Upload
phamkiet
View
241
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
���� ���������
�������������������� � ������������ ���� ��������������� �� ��������������������� ������
�� �� ������ ��� �� � ���������� ��� ��� ���� �� �������� ��� ���� ������ � ���� ������ �� �� ���
�� ������������������ �� ���������� ��������������������������������� �� ����� ����� � ������� ���� �� ���� ������ ��� ��� �������� �� ������ ����� ���� �������� ��� ��������� ������ �
�������������������������� ������� � ����������������� ������� ��� �������� ����� ���
� � �������������� � ���������� ������������������������ ������ ���� ����� �������������������� �� ��� ��� � ��� ��� �� � ��� ���� ���� �� �������� ����� � ���� �� ��� ��
������� ���� � � ���� ��� ����� ������� ���� �� ��������� ������������������ � ��� ������ �
��� ���������������������� ����������� � �������!����������������������� ��������� ���� !����� ����� ��������������������� ��������������������� ������������������� ���������
�� ����� �������� ���������������� ����������� �������������������� ���� ����� ����� ����
����������� ����������� ���� ����������� �������� � ����� ���� !������ ���������� ��������������������� ���� � ������
�� �������� � � ��������� � ��� ��������� ���� �������� ���� ���� ��� ����� ��� ���
� ����������� � ������ � ��������" ������ � ������������������ ��� ������ ������ ��������������� � � ���� ��� ���� ���� ����� � ������ ��� ������ �� ������� # ��� ���� ���� �������� �����
������ �� ������������� ���� ������ � ��� ��� ������� ���� ���������������� ���� ��� ���
�� ����� ��������$����� ���� ����� � ����� �������� ��������� �� ����� ������������ �������������������� ������������� ���������� ����%������� ������������������������������ ���
� � ������� ������� ����������� ����������� ���� ��� ���� ���������� �����������&����� ��� ��
������ ���� �� ���� ������� ���������������� ��������� � ��� �����������
��������� � ������� ��� ��� ���������� �� �� ����������� ��� �� � ��� ��� �����
�������� � ����������!�������������� �������� ���� � ��������� ������ �� ������ �
���������������������'�������(������������������� ���� �� �� ��� ����� ���������� ���� ���������������������������������#���������� ������ ����������� ���������
88CHAPTERCHAPTER
Balancing of Rotors
360� �Structural Dynamics of Turbo-Machines
��� ��������������������������������� � ����� �������'��������������������� ����������� ���� � ����� ����� ����� ����������� � ����������� ��������� ����������������� ������� ��� ����� ���� � � ����� '� ���� ��������� ����� � � � ����� ����� �������� ��� ������� ����������� ������ �� �� �������������������� �� � ������ � � ��������� ������������������� ��� ���������������������!�������������� � ���������� ������������������������ � ��� � � ������� ������ ���� ����� ������� ������ ��������)�� �� ���� ��� ��� �� ����� � ����� ��� ��� ���� ������� ���� � � ������ � ��� ��������������� ������ �����*�� ���������� ������������ ����������� � ��� ������������� ���� ��+������ � ����� ������ ����� �������� � ����� ����������������� ������������������������� ���������!��� ������ ��� ���
,��������� ���������������� � ��� �������� �������� ������ ���������� �� ������� ���������$������������������ ���!��� ��� ��������� ��������� ������(������������������ ������������������ �������������������!��������� � ����������������� ��������!������������������-������ ��� ���� ������� ���� �� �!������������� � ������ ������(�����$�������� ��������� � �!������������� �� ������������ ���� � ���� ���� � �������������� � �+� ������������������ ������������� ������������������������ ������� �� ������������ ��������� ��� ����� ������� ��� �����������#���!�������� ������+������� ����������������������� ������� ������������ ������������� ������������������������� ������������������������������� ��������������� ���� �������� �������� ��������������������� �������.�(����������������������� ��������� �� ���� �����������(���� �������� �� �� ������ � �� � ��������� ������� ������������� ��������������������������� ������������� ����
/��� ������������������ ���� � ������ ���� ������������ ��� ��������������� ���� ����������� �� � ����������� ������ ���������� �������� ���� � ������ ��� �� ����������� ��������������� ��������������������� �������� ���������� �� ������������ !�� ����������� ������������������������������������� ��������������.�(����������������������������� ��������� �� ��������������������� ������� ��� ��� ���� ������ ������ ������������-�������� �� ����� �� ��� ���� � � � ���� � �� ��� ������ ��� ���������� ���� ������ ���� ������ � ��� �� ���� ������� ��� ������ ���� ���� ������0������ �� ����)��� ������������� �������������������������� ��������� ��������������� � ����� ������������ ������� �� ��� �� ����� �+� ���� � ���� �� ������������ ����� � ����� ���� ������ ��� �� �������� ���������������������� �������������������� ����������������� ���������� ��������������������������������� �� �������������+���������� ����������� ���
����� � ���������������������������� � ������ ������� ������������� �������������� ���������� ������������ ����� ���� ���� ���������� ������������� ����� �� �������0������� �� � ����� ����������������������������� ������������ ���� ����������� ����������� � ������� ����� ������������� �������� �� ���������1����� � ������������ ��������� �� ����� ���� ����� �������� ������� �������� ���� ������ ��� ��� �����!�� � ��(� � ��� �� ���� ��������������������� ������ � ������� ��� ������������������� ��������������� ��� ������� ��������� ���������� ���� �� �� ����� ���� �������������� ����
2�������� ��� �� ������ ������ ������ � ����������� ���� ��+�����+� ����� ��� � � ���� ������������'��� ��� ��#� ���/�� �) �����'#/�3456��3478 ��-������������� ������ ������� ���������� ���������� ���� ��������������������������������� ����������� ������� �� ���� ������������ ����� ������� 96�������� ��� ���� ��� �� ������*�� ����������� ������ �� ������� � � ��� �� ���� ���������� ��� ���� � ���� ������ ���� ����� '�� ���� �� ��*�� �����
Balancing of Rotors� �361
�������:6������������������ ��� ��������������������� ����������������������������� ������������������������ ������� ������� �����������������(�� ��� � �������������� ����������� �+� ���� � ���� �� ������������������� ����� ��+����� ���� ���� ������ ��� ������� ������� �������������������� ���������� ���������� ������ ���� ����� !������� ����������+� ������� � � ������� ���� ���� ���������� ����� ������� ���� � �������� ����� ���� ����;�<������349= ��1����� ������ ����������������(�� ����������� ���������������������������(������������� ��� ����� ���������� �������������������� ������������ ������������������������ � +� ��(��������� ������ ��� '#/� �� ��� :���� ���� ��� ����*�� �� �� ����� ����������� � �� ��������������������� �������������� ���� � ��� ������� ������������������� ����� �� ����� ��� ��� �� � ����� ��� ���� '�� ���� ��������� ��� ����� ����� � ���������� �� � �������� ������� �� ���� �� ��������������������� ������������������ ������ ����������������������� ���� �� ��������� �� ���� ���������� ���� �� ��� 8����� ���� ������� ��� ��� ����� ��� ����������� � ������ �������������� ������ ������������������� ��������� ��������������������� ����������� ���������������� ��������� ������ � ����������������� ��� ��� ��������������
8.2 ASSEMBLY AND OPERATIONAL PROCEDURES AND ROTOR VIBRATIONS
>����������� ��� ������������� �������������������� ����� ����������������� ����������� ������ �� ���������/����������� ���������� ��� ����� ������������ ������� ��� ���� ���� ��� ��� ���� � ������� ��������������� � ����!� ����� #������ � ������� ��������� ��� ������������� '� ��� � ���� ���� ������������ ��� ��� ���!���������� � ������ ���� ����� ���������������� �������� �������� � ����� ���������� ������������ �� � �� ���� ��������� ������� ���� ���� ������� �������� ����� ���� ����������� ����� ��� ������������ '��� �� �������� ����� ������ ���������������������������� ��������� � ��� ������������������ ����� ���������������� �����'������������������������������� ����������������������������� ������������ ���� ������������������ ��������������������� ������������������ ����������� � ���
������ ����������� ��������� ������� ���������������� ����)�������������� ����������� � �� � ������ �������� ������� ���� ����������� ������� ��� �������� ��� ����������������������� � ���������� ������ ��������!��� ��� ������������ ��������+�������������������� � ���������� ������������ ���������������� ���������������� ���� ���������� ������������ �������� ������ ���� ����� �����
������������ ������ ������� ������ ���������������������������� � ���
����� ����������� �� �������������������� ����'� ������� ���������������������� �������������� ���� ����� �� ���������������������������� ����� ���������� ������+� ���������'� �������������� ���� ����� ���������� ��������� � ����� �� ����������������� ������ ����� ���(�������������������! ���������������������������
#������ �� ����� �� ���������� ��� !��� ��� ������ �� ��� �� �� �� ������������ ���� ����� ��� �� ���� ������� ��������2� ��� ��� ���� ������ ������� ��� ���� ��� ����� ���������� ����������� ����� �� �� ������ ����� ������ ��� ����������� ������������������� ��������� �� ������� ���� ����� ���+� ������! ����� ��������� ������ ������������� ������������� ����� ��� � ����� � ����� ��������� ��������+��������� ���� ����������������������� ��!���������� ��� �������������������(�� ������������ ����������������������� ��������� ����� ����� '�� �� ����� ��� ���� ��������� � ����������������� ����� ����� ��� ��� �� ������������� ����������� �� ����� ���(��������������� �������������
362� �Structural Dynamics of Turbo-Machines
��������� ��� � ����������� ������ ������ ���� ���� ���������� ��� � � ���������������������� �� ������� �������������-���������������������������� ����� ���� ���� ��� ���( ���������� ���� ��� ���� � � ���� ������� ������ ��� � � ��� ���� ������������������ �� �� ������ � ��� ������ �� ����� ��� ��������� ��� �������� �� ����� ����� ������������� ������� � ����������� ����� ����������� ��� !��������������� �����������������/��������������!����� ���������� ������ ������������������ � ���� ������������������������ �������� ��� ����������� ���� ������������-��!������������ �� ������������� �� ����������� ���������� ���� ��������� �� ���� �������������������� � ���� ���������� ��������� � �� ���� � �� �!� �� �� ���� ����� ���� �� ��� ������� �������� ��� �� ��� ���� �+� ��� � ����������� � !����������������� ������������������ �������������� �������� �� ������������������������ � � ������� ������������ ���� ���
8.3 BALANCE METHODS
��� ���� ������ � �� ��� ��������� �� ��������� �� ����� ���� ��� ��������� ���� �� ���������� ��� �����+������������ ������� ���� ������������������������ ��������������������������� � �������� ��������������������� ������������������������� ������� ��� ���������� ������� ������������������������ ����������������������������������� ������� ������ ������ ���������� ���+������ ����� ����� ��������� ����� ������� ������������� �� ���� ��� ��� � � ���� � ����� ������ ��������� ����� ������������� ���� ����� ��� ��� � ���� ������������ ��+����� ����������� �� � ����� ������ ���������������� � ���� � ������ � � ��� ���������� ������� �������� ������ ���� ��� ����� ��� ������ �� ������ ��� � ���� �������
� � ����� ������� ��������� ������� ����������������� ����������� ���� � �� ������������� ���� ��������� � ��� �� ������������������������������������������� �������������� �� ������ ����������� ������� ��������> ��������������������� ������ ��������� ����� ����� ���� ��� �������� � ������ ��� ������ �� ������� �� �� ��+����� �������� � � ����� � ���� ��� �������������� ����� ����*�� ����� �������������� �������� �������������� �������� ������� ��������� ����� ����������
���������(�� ��������(������� � ����������������� ���� � � ������������� �+���! ����� ������� ������ �������������������������+������ � ��� ��� ��� �������� ��� �� �!��� � ����� �����������������-������������ ����������� ��������������������� ��������������� ����������������� ���������������+� ������ ���� � ���������� ���������� ������������������������� ���������������������������������� ��������������� ���� ������� ��� ���������������������������� ��������� �������,� ����� ���������� ������� ��������������� �� ����(��� ��� ������� �������������� ��������� �� ������� ��� ��������������������������!��(�� ����������������������� �������������� �������� ��� ������������ ������� ����� ������� �������� ����� � ��������� ������������������ ���������������� ��� ����������������� �������� ���� ������������������� ������ ���������������� ������������!�������������� �� ����������������� ���� ��������� ������ ������ ������������� ������ ������������������������� � � �!����� � ���
�������� ������ ������������ ������������������ ��� ����������� ���������������� ��� ������������������ ��������� ���� ������� �� ������ �������������������������������������� ���� �� ��������������'������ ��� ������������ ������������������� ������ ����
Balancing of Rotors� �363
��� ��� ��� ����� ���� ���������� ������������ ��������� �� ���� ������ ���� ���� '�� ���� ������������� ������ �������������� ����� ������ ���396°���������� ���
#�������������(�� ��������������������������� � � ����������������� ���� �������������� ���� �� ��� �+� ��� ������ ���������� ����� �������� ��� ������� ���� ���� ����� �� �������������������� ����� ��������������� �� ������������������ ���������� � �������������������������� ����������������� ������� ������ ����� ���� ��� ����������������������������������� ����������������� ���������� �� ������������ ������� ��� ���� ������������������ ��������� ����������
���������������� ��� � ��������������������������� ������������ ���������� ���� �� �� ����������� ����� ������������ ������������� ���� �������������������� �� ����� ��� ���������������� �������������������� ������������ ��� � �������� ���'������������������ ��� ������������������������ ��� ������� ��� ��� �� ����������� ��� ����������������� ������:��:�� ��������������������������������������+��� ������� �5��5� �������� �� ���������� ��� �������� ���������� ��� ������������ �������� ������������� ��� ��������� � ����������� ���� ������� ��� ������� ��������������������������� ���
����������� ��)�� �������� �������������������� ��+�������� ��������� �� ������������� ��� �� ����������������� �������������������������� ����� �� ������������ ������������� ��� � ��������������������� ���� ��� ���� � � ��� ������������ ������ �� ���������� � ���������� � ������������ ������������ �� ���� � ������ � ���� ������� ����� ���� ������������!��������������������� ������ � ����������������� � �� ����� ����������������� �������������� ����� �������� � ���������� ������ �� �������������������� ����� �������������� ����������������������� ��)�������� ���������������� ������������������� ��������������� � ����� ����������� � �������� �������� ������� ��� ����������������� ���������� ���� ���� ��� � ���� ������������� � ������ ��396°���������� ����0������������� ���� � ���� ������� ���������(�� �� � � ���� ��� ������� ���� � �!� ��� �� ��� �+� ��� ������������ ������ ���������������������������������� ��������� ���������� �������������������������������
0����� �� ������ � ���� �� ���� ��� ��������� ������� ��� ���� ���� � �� ���� ����� ���� �� �������� ���� ���������������������� ������������������� ����� ���� ������ ������ �� ���������� ��� ���� ����������� � ���� ����������� ��� ���� ��� � � ��� ������������� �����>�������� ��������� ������� ����� ��������� � ������������������������ � �������������������������������������� ������ ���� ���� ���������������������������������� ����� ������ ����� ���������1��� ���������� ������ ����������� ��� ��� ������ ������ !� ���� �������� � � ����� ����� � � � � ���������� �� ��� �� ���� ��������� ��� ����0������ ������ �� ���� ����������������������������� � ����������� ��������� ��� ���������������� ������������� ��������+���������� � ���� ����� ����������������� �� ��������������������������������� ��������������������������������� ������������������ !��34=7 ����� � �� ������ �� ��� ��������� ��� ��� �� ��� �� �� ���� �������� ��� ���� ���������������� �� ����� ���������� ��� �� ���� ����������� ������������������ � ������ ����� ������������� ��� �� ���� ������������ ����� ������ ��� ��� ���� ��� ���� ��+������������������������������������ �� ������� ������ ��� ��������� ������� �1������ �� ���� 349: ��������� ��������������������������������� ������ ��������������� ���������������� ��������� ��)��� �� � ��� ��� �� ���+������ '���� ������� ��� ���� � � ������������������� ���� �������� �� ������ ������ �� ������� 1�������� ������� ����������� ������ ���
364� �Structural Dynamics of Turbo-Machines
� ����� ���� � �������� ����� ������������������ ����������� ���� � ������ �� �������������������������������������� ������������!�������������� ���� ������������������������������� ��������� �������������� � ���
'����������������������������� ������� ��� � �� ���������.�+������������������� ������������ ���� ��� ���� ������� ���� � ������ �� � ��������� � �� !�� ��� ���������������� ���� ����� ���� � ��������������� �� �� ������ �������� ������� �������������������� ������� ���� ������� � ���� ��� ��.�+����� ����� ������ �� � ���� ���� ���� �� ��� ���� ��� ������������������� ��� ������������������'������������ �������������� ���� ������������� ������� �� ���������������� ��� ������������!������������������ �������������������������������������������� ������ �� �������� ���(�����
8.4 MOTION OF UNBALANCED ROTORS
0����������� ������� ���� ����������������������� ������ ��������������9�3��'����� ������������� �� ��� � ���� ��� ����������� ���� ����������������������� ��� ������ � ������������ ����������������� ��������������� ��������� �������������������������� �������� ����� ������� ��� ����'������������ �������������� �������� � ���� ����� ��������������� � ���������396°� ���� �������������� ������ � ������������������������ ����������� ��� ����������� ������� ������ ������������� ��������������� ����������� ����� ������������������� ��������������������� ������������� ��� ���� �� �� ������� ��� ����� ������ ���� ��������� �� �������� ��� ����� ��*������������������������������������������� ����� ������������������������ ������� ��������������������� ������������������ ������� � ���������������������������� � �� ��������������� ����������������������������� � ���������������������� �����
Fig. 8.1. Static and Couple Forms of Unbalance
>�������� ����� � �������������������������� ���������� ��������������� �������������� �������������������������9�3����� �������� ������� �� �� �� � ��� �������������� ��� ��� ��� ������� ������������� ���� ���������� � ���������� ���� ������������������ ��� ������ � ���
1����������� �� ���� ��������� ��� ���� ����������� � ��� ���������� ��� ���� ������ �� ���� � ��� ��������������� �������� ������������ �� ���� ������� ������ ����������� ���� � ��� ������������ ����� ������������� � ������������ ��������������9�:�
Balancing of Rotors� �365
Fig. 8.2. Rotor Motion in Flexible Bearings and Supports
&����������� ������ �������� ��������������������� �������������������� ���� ����������������������������� �������������������������� ���
��� ����� � ���� �������� ��� �� � ��� �� � ��������� ������� ������� � ������� ��� ��!�������� � �� ����� �� ���� ����� ��� ������ ��� ������!� ������� ��� ����� ���� ������ ��� ����� ������� ��������������� ��� � ����������������� �������������������� � �������+� ������������������������!*��� ��� ������� � ����������������������� ������ � ����������������!� � ����� ���� �� ��� ��������� ���������������������� ����� �������������� �������������� ����� ���� ��������� ��� ������ ����������� ����� �������� ��� �� ������������������������� ������ ���������'����������������������������������� ����������������� �����������������!�����������������������������������
8.5 CORRECTION METHODS
#� ����� � ������ ����!�������� ��������������������� ����������������������������� ���������9�8�������� ���!����������� ������������������������� ��������/���� ���� � �������������!*������������� ���� ������������ � ���� ����������� ������������������������)�� ��� ���'����������������������!�������������������������� ������������������� ����������� ������� ��� ���������� � ����������� ��������������������+� ��� ����� ��� �������������� ���� ��������������������������� ������������� �� ���������������� ���������������!� �� �� ������� ��� �������������������� �����������������)�� ��!��������������� ���� �������� � ������ �������������������������
� � �������������� ����������� �������������� ��������� ���� ��� '������ ��� ��������� ��� ����� ���������� ��������������������������������������� �� �+� ���� � ����������� ��� ������� ���� �� ����������� ��� ���� ���� �� ���������� ����� ����� �� ��� ������������������������� ���������������� ���������� ������������������������� ������������ �������� �36;3����������%�������������������������������������������� � ��� ������������������������� ������:6;3���������������'������� ���������� ���� � ���������������������������������������������������� ���������������� ������������������������� �������+����������������������� ���� � ���
366� �Structural Dynamics of Turbo-Machines
Fig. 8.3. Static Balance Using Pendulum Principle
0���������� ������ ����� ����������� ����� ��� '�� ���������������������� ��� ������������������������������ ����������������� �������� ��������������� �����$������� �� ��������������� �� ������������� ������������������������ ������ ��������������������� ��� � ��� +� ����� ��� ��+������0 ��� ���� ��� �� ��������� �� ������� ���������� ������� � ������� ���� � ��� ����������� ��� ���� ��������� �� ������ �� ���� ������������� �+� ��� � ������� ���<����� ���������� ������������� �� ������ ���������������������������� ��)������� ��������������������������������� ������������������!������� ��������
> ���� ��� ����������������� ����������������� ��������� ��� ���������������� � ��������������������� ���� ��������� ����������������������������� ������������ ���� ������ ������� ��������������� ���� ����>��������� ���� ������������������� ���� �������� ���� ���� ���� ������ ���� ������ �������������� �� ��� ������ ������� ���� ������������������������ ����������� ���� ��)����� ��������������� ��������� �������� � ����� ���������� ��� � ���� ����2�������������� ���� ���� �� ������������������������������ ��������������������������� ������ ����������� ����������������������������������������������������� ��������������������� ����� ������������������� ����� ��� ���� �� ��� �������� ���� ���(��������� ������������ ���� ��������� ���� ���� ���������������������� ����������� ����� �� ���� ������������� ����������������� ���� � ���� ������� �������������������� ��� ����������� ������������������������ ������������������� �����#��������������������� ��� ������������������������������� � ����������������� � �� ����������� ��������������������������
"�� ���������������� � ���� ��������������� �������� ���� ��� �������� ��������������������������������������� !������ ������ �� ����� ������������ � ����� ����,� ���� ������� ������ ������������� ������������ ��� �� ���� ��� �� ��������������� ����� ���������� �������������)�������� �������������� ������� � ����� �������� �������� ����� ������������� �� ���������������������������������� ��������������� ����������������������������������� � ���� ���������������������� ������������(������ �������������������������� ������ ���� ������ � �� ������������������� � ����� ��������������� ���� ��� ����� ������������ � �� ������ ������� ��������������� ����� �����#���� �������� ��� ������������������ ���� ���������� ��� � � ������� ������������ � �� ���� ���� ��� ���� ���� � � ������������������� ���� �� ��� ������� ����� ���� ������ ��� � ����������������� ��� ���� �� ���� � ���� ������>�� ������� ������������ ����������������������� ������ ��� � ������������� ����������������� � ������ ���� ������ ��� ��+������������ � �������������������� ��� ����������������������������������������������� �� �������������������������������������������� ���� ��
Balancing of Rotors� �367
'����(������ ������������ ����� �� ������*������������������������������������������� ���������� ����� ����������!��� ��� ������������� ����������������������� � �������������������������������� �� � ���� �������� ����������������������� ����������� � ���� ������������������� ������� � ������������������������� �������������� � ������ ������������ �������� ������������� � ����� ���������� �� ����� � ���� ��� ���� ������ ��� ��� �������� ��������� �������������������� ������������ � ���� ����0���������������� �������� ���������� � ��� ��������� �� ���� ��� �������� � ���� �� ���� ������ ����������� ��� ��� �� � � ���#����+����� ���������� ������� ���� ������� ���������� ��������� �������� ������������ ������� ��� �����������������
������� ����������� ��� ��������������� ������� ��� ��������� � ���������� ���������� ������������� ������������������ ���� ���������� ����������$ ����� ����������������!����� ��������������� ��������������� ����������� � ���� ���������� ������� ������������������ �������� �� ����������������� ��������������������� ��� ������������������ ������� ������� ������� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� �������� ����� ������ ��� �����>����� �����������+��������������� ��������������������� ������������������� ����������
� � ���� ��� �������� �� ��� ���� �������� ����� ���� � � ��� ��������� ��� ���( ��������������������������������� ��� �������������������� ����������� � ����������������� ������ �� ������������������������������ ��� ����������� � ���������������������� � � ����� �� ��� ������� ��� ��� �������� ��� ��� ��� �������� � ���� ����������������� � �������������������� �� � ����� !�� ���� ��������� � ��� �� ������������������������� �������� ��� ���������� � ��������!������������������������ � ������������ ������������������ � ���������������� ����� ����� �� � ��������
���� ���� ������� � ��� ������ ��(���������� ����� ���������������� ��� ������������ �����$�������������� ���� � ����� !��� ������� ���� ���� � ��� ���� �������� ��������� ���������������� ���������������������������������� ������'����������������� ���� ������� ����� � ����������� ������ �� � ������
8.6 BALANCING OF RIGID ROTOR
0� ������ �������������� ������������������������������� ������� ��������������� ���������� �� ���� ���� ���� ����� � ���� <���� ������� ����� �� ���� ���� ��� ������ ������ ������ ������������������ ���� ���� � ���������� �� ���� ����'�� ����� ������������ ����� ������� �� ������ �� ���� �� ����� ��� ����� 96� ������� ��� ���� ������*�� ��� �� ��� �� ������� ��������������������������������<������������ ������ � ������������� �������������������������� �� ���� �� ��� �� ���� ����� ���� ���� ����� )���� ���� ��� ���� ��� �� ������ ��� ������� �� ���� �� ��� ������� :6�������� ��� ���� ������� ��� ��� � ���� ������ ���� ���� ������������������������ ���������������������� ��� �� ����������������������(�� ��� � ����� ��������������������� ����������������� � ���� ����������� ��������� ���������������� ���� ������ ��� ����������� ���� �������� �� �����
-������ ���������������� ���� '��� ��� �� #� ���/�� �) ���� �'#/�� 33856�� 3445 �� ���� �������� ��������� �� ������ ���� ��� ������� � � � ��� +� ����� ��+��������� ����� ��������� ����� ������<������ �349= � ������������ ������� ������� �� ���� ��������� 1����� �������������������� ������ � ���������������� ��������������'#/
3� ������ ���;� � � ��� �� �� ���� �� �� �� ���� �� ���� �� � � ��� �� ���� ������������� � ���
368� �Structural Dynamics of Turbo-Machines
:� �� ������������ ���;�.��� ����������������� ���� �+� ������ � ��� �� � ���(����� � ���� � ����?� � � ��� ����� ��� � �� ��� �� ���� ����� ����� � ���
8� ������������;�0 ������� � ����� ������������ � ����� ������ ��������+������� ��� ����� ����(����� ����� �� �� �����������
5� ��������� ���������;�<����������� ���3��:����8�� ��� �� ����������������� ����� ������� ������ ��������� ���������
@� �������������������������;�#���� ��� �������� ���8�������� � ������������������������� � ������ �����
0� ���3� �:��������� ����� �+� ������ � ��� ������������������������ ����1�������������� ��0� ��� 8� � 5� ��+����� ������ �� �����+������ ���� �������� ����������������� ����;$������� 3444 �
#����(�� ��� � ������� ������� ������������ ����������������������������������� ���������� �� �������� �������� � � ��������������� � ���������������� ����
����������������� � ��
� ������ ��� ������ ����������� ��� ���� ����� ��������������� ������������� ������������ ���
������������������������������ �������������������������������� ������������������������.���
�� �������
�� ���A��
��×��� ������������ '�� ����� ������ ���������� ����� �������������ω�� ���
�� � ��������������������������
��
A ���×���×�ω:�����×�ω:����
��×���×�ω: �9�3
������� � �������������
��
A �B��A������� B� �9�:
'�� ��� ���� � ������������������ ��������������������������396°���������� ���������������������
�������� ��� �� �������� �� �� � ��
��
A ���×���×�ω:�C��
��×��×�ω: �9�8
���������� ����� �� ������� ����������'������������ �� ������� ���� ����)���������� �������
���������������������������
���� �������� ����������������� ��+������ ���� ��� ����� �� ��� ���� ��� ���� ������� ��� ������� ������ �������� ��������� ������������������� �������� �!��������� ����������� ���������������������� ��������������� �������������� �
� ���� �9�5
������ �� ��� ���� �������� ������������ ���� ������� ��� ����� ����������� ��� ���� ��������� ������ ���� ������������ ����������������� ������������������������������ ����������������� ����������
������ ����������� ��������������� ����������������
������ ���������������
����� ����������������������������� ��
� A � ��� B�
�9�@
�������� ��������(�� ������������ � ������������������ ��� �������������������� ����
3� ��
:���� ������������� ������%� � ������������
3� ��
:� ��� �� ����������
��!�� �� �����θ3� �θ
:� ������������������� �!��0������� ��������������������������� ��
���
A �3��
��×�ω:�A��
�ω: � �9�=
��
A �:��
�×�ω:�A��
ω: �9�7
������ � ������������ ������������������� � ������������ ���� ������� �������������� �� ����������� '������ �� �� ������� ��� ��� ����������� �����-*��������*����������� ���
Balancing of Rotors� �369
���������������� ��� �� ������ ���� ������ ���������������� �����������+���������������� ������� ����������� ��� ����������������������� � ����������������� � �����������������!������ ��� �� �� ����� ����
3� ��
:������ ������������� ����������������� ��+��� ���
��������� � ��������
�� ����� ��������������������������� � ��������������;
��
A ����D��
�×�ω: �9�9
��
� ��3���
��D��
:���
�×�ω: �9�4
������ � ����� �������������� ���� ������������������+��� ������ ���� �� �������������
����
�� �������� ���������������������� �������;
��� �
�����
�� ��
�A��
��!��
��9�36
��� ��
A ����D��
B:� ��
��A���
�C��
� B: �9�33
���������������������������������� � ������������ ���� ����������������� ������������ �� ������������'��� ������ ����� �������� ��� �������ω� ��;
��ω A "
3∠α
3� �
�ω �A�"
:∠α
:�9�3:
������"��������� �������� �α
����������� ��� �����'���������� ����� ��� ���� ������� �����
������ � ����� ������;
�
A �33�ω �
���D��
3:�ω �
� �9�38
A �:3�ω �
���D��
::�ω �
� �9�35
����������������������������������� ������ �������� ���� ���� ��� ����3� ��� ��
�� �� ��������� ��������������������� ��������� ��� ���� ��3��������� ����� ��;
��
A �����
�3�D��
�3 �D��
� ��
�:�9�3@
�
A � ���
�3�D��
�3 �D��
��
�:�9�3=
��������� �
�� ���������������� ���� ���3� �:�������������������������� ��;
���
A ����C�
� B��
�3� ��
��A��
��C�
B��
�3�9�37
���� ������ ��� ��������� ��� ����������� � ��������� ����������� :
��� ����� ���������� ���'��
� � �
� ���������������� ���� ���3� �:�������������������������� ��;
��
A �� �C�
� B��
�:� ��
�A��
�C�
B��
�:�9�39
'�� ������� ����1
2
"
"
A11 12 1
21 22 2
� � �
� � �
�9�34
����� � ��� ������������������ ��;
11
22
�
�
� �
� �
= −
A C
111 12 1
21 22 2
� � "
� � "
−
�9�:6
#����������������������������� ��3���;
1 12
2 22
11 12
21 22
= −3�
" �
" ��
� �
� �
�9�:3
���������������������������� ��:���;
370� �Structural Dynamics of Turbo-Machines
2�� A
11 1
21 2
11 12
21 22
� "
� "
� �
� �
−�9�::
'� �� ������ �� ������ ��� ����������� ������ ���� ����������� ����� ������ ��� ��������� ���������� ���� �� ����������� ������ ������ �� ��� �� ��������� ��� �� ���+������ ���� ������ ������������������� ��� ��������������� � ��� ����������� � ��� �� ����������
Fig. 8.4. Rotor with Attached Disks
1������9�5� ������ � ����������� �� ������!���-��!��8� �7�� ����� � �������8� ��
7�
����������������� ���������������� ������������ ���������� ���������� ������ ����!�@�����
����� ������ ����� ��� �� � � � ����� ������ ������� ����� ����� ����� �� ���� ������ � ���(�� ���������������������� ����� � ���������������������ω
8� �ω
7� ����� ��� ���� ���8� �7� �
� ����8� ��
7����� � ���������� ���� ���������� �� ���� ��� � ������ ������ � ����<����
�� � ��������������������������
@������������������ � ���������������
8�D��
@�D��
7 �A�6���
� �������� ��� ���� ������� ��� �� �� ���� �+������������������� ��� �� ����� �� � ������������ �������������� � ������������ �� �������������������� ������������ �������������������� � ������������� ��� ��������������������� ���� ������������������������ ������������������������������������� �� ����������������76����������� ���������� �� ����������� ��� � ���� ����+������������������� ���� ����������%� � ��������������������������� ���������� ���������� �� ������#�������������������������������������������� � ��� ����������������������������� � ��������� ����� ��������� � �������� �����������!�
8.7 SINGLE PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTOR
���� ����������� ��������������������� ��� �����+�������������� ������������ � ��������������� �����0����� �������� ������������������ ��������������������������!���������� ����� ����� ��������������� �������������� ���� �������������������� ����� ��������� �� � �� ����� ��������������������� ������������ ����������� ������������ ���� �������>� ������������� ����� ��� ��� �� ���+����� ������� ��� ����� ����� � ��� ���� ������ ���� �� ��������������������������������� ���� ������������������������� ������� ����� �������������������������������*��� � ��� ��������������� � �������������������� ������������������� �
Balancing of Rotors� �371
��� ���������������� ���� �������� ����������������� ������������ �� ��������� � ����������������- ������3494 ���������������� ����������������������������� �� ��������������������������� � ������������� ��� �������� ��� �� ������������������� ������� � ����.������ �������������� �����������+������������� �������������������� �������
#��������� ��� ��������������� ������ �� � ���� ����� ����������� ������ ��� ������� !��34=7 ���������������������� ���������� ���������� ������������������� �������������������� ������ ���� ��������� � ��������������� ������������������� ���������� ����������������� ������������� �������� ���� ������������������� �����0����� ��������(��� �� �������� � � ��� ������ �� ����� �� ���� �� ���������� �������� ��� �� ���� ������ ��� ������������������ � ���������������� ����������� ���� � ��� ��������� ������� ���������������� ������ �� ������ �1������ �� ���� 349: ������ ������������������������ ����� ����� ���������� ����� ���� ���������� ����� �� ������ �� ���������11�� ��)�������� ������� �������� !�� ������ ��������� ���� ��������������$ �������� �� ������� ��� � ������ � ���������� ������������� � ����������������������������������������������������� � � ��������� ������� ���� � ������ �������� ����� ��� ������������ ���� � ��� ���� ��������� ���� �� ��(�+� ��� �������������-� �� �!�� ����� ����� ������� ��� !��� ���� �����*������ �� ����� ������������������� ������� ��������� �������������� � ��������������������������������� ���� �������������� ������������� ���� ������������������ !���������������
����� ������� ����� ���������� ����� ����� � ������������ ����� ������� �� �������������������� ����������������������� � ��� �������������������+������/����������� ����������� ����������� ��������������������396°� ��������������� ������ !��� ���������������� ������ �����1���������� ���������������������������������������� ������������������ �� ����� �������� �����
� � ������������������������� ������������������������, � ))������ ����349:������.�+����*������ ��� ���� ���� ��������� ������� ����������� ���� ������� ���� � ����� ����� ������������������������ ���� � ��� ������������ � ������� ����,� ��� ���� ���� ������ ������������������� ��� ������������ ����� ������� ������� ��� � � ��� ���� ������ �� � ������ �� ������ ��������<������� ��� ��� ����� �� ���� ���� ���� ��� �� ���+������� ��� ������������� ��!���������� ��� � ��������������������������������� ����������������� ����� �������� ������������������������������������������� � ����
#� ������������ ��� � ������� ��������������� ���������������������� ��*������� �������� ���������� �� ����� � ���?� ��� ���� ������� �� �� ���� ���� ����� ��� � ��������������������������� �������������� ����� � ��������� �������������� ����������� ��������� ������������� �� ���� ����� ���� ������ ��� �� ����� �� ���� ������� ���� ��� �� � �����)����� ����� ��� ���� ����������� �� ������������ ����� ���� ��������������������������������������������� ���� ����� ���� ������������ �������� ����������������� ������������ ��������������� ������ ������� ���� ���.�������������� �� �� ��������������� ���� ������������� �� ����� � ��� ��� �� ����������� ���� ������������������ ����� �������� �+� ��� ����� ��� ������������������� �������������������� �� �������� �� ���� ����� � ���� ������ ����������� � ���� ����������� ���������������������
1��� � � �������� ������ ���� ���� �� ���� ������ ���� ������ ��� ��� �� ���� ��� �� ���� ���� ������ #��� ���� �������� ���� ��� �� ��� �� ���� �� ���� �� ����������� ��� ��� ���� ����������������� ��������������������������� ������������������������������������������� ������������������������ ������� ������� ���� ������ ��� �����������
372� �Structural Dynamics of Turbo-Machines
������������ ��������������� � ���������������������������������� ������ ������������ ����� ������ ���� �������������� ����������� ������������ ������������������������� ������ ����������� � ���������������� ��������� ������������������� ���������������� ����������������������������������������������������������� ��������� ����������������.������ ���������������������������� ������������� �������� ��� ��������� ���������������� ���� ������� ���� ������� ������� � ���� ��������� 1��� � ��� �� ������� ����� ���� ��� ���� � ���������������������������� ���������� ����������������� �������������������)������������������ � ���� E��(����*�� � ����� ��� ����� �� ��� ������ � ���� � ������������� �� �������������� ������&������������������������������������������ ����� ������������� ������� ��������������� ��������������
&�������� ���� ��������������� ����� ���������������� ������������������������������ �� ��(�+� ��� ������ ������ ��� � � ����� '��� � ��� � ������ ����� ������ ���� ����� ��������� ��������������� �����������������"�� �������������������������������� ������������� �������������������� ������������������������������� ������� ����������(������������������������������� ���������� ���������������������������� ����������������������������������������� ���� �� �������� ���(����
���� ���� ������ ��� ����� ������� ���������� ������� ��� �� ������� ����������� ����� � ��������� ������������������������������������������������������������� �� ���� ������������������������������� ��� ������� ��������������������������������� �������������� ���������������� ��� ��������� �������� �������� ��������������0����������������������������� ��� � ���� ���� '� ���� ����� ����� ����������� ��� ������� ����� ���� �������� �� �� ���������������� ����������� ����������������������������������������������� ���������������������� �:��:�� ��������������������������������������+��� ������� �5��5� ���������� �������� ������� ����'��������������� ������������������ ������������������������� ��� ��� ������� �������������� ���
���������� �������������� ��� � ��������� ������ ���� ����������������������� ����������� ���� ���� ���(�� ���������2��� ��)�� �������� ������������ ��� ���������������� ���� �� ��(�+� ��� ����������������������������������������� ������������������ ������������ ���� ������������ ������ ����������� ���������������� ����������������� ������������������������������������������!��������������������*����������� �������� ����� � ����������� ������ � �� ����� '��� ���������������2��� � �3475 �� ���������������������������, � ))���� �� ���� �349: ������� � ����� ��� ��������������� ��������� ���� �� ��(�+� ���������������� ���� �������������������������� �������� �� ��� ���� ���� �� �������"���� ������ ���������� �����������)������ � ������������������������
���� �������� ����������������� ���� ���� �����(�� �� � � ���� ��� � ��������� ������ ������ ��+�����������!���������� ���� ������*���� �� �� � ������������ #��������� ��������������� ���� ��� ��� ����� ����� ����������������������� ���������� ��� �� ���� �� !���� � �� � ��� ����� ��������� ����������� �!������� � ���������������� ����� ������� ���� ���� ����������������� ��� ������ ���� ��� ���� �������� �� ���� �� � ��� �� ����� ������ ��� ���� ������������ � ������� ����� ������� ���!������ ���� ������ ��� ���� ����������� ����������
Balancing of Rotors� �373
Table 8.1. Vibration Measurements on Disk of Flexible Rotor
���������� #���������$%�&���� '� ���#�������������
:366 6�:@ 98
::56 6�88 @5
:766 3�3@ ::
:966 3�76 4
86:@ 3�4@ 8@@
83@6 3�96 883
8866 3�77 86:
8=66 3�@@ :93
847@ 6�4@ :=8
@9@6 6�8@ :@:
9:@6 6�:6 :57
����������������� ����� ���������� ����9�3�������������� ������� ���=7°������������������ ������������������������������� �����396°���������� �������������� � ��� ���������������� �������� � ���� ������������ ������������� ����� ������������ �� �� ���� �������� ��� ����������������� ��������� ������� �����36����������������� ������������������������
'������ ���� ������������������������������ �������������������1��� �������� �����������������������������(� � �����)������������ ������ � ����������+����� ������������� ���������� ���������� �������� �� ����� ������������ ���� �������� �������� ����������� � ������� � �����������
�����;
� ��ω ���
�9�:8
������ ω =− +
:
:� �
�3 :
��
� � ��� ����A��
����α����A�ω* ω
��� � ������ ������������:�����)ω* (�
�������� ������� ����������� �� ������� ���� ��� ��� ��������������������� ����� �����
� �������� ���������� ���� ����������� ��������������� ������;
� ��×××××���
���D��
� �9�:5
�����������������������������;� � �
��� B�
�9�:@
��������������������� ��;
��
A ���
��A� ���
B� �C�
�9�:=
8.8 OVERHUNG THIN DISK ROTOR
>����(�� ��� � ���������+����� ������ �������� �������� ������� �������������������!� ������������ �� ��� ���� �� ����� ��������� ��� ���� �� ��� � �� �� ���� �� ��� ��� ����������������������� ����� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ���������� � � ��� ��� ������������ ��� ��!��������������� '� �� ������� ���� �� ��� ���������� �� ��� ����� � ������!�� � � ��� �!��������������������������� ��������� ���������������� ������������������ ��� ������������� � ��� �� �� ������ ����������������� � �������� ������+����� �����������������
374� �Structural Dynamics of Turbo-Machines
� � ���� � ��� ������� �������� ����� ����� ������ �������� ��� � � ��� �� ������ ���� �������������������������� ������� ���� �������������������������������������������� �������������������������� ��������� ��� ���� � � ��������� ��� �����
���� � �!������!� ��� ������� �� ���� �������� �� ����� ��� ���� �+� ����� ��������� ��� � ���� � ������� ���� ���+� ����� �����+�����������������������!*�� ��� ������� �������������������������������� ��$�������� ���� ����� ��������������������������� �����+� ������������������ ����� ������������ ��� ��������������������+� ��������������� ���'������ ���������!��!���τ�A�τ
��!�+τ
�������������� �������� ����������� �
�������������� ����� � ����� ������������ �� ��� �������������� �������������������� ������� � ��� ���������������������� � ������!��� �����# � ������ ����3474 ������������+��� ��������!��!���� �������� ����������� � ����������� ����� � ��������������A� �
��!�+�
�
������ ������ � ������ ������� �� ����� �����������!�������������������������� ���� ��� �������� �� ��� � �� ��� ��!� �!���� � ���� ����������� � ��� ��������� ������� � ���������� ����� ������!�������
Fig. 8.5. Overhung Disk with Skew and Unbalance (Salamone, 1979)
��� ������� ���� �������������� ���������(� ��� ��������� ���������� �� ��� ���� ���!� �!���� ������� ��� �������� ������ �� ��������� ���� �� ���������� � �!������!� ��� �� ����1������9�@����������� �� �������1��� �������!�������� ���������������� �,
�������� ������
������ ��������������������� �,�� ���� ������������� ���������� ���������������� �����
������������� �������������������������� �������������� ������������
�������� ���� ������ ������+� ���������������������� ����� � �� ��������� ���� �����������������������������������������+� ����;
β
ω − ω θτω − θ = +
: : :
: : :
: :3 33
: :: ::
6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6�
6 6 6 6 6 6 66
6 6 6 6 6 6 66
+ �
+ ��
� � �- ��� � � - �
, + , � �, , � � �
� �- �� - �
� �- �� - �
θ
θ θθ θ θ
θ
θ
θ +
3 :
3 :
3 3 33 3: 3
: : 3: :: :
-- . - -
-
-
-
( ( ( ( -
( ( ( (
( ( ( ( -
( ( ( ( -
�9�:7
Balancing of Rotors� �375
Fig. 8.6. Vibration Characteristics of Skewed and Unbalanced Disk (Salamone, 1979)
#��������� �������� �� ���� �������� ���� ��!� ��� � ���� ��� ���� ����� ����� ����� ���� � ��� ���!��!��� ����������� ��*�������� ������� ��� �����=6����������� �� ����� ������� ������������������������������������������������� ���� ����������������������������������� ������1������9�= �������������!� �������� � ������ ���������������� � ��� ������� ! ��������� ���� ��������!����4�@� ������������ ������������������3�6� ����������������1�����9�=� �������������� �� ������������� ��� ��������������� � ��������������������������������� ��� ��� ������ ��� 46°� �� ���� ������ �� ������������ ����� ����� ������ ��� ���� ���� ���� ��� 396°���� �������� �� ���������������
$� �� ��������������+� �������� ������ �������� ���������������������� ������������!������������+� ����-� ��������+� ����θ��� �� ������� ����������� � ���� � ��� ��!� �!����α� �β� ��������� ��� �� ��� ���� ��� �� � ���������� ���� ���� ��� ���������������� ������������ �������������������� ������� �� � �� ����������������� ����� �1��� �����!���!�,
�F�,
�����������!����������������������������������������������� �����
�������������� �������!��&���������� ����������������!����� �����!���!� ��������� ���������� ��� ���� �������!�
376� �Structural Dynamics of Turbo-Machines
��������������!��!�������������������� ��� ������ ������������46°� ������������ ����������� �����396°� ������������ ��������'��������!��!�������� ������������ ��� ������ ���������� ��� ������ ����� �� ��� ���� �������� ������������� � � �� �� � ���� 1��� � ���������!��� ���� ������ ��� ������ ���� ���396°���������� �������� ������ �������!��!����� �� ������ �� ��������396°���� �����8=6°������������ �� ������������ ��� ������� ������������� ��������������������������������� � ������������� ������ ����� ������������� �������������� ��� ���� ������� �����396°� ��� 3@6°� �� ���� ���+����� � ���� � ����� ����� 3�6� ��� @�6�� ���������� ���������� ������������������������!�����������!��'�� ������ ��������� � ��� ��!��!������ ������������� � ��������� ������������������������� � ���� � ��������� ��������� ��������� ��������!��������������������� ���� �������������������������������� ������ �������� ����� ����
����������������� ���� ��� ��� ����� �� �������� ���� ������������ �� �� ���� ��������������������� � ����� ��������� �����+���� ���� � � ���� ��������� ����������� �!������!�� ���� ������ �� ��� �������� ��� ���� ��!� ��� �!���� ��� ��� �������� ���������� ���� ������������� �������!��������� � ��� ��������� ������ �������� ������� ���� ������ ������� �������(� ������� �������� ��������!���� �����%���� ����������������������� ���������������� ���� � ����������� ��� �����6�7�� ���� ������� ������� ��������������������� ������!� ��� �!����� ����� ������ �������� �� ����� ���� ���� ���3�6�� � �� � �� ��(� ��� ��� ���� �������� �� ������!� ��� ����������� ���� ������ �� ����� ���� ��������������� �� ����� �������� �� ����� 6�4� ��� ���� � ���� � ����� ���� ����� ���� ����� ���� ����� �������� ���� ��������� ���������� ����� ����� ��� �����������!� �!��� ���� ����� ���������� ����������� ��� ���� ������� ���� ����������������������������� ���������������������!������!� ��������������� ���������� ���� ��� ����� ���������� �� ����� � ����
��� ���� � �� ���� ������������ � ��� ���� ����� ������ �������� � ���� ��� 3�6@� �� ��������� ���������������������� ��������������� ������� ������������������ � ����������� ������6�67�������� ��� ���� ��� 396°� ��������� ��� ��� ������!���� ����� �� ���� ���������� ������!�!��� ���������� ������ ��������� �������6�::� ������������ ����������������������� ���������� �������� �������� �� ����� � ������� �� � � A� 6�4�� ���� �������� ��� ���� ���� ���������������� ��� �������������������� ������� ���������������������� ���������3@6°�������� ����������������������� �������� ��� ����������������366°����������� ������� ���� ���A�6�7���� � �������� ���� � �� ����A�3�@�
��������� ������������������!��!������������������ � ���� � ���� ����� ������������� ������������������ ���������� � ��������&���������������� ����� �������� �����������!������� ����� � ��� ��!����� �� � �������������������� ������ ������������������� ���������!*��������������� ����� �������� ���������� �� ����������������������������� ������!� ���������������� ��� ������������������������ �������� ��� ����� ���� ��������� �� �� ����������������� ����� ��+������ ���� ������ � � � ����� � ��� �������� ���� ������ �� ���������� ���� ������ �� ��������������� ���� ������������������ ��������� ����� ���� ��������� ����� ������������������������� ���� �����1������� ���� ������������� ��������������� ���� �� ��A�8�6�� ������������������������� ����� ������ �� ����� ���� ������������������������������������� ����A�6�=��0���������������� ���� ���� ����A�8�6���������������������������������� ������������� ����� � ����� ���� �� � ����� ��� ���� ���� � ����+����� ��� ���� �������������������������� ��� ��������� ��������!� �������� ���� ���� ������������������ �����A6�=�������������� ���� �������� ��� � ���� �����+��� ��� ���������� ���� � � ���� ���� � �������������� ��� ���� � ������ ��� ��� ��� ����������� ���� ���� ���� ��� ������ ����� ���� ����� ����� � ���� � ��������� ��������������������������������������������� ����
Balancing of Rotors� �377
�������������������� ��������������������������������� � ��������������!�������������! �396°���������� ��������� ������������������ ��+��� ����� � �����������������#� ��������� ���� ����� �� ����������������������!� �!�������� � ��� �� ������� ��� �� ��� �� ������!� ��� � ��� �� ���� ������ ������ �� ����� ��A�6�=������ �����+��� ��� ����� �� ��� ���� �������� ����������������� �� ���� ��������������������������� ���� ���� ����������������
8.9 MULTI-PLANE BALANCING OF FLEXIBLE ROTORS
����������� ������������ ��������� ��������� �������������� ������ �������������� ����D�3�� �������� �������� ������ ������������1�������������� � ����� �� ���� ������������������������������� �������������� ������������� �� �������� � ��������������������� ������������������+�������� � ����� ������������������� ��������������������������������������� � ����� ���� ������� ������������ �� ���������������1����� ��� ���������������� ����������A�8���������������;
�
A ����
3�D��
� �
:�D��
���
8� �9�:9
A � ��
3�D��
�
:�D��
��
8� �9�:4
�
A ����
3�D��
� �
:�D��
���
8�9�86
'� �� ���������������+� ����� ��;
GH�
A I�J��×××××��
G�H�
� �9�83
��������������������������������������������������������������� � ����������;
G�H�
A C�G�H��A�C�I�J
����C3GH
��9�8:
���������������� ���������������� ������������� ���� ���� ��������� ��� �����!���� � ���� ��� ������������������ �� ���������!��
1������� �� ����+� ������������������� � ������������� ������������� ����������� ��������������� ������������ �F����� ����� !������ ������������������������������ ������������� ����;
�
A ���
�3�D��
� �
:�D�K�D��
���
��D�ε
�� �9�88
������ ��������� � ��
��� ����� ��� ��� ����� �������� ������������ ��������� ������
����������������������������� ����� �����������������������������;
GH�
A I�J�×××××��
G�H��D�GεH
��9�85
��������≥��������� ��������������������������� �������������� ���� ����� �������������� ���������� 1���� � ����� ����� ��� ���� ������ ���� ������ G H
�� ��� ���� ������� ������� � ����� ���
����� ������� ������������ ��� ����� �� �� �� �� ��� ��(���� ������ ������������ �� ��������� ���������������� ���������������������������������������;
GH�×××××�
A I�J��×××××� � �9�8@
0������������ �9�88 �
IJ���
�GH�
A IJ���
�I�J���
�G�H��D�IJ
����GεH
�
#���� IJI�J� ��� � �+� ���� ����� ��� �������� ��� ��� ������� �������� I�J�A� IIJI�JJ(3�� ���� �� ��(�+� ��(������� � ����� ����� ����������;
G��H�
A I�J���
�G�H�
� �9�8=
378� �Structural Dynamics of Turbo-Machines
������I�J���
�A�CI�J���
(3IJ���
��'���������������������������(���������� � �����+� ������������� �� ��� �+� ������������������ ��;
G��H�
A I�J�×××××�
IGH��C�G
�H�J �9�87
8.10 BALANCING MACHINES
��������������������� ��� � ����� ������ ��������������������������)�����������+����������� � ���� ��� �� ��� ���� ��� ��������������� ��� ���� ����� �� ���� ����� ������#������ ����� ������������������� ��)���������������������������� �������������� ���������������� ��������)�� ���� ��� '� ������ ������ ����� � ���� �� ����������������������� ��������������� ���� ���������������� ��������� ������������� ���� ������������������������������ ���� ������ ��� ���� �� ������ � ������� ����� ���� ������ ������ ���� �� � �������������������� ������ ������ 9�7 �
& ���� ����� � ����� ������ ���� ��� ������� � ����� �� ������������ ������� �� �� ������� ������������� ���������� ����������������������)�� ����������������� ���������)�� ���� ���� ��������� ���������������� ���������������� ������������ ��������� ������ ��� ������ ���� � ���� ������� ����� ����������� ��������� ����� ��������� ������� ��� �� ������������������������)�� �������� ������������������������������������������ �� ������������� ������������ �������������������� �� ��� ���� �������� �� ������ �� ����� ��������� ������� � ��� ����� ������� #���� ����������� ������ ������������ ����� ���� ������������� ��� ����� �� ������������������������ � ��� ���������������������� ������� ������������������ ���������� ����� ���� ������� ������������
Fig. 8.7. Deflections of Single Mass Elastic Shaft in Flexible Supports
0������� ��� � ����� ������� �� �������� ������)������������������� � ������������ ����� �������� ��� � ��������!������*���� ��� ���� ������������)�� ����������� � ����� �� ������� � ����� ������ ������ ���� ������� ���� ������ ������ ��� ����������� ������ � ��� �������?��������������������� ����������������������� ���� ��� �������� �������� ������� � ��������������� �������� ����������� �� ������������������������������������ ������ ��� ��������������� ����� � ��� �������� � ��� ���������� ���� � ����������� ���1����� � �������� ����������� ��� ��������� ������������������������������� ��������������������� � ����� �����