45

A(45)

C(43)

B(42)

43

44

a) b) c)

d) e) f)

Obraacutezek 17 Různaacute zadaacuteniacute roviny

9

Kapitola 2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti Topografickaacute plocha (řecky topo = miacutesta se tyacutekajiacuteciacute topografie = miacutestopis) je tvořena čaacutestiacute zjednodušeneacuteho zemskeacuteho povrchu z tohoto důvodu ji takeacute nazyacutevaacuteme plochou tereacutenu Nemaacute předepsanyacute vyacutetvarnyacute zaacutekon proto naacuteležiacute mezi grafickeacute neboli empirickeacute plochy Pokud zobrazovanaacute topografickaacute plocha nepřesahuje 200 km2 zobrazujeme ji v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute na vodorovnou průmětnu kterou tvořiacute vhodně prodlouženaacute mořskaacute hladina kterou lze na takto maleacute ploše považovat za rovinu Zobrazovaacuteniacutem většiacutech čaacutestiacute zemskeacuteho povrchu se zabyacutevaacute kartografie Zobrazovanou čaacutest zemskeacuteho povrchu protiacutenaacuteme ekvidistantniacutemi rovinami tj vodorovnyacutemi rovinami ktereacute jsou vzdaacuteleny o tuteacutež deacutelku ndash ekvidistanci Řezy ekvidistantniacutech (neboli vrstevniacutech) rovin s plochou tvořiacute vrstevniacute (teacutež vrstevnicoveacute) křivky Rozlišujeme vrstevniacute křivky nachaacutezejiacuteciacute se nad průmětnou tzv vyacuteškoveacute křivky (isohypsy) a křivky pod průmětnou nazyacutevaneacute hloubkoveacute křivky (isobaty)

e

π

0

1

2

e

Obraacutezek 21

Pravouacutehleacute průměty těchto křivek do průmětny π pak nazveme vrstevnicemi Vrstevnice se opatřujiacute přiacuteslušnou koacutetou přičemž průmětna π maacute koacutetu 0 Topografickaacute plocha je určena vrstevnicovyacutem plaacutenem tj soustavou koacutetovanyacutech vrstevnic Mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi neniacute plocha určena Potřebujeme-li určit přesněji tvar plochy musiacuteme zmenšit ekvidistanci Cvičeniacute 21 Na obraacutezku 21 nalezněte vrstevniacute křivky a určete zda se jednaacute o isohypsy nebo o isobaty Kde jsou na obraacutezku 21 znaacutezorněny vrstevnice Dalšiacutemi vyacuteznamnyacutemi křivkami topografickeacute plochy jsou tzv spaacutedoveacute křivky (jejich pravouacutehleacute průměty do π nazyacutevaacuteme spaacutednice) ktereacute majiacute tu vlastnost že protiacutenajiacute kolmo všechny vrstevnicoveacute křivky respektive vrstevnice plochy

10

Na topografickyacutech plochaacutech můžeme naleacutezt zvlaacuteštniacute přiacutepady spaacutedovyacutech křivek

bull Hřebenovaacute neboli uacutebočniacute křivka ndash z každeacuteho jejiacuteho bodu vychaacuteziacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu a směřujiacute od niacute (obr 22)

bull Uacutedolniacute křivka neboli uacutedolnice ndash do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute opět majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu (obr 23)

3

2

1

0

0

1

2

3

Obraacutezek 22 Obraacutezek 23 Na topografickyacutech plochaacutech se takeacute naleacutezajiacute vyacuteznamneacute křivky ktereacute spaacutedoveacute nejsou Spojeniacutem bodů lomu na sousedniacutech vrstevniciacutech vznikne jedna z křivek

bull Hřbetniacute křivka neboli hřbetnice ndash v tereacutenu se jeviacute jako hrana Z každeacuteho bodu hřbetnice vychaacutezejiacute dvě různeacute spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 24)

bull Osa uacutedolniacuteho koryta ndash v tereacutenu se jeviacute jako ostryacute zaacuteřez Do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 25)

3

2

1

0

3

2

1

0

Obraacutezek 24 Obraacutezek 25 Kresleno podle Setzer [1] obr 58 str 71

11

Na topografickyacutech plochaacutech se nachaacuteziacute některeacute vyacuteznamneacute body Jsou to takoveacute body plochy v nichž je tečnaacute rovina plochy vodorovnaacute

bull Vrchol ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice menšiacute koacutety než maacute vrchol Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute maximum nadmořskeacute vyacutešky V praxi se obvykle pojem vrchol použiacutevaacute pro body s určitou vyacuteznamnostiacute např nejvyššiacute bod pohořiacute

bull Důl ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice vyššiacute koacutety Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute minimum nadmořskeacute vyacutešky

bull Sedlovyacute neboli uzlovyacute bod ndash protiacutenajiacute se v něm vrstevnice o stejneacute koacutetě a rozděluje plochu na 4 čaacutesti Dvě protějšiacute čaacutesti majiacute vrstevnice o vyššiacutech a dvě o nižšiacutech koacutetaacutech než maacute sedlovyacute bod

2 12

2

1

2 433

4

6

78

9

7

8

6

7

Obraacutezek 26 Vrchol Obraacutezek 27 Důl Obraacutezek 28 Sedlovyacute bod Na topografickyacutech plochaacutech nebo na jejich čaacutestech se vyskytujiacute speciaacutelniacute tvary ploch

bull Plochu v okoliacute hřbetnice nazyacutevaacuteme hřbet plochu v okoliacute uacutedolnice uacutedoliacute bull Čaacutest plochy v bliacutezkosti vrcholu se nazyacutevaacute kupa (obr 29) bull Okoliacute dolu vytvaacuteřiacute na ploše prohlubeninu (obr 29) bull V bliacutezkosti sedloveacuteho bodu vytvaacuteřiacute plocha tzv sedlo (obr 29) bull Plošinou nazveme takovou čaacutest plochy jiacutež se dotyacutekaacute vodorovnaacute tečnaacute rovina podeacutel

plochy (popř teacuteměř vodorovnou čaacutest topografickeacute plochy) v jejiacutemž okoliacute majiacute vrstevnice menšiacute vyacuteškoveacute koacutety (obr 29)

bull Na obraacutezku 29 je znaacutezorněn takeacute tzv spočinek kteryacute vznikaacute v miacutestech kde hřbetnice přechaacuteziacute do značně miacuternějšiacuteho sklonu (do 2deg) a před začaacutetkem a po ukončeniacute spočinku maacute většiacute spaacuted

spočinek

kupa

prohlubenina

plošina

sedlo

Obraacutezek 29

12

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Každaacute přiacutemka kteraacute je rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute přiacutemka Přiacutemka kteraacute neniacute hlavniacute protiacutenaacute průmětnu v bodě kteryacute nazyacutevaacuteme stopniacutek (bod P na obraacutezku 12) Stupňovaniacute přiacutemky znamenaacute nalezeniacute průmětů bodů přiacutemky ktereacute majiacute celočiacuteselneacute koacutety K určeniacute stopniacuteku přiacutemky použiacutevaacuteme sklaacutepěniacute promiacutetaciacute roviny přiacutemky (obr 13) Na kolmice k p1 sestrojeneacute v π vyneseme na přiacuteslušnou stranu od průmětu p1 koacutetu zA a zB Průnik p1 s (p) je hledanyacute stopniacutek Ze sklopeniacute lze snadno určit koacutety bodů přiacutemky p (na obr 13 bod C)

p

C(zC)

p1π B

ρ

(B)

|zB| B(zB)

P

C

(C)

|zC| (p)A(zA)

|zA|(A)

A

Obraacutezek 13 Stopniacutek přiacutemky

Tři různeacute body ktereacute neležiacute v přiacutemce určujiacute rovinu Rovina je promiacutetaciacute praacutevě tehdy když koacutetovaneacute průměty všech bodů roviny ležiacute na přiacutemce Rovina rovnoběžnaacute s průmětnou se nazyacutevaacute hlavniacute (vrstevniacute) rovina Průnikem roviny ρ kteraacute neniacute hlavniacute s hlavniacutemi rovinami jsou hlavniacute přiacutemky teacuteto roviny Průmětna je hlavniacute rovina o koacutetě 0 a hlavniacute přiacutemka v niacute ležiacuteciacute se nazyacutevaacute stopa roviny ρ a značiacute se pρ Přiacutemka roviny kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky se nazyacutevaacute spaacutedovaacute přiacutemka Každyacutem bodem roviny prochaacuteziacute praacutevě jedna spaacutedovaacute přiacutemka kteraacute se zpravidla značiacute s Ve sklopeniacute spaacutedoveacute přiacutemky do půdorysny (popř jineacute hlavniacute roviny) určuje uacutehel α odchylku spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny (viz obraacutezek 14) Odchylka roviny od průmětny se rovnaacute odchylce jejiacute spaacutedoveacute přiacutemky od průmětny

s1

h(2)

h(1)

h1(1) h1(2)

(s)α

α1

2

ρ

π

spρ

Obraacutezek 14 Odchylka roviny od průmětny

7

Nalezeniacute průsečnice r dvou různoběžnyacutech rovin neniacute složiteacute Hlavniacute přiacutemky obou rovin se v teacuteže hlavniacute rovině protiacutenajiacute v bodě průsečnice Stačiacute naleacutezt dva jejiacute body (viz obr 15)

B

6

sσ

7

8

A

r

7

6

8

sρ

B

A

8 r

6

7

sρ

7

6

8

sσπ(8)

Obraacutezek 15 Průsečnice rovin

Speciaacutelniacutem přiacutepadem je situace kdy jsou hlavniacute přiacutemky rovin ρ i σ rovnoběžneacute Rovina α kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky obou rovin protne roviny ve spaacutedovyacutech přiacutemkaacutech sρ a sσ Ve sklopeniacute roviny α (do půdorysny nebo jineacute hlavniacute roviny) určiacuteme průsečiacutek spaacutedovyacutech přiacutemek (R) Průsečnice rovin ρ σ prochaacuteziacute bodem R a je rovnoběžnaacute s hlavniacutemi přiacutemkami rovin (obr 16)

sσ = sρ

3

3

sσ

3

r

6R

44

55

sρ 6

(R)

(sρ)(sσ)

3

4

α

65

R6

4

5

(sρ)

(R)

r

(sσ)

Obraacutezek 16 Průsečnice rovin ve speciaacutelniacute poloze

8

Na obraacutezku 17 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby zadaacuteniacute roviny

a) Stupňovanaacute spaacutedovaacute přiacutemka jednoznačně určuje rovinu Hlavniacute přiacutemky jsou kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku a jejich koacuteta je shodnaacute s koacutetou bodu na spaacutedoveacute přiacutemce kteryacutem hlavniacute přiacutemka prochaacuteziacute

b) Rovina je zadaacutena dvěma hlavniacutemi přiacutemkami Každaacute kolmice k průmětům těchto hlavniacutech přiacutemek je průmětem spaacutedoveacute přiacutemky na ktereacute znaacuteme dva jejiacute body

c) Je-li zadaacutena stupňovanaacute přiacutemka p ležiacuteciacute v hledaneacute rovině a spaacutedovaacute přiacutemka nebo směr spaacutedoveacute přiacutemky budou hlavniacute přiacutemky kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku respektive jejiacute směr a průsečiacutek s přiacutemkou p určiacute jejich koacutetu

d) Dalšiacute možnostiacute je zadat rovinu dvěma přiacutemkami z nichž ani jedna neniacute hlavniacute Jsou-li obě tyto přiacutemky vystupňovaneacute hlavniacute přiacutemky nalezneme jako spojnice bodů o stejnyacutech koacutetaacutech Na obraacutezku d) znaacuteme na přiacutemce q pouze jeden jejiacute bod Na přiacutemce p nalezneme bod s touto koacutetou a ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek

e) Rovina může byacutet zadaacutena takeacute jednou hlavniacute přiacutemkou a bodem roviny kteryacute na teacuteto hlavniacute přiacutemce neležiacute Kolmice na zadanou hlavniacute přiacutemku prochaacutezejiacuteciacute zadanyacutem bodem je spaacutedovaacute přiacutemka na ktereacute znaacuteme dva body a snadno lze dourčit jejiacute stupňovaacuteniacute

f) Tři body ktereacute neležiacute v přiacutemce takeacute určujiacute jednoznačně rovinu jejiacutež hlavniacute přiacutemky ziacuteskaacuteme tak že spojiacuteme bod s nejmenšiacute a největšiacute koacutetou Na teacuteto spojnici nalezneme bod o koacutetě shodneacute s koacutetou třetiacuteho bodu čiacutemž ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek roviny

43

42

44

45

s

42

43

44

s

45

42

43

44

s

45

p

43

42

43

44

45

43

42

44

45

43

42

44

45

p q

42

43

44

s

45

435

A(425)

42

43

44

45

A(45)

C(43)

B(42)

43

44

a) b) c)

d) e) f)

Obraacutezek 17 Různaacute zadaacuteniacute roviny

9

Kapitola 2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti Topografickaacute plocha (řecky topo = miacutesta se tyacutekajiacuteciacute topografie = miacutestopis) je tvořena čaacutestiacute zjednodušeneacuteho zemskeacuteho povrchu z tohoto důvodu ji takeacute nazyacutevaacuteme plochou tereacutenu Nemaacute předepsanyacute vyacutetvarnyacute zaacutekon proto naacuteležiacute mezi grafickeacute neboli empirickeacute plochy Pokud zobrazovanaacute topografickaacute plocha nepřesahuje 200 km2 zobrazujeme ji v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute na vodorovnou průmětnu kterou tvořiacute vhodně prodlouženaacute mořskaacute hladina kterou lze na takto maleacute ploše považovat za rovinu Zobrazovaacuteniacutem většiacutech čaacutestiacute zemskeacuteho povrchu se zabyacutevaacute kartografie Zobrazovanou čaacutest zemskeacuteho povrchu protiacutenaacuteme ekvidistantniacutemi rovinami tj vodorovnyacutemi rovinami ktereacute jsou vzdaacuteleny o tuteacutež deacutelku ndash ekvidistanci Řezy ekvidistantniacutech (neboli vrstevniacutech) rovin s plochou tvořiacute vrstevniacute (teacutež vrstevnicoveacute) křivky Rozlišujeme vrstevniacute křivky nachaacutezejiacuteciacute se nad průmětnou tzv vyacuteškoveacute křivky (isohypsy) a křivky pod průmětnou nazyacutevaneacute hloubkoveacute křivky (isobaty)

e

π

0

1

2

e

Obraacutezek 21

Pravouacutehleacute průměty těchto křivek do průmětny π pak nazveme vrstevnicemi Vrstevnice se opatřujiacute přiacuteslušnou koacutetou přičemž průmětna π maacute koacutetu 0 Topografickaacute plocha je určena vrstevnicovyacutem plaacutenem tj soustavou koacutetovanyacutech vrstevnic Mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi neniacute plocha určena Potřebujeme-li určit přesněji tvar plochy musiacuteme zmenšit ekvidistanci Cvičeniacute 21 Na obraacutezku 21 nalezněte vrstevniacute křivky a určete zda se jednaacute o isohypsy nebo o isobaty Kde jsou na obraacutezku 21 znaacutezorněny vrstevnice Dalšiacutemi vyacuteznamnyacutemi křivkami topografickeacute plochy jsou tzv spaacutedoveacute křivky (jejich pravouacutehleacute průměty do π nazyacutevaacuteme spaacutednice) ktereacute majiacute tu vlastnost že protiacutenajiacute kolmo všechny vrstevnicoveacute křivky respektive vrstevnice plochy

10

Na topografickyacutech plochaacutech můžeme naleacutezt zvlaacuteštniacute přiacutepady spaacutedovyacutech křivek

bull Hřebenovaacute neboli uacutebočniacute křivka ndash z každeacuteho jejiacuteho bodu vychaacuteziacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu a směřujiacute od niacute (obr 22)

bull Uacutedolniacute křivka neboli uacutedolnice ndash do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute opět majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu (obr 23)

3

2

1

0

0

1

2

3

Obraacutezek 22 Obraacutezek 23 Na topografickyacutech plochaacutech se takeacute naleacutezajiacute vyacuteznamneacute křivky ktereacute spaacutedoveacute nejsou Spojeniacutem bodů lomu na sousedniacutech vrstevniciacutech vznikne jedna z křivek

bull Hřbetniacute křivka neboli hřbetnice ndash v tereacutenu se jeviacute jako hrana Z každeacuteho bodu hřbetnice vychaacutezejiacute dvě různeacute spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 24)

bull Osa uacutedolniacuteho koryta ndash v tereacutenu se jeviacute jako ostryacute zaacuteřez Do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 25)

3

2

1

0

3

2

1

0

Obraacutezek 24 Obraacutezek 25 Kresleno podle Setzer [1] obr 58 str 71

11

Na topografickyacutech plochaacutech se nachaacuteziacute některeacute vyacuteznamneacute body Jsou to takoveacute body plochy v nichž je tečnaacute rovina plochy vodorovnaacute

bull Vrchol ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice menšiacute koacutety než maacute vrchol Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute maximum nadmořskeacute vyacutešky V praxi se obvykle pojem vrchol použiacutevaacute pro body s určitou vyacuteznamnostiacute např nejvyššiacute bod pohořiacute

bull Důl ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice vyššiacute koacutety Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute minimum nadmořskeacute vyacutešky

bull Sedlovyacute neboli uzlovyacute bod ndash protiacutenajiacute se v něm vrstevnice o stejneacute koacutetě a rozděluje plochu na 4 čaacutesti Dvě protějšiacute čaacutesti majiacute vrstevnice o vyššiacutech a dvě o nižšiacutech koacutetaacutech než maacute sedlovyacute bod

2 12

2

1

2 433

4

6

78

9

7

8

6

7

Obraacutezek 26 Vrchol Obraacutezek 27 Důl Obraacutezek 28 Sedlovyacute bod Na topografickyacutech plochaacutech nebo na jejich čaacutestech se vyskytujiacute speciaacutelniacute tvary ploch

bull Plochu v okoliacute hřbetnice nazyacutevaacuteme hřbet plochu v okoliacute uacutedolnice uacutedoliacute bull Čaacutest plochy v bliacutezkosti vrcholu se nazyacutevaacute kupa (obr 29) bull Okoliacute dolu vytvaacuteřiacute na ploše prohlubeninu (obr 29) bull V bliacutezkosti sedloveacuteho bodu vytvaacuteřiacute plocha tzv sedlo (obr 29) bull Plošinou nazveme takovou čaacutest plochy jiacutež se dotyacutekaacute vodorovnaacute tečnaacute rovina podeacutel

plochy (popř teacuteměř vodorovnou čaacutest topografickeacute plochy) v jejiacutemž okoliacute majiacute vrstevnice menšiacute vyacuteškoveacute koacutety (obr 29)

bull Na obraacutezku 29 je znaacutezorněn takeacute tzv spočinek kteryacute vznikaacute v miacutestech kde hřbetnice přechaacuteziacute do značně miacuternějšiacuteho sklonu (do 2deg) a před začaacutetkem a po ukončeniacute spočinku maacute většiacute spaacuted

spočinek

kupa

prohlubenina

plošina

sedlo

Obraacutezek 29

12

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Nalezeniacute průsečnice r dvou různoběžnyacutech rovin neniacute složiteacute Hlavniacute přiacutemky obou rovin se v teacuteže hlavniacute rovině protiacutenajiacute v bodě průsečnice Stačiacute naleacutezt dva jejiacute body (viz obr 15)

B

6

sσ

7

8

A

r

7

6

8

sρ

B

A

8 r

6

7

sρ

7

6

8

sσπ(8)

Obraacutezek 15 Průsečnice rovin

Speciaacutelniacutem přiacutepadem je situace kdy jsou hlavniacute přiacutemky rovin ρ i σ rovnoběžneacute Rovina α kteraacute je kolmaacute na hlavniacute přiacutemky obou rovin protne roviny ve spaacutedovyacutech přiacutemkaacutech sρ a sσ Ve sklopeniacute roviny α (do půdorysny nebo jineacute hlavniacute roviny) určiacuteme průsečiacutek spaacutedovyacutech přiacutemek (R) Průsečnice rovin ρ σ prochaacuteziacute bodem R a je rovnoběžnaacute s hlavniacutemi přiacutemkami rovin (obr 16)

sσ = sρ

3

3

sσ

3

r

6R

44

55

sρ 6

(R)

(sρ)(sσ)

3

4

α

65

R6

4

5

(sρ)

(R)

r

(sσ)

Obraacutezek 16 Průsečnice rovin ve speciaacutelniacute poloze

8

Na obraacutezku 17 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby zadaacuteniacute roviny

a) Stupňovanaacute spaacutedovaacute přiacutemka jednoznačně určuje rovinu Hlavniacute přiacutemky jsou kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku a jejich koacuteta je shodnaacute s koacutetou bodu na spaacutedoveacute přiacutemce kteryacutem hlavniacute přiacutemka prochaacuteziacute

b) Rovina je zadaacutena dvěma hlavniacutemi přiacutemkami Každaacute kolmice k průmětům těchto hlavniacutech přiacutemek je průmětem spaacutedoveacute přiacutemky na ktereacute znaacuteme dva jejiacute body

c) Je-li zadaacutena stupňovanaacute přiacutemka p ležiacuteciacute v hledaneacute rovině a spaacutedovaacute přiacutemka nebo směr spaacutedoveacute přiacutemky budou hlavniacute přiacutemky kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku respektive jejiacute směr a průsečiacutek s přiacutemkou p určiacute jejich koacutetu

d) Dalšiacute možnostiacute je zadat rovinu dvěma přiacutemkami z nichž ani jedna neniacute hlavniacute Jsou-li obě tyto přiacutemky vystupňovaneacute hlavniacute přiacutemky nalezneme jako spojnice bodů o stejnyacutech koacutetaacutech Na obraacutezku d) znaacuteme na přiacutemce q pouze jeden jejiacute bod Na přiacutemce p nalezneme bod s touto koacutetou a ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek

e) Rovina může byacutet zadaacutena takeacute jednou hlavniacute přiacutemkou a bodem roviny kteryacute na teacuteto hlavniacute přiacutemce neležiacute Kolmice na zadanou hlavniacute přiacutemku prochaacutezejiacuteciacute zadanyacutem bodem je spaacutedovaacute přiacutemka na ktereacute znaacuteme dva body a snadno lze dourčit jejiacute stupňovaacuteniacute

f) Tři body ktereacute neležiacute v přiacutemce takeacute určujiacute jednoznačně rovinu jejiacutež hlavniacute přiacutemky ziacuteskaacuteme tak že spojiacuteme bod s nejmenšiacute a největšiacute koacutetou Na teacuteto spojnici nalezneme bod o koacutetě shodneacute s koacutetou třetiacuteho bodu čiacutemž ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek roviny

43

42

44

45

s

42

43

44

s

45

42

43

44

s

45

p

43

42

43

44

45

43

42

44

45

43

42

44

45

p q

42

43

44

s

45

435

A(425)

42

43

44

45

A(45)

C(43)

B(42)

43

44

a) b) c)

d) e) f)

Obraacutezek 17 Různaacute zadaacuteniacute roviny

9

Kapitola 2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti Topografickaacute plocha (řecky topo = miacutesta se tyacutekajiacuteciacute topografie = miacutestopis) je tvořena čaacutestiacute zjednodušeneacuteho zemskeacuteho povrchu z tohoto důvodu ji takeacute nazyacutevaacuteme plochou tereacutenu Nemaacute předepsanyacute vyacutetvarnyacute zaacutekon proto naacuteležiacute mezi grafickeacute neboli empirickeacute plochy Pokud zobrazovanaacute topografickaacute plocha nepřesahuje 200 km2 zobrazujeme ji v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute na vodorovnou průmětnu kterou tvořiacute vhodně prodlouženaacute mořskaacute hladina kterou lze na takto maleacute ploše považovat za rovinu Zobrazovaacuteniacutem většiacutech čaacutestiacute zemskeacuteho povrchu se zabyacutevaacute kartografie Zobrazovanou čaacutest zemskeacuteho povrchu protiacutenaacuteme ekvidistantniacutemi rovinami tj vodorovnyacutemi rovinami ktereacute jsou vzdaacuteleny o tuteacutež deacutelku ndash ekvidistanci Řezy ekvidistantniacutech (neboli vrstevniacutech) rovin s plochou tvořiacute vrstevniacute (teacutež vrstevnicoveacute) křivky Rozlišujeme vrstevniacute křivky nachaacutezejiacuteciacute se nad průmětnou tzv vyacuteškoveacute křivky (isohypsy) a křivky pod průmětnou nazyacutevaneacute hloubkoveacute křivky (isobaty)

e

π

0

1

2

e

Obraacutezek 21

Pravouacutehleacute průměty těchto křivek do průmětny π pak nazveme vrstevnicemi Vrstevnice se opatřujiacute přiacuteslušnou koacutetou přičemž průmětna π maacute koacutetu 0 Topografickaacute plocha je určena vrstevnicovyacutem plaacutenem tj soustavou koacutetovanyacutech vrstevnic Mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi neniacute plocha určena Potřebujeme-li určit přesněji tvar plochy musiacuteme zmenšit ekvidistanci Cvičeniacute 21 Na obraacutezku 21 nalezněte vrstevniacute křivky a určete zda se jednaacute o isohypsy nebo o isobaty Kde jsou na obraacutezku 21 znaacutezorněny vrstevnice Dalšiacutemi vyacuteznamnyacutemi křivkami topografickeacute plochy jsou tzv spaacutedoveacute křivky (jejich pravouacutehleacute průměty do π nazyacutevaacuteme spaacutednice) ktereacute majiacute tu vlastnost že protiacutenajiacute kolmo všechny vrstevnicoveacute křivky respektive vrstevnice plochy

10

Na topografickyacutech plochaacutech můžeme naleacutezt zvlaacuteštniacute přiacutepady spaacutedovyacutech křivek

bull Hřebenovaacute neboli uacutebočniacute křivka ndash z každeacuteho jejiacuteho bodu vychaacuteziacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu a směřujiacute od niacute (obr 22)

bull Uacutedolniacute křivka neboli uacutedolnice ndash do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute opět majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu (obr 23)

3

2

1

0

0

1

2

3

Obraacutezek 22 Obraacutezek 23 Na topografickyacutech plochaacutech se takeacute naleacutezajiacute vyacuteznamneacute křivky ktereacute spaacutedoveacute nejsou Spojeniacutem bodů lomu na sousedniacutech vrstevniciacutech vznikne jedna z křivek

bull Hřbetniacute křivka neboli hřbetnice ndash v tereacutenu se jeviacute jako hrana Z každeacuteho bodu hřbetnice vychaacutezejiacute dvě různeacute spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 24)

bull Osa uacutedolniacuteho koryta ndash v tereacutenu se jeviacute jako ostryacute zaacuteřez Do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 25)

3

2

1

0

3

2

1

0

Obraacutezek 24 Obraacutezek 25 Kresleno podle Setzer [1] obr 58 str 71

11

Na topografickyacutech plochaacutech se nachaacuteziacute některeacute vyacuteznamneacute body Jsou to takoveacute body plochy v nichž je tečnaacute rovina plochy vodorovnaacute

bull Vrchol ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice menšiacute koacutety než maacute vrchol Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute maximum nadmořskeacute vyacutešky V praxi se obvykle pojem vrchol použiacutevaacute pro body s určitou vyacuteznamnostiacute např nejvyššiacute bod pohořiacute

bull Důl ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice vyššiacute koacutety Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute minimum nadmořskeacute vyacutešky

bull Sedlovyacute neboli uzlovyacute bod ndash protiacutenajiacute se v něm vrstevnice o stejneacute koacutetě a rozděluje plochu na 4 čaacutesti Dvě protějšiacute čaacutesti majiacute vrstevnice o vyššiacutech a dvě o nižšiacutech koacutetaacutech než maacute sedlovyacute bod

2 12

2

1

2 433

4

6

78

9

7

8

6

7

Obraacutezek 26 Vrchol Obraacutezek 27 Důl Obraacutezek 28 Sedlovyacute bod Na topografickyacutech plochaacutech nebo na jejich čaacutestech se vyskytujiacute speciaacutelniacute tvary ploch

bull Plochu v okoliacute hřbetnice nazyacutevaacuteme hřbet plochu v okoliacute uacutedolnice uacutedoliacute bull Čaacutest plochy v bliacutezkosti vrcholu se nazyacutevaacute kupa (obr 29) bull Okoliacute dolu vytvaacuteřiacute na ploše prohlubeninu (obr 29) bull V bliacutezkosti sedloveacuteho bodu vytvaacuteřiacute plocha tzv sedlo (obr 29) bull Plošinou nazveme takovou čaacutest plochy jiacutež se dotyacutekaacute vodorovnaacute tečnaacute rovina podeacutel

plochy (popř teacuteměř vodorovnou čaacutest topografickeacute plochy) v jejiacutemž okoliacute majiacute vrstevnice menšiacute vyacuteškoveacute koacutety (obr 29)

bull Na obraacutezku 29 je znaacutezorněn takeacute tzv spočinek kteryacute vznikaacute v miacutestech kde hřbetnice přechaacuteziacute do značně miacuternějšiacuteho sklonu (do 2deg) a před začaacutetkem a po ukončeniacute spočinku maacute většiacute spaacuted

spočinek

kupa

prohlubenina

plošina

sedlo

Obraacutezek 29

12

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Na obraacutezku 17 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby zadaacuteniacute roviny

a) Stupňovanaacute spaacutedovaacute přiacutemka jednoznačně určuje rovinu Hlavniacute přiacutemky jsou kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku a jejich koacuteta je shodnaacute s koacutetou bodu na spaacutedoveacute přiacutemce kteryacutem hlavniacute přiacutemka prochaacuteziacute

b) Rovina je zadaacutena dvěma hlavniacutemi přiacutemkami Každaacute kolmice k průmětům těchto hlavniacutech přiacutemek je průmětem spaacutedoveacute přiacutemky na ktereacute znaacuteme dva jejiacute body

c) Je-li zadaacutena stupňovanaacute přiacutemka p ležiacuteciacute v hledaneacute rovině a spaacutedovaacute přiacutemka nebo směr spaacutedoveacute přiacutemky budou hlavniacute přiacutemky kolmeacute na spaacutedovou přiacutemku respektive jejiacute směr a průsečiacutek s přiacutemkou p určiacute jejich koacutetu

d) Dalšiacute možnostiacute je zadat rovinu dvěma přiacutemkami z nichž ani jedna neniacute hlavniacute Jsou-li obě tyto přiacutemky vystupňovaneacute hlavniacute přiacutemky nalezneme jako spojnice bodů o stejnyacutech koacutetaacutech Na obraacutezku d) znaacuteme na přiacutemce q pouze jeden jejiacute bod Na přiacutemce p nalezneme bod s touto koacutetou a ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek

e) Rovina může byacutet zadaacutena takeacute jednou hlavniacute přiacutemkou a bodem roviny kteryacute na teacuteto hlavniacute přiacutemce neležiacute Kolmice na zadanou hlavniacute přiacutemku prochaacutezejiacuteciacute zadanyacutem bodem je spaacutedovaacute přiacutemka na ktereacute znaacuteme dva body a snadno lze dourčit jejiacute stupňovaacuteniacute

f) Tři body ktereacute neležiacute v přiacutemce takeacute určujiacute jednoznačně rovinu jejiacutež hlavniacute přiacutemky ziacuteskaacuteme tak že spojiacuteme bod s nejmenšiacute a největšiacute koacutetou Na teacuteto spojnici nalezneme bod o koacutetě shodneacute s koacutetou třetiacuteho bodu čiacutemž ziacuteskaacuteme směr hlavniacutech přiacutemek roviny

43

42

44

45

s

42

43

44

s

45

42

43

44

s

45

p

43

42

43

44

45

43

42

44

45

43

42

44

45

p q

42

43

44

s

45

435

A(425)

42

43

44

45

A(45)

C(43)

B(42)

43

44

a) b) c)

d) e) f)

Obraacutezek 17 Různaacute zadaacuteniacute roviny

9

Kapitola 2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti Topografickaacute plocha (řecky topo = miacutesta se tyacutekajiacuteciacute topografie = miacutestopis) je tvořena čaacutestiacute zjednodušeneacuteho zemskeacuteho povrchu z tohoto důvodu ji takeacute nazyacutevaacuteme plochou tereacutenu Nemaacute předepsanyacute vyacutetvarnyacute zaacutekon proto naacuteležiacute mezi grafickeacute neboli empirickeacute plochy Pokud zobrazovanaacute topografickaacute plocha nepřesahuje 200 km2 zobrazujeme ji v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute na vodorovnou průmětnu kterou tvořiacute vhodně prodlouženaacute mořskaacute hladina kterou lze na takto maleacute ploše považovat za rovinu Zobrazovaacuteniacutem většiacutech čaacutestiacute zemskeacuteho povrchu se zabyacutevaacute kartografie Zobrazovanou čaacutest zemskeacuteho povrchu protiacutenaacuteme ekvidistantniacutemi rovinami tj vodorovnyacutemi rovinami ktereacute jsou vzdaacuteleny o tuteacutež deacutelku ndash ekvidistanci Řezy ekvidistantniacutech (neboli vrstevniacutech) rovin s plochou tvořiacute vrstevniacute (teacutež vrstevnicoveacute) křivky Rozlišujeme vrstevniacute křivky nachaacutezejiacuteciacute se nad průmětnou tzv vyacuteškoveacute křivky (isohypsy) a křivky pod průmětnou nazyacutevaneacute hloubkoveacute křivky (isobaty)

e

π

0

1

2

e

Obraacutezek 21

Pravouacutehleacute průměty těchto křivek do průmětny π pak nazveme vrstevnicemi Vrstevnice se opatřujiacute přiacuteslušnou koacutetou přičemž průmětna π maacute koacutetu 0 Topografickaacute plocha je určena vrstevnicovyacutem plaacutenem tj soustavou koacutetovanyacutech vrstevnic Mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi neniacute plocha určena Potřebujeme-li určit přesněji tvar plochy musiacuteme zmenšit ekvidistanci Cvičeniacute 21 Na obraacutezku 21 nalezněte vrstevniacute křivky a určete zda se jednaacute o isohypsy nebo o isobaty Kde jsou na obraacutezku 21 znaacutezorněny vrstevnice Dalšiacutemi vyacuteznamnyacutemi křivkami topografickeacute plochy jsou tzv spaacutedoveacute křivky (jejich pravouacutehleacute průměty do π nazyacutevaacuteme spaacutednice) ktereacute majiacute tu vlastnost že protiacutenajiacute kolmo všechny vrstevnicoveacute křivky respektive vrstevnice plochy

10

Na topografickyacutech plochaacutech můžeme naleacutezt zvlaacuteštniacute přiacutepady spaacutedovyacutech křivek

bull Hřebenovaacute neboli uacutebočniacute křivka ndash z každeacuteho jejiacuteho bodu vychaacuteziacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu a směřujiacute od niacute (obr 22)

bull Uacutedolniacute křivka neboli uacutedolnice ndash do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute opět majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu (obr 23)

3

2

1

0

0

1

2

3

Obraacutezek 22 Obraacutezek 23 Na topografickyacutech plochaacutech se takeacute naleacutezajiacute vyacuteznamneacute křivky ktereacute spaacutedoveacute nejsou Spojeniacutem bodů lomu na sousedniacutech vrstevniciacutech vznikne jedna z křivek

bull Hřbetniacute křivka neboli hřbetnice ndash v tereacutenu se jeviacute jako hrana Z každeacuteho bodu hřbetnice vychaacutezejiacute dvě různeacute spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 24)

bull Osa uacutedolniacuteho koryta ndash v tereacutenu se jeviacute jako ostryacute zaacuteřez Do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 25)

3

2

1

0

3

2

1

0

Obraacutezek 24 Obraacutezek 25 Kresleno podle Setzer [1] obr 58 str 71

11

Na topografickyacutech plochaacutech se nachaacuteziacute některeacute vyacuteznamneacute body Jsou to takoveacute body plochy v nichž je tečnaacute rovina plochy vodorovnaacute

bull Vrchol ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice menšiacute koacutety než maacute vrchol Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute maximum nadmořskeacute vyacutešky V praxi se obvykle pojem vrchol použiacutevaacute pro body s určitou vyacuteznamnostiacute např nejvyššiacute bod pohořiacute

bull Důl ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice vyššiacute koacutety Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute minimum nadmořskeacute vyacutešky

bull Sedlovyacute neboli uzlovyacute bod ndash protiacutenajiacute se v něm vrstevnice o stejneacute koacutetě a rozděluje plochu na 4 čaacutesti Dvě protějšiacute čaacutesti majiacute vrstevnice o vyššiacutech a dvě o nižšiacutech koacutetaacutech než maacute sedlovyacute bod

2 12

2

1

2 433

4

6

78

9

7

8

6

7

Obraacutezek 26 Vrchol Obraacutezek 27 Důl Obraacutezek 28 Sedlovyacute bod Na topografickyacutech plochaacutech nebo na jejich čaacutestech se vyskytujiacute speciaacutelniacute tvary ploch

bull Plochu v okoliacute hřbetnice nazyacutevaacuteme hřbet plochu v okoliacute uacutedolnice uacutedoliacute bull Čaacutest plochy v bliacutezkosti vrcholu se nazyacutevaacute kupa (obr 29) bull Okoliacute dolu vytvaacuteřiacute na ploše prohlubeninu (obr 29) bull V bliacutezkosti sedloveacuteho bodu vytvaacuteřiacute plocha tzv sedlo (obr 29) bull Plošinou nazveme takovou čaacutest plochy jiacutež se dotyacutekaacute vodorovnaacute tečnaacute rovina podeacutel

plochy (popř teacuteměř vodorovnou čaacutest topografickeacute plochy) v jejiacutemž okoliacute majiacute vrstevnice menšiacute vyacuteškoveacute koacutety (obr 29)

bull Na obraacutezku 29 je znaacutezorněn takeacute tzv spočinek kteryacute vznikaacute v miacutestech kde hřbetnice přechaacuteziacute do značně miacuternějšiacuteho sklonu (do 2deg) a před začaacutetkem a po ukončeniacute spočinku maacute většiacute spaacuted

spočinek

kupa

prohlubenina

plošina

sedlo

Obraacutezek 29

12

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Kapitola 2 Topografickaacute plocha a jejiacute čaacutesti Topografickaacute plocha (řecky topo = miacutesta se tyacutekajiacuteciacute topografie = miacutestopis) je tvořena čaacutestiacute zjednodušeneacuteho zemskeacuteho povrchu z tohoto důvodu ji takeacute nazyacutevaacuteme plochou tereacutenu Nemaacute předepsanyacute vyacutetvarnyacute zaacutekon proto naacuteležiacute mezi grafickeacute neboli empirickeacute plochy Pokud zobrazovanaacute topografickaacute plocha nepřesahuje 200 km2 zobrazujeme ji v koacutetovaneacutem promiacutetaacuteniacute na vodorovnou průmětnu kterou tvořiacute vhodně prodlouženaacute mořskaacute hladina kterou lze na takto maleacute ploše považovat za rovinu Zobrazovaacuteniacutem většiacutech čaacutestiacute zemskeacuteho povrchu se zabyacutevaacute kartografie Zobrazovanou čaacutest zemskeacuteho povrchu protiacutenaacuteme ekvidistantniacutemi rovinami tj vodorovnyacutemi rovinami ktereacute jsou vzdaacuteleny o tuteacutež deacutelku ndash ekvidistanci Řezy ekvidistantniacutech (neboli vrstevniacutech) rovin s plochou tvořiacute vrstevniacute (teacutež vrstevnicoveacute) křivky Rozlišujeme vrstevniacute křivky nachaacutezejiacuteciacute se nad průmětnou tzv vyacuteškoveacute křivky (isohypsy) a křivky pod průmětnou nazyacutevaneacute hloubkoveacute křivky (isobaty)

e

π

0

1

2

e

Obraacutezek 21

Pravouacutehleacute průměty těchto křivek do průmětny π pak nazveme vrstevnicemi Vrstevnice se opatřujiacute přiacuteslušnou koacutetou přičemž průmětna π maacute koacutetu 0 Topografickaacute plocha je určena vrstevnicovyacutem plaacutenem tj soustavou koacutetovanyacutech vrstevnic Mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi neniacute plocha určena Potřebujeme-li určit přesněji tvar plochy musiacuteme zmenšit ekvidistanci Cvičeniacute 21 Na obraacutezku 21 nalezněte vrstevniacute křivky a určete zda se jednaacute o isohypsy nebo o isobaty Kde jsou na obraacutezku 21 znaacutezorněny vrstevnice Dalšiacutemi vyacuteznamnyacutemi křivkami topografickeacute plochy jsou tzv spaacutedoveacute křivky (jejich pravouacutehleacute průměty do π nazyacutevaacuteme spaacutednice) ktereacute majiacute tu vlastnost že protiacutenajiacute kolmo všechny vrstevnicoveacute křivky respektive vrstevnice plochy

10

Na topografickyacutech plochaacutech můžeme naleacutezt zvlaacuteštniacute přiacutepady spaacutedovyacutech křivek

bull Hřebenovaacute neboli uacutebočniacute křivka ndash z každeacuteho jejiacuteho bodu vychaacuteziacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu a směřujiacute od niacute (obr 22)

bull Uacutedolniacute křivka neboli uacutedolnice ndash do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute opět majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu (obr 23)

3

2

1

0

0

1

2

3

Obraacutezek 22 Obraacutezek 23 Na topografickyacutech plochaacutech se takeacute naleacutezajiacute vyacuteznamneacute křivky ktereacute spaacutedoveacute nejsou Spojeniacutem bodů lomu na sousedniacutech vrstevniciacutech vznikne jedna z křivek

bull Hřbetniacute křivka neboli hřbetnice ndash v tereacutenu se jeviacute jako hrana Z každeacuteho bodu hřbetnice vychaacutezejiacute dvě různeacute spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 24)

bull Osa uacutedolniacuteho koryta ndash v tereacutenu se jeviacute jako ostryacute zaacuteřez Do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 25)

3

2

1

0

3

2

1

0

Obraacutezek 24 Obraacutezek 25 Kresleno podle Setzer [1] obr 58 str 71

11

Na topografickyacutech plochaacutech se nachaacuteziacute některeacute vyacuteznamneacute body Jsou to takoveacute body plochy v nichž je tečnaacute rovina plochy vodorovnaacute

bull Vrchol ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice menšiacute koacutety než maacute vrchol Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute maximum nadmořskeacute vyacutešky V praxi se obvykle pojem vrchol použiacutevaacute pro body s určitou vyacuteznamnostiacute např nejvyššiacute bod pohořiacute

bull Důl ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice vyššiacute koacutety Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute minimum nadmořskeacute vyacutešky

bull Sedlovyacute neboli uzlovyacute bod ndash protiacutenajiacute se v něm vrstevnice o stejneacute koacutetě a rozděluje plochu na 4 čaacutesti Dvě protějšiacute čaacutesti majiacute vrstevnice o vyššiacutech a dvě o nižšiacutech koacutetaacutech než maacute sedlovyacute bod

2 12

2

1

2 433

4

6

78

9

7

8

6

7

Obraacutezek 26 Vrchol Obraacutezek 27 Důl Obraacutezek 28 Sedlovyacute bod Na topografickyacutech plochaacutech nebo na jejich čaacutestech se vyskytujiacute speciaacutelniacute tvary ploch

bull Plochu v okoliacute hřbetnice nazyacutevaacuteme hřbet plochu v okoliacute uacutedolnice uacutedoliacute bull Čaacutest plochy v bliacutezkosti vrcholu se nazyacutevaacute kupa (obr 29) bull Okoliacute dolu vytvaacuteřiacute na ploše prohlubeninu (obr 29) bull V bliacutezkosti sedloveacuteho bodu vytvaacuteřiacute plocha tzv sedlo (obr 29) bull Plošinou nazveme takovou čaacutest plochy jiacutež se dotyacutekaacute vodorovnaacute tečnaacute rovina podeacutel

plochy (popř teacuteměř vodorovnou čaacutest topografickeacute plochy) v jejiacutemž okoliacute majiacute vrstevnice menšiacute vyacuteškoveacute koacutety (obr 29)

bull Na obraacutezku 29 je znaacutezorněn takeacute tzv spočinek kteryacute vznikaacute v miacutestech kde hřbetnice přechaacuteziacute do značně miacuternějšiacuteho sklonu (do 2deg) a před začaacutetkem a po ukončeniacute spočinku maacute většiacute spaacuted

spočinek

kupa

prohlubenina

plošina

sedlo

Obraacutezek 29

12

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Na topografickyacutech plochaacutech můžeme naleacutezt zvlaacuteštniacute přiacutepady spaacutedovyacutech křivek

bull Hřebenovaacute neboli uacutebočniacute křivka ndash z každeacuteho jejiacuteho bodu vychaacuteziacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu a směřujiacute od niacute (obr 22)

bull Uacutedolniacute křivka neboli uacutedolnice ndash do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute opět majiacute v tomto bodě s křivkou společnou tečnu (obr 23)

3

2

1

0

0

1

2

3

Obraacutezek 22 Obraacutezek 23 Na topografickyacutech plochaacutech se takeacute naleacutezajiacute vyacuteznamneacute křivky ktereacute spaacutedoveacute nejsou Spojeniacutem bodů lomu na sousedniacutech vrstevniciacutech vznikne jedna z křivek

bull Hřbetniacute křivka neboli hřbetnice ndash v tereacutenu se jeviacute jako hrana Z každeacuteho bodu hřbetnice vychaacutezejiacute dvě různeacute spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 24)

bull Osa uacutedolniacuteho koryta ndash v tereacutenu se jeviacute jako ostryacute zaacuteřez Do každeacuteho jejiacuteho bodu uacutestiacute dvě spaacutednice ktereacute majiacute v tomto bodě různeacute tečny (obr 25)

3

2

1

0

3

2

1

0

Obraacutezek 24 Obraacutezek 25 Kresleno podle Setzer [1] obr 58 str 71

11

Na topografickyacutech plochaacutech se nachaacuteziacute některeacute vyacuteznamneacute body Jsou to takoveacute body plochy v nichž je tečnaacute rovina plochy vodorovnaacute

bull Vrchol ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice menšiacute koacutety než maacute vrchol Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute maximum nadmořskeacute vyacutešky V praxi se obvykle pojem vrchol použiacutevaacute pro body s určitou vyacuteznamnostiacute např nejvyššiacute bod pohořiacute

bull Důl ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice vyššiacute koacutety Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute minimum nadmořskeacute vyacutešky

bull Sedlovyacute neboli uzlovyacute bod ndash protiacutenajiacute se v něm vrstevnice o stejneacute koacutetě a rozděluje plochu na 4 čaacutesti Dvě protějšiacute čaacutesti majiacute vrstevnice o vyššiacutech a dvě o nižšiacutech koacutetaacutech než maacute sedlovyacute bod

2 12

2

1

2 433

4

6

78

9

7

8

6

7

Obraacutezek 26 Vrchol Obraacutezek 27 Důl Obraacutezek 28 Sedlovyacute bod Na topografickyacutech plochaacutech nebo na jejich čaacutestech se vyskytujiacute speciaacutelniacute tvary ploch

bull Plochu v okoliacute hřbetnice nazyacutevaacuteme hřbet plochu v okoliacute uacutedolnice uacutedoliacute bull Čaacutest plochy v bliacutezkosti vrcholu se nazyacutevaacute kupa (obr 29) bull Okoliacute dolu vytvaacuteřiacute na ploše prohlubeninu (obr 29) bull V bliacutezkosti sedloveacuteho bodu vytvaacuteřiacute plocha tzv sedlo (obr 29) bull Plošinou nazveme takovou čaacutest plochy jiacutež se dotyacutekaacute vodorovnaacute tečnaacute rovina podeacutel

plochy (popř teacuteměř vodorovnou čaacutest topografickeacute plochy) v jejiacutemž okoliacute majiacute vrstevnice menšiacute vyacuteškoveacute koacutety (obr 29)

bull Na obraacutezku 29 je znaacutezorněn takeacute tzv spočinek kteryacute vznikaacute v miacutestech kde hřbetnice přechaacuteziacute do značně miacuternějšiacuteho sklonu (do 2deg) a před začaacutetkem a po ukončeniacute spočinku maacute většiacute spaacuted

spočinek

kupa

prohlubenina

plošina

sedlo

Obraacutezek 29

12

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Na topografickyacutech plochaacutech se nachaacuteziacute některeacute vyacuteznamneacute body Jsou to takoveacute body plochy v nichž je tečnaacute rovina plochy vodorovnaacute

bull Vrchol ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice menšiacute koacutety než maacute vrchol Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute maximum nadmořskeacute vyacutešky V praxi se obvykle pojem vrchol použiacutevaacute pro body s určitou vyacuteznamnostiacute např nejvyššiacute bod pohořiacute

bull Důl ndash bod v jehož vhodně zvoleneacutem okoliacute majiacute všechny vrstevnice vyššiacute koacutety Matematicky se jednaacute o lokaacutelniacute minimum nadmořskeacute vyacutešky

bull Sedlovyacute neboli uzlovyacute bod ndash protiacutenajiacute se v něm vrstevnice o stejneacute koacutetě a rozděluje plochu na 4 čaacutesti Dvě protějšiacute čaacutesti majiacute vrstevnice o vyššiacutech a dvě o nižšiacutech koacutetaacutech než maacute sedlovyacute bod

2 12

2

1

2 433

4

6

78

9

7

8

6

7

Obraacutezek 26 Vrchol Obraacutezek 27 Důl Obraacutezek 28 Sedlovyacute bod Na topografickyacutech plochaacutech nebo na jejich čaacutestech se vyskytujiacute speciaacutelniacute tvary ploch

bull Plochu v okoliacute hřbetnice nazyacutevaacuteme hřbet plochu v okoliacute uacutedolnice uacutedoliacute bull Čaacutest plochy v bliacutezkosti vrcholu se nazyacutevaacute kupa (obr 29) bull Okoliacute dolu vytvaacuteřiacute na ploše prohlubeninu (obr 29) bull V bliacutezkosti sedloveacuteho bodu vytvaacuteřiacute plocha tzv sedlo (obr 29) bull Plošinou nazveme takovou čaacutest plochy jiacutež se dotyacutekaacute vodorovnaacute tečnaacute rovina podeacutel

plochy (popř teacuteměř vodorovnou čaacutest topografickeacute plochy) v jejiacutemž okoliacute majiacute vrstevnice menšiacute vyacuteškoveacute koacutety (obr 29)

bull Na obraacutezku 29 je znaacutezorněn takeacute tzv spočinek kteryacute vznikaacute v miacutestech kde hřbetnice přechaacuteziacute do značně miacuternějšiacuteho sklonu (do 2deg) a před začaacutetkem a po ukončeniacute spočinku maacute většiacute spaacuted

spočinek

kupa

prohlubenina

plošina

sedlo

Obraacutezek 29

12

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

bull Jestliže se vodorovnaacute tečnaacute rovina dotyacutekaacute plochy v uzavřeneacute křivce k a uvnitř křivky

maacute plocha prohlubeninu tak jako na obraacutezku 210 nazyacutevaacuteme tuto čaacutest plochy kraacuteterem a křivku k kraacuteterovou křivkou

bull Body tzv svisleacute stěny majiacute svislou tečnou rovinu Svislaacute stěna je ve vrstevnicoveacutem plaacutenu vždy tam kde splyacutevajiacute vrstevnice s různyacutemi koacutetami (obr 211)

bull Čaacutest plochy ve ktereacute se křiacutežiacute vrstevnice (nikoli vrstevniacute křivky) nazveme převisem Převis je znaacutezorněn na obraacutezku 212

54

55

55

54

k

Obraacutezek 210 Kraacuteter

3 6

3 5

3 4

3 3

3 7

3 63 5

3 43 3

73 7475

76

76

75

74

73

Obraacutezek 211 Svislaacute stěna Obraacutezek 212 Převis Kresleno podle obraacutezků Draacutebek a kol [2] str 120-121

13

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Kapitola 3 Konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu V praxi se často vyskytuje uacuteloha sestrojit vrstevnicovyacute plaacuten z určiteacuteho množstviacute polohově a vyacuteškově zaměřenyacutech bodů Při konstrukci vrstevnicoveacuteho plaacutenu se využiacutevaacute předpokladu lineaacuterniacuteho průběhu mezi dvěma sousedniacutemi vrstevnicemi Sestrojme promiacutetaciacute rovinu σ kteraacute je bdquoteacuteměř kolmaacuteldquo na 2 sousedniacute vrstevnice a protiacutenaacute je v bodech M N Pro praktickeacute zjednodušeniacute konstrukciacute na topografickyacutech plochaacutech budeme předpoklaacutedat že uacutesečka MN ležiacute celaacute na topografickeacute ploše (plyne z Draacutebek [2] str 114)

4

N 3

σ

M

5

3M

N

σ

4

Obraacutezek 31 Lineaacuterniacute průběh mezi dvěma vrstevnicemi S využitiacutem tohoto předpokladu snadno sestrojiacuteme některeacute body vrstevnice Na obraacutezku 32 vlevo je znaacutezorněna konstrukce bodu o koacutetě 8 kteryacute ležiacute na spojnici bodů o koacutetaacutech 774 respektive 838 Desetinnaacute čaacuterka oddělujiacuteciacute metry od decimetrů je nahrazena tečkou kteraacute svou polohou určuje zaacuteroveň půdorys přiacuteslušneacuteho bodu

7 74

8 38

7 63

8 08

7 91

8 13 8 27

8

26

38

Obraacutezek 32

Svislou promiacutetaciacute rovinu obou bodů sklopiacuteme do vrstevniacute roviny o koacutetě 8 Průsečiacutek spojnice bodů sklopenyacutech (podle předpokladu uacutesečka) a spojnice půdorysů těchto bodů je půdorys hledaneacuteho bodu Tento bod maacute koacutetu 8 Stejnou konstrukci použijeme na dalšiacute znaacutemeacute body čiacutemž dostaneme dalšiacute body vrstevnice Je zřejmeacute že čiacutem většiacute počet bodů sestrojiacuteme tiacutem přesnějšiacute tvar vrstevnice ziacuteskaacuteme

14

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

V některyacutech přiacutepadech naacutem nepostačiacute danaacute hustota vrstevnic (tzn sousedniacute vrstevnice jsou daleko od sebe) na vrstevnicoveacutem plaacutenu V takoveacute situaci můžeme mezi již zakresleneacute vrstevnice vložit neboli interpolovat jednu či viacutece vrstevnic Mezi vrstevnicemi však neniacute plocha dostatečně určena proto jsou všechny metody interpolace pouze přibližneacute Body interkalaacuterniacute neboli vloženeacute vrstevnice ziacuteskaacuteme půleniacutem přiacuteček bdquopřibližně kolmyacutechldquo zaacuteroveň k oběma sousedniacutem vrstevniciacutem Přiacutečky nemusiacuteme jen půlit ale můžeme je dělit na libovolneacute diacutely Na obraacutezku 33 vpravo jsou přiacutečky např děleny na čtvrtiny

12

12

20

10

15

175

12514

14

14

14

Obraacutezek 33

Ve speciaacutelniacutem přiacutepadě lze použiacutet metodu interpolace kterou uvaacutediacute Draacutebek [2] str 115 Jestliže jsou daneacute sousedniacute vrstevnice teacuteměř bdquorovnoběžneacuteldquo (ekvidistantniacute) pak na proužek papiacuteru vyznačiacuteme uacutesečku AB rovnou vzdaacutelenosti sousedniacutech vrstevnic a rozděliacuteme ji na požadovanyacute počet diacutelků Na obraacutezku 34 je zvolen bod S jako střed uacutesečky AB Pohybujeme-li krajniacutemi body A B po přiacuteslušnyacutech vrstevniciacutech bod S se pohybuje po vloženeacute vrstevnici

A

B

A

B

A

B

S

S S

7

75

8

0

121

122

C=12171

Obraacutezek 34 Obraacutezek 35 Miacutesto proužku papiacuteru lze s vyacutehodou využiacutet měřiacutetko S použitiacutem měřiacutetka lze odhadovat koacutetu bodu ležiacuteciacuteho na topografickeacute ploše což je znaacutezorněno na obraacutezku 35

15

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 31 Sestrojte a) vrstevnici o koacutetě 5

4 92

4 99

5 03

4 885 10

5 06

4 97

4 95

16

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

b) vrstevnici o koacutetě 21

21 57

21 33

20 16

20 44

20 79

20 86

20 98

20 52

c) vrstevnici o koacutetě 15

15 0215 07

15 06

14

17

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 32 a) Sestrojte vrstevnicovyacute plaacuten kde S je sedlovyacute bod Zvolte vhodnou ekvidistanci

S = 707 50

710 54

709 77

708 26

709 43

706 97

707 15 707 58

705 69

706 02

710 47

710 22

709 38

708 91

709 69

708 88 708 10

707 07

709 70

708 94

707 26

706 59 707 63

708 28

709 00

706 11707 77

b) Do vrstevnicoveacuteho plaacutenu doplňte vrstevnici o koacutetě 7075 Cvičeniacute 33 Určete přibližneacute koacutety bodů A B

32 66

B

A30

20 18

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 34 Vložte a) vrstevnici 110 b) vrstevnice 125 a 15 Použijte a porovnejte obě metody interpolace

100

120

175

1

c) vrstevnici 255 d) vrstevnici 11 kde zadanyacute bod je vrcholem plochy

2 5

26

10

11 32

Cvičeniacute 35 Naryacutesujte vrstevnici o koacutetě 152

15 36

15 07

15 61

14 80

19

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Kapitola 4 Měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu Vzhledem k velikosti naacutekresny se kresliacute vrstevnicovyacute plaacuten v určiteacutem měřiacutetku Poměr zmenšeniacute 1 M udaacutevaacute v jakeacutem poměru je uacutesečka d na mapě (vrstevnicoveacutem plaacutenu) k odpoviacutedajiacuteciacute uacutesečce D v tereacutenu Na mapaacutech se často vedle čiacuteselneacuteho měřiacutetka setkaacutevaacuteme i s grafickyacutem měřiacutetkem Pokud se přenesou tyto diacutelky na papiacuterovyacute proužek lze pomociacute tohoto proužku poměrně přesně měřit vzdaacutelenosti na mapě (čiacuteselneacute měřiacutetko je znaacutezorněno na obraacutezku 41 vpravo grafickeacute pak vlevo)

1 25000

0 km 1 2 3

Obraacutezek 41 Grafickeacute a čiacuteselneacute měřiacutetko

POZOR Je potřeba rozlišovat zmenšeniacute deacutelek tzv lineaacuterniacute zmenšeniacute od plošneacuteho zmenšeniacute tj poměr obsahu p rovinneacuteho obrazce na mapě k jeho skutečneacute velikosti P v tereacutenu kteryacute je roven poměru 1 M2 Přiacuteklad Na mapě s měřiacutetkem 1100 (tedy M=100) jsme naměřili deacutelky stran obdeacutelniacuteka 2cm a 3cm Ve skutečnosti měřiacute strana obdeacutelniacuteka 2sdot100 tedy 200cm respektive 3sdot100 = 300cm Spočiacutetaacuteme-li plošnyacute obsah skutečneacuteho obdeacutelniacuteka kteryacute je roven 60000cm2 a porovnaacuteme-li ho s obsahem obdeacutelniacuteka na mapě dostaneme poměr 660000 po upraveniacute 110000 a to je praacutevě plošnyacute poměr zmenšeniacute 1 M2 Cvičeniacute 41 Určete skutečnou deacutelku jestliže na mapě s měřiacutetkem 11000 maacute uacutesečka deacutelku a) 30cm b) 01cm c) 1m a 36cm d) 25dm Cvičeniacute 42 Určete v metrech skutečnou deacutelku uacutesečky kteraacute maacute na mapě s měřiacutetkem 1250 deacutelku a) 2cm b) 420mm c) 1m a 15cm d) 02sdot10-2 dm Cvičeniacute 43 Jakou deacutelku bude miacutet uacutesečka na mapě s měřiacutetkem 14000 jestliže ve skutečnosti maacute deacutelku a) 12km b) 20m c) 1km a 360m d) 150m a 1400cm vyacutesledek uveďte v mm Cvičeniacute 44 Určete poměr a b c jestliže jsme změřili uacutesečku a = 21cm na mapě s měřiacutetkem 1500 uacutesečku b = 18m na mapě s měřiacutetkem 125 a uacutesečku c = 75mm na mapě s měřiacutetkem 18000 Cvičeniacute 45 Na mapě s měřiacutetkem 1700 jsme změřili uacutesečku AB=48cm Jakou deacutelku bude miacutet tataacutež uacutesečka AB na mapě s měřiacutetkem 1400

20

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 46 Měřiacutetko mapy je 1 M Určete podle grafickeacuteho měřiacutetka M

0 m 500 10001 M

Cvičeniacute 47 Každyacute z trojuacutehelniacuteků je znaacutezorněn na jineacute mapě Měřiacutetko přiacuteslušneacute mapy je uvedeno u trojuacutehelniacuteku Určete kteryacute z pravouacutehlyacutech trojuacutehelniacuteků maacute ve skutečnosti největšiacute obsah

1 400

1 1000

1 200

21

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Kapitola 5 Křivka konstantniacuteho spaacutedu Než si ukaacutežeme jak sestrojit křivku konstantniacuteho neboli staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše musiacuteme vědět kdy křivka (přiacutemka) ležiacute na ploše

Tvrzeniacute 51 Křivka ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když každyacute jejiacute bod ležiacute na stejně koacutetovaneacute vrstevnici Tvrzeniacute 52 Bod ležiacute na topografickeacute ploše praacutevě tehdy když ležiacute na nějakeacute křivce kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

Křivka staacuteleacuteho spaacutedu na topografickeacute ploše maacute staacuteleacute intervaly Interval i je deacutelka půdorysu uacutesečky jejiacutež krajniacute body na křivce majiacute koacutety lišiacuteciacute se o jednotku

1itg α =

i

α

1

Obraacutezek 51

Chceme-li veacutest danyacutem bodem křivku konstantniacuteho spaacutedu dosadiacuteme tg α do vzorce na obraacutezku 51 čiacutemž zjistiacuteme interval i Průsečiacuteky kružnice se středem v bodě bodě A(6) a poloměrem i s přiacuteslušnou vrstevniciacute označiacuteme B(5) 1B(5) popř 2B(5) hellip V dalšiacutem kroku voliacuteme za střed kružnice jeden z bodů B(5) 1B(5) hellip Poloměr kružnice je staacutele i Takto můžeme pokračovat dokud neprotneme požadovanou vrstevnici nebo do teacute doby než se stane že sestrojenaacute kružnice nemaacute s přiacuteslušnou vrstevniciacute žaacutednyacute průsečiacutek (na obraacutezku 52 z bodu 2C(4)) Křivku staacuteleacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na ploše ziacuteskaacuteme plynulyacutem spojeniacutem bodů A B C D Spojeniacutem těchto bodů uacutesečkami ziacuteskaacuteme lomenou čaacuteru kteraacute tuto křivku aproximuje

6

5

4

3

A(6)

B(5)

1B(5)

C(4)

1C(4)

2C(4)

3C(4)

D(3)

1D(3)

2D(3)

3D(3)

4D(3)

5D(3)

i

i

i

Obraacutezek 52

22

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Druhyacutem typem uacutelohy je daneacute dva body na ploše spojit cestou (křivkou) konstantniacuteho spaacutedu Na obraacutezku 53 je určen bod A jako vyacutechoziacute bod Nejprve zvoliacuteme libovolnyacute interval i1 a vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i1 (viz obr 52) Tato křivka protne vrstevnici na niacutež ležiacute bod B v bodě C Daacutele provedeme tuteacutež konstrukci s většiacutem (popř menšiacutem) intervalem i2 tak aby vzniklyacute bod D kteryacute opět ležiacute na teacuteže vrstevnici jako bod B ležel vpravo pokud bod C ležel vlevo od bodu B a naopak

A

B

16

15

14

13

i 1

i 2

i

C

D

Obraacutezek 53

Hledanyacute interval i lze zkonstruovat naacutesledovně Na osu o naneseme od zvoleneacuteho bodu P (od počaacutetku) intervaly i1 i2 Tiacutem ziacuteskaacuteme body B1 a B2 Na kolmici k ose o naneseme z bodu B1 (B2) nad osu o (pod osu o) chybu CB (DB) kterou odměřiacuteme z vrstevnicoveacuteho plaacutenu a vzniklyacute bod označme C1 (D1) Spojnice bodů C1 D1 je tzv křivka chyb kteraacute naacutem určiacute na ose o bod Bacute (obr 54) Nakonec vedeme z bodu A křivku konstantniacuteho spaacutedu s intervalem i = PBacute což je hledanaacute spojnice bodů A B (obr 53)

P

C1

D1

B1 B2

B

i2

i1

i

o

Obraacutezek 54 Křivka chyb

Tento postup lze použiacutet za předpokladu Když voliacuteme při protnutiacute vrstevnice s koacutetou 14 kruhovyacutem obloukem o poloměrech i1 levyacute průsečiacutek uvažujeme leveacute průsečiacuteky takeacute pro kruhoveacute oblouky s poloměry i2 i atd (viz obr 53) Obě konstrukce nalezneme např v Draacutebek [2] str 121-122

23

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 51 Je daacuten bod A a interval i Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

A5

6

7

8

i

Cvičeniacute 52 Je daacuten bod B a spaacuted křivky tg α = 13 Sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

B

105104

103

101

Cvičeniacute 53 Je daacuten bod C a interval i Navrhněte cestu konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše tak aby nevedla skrz oploceneacute pozemky (na obraacutezku vyšrafovaneacute)

55

54

53

52

C

i

24

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 54 Mezi body A B sestrojte křivku konstantniacuteho spaacutedu ležiacuteciacute na topografickeacute ploše Určete spaacuted křivky a koacutetu vrstevnice v

28

27

26

A

B

v

Cvičeniacute 55 Mezi vrcholem V(18) a bodem A sestrojte křivku staacuteleacuteho spaacutedu kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše

V(18)

A

1

0

-1

Cvičeniacute 56 Sestrojte z bodu M cestu konstantniacuteho spaacutedu ke hřišti ktereacute maacute koacutetu 85 jestliže bod N znaacutezorňuje jedinou laacutevku přes potok

81

M

82

83

84

N

25

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

přiacutečnyacute profil

5

4

3 4

ε1

přiacutečnyacute profil

převyacutešenyacute

Kapitola 6 Přiacutečnyacute profil

Řez topografickeacute plochy svislou rovinou nazyacutevaacuteme přiacutečnyacute řez neboli přiacutečnyacute profil Chceme-li přiacutečnyacute profil sestrojit postupujeme takto Zvoliacuteme svislou rovinu ε Půdorysnaacute stopa ε1 půdorysně promiacutetaciacute roviny ε protne vrstevnice v průmětech bodů A B C D E F (viz obr 61) Daacutele sklopiacuteme rovinu ε V tomto přiacutepadě neniacute vhodneacute sklaacutepět rovinu ε do půdorysny ale otočit ji do vrstevnicoveacute roviny o koacutetě 110 Bod F přejde v otočeniacute do bodu (F) přičemž F(F) = 160 ndash 110 = 50 jednotek přiacuteslušneacuteho měřiacutetka Otočeniacutem bodu E ziacuteskaacuteme (E) bod (D) ziacuteskaacuteme otočeniacutem D atd Bod A zůstaacutevaacute po otočeniacute na miacutestě Spojeniacutem bodů (A) (B) (C) (D) (E) (F) ziacuteskaacuteme přiacutečnyacute profil topografickeacute plochy

160

120

110

130

F 150M

E

(M)(F)

150

140

160

(D)(E)

C

140

D

130 120 110

(C)(B)

A=(A)B

ε1

Obraacutezek 61 Přiacutečnyacute profil

Poznaacutemka 61 Přiacutečnyacute profil je určen jen přibližně Je to daacuteno tiacutem že topografickaacute plocha neniacute na vrstevnicoveacutem plaacutenu mezi vrstevnicemi určena a tedy průsečiacuteky stopy ε1 s vrstevnicemi jsou jedineacute body u nichž znaacuteme vyacuteškoveacute koacutety Poznaacutemka 62 Lze určit přibližneacute koacutety dalšiacutech bodů ležiacuteciacutech na stopě ε1 Z bodu ležiacuteciacuteho na přiacutečneacutem profilu spustiacuteme kolmici na stopu ε1 čiacutemž ziacuteskaacuteme půdorys tohoto bodu Na obraacutezku 61 je tento bod nazvaacuten M Deacutelka uacutesečky (M)M + vyacuteškovaacute koacuteta vrstevnicoveacute roviny do ktereacute jsme sklaacutepěli rovinu ε je rovna vyacuteškoveacute koacutetě bodu M Poznaacutemka 63 U profilů je zvykem pro přehlednost vyšrafovat stranu na ktereacute je tereacuten (půda) čehož si můžete všimnout např na obraacutezku 61

Někdy je přiacutečnyacute profil maacutelo naacutezornyacute v důsledku maleacuteho vyacuteškoveacuteho členěniacute tereacutenu Stoupaacuteniacute a klesaacuteniacute tereacutenu je teacuteměř neznatelneacute V takovyacutech přiacutepadech použiacutevaacuteme tzv převyacutešenyacute profil ve ktereacutem voliacuteme měřiacutetko pro vyacutešky několikanaacutesobně většiacute než je měřiacutetko půdorysu Porovnaacuteniacute převyacutešeneacuteho přiacutečneacuteho profilu s bdquoobyčejnyacutemldquo přiacutečnyacutem profilem je znaacutezorněno na obraacutezku 62 kde je měřiacutetko pro vynaacutešeniacute vyacutešek u převyacutešeneacuteho profilu 10kraacutet většiacute Je důležiteacute si uvědomit že takeacute spaacuted převyacutešeneacuteho profilu se 10kraacutet zvětšil Obraacutezek 62

26

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 61 Sestrojte dvakraacutet převyacutešenyacute přiacutečnyacute profil v daneacutem vrstevnicoveacutem plaacutenu kteryacute maacute měřiacutetko 1100

12

1110 9 9 10 11

124

9

Cvičeniacute 62 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech (pozn Na prvniacutem obraacutezku je vrstevnicovyacute plaacuten vodorovneacute plošiny)

1250

1250

1200

86

87 88

9089

356

358 360

362

12500

1100 1200

27

ε1

ε1 ε1

ε1

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 63 Sestrojte přiacutečneacute profily v danyacutech vrstevnicovyacutech plaacutenech s měřiacutetkem 1100 (poznaacutemka tereacuten tvořiacute tzv sedlo)

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε1ε

116

117

120

118

119

121

118

121

116 117 118

120

119

ε

1ε

28

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Kapitola 7 Průnik topografickyacutech ploch řez topografickeacute plochy rovinou Průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch sestrojujeme bodově Body průnikoveacute křivky jsou průsečiacuteky vrstevnic obou ploch o stejneacute koacutetě Často potřebujeme určit dalšiacute body průnikoveacute křivky Využiacutevaacuteme k tomu interkalaacuterniacute vrstevnice Na obraacutezku 71 je znaacutezorněna křivka k kteraacute je průnikovou křivkou dvou topografickyacutech ploch Pro přehlednost jsou vrstevnice jedneacute plochy znaacutezorněny zeleně a vrstevnice druheacute plochy jsou červeneacute

3

4

5

5

4

3

35

35

k

67

64

64 65 66 67

65

66

68 69

k

Obraacutezek 71 Průnik topografickyacutech ploch Obraacutezek 72 Řez topografickeacute plochy rovinou

Při konstrukci průnikoveacute křivky nejprve nalezneme všechny průsečiacuteky zeleneacute vrstevnice o koacutetě 5 s červenou vrstevniciacute o koacutetě 5 Tyto průsečiacuteky obecně nemusejiacute byacutet praacutevě dva Může nastat situace kdy nemusiacute existovat žaacutednyacute společnyacute bod vrstevnic můžeme naleacutezt jeden společnyacute bod nebo jich může existovat viacutece Postupně hledaacuteme průsečiacuteky vrstevnic o koacutetaacutech 4 3 Je vhodneacute vždy hledat body průnikoveacute křivky systematicky např zmiacuteněnyacute postup od vrstevnic s nejvyššiacute koacutetou k vrstevniciacutem s nejnižšiacute koacutetou Podle potřeby vložiacuteme potřebnyacute počet vrstevnic (na obraacutezku 71 je to vrstevnice o koacutetě 35) Sestrojiacuteme průnikovou křivku k spojeniacutem ziacuteskanyacutech bodů Průnikovaacute křivka se může rozpadnout na viacutece čaacutestiacute Při spojovaacuteniacute bodů si musiacuteme daacutet pozor na to do ktereacute čaacutesti průnikoveacute křivky bod patřiacute Jestliže si uvědomiacuteme že rovina je určena osnovou hlavniacutech přiacutemek ktereacute jsou vrstevnicemi roviny snadno sestrojiacuteme průnikovou křivku roviny a topografickeacute plochy (řez topografickeacute plochy rovinou) Postupujeme naprosto stejnyacutem způsobem jako při hledaacuteniacute průnikoveacute křivky topografickyacutech ploch (viz obraacutezek 72) Konstrukce průnikoveacute křivky roviny a topografickeacute plochy se využiacutevaacute při řešeniacute dalšiacutech uacuteloh jako např průnik přiacutemky s topografickou plochou nebo při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů proto je důležiteacute tuto konstrukci dobře ovlaacutedat

29

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 71 Sestrojte průnikovou křivku dvou topografickyacutech ploch

8(5)5

7

(6)

6

(8)

9

(7)

5

(5)

Poznaacutemka V přiacutekladech jsou koacutety vrstevnic jedneacute z ploch v zaacutevorkaacutech pouze proto aby bylo zřejmeacute ke ktereacute ploše jednotliveacute vrstevnice patřiacute

Cvičeniacute 72 Sestrojte průnikovou křivku topografickyacutech ploch a určete viditelnost ploch

(160) 160140(140)

(150)

170(170)

150

30

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 73 Sestrojte průnikovou křivku topografickeacute plochy a roviny určete viditelnost ploch

20

50

50

40

30

45

35

25

45

Cvičeniacute 74 Na tereacutenu zadaneacutem vrstevnicovyacutem plaacutenem bez zaacutevorek stojiacute domek (šrafovanyacute čtverec) Řez tereacutenu rovinou rozděliacute tereacuten na dvě čaacutesti Majitel domku odstraniacute tu čaacutest tereacutenu na ktereacute se nenachaacuteziacute domek Pak provede řez bdquozbyleacuteholdquo tereacutenu plochou zadanou vrstevnicovyacutem plaacutenem s kulatyacutemi zaacutevorkami a opět odstraniacute čaacutest tereacutenu na ktereacutem nestojiacute domek Zakreslete a barevně zvyacuterazněte popsaneacute bdquotereacutenniacute uacutepravyldquo

3

[3]

4

[4] 5

[6]

[5] 6

[8]

[7]

(4)

87

(5)

(6)

(8)

(7)

31

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Kapitola 8

Podeacutelnyacute profil Křivkou k kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše proložiacuteme svislou vaacutelcovou plochu σ (viz obraacutezek 81) Rozvinutiacute teacuteto plochy σ do roviny ve ktereacutem křivka k přejde v rovinnou křivku k nazveme podeacutelnyacute řez neboli podeacutelnyacute profil podeacutel křivky k Obdržiacuteme naacutezornyacute obraz vyacuteškovyacutech a spaacutedovyacutech poměrů podeacutel křivky k V praxi se často setkaacuteme s podeacutelnyacutemi profily komunikaciacute lyžařskyacutech tratiacute a turistickyacutech nebo cyklistickyacutech stezek Stejně jako u přiacutečneacuteho profilu použiacutevaacuteme i u podeacutelneacuteho profilu tzv převyacutešenyacute profil

110k

100

120130

150140

110100

120

σ

k1

k

130

140

150

Obraacutezek 81

Při rozviacutejeniacute vaacutelcoveacute plochy do roviny použiacutevaacuteme rektifikaci Princip rektifikace je znaacutezorněn na obraacutezku 82 Vhodně dlouheacute čaacutesti křivky k1 nahrazujeme uacutesečkami (jejich tětivami) V bodech A1 B1 C1 D1 vyneseme přiacuteslušneacute vyacutešky (lze převyacutešeneacute) vzhledem k půdorysně nebo jineacute ekvidistantniacute rovině (v obr 82 je zvolena rovina s koacutetou 23)

26

25

24 23

A

B

CD

k

kacute

k1acute

D

D1

C

C1

B

B1 A = A1

26

25

24

23

Obraacutezek 82

32

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

V praxi se často setkaacutevaacuteme s podeacutelnyacutem profilem v turistickyacutech nebo cyklistickyacutech mapaacutech nebo průvodciacutech Na obraacutezku 83 je znaacutezorněna mapa cyklistickeacuteho okruhu v okoliacute Kvildy na Šumavě a podeacutelnyacute profil trasy

Obraacutezek 83 Obraacutezek 83 je stažen z internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet

33

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 81 Při rektifikaci rozdělte křivku ležiacuteciacute v rovině a) na 4 čaacutesti b) na 7 čaacutestiacute Porovnejte oba vyacutesledky

Cvičeniacute 82 Rektifikujte křivku v rovině pomociacute třiacute přibližně stejnyacutech čaacutestiacute ktereacute jsou naznačeny v zadaacuteniacute Daacutele proveďte rektifikaci rozděleniacutem křivky na tři vhodněji zvoleneacute (nestejně velkeacute) čaacutesti a oba vyacutesledky porovnejte

Cvičeniacute 83 S využitiacutem rektifikace určete deacutelku zaacutevodniacuteho okruhu kteryacute celyacute ležiacute ve vodorovneacute rovině

Poznaacutemka Jednaacute se o zaacutevodniacute okruh Hungaroring v maďarskeacute Budapešti kde se jezdiacute napřiacuteklad zaacutevody formule 1 Měřiacutetko 114 000

34

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 84 Sestrojte podeacutelneacute profily turistickyacutech stezek z hotelu na rozhlednu na vrcholu

650600

550

500

450

400350

300

500

550

400

450

400

400

400

35

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Kapitola 9

Tečnaacute rovina topografickeacute plochy Definice Předpoklaacutedejme že přiacutemka s protiacutenaacute plochu χ ve dvou různyacutech bodech T U je tedy sečnou plochy (obraacutezek 91) Pohybuje-li se sečna TU tak že bod U splyne s bodem T stane se ze sečny s tečna t plochy χ s dotykovyacutem bodem T (Draacutebek [2] str 118)

t1

T

t2

U

s

τ

χ

Obraacutezek 91

Bodem T prochaacuteziacute nekonečně mnoho tečen ktereacute tvořiacute svazek přiacutemek Tečnou rovinu τ plochy v bodě T určujiacute dvě různeacute tečny ktereacute prochaacutezejiacute bodem T Nejčastěji se při konstrukci tečneacute roviny využiacutevajiacute tečny t1 t2 kde t1 ležiacute v rovině rovnoběžneacute s půdorysnou a t2 ležiacute ve svisleacute rovině Z toho plyne že tečny t1 a t2 jsou na sebe kolmeacute

1

35

s τ

36

37

38τ

(t2)t2

T(T )

1 1

36

t135

36 8

3837

Obraacutezek 92

36

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Postup při sestrojovaacuteniacute tečneacute roviny vypadaacute naacutesledovně V přiacutepadě že bod T neležiacute na žaacutedneacute vrstevnici vrstevnicoveacuteho plaacutenu musiacuteme vložit vrstevnici (popř vrstevnice) prochaacutezejiacuteciacute bodem T (viz kapitola 3 - konstrukce vrstevnicoveacuteho plaacutenu) Daacutele sestrojiacuteme v tomto bodě tečnu t1 k přiacuteslušneacute vrstevnici Provedeme přiacutečnyacute řez topografickeacute plochy svislou rovinou kolmou k t1 V otočeniacute profilu do půdorysny nebo jineacute vodorovneacute roviny sestrojiacuteme tečnu t2 k topografickeacute ploše v bodě T Tečna t2 je spaacutedovou přiacutemkou tečneacute roviny Lze snadno určit stupňovaacuteniacute přiacutemky t2 čehož si můžete všimnout na obraacutezku 92

Tečnaacute rovina může miacutet s topografickou plochou

τ

τ

T

Tτ

T

τ

TS

k

p

Obraacutezek 93

37

a) společnyacute pouze jeden bod T

b) společnou plochu S

c) společnou přiacutemku p

d) společnou křivku k

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 91 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

49

50

51

52

48

Cvičeniacute 92 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

3031

32

33

341100

38

1100

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 93 Sestrojte tečnou rovinu topografickeacute plochy v bodě T

T

7

6

5

4

3 1100

Cvičeniacute 94 Sestrojte řez topografickeacute plochy tečnou rovinou sestrojenou v bodě T

T

12

13

14

15

1100

39

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Kapitola 10

Obzor a naacuterysnyacute obrys Obzorem z daneacuteho pozorovaciacuteho bodu neboli meziacute viditelnosti je křivka o ve ktereacute se topografickeacute plochy dotyacutekaacute zornaacute kuželovaacute plocha s vrcholem v daneacutem bodě Jestliže je zadanyacute bod světelnyacutem zdrojem je křivka o meziacute vlastniacuteho stiacutenu na topografickeacute ploše Křivku o sestrojujeme bodově Zadanyacutem bodem S proložiacuteme svazek svislyacutech rovin ε1 ε2 ε3 hellip Sklopiacuteme přiacutečneacute profily určeneacute těmito rovinami do půdorysny a z bodu S vedeme tečny k těmto sklopenyacutem profilům čiacutemž ziacuteskaacuteme body (T1) (T2) (T3) hellip Z těchto otočenyacutech bodů snadno ziacuteskaacuteme body T1 T2 T3 hellip což jsou body hledaneacuteho obzoru Konstrukce je znaacutezorněna na obraacutezku 101

S

ε 1

ε 2

ε 3

(T 1)

(T 2)

(T 3)

T 1

T 2

T 3

(t1)

(t2)

(t3)

71

72

747372

1

2

345

3

4

5

1

2

3

4

0

5

A1

A2

B1

B2

Obraacutezek 101 Obzor z pozorovaciacuteho bodu Obraacutezek 102 Naacuterysnyacute obrys

Naacuterys neboli naacuterysnyacute obrys sestrojiacuteme k zadaneacutemu půdorysu tak že k jednotlivyacutem vrstevniciacutem sestrojiacuteme tečny kolmeacute na naacuterysnu a určiacuteme body dotyku Daacutele sestrojiacuteme naacuterysneacute průměty těchto dotykovyacutech bodů ktereacute ležiacute na svisleacute přiacutemce a vyacutešku nad půdorysnou určuje přiacuteslušnaacute vrstevnice Spojeniacutem těchto bodů s přihleacutednutiacutem na viditelnost ziacuteskaacuteme naacuterysnyacute obrys topografickeacute plochy Naacuterysnyacute obrys je znaacutezorněn na obraacutezku 102 Při konstrukci obzoru i naacuterysu je potřeba velkeacute množstviacute čar proto vykreslujeme jen přiacutemky a čaacutesti profilů nutnyacutech pro konstrukci Pro přehlednost vyacutekresu i po zaneseniacute obzoru dbaacuteme na siacutelu a styl čar popř barevneacute odlišeniacute nebo celou konstrukci provedeme na průsvitku a do vyacutekresu zaneseme jen vyacuteslednyacute obzor

40

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Na rozhlednaacutech často byacutevajiacute fotky na kteryacutech je vyfotografovaacuten pohled z rozhledny v určiteacutem směru Jednaacute se vlastně o mez viditelnosti z daneacuteho bodu Někdy se na rozhlednaacutech vyskytujiacute malovaneacute obraacutezky ktereacute mohou byacutet malovaacuteny jako obzor z vrcholu rozhledny nebo jako naacuterysnyacute obrys viditelneacute krajiny

Obraacutezek 103 Pohled na vesnici Holubov z rozhledny na Kleti 1

Na turistickyacutech mapaacutech jsou často vyznačena miacutesta se zajiacutemavyacutem vyacutehledem Se znalostmi o obzoru můžeme z mapy rozhodnout kteraacute miacutesta jsou z takto označeneacuteho bodu viditelnaacute a kteraacute vidět nejsou Nesmiacuteme zapomenout že z mapy nevyčteme vyacutešku stromů budov apod V krajině se často na miacutestech s vyacutehliacutedkou setkaacutevaacuteme s fotografiemi krajiny s popisem viditelnyacutech měst a vrcholů Na obraacutezciacutech 104 je jedno takoveacute miacutesto Jednaacute se o cyklistickeacute odpočiacutevadlo pod vrcholem Kluk v okrese Českyacute Krumlov

Obraacutezek 104 a)

41 1 Zdroj httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Obraacutezek 104 b) Detail ndash pohled na Kleť

Obraacutezek 104 c) Detail a mapa viditelneacute krajiny

42

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 101 Sestrojte obzor z pozorovaciacuteho bodu S

17

16

16

17

18

19

20

18

1819

2021

1819

20 21

S

Cvičeniacute 102 Turista stojiacute na rozhledně S ve vyacutešce 20 Rozhodněte kteraacute města (A B C D) může turista z rozhledny vidět

15

10

5

0

-5

-50

51015

202530

S

A

B

C

D

43

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 103 Sestrojte naacuterysnyacute obrys

3

4

1

2 234

5

23

4

Cvičeniacute 104 Osvětlete topografickou plochu jestliže směr osvětleniacute S je určen body A B

11S

1312

1011

10

1214

13

9

A(10)

B(8)

11

12

Poznaacutemka Mez vrženeacuteho stiacutenu je stiacutenem meze stiacutenu vlastniacuteho

44

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Kapitola 11 Naacutesypy a vyacutekopy Znalosti o topografickyacutech plochaacutech se v praxi často využiacutevajiacute při řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů podeacutel komunikaciacute popř parkovišť hřišť apod Osa komunikace často neležiacute na ploše tereacutenu a v některyacutech miacutestech je potřeba zeminu dosypat tzn vytvořit naacutesyp a v jinyacutech miacutestech zeminu odstranit tzn proveacutest vyacutekop Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je volen podle vlastnostiacute zeminy Vyřešeniacutem naacutesypů a vyacutekopů zajistiacuteme minimaacutelniacute odvoz a dovoz zeminy

111 Proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou

Při proklaacutedaacuteniacute plochy konstantniacuteho spaacutedu křivkou se vyskytujiacute dva typy uacuteloh V prvniacutem přiacutepadě je křivka (popř přiacutemka) vodorovnaacute ve druheacutem přiacutepadě je zadanaacute křivka stoupajiacuteciacute tzn neniacute vodorovnaacute Nejdřiacuteve uvažujme vodorovnou křivku k Považujeme-li každyacute bod teacuteto křivky za vrchol naacutesypoveacuteho (vyacutekopoveacuteho) kužele pak obaacutelka těchto kuželů bude hledanaacute plocha Na obraacutezku 111 a) byla zadaacutena vodorovnaacute křivka k o koacutetě 7 a interval i Kdybychom znali miacutesto intervalu i spaacuted α proklaacutedaneacute plochy určili bychom interval i z pravouacutehleacuteho trojuacutehelniacuteka (obr 111 b)) Vrstevnici plochy o koacutetě 6 sestrojiacuteme jako obaacutelku kruhovyacutech podstav kuželů s vrcholy v bodech křivky k a poloměrem i Pro vrstevnici 5 voliacuteme poloměr podstavy 2i pro vrstevnici 4 pak poloměr 3i atd Je vidět že touto konstrukciacute ziacuteskaacuteme 2 řešeniacute Vrstevnice plochy jsou tzv ekvidistantniacute křivky Vzdaacutelenost mezi jednotlivyacutemi vrstevnicemi je konstantniacute a rovna i

i

α

1

k(7)

v(6)

v(5)

ε

k

7

6

5

6

5

i

2 i

a)

b)

Obraacutezek 111

45

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Na obraacutezku 112 je proložena rovina staacuteleacuteho spaacutedu vodorovnou přiacutemkou p Vrstevnice teacuteto roviny jsou rovnoběžky s přiacutemkou p Konstrukce vyacutekopoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu je znaacutezorněna na obraacutezku 113 Postup řešeniacute je podobnyacute jako u naacutesypoveacute plochy rozdiacutel je v tom že obaacutelka podstav kuželů o poloměru i je vrstevnice plochy o koacutetě 8 pro 2i vrstevnice 9 atd přičemž vrcholy kuželů jsou opět body křivky k

p7

6

5

6

5

4

α

α

α111

i2 i

3 i

9

8

7

k

8

9

Obraacutezek 112 Obraacutezek 113

Princip proloženiacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu křivkou kteraacute neniacute vodorovnaacute je znaacutezorněn na obraacutezku 114 kde je pro zjednodušeniacute zvolena přiacutemka p kteraacute je speciaacutelniacutem přiacutepadem křivky Proklaacutedanaacute plocha bude rovinou Danou přiacutemkou p proklaacutedaacuteme naacutesypovou rovinu staacuteleacuteho spaacutedu tg α = 2 I tentokraacutet využijeme trojuacutehelniacutek z obraacutezku 111 b) čiacutemž ziacuteskaacuteme i = 05 Chceme-li sestrojit vyacuteškovou přiacutemku o koacutetě 5 sestrojiacuteme kužel s vyacuteškou 1 vrcholem v bodě C(6) a poloměrem i Vyacuteškovaacute přiacutemka je hlavniacute přiacutemkou roviny musiacute prochaacutezet bodem B(5) a zaacuteroveň musiacute byacutet tečnou podstavy kužele Rovina ε je tečnou rovinou kužele a proto maacute požadovanyacute spaacuted Průmětem do půdorysny dostaneme vrstevnici s koacutetou 5 Dalšiacute vrstevnice můžeme sestrojit jako rovnoběžky s touto vrstevniciacute prochaacutezejiacuteciacute body AChellip Jestliže bude zadaacutena miacutesto přiacutemky p křivka vrstevnice o koacutetě 4 plochy ε prochaacuteziacute bodu A(4) a dotyacutekaacute podstavy o poloměru i kužele s vyacuteškou 1 a vrcholem v B(5) a zaacuteroveň podstavy o poloměru 2i kužele s dvojnaacutesobnou vyacuteškou a vrcholem v C(6) atd tj je obaacutelkou kružnic o středech X(k) k = 5 6 7 8 hellip a poloměrech (k-4)i

A(4)

B(5)

C(6)6

5

4

p

i

2i

ε

pA(4)B(5)

C(6)

6

5

4 Obraacutezek 114

46

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 111 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu se spaacutedem tg α=1

3

1100

Cvičeniacute 112 Proložte křivkou z leveacute strany naacutesypovou plochu se spaacutedem tg α=13 a z praveacute strany naacutesypovou plochu jejiacutež interval i = 32

1100

7

Cvičeniacute 113 Proložte křivkou vyacutekopovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=2

251100

47

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Cvičeniacute 114 Proložte křivkou naacutesypovou plochu staacuteleacuteho spaacutedu tg α=1

4

5 6

7 8

1100

Cvičeniacute 115 Proložte vodorovnou křivkou a stoupajiacuteciacute polopřiacutemkou vyacutekopoveacute plochy jestliže i=08 Jakyacute je spaacuted teacuteto vyacutekopoveacute plochy

8 9

10

11

1100

Cvičeniacute 116 Proložte křivkou kteraacute ležiacute na topografickeacute ploše naacutesypoveacute plochy staacuteleacuteho spaacutedu tg α=3

01

2

3

4

1

2

3

5

1100

48

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

112 Řešeniacute naacutesypů a vyacutekopů

Vyřešeniacute naacutesypů a vyacutekopů znamenaacute zaneacutest do vrstevnicoveacuteho plaacutenu miacutesta kde se maacute zemina dosypat a miacutesta z kteryacutech je potřeba zeminu odstranit Než si ukaacutežeme řešeniacute konkreacutetniacute uacutelohy uvedeme si zde některeacute přiacuteklady se kteryacutemi se můžeme v praxi setkat Topografickaacute plocha do ktereacute chceme objekt zabudovat je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem a jen ve speciaacutelniacutech přiacutepadech může byacutet rovinou např po předchoziacutech stavebniacutech uacutepravaacutech Objekty ktereacute majiacute byacutet v tereacutenu vybudovaacuteny děliacuteme na vodorovneacute a ty ktereacute vodorovneacute nejsou (u komunikaciacute mluviacuteme o tzv stoupajiacuteciacutech komunikaciacutech) Takovyacutemi objekty mohou byacutet vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny (parkoviště hřištěhellip) různyacutech tvarů obdeacutelniacutekoveacute čtvercoveacute n-uacutehelniacutekoveacute ovaacutelneacute kruhoveacute a jineacute V praxi se setkaacutevaacuteme s jejich kombinacemi vodorovnaacute plošina s přiacutejezdovou komunikaciacute křiacuteženiacute komunikaciacute vodorovnaacute komunikace přechaacutezejiacuteciacute ve stoupajiacuteciacute komunikace se zastaacutevkou (vodorovnou plošinou) atd Na obraacutezku 115 je zadaacutena vrstevnicovyacutem plaacutenem topografickaacute plocha na ktereacute chceme postavit vodorovnou obdeacutelniacutekovou plošinu KLMN o koacutetě 36 a vyřešit kolem niacute naacutesypy a vyacutekopy Spaacuted vyacutekopů a naacutesypů je zadaacuten pomociacute spaacutedovyacutech trojuacutehelniacuteků ze kteryacutech snadno odměřiacuteme interval vyacutekopů iv a interval naacutesypů in Nejdřiacuteve nalezneme tzv nuloveacute body Jsou to body na obvodu obdeacutelniacuteka KLMN ve kteryacutech se protiacutenaacute obvod obdeacutelniacuteka s vrstevniciacute o koacutetě 36 Označme si tyto body XY Těchto bodů může byacutet obecně viacutece a jsou to takoveacute body ktereacute oddělujiacute vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest Protože maacute odvod obdeacutelniacuteka vyacuteškovou koacutetu 36 a čaacutest YMNX protiacutenaacute vrstevnice 37 budeme v teacuteto čaacutesti provaacutedět vyacutekopy a v čaacutesti XKLY naacutesypy (tuto čaacutest protiacutenajiacute vrstevnice s nižšiacutemi vyacuteškovyacutemi koacutetami než 36) Když maacuteme objekt rozdělen na naacutesypoveacute a vyacutekopoveacute čaacutesti proložiacuteme uacutesečkami XN MN MY vyacutekopoveacute roviny staacuteleacuteho spaacutedu s intervalem iv a uacutesečkami XK KL LY naacutesypoveacute roviny s intervalem in (viz kapitola 111) Tiacutem dostaneme roviny ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 Sestrojiacuteme průsečnice rovin ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 s topografickou plochou (viz kapitola 7) označiacuteme je k1 k2 k3 k4 k5 k6 přičemž k1 je křivka s krajniacutemi body X a A uacutesečka NA je průsečnice rovin ε1 a ε2 křivka k2 maacute krajniacute body A a B atd (viz obraacutezek 115) Pro přehlednost můžeme vykreslovat vyacutekopy jinou barvou než naacutesypy

1

i

D

ε6

k6

k4

k5

33

34

K

35

ε5

L ε4

33

C

34

35

ε1

40

1

i

k1

A

39

38

37

k2

X

N

36

ε237

39

38

Y

M k3ε3

B

40

41

36

Obraacutezek 115

49

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Jestliže maacuteme postavit vodorovnou komunikaci s odpočiacutevadlem do rovinneacuteho tereacutenu (obraacutezek 116) a uvědomiacuteme si že hranice vyacutekopů a naacutesypů jsou uacutesečky pro ktereacute naacutem stačiacute znaacutet dva jejich body usnadniacuteme a urychliacuteme si praacuteci Ukaacutežeme si to na sestrojovaacuteniacute naacutesypů Po určeniacute bodů A B sestrojiacuteme rovnoběžku s hranou komunikace ve vzdaacutelenosti i Průsečiacutek teacuteto vrstevnice s vrstevniciacute tereacutenu označiacuteme C Polopřiacutemka AC tvořiacute hranici naacutesypu Pro sestrojeniacute druheacute hranice naacutesypů stačiacute sestrojit body B D E F G H přičemž bod E vznikne jako průsečiacutek přiacutemky BD a osy uacutehlu u přiacuteslušneacuteho vrcholu odpočiacutevadla Praktickaacute poznaacutemka Při ryacutesovaacuteniacute na papiacuteře čiacutem vzdaacutelenějšiacute jsou od sebe body tiacutem přesnějšiacute bude přiacutemka kterou těmito body proklaacutedaacutete

23

22

21

20

19

18

17

1

1

i

i20

A

B

C

D

E

F

G

H

2221212223

19

19

18

17 Obraacutezek 116

Někdy může byacutet složitějšiacute určit vyacutekopovou a naacutesypovou čaacutest (obraacutezek 117)

7

6

5

4

32

1

234

3

Obraacutezek 117

50

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Na obraacutezku 118 jsou vyřešeny vyacutekopy a naacutesypy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace kteraacute je složena z přiacutemeacuteho uacuteseku a uacuteseku kteryacute kruhovitě zataacutečiacute (od koacutety 60) Komunikace byla zadaacutena vystupňovanou osou o Ve vzdaacutelenosti rovneacute polovině šiacuteřky komunikace jsou po obou stranaacutech osy o vedeny tzv korunniacute hrany h1 a h2 Plocha mezi korunniacutemi hranami tvořiacuteciacute povrch silnice se nazyacutevaacute vyrovnaacutevaciacute neboli planyacuterovaciacute plocha Průsečnaacute nulovaacute křivka (na obraacutezku modraacute) planyacuterovaciacute plochy s tereacutenem určiacute na křivkaacutech h1 a h2 nuloveacute body Protože celaacute vyacutekopovaacute čaacutest ležiacute podeacutel přiacutemeacute čaacutesti komunikace budeme proklaacutedat přiacutemyacutemi čaacutestmi korunniacutech hran vyacutekopoveacute roviny Průsečnice vyacutekopovyacutech rovin s tereacutenem jsou hranicemi provaacuteděnyacutech vyacutekopů Vyřešeniacute naacutesypů neniacute nic složitějšiacuteho než že křivkami h1 a h2 proložiacuteme plochy staacuteleacuteho spaacutedu a sestrojiacuteme jejich průsečnici s tereacutenem V bodě B sestrojiacuteme kružnici o poloměru i (podstavu kužele s vrcholem v bodě B a vyacuteškou 1) z naacutesypoveacuteho trojuacutehelniacuteku Vyacuteškovaacute křivka o koacutetě 70 prochaacuteziacute bodem A a je tečnou sestrojeneacute kružnice Potřebujeme-li tuto vyacuteškovou křivku určit přesněji sestrojiacuteme potřebneacute množstviacute kuželů s vrcholy na křivce h2 ve vzdaacutelenosti ssdot|AB| od bodu A a poloměry ssdoti kde |AB| je velikost uacuteseku AB a sisin(01) Vyacuteškovaacute křivka je obaacutelkou podstav všech takto vzniklyacutech kuželů

30

40

50

60

70

8060

70

50

40

30

11

ii

oh2

h1

n

B

A

Obraacutezek 118 Na zaacutevěr teacuteto kapitoly je na obraacutezku 119 vyřešen složitějšiacute přiacuteklad Objekt kolem ktereacuteho jsou řešeny naacutesypy a vyacutekopy se sklaacutedaacute z vodorovneacute komunikace stoupajiacuteciacute komunikace vodorovneacute plošiny stoupajiacuteciacute obdeacutelniacutekoveacute a stoupajiacuteciacute eliptickeacute plošiny Probleacutem se rozpadaacute na vyřešeniacute diacutelčiacutech zaacutekladniacutech uacuteloh

51

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

i i

1 1 7

6

4

56

4

3

5

4

4

2

3

3

3

4

5

6

Obraacutezek 119

Cvičeniacute 117 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho parkoviště s přiacutejezdovou vodorovnou komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 56 a spaacuted vyacutekopů 1

Cvičeniacute 118 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacuteho hřiště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutemi trojuacutehelniacuteky (zelenyacute-naacutesypovyacute červenyacute-vyacutekopovyacute) Tereacuten se sklaacutedaacute ze dvou rovin (naacutevod Nejdřiacuteve vyřešte průnik rovin tereacutenu pak až naacutesypy a vyacutekopy)

Cvičeniacute 119 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem křižovatky vodorovnyacutech komunikaciacute Spaacuted naacutesypů je 1 spaacuted vyacutekopů je 54 Zvolte svislou rovinu a proveďte přiacutečnyacute řez komunikaciacute

Cvičeniacute 1110 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem vodorovneacute komunikace vodorovneacuteho parkoviště a stoupajiacuteciacute přiacutejezdoveacute a klesajiacuteciacute odjezdoveacute komunikace z parkoviště Spaacuted naacutesypů a spaacuted vyacutekopů je zadaacuten spaacutedovyacutem trojuacutehelniacutekem

Cvičeniacute 1111 Určete naacutesypy a vyacutekopy podeacutel stoupajiacuteciacute komunikace jestliže spaacuted naacutesypů i vyacutekopů je 54

Cvičeniacute 1112 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem minigolfoveacuteho hřiště Interval vyacutekopů a interval naacutesypů je znaacutezorněn na zadaneacutem trojuacutehelniacuteku (naacutevod Pro určeniacute hranice mezi naacutesypy a vyacutekopy vložte vrstevnici o koacutetě 11)

Cvičeniacute 1113 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem chodniacuteku širokeacuteho 2m jestliže je měřiacutetko vrstevnicoveacuteho plaacutenu 1100 Spaacuted naacutesypů je 43 a spaacuted vyacutekopů 54

Cvičeniacute 1114 Určete naacutesypy a vyacutekopy kolem všech chodniacuteků Spaacuted naacutesypů je ve všech přiacutepadech 54 a spaacuted vyacutekopů je 2

52

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Kapitola 12

Napojeniacute komunikaciacute V přiacutepadě kdy se jedna komunikace napojuje na druhou ale obě neležiacute v jedneacute rovině je třeba vyřešit plynuleacute napojeniacute těchto komunikaciacute Na obraacutezku 121 sviacuteraacute osa vedlejšiacute stoupajiacuteciacute komunikace s osou hlavniacute vodorovneacute komunikace pravyacute uacutehel Plynuleacute napojeniacute komunikaciacute provedeme pomociacute vaacutelcoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a směrem osy hlavniacute komunikace Hrana vedlejšiacute komunikace je tečnou v jednom krajniacutem bodě křivky k ve druheacutem krajniacutem bodě maacute křivka k za tečnu přiacutemku ležiacuteciacute v rovině hlavniacute komunikace tj vodorovneacute rovině

k

Obraacutezek 121

Na obraacutezciacutech 122 a 123 jsou znaacutezorněny různeacute způsoby napojeniacute dvou stoupajiacuteciacutech komunikaciacute ktereacute neležiacute v jedneacute rovině a jejichž osy nesviacuterajiacute pravyacute uacutehel V prvniacutem přiacutepadě jsou komunikace napojeny pomociacute hyperbolickeacuteho paraboloidu určeneacuteho zborcenyacutem čtyřuacutehelniacutekem ABCD

22

23

20

A

B

C

D

23

22

V

k

ρ

Obraacutezek 122 Obraacutezek 123

Druhou možnostiacute je napojit komunikace pomociacute kuželoveacute plochy kteraacute je určenaacute křivkou k a vrcholem V (viz obraacutezek 123) Křivka k kteraacute ležiacute v rovině ρ maacute v krajniacutech bodech za tečny hranu vedlejšiacute komunikace a průsečnici roviny ρ s rovinou hlavniacute komunikace

Obraacutezky kresleny podle Medek [3] str 263-264

65

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Zaacutevěr Některaacute cvičeniacute v teacuteto bakalaacuteřskeacute praacuteci měla ukaacutezat že znalosti o topografickyacutech plochaacutech majiacute praktickeacute využitiacute a to nejen v dopravniacutem stavitelstviacute kde je využitiacute při tereacutenniacutech uacutepravaacutech podeacutel komunikaciacute zřejmeacute Ať už budete sestavovat profil trati jako pořadateleacute zaacutevodů v běžeckeacutem lyžovaacuteniacute nebo se budete rozhodovat kterou turistickou stezkou půjdete při nedělniacutem rodinneacutem vyacuteletě vždy se vaacutem budou znalosti o topografickyacutech plochaacutech hodit

66

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67

Použitaacute literatura [1] Setzer O Deskriptivniacute geometrie IIdiacutel Staacutetniacute nakladatelstviacute technickeacute literatury Praha

1962 str 55-75

[2] Draacutebek K a kol Deskriptivniacute geometrie II Vydavatelstviacute ČVUT Praha 1974 str 112-129

[3] Medek V Deskriptiacutevna geometria Slovenskeacute vydavatelrsquostvo technickej literatuacutery Bratislava 1962

Použiteacute internetoveacute straacutenky httpwwwvyletynakolenet httpfotomapycz22319-Zaber-obce-Holubov-z-rozhledny-na-hore-Klet

Dalšiacute literatura a internetoveacute straacutenky Draacutebek K Harant F Setzer O Deskriptivniacute geometrie I SNTL Praha 1978 str 188-202

Draacutebek K Harant F Sbiacuterka uacuteloh a přiacutekladů z deskriptivniacute geometrie a stereometrie SNTL Praha 1963 httpwwwdeskriptivaunascz httpwwwpernerczStudijniMaterialyGeometrieTopografickePlochypps

67